安徽省师大附中高考数学二模试卷文(含解析)

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安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题(解析版)

安徽师大附中2024届第二次模拟考试高三年级数学学科试题考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ，B 是全集U 的非空子集，且U A B⊆ð，则（）A.B A ⊆B.U B A ⊆ðC.U UA B ⊆痧 D.A B⊆【答案】B 【解析】【分析】根据Venn 图，结合子集和集合间的运算理解判断.【详解】由题意知U A B ⊆ð，从而可得Venn 图如下图，对A 、D ：由Venn 图，可得B A ⋂=∅，故A 、D 错误；对B ：因为B A ⋂=∅，U B A ⊆ð正确，故B 正确；对C ：因为B A ⋂=∅，则U UA B ⊆痧错误，故C 错误；故选：B.2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数22()1xf x x =-+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和函数值的符号性分析判断.【详解】由题意可知：()f x的定义域为R，关于原点对称，且()2222()()11x xf x f xxx--=-==-+-+，可知()f x为奇函数，排除AB，且()110f=-<，排除D.故选：C.3.已知复数()i,z a b a b=+∈R且()242i4i0x x a-+++=有实数根b，则2z=（）A. B.12 C. D.20【答案】D【解析】【分析】根据题意可求得()2442i0b b b a-+++=，从而得()24402i0b bb a⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，求解得42iz=-+，从而可求解.【详解】由题意知b为()242i4i0x x a-+++=的实数根，则()242i4i0b b a-+++=，即()2442i0b b a b-++-=，则()24402i0b ba b⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，解得24ba=⎧⎨=⎩，所以42iz=+，所以2224220z=+=，故D正确.故选：D.4.已知等边ABC的边长为2，点D、E分别为,AB BC的中点，若2DE EF=，则EF AF⋅=（）A.1B.45C.65D.54【答案】A 【解析】【分析】取AC AB 、为基底，利用平面向量基本定理表示出,EF AF ，进行数量积运算即可.【详解】在ABC 中，取,AC AB为基底，则2,,60AC AB AC AB ===︒ .因为点D 、E 分别为,AB BC 的中点，1124DE AC EF == ，()11132424AF AE EF AB AC AC AB AC =+=++=+ ，211313424816EF AF AC AB AC AC AB AC⎛⎫⋅=⋅+=⋅+ ⎪⎝⎭ 1322cos 6041816=⨯⨯⨯+⨯= 故选：A5.已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】设P 的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设00(,)P x y ，双曲线的半焦距为c ，则有0||x a ≥，2200221x y a b-=，12(,0),(,0)F c F c -，于是200100(,),(,)PF c x y PF c x y =--=---，因此22222222222222220210000222(1)x c c PF PF x c y x b c x b c a b c b a a a ⋅=-+=+--=⋅--≥⋅--=- ，当且仅当0||x a =时取等号，则222a b -≥-，即222b a ≥，离心率c e a ==≥，故选：D6.在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A.26 B.63C.57D.25【答案】C 【解析】【分析】计算()f x '，分析()f x '的奇偶性，可判断零点取值，代入计算可得{}n a 的递推关系，求出前5项，计算求和即可.【详解】因为()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++，所以()()213cos 21n n f x x a x a +'=-++，由题意可知：()0f x '=有唯一零点.令()()()213cos 21n n g x f x x a x a +'==-++，可知()g x 为偶函数且有唯一零点，则此零点只能为0，即()00g =，代入化简可得：121n n a a +=+，又11a =，所以23a =，37a =，415a =，531a =，所以557S =.故选：C7.已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则()20241k f k =∑=（）A.4036B.4040C.4044D.4048【答案】D 【解析】【分析】根据题中()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，从而可得出()f x 为周期为4的函数，从而可求解.【详解】由题意得()22f x +-为奇函数，所以()()22220f x f x +-+-+-=，即()()224f x f x ++-+=，所以函数()f x 关于点()2,2中心对称，由()31f x +为偶函数，所以可得()1f x +为偶函数，则()()11f x f x +=-+，所以函数()f x 关于直线1x =对称，所以()()()22f x f x f x +=-=--+，从而得()()4f x f x =+，所以函数()f x 为周期为4的函数，因为()10f =，所以()()134f f +=，则()34f =，因为()f x 关于直线1x =对称，所以()()314f f =-=，又因为()f x 关于点()2,2对称，所以()22f =，又因为()()()420f f f =-=，又因为()()()22422f f f -=-+==，所以()()()()12348f f f f +++=，所以()()()()()202412024123440484k f k f f f f =⎡⎤=⨯+++=⎣⎦∑，故D 正确.故选：D.8.已知直线l ：()2200Ax By C A B ++=+≠与曲线W ：3y x x =-有三个交点D 、E 、F ，且2DE EF ==，则以下能作为直线l 的方向向量的坐标是（）．A.()0,1 B.()1,1- C.()1,1 D.()1,0【答案】C 【解析】【分析】由函数3y x x =-的性质可得曲线W 的对称中心(0,0)，即得(0,0)E ，再根据给定长度求出点D 的坐标即得.【详解】显然函数3()f x x x =-的定义域为R ，3()()()()f x x x f x -=---=-，即函数()f x 是奇函数，因此曲线W 的对称中心为(0,0)，由直线l 与曲线W 的三个交点,,D E F 满足2DE EF ==，得(0,0)E ，设3(,)D x x x -，则232()4x x x +-=，令2x t =，则有322240t t t -+-=，即2(2)(2)0t t +-=，解得2t =，即x =，因此点D或(D，ED =或(ED =，选项中只有坐标为(1,1)的向量与ED共线，能作为直线l 的方向向量的坐标是(1,1).故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为(0,0)，从而得到(0,0)E ，然后再去设点D 坐标，根据2DE =，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出D 的坐标即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知由样本数据(),i i x y （i =1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ3y x =-+，且4x =．剔除一个偏离直线较大的异常点()5,1--后，得到新的回归直线经过点()6,4-．则下列说法正确的是A.相关变量x ，y 具有正相关关系B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点()5,1-D.剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，求出新样本的中心点，进而求出新回归直线的斜率，再逐项判断即得.【详解】依题意，原样本中，431y =-+=-，剔除一个偏离直线较大的异常点(5,1)--后，新样本中，410(5)110(1)5,199x y ⨯---⨯--''====-，因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点(5,1)-，C 正确；由新的回归直线经过点(6,4)-，得新的回归直线斜率为4(1)365---=--，因此相关变量x ，y 具有负相关关系，A 错误；又|3|1->，则剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变大，D 错误；由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B 正确.故选：BC10.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点(),M a b ，()0OM m m =≠，定义()b a f m θ+=，()b ag mθ-=，则（）A.ππ166f g ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.()()20ff θθ+≥C.若()()2f g θθ=，则3sin 25θ=D.()()fg θθ是周期函数【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意分别求出cos a m θ=，sin b m θ=，则()π4f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π4g θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可对A 判断求解，利用换元法令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭可对B 判断求解，由()()tan 12tan 1f g θθθθ+==-求出tan 3θ=，并结合22tan sin 2tan 1θθθ==+从而可对C 判断求解，由()()cos 2f g θθθ=-可对D 判断求解.【详解】由题意得(),M a b 在角θ的终边上，且OM m =，所以cos a m θ=，sin bmθ=，则()πsin cos 4b a f m θθθθ+⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，()πsin cos 4b a g m θθθθ-⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，对A ：ππππππsin cos sin cos 1666666f g ⎛⎫⎛⎫+=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B ：()()()22sin cos sin cos f f θθθθθθ+=+++，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()()222111244f f t t t θθ⎛⎫+=+=+-≥- ⎪⎝⎭，故B 错误；对C ：()()sin cos tan 12sin cos tan 1f g θθθθθθθθ++===--，解得tan 3θ=，又由22222sin cos 2tan 233sin 22sin cos sin cos tan 1315θθθθθθθθθ⨯=====+++，故C 正确；对D ：()()()()22sin cos sin cos sin cos cos 2fg θθθθθθθθθ=+-=-=-，因为cos 2y θ=为周期函数，故D 正确.故选：ACD.11.如图，多面体PS ABCD -由正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -组合而成，其中1PS =，则下列关于该几何体叙述正确的是（）A.该几何体的体积为24B.该几何体为七面体C.二面角A PB C --的余弦值为13- D.该几何体为三棱柱【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 可以分别求正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -的体积即可；选项C 先确定二面角A PB C --的平面角为AFC ∠，在三角形中利用余弦定理可得；选项D 先根据二面角A PB C --与二面角--S PB C 的关系确定,,,P A B S 四点共面，再证得平面//SCB 平面PAD ，三个侧面都是平行四边形即可；选项B 根据选项D 三棱柱有5个面，可判断错误.【详解】如图：在正四面体中S PBC -中，G 为PB 的中点，连接CG ，连接SG 作SO CG ⊥于O ，则O 为PBC 的中心，SO 为正四面体中S PBC -的高，因1PS =，32CG =，23=33CO CG =，63SO ==，1111362=132322312S PBC V PB CG SO -⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，在正四面体中S PBC -中，G 为PB 的中点，所以SG PB ⊥，CG PB ⊥，故CGS ∠为二面角--S PB C 的一个平面角，1131332cos 33322GC GO CGS SG SB ⨯∠====如图：在正四棱锥P ABCD -中，由题意1PC CB ==，连接AC ，BD 交于点E ，连接PE ，则PE 为正四棱锥P ABCD -的高，22==22CE CB ，222222=122PE PC CE ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，1122=113326P ABCD V CD BC PE -⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，该几何体的体积为222===1264B PS A S BCD P ABCD PC V V V ---++，故A 正确，取PB 的中点F ，连接AF ，CF ，由题意正四棱锥P ABCD -的棱长都为1，所以⊥AF PB ，CF PB ⊥，故AFC ∠即为二面角A PB C --的一个平面角，其中33=22AF CF BC ==，22AC BC ==，在AFC △中，222222332221cos =2333222AF CF AC AFC AF CF ⎛⎫⎛+- ⎪ +-⎝⎭⎝⎭∠=-⋅⨯⨯，故C 正确，因1cos cos 3CGS AFC ∠==-∠，可知二面角--S PB C 与二面角A PB C --所成角互补，故平面PBS 与PBA 为同一平面，同理，平面PDC 和平面PDS 也为同一平面，故该几何体有5个面，B 错误，因,,,P A B S 四点共面，且PDC △和PCS 都为等边三角形，易知//SC PD ，且SC PD =，故侧面PDCS 为平行四边形，又PD ⊂平面PAD ,SC ⊄平面PAD ，所以//SC 平面PAD ，同理//SB 平面PAD ，且侧面PABS 为平行四边形，又SC SB S = ，SC ⊂平面SCB ，SB ⊂平面SCB ，所以平面//SCB 平面PAD ，又侧面ABCD 为正方形，故多面体PS ABCD -即为三棱柱ADP BCS -，故D 正确，故选：ACD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm ），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为______．【答案】255【解析】【分析】分别求出11个零件的平均数49、第六十百分位数50，众数45，然后分别求出取出3个零件有165种，3个零件符合平均数、第六十百分位数、众数有6种情况，再利用古典概率从而可求解.【详解】由题意知11个零件的平均数为43454545495050515153574911++++++++++=，第六十百分位数的位置为1160% 6.6⨯=，即取第7位数50，故第六十百分位数为50，由题可知众数为45，所以当从11中取出3个零件共有311C 165=种情况，则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有111123C C C 6=种情况，所以其概率为6216555=，故答案为：255.13.已知偶函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω=______．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据题意ππ2k ϕ=+，再由对称中心求出33,Z 2k k ω=+∈，最后根据函数单调性确定ω.【详解】因为偶函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，所以ππ2k ϕ=+，Z k ∈，即()cos f x x ω=或()cos f x x ω=-，又()()()sin 0f x x ωϕω=+>的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以πcos03ω=，即πππ,Z 32k k ω=+∈，所以33,Z 2k k ω=+∈，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数单调，所以ππ042x ωω≤≤≤，即02ω<≤，所以当0k =时，32ω=符合条件.故答案为：3214.若实数x ，y 满足2225x y +=+______【答案】【解析】【分析】利用向量不等式并结合x 的范围求最值.【详解】设()(),,1,1,a x yb ==则a b x y a b ⋅=+≤= 0x y =≥等号成立，又2225x y +=，所以5x ≤，≤=当且仅当5,0x y ==等号成立.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量不等式求最值，关键是两次运用不等式且保证等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()ln ax ax f x x=+-，R a ∈（1）若()f x 在定义域内是减函数，求a 的取值范围；（2）当12a <时，求()f x 的极值点．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先由()f x 在定义域内是减函数得出对于()0,x ∀∈+∞，()0f x '≤恒成立，进而分离参数将问题转化为函数的最值；再利用基本不等式得出12x x+≥，11012x x<≤+即可解答.（2）分0a ≤和102a <<两种情况讨论，在每一种情况中借助导数判断函数()f x 的单调性即可求解.【小问1详解】由()ln a x ax f x x =+-可得：函数定义域为()0,∞+，()2221a ax x aa x f x x x --'+=-=-.因为()f x 在定义域内是减函数，所以对于()0,x ∀∈+∞，()0f x '≤恒成立，即对于()0,x ∀∈+∞，20ax x a -+≥恒成立.则对()0,x ∀∈+∞，11a x x≥+恒成立.因为0x >，所以12x x +≥，当且仅当1x =时等号成立，则11012x x <≤+，所以12a ≥故a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】因为()2221a ax x aa x f x x x--'+=-=-，()0,x ∈+∞，所以当0a ≤时，()0f x ¢>，则函数()ln ax ax f x x=+-在()0,∞+上单调递增，此时()f x 无极值点；当102a <<时，方程20ax x a -+=的判别式()()21412120a a a ∆=-=-+>，方程两根为111402a x a =>，211402a x a=>.令()0f x ¢>，解得11411422x aa-+<<；令()0f x '<，解得12x a <或12x a>，则函数()f x 在1140,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在114114,22a a ⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在114,2a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()f x 的极小值点为1142a ，极大值点为1142a+.综上可得：当0a ≤时，()f x 无极值点；当102a <<时，函数()f x 的极小值点为1142a ，极大值点为1142a+.16.据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离x （kkm ）5663717990102110117损坏零件数y （个）617390105119136149163参考数据：86x =，112y =，8182743iii x y==∑，82162680i i x ==∑（1）建立y 关于x 的回归模型ˆˆˆy bx a =+，根据所给数据及回归模型，求y 关于x 的回归方程（ˆb精确到0.1，ˆa精确到1）；（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？保养未保养合计报废20未报废合计60100附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++；()20P K k ≥0.250.10.050.0250.010.0010k 1.3232.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1） 1.626ˆyx =-（2）22⨯列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可求出ˆ 1.6b=，ˆ26a =-，从而可求解.（2）根据题意可将22⨯列联表补充完整，并求得29.375 6.635K =>，从而求解判断是否报废与是否保养有关.【小问1详解】由题意得()()()81182222118827438861121.662680886ˆ8niii ii i ni i ii x x y y x y xy bx x x x ====----⨯⨯===≈-⨯--∑∑∑∑，则112 1.686ˆ26a=-⨯≈-，所以 1.626ˆyx =-.【小问2详解】设零假设为0H ：是否报废与是否保养无关，由题意，报废推进器中保养过的共2030%6⨯=台，未保养的推进器共20614-=台，补充22⨯列联表如下：保养未保养合计报废61420未报废542680合计6040100则()()()()()()22210062614549.375 6.63520406080n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为是否报废与保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.17.在三棱锥-P ABC 中，PB⊥平面ABC ，2AB BC BP ===，点E 在平面ABC 内，且满足平面PAE ⊥平面,PBE BA 垂直于BC ．（1）当ππ,83ABE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦时，求点E 的轨迹长度；（2）当二面角E PA B --的余弦值为3时，求三棱锥E PCB -的体积．【答案】（1）5π12（2）23【解析】【分析】（1）先通过垂直关系得到AE BE ⊥，然后建立空间直角坐标系得到点E 的轨迹，根据角度求轨迹的长；（2）利用向量法求面面角，解方程求出点E 的坐标，进而利用体积公式求解即可.【小问1详解】作BH PE ⊥交PE 于H ，因为平面PAE ⊥平面PBE ，且平面PAE 平面PBE PE =，BH ⊂面PBE ，所以BH ⊥平面PAE ，又因为AE ⊂平面PAE ，所以BHAE ⊥，因为PB ⊥平面ABC ，且AE ⊂平面ABC ，所以PB AE ⊥，因为BHAE ⊥，PB AE ⊥，PB 、BH ⊂平面PBE ，PB BH B = ，所以⊥AE 平面PBE ，又因为BE ⊂平面PBE ，所以AE BE ⊥．分别以直线,,BA BC BP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)B ，(0,0,2)P ，(0,2,0)C ，(2,0,0)A ，设(,,0)E x y ，因为AE BE ⊥，所以0AE BE ⋅=，又(2,,0)AE x y =- ，(,,0)BE x y =，所以(2)0x x y y -⋅+⋅=，即22(1)1x y -+=，设AB 中点为N ，则(1,0)N ，如图：又ππ,83ABE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π,43ANE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，因此，E 的轨迹为圆弧QE ，其长度为2ππ5π13412⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）知，可设(,,0)E x y ，(2,0,2)PA =-，(2,,0)AE x y =- ，设平面PAE 的一个法向量为(,,)n a b c =，则00n PA n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即()22020a c a x by -=⎧⎨-+=⎩，令a y =得(,2,)n y x y =- ．(0,2,0)BC =为平面PAB 的一个法向量，令二面角E PA B --为角θ，22||2|2|3cos 3||||2(2)2n BC n BC x y θ⋅==-+ ，又22(1)1x y -+=，解得2x =，0y =（舍去）或1x =，1y =±，则(1,1,0)E 或(1,1,0)E -，从而可得三棱锥E PCB -的体积11122213323E PCB PCB V S h -==⨯⨯⨯⨯=⋅△．18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆W ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为e ，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W 过点()1,e ．（1）求椭圆W 的方程；（2）已知平行四边形ABCD 的四个顶点均在W 上，求平行四边形ABCD 的面积S 的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）4【解析】【分析】（1）根据题意可得2222111e a b b+==，从而求出2a =，即可求解.（2）分情况讨论直线AB 斜率存在与不存在的情况，然后与椭圆方程式联立，再结合韦达定理求出相应关系式，并利用基本不等式求出最值，从而可求解.【小问1详解】由题意知2222222222221111e c b c a b a a b a b b++=+===，解得1b =，由长轴长是短轴长的2倍，则2a =，所以椭圆W 的方程为2214x y +=.【小问2详解】当直线AB 斜率存在，这AB 的方程为1y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y 因为AB CD ，故可设CD 方程为2y kx m =+，由12214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22211148440k x km x m +++-=，则()2218210k m ∆=-+>，1122814km x x k +=-+，211224414m x x k-=+，所以AB =，同理CD =，因为AB CD =，所以2212m m =，因为12m m ≠，所以120m m +=，所以222112412·8414k m m S AB d k -++===≤=+，当且仅当221412k m +=时，平行四边形ABCD 取得最大值为4.当直线AB 的斜率不存在时，此时平行四边形ABCD 为矩形，设()11,A x y ，易得114S x y =，又因为22111114x y x y =+≥，所以4S ≤，当且仅当11x y =时取等.综上所述：平行四边形ABCD 的面积S 的最大值为4.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意Δ的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K 在m （旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K 具有对称性，并记m 为K 的一个对称变换．例如，正三角形R 在1m （绕中心O 作120°的旋转）的作用下仍然与R 重合（如图1图2所示），所以1m 是R 的一个对称变换，考虑到变换前后R 的三个顶点间的对应关系，记1123312m ⎛⎫=⎪⎝⎭；又如，R 在1l （关于对称轴1r 所在直线的反射）的作用下仍然与R 重合（如图1图3所示），所以1l 也是R 的一个对称变换，类似地，记1123132l ⎛⎫= ⎪⎝⎭．记正三角形R 的所有对称变换构成集合S ．一个非空集合G 对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：I ．,a b G ∀∈，a b G ∈ ；II ．,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c = ；Ⅲ．e G ∃∈，a G ∀∈，a e e a a == ；Ⅳ．a G ∀∈，1a G -∃∈，11a a a a e --== ．对于一个群G ，称Ⅲ中的e 为群G 的单位元，称Ⅳ中的1a -为a 在群G 中的逆元．一个群G 的一个非空子集H 叫做G 的一个子群，假如H 对于G 的代数运算来说作成一个群．（1）直接写出集合S （用符号语言表示S 中的元素）；（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如1123132213231312321312321132123231213m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．对于集合S 中的元素，定义一种新运算*，规则如下：123123123123123123*a a a b b b a a a b b b c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，{}{}{}{}123123123,,,,,,1,2,3a a a b b b c c c ===．①证明集合S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；②已知H 是群G 的一个子群，e ，e '分别是G ，H 的单位元，a H ∈，1a -，a '分别是a 在群G ，群H 中的逆元．猜想e ，e '之间的关系以及1a -，a '之间的关系，并给出证明；③写出群S 的所有子群．【答案】（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②答案见解析，证明见解析；③证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定信息，按旋转变换、对称变换分别求出对应变换，再写出集合S .（2）①根据群的定义条件，逐一验证即得；②按照群定义Ⅲ、Ⅳ分别推理计算即得；③写出S 的所有子群即可.【小问1详解】依题意，正三角形R 的对称变换如下：绕中心O 作120︒的旋转变换1123312m ⎛⎫=⎪⎝⎭；绕中心O 作240︒的旋转变换2123231m ⎛⎫= ⎪⎝⎭；绕中心O 作360︒的旋转变换3123123m ⎛⎫=⎪⎝⎭；关于对称轴1r 所在直线的反射变换1123132l ⎛⎫= ⎪⎝⎭；关于对称轴2r 所在直线的反射变换2123321l ⎛⎫=⎪⎝⎭；关于对称轴3r 所在直线的反射变换3123213l ⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，123123123123123123,,,,,312231123132321213S ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭.（形式不唯一）【小问2详解】①Ⅰ.123123a a a b b b ⎛⎫∀⎪⎝⎭，123123b b b S c c c ⎛⎫∈⎪⎝⎭，123123123123123123*a a a b b b a a a S b b b c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；Ⅱ.123123a a a b b b ⎛⎫∀⎪⎝⎭，123123b b b c c c ⎛⎫⎪⎝⎭，123123c c c S d d d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，123123123123123123a a a b b b c c c b b b c c c d d d ⎛⎫⎛⎫**⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎦⎝⎭⎝⎭⎣123123123123a a a c c c c c c d d d ⎪=*⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭123123123123123123123123,**a a a a a a b b b c c c d d d b b b c c c d d d ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦123123123123123123*a a a b b b a a a b b b d d d d d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以123123123123123123**a a a b b b c c c b b b c c c d d d ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦123123123123123123**a a a b b b c c c b b b c c c d d d ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；Ⅲ.123123123,123a a a S S b b b ⎛⎫⎛⎫∃∈∀∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭123123123123123123*a a a a a a a a a a a a b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123123123123*a a a b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而123123123123123123a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以123123e ⎛⎫= ⎪⎝⎭；Ⅳ.123123123123,a a a b b b S S b b b a a a ⎛⎫⎛⎫∀∈∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，123123123123123123123123**a a a b b b b b b a a a e b b b a a a a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；综上可知，集合S 对于给定的新运算*来说能作成一个群.②e e '=，1a a -'=，证明如下：先证明e e '=：由于H 是G 的子群，取a H ∈，则a G ∈，1a G -∈，根据群的定义，有a e a = ，a e a '= ，所以a e a e '= ，所以()()11aa e a a e --=' ，即()()11a a e a a e --'= ，即e e e e '= ，所以e e '=.再证明1a a -'=：由于e e '=，1e a a -= ，e a a ''= ，所以1a a a a -'= ，所以()()111a a a a a a ---'= ，所以1a e a e -'= ，所以1a a -'=.③S 的所有子群如下：12123123123,,123123132H H ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭，3123123,123321H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，4123123,123213H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，5123123123,,312231123H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，6123123123123123123,,,,,312231123132321213H ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.。

