最新-江苏南化一中高三数学一轮复习 27二次函数学案(一) 精品
二次函数复习教案.doc
二次函数基础知识复习课（教案）一、复习目标1、理解二次函数的概念；2、会把二次函数的一般式转化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象。
3、会用平移二次函数“启（心o）图象得到二次函数y =心_ /疔+ £的图象，了解特殊到一般相互联系和转化的思想。
4、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与X轴的交点坐标和函数的最值。
二、复习重难点：二次函数的图象和特征;二次函数图象及其性质的应用。
三、复习过程：（1）重温二次函数的定义，判断二次函数的方法，并且加以训练。
1、若y =(加—是二次函数，则m二。
2、对于任意实数m,是二次函数。
Ay二(m-1) 2x2B> y二(m+1) x2、Cy= (m2+l) x2D^ y= (m2-l) x2、3、下列函数中，哪些是二次函数？是二次函数，说出它的二次项系数、一次项系数和常数项(1 ) y = S 厂—39 1(2)------------------------------------------- y = — " + 3x函数y = a x 2+ b x c (其中a>b、C为常数)当3、b、C满足什么条件时，(1)它是二次函数；当。
工0时，是二次函数；(2)它是一次函数；当d = o；/?HO 时，是一次函数；(3)它是正比例函数；当° = 0；方工0；(? = 0时，是正比例函数(2)通过几何画板演示，再次总结归纳二次函数各类图象的性质特征。
分别说出特殊的二次函数①y=ax2(2工0)(2)y=ax2 +c (aHO,c 丰 0)③y二a(x-h)2(2工0)④y=a(x-h)2+k (aHO)图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的增减性及最值。
(3)通过几何画板体会和理解二次函数图象之间的平移，增进对图形的理解，加以训练。
(4) 训练二次函数一般式转化为顶点式，计算二次函数的对称 轴，顶点坐标，以及与坐标轴的交点坐标。
高考数学一轮复习 函数系列之二次函数学案
二次函数一、教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．二、教学重点：1．二次函数的图象与性质、二次函数、二次方程与二次不等式的关系是重点， 2．二次函数最值问题、一元二次方程根的分布及二次函数的图象性质灵活应用是难点。
三、教学过程： （一）主要知识：一）正比例函数，一次函数，反比例函数 1.正比例函数 )0(≠=k kx y2.一次函数 )0(≠+=k b kx y 其图象为一直线，0>k 时增函数，0<k 时减函数。
而0=k 时为常数函数。
3.反比例函数 )0(≠=k xky 定义域),0()0,(+∞⋃-∞，值域),0()0,(+∞⋃-∞，图象是双曲线，0>k 时在),0()0,(+∞-∞和上递减，0<k 时在),0()0,(+∞-∞和递增。
二）二次函数1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，其中a 是开口方向与大小，c 是Y 轴上的截距，而ab2-是对称轴。
(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。
求一个二次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称轴。
又如，已知f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，方程f(x)-x=0的两根为21,x x ，则可设f(x)-x=()()(),21x x x x a x x f --=-或()()()x x x x x a x f +--=21。
2．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴abx 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b -- （1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(a b --∞上单调递减，在),2[+∞-ab上单调递增，abx 2-=时，a b ac x f 44)(2min -= （2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]2,(a b --∞上单调递增，在),2[+∞-ab上单调递减，abx 2-=时，a b ac x f 44)(2max -= 3．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)( 4．二次函数与一元二次方程关系方程)0(02≠=++a c bx ax 的根为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)0=y 的x 的取值。
江苏南化一中高三数学二轮复习 1 函数学案
§1函数一、函数的定义、分段函数的定义和理解 二、函数的性质1．定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域、复合函数的定义域等）； 2．值域（求值域：分拆法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等）； 3．奇偶性（在整个定义域内考虑） （1）定义： （2）判断方法：Ⅰ.定义法——步骤：求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；求)(x f -； 比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系； Ⅱ.图象法（3）常用的结论①已知：)()()(x g x f x H =若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相同，则在公共定义域内)(x H 为偶函数； 若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相反，则在公共定义域内)(x H 为奇函数； ②若)(x f 是奇函数，且定义域∈0，则(0)0f =. 4．单调性（在定义域的某一个子集内考虑） （1）定义：（2）证明函数单调性的方法：Ⅰ.定义法 步骤：设2121,x x A x x <∈且；作差)()(21x f x f -（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。
Ⅱ.（多项式函数）用导数证明： 若)(x f 在某个区间A 内有导数，则()0f x ≥' ()x A ∈ ⇔)(x f 在A 内为增函数；()0f x ≤'()x A ∈ ⇔)(x f 在A 内为减函数.（3）求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法： d.复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数； 若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数。
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.． （4）一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
高三一轮复习《二次函数》.doc
高三一轮复习《二次函数》二次函数是高考的重点内容，主要考杳二次函数的图像和性质（最值及单调性）应用，特别是二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系及应用。
同时对数形结合、函数与方程等数学思想方法的考查也蕴含其中。
一、知识点1、二次函数解析式的三种形式（1 ）一般式： _______________ O （2）顶点式： _________________ O（3）两点式： __________________ :,2、二次函数的图像和性质①对称轴： ______________ O◎顶点坐标：____________ 0③单调性及值域：。
