第一章 质点运动学54
大学物理学运动学
k
j i
第一章 质点运动学
矢积的坐标分量式
A B ( Axi Ay j Azk )(Bxi By j Bzk )
( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
矢量叉乘可以写成行列式
位移：
o
A
rA
s
r
rB
t 时间内，位矢的变化量（即
A到B的有向线段），用
r
x
表示。
r rB rA AB
位移是矢量
路程：t时间内质点通过的路程是AB弧的长度 s
s AB弧长 路程是标量
注意
r s
B y
第一章 质点运动学
在直角坐标系中
正交分解
平面矢量的分解
第一章 质点运动学
A Axi Ay j Acosi Asinj
y
Ay
A
A 的大小 A 的方向
A Ax2 Ay2
tan Ay
o
Ax x
Ax
空间矢量的分解
z
c
A op oc oa ob oc
Axi Ay j Azk A 的大小
2
（2） r
2 2i 19 2 22 j 4i 11 j
v
dt r2
2i
4t
j
dt
v
2i
8
j
m/s
t2
大学物理第1章质点运动学
大学物理第1章质点运动学质点运动学是物理学中研究物体运动的学科，它是物理学的一个重要分支，是学习物理的基础之一。
一、质点运动学的概念质点运动学是研究质点运动的学科，它把物体看作质点，即把物体看成一个点，而不考虑其体积大小。
质点运动学的主要研究内容包括：位置、速度、加速度等运动量的描述，以及运动的曲线形状、动量、能量等方面的分析。
二、质点的运动质点的运动可以分为匀速运动和非匀速运动两种情况。
1.匀速运动匀速运动是指质点在单位时间内沿着同一直线等距离地移动的运动。
匀速运动的速度大小是恒定的，可以用速度公式v=d/t来计算。
2.非匀速运动非匀速运动是指质点在单位时间内沿任意曲线路径移动的运动。
非匀速运动中质点的速度大小是变化的，需要用微积分的方法进行分析和计算。
三、质点运动中的基本物理量在质点运动中，需要描述质点的运动状态和变化情况。
主要的量包括：1.位置位置是指质点在空间中所处的位置，通常使用坐标表示。
我们可以通过坐标系建立一个参照系，来描述质点的位置。
2.位移位移是指质点从一个位置到另一个位置的距离和方向，通常用符号Δr表示。
位移的大小可以用位移公式Δr=r2-r1来计算。
3.速度速度是指质点在单位时间内所改变的位置，通常用符号v 表示。
速度的大小可以用速度公式v=Δr/Δt来计算。
4.加速度加速度是指质点在单位时间内速度所改变的量，通常用符号a表示。
加速度的大小可以用加速度公式a=Δv/Δt来计算。
四、质点的曲线运动在质点运动中，一些运动路径可能是曲线运动。
曲线运动的路径通常可以用弧长s、曲率半径r、圆心角等来表征。
1.弧长弧长是指质点在曲线路径上所走过的曲线长度，通常用符号s表示。
弧长的大小可以用弧长公式s=rθ来计算。
2.曲率半径曲率半径是指曲线在任一点上的曲率半径，通常用符号r 表示。
曲率半径可以根据曲线的形状计算得出。
3.圆心角圆心角是指质点所在的路径所对应的圆所对应的圆心角度数，通常用符号θ表示。
第1章 质点运动学
100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z
大学物理第1章质点运动学
则有
ax 2 R cost;
a y 2 R sint
加速度的大小
2 2 2 2 2 2 a ax a2 ( R cos t ) ( R sin t ) R y
根据矢量的点积运算，分别计算
v r [(R sint )i (R cost ) j ] [(R cost )i ( R sint ) j ] 0 2 2 v a [(R sint )i (R cost ) j ] [( R cost )i ( R sint ) j ] 0
大学物理
第一章 质点运动学
1.1 运动学的一些基本概念 1.1.1、参考系(reference frame)和坐标系(coordinate) 参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。 （运动描述的相对性） 坐标系：直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等. 说明 在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然 1.1.2、时间和空间的计量 1、时间及其计量 时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的 标准单位是秒。1967年定义秒为铯—133原子基态的两个超精细 能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙 年龄1018s(约200亿年）到微观粒子的最短寿命 10-24s.极限的时 间间隔为普朗克时间10-43s,小于此时间，现有的时间概念就不适 用了。
运动学中的两类问题
1、已知质点的运动学方程求质点的速度、加速度等问
题常称为运动学第一类问题．
r r (t )
微分
v, a
2、由加速度和初始条件求速度方程和运动方程的问题称 为运动学的第二类问题．
a , v0 , r0
大学物理各章主要知识点总结
2 转动定律
M I 转动定律内容
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