2025届湖南师大附中高考仿真卷语文试卷含解析

2025届湖南师大附中高考仿真卷语文试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

1、阅读下面的文字，完成下列小题。

孝是最为重要且影响最深的中华传统道德观念。

在生活方式已发生翻天覆地变化的今天，传统孝道仍然具有重要的社会作用。

不过，传统孝道精华与糟粕并存，这需要我们在正确地批判分析的基础上，推动其实现创造性转化和创新性发展。

要求子女在物质层面对父母尽赡养的义务，这是传统孝道最基本的规定。

但在儒家看来，仅做到这一点还不够，对父母的孝还必须要做到“敬”，即对待父母应时刻保持恭敬的态度。

无论是物质方面的“养”，还是精神层面的“敬”，都以顺从父母的意愿为标准，但父母的意愿未必正当，传统孝道的践行还应有更高层次的道德考量。

当父母的意愿不正当时，要用温和的方式去劝谏父母，从而避免让父母陷于不义。

传统孝道不但体现于父母生前，还涉及父母去世以后。

孔子挽：“生，事之以礼；死，葬之以礼，祭之以礼。

"子女不但在父母生前要对其以礼敬养，父母去世后还要以礼安葬、以礼祭祀。

生养、死葬、祭祀，在这三个环节都合乎礼制的要求，才算是实现了完满的孝道。

传统孝道的丰富内涵产生于古代宗法社会。

它是维系古代家庭、宗族与社会和谐的重要道德规范。

近现代以来，随着社会结构与生活方式的巨大变化，传统孝道显得越来越不合时宜。

2024年新高考版数学专题1_1.2 常用逻辑用语(分层集训)