>0时开口 , /（兀）在_________ 上是减函数，在_________ 上是增函数，ye ____________ ；avO时开口 ___ , /（Q在______ 上是增函数，在 ______ 上是减函数，e _____________ o3、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系二次函数f（x） = ax2+ /0）的零点是相应一元二次方程ax? +bx + c = 0的____ ,也是一元二次不等式ax2 4-/?x + c >0 （或or，+/?兀+ c v 0 ）解集的_____ 。
4、二次函数在闭区间的最值：二次函数在闭区间上的必有最人值和最小值，它只能在区间的 _______ 或二次函数的 ______ 处収得。
5、一元二次方程根的讨论（即二次函数零点的分布）题型一、求二次函数的解析式例1、二次函数f(x)满足f(x+l)—f(x)=2x,且f(O)=l,则f(x)的解析式为( )A. f(x)=—X2—x— 1B. f(x)=—x2+x— 1C. f(x)=x2—x—1D. f(x)=x2—x+l2、已知二次函数/(X)满足：①f(3-x) = f(x),(2) f⑴=0,③对任意实数x, 于(兀)》丄一丄恒成立，求于(力的解析式4a 2题型二、二次函数的图像和性质例2、(1)函数f(x) = x2+mx+l的图像关于总线x = l对称的充要条件是_____________(2)、若函数f(x) = mx2 +x + 5在［-2,+8)上是增函数，则血的取值范围是_______(3)、设abc > 0 ,二次函数f(x) = ax2+bx + c(a^0)的图像可能是( )(4)、已知(为常数，函数y=x2-2x-t在区间［0,3］上的最大值为2,贝畀= ___________ 。
高考数学一轮复习学案二次函数
二次函数一、知识回顾：1、二次函数有以下三种解析式：一般式：__________________________________顶点式：___________________________________零点式：________________________其中21,x x 是方程02=++c bx ax 的根2、 研究二次函数的图像要抓住开口方向、顶点坐标，讨论二次函数的单调性和最值除抓住开口方向、顶点坐标外，还要抓住对称轴与所给区间的相对位置。
3、 二次函数与一元一次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化①)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图像与x 轴交点的横坐标是方程f(x)=0的实根；②当_______时，f(x)>0恒成立，当_______时，f(x)≤0恒成立。
结论成立的条件是x R ∈。
4、 利用二次函数的图像和性质，讨论一元二次方程实根的分布：设21,x x 是方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>的两个实根，写出下列各情况的充要条件①当m x m x ><21,时，_____________________________________________②当在),(n m 有且只有一个实根时，___________________________________③当在),(n m 内有两个不相等的实根时，_______________________________④当两根分别在),(n m ,),(q p 且Φ=⋂),(),(q p n m 时，________________二、基本训练：1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若))(()(2121x x x f x f ≠=，则)2(21x x f +等于（ ） （A ）a b 2- (B) a b - (C)C (D)ab ac 442- 2、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ）（A ）25)1(≥f (B) 25)1(=f (C) 25)1(≤f (D) 25)1(>f3、方程0122=++mx mx 有一根大于1，另一根小于1，则实根m 的取值范围是_______4、若c b a ,,成等比数列，则函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的公共点个数为_________5、函数[]b a x x a x y ,,3)2(2∈+++=的图像关于直线1=x 对称，则b=________ 三、例题分析：例1（1）设y x ,是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是 （ ）(A)449-(B)18 (C)8 (D)43 （2）若函数)3(log )(2+-=ax x x f a 在区间]2,(a -∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ） (A) (0,1) (B)(),1+∞ (C))32,1( (D))32,1()1,0(⋃（3）方程0422=+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿。
江苏省南化一中高三数学二轮复习 1、三角函数的图象与性质学案
§1.1 三角函数的图象与性质【高考热点】1. 三角函数的考查热点之一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性（对称轴、对称中心）、三角函数的图象变换（用向量语言表示）等。
2. 建议通过列表的方式归纳整理所有知识点，牢固掌握这些基本知识。
【课前预习】1． （04江苏）函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 2． （04.辽宁）若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． （04.辽宁）已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是 （ ）A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数4． （04.辽宁）若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ ）A ．3,1πϕω== B ．3,1πϕω-== C ．6,21πϕω== D ．6,21πϕω-== 5． （04全国理）函数2sin x y =的最小正周期是 A ．2π B ．π C ．π2 D ．π4 （ ） 6． (04天津)函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y )为增函数的区间是 （ ） A ．]3,0[π B ．]127,`12[ππ C ．]65,3[ππ D ．],65[ππ 【典型例题】 例1 已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。
（1） 求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合；（2） 证明：函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称。
（3） 用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象。
二次函数(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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针对训练 1．已知函数f(x)＝x2－kx＋1在2，5上具有单调性，则k的取值范围是( C ) A．[2,5] B．[4,10] C．(－∞，4]∪[10，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析 由题意，函数f(x)＝x2－kx＋1，可得对称轴的方程为x＝2k，要使得函数f(x) 在[2,5]上具有单调性，则2k≤2或2k≥5，解得k≤4或k≥10.
