第二篇弹性静力学总结_2010_11_13
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学 总结
弹性力学总结弹性力学是研究物体在外力作用下的变形和应力的科学。
它是力学的一个分支，广泛应用于工程领域中的结构设计和材料力学等方面。
在本文中，我将对弹性力学进行总结，从基本概念到应用和发展趋势等方面进行阐述。
弹性力学的基本概念可以追溯到17世纪，当时有很多科学家开始研究物体的变形和力的关系。
罗伯特·胡克被公认为弹性力学的奠基人，他提出了著名的胡克定律，即物体的变形与受力成正比。
根据胡克定律，当外力作用在一个物体上时，它将引起物体的变形，而变形与外力之间存在线性关系。
在弹性力学中，常用的变形参数有拉伸、压缩、剪切和弯曲等。
通过测量这些变形参数，可以得到物体的应力分布。
应力是物体内部的力和单位面积之比，它反映了物体受力的程度。
根据应力的不同分布规律，可以确定物体的受力状态，从而进行结构设计和材料力学分析。
弹性力学的应用广泛，特别是在工程领域中。
在建筑设计中，弹性力学可以用于确定结构的强度和稳定性，从而确保结构的安全性。
在机械工程中，弹性力学可以用于设计和分析弹性元件，如弹簧和悬挂系统等。
此外，弹性力学还可以应用于材料研究、地质学和天体物理学等领域。
近年来，随着科学技术的发展，弹性力学也取得了一系列的进展。
例如，弹性力学在纳米材料研究中的应用日益广泛。
由于纳米材料具有特殊的力学性能，如尺寸效应和表面效应等，弹性力学理论需要进行适应性调整，以准确描述纳米材料的力学行为。
此外，基于弹性力学的模拟方法也在逐渐发展。
通过数值模拟和计算机仿真，可以更全面地研究物体的变形和应力分布。
这为结构设计和材料力学提供了更多的参考依据。
总之，弹性力学是研究物体变形和应力分布的重要科学，它在工程领域中有着广泛的应用。
通过研究物体的变形和应力分布，可以确保结构和材料的安全性和性能。
随着科学技术的进步，弹性力学也在不断发展，适应越来越复杂的材料和结构需求。
弹性力学的研究将有助于推动科技进步和实现更安全和可靠的工程设计。
弹性力学总结
弹性力学总结第一章绪论一、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和范围。
二、弹性力学的基本量1、外力（1）体力（2）面力2、内力——应力3、应变4、位移以上基本量要求掌握其定义、表达式、分量的符号、正负号规定、量纲。
三、弹性力学中的基本假定1、连续性2、完全弹性3、均匀性4、各向同性以上是对材料性质的假定，凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体。
5、小变形假定（对物体的变形状态所作的假定）要求掌握各假定的内容和意义（在建立弹性力学基本方程时的作用）。
习题举例：1、弹性力学，是固体力学的一个分支，它的任务是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（），从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。
A．应力、应变和位移；B．弯矩、扭矩和剪力；C．内力、挠度和变形；D．弯矩、应力和挠度。
2、在弹性力学中，作用于物体的外力分为（）。
A．体力和应力；B．应力和面力；C．体力和面力；D．应力和应变。
3、重力和惯性力为（C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
4、分布在物体体积内的力称为（ C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
5、物体在体内某一点所受体力的集度的表达式及体力分量的量纲为（ A ）。
A ．0lim V F f V∆→∆=∆，-2-2L MT ； B ．0lim S F f S ∆→∆=∆，-1-2L MT ； C ．0lim A F p A ∆→∆=∆，-1-2L MT ； D ．0lim V F f V ∆→∆=∆，-1-2L MT 。
6、弹性力学研究中，在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，是利用了（ ）假定。
A ．完全弹性；B ．连续性；C ．均匀性；D ．各向同性。
7、（ A ）四个假设是对物体的材料性质采用的基本假设，凡是符合这四个假设的物体，就称为理想弹性体。
A ．完全弹性，连续性，均匀性和各向同性；B ．完全弹性，连续性，均匀性和小变形；C ．连续性，均匀性，各向同性和小变形；D ．完全弹性，连续性，小变形和各向同性。
弹性力学知识点总结
一、弹性体的力学性质1.1 弹性体的基本定义弹性体是指在受力作用下可以发生形变，但在去除外力后能够完全恢复原状的物质。
弹性体的形变可以分为弹性形变和塑性形变两种，其中弹性形变是指在外力作用下形变后又能够完全恢复的形变，而塑性形变则是指在外力作用下形变后无法完全恢复的形变。
1.2 林纳与胡克定律弹性体的力学性质可以由林纳和胡克定律来描述。
林纳定律指出，在小形变范围内，弹性体的形变与受力成正比。
而胡克定律则指出，在弹性体上施加的外力与其形变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