2.(2023届福建龙岩一中月考,3)下列命题中,错误的命题是 ( ) A.函数f(x)=x与g(x)=( x )2不是同一个函数 B.命题“∃x∈[0,1],x2+x≥1”的否定为“∀x∈[0,1],x2+x<1”
C.设函数f(x)=
2x 2x , x
2,
x 0,
0,
则f(x)在R上单调递增
2.(2022福建龙岩一模,1)已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则“M ⊆N”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B
3.(2020天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 答案 D
2.(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案 C
4.(2021山东淄博模拟,5)已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
()
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0 答案 B
D. 1 + 1 ≠0
ab
5.(多选)(2021辽宁省实验中学二模,4)下列四个选项中,q是p的充分必要条件的是 ( )
A.p:

2024届安徽省安徽师范大学附属中学二模考试数学试题及答案

高三年级数学学科试题选择题部考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,A B 是全集U 的非空子集，且U A B ⊆ð，则（）A ．B A⊆B ．U B A⊆ðC ．U U A B⊆ððD ．A B⊆2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数22()1xf x x =-+的图象大致为（）A ．B．C．D ．3.已知复数(,)z a bi a b R =+∈且2(42)40x i x ai -+++=有实数根b ，则2||z =（）A. B.12C. D.204．已知等边△ABC 的边长为2，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，若2DE EF =，则EF AF⋅=（）A ．1B ．45C ．65D ．545．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的最小值为（）AB．C ．2D安徽师大附中2024届第二次模拟考试6．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A ．26B ．63C ．57D ．257.已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)2f x +-为奇函数，(31)f x +为偶函数，(1)0f =，则20241()k f k ==∑（）A ．4036B ．4040C ．4044D ．40488.已知直线)0(0:22≠+=++B A C By Ax l 与曲线3:W y x x =-有三个交点D 、E 、F ，且2DE EF ==，则以下能作为直线l 的方向向量的坐标是（）.A.()10， B.()11-， C.)(11， D.()01，二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知由样本数据()i i x y ，（12310i = ，，，，）组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ3y x =-+，且4x =．剔除一个偏离直线较大的异常点(51)--，后，得到新的回归直线经过点(64)-，．则下列说法正确的是A ．相关变量x y ，具有正相关关系B ．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C ．剔除该异常点后的回归直线方程经过点(51)-，D ．剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小C ．若()()g θ=2，则3sin 25θ=D ．()()f g θθ是周期函数4C.二面角A-PB-C 的余弦值为13-D.该几何体为三棱柱非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(单位:mm)，现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为_________．13.已知偶函数()()ϕω+=x x f sin ()0>ω的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛03，π中心对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上单调，则ω=.14．若实数y x ,满足2522=+y x ，则y x y x 68506850-++++的最大值为_________16.（15分）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务。

高考数学专题30条件概率与全概率公式解析版

专题30 条件概率与全概率公式一、单选题1．（2020·河南南阳高二二模（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在下雨条件下吹东风的概率为（）A．25B．89C．811D．911【答案】C【解析】分析：在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率÷下雨的概率详解：在下雨条件下吹东风的概率为8830=111130，选C2．（2020·安徽省六安中学高二期中（理））根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为35,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（）A．13B．12C．35D．34【答案】D 【解析】设第二天也有客人入住的概率为P，根据题意有43=55P⋅，解得34P=，故选D.3．（2020·河南开封高三二模（理））已知正方形ABCD，其内切圆I与各边分别切于点E，F，G、H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则()P B A=（）A．2πB．21π-C．12D．π142-【答案】B 【解析】由题意，设正方形ABCD 的边长为2a ，则圆I 的半径为r a =，面积为2a π；正方形EFGH 2a ，面积为22a ；∴所求的概率为22222(|)1a a P B A a πππ-==-．故选：B ．4．（2020·河南高二期末（理））把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则()P B A =（） A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】A 【解析】“第一次出现正面”：2(1)P A =, “两次出现正面”: 111()=224P AB =⨯,则()1()14|==1()22P AB P B A P A =故选A5．（2020·陕西临渭高二期末（文））已知()1P B|A 2=，()35P A =，()P AB 等于（） A ．56B ．910C ．310D ．110【答案】C 【解析】根据条件概率的定义和计算公式：()()0(|),()P AB P A P B A P A >=当时，把公式进行变形，就得到()0()(|)()P A P AB P B A P A >=当时，，故选C.6．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二期末（理））从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（） A ．38B ．1340C ．1345D ．34【答案】B 【解析】由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯ 由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B7．（2020·西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”，B =“至少出现一个6点”，则概率()|P A B 等于（）A ．1011B ．511C ．518D ．536【答案】A 【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=10118．（2020·广东东莞高二期末）一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件A 为“第一次取出白球”，事件B 为“第二次取出黑球”，则概率()P B A =（） A ．56B ．35C ．12D ．25【答案】B 【解析】设事件A 为“第一次取出白球”，事件B 为“第二次取出黑球”，()()31333==，==626510P A P AB ⨯，第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：()()3()5P AB P B A P A ==.故选：B.二、多选题9．（2020·大名中学高二月考）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（） A ．()()()P A P B P C == B ．()()()P BC P AC P AB == C ．1()8P ABC = D ．1()()()8P A P B P C ⋅⋅=【答案】ABD 【解析】由已知22221()44442P A =⨯+⨯=，21()()42P B P C ===，由已知有1()()()4P AB P A P B ==，1()4P AC =，1()4P BC =，所以()()()P A P B P C ==，则A 正确；()()()P BC P AC P AB ==，则B 正确；事件A 、B 、C 不相互独立，故1()8P ABC =错误，即C 错误 1()()()8P A P B P C ⋅⋅=，则D 正确；综上可知正确的为ABD. 故选:ABD ．10.（2020·江苏海安高级中学高二期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（） A ．2()5P B =B ．15()11P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A 、2A 、3A 两两互斥【答案】BD 【解析】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确；因为()()()123523,,101010p A p A p A ===，所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确；同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======，所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故AC 错误；故选：BD11．（2020·江苏海安高级中学高一期中）以下对各事件发生的概率判断正确的是（） A ．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为13B ．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C ．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是536D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12【答案】BCD 【解析】A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反的概率2142P ==，故A 不正确；B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13，共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含()3,11，则概率为261115P C ==，故B 正确； C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，共5种，所以点数之和为6的概率536P =，故C 正确； D.由题意可知取出的产品全是正品的概率232412C P C ==，故D 正确.12．（2020·山东昌乐二中高二月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为80243；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627. 则其中正确命题的序号是（） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】ABD 【解析】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，①从中任取3球，恰有一个白球的概率是21423635C C p C ==故正确； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为2163p ==，则恰好有两次白球的概率为4226218033243p C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确； ③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为1143114535C C C C =，故错误； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为4263p ==：则至少有一次取到红球的概率为3031261327p C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故正确.故选：ABD. 三、填空题13．（2020·全国高三课时练习（理））一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________. 【答案】35【解析】()()235(|)253P AB P B A P A ===故答案为：3514．（2020·邢台市第二中学高二期末）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．【答案】14【解析】设事件A ：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B ：“学生丙第一个出场”，对事件A ，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一个给甲，再将余下的4个人全排列有1444C A ⋅种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有2444A A ⋅种，故总的有()14244444n A C A A A =⋅+⋅.对事件AB ，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有1444C A ⋅种故()()()14441424444414n AB C A P B A n A C A A A ⋅===⋅+⋅. 故答案为：1415．（2020·湖南天心长郡中学高三其他（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________． ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件【答案】②④ 【解析】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故④正确；因为()()()123523,,101010P A P A P A ===，所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故②正确；同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======，所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故①③错误. 故答案为：②④16．（2018·全国高二课时练习）某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A ＝_______， ()P A B ＝__________【答案】3438【解析】由已知()415P A =，()215P B =，()110P AB =， ∴ ()()()3|8P AB P B A P A ==，()()()3|4P AB P A B P B == 故答案为34，38求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝n AB n A （）（），其中n(AB)表示事件AB 包含的基本事件个数，n(A)表示事件A 包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P(B|A)＝p AB p A （）（），特别要注意P(AB)的求法．四、解答题17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高二月考（理））有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求：（1）第一次抽到次品的概率；（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率. 【答案】（1）14；（2）119；（3）419.【解析】（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有20中可能，所以概率为两者相除．（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可．（3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为41918．（2020·阜新市第二高级中学高二月考）甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少【答案】（1）0.67（2）0.60 【解析】（1）设A = “甲地为雨天”， B = “乙地为雨天”，则根据题意有()0.20P A =，()0.18P B =，()0.12P AB =.所以乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是()()0.12|0.67()0.18P AB P A B P B ==≈. （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是()()0.12|0.60()0.20P AB P B A P A ===.19．（2020·山东平邑高二期中）已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个. （1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 【答案】（1）19（2）35【解析】（1）两次都取得白球的概率221669P =⨯=；（2）记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球，则452()653P A ⨯==⨯， 432()655P AB ⨯==⨯，利用条件概率的计算公式，可得()233(|)()525P AB P B A P A ==⨯=.20．（2019·攀枝花市第十五中学校高二期中（理））先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为,a b . （1）设向量(,)m a b =，(2,1)n =-，求1m n ⋅=的概率；（2）求在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2的概率. 【答案】（1）112；（2）12【解析】先后抛掷一枚骰子两次，“将出现的点数分别记为,a b ”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)， (1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个. （1）记“向量(,)m a b =，(2,1)n =-，且1m n ⋅=”为事件A ，由1m n ⋅=得：21a b -=，从而事件B 包含(1,1),(2,3),(3,5)共3个基本事件，故31()3612P A ==. （2）设“点数,a b 之和不大于5”为事件B ，包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件；设“,a b 中至少有一个为2”为事件C ，包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，故“在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2” 的概率：()51()102n BC P n B ===. 21．（2020·延安市第一中学高二月考（文））10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求：（1）甲中奖的概率.（2）乙中奖的概率.（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.【答案】（1）310；（2）310；（3）13 【解析】（1）设“甲中奖”为事件A ，则()310P A = （2）设“乙中奖”为事件B ，则()()()()P B P AB AB P AB P AB =+=+ 又()32110915P AB =⨯=，()73710930P AB =⨯= 所以()()()179315303010P B P AB P AB =+=+== （3）因为()710P A =，()730P AB = 所以()()()7130|7310P AB P B A P A=== 22．（2020·河南南阳高二期中（文））某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.【答案】（1）13；（2）15；（3）12．【解析】（1）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，从6名成员中挑选2名成员，有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A事件M所包含的基本事件数为AB，AC，AD，Aa，Ab共有5种，故()51 153P M==．（2）记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，不妨设女生乙为b，则()1 15P MN=，又由（1）知()13P M=，故()() ()15 P MNP N MP M==．（３）记“挑选的2人一男一女”为事件S，则()8 15P S=，“女生乙被选中”为事件N，()415P SN=，故()() ()12 P SNP N SP S==．。

高考数学(文)专题提分训练：等差数列(含答案解析)[ 高考]