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5．已知函数的图象关于y轴对称，且与直线y＝x相切，则满足上述条件的二次
函数可以为f(x)＝ x2＋14(答案不唯一)
．
解析 因为二次函数f(x)的图象关于y轴对称，所以可设f(x)＝ax2＋c，由
y＝ax2＋c， y＝x，
得ax2－x＋c＝0，所以Δ＝1－4ac＝0，即ac＝14.
取a＝1，c＝14，则f(x)＝x2＋14(答案不唯一)．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
关键能力 互动探究
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命题点1 二次函数的解析式 例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确 定该二次函数的解析式．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
解 解法一(利用“一般式”解题)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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2．已知函数g(x)＝x2＋2ax＋2在区间[－5,5]上的最小值为－1，求实数a的值．
解 g(x)＝x2＋2ax＋2，其图象的对称轴为x＝－a，当－a≤－5，即a≥5时，g(x) 在区间[－5,5]上是增函数，所以g(x)min＝g(－5)＝－1，即(－5)2－10a＋2＝－1，解 得a＝154，又因为a≥5，所以a＝154不满足题意；
最新-江苏南化一中高三数学一轮复习 27二次函数学案
§2.7二次函数（习题课）【典型例题】例1 设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，Z k ∈，用k I 表示区间]12,12(+-k k ，已知0I x ∈时，2)(x x f =。
（1）求)(x f 在k I 上的解析式；（2）对*k N ∈，求集合|{a M k =方程ax x f =)(在k I 上有两个不相等的实根}。
例2 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(和一次函数bx x g -=)(，其中c b a ,,满足c b a >>，0=++c b a ，),,(R c b a ∈．（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A 、B ；（2）求线段AB 在x 轴上的射影11B A 长的范围。
例3已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，试比较a 、b 、c 、d 的大小。
集合{}2(,)|2A x y yx m x ==++，{}(,)|10,[0,2]B x y x y x =-+=∈，若，求实数m 的范围。
【本课小结】【课后作业】 1．已知二次函数bx ax x f +=2)(（b a ,为常数，且0≠a ）满足条件)3()5(-=+-x f x f ，且方程x x f =)(有等根。
求)(x f 的解析式；是否存在实数n m ,（n m <），使)(x f 的定义域和值域分别为],[n m 和]3,3[n m ，如果存在，求出n m ,；如不存在，说明理由。
2．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(（c b a ,,均为实数），满足0)1(=-f ，对于 任意实数x 都有0)(≥-x x f ，并且当)2,0(∈x ，有2)21()(+≤x x f 。
求)1(f 的值；证明：0,0>>c a ；当]1,1[-∈x 时，函数mx x f x g -=)()(（m 为实数）是单调的，求证：0≤m 或1≥m .。
江苏南化一中高三数学一轮教案轨迹(二)
§8.6轨迹（二）【复习目标】掌握求轨迹方程的另几种方法——坐标转移法（又称代入法）、（点）参数法（含交轨法）； 学会选用适当的参数去表示动点的轨迹（即动点的坐标与参数的函数关系）。
【课前预习】设点P 是F 1、F 2为焦点的双曲线191622=-y x 上的动点，则⊿F 1PF 2的重心轨迹方程是 。
抛物线y 2= 4x 关于直线：y=x+2对称的曲线方程是_____ _____ . 抛物线y 2 = 2x 上各点与焦点连线中点的轨迹方程是 。
过椭圆12222=+b y a x 上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 的中点的轨迹方程是 .【典型例题】例1 过点P 1（1，5）任作一直线l 交x 轴于点A ，过点P 2 （2，7）作l 的垂线m, 交y 轴于点B ，点M 分有向线段所成的比AM:MB=2:1，求点M 的轨迹方程.例2 P 、Q 分别是∠AOB 两边上的两个动点，若∠AOB=3π，△POQ 的面积等于8，试求以O为原点，∠AOB 的平分线所在直线为x 轴，建立直角坐标系，动点M 满足12P M P Q =，求点M 的轨迹方程.例3 自抛物线y 2 = 2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线,垂足为Q ，F 为焦点，OP 与FQ 相交于点R ，求点R 的轨迹方程.【巩固练习】抛物线y 2=4x 的经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 （ ）A ．y 2=x －1B ．y 2=2(x －1)C ．y 2=x －21D ．y 2=2x －1过A （-1，0）作两条互相垂直的直线分别交l 1 ：x= 1和l 2 ：x= -2于P 、Q 两点，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是 。
【本课小结】【课后作业】直线l 过定点A （1，1），与两坐标轴交于M 、N 两点，当l 绕A 旋转时，求MN 中点的轨迹方程。
点Q 为双曲线x 2－4y 2=16上任意一点，定点A （0，4），求内分AQ 所成比为21的点P 的轨迹方程。
江苏南化一中高三数学一轮复习 2.7二次函数学案(一)
§2.7二次函数（一）【复习目标】掌握求二次函数解析式的几种常用方法①一般式、②两根式、③顶点式，并能在具体问题的解决中灵活转化；熟练掌握二次函数的图象和性质，通常抓住①对称性、②增减性、③最值三方面.【重点难点】熟练掌握二次函数的图象和性质【课前预习】1．函数y=x 2+bx+c(x≥0)是单调函数的充要条件是( )A.b≥ 0B.b ≤ 0C. b ＞0D. b ＜02．若函数()f x =x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t ),则( )A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)3．关于x 的不等式- mx 2-8mx- 21>0的解为：－7<x<－1则m 的值为( )A.1B.2C. 3D. 44．二次函数()f x 的顶点为(4,0)且过点(0,2)，则f(x)= 。
5．两个不同函数()f x =x 2+ax+1和g(x)=x 2+x+a (a 为常数)定义域都为R ，若()f x 与g(x)的值域相同，则a= .6．函数()f x =2x 2－mx+3当x∈(－∞,－1)时是减函数，当x∈(－1,＋∞)时是增函数，则f(2)= .7．实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件是 ，有两正根的充要条件是 ；有两负根的充要条件是 .【典型例题】例1 已知二次函数()f x 满足条件(2)()f x f x +=-且max ()f x =15,又()0f x =两根立方和等于17，求()f x 的解析式。
例2 已知f(x)=x 2+3x －5, x∈［t,t+1 ］,若f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式。
例3 已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1)若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围；若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围。
(江苏版)高考数学一轮复习 专题2.7 二次函数(讲)-江苏版高三全册数学试题