二、应力应变关系2.1 应力的定义与计算应力是指单位面积上的受力大小，通常用σ表示。
应力可以分为正应力和剪应力两种，其中正应力是指垂直于物体表面的受力，而剪应力是指平行于物体表面的受力。
在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应力：σ = F / A其中，σ为应力，F为受力大小，A为受力的面积。
2.2 应变的定义与计算应变是指物体在受力作用下的形变程度，通常用ε表示。
应变可以分为正应变和剪应变两种，其中正应变是指物体在受力作用下的长度、体积等发生的相对变化，而剪应变是指物体表面平行位移的相对变化。
在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应变：ε = ΔL / L其中，ε为应变，ΔL为长度变化量，L为原始长度。
2.3 应力应变关系应力与应变之间存在一定的关系，这种关系可以用材料的弹性模量来描述。
弹性模量是指在正应变下的应力大小，通常用E表示。
弹性模量可以分为弹性体积模量、剪切模量和弹性体积模量三种，分别对应不同形变情况下的应力应变关系。
3.1 弹性体积模量弹性体积模量是指在正应变下，单位体积的物体受力后的应力大小，通常用K表示。
弹性体积模量是材料的一个重要力学性质，它描述了材料在受力作用下的体积变化情况。
3.2 剪切模量剪切模量是指在剪切应变下，材料受力后的应力大小，通常用G表示。
剪切模量描述了材料在受力作用下的形变情况。
3.3 杨氏模量杨氏模量是衡量正应变下的应力大小的指标，通常用E表示。
静力学总结
随主动力变化
最大静摩擦力
动摩擦力
静摩擦定律
只与正压力有关
摩擦角 自锁
摩擦系数的几何描述
滚阻力偶 最大滚阻力偶
随主动力变化 滚动摩阻定律
滚动摩阻
静力学总结
二、概念区分
1、力矩和力偶矩 力矩 与矩心位置有关，不能任意移动
力偶矩 与矩心位置无关，可在其平面任意移动
B
M O (F )
A
F
F
D
C
O
h
d
B
' F
r
静力学总结
A
2、力的移动 力的可传性
B
B
F
等效
A A
F
作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的
任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
F
d
F'பைடு நூலகம்
B
力的平移定理
B
A
A
M
作用于刚体上的力可平移至该刚体内任一点，但 必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩
静力学总结
3、二力关系 二力平衡
静力学总结
4、销钉上若受到3个或3个以上力的作用，则需要单 独进行受力分析，或者将其附带到某一构件上分 析受力情况 5、分布力在画受力图时可以不简化，但是在列平衡 方程时需要简化成一个集中力，力大小和作用点 由分布力的变化方程决定
6、利用右手定则正确判断力矩或力偶矩的正负：掌 心要正对矩心或转轴，四指指向力的方向，大拇 指的指向就是力矩或力偶矩的方向
静力学总结
7、固定端支座和滚动摩阻的问题，列平衡方程时除 了考虑x，y方向的未知力以外，还需要加上一个 未知力偶的作用
8、考虑摩擦和滚动摩阻的问题，一般都有若干种临 界情况需要考虑，最后的结果通常是一个范围， 或者是将几种假设的结果进行比较，根据条件得 出真实的结果
弹性力学 总结
弹性力学总结弹性力学概述弹性力学是研究物体在受力作用下的变形和恢复行为的物理学分支。
它主要研究物体在力的作用下如何发生形变，并在去除外力后如何回复到原来的状态。
弹性力学在工程、材料科学和地震学等领域都有广泛的应用。
弹性力学的基本原理弹性力学的基本原理主要包括胡克定律和变形的描述。
胡克定律胡克定律是弹性力学研究的基石之一，它描述了弹性物质的应力和应变之间的关系。
根据胡克定律，弹性物体在小应变范围内，应力与应变成正比。
公式表示为：σ = Eε其中，σ代表应力，E代表弹性模量，ε代表应变。
胡克定律适用于各向同性的线性弹性材料。
变形的描述弹性变形通常分为线弹性和非线性弹性两种情况。
线弹性是指应力与应变之间成线性关系的弹性变形，而非线性弹性则是指应力与应变之间存在非线性关系的弹性变形。
在弹性力学中，常用的变形描述方法有拉伸、压缩、剪切和扭转等。
这些变形可以通过位移场、应变场和应力场来描述。
弹性体的应力分析弹性体在受力作用下会发生应力分布。
根据应力的分布规律，可以得出一些重要结论。
平面应力和轴对称应力问题在平面应力问题中，物体受力平面上只有两个应力分量，另一个应力分量为零。
这种情况下，可以根据累积概率法或复数变量法求解。
轴对称应力问题是较为常见的一类问题，这类问题的特点是应力场只与径向位置有关。
通过解析方法或数值方法，可以得到轴对称弹性体的应力分布。
弹性体的本构关系弹性体的本构关系以描述应力和应变之间的关系。
弹性体的本构关系可以是线性的或非线性的。
常见的线性弹性体本构关系有：胡克弹性体、准胡克弹性体和线弹性体。
这些本构关系常用于弹性力学计算中，可以通过试验数据或材料参数得到。
非线性弹性体的本构关系较为复杂，常用的描述方法有牛顿-拉普森方程和本构方程等。
弹性力学应用弹性力学在各个领域都有广泛的应用。
以下是几个常见领域：工程领域在工程领域中，弹性力学主要用于材料的强度计算、结构的稳定性分析和振动问题的研究。