等差数列高考试题考点一等差数列的概念与性质1.(2013年辽宁卷,文4)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题:p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列;p 3:数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列;p 4:数列{a n +3nd}是递增数列. 其中的真命题为( )(A)p 1,p 2 (B)p 3,p 4 (C)p 2,p 3 (D)p 1,p 4解析:因为d>0,所以数列{a n }是递增数列,p 1为真命题;若等差数列为-10,-9,-8,…,则1×a 1>2a 2,所以p 2为假命题;若等差数列为1,32,2,…,则11a =1, 22a =322=34,所以p 3为假命题;又因为a n+1+3(n+1)d-(a n +3nd)=a n +d+3nd+3d-a n -3nd=4d>0,所以p 4为真命题,故选D. 答案:D2.(2012年辽宁卷,文4)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10等于( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)24解析:由等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *), 则a m +a n =a p +a q , 得a 4+a 8=a 2+a 10=16. 故选B. 答案:B3.(2010年大纲全国卷Ⅱ,文6)如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )(A)14 (B)21 (C)28 (D)35解析:∵a3+a4+a5=12,∴a4=4,a1+a2+…+a7=12×7×(a1+a7)=7a4=28.故选C.答案:C4.(2011年重庆卷,文1)在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10等于( )(A)12 (B)14 (C)16 (D)18解析:在等差数列{a n}中,公差d=a3-a2=4-2=2,则a10=a2+8d=2+16=18.故选D.答案:D5.(2010年重庆卷,文2)在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为( )(A)5 (B)6 (C)8 (D)10解析:在等差数列{a n}中,由性质可直接得a1+a9=2a5,所以a5=5,故选A. 答案:A6.(2009年辽宁卷,文3){a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d 等于( )(A)-2 (B)-12(C)12(D)2解析:a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,∴d=-12.故选B.答案:B7.(2013年重庆卷,文12)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .解析:设等差数列的公差为d,则9=2+4d,d=74.故c-a=2d=72.答案:728.(2012年北京卷,文10)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1=12,S 2=a 3,则a 2= ,S n = . 解析:设等差数列{a n }的公差为d, ∵S 2=a 3,∴2a 1+d=a 1+2d,∴a 1=d. 又∵a 1=12,∴d=12, ∴a 2=a 1+d=1,S n =na 1+()12n n d -=14n 2+14n. 答案:114n 2+14n 9.(2011年天津卷,文11)已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,n ∈N *.若a 3=16,S 20=20,则S 10的值为 . 解析:设等差数列首项为a 1,公差为d,由题意可得11216,120201920,2a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=⎪⎩ 解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩∴S 10=10a 1+12×10×9d =10×20+12×10×9×(-2) =110.答案:11010.(2011年辽宁卷,文15)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 2=S 6,a 4=1,则a 5= .解析:由S 2=S 6得a 3+a 4+a 5+a 6=0, 由等差数列性质a 3+a 6=a 4+a 5, ∴2(a 4+a 5)=0, ∴1+a 5=0, ∴a 5=-1. 答案:-111.(2010年辽宁卷,文14)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9= .解析:设等差数列公差为d,则 S 3=3a 1+322⨯d=3a 1+3d=3, 即a 1+d=1,① S 6=6a 1+652⨯d=6a 1+15d=24, 即2a 1+5d=8,②联立①②两式得a 1=-1,d=2, 故a 9=a 1+8d=-1+8×2=15. 答案:1512.(2009年山东卷,文13)在等差数列{a n }中,a 3=7,a 5=a 2+6,则a 6= .解析:设等差数列的公差为d,首项为a 1,则31522,3,a a d a a d =+⎧⎨-=⎩解得12,3,d a =⎧⎨=⎩ 所以a 6=a 1+5d=13.答案:1313.(2012年湖北卷,文20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d,由题意得()()1111333,28,a d a a d a d +=-⎧⎪⎨++=⎪⎩解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3,a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5, 或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|a n |=|3n-7|=37,1,2,37, 3.n n n n -+=⎧⎨-≥⎩记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n=1时,S 1=|a 1|=4;当n=2时,S 2=|a 1|+|a 2|=5; 当n ≥3时,S n =S 2+|a 3|+|a 4|+…+|a n |=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7) =5+()()22372n n -+-⎡⎤⎣⎦=32n 2-112n+10. 当n=2时,满足此式.综上,S n =24,1,31110, 1.22n n n n =⎧⎪⎨-+>⎪⎩14.(2010年山东卷,文18)已知等差数列{a n }满足:a 3=7,a 5+a 7=26,{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ; (2)令b n =211n a - (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, 由于a 3=7,a 5+a 7=26,所以a 1+2d=7,2a 1+10d=26, 解得a 1=3,d=2.所以a n =a 1+(n-1)d=2n+1,S n =na 1+()12n n -d=n 2+2n.(2)因为a n =2n+1,所以2n a -1=(a n -1)(a n +1)=4n(n+1),因此b n =()141n n +=14(1n -11n +).故T n =b 1+b 2+…+b n=14[(1-12)+(12-13)+…+(1n -11n +)] =14(1-11n +)=()41nn +. 所以数列{b n }的前n 项和T n =()41nn +. 考点二等差数列的通项和前n 项和公式1.(2013年安徽卷,文7)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9等于( ) (A)-6 (B)-4 (C)-2 (D)2解析:由S 8=4a 3得()1882a a +=4a 3,即a 1+a 8=a 2+a 7=a 3,所以公差d=a 3-a 2=a 7=-2,a 9=a 7+2d=-2+(-4)=-6.故选A. 答案:A2.(2013年陕西卷,文17)设S n 表示数列{a n }的前n 项和. (1)若{a n }为等差数列,推导S n 的计算公式;(2)若a 1=1,q ≠0,且对所有正整数n,有S n =11nq q--.判断{a n }是否为等比数列,并证明你的结论. 解:(1)设{a n }的公差为d, 则S n =a 1+a 2+…+a n=a 1+(a 1+d)+…+[a 1+(n-1)d],又S n =a n +(a n -d)+…+[a n -(n-1)d], ∴2S n =n(a 1+a n ),∴S n =()12n n a a +. (2)当n=1时,S 1=1.当n=2时,S 2=211q q--=1+q,a 1+a 2=1+q,a 2=q.当n=3时,S 3=311q q--=1+q+q 2,a 1+a 2+a 3=1+q+q 2,a 3=q 2;初步断定数列{a n }为等比数列. 证明如下:∵S n =11nq q--,∴a n+1=S n+1-S n =111n q q +---11nq q--=()11n q q q--=q n. ∵a 1=1,q ≠0,∴当n ≥1时,有1n na a +=1nn q q -=q,因此,{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列.3.(2010年新课标全国卷,文17)设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值. 解:(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9得1125,99,a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 可解得19,2,a d =⎧⎨=-⎩所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n(n ∈N *).(2)法一由(1)知,S n =na 1+()12n n -d=10n-n 2. 因为S n =-(n-5)2+25,所以当n=5时,S n 取得最大值. 法二由(1)知S n =na 1+()12n n -d=10n-n 2, a n =11-2n 令a n =0得n=5.5, a 5=1,a 6=-1,所以数列{a n }前5项都为正数,从第6项起都是负数, 因此S n 的最大值是S 5,S 5=()1552a a +=()5912⨯+=25. 故当n=5时,S n 取得最大值.4.(2010年浙江卷,文19)设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0. (1)若S 5=5,求S 6及a 1; (2)求d 的取值范围. 解:(1)由题意知S 6=515S -=-3, a 6=S 6-S 5=-8,所以115105,58,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得a 1=7,d=-3.所以S 6=-3,a 1=7. (2)因为S 5S 6+15=0,所以(5a 1+10d)(6a 1+15d)+15=0, 即221a +9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d)2=d 2-8, 所以d 2≥8,故d 的取值范围为d ≤或d ≥考点三等差数列的综合应用1.(2012年四川卷,文12)设函数f(x)=(x-3)3+x-1,{a n }是公差不为0的等差数列,f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 7)=14,则a 1+a 2+…+a 7等于( ) (A)0 (B)7 (C)14 (D)21解析:∵{a n }是公差不为0的等差数列, 且f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 7)=14, ∴[(a 1-3)3+a 1-1]+[(a 2-3)3+a 2-1]+…+[(a 7-3)3+a 7-1]=14, ∴(a 1+a 2+a 3+…+a 7)-7=14, ∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=21.故选D. 答案:D2.(2011年湖北卷,文9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) (A)1升 (B)6766升 (C)4744升 (D)3733升解析:设自上而下各节容积成等差数列的公差为d,首节容积为a 1,则由已知得()()()()()()1111111233,6784,a a d a d a d a d a d a d ++++++=⎧⎪⎨+++++=⎪⎩解得113,227.66a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴第5节容积为a 1+4d=6766(升).故选B. 答案:B3.(2011年陕西卷,文10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )(A)①和 (B)⑨和⑩(C)⑨和 (D)⑩和解析:设树苗放置在第n个坑,则各位同学从各自树坑前来领树苗所走的总路程为s=20[1+2+3+…+(n-1)]+20[1+2+3+…+(20-n)]=20[()12n n-+()()20212n n--]=20×224220212n n-+⨯=20(n2-21n+210),对称轴为n=10.5,又n∈N*,∴n=10或11.故选D.答案:D模拟试题考点一等差数列的概念与基本运算1.(2013山师大附中模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根,S5等于( )(A)52(B)5 (C)-52(D)-5解析:因为a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根, 所以a2+a4=1.又S5=()1552a a+=()2452a a+=52.故选A.答案:A2.(2013贵州六校联盟联考)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a5=8,S3=6,则a9等于( )(A)8 (B)12 (C)16 (D)24解析:在等差数列中,a 5=a 1+4d=8, S 3=3a 1+322⨯d=3a 1+3d=6, 即a 1+d=2,解得a 1=0,d=2. 所以a 9=a 1+8d=8×2=16.故选C. 答案:C3.(2013北京市东城区期末)已知{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,若a 3=6,S 3=12,则公差d 等于( ) (A)1 (B)53(C)2 (D)3 解析:因为a 3=6,S 3=12, 所以S 3=12=()1332a a +=()1362a +, 解得a 1=2,所以a 3=6=a 1+2d=2+2d,解得d=2.答案:C4.(2013云南师大附中检测)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,当整数n>1时,S n+1+S n-1=2(S n +S 1)都成立,则S 15= . 解析:由S n+1+S n-1=2(S n +S 1) 得(S n+1-S n )-(S n -S n-1)=2S 1=2, 即a n+1-a n =2(n ≥2),数列{a n }从第二项起构成公差为2的等差数列, S 15=1+2+4+6+8+…+28=211. 答案:2115.(2013云南昆明一中检测)已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 10=S 4,则89S a 等于 . 解析:由a 10=S 4, 得a 1+9d=4a 1+432⨯d=4a 1+6d, 即a 1=d ≠0. 所以S 8=8a 1+872⨯d=8a 1+28d=36d,所以89S a =1368d a d +=369d d=4. 答案:46.(2012莱芜检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=12,S n =n 2a n -n(n-1),n=1,2,… (1)求证数列1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求S n ; (2)设b n =323n S n n +,求证b 1+b 2+…+b n<512. 解:(1)由S n =n 2a n -n(n-1)知当n ≥2时,S n =n 2(S n -S n-1)-n(n-1), 即(n 2-1)S n -n 2S n-1=n(n-1),∴1n n +S n -1n n -S n-1=1,对n ≥2成立.又111+S 1=1,∴1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. 1n n+S n =1+(n-1)·1, ∴S n =21n n +.(2)b n =323n S n n +=()()113n n ++=12(11n +-13n +), b 1+b 2+…+b n =12(12-14+13-15+…+1n -12n ++11n +-13n +)=12(56-12n +-13n +)<512.考点二等差数列的最值问题1.(2013北大附中河南分校调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 15>0,S 16<0,则11S a ,22S a ,…,1515S a 中最大的项为( )(A)66S a (B)77S a (C)99S a (D)88S a 解析:由S 15=()115152a a +=15a 8>0, 得a 8>0. 由S 16=()116152a a +=()98152a a +<0,得a 9+a 8<0,所以a 9<0,且d<0.所以数列{a n }为递减的数列.所以a 1,…,a 8为正,a 9,…,a n 为负, 且S 1,…,S 15>0,S 16,…,S n <0, 则1515S a <0,…, 1010S a <0, 99S a <0, 88S a >0,…, 11Sa >0, 又S 8>S 1,a 1>a 8, 所以88S a >11S a >0, 所以最大的项为88S a . 答案:D2.(2012青岛高三期末检测)在等差数列{a n }中,已知a 1=-6,a n =0,公差d ∈N *,则n(n ≥3)的最大值为( ) (A)7 (B)6 (C)5 (D)8 解析:a n =a 1+(n-1)d=0, ∴d=61n -, 又d ∈N *,∴n(n ≥3)的最大值为7.答案:A3.(2012安徽质检)在等差数列{a n }中,a 1=13,S 3=S 11,试求S n 的最大值. 解:法一等差数列的前n 项和可以看做是关于n 的二次函数.∵S 3=S 11,3112+=7, ∴n=7时,S n 最大.又由S 3=S 11得a 4+a 5+…+a 11=0, ∴4(a 7+a 8)=0,又a 1=13, 从而可知d=-2,∴S 7=49,即S n 的最大值为49. 法二由已知得d=-2. 设等差数列的前n 项和最大,可知10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩∴132≤n ≤152, 由n ∈N *可知n=7时,S n 最大. S 7=7a 1+762⨯×d=49,故S n 的最大值是49. 考点三等差数列与其他知识的综合应用1.(2011泉州模拟)“点P n (n,a n )(n ∈N *)都在直线y=x+1上”是“数列{a n }为等差数列”的( )(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若a n =n+1,则{a n }为等差数列,反之显然不成立,故选A. 答案:A2.(2011广东梅县模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线(该直线不经过点O),则S 200等于( )(A)100 (B)101 (C)200 (D)201解析:∵OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线, ∴a 1+a 200=1. ∴S 200=()12002002a a +=100.答案:A3.(2012安徽江南十校联考)已知函数f(x)=cos x,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1、x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3、x4,若把这四个数从小到大排列构成等差数列,则实数m等于( )(A)12(B)-12(C)2(D)-2解析:简图如图所示,若m>0,则公差d=3π2-π2=π,显然不成立,所以m<0.则公差d=3ππ223-=π3.所以m=cos(π2+π3)=-2.答案:D4.(2012安徽皖南八校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n 项和为S n(n∈N*),a1=3,S3=39.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若在a n与a n+1之间插入n个数,使得这n+2个数组成一个公差为d n 的等差数列,求1nd⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和T n.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0),∵a1=3,S3=39,∴q≠1,∴()3311q q--=39,∴1+q+q 2=13,q 2+q-12=0, ∴q=3,q=-4(舍去). 故a n =3n.(2)∵a n =3n ,则a n+1=3n+1,由题意知a n+1=a n +(n+1)d n ,则d n =231nn ⋅+.则1n d =123nn +⋅, 所以T n =11d +21d +…+1n d =223⨯+2323⨯+…+123n n +⨯① 13T n =2323⨯+3323⨯+…+1123n n ++⨯② ①-②得23T n =13+12(213+313+…+13n )-1123n n ++⨯ =13+12×111193113n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦--1123n n ++⨯ =512-12243n n ++⨯, 所以T n =58-5283nn+⨯.综合检测1.(2012福建师大附中模拟)已知等差数列{a n }的前13项之和为39,则a 6+a 7+a 8等于( ) (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:∵S 13=13a 7=39, ∴a 7=3,又a 6+a 7+a 8=3a 7=9,故选B. 答案:B2.(2013北京海淀区期末)数列{a n }满足a 1=1,a n+1=r ·a n +r(n ∈N *,r ∈R 且r ≠0),则“r=1”是“数列{a n }成等差数列”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若r=1,则a n+1=a n +1, 即a n+1-a n =1,所以数列{a n }成等差数列.若数列{a n }成等差数列,设公差为d,则a n+1-a n =r ·a n +r-(r ·a n-1+r)=r(a n -a n-1), 即d=dr,若d ≠0,则r=1, 若d=0,则a n+1=a n =a 1=1, 即1=r+r=2r, 此时r=12.所以r=1是数列{a n }成等差数列的充分不必要条件.答案:A3.(2012滨州模拟)已知由正项组成的等差数列{a n }的前20项的和是100,那么a 6·a 15的最大值是( ) (A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在解析:由已知得()120202a a +=100,∴a 1+a 20=10. 已知a n >0, 则a 6·a 15≤(6152a a +)2=1202a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭2=102⎛⎫ ⎪⎝⎭2=25. 答案:A4.(2012东莞一模)设{lg a n }是等差数列,公差d=lg 3,且{lg a n }的前三项和为6lg 3,则{a n }的通项为 . 解析:由已知得lg a 1+lg a 1+lg 3+lg a 1+2lg 3=6lg 3. ∴lg 31a =3lg 3, 31a =33, ∴a 1=3,故{lg a n }是首项为lg 3,公差为lg 3的等差数列, ∴lg a n =lg 3+(n-1)lg 3=nlg 3, ∴a n =3n. 答案:a n =3n5.(2012徐州检测)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和,且S 9=18,S n =240,若a n-4=30(n>9),则n= . 解析:设{a n }的首项为a 1,公差为d,由已知得()()11198918,21240,2530,a d n n na d a n d ⨯⎧+=⎪⎪-⎪+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩ 即 ()11142, 1240,2530,a d n a d n a n d +=⎧⎪-⎪+=⎨⎪⎪+-=⎩①②③③-①得(n-9)d=28, 由③-②得()92n d -=30-240n,则n=15.答案:156.(2012琼海一模)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60,且a 6为a 1和a 21的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n+1-b n =a n (n ∈N *),且b 1=3,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),则()()1211161560,205,a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得12,5,d a =⎧⎨=⎩ ∴a n =2n+3. (2)由b n+1-b n =a n 知b n -b n-1=a n-1(n ≥2,n ∈N *),b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1 =a n-1+a n-2+…+a 1+b 1 =(n-1)(n-1+4)+3 =n(n+2).∴b n =n(n+2)(n ∈N *). ∴1n b =()12n n +=12(1n -12n +), ∴T n =12(1-13+12-14+…+1n -12n +) =12(32-11n +-12n +)=()()235412n n n n +++.。