其中：M 是定合义外式力矩M ， 相 当r 于 平F 动问题中的合外力
I 是转动惯量，相当于平动问题中的质量
是角加速度，相当于平动问题中的加速度
3 转动定律的两种积分
力矩的空间累积效应
. 力的空间累积效应
r2
F
dr
r1
功、动能、动能定理、势能、机械能、
功能原理、机械能守恒定律
1 动力学问题的解题步骤： (1)确定研究对象 (2)确定参考系（默认大地，可不写） (3)建立坐标系 (4)分析物体的运动或者受力情况 (5)列方程
2 主要方程：
动量守恒定律；机械能守恒定律；动量定理； 动能定理；牛顿第二定律
4 温度与平均平动动能的关系： w 3 k T 2
5 分子自由度
单原子分子 i=3 双原子分子 i=5 多原子分子 i=6
6 速率分布律的定义式和物理意义
⑴ 定义式： dN f (v)dv N
⑵ 物理意义：表示速率在v附近,“dv速率区间” 内的分子数占总分子数的百分比为d N 。
N
7 速率分布函数的定义式和物理意义
n 是分子数密度 注意摩尔质量的单位，以及气体摩尔质量的数值
2 理想气体的内能公式
★ 一定量理想气体的内能为
Ei RT M i RT
2
Mmol 2
说明：内能只与温度有关
★ 若温度改变，内能改变量为
EiRT M iRT
2
Mmol 2
说明：内能变化只与温度变化有关
3 理想气体压强公式
p 2 nw 3
DdSQ0
大学物理第一章
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
标量形式 x x(t), y y(t), z z(t)
t 从上式消去参数 得轨迹方程 f ( x, y, z) 0
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1-2 位置矢量 位移
第一章 质点运动学
例如 质点的运动方程为
r R costi R sintj
速度的方向余弦 cos 0, cos 15 , cos 10t
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1-3 速度 加速度
第一章 质点运动学
（2）当t=1s时， 18.03m s-1
cos 0, cos 0.832, cos 0.555
即 90 , 33 42', 56
再求加速度矢量。由定义得 a 10k
质点是实际物体的一个理想模型，后面我们还会建立刚体、 理想气体、点电荷等理想模型，建立理想模型的方法在处理 实际问题中是很有意义的.
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1-2 位置矢量 位移
第一章 质点运动学
一、位置矢量和运动方程
1 位置矢量
在物理学中用一个有向线段来表示质点的位置. 这个有向线段
的长度为质点到原点的距离，方向规定为由坐标原点指向质点 所在位置P点，称为质点的位置矢量，简称位矢，记做r
解 由加速度的定义式 a d 恒量
dt
d a dt
a d t at C1
设当t=0时， 0 ，代入上式可得 C1 0
因此 0 at
由速度的定义式得
0
at
dx dt
d x (0 at) d t
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1-4 直线运动
第一章 质点运动学
积分可得 x (0 at) d t 0 d t at d t
第01章质点运动学共45页
dxdv
dt
vdva(x)dt
d v dt a(v)
例1-1 已知某质点的运动方程为： r v [ ( 2 t 2 1 ) i v ( 2 t 3 ) v j ] ( m ) ( t 0 )
求：（1）轨道方程； （2）t=0（s）至 t=2（s）内的平均速度； （3）t=0（ s ）和 t=2（s）时的瞬时速度； （4）t=0（s）至 t =2（s）内的平均加速度; （5）t=0（s）和 t=2（s）时的瞬时加速度。
dx kx dt
x dx t
kdt
x x0
0
dx kdt x ln x kt
x0
x x0ektv=-kx源自ektak2x0ektvv(t) vv(x) a a ( t) ;a a ( x ) ;a a ( v )
adv a(x) dt
a dv a(v) dt
dvdxa(x) dvva(x)
y y(t) z z(t)
消 去 tGF((xx,,
y,z) y,z)
0 0
5．位移 (displacement)
u p u p u r r v (t t) r v (t) r v
P • s
位移矢量反映了物体运动中位置 ( 距离与方位 ) 的变化。
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向）
1. 平均速度
v vΔrvrv(tt)rv(t)
t
t
2. 瞬时速度
v vlimrv(t t)rv(t)drv
t 0
t
dt
讨论
(1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。
(2) 注意速度与速率的区别
vv d rv dt
vvvdrvds dr dt dt dt
大学物理科学出版社第四版第一章质点运动学
第一章 质点运动学一、 基本要求1．掌握位矢、位移、速度、加速度，角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。