通过弹性力学的理论，工程师可以预测材料在受力下的变形和破坏情况，并设计出更加安全和可靠的结构。
弹性力学基础汇总
一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ∆，变形后的长度为'l ∆，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ∆∆-∆=→∆'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ∆和s l ∆为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ∆为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ∆，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=∆∆=→∆F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ∆为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ∆，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=∆∆=→∆F s 0lim 。
弹性力学总结
通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界条件
转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力学问题得 到解答。
应用的注意事项：
1、取代原力系的必须是静力等效力系：主失量和主矩相等。 2、应用时不能讨论局部应力场。
弹性力学问题的提出
极坐标中的基本方程和边界条件
（1）平衡微分方程
1 f 0 2 1 f 0
（2）几何方程
（4-9）
u
u 1 u u u 1 u
（4-13）
弹性力学问题的提出
（3）物理方程（平面应力问题）
1 ( ) E 1 ( ) E 2(1 ) E
xБайду номын сангаас
0, 0,
o
a ( )
a
r
rd cos ( ) r rd sin 0 rd sin ( ) r rd cos 0
y
a ( )
a
r
M
0, ( ) r rd r M 0
习题课
A cos 2 B sin 2 C D
（3）求应力分量一般表达式：将上式代入（4-15），得 应力分量为：
1 1 2 1 2 2 4 A cos 2 4 B sin 2 2 2 0 1 1 ( ) 2 2 A sin 2 2 B cos 2 C
2 2
0
2
（4-14）
弹性力学基础知识归纳
弹性力学基础知识归纳第一篇：弹性力学基础知识归纳一．填空题1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。
二．简答题1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。
如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。
作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。
（2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。
2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。
应用这些方程时，应注意什么问题？(1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。
(2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。
(3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。
但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。
3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。
4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？由六个分量决定。
在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。
负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。
5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。
平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。
平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。
例如6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。
（1）完全弹性假定。
（2）均匀性假定。
（3）连续性假定。
（4）各向同性假定。
（5）小变形假定。