2安徽师大附中2013届高考一模数学文试题(WORD解析版) 2

安徽师大附中2013届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，则实数a的值为（）A．1B．﹣1 C．±1 D．0或±1考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题；分类讨论．分析：由B⊆A，可分B=∅和B≠⊅两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的a值，并写成集合的形式即可得到答案．解答：解：∵A={x|x2=1}={﹣1，1}，又∵B⊆A，当a=0，ax=1无解，故B=∅，满足条件若B≠∅，则B={﹣1}，或Q={1}，即a=﹣1，或a=1故满足条件的实数a∈{0，1，﹣1}故选D．点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，本题有两个易错点，一是忽略B=∅的情况，二是忽略题目要求求满足条件的实数a的取值集合，而把答案没用集合形式表示，属中档题．2．（5分）若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大值为（）A．B．1C．2D．4考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由于a＞0，b＞0，a+2b=2，故可利用基本不等式求ab的最大值．解答：解：：∵a＞0，b＞0，a+2b=2∴∴ab当且仅当a=2b=1即a=，b=1时取等号∴ab的最大值为故选A点评：本题以等式为载体，考查基本不等式，关键是注意基本不等式的使用条件：一正，二定，三相等．3．（5分）已知点M是直线ℓ：2x﹣y+4=0与x轴的交点，过M点作直线ℓ的垂线，则垂线方程为（）A．x﹣2y﹣2=0 B．x+2y+2=0 C．x﹣2y+2=0 D．x+2y﹣2=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：在2x﹣y+4=0中，令y=0，解得x=﹣2，M（﹣2，0）．由题设知所求的垂线所在的直线方程过M（﹣2，0），斜率k=﹣，由此能求出所求的垂线所在的直线方程．解答：解：在2x﹣y+4=0中，令y=0，解得x=﹣2，∴M（﹣2，0）．∵k l=2，∴所求的垂线所在的直线的斜率k=﹣，故所求的垂线所在的直线方程是：y=﹣（x+2），整理，得x+2y+2=0．故选B．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意两条直线的位置关系的应用．4．（5分）（2013•辽宁一模）命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；特称命题．专题：计算题．分析：命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”，等价于命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，故△=a2+16a≤0，由此得到﹣16≤a≤0；由﹣16≤a≤0，知△=a2+16a≤0，故命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，所以命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”．由此得到命题“∃x∈R，使x2+ax ﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．解答：解：∵命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”，∴命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，∴△=a2+16a≤0，∴﹣16≤a≤0，即命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”⇒“﹣16≤a≤0”；∵﹣16≤a≤0，∴△=a2+16a≤0，∴命题“∀x∈R，使x2+ax﹣4a≥0为真命题”，∴命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”，即命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”⇒“﹣16≤a≤0”．故命题“∃x∈R，使x2+ax﹣4a＜0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的充要条件．故选C．点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．（5分）（2009•山东）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：按照向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可．解答：解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，故选A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查图象变化，是基础题．6．（5分）（2011•安徽模拟）已知两个单位向量的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）A．方向上的投影为cosθB．C．D．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：计算题．分析：由已知中两个单位向量的夹角为θ，根据向量在另一个向量上投影的定义，可以判断A的真假，根据向量平方等于向量模的平方，可以判断B的真假；根据两向量数量积为0，则向量垂直，可以判断C的真假；根据向量数量积的运算公式，我们可以判断D的真假，进而得到答案．解答：解：∵两个单位向量的夹角为θ，则则方向上的投影为cosθ=cosθ，故A正确；=1，故B正确；==0，故，故C正确；=，故D错误；故选D。

高考数学大二轮复习刷题首选卷第三部分刷模拟高考仿真模拟卷(四)文-人教版高三全册数学试题

2020高考仿真模拟卷(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3]B ．[－1，3] C ．∅D ．(－1，3] 答案 B解析因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x－ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x－ln x ≥2 B．∀x ∈Q,2x－ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x－ln x ≥2 D．∀x ∈Q,2x－ln x ＝2 答案 C解析綈p 为∀x ∈Q,2x－ln x ≥2. 3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析设f (x )＝x α(α为常数)，∵满足f 4f 2＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z∈R .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0，1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确；④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z＝a＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b2＝2a ∈R ，故④正确． 5．关于直线a ，b 及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥b B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若a ⊥α，α∥β，则α⊥β D ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α 答案 C解析 A 错误，因为a 不一定在平面β内，所以a ，b 有可能是异面直线；B 错误，若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，可能相交，也可能m 在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C 正确；D 错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13 答案 C解析因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A.y 28＋x 24＝1B.x 28＋y 24＝1C.y 216＋x 212＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1，由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22，则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了答案 C解析因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A ，D 不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B 不可能正确．选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．50B ．53C ．59D ．62 答案 B解析模拟程序运行，变量n 值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n ＝53.10．(2019·某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，且|φ|<π，∴φ＝0. 又f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f (x )＝A sin2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin2x .∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.11．已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝( )A ．238＋1 B ．239＋2 C ．238＋2 D ．239答案 B解析根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (log 34)<f (2－23 )<f (2－32)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析根据题意，设高三年级抽取x 人，则高一抽取(180－x －65)人，由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65，解得x ＝55.高一学生有720人，则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)过直线x ＝y 与直线2x －y ＝2的交点(2,2)时，目标函数z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)取得最大值4，即2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2，而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，故1m ＋1n的最小值为2.15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， ∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18， ∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36，结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9，可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ．若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为________．答案 2－4ln 2解析因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立．令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－21－xx 2<0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0，从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·某某某某模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：将这100险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率．解 (1)m ＝100－50－10－10－3－2＝25，3分估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×5100＝250.6分(2)解法一：保费不超过950元的类型有A 1，A 2，A 3，A 4，所求概率为50＋10＋10＋25100＝0.95.12分解法二：保费超过950元的类型有A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分 (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分19．(2019·某某模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1＝π3，AB ＝BB 1＝2，BC ＝1，D 为CC 1的中点．(1)求证：DB 1⊥平面ABD ； (2)求点A 1到平面ADB 1的距离．解 (1)证明：在平面四边形BCC 1B 1中，因为BC ＝CD ＝DC 1＝1，∠BCD ＝π3，所以BD ＝1，又易知B 1D ＝3，BB 1＝2，所以∠BDB 1＝90°，所以B 1D ⊥BD ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥DB 1，3分所以B 1D 与平面ABD 内两相交直线AB 和BD 同时垂直，所以DB 1⊥平面ABD .5分(2)对于四面体A 1－ADB 1，A 1到直线DB 1的距离，即A 1到平面BB 1C 1C 的距离，A 1到B 1D 的距离为2，设A 1到平面AB 1D 的距离为h ，因为△ADB 1为直角三角形，所以S △ADB 1＝12AD ·DB 1＝12×5×3＝152，所以V A 1－ADB 1＝13×152×h ＝156h ，7分因为S △AA 1B 1＝12×2×2＝2，D 到平面AA 1B 1的距离为32，所以V D －AA 1B 1＝13×2×32＝33，9分因为V A 1－ADB 1＝V D －AA 1B 1，所以15h 6＝33，解得h ＝255.所以点A 1到平面ADB 1的距离为255.12分20．(2019·某某师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于两点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且|y 1－y 2|＝a (a ＞0，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD ，BD .试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则Q (－1，y )，∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，即2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，即y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，依题意，知k ≠0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4bk，由|y 1－y 2|＝a ，得(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝a 2，即16k 2－16b k＝a 2，整理，得16－16kb ＝a 2k 2，所以a 2k 2＝16(1－kb )，①7分因为AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－bk k 2，2k ，所以点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2，2k ，则S △ABD ＝12|DM |·|y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－bk k 2a ，9分由方程ky 2－4y ＋4b ＝0的判别式Δ＝16－16kb ＞0，得1－kb ＞0，所以S △ABD ＝12·1－bkk2·a ，由①，知1－kb ＝a 2k 216，所以S △ABD ＝12·a 216·a ＝a332，又a 为常数，故S △ABD 的面积为定值.12分21．(2019·某某某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.解 (1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)， f ′(x )＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )＜0，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e xx －ln x (x＞0)，φ′(x )＝2x －1e x －e 2x e 2x2，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，7分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0； ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x ＞0)，φ′(x )＝2x －2exe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12.令r (x )＝ln x x ，则r ′(x )＝1－ln xx2，当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e，∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2>ln xx，得证.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝xa ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得，ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值X 围．解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1有，3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立，即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，而k >－1，故－1<k ≤94.∴k 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。