2． 能借助于直角坐标计算质点在平面内运动时的速度、加速度。
3．能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向加速度和法向加速度。
4．理解伽利略坐标，速度变换。
二、 基本内容1．位置矢量（位矢）位置矢量表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段r 表示。
r 的端点表示任意时刻质点的空间位置。
r同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。
位矢是描述质点运动状态的物理量之一。
注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即()t r r=；（2）相对性：用r描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r 可以是不相同的。
它表示了r的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量性：r为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。
在直角坐标系Oxyz 中k z j y i x r++= 222z y x r r ++==r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos质点运动时， ()t r r= （运动方程矢量式）()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x （运动方程标量式）。
２．位移()(),j y i x t r t t r r ∆+∆=-∆+=∆ r∆的模()()22y x r ∆+∆=∆ 。
注意：（１）r∆与r ∆：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。
（２）r∆与s ∆：s ∆表示t —t t ∆+时间内质点通过的路程，是标量，只有质点沿直线运动时两者大小相同或0→∆t 时，s r ∆=∆。
3. 速度dtrd v =是描述位置矢量随时间的变化。
在直角坐标系中k v j v i v k dtdz j dt dy i dt dx dt r d v z y x++=++==222222z y x v v v dt dz dt dy dt dx v v ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==v的方向：在直线运动中，v>0表示沿坐标轴正向运动，v <0表示沿坐标轴负向运动。
第1章 质点运动学共48页文档
(2) 位矢法 以O点为参考点
r
x(
t
)i
y(
t
)j
R
cos
t
i
R
sin
t
j
(3) 自然法
以O’点为参考点，逆时为正。
S R t
第一章 质点运动学
7
§1-2 质点的位移、速度和加速度
一、位移 描述质点位置变化的物理量
S
几何描述： 数学描述：
PrQ
r(
t
t
)
r(
t
)
r( t ) r( t t )
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
微分法 r a 积分法
微分法
积分法
ar ra
第一类问题（微分法） 第二类问题（积分法）
第一章 质点运动学
14
例：直杆AB两端可以分别在两固定而 相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆 的倾角按φ=ωt 随时间变化，试求杆 上M点的运动规律。（运动方程、轨 迹、速度、加速度）
直角坐标系
j
i
k
i jk
分别是x、y、z方 向的单位矢量
在直角坐标系中可写成：
r xi yj zk
a
x i y axi ay
j
z
k
j azk
(A)
大小
2 x
2 y
2 z
a
ax2
a
2 y
az2
第一章 质点运动学
12
由基本关系式
有：
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
a
dx
b
2
sin
t
大学物理第1章 质点运动学习题解答
第1章 质点运动学习题解答1-9 质点运动学方程为k j e i e r t t ˆ2ˆˆ22++=- .⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。
解：⑴由运动学方程可知：1,2,,22====-xy z e y e x t t ，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。
⑵j e e i e e r r r ˆ)(ˆ)()1()1(2222---+-=--=∆j i ˆ2537.7ˆ2537.7+-=。
所以，位移大小：︒==∆∆=︒==∆∆=︒=-=∆∆==+-=∆+∆=∆900arccos ||arccos z 45)22arccos(||arccos y 135)22arccos(||arccos x ,22537.72537.7)2537.7()()(||2222r zr y r x y x rγβα轴夹角与轴夹角与轴夹角与1-10 ⑴k t j t R i t R r ˆ2ˆsin ˆcos ++= ，R 为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。