满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。
一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想弹性体。
弹性力学总结与复习(全)概述-知识归纳整理
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Байду номын сангаас
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弹性力学基础知识
dy
yx
yx
y
dy
注： 这里用了小变形假定。
精品文档
22
Fx 0
(
x
x
x
dx)dy 1 xdy 1
(
yx
yx
y
dy)dx 1
yxdx 1
Xdx dy 1 0
x yx X 0
x y
x
O
y yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
(
yx
yx
y
dy)dx 1
dy 2
yxdx 1
dy 2
0
xy
1 2
xy
x
dx
yx
1 2
yx
y
dy
当 dx 0, dy 0 时，有 xy yx —— 剪应力互等定理 24
精品文档 (dìnglǐ)
平面情况的平衡(pínghéng)微分方 程
第二章 弹性(tánxìng)力学的基
本知识
1
精品文档
2-1、弹性力学(lì xué)和材料力学(lì xué)
1、研究(yánjiū)的对 象：
材料力学主要研究弹性杆件(如梁、柱、轴等） 弹性力学主要研究弹性体。（杆、板、壳、块体）
2
精品文档
2、研究(yánjiū)的方
法：
已知
外力(wàilì)、边界条件、几何、材料
弹性定理知识点总结
弹性定理知识点总结1. 弹性定理的基本概念弹性定理是固体力学中的一个基本原理，描述了弹性体在受力时的变形规律。
弹性体是指在外力作用下发生变形，但在去除外力后能够完全恢复原状的物质。
弹性定理认为，当一个弹性体受到力F时，它的变形量x与力F成正比，即弹性体的变形量是力的函数。
这种描述可以用数学公式表示为F=kx，其中F是受力，k是弹性系数，x是变形量。
弹性定理的基本概念可以用一个简单的例子来说明。
当我们拉动一个弹簧时，弹簧的长度会发生变化，而这种变化的大小与我们施加的力的大小成正比。
这种变化的规律可以用弹性定理来描述，即拉伸力F与弹簧的伸长量x成正比，其比例系数就是弹簧的弹性系数k。
2. 弹性定理的数学表示弹性定理可以用数学公式F=kx来表示，其中F是受力，k是弹性系数，x是变形量。
这个数学公式揭示了弹性体的变形规律，即受力与变形量成正比。
F=kx的数学表示也可以通过微积分的方法推导出来，在初等数学中我们学到了弹性势能函数的求导和积分，这就是用来解释弹性定理的数学工具。
弹性定理的数学表示可以进一步扩展到三维空间中，即一个弹性体受到外力时，在各个方向上的变形与受力也成正比。
这时公式可以表示为F=K∆L，其中K是弹性系数矩阵，∆L是位置矢量的变化量。
弹性系数矩阵K描述了弹性体在各个方向上的变形规律，它是一个对称矩阵，反映了弹性体的各向同性。
弹性系数矩阵K的具体含义可以通过广义胡克定律来解释，这是根据矩阵代数的理论推导出来的。
3. 弹性定理的应用范围弹性定理的应用范围非常广泛，包括弹簧、橡胶、金属等材料的弹性变形，以及地震波的传播等。
弹性定理可以用来解释各种物体受力时的变形规律，也可以用来计算物体在受力时的变形量。
在工程领域中，弹性定理的应用非常普遍，例如在建筑结构设计、材料强度分析、机械设计等方面都会用到弹性定理。
弹性定理还可以用来解释弹性体在受力时的振动特性。
当一个弹性体受到外力时，它会产生振动，这种振动的频率和幅度可以通过弹性定理来计算。
弹性力学课程总结2010、11
δ
• 确定三角形悬臂梁在自重作用下的应力。 选择三次式Ф=Ax3+Bx2y+Cxy2+Dy3 为应力函 x 数。
α ρg
y
• 已知一点的应变，求主应力、主方向。 Ű00=-270*10-6 Ű450=-365*10-6 Ű00=-10*10-6 Ű 00 Ű90
0
Ű450
• 证明体应力与体应变的关系。 证明体应力与体应变的关系。
1 − 2µ e= Θ E
• 明在与三个主应力成相同角度的面上，正应 明在与三个主应力成相同角度的面上， 力为
ห้องสมุดไป่ตู้
σN
1 1 = I τN = 3 , 3
2( I − 3I 2 )
2
2、解释
• 何谓平面应变问题？何谓平面应力问题？ 何谓平面应变问题？何谓平面应力问题？ 两类问题的异同？常体力与变体力的异同？ 两类问题的异同？常体力与变体力的异同？ • 按应力求解弹性力学平面问题。 按应力求解弹性力学平面问题。 • 按位移求解弹性力学平面问题。 按位移求解弹性力学平面问题。 • 相容方程、变形协调条件的力学意义 相容方程、 • 扭转应力函数需要满足的方程及条件。 扭转应力函数需要满足的方程及条件。
四、等截面柱体的自由扭转
• • • • • 研究方法： 研究方法： 由平衡方程得到： 由平衡方程得到： 由相容方程得到： 由相容方程得到： 由边界条件得到： 由边界条件得到： 求解步骤
四、等截面柱体的自由扭转
• 开口薄壁杆件扭转应力、转角计算 开口薄壁杆件扭转应力、 • 闭口薄壁杆件扭转应力、转角计算 闭口薄壁杆件扭转应力、 • 应力最大值的计算