2025届山东省山东师大附中高三第一次调研测试语文试卷含解析

2025届山东省山东师大附中高三第一次调研测试语文试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

1、阅读下面的文字，完成下列小题。

鼠疫（节选）（法）阿贝尔•加缪晚上将近十点，里厄的汽车停到老哮喘病患者的楼门前，这是他今天出诊的最后一站。

他从座位上起身都特别吃力，不免磨蹭了一会儿，望了望昏暗的街道、黑乎乎的天空中时隐时现的星星。

老哮喘病患者半卧在床上，正数着从一只锅放进另一只锅里的鹰嘴豆，看样子呼吸通畅些了。

他喜形于色，欢迎大夫来探视。

“怎么着，大夫，闹起霍乱来啦？”“您从哪儿听说是霍乱？”“报上刊登的，电台里也广播了。

”“不对，不是霍乱。

”“不管怎么说，”老人非常兴奋，“那些有头有脸的人物，哼，他们说得也太过火了！”“千万不要这样想。

”大夫说道。

他给老人检查了身体，现在，他坐到这间简陋的餐厅的中央。

不错，他是害怕了。

他知道单在这个城郊街区，就有十来个病人等待他明天上午去诊治，一个个因患腹股沟淋巴结炎而佝偻着身子。

在动手术切开淋巴结的患者中，仅有两三例病情好转。

可是，大多数病人都得住院，然而，这天晚上，政府公报仍旧很乐观。

第二天，朗斯多克情报所公布，公民对省政府采取的措施反应平静，已有三十余病人登记。

卡斯泰尔给里厄来过电话：“那两间亭阁里有多少床位？”“共有八十张。

”“全城的病人，肯定不止三十名吧？”“有些人是胆小，还有其他更多的人来不及申报。

”“丧葬没有人监视吗？”“没有。

我给里夏尔打过电话，提出必须采取全面措施，不要讲空话，必须筑起一道真正的屏障，阻止瘟疫蔓延，否则就什么也别干。

”“他怎么说？”“他回答我说，他无权决定。

依我看，人数还要往上升。

高考数学最新真题专题解析—古典概型与几何概型(文科)

高考数学最新真题专题解析—古典概型与几何概型（文科）考向一古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）【母题题文】从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A. 15B.13C.25D. 23【答案】C【试题解析】从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()() 1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6 15种情况，其中数字之积为4的倍数的有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为62 155=.故选：C.【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）列举法求古典概型的概率；（2）树状图法求古典概型的概率．【得分要点】(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 考向二几何概型【母题来源】2021年高考全国卷（理科）【母题题文】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（） A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B【试题解析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111S Ω=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为133********A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω== 【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率；（4）由角度比求几何概型的概率. 【得分要点】(1)能运用模拟方法估计概率. (2)了解几何概型的意义. 真题汇总及解析一、单选题1．（河南省平顶山市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）6把不同的钥匙中只有1把可以打开某个锁，从中任取2把能将该锁打开的概率为（） A ．23 B ．12C ．13D ．16【答案】C 【解析】【分析】将6把钥匙编号为a 、b 、c 、d 、e 、f ，不妨设能打开锁的为钥匙a ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.将6把钥匙编号为a、b、c、d、e、f，不妨设能打开锁的为钥匙a．从中任取2把，有：ab、ac、ad、ae、af、bc、bd、be、bf、cd、ce、cf、de、df、ef，共15种情况，能将锁打开的情况有5种，分别为ab、ac、ad、ae、af，故所求概率为51 153=．故选：C.2．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A．13B．25C．1130D．310【答案】B【解析】【分析】列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得.【详解】解：甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10， (29)乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10， (30)丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9， (29)在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29∴三人同一天工作的概率为122305P==．3．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上中下三等．一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制．已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快．若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场，则田忌获胜的概率为（）A．12B．13C．14D．16【答案】D【解析】【分析】设齐王有上、中、下三等的三匹马A、B、C，田忌有上、中、下三等的三匹马a、b、c，列举出所有比赛的情况，以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时比赛的情况，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设齐王有上、中、下三等的三匹马A，B，C，田忌有上、中、下三等的三匹马a，b，c，所有比赛的方式有：Aa，Bb，Cc；Aa，Bc，Cb；Ab，Ba，Cc；Ab，Bc，Ca；Ac，Ba，Cb；Ac，Bb，Ca，一共6种．其中田忌能获胜的方式只有Ac，Ba，Cb1种，故此时田忌获胜的概率为16．故选：D.4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A，B，C三个景区中的一个景区旅游，甲乙去A，B，C三个景区旅游的概率分别如表：则甲、乙去不同景区旅游的概率为（）去A 景区旅游去B 景区旅游去C 景区旅游甲 0.4 0.2 乙 0.3 0.6D ．0.52【答案】A 【解析】【分析】由题可得甲、乙去同一景区旅游的概率，然后利用对立事件的概率公式即得. 【详解】由题可得甲乙去A ，B ，C 三个景区旅游的概率分别如表：去A 景区旅游去B 景区旅游去C 景区旅游甲 0.4 0.2 0.4 乙 0.10.30.60.40.60.34+⨯=，故甲、乙去不同景区旅游的概率为10.340.66-=. 故选：A.5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））在区间[-2，12]中任取一个数x ，则[]8,13x ∈的概率为（）A ．514B ．27C ．25D ．13【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的概率公式可求出结果. 【详解】根据几何概型的概率公式得[]8,13x ∈的概率为128212(2)7-=--. 故选：B.6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为（） A ．152B ．827C ．413D ．1752【答案】C 【解析】【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果. 【详解】依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A ”包含的样本点为16，所以抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为1645213=，故选：C. 7．（2022·河北邯郸·二模）甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方．游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为1，3，乙手中的两张纸牌数字分别为2，4．则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为（） A ．12 B ．14C ．34D ．38【答案】B 【解析】【分析】用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】甲手中的两张纸牌数字用{}1,3表示，乙手中的两张纸牌数字用{}2,4表示，一个回合之后，甲、乙两人手中的两张纸牌数字分别为：（1）{}{}2,314、，；（2）{}{}4,321、，；（3）{}{}1,234、，：（4）{}{}1,423、，共4种情况，其中甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和共有一种情况，所以甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为14，故选：B 8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间[]0,1上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于12的概率为（） A ．34B ．12C ．14D ．18【答案】C 【解析】【分析】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，满足12x y ->，画出不等式表示的平面区域，结合面积比的几何概型，即可求解. 【详解】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，则12x y ->，即12x y ->，或12x y -<-．画出可行域，如图所示，则12x y ->，或12x y -<-所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为14，故所求概率11414P ==；故选：C.9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））若在区间[]1,1-内随机取一个实数t ，则直线y tx =与双曲线2214xy -=的左、右两支各有一个交点的概率为（）A ．14B ．12C ．18D ．34【答案】B 【解析】【分析】求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出t 的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】双曲线的渐近线斜率为12±，则12t <，即1122t -<<，故所求概率为12P =，故选：B.10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M 地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）. A ．13B ．16C ．59D ．38【答案】B 【解析】【分析】从早上7点开始计时，设甲经过x 十分钟到达，乙经过y 十分钟到达，可得x 、y 满足的不等式线组对应的平面区域为如图的正方形ABCD ，而甲乙能够见面，x 、y 满足的平面区域是图中的四边形EFGH ．分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概率公式计算可得．【详解】解：从早上7点开始计时，设甲经过x 十分钟到达，乙经过y 十分钟到达，则x 、y 满足0639x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形ABCD ，若甲乙能够见面，则x 、y 满足||1x y -≤，该不等式对应的平面区域是图中的四边形EFGH ，6636ABCD S =⨯=，114422622EFGH BEHBFGS SS=-=⨯⨯-⨯⨯= 因此，甲乙能见面的概率61366EFGH ABCD S P S ===故选：B．二、填空题11．【2020·天津市红桥区高考二模】一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为________．【答案】1 12【解析】基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1)，(2,3,4)，(4,3,2)，(3,3,3)，(2,4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共18个，所求事件的概率P＝186×6×6＝112.12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个x、y 都小于1的正实数对(),x y，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m，最后再根据m来估计π的值．假如统计结果是36m=，那么π的估计值为______．【答案】3.2【解析】【分析】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 表示的点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得．【详解】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，如图正方形OABC （不含边界），x 、y 两数能与1构成钝角三角形满足条件2211x y x y +>⎧⎨+<⎩，(,)x y 表示的点构成的区域是图中阴影部分（不含边界），因此所求概率为113642142120P ππ-==-=，估计 3.2π≈．故答案为：3.213．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m 不放回，再从余下的卡片中取一张记作n ．则点(),P m n 在第二象限的概率为______．【答案】16【解析】【分析】列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可【详解】由题，点(),P m n 所有可能的情况为()1,0-，()1,2--，()1,3-，()0,1-，()0,2-，()0,3，()2,1--，()2,0-，()2,3-，()3,1-，()3,0，()3,2-共12种情况，其中在第二象限的为()2,3-，()1,3-，故点(),P m n 在第二象限的概率为21126= 故答案为：1614．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________．【答案】59【解析】先把两人能够会合转化为几何概型，利用几何概型的概率公式直接求解.【详解】设小明到达的时刻为8时x 分，小强到达的时刻为8时y 分，其中030,030x y ≤≤≤≤，则当|x-y |≤10时，两人能够在图书馆门口会合.如图示：两人到达时刻（x ，y ）构成正方形区域，记面积为S ,而事件A ：两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为S 1 所以1900-22005()=9009S P A S ⨯==. 故答案为：59.【点睛】（1）几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型；（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比.三、解答题15．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩，北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某校体育组组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，并对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶，现将100名喜爱冰雪运动的学生参赛成绩制成如下频率分布表，若第三组与第五组的频之和是第一组的6倍，试回答以下问题；成绩分组（50，60] （60，70] （70，80] （80，90] （90，100] 频率 b 0.26 a 0.18 0.06(2)如果规定竞赛成绩在（80，90]为“良好”，竟赛成绩在（90，100]为“优秀”，从受奖励的15名学生中利用分层抽样抽取5人，现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个“优秀”的概率.【答案】(1)0.08,0.42b a ==，估计值为85 (2)35【解析】【分析】（1）由题意结合频率之和等于1得出,a b ，再由频率、频数的关系得出受奖励的分数线的估计值；（2）分别求出良好、优秀的人数，再由分层抽样的性质结合列举法得出所求概率.(1)0.06610.260.18a b a b +=⎧⎨+=--⎩，∴0.08,0.42b a == 竞赛成绩在[90，100]分的人数为0.061006⨯=，竞赛成绩在[80，90）的人数为0.1810018⨯=，故受奖励分数线在[80，90）之间，设受奖励分数线为x ，则900.180.060.1510x -⨯+= 解得85x =，故受奖励分数线的估计值为85.(2)由（1）知，受奖励的15人中，分数在[85，90]的人数为9，分数在（90，100]的人数为6，利用分层抽样，可知分数在[85，90]的抽取3人，分数在（90，100]的抽取2人，设分数在（90，100]的2人分别为1A ，2A ，分数在[85，90]的3人分别为1B ，2B ，3B ，所有的可能情况有（1A ，2A ），（1A ，1B ），（1A ，2B ），（1A ，3B ），（2A ，1B ），（2A ，2B ），（2A ，3B ），（1B ，2B ），（1B ，2B ），（2B ，3B ），共10种，满足条件的情况有（1A ，1B ），（1A ，2B ），（1A ，3B ），（2A ，1B ），（2A ，2B ），（2A ，3B ）共6种，故所求的概率为63105P ==.16．（2020·江苏·一模）2021年江苏省高考实行“312++”模式，“312++”模式是指“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史2个科目中选择1科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目.（1）若学生甲在“1”中选物理，在“2”中任选2科，求学生甲选化学和生物的概率；（2）设2220x ax b ++=是关于x 的一元二次方程，若[]0,3a ∈，[]0,2b ∈，求方程有实数根的概率.【答案】（1）16；（2）23【解析】【分析】（1）记学生甲选化学和生物为事件A ，求事件A 包含的基本事件的个数和总的基本事件的个数，由古典概型计算公式即可求解；（2）记方程有实根为事件B ，由几何概型概率公式计算即可求解.【详解】（1）记学生甲选化学和生物为事件A ，学生甲在“1”中选物理，在“2”中任选2科，包含的基本事件有：（化，生），（化，政），（化，地），（生，政）（生，地），（政，地）共有6个，事件A 包含的基本事件为（化，生），共1个，所以()16P A =.（2）记方程2220x ax b ++=有实根为事件B ，总的基本事件区域为(){},|03,02a b a b ≤≤≤≤的面积，若方程2220x ax b ++=有实根，则22440a b ∆=-≥，即220a b -≥，可得()()0a b a b +-≥，所以a b ≥，事件B 发生包含的区域为(){},|,03,02a b a b a b ≥≤≤≤≤的面积，作图如下：所以事件B 发生的概率为()1322222323P B ⨯-⨯⨯==⨯，所以方程有实数根的概率为23.。