⑵kt j t i t r ˆ6ˆ5.4ˆ332+-= ，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。
解：⑴kj t R i t R dt r d v ˆ2ˆcos ˆsin /++-== jR a k i R v iR a k j R v j t R i t R dt v d a t t t t ˆ|,ˆ2ˆ|,ˆ|,ˆ2ˆ|.ˆsin ˆcos /2/2/00-=+-=-=+=∴--======ππ ⑵kt j dt v d a k t j t i dt r d v ˆ36ˆ9/,ˆ18ˆ9ˆ3/2+-==+-== ； kj a k j i v j a i v t t t t ˆ36ˆ9|,ˆ18ˆ9ˆ3|,ˆ9|,ˆ3|1100+-=+-=-======1-12质点直线运动的运动学方程为x=acost,a 为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）解：t a dt dv a t a dt dx v t a x x x x cos /,sin /,cos -==-=== 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：a a a a v a a x a x x ≤≤-≤≤-≤≤-,,1-13图中a 、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）解：质点直线运动的速度 dt dx v /=，在x-t 图像中为曲线斜率。
第1章 质点运动学优秀课件
时间 ：1秒（1s）
1967年以前，规定地球自转的平均太阳日（24小 时）的1/86400；
1967年13th 计量大会，1s＝Ce133原子基态的两个 超精细能级之间跃迁辐射周期的 9 192 631 700 倍的 持续时间，（即铯钟）。
质量 ：1千克（1kg）
1901年3rd 计量大会规定，巴黎度量局保存的国际 “千克器”的质量＝1kg；
1967年，13th 计量大会规定了“原子质量单位”： 1u ＝ 碳的同位素C12原子质量的1/12为一个原子质 量单位，即1.66056510-27kg。1kg随之定义
二、质点运动的描述
对象的描述
参考系
描述方式
质点：无形状、大小，具有一定质量 ｍ 并在空间占有
某一位置的点。是实际物体的一个理想模型（物体大 小比问题涉及距离小的多，考虑物体整体移动，不考 虑其转动和形状的变化）。
显然，1）任何一个物理量都必须有确定的量纲 2）只有量纲相同的物理量才能进行比较，或加减操作 3）任何物理方程，左右两边的量纲也必须相同
物理量的可测性
物理上，采用操作定义来确定其测量值，力学3个 基本单位的定义： 长度：1米 / 1m 时间：1秒 / 1s 质量：1千克 / 1kg 其他：位置：定义空间参考点后,
质点问题 变速运动
矢量性：运动学、动力学
物理量（ r
v
a
F ）的规律
瞬时性：变力问题，微积分
相对性：惯性、非惯性系 质点系问题 质心运动定律
Ft mv2 mv1
合外力为零时，系统动量守恒
质 (碰撞心的)
动量及动量守恒定律 角动量定理及角动量守恒定律
➢ 动能定理和机械能守恒定律 转 动能定理及机械能守恒定律
大学物理第1章 质点运动学
图1-12 变速圆周运动的加速度
1.3.3 圆周运动的角量描述
质点做圆周运动时，除了线量，还 可以用角量来描述其运动。 角量有角位置、角位移、角速度、 角加速度等。
图1-13 角位置和角位移
图1-14 角位移矢量
质点做匀速或匀变速圆周运动时的 角速度、角位移与角加速度的关系式为
2 0 0 t t / 2 2 2 0 2 ( 0 )
图1-1 公转的地球可以当作质点
但是，当研究地球自转时，由于地 球上各点的速度相差很大，因此，地球 自身的大小和形状不能忽略，此时，地 球不能作为质点处理，如图1-2所示。
但可把地球无限分割为极小的质元， 每个质元都可视为质点，地球的自转就成 为无限个质点（即质点系）运动的总和。
做平动的物体，不论大小、形状如 何，其体内任一点的位移、速度和加速 度都相同，可以用其质心这个点的运动 来概括，即物体的平动可视为质点的运 动。 所以，物体是否被视为质点，完全 取决于所研究问题的性质。
图1-4 位移
1.2.3 速度
v t 时间内的位移为 r ， 若质点在 v 则定义 r 与 t 的比值为质点在这段时
间内的平均速度，写为
v v Dr v= Dt
其分量形式为
v v r x v y v z v v= = i+ j+ k t t t t
图1-5 速度推导用图
图1-3 位矢
1.2.2 位移
设在直角坐标系中，A，B为质点运动轨迹 上任意两点。t1时刻，质点位于A点，t2时刻，质 点位于B点，则在时间 t = t2 - t1 内，质点位矢的 长度和方向都发生了变化，质点位置的变化可用 uuu v uuu v 从A到B的有向线段 AB 来表示，有向线段 AB 称 为在 D t 时间内质点的位移矢量，简称位移。
大学物理学(上册)第1章 质点运动学
须在参考系上固连某种坐标系,这样,物体在某时刻的位置
即可用一组坐标表示.可见坐标系不仅在性质上具有参考系
的作用,而且还具有数学抽象作用.最常用的坐标系有:直角
坐标、球坐标、极坐标、柱坐标、自然坐标等.对物体运动
的描述决定于参考系而不是坐标系.