考题 题例
1、判断
• 满足平衡方程与应力边界条件的一组应力 解答必为正确解答。 解答必为正确解答。 • 在x为常量的直线上，u=0，则该线上各点 为常量的直线上，u=0， 方向的线应变也等于0 的x方向的线应变也等于0。 • Űx=K(x2+y2)， Űy=Ky2， z=0， Űz=0， Ŵxy=2Kxy, Ŵyz=0, Ŵxz=0, 该组应变分量是否是可能应变。 该组应变分量是否是可能应变。 • 检查下面的应力在体力为零时是否是可能 的解答？ 的解答？ • τxy=бx = 4x2,бy = 4y2 , τxy=- 8xy
静力学中的弹性力与弹簧常数
静力学中的弹性力与弹簧常数在我们的日常生活和工程领域中，静力学的知识无处不在。
其中，弹性力和弹簧常数是两个非常重要的概念。
它们不仅在物理学中有着基础且关键的地位，也在各种实际应用中发挥着重要作用。
首先，让我们来理解一下什么是弹性力。
想象一下，你拉伸一个弹簧，弹簧会有一种想要恢复到原来长度的趋势，这种趋势所产生的力就是弹性力。
弹性力的特点是它的大小与物体的形变程度有关。
当形变越大时，弹性力也就越大；反之，形变越小，弹性力越小。
那么，这种形变和弹性力之间的定量关系是怎样的呢？这就引出了弹簧常数这个重要的概念。
弹簧常数，也被称为劲度系数，它是描述弹簧“硬度”或者“弹性”的一个物理量。
简单来说，弹簧常数越大，意味着弹簧越“硬”，需要更大的力才能使其产生相同的形变；弹簧常数越小，弹簧就越“软”，较小的力就能使其产生较大的形变。
为了更直观地理解弹簧常数，我们可以做一个小实验。
假设我们有两根弹簧，一根弹簧常数为 k1，另一根为 k2。
我们分别对它们施加相同大小的力 F。
对于弹簧常数为 k1 的弹簧，它产生的形变为 x1 ＝ F ／ k1；对于弹簧常数为 k2 的弹簧，产生的形变为 x2 ＝ F ／ k2。
如果k1 ＞ k2，那么 x1 ＜ x2，也就是说弹簧常数大的弹簧形变较小，更难被拉伸或压缩。
在实际生活中，弹性力和弹簧常数的应用非常广泛。
比如，汽车的悬挂系统中就用到了弹簧。
汽车在行驶过程中会遇到各种路况，产生颠簸。
悬挂系统中的弹簧通过形变来吸收这些冲击力，从而减少乘客感受到的震动。
而弹簧常数的选择就非常关键，如果弹簧常数太大，悬挂系统会过硬，乘客会感到不舒适；如果弹簧常数太小，悬挂系统就会过软，车辆的稳定性和操控性就会受到影响。
再比如，在机械手表中，也有很多细小的弹簧。
这些弹簧的弹性力和弹簧常数的精确控制，决定了手表的准确性和稳定性。
如果弹簧的弹性力不稳定或者弹簧常数不准确，手表就可能走时不准。
在工程领域，弹性力和弹簧常数在桥梁设计中也有着重要的作用。
静力学中的弹性力与弹簧常数
静力学中的弹性力与弹簧常数在我们的日常生活和工程领域中，静力学的知识无处不在。
而弹性力和弹簧常数作为静力学中的重要概念，对于理解物体的形变和受力情况起着关键作用。
首先，让我们来了解一下什么是弹性力。
简单来说，弹性力就是当物体发生弹性形变时，物体内部企图恢复原状而产生的一种力。
想象一下，你拉伸一根弹簧，弹簧会“反抗”你的拉伸，试图收缩回去，这个时候它对你施加的力就是弹性力。
弹性力的大小与物体的形变程度密切相关。
形变越大，弹性力通常也就越大。
但是，这种关系并不是简单的线性关系，而是遵循一定的规律。
接下来，我们引入弹簧常数这个重要的概念。
弹簧常数，也称为劲度系数，它是用来描述弹簧“硬度”或者“弹性性能”的一个物理量。
用符号“k”表示。
对于一个特定的弹簧，弹簧常数是一个固定的值。
它的数值越大，意味着弹簧越“硬”，在相同的形变下产生的弹性力也就越大；反之，弹簧常数越小，弹簧越“软”，相同形变下产生的弹性力就越小。
那弹簧常数是怎么确定的呢？这通常需要通过实验来测量。
我们可以给弹簧施加不同大小的力，测量出对应的形变，然后通过数据处理和计算得出弹簧常数。
在实际应用中，弹性力和弹簧常数有着广泛的用途。
比如在汽车的悬挂系统中，弹簧起到了缓冲和减震的作用。
不同类型的汽车，其悬挂系统中的弹簧常数是经过精心设计和选择的。
如果弹簧常数过大，汽车在行驶过程中会感觉过于颠簸；而如果弹簧常数过小，汽车的稳定性和操控性就会受到影响。
再比如，在机械制造中，许多零部件都会涉及到弹性形变和弹性力。
例如，一些精密仪器中的弹簧装置，需要准确控制弹簧常数来保证仪器的精度和可靠性。
另外，在建筑结构中，弹性力和弹簧常数也不容忽视。
比如桥梁的设计，需要考虑到桥梁在车辆荷载作用下的弹性形变，以及支撑结构中的弹性力分布，以确保桥梁的安全和稳定。
为了更深入地理解弹性力和弹簧常数，我们来看一个具体的例子。
假设有一根弹簧，其弹簧常数为 50 N/m。
当我们将这根弹簧拉长 02 米时，根据胡克定律（F ＝ kx，其中 F 表示弹性力，k 表示弹簧常数，x表示形变），可以计算出此时弹簧产生的弹性力为 50 × 02 ＝ 10 牛。
第二章弹性力学基础知识
19
用矩阵表示：
yxx
xy y
xz yz
z
zx
zy
其中，只有6个量独立 z。x zy z
xy yx yz zy 剪应力互等定理 zx xz
应力符号的意义(P8)
x
z
yx xz
y yz x
zy
yz
xy yx y
zx
O
y z
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向； 第2个下标 y 表示τ的方向.