专题 2.7 二次函数【考纲解读】内容要求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ二次函数√1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 函数f (x )＝－x 2－6x ＋8，当x ＝ ________时，函数取得最大值为________．【解析】f (x )＝－x 2－6x ＋8＝－(x ＋3)2＋17，当x ＝－3时函数取得最大值17 2．[教材改编] 若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[－1，2]上是单调函数，则实数k 的取值X 围是________．3．[教材改编] 已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，2)，则函数f (x )＝________． 【解析】设f (x )＝x α，则2＝2α，所以α＝12，故函数f (x )＝x 12.题组二 常错题4．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是________．图271【解析】当a >0时，由abc >0知b ，c 同号，对应的图像应为③或④，在③④两图中有c <0，故b <0，因此得－b2a>0，④符合，同理可判断当a ＜0时，①②都不符合题意．5．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)的值为____________．(填“正数”“负数”或“非负数”)【解析】∵f (x )＝x 2－x ＋a 图像的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，则f (0)>0，而f (m )＜0，∴m ∈(0，1)，∴m －1＜0，∴f (m －1)>0.6．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值X 围是________________． 【解析】m ＝0时，函数在给定区间上是增函数；m ≠0时，函数是二次函数，其图像的对称轴x ＝－12m ≤－2，由题意知m >0，所以0<m ≤14.综上，0≤m ≤14.7．当x ∈()0，1时，函数y ＝x p的图像在直线y ＝x 的上方，则p 的取值X 围是________．题组三 常考题8. f (x )＝（2－x ）（x ＋4）(－4≤x ≤2)的最大值为________． 【解析】f (x )＝（2－x ）（x ＋4）＝－x 2－2x ＋8＝ －（x ＋1）2＋9，当x ＝－1时，f (x )有最大值3.9． 设函数f (x )＝则满足f (a )＝2的a 是________．【解析】依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a 2－a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3a －1＝2，解得a ＝2. 【知识清单】1 二次函数解析式的求法二次函数有三种形式：一般式、顶点式、两根式．求二次函数的解析式，使用待定系数法，即根据题设条件，恰当选择二次函数的形式，可使运算简捷． 2 二次函数的图象与性质的应用①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．②二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．【重点难点突破】考点1 二次函数解析式的求法【1-1】已知二次函数f (x )同时满足条件：(1)f (1＋x )＝f (1－x )；(2)f (x )的最大值为15；(3)f (x )＝0的两根立方和等于17. 求f (x )的解析式．【答案】f (x )＝－6x 2＋12x ＋9.【1-2】若定义域为R 的二次函数f (x )的最小值为0，且有f (1＋x )＝f (1－x )，直线g (x )＝4(x －1)被f (x )的图像截得的线段长为417，则函数f (x )的解析式为__________． 【答案】f (x )＝(x －1)2【解析】设f (x )＝a (x －1)2(a ＞0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a x －12，y ＝4x －1，得ax 2－(4＋2a )x ＋a ＋4＝0.由韦达定理，得x 1＋x 2＝4＋2a a ，x 1·x 2＝a ＋4a.由弦长公式，得 417＝1＋42⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2a a 2－4·a ＋4a ，∴a ＝1.∴f (x )＝(x －1)2.【1-3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋a 的对称轴为x ＝74，且方程f (x )－(7x ＋a )＝0有两个相等的实数根． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )在[1,3]上的值域；(3)是否存在实数m (m ＞0)？使f (x )的定义域为[m,3]，值域为[1,3m ]若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) f (x )＝－2x 2＋7x －2. (2) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，338.(3) m ＝118.【思想方法】求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．【温馨提醒】求二次函数解析式的问题一般用待定系数法，其关键在于根据题设合理选用二次函数的解析式的形式．考点2 二次函数的图象与性质的应用【2-1】设函数f (x )＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1]上有最小值g (t )． (1)求g (t )的解析式；(2)作出g (t )的图象，并求出其最值．【答案】(1) g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2，t <0，－2，0≤t ≤1，t 2－2t －1，t >1.(2)最小值－2，没有最大值【2-2】“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的________条件 【答案】充分必要【解析】f(x)＝|(ax －1)x|＝|ax 2－x|，若a ＝0，则f(x)＝|x|，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；若a<0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a <0，且x ＝0时y ＝0，此时y ＝ax2－x 在区间(0，＋∞)上单调递减且y<0恒成立，故f(x)＝|ax 2－x|在区间(0，＋∞)上单调递增，故a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a>0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a >0，且在区间0，12a 上y<0，此时f(x)＝|ax 2－x|在区间0，12a 上单调递增，在区间12a ，1a 上单调递减，故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．【2-3】已知关于的函数221(32)(1)4y a a x a x =+++++的图像与轴总有交点，求的取值X 围 【答案】1a <-【解析】2a =-或232010a a a ⎧++≠⇒<-⎨∆≥⎩【思想方法】二次函数的对称轴的几个结论： (i)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.(ii)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴方程为x ＝－b2a.(iii) 利用方程根法求对称轴方程．若二次函数y ＝f (x )对应方程为f (x )＝0两根为x 1，x 2，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.【温馨提醒】含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如对于函数y ＝ax2＋bx ＋c 要认为它是二次函数，就必须认定a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．再如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等．【易错试题常警惕】设函数()222f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切值都有()0f x >，则实数的取值X 围是． 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭。
江苏南化一中高三数学一轮复习 2.10指数函数与对数函数学案(二)
§2.10指数函数与对数函数（二）【复习目标】进一步理解指数函数与对数函数的概念、图像和性质；利用指数函数和对数函数的性质解决问题，并会对字母分类讨论。
培养综合分析问题、解决问题的能力。
【重点难点】培养综合分析问题、解决问题的能力【课前预习】1．若函数(1)x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）A ．1a >且1b <B ．01a <<且1b ≤C ．01a <<且0b >D ．1a >且0b ≤2．若435.0,235==y x ，则xy 0（比较大小）。
3．设 0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===则：（ ）A. 123y y y >>B. 213y y y >>C. 123y y y <<D. 132y y y >>4．21()2x x y -=的单调递减区间是 ，212log ()y x x =-的单调递减区间是 。
5．函数l y x = （ ）A ．是奇函数，在(,0)-∞ 上单调递增B ．是偶函数，在(,0)-∞ 上单调递增C ．是奇函数，在(0,)+∞ 上单调递增D ．是偶函数，在(0,)+∞ 上单调递增6．设函数||()x f x a -= (0,1)a a >≠，且(2)f =，则 （ ）A ．(2)(1)f f ->-B ．(1)(2)f f ->-C ．(1)(2)f f >D ．(2)(2)f f ->【典型例题】例1 已知),42(,3)(2≤≤=-x x f x 求函数)()]([2121x f x f y --+=的最大值和最小值.例2 设[]1,8x ∈，函数)(log )(log 21)(2x a ax x f a a ⋅=的最大值是1，最小值是81-，求a 的值。
(江苏专用)新高考数学一轮复习 第二章 函数 第4节 二次函数与幂函数学案-人教版高三全册数学学案
