第3章 Fourier变换

第3章 Fourier 变换在第一章，我们学习了几种不同频率的信号可以合成一个信号，如“拍”的复杂信号。

反过来，能否从复杂的合成信号中分离出原来的信号呢？能，这就要用到我们本章要讲的Fourier 变换。

本章首先介绍Fourier 级数及Fourier 谱，然后介绍Fourier 变换的性质及快速Fourier 变换，最后介绍Fourier 变换在数字滤波方面的应用。

3.1 Fourier 级数与Fourier 变换在我们生活的世界里充满了各种各样的周期现象，如日常生活中常见的昼夜更替、四季循环、温度气压等气象因素的反复变化、河水水位的周期性涨落、地面植物的岁月枯荣以及科学技术中诸如太阳活动的十一年周期起伏、地磁场的日变化、重力仪上所反映的固体潮、交流电、电磁波和机械振动等无一不是周期现象。

描述周期现象的最简单的周期函数是物理学上所说的谐波函数，它由正弦或余弦函数来表示：(3-1)利用三角公式,上式可以写成：（3-2）由于是常数，令a =A cos , 则可得：（3-3）这里, (3-4)由此可以看出：一个带初相位的余弦函数可以看成一个不带相位的正弦函数与一个不带相位的余弦函数的合成。

谐波函数是周期函数中最简单的函数，它描述的也是最简单的周期现象，在实际中所碰到的周期现象往往比它复杂得多。

但这些复杂函数均在一定近似程度上可分解为不同频率的正弦函数和余弦函数。

下面我们就介绍如何将一种复杂的函数分解为一系列不同频率的正弦函数和余弦函数的方法。

3.1.1 周期函数的Fourier 变换回想一下我们在数学中讲的Fourier 级数：如何将一个周期为2l 函数分解为Fourier 级数呢？我们已经学过的Fourier 级数展开式为 ：(3-5) 其中(3-6)如果f(x)是奇函数,积分上下限相互对称，则这时亦为奇函数，故a n 均为()ϕω+=t A t y cos )()t A t A t A t y ωϕωϕϕωsin sin cos cos cos )(-=+=ϕϕϕsin ,A b -=()t b t a t y ωωsin cos +=22b a A +=⎪⎭⎫⎝⎛-=a b arctg ϕ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10sin cos 2)(n n n l x n b l x n a a x f ππ()()dx l xn x f l b dx l x n x f l a dx x f l a l l n l l n l l ππsin )(1,cos 1,10⎰⎰⎰---===()l xn x f πcos零，得到的Fourier 级数是正弦级数: (3-7)其中，b n 的积分可简写为：(3-8)如果f (x)是偶函数, 因积分上下限相互对称，并且为奇函数，故b n 均为零,得到的Fourier 级数是余弦级数：(3-9) 其中a 0和a n 可简写为：(3-10)3．1．2 离散Fourier 变换现在我们设法把上述公式不加证明地应用于离散Fourier 级数中。

①我们在数字资料处理中经常遇到的不是一个函数，而是一个离散的数列，比如说，等间隔时间取样的时间序列(这里的数据个数为N ,一般取N 为偶数,并且若取一特殊的偶数还可以使计算速度加快)。

因此用上述公式时需要加以改造。

首先，我们得到的数字信号只能在正的时间段取值,在负的时间段不能取值。

但由于我们认为所取的时间是无限长的周期序列，周期为2l ，因此，我们可以把（-l ，l ）修改为（0,2l ）这样就避免了在负时间段取值。

x 就对应于时间序列的时间，即，i =0,1,2,…,N -1。

②由于我们要处理的是离散的数据序列，因此不能再用积分，而应用积分的离散形式----求和来表示，即：③我们在（0，2 l ）里等间隔地取N 个取值点，取样时间间隔为，其中。

有了上述改正，我们有（3-11）（3-12）所以（3-5）公式的离散形式为：（3-13）式中（3-14）（3-15）()l xn b x f n n πsin1∑∞==()(),.....3,2,1sin 20==⎰n dx lxn x f l b l n π)l xn x f πsin()l xn a a x f n n πcos210∑∞=+=()()(),......3,2,1cos 2,2000===⎰⎰n dxl xn x f l a dx x f l a l n l π{}1210,........,,-N xx x xt i x ∆→∑⎰=→Nk l120t dx ∆→2t N l ∆=(){}12,10,,.........,-→N x x x x x f N kit N t i k l x n πππ22=∆∆→)N ki b N ki a a x k mk k i ππ2sin2cos 210+ ⎝⎛+=∑=NkixN t N ki x t N a x N t x t N a N i iN i i k N i i N i i ππ2cos22cos 21,22111110∑∑∑∑-=-=-=-==∆∆==∆∆=m k Nkix N t N ki x t N b N i i N i ik ,.....,2,1,2sin22sin 2111==∆∆=∑∑-=-=ππ现在考虑（3-13）式，若我们共有N 个观测数据，即{,则上述方程可以列出N 个方程式，式（3-14）和式（3-15）为方程组的解。