符号：
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影 k
Q
Z
X S Y
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
i Oj
y
x
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
正负号： X Y Z 的正负号由坐标方向确定。
16
例：表示出下图中正的体力和面力
O(z)
x
X
X
Y
Y
y
O(z)
x
Y
X
X
Y
y
17
2. 应力
5
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,具
有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤 其对于安全性和经济性要求很高的近代大型 工程结构，须用弹力方法进行分析。
6
2.1弹性力学的基本假定 为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很 小的次要因素，抓住主要因素,从而建立 计算模型,并归纳为学科的基本假定。
符号：X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影 k X V Y
单位： N/m3
kN/m3
i Oj
y
静力学总结——精选推荐
静⼒学总结第⼀部分静⼒学静⼒学研究物体作机械运动的特殊情况——物体处于静⽌状态时⼒的平衡规律。
静⼒学主要研究：物体的受⼒分析⼒系的等效替换（或简化）建⽴各种⼒系的平衡条件静⼒学主要内容静⼒学基本概念⼒系的简化约束与约束反⼒⼒系的平衡摩擦与摩擦⼒第⼀章静⼒学公理和物体的受⼒分析§1-1 静⼒学基本概念⼀：⼒的概念1．定义：⼒是物体间的相互机械作⽤，这种作⽤可以使物2. ⼒的效应：①运动效应(外效应) ②变形效应(内效应)。
3. ⼒的三要素：⼤⼩，⽅向，作⽤点⼒的单位，采⽤国际单位时为：⽜顿（N ）以及千⽜（KN ）4. ⼒的表⽰：A 图形表⽰B 符号表⽰⽮量⼤⼩5.相关的概念⼒系：是指作⽤在物体上的⼀群⼒。
平衡⼒系：物体在⼒系作⽤下处于平衡状态，我们称这个⼒系为平衡⼒系。
6.⼒的分类集中⼒、分布⼒、集中⼒偶⼆.刚体是指在⼒的作⽤下，⼤⼩和形状都不变的物体。
变形体三.平衡是指物体相对于惯性参考系保持静⽌或作匀速直线运动的状态。
§1-2 静⼒学基本公理公理：是⼈类经过长期实践和经验⽽得到的结论，它被反复的实践所验证，是⽆须证明⽽为⼈们所公认的结论。
公理1 ⼒的平⾏四边形法则作⽤于物体上同⼀点的两个⼒可合成为⼀个合⼒，此合⼒也作⽤于该点，合⼒的⼤⼩和⽅向由以原两⼒⽮为邻边所构成的平⾏四边形的对⾓线来表⽰。
2/s m kg ?FF F = A F 21F F R +=此公理表明了最简单⼒系的简化规律，是复杂⼒系简化的基础。
公理2 ⼆⼒平衡条件作⽤于刚体上的两个⼒，使刚体平衡的必要与充分条件是：这两个⼒⼤⼩相等| F1 | = | F2 |⽅向相反F1= –F2作⽤线共线，作⽤于同⼀个物体上。
说明：①对刚体来说，上⾯的条件是充要的②对变形体来说，上⾯的条件只是必要条件(或多体中)③⼆⼒体：只在两个⼒作⽤下平衡的刚体叫⼆⼒体。
⼆⼒构件只有两个⼒作⽤下处于平衡的物体公理3 加减平衡⼒系公理在作⽤于刚体的任意⼒系上，加上或减去任⼀平衡⼒系，并不改变原⼒系对刚体的作⽤效应。
工程力学静力学总结
工程力学静力学总结工程力学静力学是物理学的一个重要分支，主要研究物体在力的作用下的平衡和稳定性能。
静力学研究的内容包括力的分析、力的平衡、以及物体在力的作用下的变形和位移等。
下面是对工程力学静力学的总结。
1.基本概念静力学的基本概念包括力、力的方向、力的作用点、力的大小和方向、力的平行四边形法则等。
这些概念是理解静力学的基础。
2.静力学公理静力学中有几个公理是用来描述力的基本性质和关系的，包括力的平行四边形法则、等效替代法则、作用与反作用法则等。
这些公理是静力学的基础，也是工程实践中常用的基本原理。
3.力的分类和计算在静力学中，力可以根据不同的标准进行分类，例如根据力的作用效果可以分为拉力、压力、支持力、摩擦力等，根据力的方向可以分为水平力、垂直力、斜向力等。
同时，力的大小和方向也需要通过一定的方式进行计算和测量。
4.力的平衡在静力学中，如果一个物体受到多个力的作用，那么这些力需要满足一定的平衡条件才能使物体保持静止状态或匀速直线运动状态。
力的平衡条件可以通过一定的计算和测量得出，包括合力大小、合力方向等。
5.物体变形和位移在静力学中，物体在受到力的作用后会发生变形和位移，这些变化的大小和方向也需要进行计算和测量。