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第三章导数及其应用2 文-人教版高三全册数学试题

第二节导数的应用A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·某某，6)已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )A.－4B.－2C.4D.22.(2015·某某，9)设f(x)＝x－sin x，则f(x)( )A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数3.(2015·某某，10)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<04.(2014·新课标全国Ⅱ，11)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值X围是( )A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)5.(2014·某某，9)若0＜x1＜x2＜1，则( )A．e2x－e1x＞ln x2－ln x1B．e2x－e1x＜ln x2－ln x1C．x2e1x＞x1e2x D．x2e1x＜x1e2x6.(2014·新课标全国Ⅰ，12)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值X围是( )A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)7.(2016·新课标全国卷Ⅱ，20)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1).(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值X围.8.(2016·新课标全国Ⅲ，21)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ；(3)设c >1，证明：当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x. 9.(2016·某某，20)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值.某某数a 的取值X 围.10.(2016·某某，21)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立. 11.(2016·，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值X 围； (3)求证：a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件. 12.(2015·新课标全国Ⅱ，21)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值X 围． 13.(2015·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.14.(2015·某某，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1)． 15.(2015·某某，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型． (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．16.(2015·某某，21)已知a >0，函数f (x )＝a e xcos x (x ∈[0，＋∞))．记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点． (1)证明：数列{f (x n )}是等比数列；(2)若对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，求a 的取值X 围．17.(2015·某某，20)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x . 已知曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行． (1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值． 18.(2015·某某，20)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值X 围． 19.(2015·某某，20)已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a3＋134.20.(2015·某某，21)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)． (1)若f (0)≤1，求a 的取值X 围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．21.(2014·某某，20)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 22.(2014·某某，21)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 23.(2014·某某，19)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值X 围．24.(2014·某某，21)设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f (b)－f (a )b －a＜1恒成立，求m 的取值X 围．25.(2014·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线斜率为0. (1) 求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值X 围．B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·某某某某第二次模拟)已知函数f (x )＝x 2－2cos x ，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25的大小关系是( )A.f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0) D.f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 2.(2016·某某师大附中检测)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1，4]上单调递减，则实数t 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B.(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D.[3，＋∞)3.(2016·某某某某第三次诊断模拟)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R ，都有xf ′(x )<f (x )成立，则( )A.3f (2)>2f (3)B.3f (2)＝2f (3)C.3f (2)<2f (3)D.3f (2)与2f (3)大小不确定4.(2016·某某某某诊断)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1 （x ≤0），e ax （x ＞0）在[－2，2]上的最大值为2，则a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12ln 2C.(－∞，0]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 25.(2015·某某省实验中学二诊)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<13，则f (x )<x 3＋23的解集是( )A.{x |－1<x <1}B.{x |x <－1}C.{x |x <－1或x >1}D.{x |x >1}6.(2015·某某某某调研)若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2]上有极小值，则实数a 的取值X 围是( ) A.(－5，1)B.[－5，1)C.[－2，1)D.(－2，1)7.(2015·某某市十二县联考)若函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋(3－a )x ＋b 有三个不同的单调区间，则实数a 的取值X 围是________.8.(2015·某某某某三模)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )＜0恒成立，则x 的取值X 围为________.9.(2015·某某某某中学模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3，其中 a 为实数. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2. 答案 D2.解析 f (x )＝x －sin x 的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )＝－x －sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－sin x ≥0恒成立，所以f (x )在其定义域内为增函数，故选B. 答案 B3.解析由已知f (0)＝d >0，可排除D ；其导函数f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c 且f ′(0)＝c >0，可排除B ；又f ′(x )＝0有两不等实根，且x 1x 2＝c a＞0，所以a ＞0.故选A. 答案 A4.解析因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x ＞1，所以0＜1x＜1，所以k ≥1.故选D.答案 D5.解析构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x －1x，故f (x )＝e x－ln x 在(0，1)上有一个极值点，即f (x )＝e x－ln x 在(0，1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A 、B 错；构造函数g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x－e xx 2＝e x（x －1）x 2，故函数g (x )＝exx在(0，1)上单调递减，故g (x 1)＞g (x 2)，x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C. 答案 C6. 解析由题意知f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，当a ＝0时，不满足题意．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增，在 ⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减．又f (0)＝1，此时f (x )在(－∞，0)上存在零点，不满足题意；当a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上单调递增，要使f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＞0，即a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋1＞0，解得a ＜－2，故选C. 答案 C7.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y－2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a （x －1）x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a （x －1）x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a （x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2，g (1)＝0.(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>0；(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0得，x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0，综上，a 的取值X 围是(－∞，2].8.(1)解由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. (2)证明由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)证明由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x，则g ′(x )＝c －1－c xln c ，令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c.当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.由(2)知1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x. 9.解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a .可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )＞0时，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减. 所以当a ≤0时，g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增.可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意. ③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减.所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意. ④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减. 所以f (x )在x ＝1处取极大值，合题意 .综上可知，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.10.(1)解 f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a .当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)证明令s (x )＝ex －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.(3)解由(2)知，当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a >1，由(1)有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0.所以f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立；当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)，当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)单调递增.又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立.综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.11.(1)解由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，切线斜率k ＝f ′(0)＝b . 又f (0)＝c ，所以切点坐标为(0，c ).所以所求切线方程为y －c ＝b (x －0)，即bx －y ＋c ＝0. (2)解由a ＝b ＝4得f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ∴f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4＝(3x ＋2)(x ＋2) 令f ′(x )＝0，得(3x ＋2)(x ＋2)＝0，解得x ＝－2或x ＝－23，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－∞，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.(3)证明当Δ＝4a 2－12b ＜0时，即a 2－3b ＜0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点.当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )不可能有三个不同零点.综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b ＞0，故a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要条件.当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b ＞0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b ＞0不是f (x )有三个不同零点的充分条件. 因此a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件. 12.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值X 围是(0，1)．13.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点．当a >0时，因为e 2x单调递增，－a x单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明由(1)可设f ′(x )在(0，＋∞)的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.14.解 (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0.解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x2x.当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意．当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)，则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意．当k ＜1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x.由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －（1－k ）2＋42＜0，x 2＝1－k ＋（1－k ）2＋42＞1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )＞0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增．从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )＞G (1)＝0，即f (x )＞k (x －1)．综上，k 的取值X 围是(－∞，1)．15.解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．16.解 (1)f ′(x )＝a e x cos x －a e x sin x ＝2a e xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令f ′(x )＝0，由x ≥0，得x ＋π4＝m π－π2，即x ＝m π－3π4，m ∈N *.而对于cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当k ∈Z 时，若2k π－π2＜x ＋π4＜2k π＋π2，即2k π－3π4＜x ＜2k π＋π4，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＞0. 若2k π＋π2＜x ＋π4＜2k π＋3π2，即2k π＋π4＜x ＜2k π＋5π4，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0.因此，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫（m －1）π，m π－3π4与⎝ ⎛⎭⎪⎫m π－3π4，m π＋π4上，f ′(x )的符号总相反．于是当x ＝m π－3π4(m ∈N *)时，f (x )取得极值，所以x n ＝n π－34π(n ∈N *)．此时，f (x n )＝a e n π－3π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π－3π4＝(－1)n ＋12a 2e n π－3π4.易知f (x n )≠0，而f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋22a 2e （n ＋1）π－3π4（－1）n ＋12a 2e n π－3π4＝－e π是常数，故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝2a 2e π4，公比为－e π的等比数列． (2)对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，即n π－3π4≤2a 2e n π－3π4恒成立，亦即2a ≤e n π－3π4n π－3π4恒成立(因为a ＞0)．设g (t )＝e tt (t ＞0)，则g ′(t )＝e t（t －1）t2. 令g ′(t )＝0得t ＝1.当0＜t ＜1时，g ′(t )＜0，所以g (t )在区间(0，1)上单调递减；当t ＞1时，g ′(t )＞0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增．因为x 1∈(0，1)，且当n ≥2时，x n ∈(1，＋∞)，x n ＜x n ＋1，所以[g (x n )]min ＝min{g (x 1)，g (x 2)}＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4πe π4. 因此，x n ≤|f (x n )|恒成立，当且仅当2a ≤4πe π4，解得a ≥2π4e －π4. 故a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π4e －π4，＋∞.17.解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋a x＋1，所以a ＝1. (2)k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根．设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0，1]时，h (x )＜0.又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2＞1－1＝0，所以存在x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x （x －2）e x，所以当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1e ＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根． (3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0. 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )，所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）ln x ，x ∈（0，x 0]，x 2e x ，x ∈（x 0，＋∞）.当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0；若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x＋1＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)；故m (x )≤m (x 0)．当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x （2－x ）ex，可得x ∈(x 0，2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减；可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)＜m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.18.解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－32≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值X 围是[－3，9－45]．19.(1)解由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3. 当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明设点P 的坐标为(x 0，0)，则x 0＝413，f ′(x 0)＝－12.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)．令函数F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)，则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减，故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减，又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )＞0，当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0，即对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )． (3)证明由(2)知g (x )＝－12(x －413)．设方程g (x )＝a 的根为x 2′，可得x 2′＝－a 12＋413.因为g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)，因此x 2≤x 2′.类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )，可得h (x )＝4x .对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，有f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即f (x )≤h (x )．设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a4.因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)≤h (x 1)，因此x 1′≤x 1，由此可得x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝－a 3＋413.20.解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1，当a ≤0时，|a |＋a ＝－a ＋a ＝0≤1，显然成立；当a >0，则有|a |＋a ＝2a ≤1，所以a ≤12，所以0<a ≤12，综上所述，a 的取值X 围是a ≤12.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（2a －1）x ，x ≥a ，x 2－（2a ＋1）x ＋2a ，x <a .对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 1＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减.综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减，(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2.(ⅰ)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x(x >0)，因为f (x )在(0，2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2，而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y <f (2)＝2，所以y ＝f (x )与y ＝－4x在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x，即x 3－3x 2＋4＝0，所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0，因为x ≥2，所以x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x有一个零点x ＝2.(ⅱ)当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增，当x ＝a 时，y ＝－4a，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a的大小，因为a －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ＝－（a 3－a 2－4）a ＝－（a －2）（a 2＋a ＋2）a <0所以f (a )＝a －a 2<－4a.结合图象不难得当a >2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个交点，综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2；当a >2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个零点．21.解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0＜a ＜4时，x 2＜1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 22.解 (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上，方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )，若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．若a ＜1，则Δ＞0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＞0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．综上所述，当a ≥1时，f (x )在R 上单调递增；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．(2)当a ＜0时，Δ＞0，且f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3124＋a2，f (1)＝73＋a ，此时x 1＜0，x 2＞0，令x 2＝12得a ＝－54.①当－54＜a ＜0时，x 1＜0＜x 2＜12，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫x 2，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增．(ⅰ)若－54＜a ＜－712，则f (0)＝1＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴存在x 0∈(0，x 2)，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(ⅱ)当－712≤a ＜0时，f (0)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.②当a ＝－54时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.③当－2512＜a ＜－54时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.④当a ≤－2512时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥f (1)， ∴不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 综上，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－712，0∪{－54}∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512时，不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2512，－54∪⎝⎛⎭⎪⎫－54，－712时，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 23.解 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，＋∞.当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝13a2. (2)由f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＝0及(1)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a 时，f (x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，＋∞时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （x ）|x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B . 显然，0∉B .下面分三种情况讨论：(1)当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．(2)当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值X 围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B . (3)当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝⎝⎛⎭⎪⎫1f （1），0，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32. 24.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，则f ′(x )＝x －ex2，∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点． ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x (x ＞0)， ∴(*)式等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h ′(x )＝1x －mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ＞0)恒成立，∴m ≥14(对m ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)，∴m 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.25.解 (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞). 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x (x －a1－a)(x －1)．①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1. ②若12＜a ＜1，则a1－a＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0. f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1＞a a －1，所以不合题意． ③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜a a －1.综上，a 的取值X 围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 f ′(x )＝2x ＋2sin x ，当x ∈[0，1]时f ′(x )>0.∴f (x )为增函数，所以f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，又f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25. 答案 A2.解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1，4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1，4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1，4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1，4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案 C3.解析令F (x )＝f （x ）x ，则F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0，所以F (x )为减函数，f （2）2>f （3）3，所以3f (2)>2f (3).答案 A4.解析当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，易知函数f (x )在(－∞，0]上的极大值点是x ＝－1，且f (－1)＝2，故只要在(0，2]上，e ax≤2即可，即ax ≤ln 2在(0，2]上恒成立，即a ≤ln 2x在(0，2]上恒成立，故a ≤12ln 2.答案 D5.解析构造函数F (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23，F (1)＝f (1)－1＝0， ∵f ′(x )＜13，∴F ′(x )＝f ′(x )－13＜0，∴F (x )在R 上单调递减，f (x )＜x 3＋23的解集即F (x )＜0＝F (1)的解集，得x ＞1.答案 D6.解析 f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，解得x ＝±1，可以判断当x ＝1时函数有极小值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，6－a 2≥1，6－a 2＞a ，解得a ∈[－5，1)， ∴选B. 答案 B7.解析 f ′(x )＝x 2－ax ＋3－a ，要使f (x )有三个不同单调区间，需Δ＝(－a )2－4(3－a )＞0，即a ∈(－∞，－6)∪(2，＋∞). 答案 (－∞，－6)∪(2，＋∞)8.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋1＞0恒成立，∴f (x )在R 上是增函数. 又f (－x )＝－f (x )，∴y ＝f (x )为奇函数.由f (mx －2)＋f (x )＜0得f (mx －2)＜－f (x )＝f (－x )， ∴mx －2＜－x ，即mx －2＋x ＜0在m ∈[－2，2]上恒成立. 记g (m )＝xm －2＋x ，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2＋x ＜0，2x －2＋x ＜0，解得－2＜x ＜23.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 9.解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增. ①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，无解；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e 时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，故函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值f (x )min ＝f (t )＝t ln t .综上可知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ＜1e ，t ln t ，t ≥1e .(2)由题知2x ln x ≥－x 2＋ax －3，即a ≤2ln x ＋x ＋3x对一切x ∈(0，＋∞)恒成立.设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）x2，当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，故h (x )在(0，1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增.所以h (x )在(0，＋∞)上有唯一极小值h (1)，即为最小值，所以h (x )min ＝h (1)＝4，因为对一切x ∈(0，＋∞)，a ≤h (x )恒成立，所以a ≤4.。