第4节二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上是增函数在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上是减函数[常用结论与微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.诊 断 自 测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b24a.( )解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )＝x α，故y ＝2x 13不是幂函数，(1)错.(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.(4)对称轴x ＝－b 2a ，当－b 2a 小于a 或大于b 时，最值不是4ac －b24a，故(4)错.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(多填题)(教材必修1P88例1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＝________，α＝________.解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1. 又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22， 所以α＝12.答案 1 123.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在(－∞，4)单调递增. 当a ≠0时，f (x )在(－∞，4)上单调递增.则a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1a≥4，解得－14≤a <0.综上可知，－14≤a ≤0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，04.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b解析 因为a ＝243＝423，b ＝323，c ＝523又y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，所以c >a >b . 答案 A5.(2020·南通模拟)已知函数f (x )＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m 的取值范围为( ) A.{0，－3} B.[－3，0]C.{0，3}D.(－∞，－3]∪[0，＋∞)解析 依题意，得Δ＝4(m ＋3)2－4×3(m ＋3)＝0，则m ＝0或m ＝－3.∴实数m 的取值范围是{0，－3}. 答案 A6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 解析 由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3. 又y ＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1. 答案 －1考点一 幂函数的图象和性质【例1】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )(2)(2020·盐城期中)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，b ＝f (lnπ)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <aD.b <a <c解析 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，C 正确.(2)由于f (x )＝(m －1)x n为幂函数，所以m －1＝1，则m ＝2，f (x )＝x n. 又点(2，8)在函数f (x )＝x n的图象上，所以8＝2n ，知n ＝3，故f (x )＝x 3，且在R 上是增函数， 又ln π>1>2－12＝22>13， 所以f (ln π)>f (2－12)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则b >c >a . 答案 (1)C (2)A规律方法 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练1】 (1)(多选题)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b的图象上，则函数f (x )是( ) A.奇函数 B.偶函数C.(0，＋∞)上的增函数D.(0，＋∞)上的减函数(2)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A.－1<m <0<n <1B.－1<n <0<mC.－1<m <0<nD.－1<n <0<m <1解析 (1)由题意得a －1＝1，且12＝a b ，因此a ＝2，且b ＝－1，故f (x )＝x －1是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数.(2)幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数. 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n <0. 综上可知，－1<n <0<m <1.答案 (1)AD (2)D 考点二 二次函数的解析式【例2】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 解 法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练2】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.解析因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.答案x2－4x＋3考点三二次函数的图象及应用【例3】 (1)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( )A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0解析(1)若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足.(2)因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0，所以f (m ＋1)>f (0)>0. 答案 (1)A (2)C规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【训练3】 一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析 A 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a >0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向上，A 错误；B 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a >0，b >0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向上，对称轴x ＝－b2a <0，B 错误；C 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a <0，b <0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向下，对称轴x ＝－b2a<0，C 正确；D 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a <0，b <0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向下，D 错误. 答案 C考点四 二次函数的性质多维探究角度1 二次函数的单调性与最值【例4－1】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R . (1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为 (－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间 [－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1). 角度2 二次函数中的恒成立问题【例4－2】 (2020·北京模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax －6，g (x )＝x ＋4.若对任意x 1∈(0，＋∞)，存在x 2∈(－∞，－1]，使f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的最大值为( ) A.6B.4C.3D.2解析 由题意f (x )max ≤g (x )max ，(*)由g (x )在(－∞，－1]上单调递增，则g (x )max ＝g (－1)＝3，f (x )＝－x 2＋ax －6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24－6.当a ≤0时，f (x )在[0，＋∞)上单调递减， 所以f (x )<f (0)＝－6，显然f (x )<g (x )max ＝3. 所以当a ≤0时，(*)恒成立.当a >0时，x ＝a2∈(0，＋∞)，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24－6.此时应有a 24－6≤3，且a >0，解得0<a ≤6. 综上可知a ≤6，则a 的最大值为6. 