同时，物体的刚度和稳定性也是需要考虑的因素，这些因素会影响到工程实践中的安全性和可靠性。
6.重心和稳定性重心是物体所受重力作用线的交点，对物体的稳定性有着重要影响。
重心位置可以通过一定的计算得出，而在工程实践中，需要采取一定的措施来提高物体的稳定性和安全性，例如增加支撑面、降低重心等。
7.弹性力学弹性力学是静力学中的一个重要分支，主要研究物体在力的作用下产生的变形以及物体内部应力和应变的关系。
弹性力学的研究方法包括实验、理论分析和数值模拟等，其在工程中的应用广泛，如材料科学、结构工程等领域。
8.静力学的应用静力学在工程实践中有着广泛的应用，例如建筑结构分析、桥梁设计、机械设计等。
在应用过程中，需要根据实际情况进行合理的简化和分析，以便得到符合实际的结果。
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圆轴扭转时的变形和刚度计算
扭转角：圆轴扭转时，两横截 面相对转过的角度称为这两截 面的相对扭转角。
A M
BO
Tl GI P
M
单位长度扭转角
T l GI P
抗扭刚度：GIP 称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆 轴抵抗扭转变形的能力。
例6-3 传动轴如图所示，已知轴的直径d=45mm， 转速n =300r/min。主动轮A输入的功率PA=36.7KW； 从动轮B、C、D输出的功率分别为PB=14.7KW，PC= PD=11KW。轴材料的剪切弹性模量G=80GPa，许用切 应力[ ]=40MPa，单位长度的许用扭转角[ ]=1.5/m， 试校核轴的强度和刚度。
Fbs F
F
挤压面积
Abs d t
Fbs A [ bs ]
结论
100103 d m 6 3 [ bs ] t 18010 2410 d 23.1mm
为了保证销钉安 全工作，必须同时满足剪 切和挤压强度条件，应取 d=33mm。
第七张 扭转
扭转：构件两端受到两个作用 面与杆的轴线垂直的、大小相 等的、转向相反的力偶矩作用， 使杆件的横截面绕轴线发生相 A 对转动。
在弹性范围内，杆件上任一点的正应力与线应变成 正比。 E 称为材料的弹性模量，与应力单位相同。EA 称 为杆件的抗拉（或抗压）刚度。
例4-3 钢制阶梯杆如图，已知轴向外力F1=50kN， F2=20kN，各段杆长为l1=150mm，l2=l3=120mm，横 截面面积为：A1=A2=600mm2，A3=300mm2，钢的弹 性模量E=200GPa。求各段杆的纵向变形和线应变。 解（1）作轴力图 1 2
弯矩 Mm： M C (Fi ) 0
FQm 和 F Qm 、M m和 M m 分别大小相等、方向相反。
二、剪力和弯矩的正负号规定 剪力的正负号：使截面 绕其内侧任一点有顺时 针转趋势的剪力为正， 如图 a 所示；反之则 为负，如图b所示。 弯矩的正负号：使受弯 杆件下侧纤维受拉为正， 如图c) 所示；使受弯 杆件上侧纤维受拉为负， 如图d) 所示。或者使 受弯杆件向下凸时为正， 反之为负。
n
FQ F
FQ m
剪切面
切应力
n F
FQ A
剪切胡克定律
切应力 与切应变 成正比： G
G — 材料的剪切弹性模量，单位为Pa。
挤压的概念
挤压：接触面上相互压紧，这种现象称为挤 压。
F
F
Fbs 挤压应力： bs Abs
Abs: 挤压面面积；
Fbs: 挤压力
第八章 梁弯曲时内力和 应力
弯曲时的内力 剪力和弯矩
一、剪力和弯矩 梁AB作用有外力F1、 F2如图，支座反力FRA、 FRB可由平衡条件求得， 现用截面法计算任一截面 m–m上的内力，考虑左侧 部分平衡有： 剪力FQm：
n i 1
Fiy 0
i 1
n
FQm FRA F1
M m FRAb F1 (b a)
解： 1） 计算外力偶矩
PA M A 9550 n 1168N m
同理
M B 468N m
M C M D 350N m
2）绘制扭矩图 用截面法求 1-1截面的扭矩
1 2 3
T1 M B 468N m
2-2截面的扭矩
B
1
2 700Nm
3 350Nm
工程力学Ⅰ
复习课 第二篇 弹性静力学 （杆件的基本变形）
目录
第五章 第六章 第七张 第八章 第九章
轴向拉伸和压缩 剪切和挤压 扭转 梁弯曲时内力和应力 梁的弯曲变形
四种基本变形：轴向拉伸（压缩）、剪切、 扭转与弯曲。
（a）轴向拉压
（b）剪切
（c）扭转
（d）弯曲
第五章 轴向拉伸和压缩
6
1GPa 109 Pa
例4-2 一阶梯杆如图所示，AB段横截面面积为： A1=100mm2，BC段横截面面积为A2=180mm2，试求： 各段杆横截面上的正应力。 解（1） 计算各段内 轴力，并绘制轴力图 AB段 BC段
1 2