那么，我们考虑一下m 最大可以取多大呢？在（3-13）式中均是未知数，m 越大，未知数的个数越多。

（3-13）式所列出的N 个方程最多只能确定N 个未知数，可见m 最大只能取。

这里需要注意的是，求和号里面的未知数的个数已经有N 个了，再加上a 0这个未知数，未知数的个数是否多于方程的个数呢？如果我们分析一下求和号里面的,当k 取时,最后一项为:，所以根本没必要求。

但这里需要注意的是，与a0一样，这里的也只取一半。

这样，取m 最大为就正好满足了N 个方程确定N 个未知数的唯一解的条件。

对于N 为奇数的情况，m 的取值应向下取整得到m=floor(N/2),此时的不为零，按正常计算。

x i 的第k 项为：，我们将其写成以下形式： （3-16）由上式可以看出，第k 项为两个周期函数之和，一个为正弦函数，一个为余弦函数，它们的频率均为：（3-17）这里的为时间,圆频率为。

T 为所取数据的总的时间长度，随着k 的增大，三角函数的频率逐渐增加，周期逐渐减小。

它们的周期为：（3-18）即为整个记录长度的。

因此，对于一个有限长观测数据序列来说，使用Fourier 级数法求得的各种周期或频率的波是有限制的。

因为k 只能取0 ~的整数。

①k=0时，a 0为该数据序列的直流分量。

②k =1时，波的周期为包含全部观测数据记录的时间T ，这是波的最大周期。

其频率为，是用Fourier 谐波分析所能检测到的最小频率。

通常我们称k =1的波为基波，基波的周期由取样数据的长度来决定。

③k 取最大值时，波的周期为。

此时波的周期最小，},.....,,,1210-N x x x x k k b a a ,,02Nk b 2N022sin 2=N iN b N π2Nb 2Na 2N)2/(N floor b )2/(N floor a N kib N ki a k k ππ2sin 2cos+()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆t i t N k b t i t N k a k k ππ2sin 2cos T k t N k f k =∆=()t i ∆t N k k ∆=πω2k Tk t N f T k k =∆==1k 12NT f 1=2Nt N T N T N T T N ∆=⋅===22222频率最大，为。

在数字信号处理中称这个最大频率为Nyquist 频率，这与第二章所讲的取样定理（采样定理）是一致的。

Nyquist 频率由取样间隔来决定，为取样间隔2倍的倒数。

在中国数字地震台网系统中，每秒取50个样，取样间隔为0.02秒，因此能够得到地震波的最大频率为25赫兹。

如果想得到高频率的地震波，必须提高取样频率，即缩短取样间隔。

④我们称利用（3-13~15）式分离的各种频率（周期）的波，即（3-16）式为k 次谐波。

k 次谐波的频率可由(3-17)式给出，周期可由（3-18）式给出。

若我们将（3-13）式中的求和号里的各次谐波写成（3-2）式的形式，则有：（3-19）式中， （3-20）c k 表示了k 次谐波的振幅大小。

在分解地震波时，哪些分量的振幅大，哪些分量的振幅小，对地震波的性质有十分重要的影响。

在研究地震波对工程结构的影响时，因为不同的工程构件有不同的固有频率，地震波中与工程构件的固有频率相等或相近的谐波振幅很大时，会使该构件发生共振而造成破坏。

我们通常用频率作为横坐标，用振幅作为纵坐标绘出图形来研究频率和振幅的关系，这种图形就是一种重要的谱，通常称为Fourier 振幅谱，简称振幅谱(振幅 spectra)。

为k 次谐波的初相，将（3-20）式中波的各分量的初相按频率画出，与振幅谱对应，我们称之为相位谱（Phase spectra ）。

如果将转换为我们平常看到的角度，只需将乘以即可。

(3-19) 式和（3-20）式之所以重要是因为它将一个数字序列转化为一系列不同频率的波的合成。

这样作的好处是通过这种分解，我们可以看出所给波列中含有哪种频率成分。

如果我们想滤掉某种频率的波，直接去除该频率的谐波即可。

下面我们根据上式给出一个合成波分解为各种不同频率波的例子。

3．1．3信号的Fourier 分解与合成举例【例3-1】将振幅为1的1Hz 正弦波和振幅为0.5的5Hz 正弦波相加后进行Fourier 分析，研究能否从中分析出含有这两种频率的信号。

%Samp3_1clear all %将工作空间中的所有变量清除 N=256;dt=0.02; %数据的个数和采样间隔 n=0:N-1;t=n*dt; %序号序列和时间序列 x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t); %信号加得到的合成信号m=floor(N/2)+1; %分解a,b 的最大序号值，为分解的N/2个参数再加参数a0 %floor 函数为向下取整a=zeros(1,m);b=zeros(1,m); %产生a,b 两个为零的序列 for k=0:m-1 for ii=0:N-1a(k+1)=a(k+1)+2/N*x(ii+1)*cos(2*pi*k*ii/N); %t T f N N ∆==2112/2/t ∆∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2102cos 2Nk k k i N ki c a x ϕπ22kk k b a c +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k kk a b arctg ϕk ϕk ϕk ϕπ0180N ki x N a N i i k π2cos210∑-==b(k+1)=b(k+1)+2/N*x(ii+1)*sin(2*pi*k*ii/N); %%MATLAB 中的数组序号只能从1开始。