答案 A规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【训练4】 (1)(角度1)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f (x )( )A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B.在(－∞，3)上递增C.在[1，3]上递增D.单调性不能确定(2)(角度2)若函数f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋a ＋1对于x ∈[－1，1]时恒有f (x )≥0，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由已知可得该函数图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1>0，所以f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的. (2)∀x ∈[－1，1]时，f (x )≥0⇔a (x －1)2≥x －1.(*) 当x ＝1时，a ∈R ，(*)式恒成立. 当x ∈[－1，1)时，(*)式等价于a ≥1x －1恒成立. 又t ＝1x －1在[－1，1)上是减函数，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1max＝－12. 综上知a ≥－12.答案 (1)A (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·濮阳模拟)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m －3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m ＝( ) A.－1B.2C.3D.2或－1解析 由题意，得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x 5的图象与坐标轴有交点，不合题意. 当m ＝－1时，f (x )＝x －4的图象与坐标轴无交点，符合题意. 综上可知，m ＝－1. 答案 A2.已知p ：|m ＋1|<1，q ：幂函数y ＝(m 2－m －1)x m在(0，＋∞)上单调递减，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 p ：由|m ＋1|<1得－2<m <0，又幂函数y ＝(m 2－m －1)x m在(0，＋∞)上单调递减， 所以m 2－m －1＝1，且m <0，解得m ＝－1. 故p 是q 的必要不充分条件. 答案 B3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关解析 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关. 答案 B4.(多选题)(2020·济南一中调研)定义在R 上的函数f (x )＝－x 3＋m 与函数g (x )＝f (x )＋x 3＋x 2－kx 在[－1，1]上具有相同的单调性，则k 的取值可以是( ) A.1B.32C.2D.3解析 易知f (x )＝－x 3＋m 在R 上是减函数.依题设，函数g (x )＝x 2－kx ＋m 在[－1，1]上单调递减. ∴抛物线的对称轴x ＝k2≥1，则k ≥2.故k 的取值可以是2，3.答案 CD5.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A.[0，4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 答案 D 二、填空题6.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a 等于________.解析 设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12.因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15.答案 157.已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________.解析 f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋a ＋4， ∴函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增，∴当x ＝0时，f (x )取得最小值，当x ＝1时，f (x )取得最大值， ∴f (0)＝a ＝－2，f (1)＝3＋a ＝3－2＝1. 答案 18.已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4. 答案 [0，4] 三、解答题9.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数. 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4， 故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).10.已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x－k . (1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围. 解 (1)依题意得：(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0. (2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)， 当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )， 即B ＝[2－k ，4－k )，因p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围是[0，1].B 级 能力提升11.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝( )A.0B.1C.12D.2解析 BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0.答案 A12.已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[1，2] C.[2，3]D.[1，2]解析 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1. 则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2， 只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2. 又t ≥1，∴1≤t ≤ 2. 答案 B13.已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________.解析 当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧|f （0）|≤1⇒|n |≤1⇒－1≤n ≤1；|f （1）|≤1⇒|2＋n |≤1⇒－3≤n ≤－1， 因此n ＝－1，∴f (0)＝－1，f (1)＝1.由f (x )的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x ＝0，∴2－m ＝0，m ＝2， ∴f (x )＝2x 2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－19.答案 －1914.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x . 所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1， 又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立； 即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1， 所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1).C 级 创新猜想15.(组合选择题)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论： ①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A.②④B.①④ C .②③D.①③解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确. 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误.结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误. 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .根据抛物线开口向下，知a <0，所以5a <2a ， 即5a <b ，④正确. 答案 B16.(情景创新题)(2019·新海高级中学月考)若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上，②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k （x ＋1），x ＜0，x 2＋1，x ≥0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是________. 解析 设点(m ，n )(m ＞0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m 2＋1，－n ＝k （－m ＋1），消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不相等的正实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4（k ＋1）＞0，k ＞0，k ＋1＞0，解得k ＞2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞). 答案 (2＋22，＋∞)。