FN1 8kN FN 2 15kN
1
2
（2）确定应力 压力 AB段
例7-1 如图所示简支梁，求C、D截面的弯曲内力。
解：1）支座反力
取整体为研究对象， 由平衡方程得：
M A (Fi ) 0
i 1
n
4FRB 4 10 2 101)kN m 0 （
FRB 6.5kN
Fiy 0
i 1
n
FRA FRB 10kN 10kN 0 FRA 13.5kN
5
（3）计算各段杆的线应变
l1 4 1 2.5 10 l1 l2 4 2 1.67 10 l2 l3 4 3 3.33 10 l3
1
2
3
1
2
3
轴向拉伸和压缩的强度计算
构件的最大工作应力必须小于材料的许用应力，即：
max
FN max [ ] A
A C D
T2 M B M A
468Nm
468 1168 700 N m T3 M C 350N m 3-3截面的扭矩
绘出的扭矩图如图所示。显然AC段扭矩最大， 由于是等截面圆轴，故危险截面在AC段内。
3） 强度校核
max
T 700 16 P 3 9 a WP 45 10
例4-1 直杆受外力作用如图，求此杆各段的轴力， 1 2 3 并作轴力图。 解（1）AB段
Fix 0
（2）AC段
n
1
2
3
FN1 6kN
i 1
FN 2 10kN 6kN （压） FN 2 4kN
（3）CD段
FN3 4kN
绘制轴力图：
拉压杆的应力
应力：受力物体截面上内力的集度，即单位面积上 的内力 。
FN1 1 80MPa A1
FN 2 BC段 2 83.3MPa A2
拉压杆的变形
纵向线应变 l l 1l l l
泊松比 横向变形系数
横向应变： b b1 b b b
胡克定律
FN l l EA
胡克定律： E
A
BO
BO
M
M
扭矩和扭矩图
一、扭矩（T） 取左分析：
M ix 0
i 1
n
T M 0
左
得
T M
右
同理取右段分析可得：
T M
二、符号规定
右手螺旋法则：用右手四指表示扭矩的转向，若拇 指的指向离开截面时，规定扭矩为正，如图a所示； 若拇指指向截面时，则扭矩为负，如图b所示。
杆件受轴向拉伸或 压缩时的强度条件
三强 类度 问计 题算
强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
FN max A [ ]
F A [ ]
例4-4 如图所示一结构由钢杆1和铜杆2在A、B、 C处铰接而成，在节点A点悬挂一个G=40kN的重物。 钢杆AB的横截面面积为A1=150mm2，铜杆的横截面 面积为A2=300mm2。材料的许用应力分别为[1]=160 MPa，[2]=98MPa，试校核此结构的强度。 解： 1）求各杆 的轴力： 取节点 A为研究对 象, 作出其 受力图
F
F
M
h Abs l 2
例5-2 如图示的起重机吊钩， 用销钉联接。已知吊钩的钢板厚度 t = 24mm，吊起时所能承受的最大 载荷F=100kN，销钉材料的许用切 应力[ ]= 60MPa，许用挤压应力 [bs]=180MPa，试设计销钉直径。 解：1）取销钉为研究对象，画受 力图。
用截面 法求剪力
F FQ 2
2）按照剪切的强度条件设计销钉直径
FQ 50103 2 m 8.3310 4 m 2 A [ ] 60106 2 d 圆截面销钉的面积为 A 4 4A d
4 8.3310 m 3.14 32.6 mm
4
3）设销钉的挤压应力各处均相同，按挤压的强度 条件设计销钉直径 挤压力
轴向拉伸和压缩
杆的受力特点：外力（或外力的合力）的作用线与 杆件的轴线重合。 变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。
轴力图
轴力：因轴向拉压引起的内力也与杆的轴线 一致，称为轴向内力，简称轴力。 方向约定：拉伸引起的轴力为正值，方向背 离横截面；压缩引起的轴力为负值，指向向 着横截面。 截面法：1.确定研究对象（截面）；2.画受 力图；3.列平衡方程；4.求轴力；5.画轴力图。
0.8kNm
1.0kNm
2）强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不 同，故要分别进行强度校核。
T 0.8 103 63.7a [ ] AB段： max WP (40103 ) 3 16 d 45 0.818 CD段：轴的内外径之比 D 55 3 T 110 max Pa WP 3 3 4 (5510 ) (1 0.818 ) 16 55.5MPa [ ]
38.4ΜΡa [ ] 40ΜΡa
轴满足 强度条件
4） 刚度校核
Tmax 180 700 32 180 0 max （ / m） 9 4 12 GIp 8010 45 10
1.23
m
[ ] 1.5