y
A
K
y
O
x
z
z
x 直角坐标系
K
r θ
A
O
x
极坐标系
O
y
o法向 sz
r x22 y22 z22 x12 y12 z12
讨论 （1）位移与位置矢量
位移表示某段时间内质点位置的变 化,是个过程量;位置矢量表示某个时
y
s' s p1 r
p2
刻质点的位置,是个状态量. （2）位移与路程
r(t1) r (t2 )
P1P2 两点间的路程 s是不唯一的,可 O
2）轨道方程表示为 x2 y2 r 2
1.2.2 位移与路程
y
A r B
rA
rB
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
1.位移 经过时间间隔 t 后,质点位置矢量发生变化,由始
点A指向终点B 的有向线段AB称为点A到B 的位移矢量 r.位
因为 v(t) v(t dt)
所以 dv 0 dt
而 a a 0 所以
v(t)
O
dv
v(t dt)
a dv dt
例 设质点的运动方程为
r t xti y t j
第1章：质点运动学
dr C） dt
dr B） dt
dx dy D） ( ) ( ) dt dt
2 2
1.3
1.3.1
加速度
加速度
v 平均加速度：a t a 与 v 同方向。
瞬时加速度：
y
A
O
vA
B
vB
v dv a lim t 0 t dt 2 d r 2 dt
x
vA
v
解：(1)由运动方程消去 时间 t 得质点轨迹方程：
R
x y R
2 2
2
质点的运动轨迹是一 个半径为 R 的园。
O r2
a r t r1
v
p1 x
r
p2
r xi yj R costi R sin tj dr v R sin ti R cos tj dt
ds 2 v 10t 0.3t dt dv 10 0.6t 切向加速度大小为 a dt
v (10t 0.3t ) 法向加速度大小 an R 300
2
2 2
总加速度矢量为
(10t 0.3t 2 ) 2 a (10 0.6t ) n 300 当t =1.0s 时 a 9.4 0.314 n
s vav t
无限短时间段中的平均速率可以定义为 质点在该时刻 t 的瞬时速率：
s ds v(t ) lim t 0 t dt
r d r 瞬时速度： v (t ) lim t 0 t dt d ( xi yj zk ) v (t ) dt dx dy dz i j k dt dt dt
dv v a a a dt
大学物理：第01章 质点运动学
第一章 质点运动学运动学：描述物体在空间的位置随时间变化的规律。
§1-1 质点 参照系 坐标系 §1-2 描述质点运动的物理量 §1-3 自然坐标系下的速度和加速度 圆周运动 §1-4 相对运动1.质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量 的点.质点是一种理想的模型. 复杂物体可看成质点的组合.2．参照系研究物体运动状态时选作参照的物体。
对物体运动的描述与参照系有关.3．坐标系为标定物体空间位置而设置的坐标系统.z直角坐标系：P（x, y, z）自然坐标系： 极坐标系： 球坐标系：P(x, y, z)Oy柱坐标系：x1．位置矢量z1.1 定义从坐标原点O指向质点位置P的有向线段.kγ1.2 位置矢量的直角坐标分量 Oiαrβjr = xi + yj + zk x大小：r = x2 + y2 + z 2方向：cosα=x r,cos β=y r, cos γ=z rP(x, y, z) y1.3 运动方程r = x(t)i + y(t) j + z(t)kx = x(t) y = y(t) z = z(t)消去t → F(x,y,z)=0G(x, y, z) = 0——轨道方程2．位移∆r = r′ − r = r (t + ∆t) − r (t)zP ∆s∆rP′rr′Oyx位移与路程：∆r ≠ ∆s3．速度3.1 速度 平均速度：zP ∆s∆rP′v = ∆r = r (t + ∆t) − r (t)rr′∆t∆t瞬时速度:Oylim v =∆r = dr∆t→0 ∆t dtx瞬时速度的大小：v = ds ——瞬时速率dt瞬时速度的方向:沿轨道切线方向3.2 速度的直角坐标分量r = r (t) = x(t)i + y(t) + z(t) jv=dr dt=dx i dt+dy dtj+dz dtk= vxi+ vyj+ vzk大小 : v =vx2+v2 y+vz2 方向 :cos α v=vx v, cos βv=vy v, cos γ a=vz v4．