苏教版数学高一《二次函数与一元二次方程》 精品学案
x一、复习引入问题1、不解方程如何判断一元二次方)0(02≠=++a c bx ax 程解的情况。
问题2、画出二次函数322--=x x y 的图象，观察图象，指出x 取哪些值时，0=y 。
二、建构数学1、探究函数)0(2≠++=a c bx ax y 与方程)0(02≠=++a c bx ax 图象之间的关系，填2、零点：对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f y =的零点； 0)(=x f 有实数根⇔)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔)(x f y =有零点。
三、例题分析例1、（如图）是一个二次函数)(x f y =图象的一部分，（1）)(x f y =的零点为 。
（2）=)(x f 。
例2、求证：一元二次方程07322=--x x 有两个不相等的实数根（用两种方法证）。
例3、（1）12)(-=x x f 在区间)1,0(上是否存在零点？（2）732)(2-+=x x x f 在区间)2,3(--、)2,1(上是否存在零点？观察：)1()0(f f 值的符号特点；)2()3(--f f 、)2()1(f f 值的符号特点。
结论：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
（即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ．这个c 也就是方程0)(=x f 的根。
）思考：（1）若)(x f y =在],[b a 上是单调函数，且0)()(<b f a f ，则)(x f y =在],[b a 上的零点情况如何？（2）若0x 是二次函数)(x f y =的零点，且n x m <<0，那么0)()(<n f m f 一定成立吗？四、随堂练习1、分别指出下列各图象对应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中,,,a b c ∆与0的大小关（1）a ______0，b _____0，c ______0，∆______0（2）a ______0，b _____0，c ______0，2、判断函数12)(2--=x x x f 在区间)3,2(上是否存在零点。
2023届新高考一轮复习苏教版 第1章 第5节 二次函数与一元二次方程、不等式 学案
二次函数与一元二次方程、不等式[考试要求]1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系.3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式．1．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅提醒：解集的端点是对应方程的根．[常用结论]1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＞0且Δ＜0；(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＜0且Δ＜0. 2．简单分式不等式(1)f(x)g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)g(x)≥0，g(x)≠0；(2)f(x)g(x)＞0⇔f(x)g(x)＞0.3．“恒成立”与“能成立”问题的转化(1)a≥f(x)恒成立⇒a≥[f(x)]max；a≥f(x)能成立⇒a≥[f(x)]min.(2)a≤f(x)恒成立⇒a≤[f(x)]min；a≤f(x)能成立⇒a≤[f(x)]max.注：当不等式不含“等号”时，a也取不到“等号”．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2. ()(3)x－ax－b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0. ()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.() [答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材习题衍生1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝() A．[－2，－1]B．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)A [A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]．故选A ．]2．函数y ＝4x 2－9的零点为________，不等式4x 2－9<0的解集是________．－32，32 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <32 [令4x 2－9＝0得函数的零点为－32，32，原不等式可化为x 2<94，即－32<x <32.]3．要使17－6x －x 2有意义，则x 的取值范围为________．－7<x <1 [要使17－6x －x 2有意义，则7－6x －x 2>0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1.]4．不等式mx 2＋mx ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________．[0,4) [当m ＝0时，1>0，不等式恒成立， 当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m <0.得0<m <4.综上，0≤m <4.]考点一 一元二次不等式的解法[典例1] (1)不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________． (2)解不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0.(1){x |－2≤x <－1或2<x ≤3} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.故原不等式的解集为{x |－2≤x <－1，或2<x ≤3}．] (2)[解] 原不等式可化为(x －a )(x －1)<0. 当a >1时，原不等式的解集为{x |1<x <a }； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为{x |a <x <1}． [母题变迁]将本例(2)中的不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)，求不等式的解集． [解] 原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0. 因为a >0，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以，当a >1时，解得1a <x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <1.解含参不等式的分类讨论依据[跟进训练]1．已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．{x |x ≥3或x ≤2} [由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.]2．解关于x 的不等式：x 2＋ax ＋1＜0(a ∈R )． [解] Δ＝a 2－4.①当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，原不等式无解．②当Δ＝a 2－4＞0，即a ＞2或a ＜－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1＝－a ＋a 2－42，x 2＝－a －a 2－42，则原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －a －a 2－42＜x ＜－a ＋a 2－42. 综上所述，当－2≤a ≤2时，原不等式无解． 当a ＞2或a ＜－2时，原不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a －a 2－42＜x ＜－a ＋a 2－42. 考点二 一元二次不等式的恒成立问题在实数集R 上的恒成立问题[典例2－1] 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)C [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立． 当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a 2<4，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2,2]．]在给定区间上的恒成立问题[典例2－2] 若对任意的x ∈[－1,2]，都有x 2－2x ＋a ≤0(a 为常数)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．