加速度4.1 加速度 平均加速度：zvPP′rr′v′a=∆v ∆t=v (t+∆t) ∆t−v (t )Oy瞬时加速度：xa=lim∆t →0∆v ∆t=dv dt=d 2r dt 2加速度与速度的方向一般不同.v ∆vv′4.2 加速度的直角坐标分量v = v(t) = vx (t)i + vy (t) j + vz (t)ka = dv = dvx i + dvy dt dt dtj + dvz k dt= axi + ay j + azk大小 : a = ax2 + ay2 + az2方向 :cosαa=ax a,cos βa=ay a,cosγ a=az a运动学的两类问题：1.已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度r = r (t ) v = drdta=dv dt=d 2r dt 22. 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及 初始条件求质点的运动方程a = a(t) v = ∫ adt + c1 r = ∫ vdt + c2其中 c1 和 c2 由初始条件：v t=0 = v0 r t=0 = r0确定。
第1章 质点运动学
第1章 质点运动学
1.1 质点运动的描述
一、几个基本概念
运动是绝对的，对运动的描述是相对的。
1. 参考系 为了描述物体的运动而被选作参考的 物体叫做参考系.
任何实物物体均可被选作参考系;场不能作为参考系。
2. 坐标系 为了定量的描述物体的运动，在选定的参考 系上建立的带有标尺的数学坐标,简称坐标系。 坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。
?
即：
v v lim lim ? t 0 t t 0 t
v
vB
A
v
v v dv dv dt dt
第1章 质点运动学
总结：
描述对象 位置
描述质点运动的基本物理量
物理量 位矢 定义
r , r (t )
中心
位置变化
位移
v v0
a (t )
，如何求解
即
dv a dt
t dv adt
t0
同理：
r
r0
t dr v dt
t0
积分上、 下限！
第1章 质点运动学 例: 质量为5kg可视为质点的物体从原点开始运动， 其加速度为 a (0.4 1.2t )i 1.6 j （设运动开始记时，t 为运动时间），求任意时刻质点的速度及运动方程。
rB
r
r r
第1章 质点运动学
讨论： 比较位移和路程
r AB
s AB
s
A
B
r
位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点 运动轨迹无关，只与始末点有关。 路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点 运动轨迹有关 直线（直进）运动 r s 何时取等号？ 曲线运动 t 0时, dr ds
大学物理上册第一章-质点运动的描述
z ox
x
式中 i、j 、k 分别为x、y、z z
方向的单位矢量.
位矢r的值为 r rv x2 y2 z2
1 – 1 质点运动的描述
r 位矢 的方向余弦
第一章质点运动学
y
cos x r
cos y r
r P
cos z r
o
r(t)
2
运动方程 x(t)i y(t
)
j
z
(t
)k
z
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程
是而不位移唯一r的是, 唯可一以的是.s或 s'
（B） 一般情况, 位移
大小不等于路程.
y
s
p1
'
rs
p2
r(t1)
r(t2 )
vr s
O
z
x
（C）什么情况 r s？
不改变方向的直线运动; 当 t 0 时 r s .
dt dt dt
dt
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
平均速率 v s t
瞬时速率 v ds
y r(t t)
B s r
讨论
dt
r (t)
A
o
x
一运动质点在某瞬时位于矢径 r(x, y) 的端点
处，其速度大小为
dr （A） dt
d r （C） dt
dr （B） dt
（D）
(dx)2 (dy)2 dt dt
（D）位移是矢量, 路程是标量.
1 – 1 质点运动的描述
第一章质点运动学
三 速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点
力学舒幼生第一章质点运动学
P
yj
r(t tx)i
O
x
加速度 a d d v td d2r 2 td dxv i td dyv tjr
15
例 空心入篮
抛射角 12
xvct o2s1 2g2tsin1
yvst in21 2g2tco1s
y0
t 2vsin2 g cos1
第一章 质点运动学
0
1.1 空间和时间
时间和空间的测量
绝对时空观 绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关，
始终保持着相似和不变。 绝对的、纯粹的数学的时间，就其本性来说，均匀地
流逝而与任何外在的情况无关。 牛顿——《自然哲学的数学原理》
时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系
参考系
参考物：选取的一个有固定大小和形状的物体。 相对参考物，可以确定其它物体的位置。
9
vv0a0(tt0)1 2b(tt0)2
再求 t 时刻的位置
微分关系式 dxvdt
两边积分 tt0 d x tt0 v dtt0[v t0 a 0 (t t0 ) 1 2 b (t t0 )2 ]d
x x 0 v 0 (t t0 ) 1 2 a 0 (t t0 )2 1 6 b (t t0 )3
a心 d d vtvddtR ddtR 2 a切dd/vt/Rd dt R
与速度垂直，改变速度方向
与速度平行，改变速度大小
18
无限小角位移矢量
ddk
r(tt)
d r(t)
⊙k
初、末态矢量与转动正方向满足右手螺旋法则
无限小角位移与有限角位移的区别？
19
有限角位移不是矢量
不满足矢量加法的交换律
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研究质点运动规律的科学称为质点运动学 研究质点运动规律的科学称为质点运动学
7
力学
第一章 质点运动学
(Kinematics of particles) )
§1.1 质点的运动函数
一,参照系与坐标系
被选作参照的物体称为参照系:地面参考系, 被选作参照的物体称为参照系:地面参考系,实验室参考系 量化后的参照系称为坐标系
r(t+t) r(t) O Y x
z x y
方向?
17
r r r r r v = 平均速度 当t → 0时, v ( t ) → v ( t ) t r r r r dr dx → dy → dz → 速度(时刻t) v = lim 速度 = = i+ j+ k t→ 0 t dt dt dt dt
位矢: 位矢
x = x0 + v0 xt + y = y0 + v0 yt + z = z + v t+ 0 0z a xt 2 2 1 a t2 2 y 1 a t 2 2 z
1
例:已知一个质点作直线运动,其加速度为:a=3t2已知一个质点作直线运动,其加速度为: 6t+2;在t=0的初始时刻,其位置在 的初始时刻, 在 的初始时刻 其位置在x=2处,速度为 处 速度为1 ).试求任意时刻质点运动的速度和位置 (SI).试求任意时刻质点运动的速度和位置. ).试求任意时刻质点运动的速度和位置.
力学
二,速度的方向
沿着轨道的切向, 沿着轨道的切向,且指向 前 进的一侧
三,速率
速率等于速度矢量的大小
18
例:有一质点沿x轴作直线运动,t时刻的坐标为x = 4.5 t2 – 2 t3 (SI) .试求: (1)第2秒内的平均速度; -0.5m/s (2)第2秒末的瞬时速度; -6m/s 2.25m (3)第2秒内的路程.
[
B
]
37
思考
a a O
a4 v a3
左图中分别是什么情形? 左图中分别是什么情形? a4情形是否存在? 情形是否存在?
24
力学
速度公式: 速度公式:
r r r r dv a = d v = a dt dt r v t r r r r r ∫ d v = ∫ a dt v = v 0 + a t
r v0 0
位矢公式: 位矢公式: r r r r r r dr v = d r = v dt = ( v 0 + a t ) dt dt r r t r r r r r r ∫ d r = ∫ ( v 0 + a t ) dt r = r0 + v 0 t +
22
力学
例,一质点在平面上运动,已知质点位置矢量的表示式为
v v v 2 2 r = at i + bt j (其中a,b为常量), 则该质点作
(B) 变速直线运动. (D)一般曲线运动.
(A) 匀速直线运动. (C) 抛物线运动.
[ B ]
23
§1.4 匀加速运动
思考:若加速度 为常矢量 如何求解运动方程? 为常矢量, 思考:若加速度a为常矢量,如何求解运动方程?