(－∞，0]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1][四字解题] 读想算思∀x ∈[－1,2]，都有x 2－2x ＋a ≤0，求a 的取值范围 函数f (x )＝x 2－2x ＋a 图象与区间[－1,2]的关系⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (2)≤0，数形结合 a ≤－x 2＋2x ，x ∈[－1,2]恒成立 g (x )＝－x 2＋2x (x ∈[－1，2]的值域分离变量法A [法一：(数形结合法)令f (x )＝x 2则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＋a ≤0，f (2)＝22－2×2＋a ≤0，解得a ≤－3.故选A ．法二：(分离变量法)当x ∈[－1,2]时，不等式x 2－2x ＋a ≤0恒成立等价于a ≤－x 2＋2x 恒成立．令g (x )＝－x 2＋2x (x ∈[－1,2])．而g (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，当x ＝－1时，g (x )min ＝－3，所以a ≤－3.故选A ．]给定参数范围的恒成立问题[典例2－3] 若mx 2－mx －1＜0对于m ∈[1,2]恒成立，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32 [设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＜0，g (2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1＜0，2x 2－2x －1＜0，解得1－32＜x ＜1＋32，故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.]解决恒成立问题的注意事项及其类型(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R 上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．[跟进训练]3．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立． 则Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2.所以实数a 的取值范围是[－6,2]． (2)对于任意x ∈[－2,2]，f (x )≥a 恒成立， 即x 2＋ax ＋3－a ≥0对任意x ∈[－2,2]恒成立． 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0－a2＜－2，g (－2)＝7－3a ≥0.或③⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－a2＞2，g (2)＝7＋a ≥0.解①得－6≤a ≤2， 解②得a ∈∅， 解③得－7≤a <－6.综上可知，实数a 的取值范围为[－7,2]． 考点三 一元二次不等式的实际应用[典例3] 某地区上年度电价为0.8元/kW·h ，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW·h 至0.75元/kW·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式； (2)设k ＝0.2 a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)． [解] (1)下调电价后新增的用电量为kx －0.4，∴下调电价后的总用电量为a ＋k x －0.4，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋k x －0.4(x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)． (2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋0.2a x －0.4(x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)]×(1＋20%)，0.55≤x ≤0.75，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75.当电价最低定为0.60元/kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.解不等式应用题的步骤[跟进训练]4．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成 (1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． [解] (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.又0≤x ≤2，所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.。
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§2.7二次函数（一）
【复习目标】
掌握求二次函数解析式的几种常用方法①一般式、②两根式、③顶点式，并能在具体问题的
解决中灵活转化；
熟练掌握二次函数的图象和性质，通常抓住①对称性、②增减性、③最值三方面.
【重点难点】
熟练掌握二次函数的图象和性质
【课前预习】
1．函数y=x 2+bx+c(x≥0)是单调函数的充要条件是
( )
A.b≥ 0
B.b ≤ 0
C. b ＞0
D. b ＜0
2．若函数()f x =x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t ),则
( )
A.f(2)<f(1)<f(4)
B.f(1)<f(2)<f(4)
C.f(2)<f(4)<f(1)
D.f(4)<f(2)<f(1)
3．关于x 的不等式- mx 2-8mx- 21>0的解为：－7<x<－1则m 的值为
( )
A.1
B.2
C. 3
D. 4
4．二次函数()f x 的顶点为(4,0)且过点(0,2)，则f(x)= 。
5．两个不同函数()f x =x 2+ax+1和g(x)=x 2
+x+a (a 为常数)定义域都为R ，若()f x 与g(x)
的值域相同，则a= .
6．函数()f x =2x 2－mx+3当x∈(－∞,－1)时是减函数，当x∈(－1,＋∞)时是增函数，则f(2)= .
7．实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件是 ，
有两正根的充要条件是 ；有两负根的充要条件是 .
【典型例题】
例1 已知二次函数()f x 满足条件(2)()f x f x +=-且max ()f x =15,又()0f x =两根立方
和等于17，求()f x 的解析式。
例2 已知f(x)=x 2+3x －5, x∈［t,t+1 ］,若f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式。
例3 已知函数f(x)=lg(ax 2+2x+1)
若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围；
若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围。
【课堂练习】
1．函数y=x 2－x ＋
1 (x∈R)的值域是
（ ） A. R B. [)0,+∞ C. [)1,+∞ D. ［
34, +∞］ 2．函数f(x)=x 2+4ax+2在(－∞，6)内递减，则a 的取值范围是
( )
A.a≥3
B. a≥－3
C. a≤3
D. a≤－3
3．二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2－x),又f(x)在［0,2］上是增函数，且f(a)≥f(0)，则
实数a 的取值范围是 （ ）
A. a≥0
B.a≤0
C. 0≤a≤4
D. a≤0或a≥4
4．设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)若f(x 1)=f(x 2) (x 1≠x 2),则f(122
x x +) = 。
【本课小结】
【课后作业】
已知f(x)=－x 2+ax+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大值。
不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4＜0对一切x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。
已知函数223
()2.f x ax a x b a =++- 当(26)x ∈-，时，()0f x >；当(2)(6)x ∈-∞-+∞，
，时()0f x <，求a b 、的值及)(x f 的
表达式；
设)()16(2)1(4)(4
)(x F k k x k x f k x F 取何值时，函数，-+++-=的值恒为负值？ 4．某市的一家报刊摊点从报社买进一种晚报的价格为每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的报纸还可以每份0.18元的价格退回报社。
在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同。
他每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月可获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？。