27
例,某物体的运动规律为d v / d t = kv 2 t ,式中的k为大于零的 常量.当 t = 0 时,初速为v0,则速度 v 与时间t的函数关系是 (A) v =
1 2 kt + v 0 2
(B) (D)
1 kt 2 1 (C) v = 2 + v 0
1 v = kt 2 + v 0 2
19
§ 1.3 加速度矢量
v(t+t) z
v r
v(t+t)
v(t)
一,定义:速度对时 定义: 间的变化率
r(t+t) v(t) r(t) O y x
z y x
r r v a = 平均加速度 t
r r 当t → 0时, a ( t ) → a ( t )
20
加速度(时刻t) 加速度 r r r v dv dv x → dv y → dv z → a = lim = = i+ j+ k t→ 0 t dt dt dt dt
13
r 位矢的大小: 位矢的大小:r = r = x2 + y2 + z2 位矢的方向余弦: cosα = x ;cos β = y ;cosγ = z r r r
(3)运动方程 运动方程
r r r r r r = r (t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k
x = x(t) 分量形式 : y = y(t) z = z(t)
dθ ω= = θ& dt
v t s R θ ω,α
θ
O
x
3.角加速度 angular acceleration) 角加速度 ( ) d ω && α= =θ dt
34
4. 线加速度(linear acceleration) 线加速度( ) r r r v = v et 切向单位矢量 r dv r d r a= (v et ) e (t + t ) = r t et dt dt r r r θ et (t ) et d et dv r r et + v = et (t + t ) θ dt dt r R t→ 0时, θ → 0 → 时 r r en O d et e t d θ r r r e t = θ e t = θ en = lim = d t t→0 t dt → r r r r 法向单位矢量 et ⊥et → et // en r v r r r = ω en = en v at → et = θ en R 2 r dv r v r a an et + en ∴ a= dt R O R r r = at et + an en 35
1 kt 2 1 = + v 2 v0
[ D]
28
§1.6 抛体运动
从地面上某点向空中抛出一物体,它在空中 从地面上某点向空中抛出一物体, 的运动就叫抛体运动. 的运动就叫抛体运动.
初速度为 υ0 与水平方向夹角为θ
v
y
υ0
o
θ
v
x
注意: 注意:运动的独立性和叠加性
29
力学
质点运动状态量是: 质点运动状态量是: 加速度分量式: 加速度分量式: a x = 0
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R2
例:质点沿半径为R的圆周作匀速率运动,每T秒转一 质点沿半径为R的圆周作匀速率运动, 2T时间间隔中 时间间隔中, 圈.在2T时间间隔中,其平均速度大小与平均速率大小分别 为 2π 2π (A) 2πR / T, R / T (B)0, R / T 0 0. (C) 0 , 0. (D)2πR / T,
P1
r en1
1
r et1
曲率圆2 曲率圆
ρ
ρ2 P r2 en2
O2
运动轨迹
r et2
O1
10 曲率圆1 曲率圆
力学
描写运动的四个物理量 1. 位置矢量 2. 位移矢量 3. 速度矢量 4 .加速度矢量 加速度矢量
11
力学
二,位置矢量
(1)定义
坐标原点指向质点p 坐标原点指向质点 的矢量来确定质点位置
ay = g
y
υ0
o
θ
v
x
速度分量式: 速度分量式: υ x = υ0 cos θ υ y = υ0 sin θ gt 位矢分量式: 位矢分量式: x = υ0 cos θ t
1 2 y = υ 0 sin θ t gt 2
30
§1.7 圆周运动
33
一. 描述圆周运动的物理量 1.线速度(linear velocity) 线速度( 线速度 ) d s Rdθ = Rω v= = dt dt 2.角速度 angular velocity) 角速度 ( )
质点位置随时间的变化关系
r 1 2r r xOy平面内的平抛运动 平面内的平抛运动, 如:对xOy平面内的平抛运动,质点的位矢 r = v0ti + gt j 2 x = v0t 其分量为 1 2 y = 2 gt
(4)轨迹与轨迹方程 轨迹与轨迹方程
14
质点运动时所经过的空间点的集合称为轨迹( 质点运动时所经过的空间点的集合称为轨迹(或 轨迹曲线) 轨迹曲线).
r r0 0
分量形式?
1
2
r 2 at
Hale Waihona Puke 分量形式速度: 速度:→ → → r v = vx i + vy j+ vz k → → → → → → r r v0 + a t = v0 x i + v0 y j + v0 z k + a xt i + a yt j + a zt k
v x = v0 x + a xt, v y = v0 y + a yt, v z = v0 z + a zt
dv at = — 切向加速度 d t (tangential acceleration)
at 是引起速度大小改变的加速度. 引起速度大小改变的加速度.
v an = R
2
— 法向加速度 (normal acceleration)
an =
υ
2 1
R1
an =
υ
2 2
an是引起速度方向改变的加速度. 引起速度方向改变的加速度.
大学物理学
(54学时) 主讲: 主讲:黄峰
广州大学物理与电子工程学院
2009年2月-2009年7月
力学
1
内容安排