安徽省安徽师大附中2024年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若2AB =，则△2ABF 的内切圆的半径为（）A ．23 B ．33C ．223D ．2332．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）A ．2B ．22C ．3D ．13．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=4．已知i 为虚数单位，则()2312ii i+=-（） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 5．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③6．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5,5P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．210B ．1010C ．7210D ．310107．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]8．已知i 是虚数单位，则（） A ．B ．C ．D ．9．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．3610．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）A ．764B ．1132C ．5764D ．111611．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（） A ．12B ．12-C ．2D ．﹣212．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽师大附中高三模拟(理)

安徽师大附中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数z=的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C．1D．2考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先将复数进行除法运算，化简为最简形式的代数形式，再根据虚部的概念，得出虚部．解答：解：∵复数z====﹣i，∴复数的虚部是﹣1，故选B．点评：本题考查复数的除法运算，复数的虚部的概念，本题解题的关键是写出复数的代数形式的标准形式．2．（5分）（2011•合肥模拟）已知全集U，集合A⊆B⊆U，则有（）A．A∩B=B B．A∪B=A C．（∁U A）∩（∁U B）=∁U B D．（∁U A）∪（∁U B）=∁U B考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：阅读型．分析：根据子集的性质可知判定选项A与B，再根据德．摩根律进行判定选项C与D即可．解答：解：∵A⊆B⊆U∴A∩B=A，故选项A不正确；A∪B=B，故选项B不正确；（∁U A）∩（∁U B）=∁U（A∪B）=∁U B，故选项C正确；（∁U A）∪（∁U B）=∁U（A∩B）=∁U A，故选项D不正确故选C点评：本题主要考查了子集与交集、并集运算的转换，以及德．摩根律的运用，属于基础题之列．3．（5分）给出下列四个命题：命题p1：“a=0，b≠0”是“函数y=x2+ax+b为偶函数”的必要不充分条件；命题p2：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（）A．p1∧p2B．p1∨¬p2C．p1∨p2D．p1∧¬p2考点：复合命题的真假．分析：由偶函数的定义f（﹣x）=f（x），可判断命题p1的真假；由奇函数的定义f（﹣x）=f（x），及对数函数的性质可判断命题p2的真假；最后由复合命题的真假关系，即可得出判断．解答：解：①“a=0，b≠0”⇒“函数y=x2+ax+b=x2+b为偶函数”；“函数y=x2+ax+b为偶函数”⇒“x2+ax+b=（﹣x）2﹣ax+b”⇒“a=0”．显然可以b=0．所以“a=0，b≠0”是“函数y=x2+ax+b为偶函数”的充分不必要条件．所以命题p1是假命题．②函数f（x）=ln的定义域是（﹣1，1），且f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x），所以该函数是奇函数．所以命题p2是真命题．综合①②知p1∨p2是真命题．故选C．点评：奇偶性是函数的重要性质，注意形如y=log a（a＞0，且a≠1，b≠0）的函数是奇函数；复合命题p且q的真假关系可记为：一假即假，复合命题p或q的真假关系可记为：一真即真．4．（5分）（2011•合肥模拟）设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（）A．若a、b与α所成的角相等，则a∥b B．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a∥α，b∥β，则a∥b考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，得到结论．解答：解：当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，故A不正确，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，故B不正确，当一条直线与与一个平面垂直，与另一个平面平行，则这两个平面之间的关系是垂直，故C正确，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，故D不正确，故选C．点评：本题考查空间中直线与平面之间的关系，对于这种问题中错误的结论只要找一个反例说明一下就可以得到结论是错误的．5．（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n=n+1 B．i＞100，n=n+2 C．i＞50，n=n+2 D．i≤50，n=n+2考点：循环结构．专题：图表型．分析：写出前三次循环的结果，观察归纳出和的最后一项的分母i的关系，得到判断框中的条件．解答：解：此时，经第一次循环得到的结果是，经第二次循环得到的结果是经第三次循环得到的结果是据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母=2（i﹣1）令2（i﹣1）=100解得i=51即需要i=51时输出故图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是分别是i＞50，n=n+2故选C点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的有关的题目，常采用写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）（2012•安徽模拟）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．解答：解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础知识的综合运用．7．（5分）（2011•阜阳模拟）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由题意可得，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以=b1•22n﹣2=22n﹣2．设c n=，所以c n=22n﹣2，所以，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10 项的和为．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．8．（5分）设ω＞0，函数y=sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向左平移个单位后，得到下面的图象，则ω，φ的值为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：函数y=sin（x+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向左平移个单位后可得y=sin（ωx++φ）由函数的图象可求周期，根据周期公式（可求ω=2，观察图象可知函数的图象过代入结合已知﹣π＜φ＜π可求φ．解答：解：函数y=sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向左平移个单位后可得y=sin（ωx++φ）由函数的图象可知，，∴T=π根据周期公式可得，∴y=sin（2x+φ+）又∵函数的图象过∴sin（φ）=﹣1∵﹣π＜φ＜π∴φ=故选B点评：本题主要考查了三角函数的图象变换的平移变换，由函数的部分图象求解函数的解析式，三角函数的周期公式的综合运用，属于中档试题，具有一定的综合性，但难度不大．9．（5分）已知x，y满足且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则=（）A．2B．1C．﹣1 D．﹣2考点：简单线性规划．专题：综合题；压轴题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．解答：解：由题意得：目标函数z=2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A（1，﹣1），B（3，1），∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2=0，∴则=﹣2．故选D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．10．（5分）（2011•武昌区模拟）已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（﹣4）=﹣1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，10）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数的单调性与导数的关系；斜率的计算公式．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：先由导函数f′（x）是过原点的二次函数入手，再结合f（x）是定义域为R的奇函数求出f（x）；然后根据a、b的约束条件画出可行域，最后利用的几何意义解决问题．解答：解：由f（x）的导函数f′（x）的图象，设f′（x）=mx2，则f（x）=+n．∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即n=0．又f（﹣4）=m×（﹣64）=﹣1，∴f（x）=x3=．且f（a+2b）=＜1，∴＜1，即a+2b＜4．又a＞0，b＞0，则画出点（b，a）的可行域如下图所示．而可视为可行域内的点（b，a）与点M（﹣2，﹣2）连线的斜率．又因为k AM=3，k BM=，所以＜＜3．故选B．点评：数形结合是数学的基本思想方法：遇到二元一次不定式组要考虑线性规划，遇到的代数式要考虑点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．这都是由数到形的转化策略．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置）11．（5分）向量，满足||=1，|﹣|=，与的夹角为60°，||=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得：，展开代值可得，解之即可．解答：解：由题意可得：，即，代入值可得：1﹣2×1××+=，整理可得，解得=，故答案为：点评：本题考查向量模长的求解，熟练掌握数量积的运算是解决问题的关键，属基础题．12．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为6．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，列出关于a的方程，解方程即可．解答：解：由三视图知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，得到24=×a×3×4，∴a=6，故答案为：6．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，实际上不是求几何体的体积，而是根据体积的值和体积的计算公式，写出关于变量的方程，利用方程思想解决问题．13．（5分）（2011•宿州模拟）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴并取相同的长度单位建立极坐标系，若直线与曲线C：相交于A，B两点，则线段AB的长为2．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，将极坐标方程为化成直角坐标方程，再将曲线C的参数方程化成普通方程，最后利用直角坐标方程的形式，利用垂径定理及勾股定理，由圆的半径r及圆心到直线的距离d，即可求出|AB|的长．解答：解：∵，ρcosθ=x，ρsinθ=y，进行化简∴x+y﹣2=0相消去α可得圆的方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=9得到圆心（2，2），半径r=3，所以圆心（2，2）到直线的距离d==，所以|AB|=2 =2=2∴线段AB的长为2故答案为：2点评：本小题主要考查圆的参数方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．14．（5分）（2006•福建）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是10．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，，要求x4的项的系数∴10﹣3r=4，∴r=2，∴x4的项的系数是C52（﹣1）2=10故答案为：10点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．15．（5分）（2011•安徽模拟）关于y=f（x），给出下列五个命题：①若f（﹣1+x）=f（1+x），则y=f（x）是周期函数；②若f（1﹣x）=﹣f（1+x），则y=f（x）为奇函数；③若函数y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，则y=f（x）为偶函数；④函数y=f（1+x）与函数y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称；⑤若f（1﹣x）=f（1+x），则y=f（x）的图象关于点（1，0）对称．填写所有正确命题的序号①③．考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．专题：阅读型．分析：根据周期函数的定义进行判定选项①的真假，根据函数的对称性进行判定选项②④⑤的真假，根据函数的奇偶性判定选项③的真假，从而得到结论．解答：解：①若f（﹣1+x）=f（1+x），则f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期函数，周期为2，故①正确；②若f（1﹣x）=﹣f（1+x），则f（x+1）+f（1﹣x）=0∴y=f（x）关于点（1，0）对称，故②不正确；③若函数y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，则f（x）的图象关于y轴对称，故y=f（x）为偶函数，故③正确；④函数y=f（1+x）与函数y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称，设y=f（x）=x，则y=f（1﹣x）=1﹣x，y=f（x+1）=x+1，是关于x=0对称；④不正确；⑤若f（1﹣x）=f（1+x），则y=f（x）的图象关于x=1对称，故⑤不正确．故答案为：①③点评：本题主要考查了函数的周期性，以及函数的对称性和函数图象与性质，考查的知识点较多，属于基础题．三、解答题（本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2011•新余二模）已知函数（ω＞0，x∈R），且函数f（x）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）的解析式并求f（x）的最小值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1，，且，求边长b．考点：余弦定理；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用两角和与差的余弦函数公式把f（x）化简合并后，前两项提取2，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用周期公式即可求出ω的值，代入即可确定出f（x）的解析式，根据正弦函数的值域进而求出f（x）的最小值；（2）根据（1）中求出的f（x）的解析式，利用f（B）=1，即可求出B的度数，然后根据平面向量的数量积的运算法则化简已知的，把B的度数代入即可求出ac的值，根据余弦定理表示出b的平方，变形后把a+c及ac的值代入即可求出b 的值．解答：解：（1），由得ω=2，所以，所以；（2）由f（B）=1得，解得，又由知，所以，由余弦定理知：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=所以．点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的周期公式及值域，掌握平面向量的数量积的运算法则，灵活运用余弦定理化简求值，是一道中档题．17．（13分）（2011•合肥模拟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，AA′=AB=，AD=2BC=2，直线AD与面ABB'A'所成角为45°．（Ⅰ）求证：DB⊥面ABB'A'；（Ⅱ）求证：AD'⊥B'C；（Ⅲ）求二面角D﹣AB'﹣B的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；证明题．分析：（I）根据面与面垂直，得到直线AB为直线AD在面ABB'A'上的射影，得到∠DAB=45°，根据线与线垂直，做出线与面垂直．（II）做出辅助线，取AD中点E，连接CE、A'E，得到线与线垂直，根据直四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'侧面AA'D'D为矩形，得到线与线垂直．（III）首先做出二面角的平面角，过点B作BF⊥AB'交AB'于F，连接DF，得到AB'⊥面DBF，得到∠BFD为所求二面角的平面角，在可解的三角形中做出角的正切值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵面ABD⊥面ABB'A'，∴直线AB为直线AD在面ABB'A'上的射影，∴∠DAB=45°，由，AD=2知，DB⊥AB，∴DB⊥面AB'A'（Ⅱ）证明：取AD中点E，连接CE、A'E，∵BC∥AD，AD=2BC，∴BC∥AE且BC=AE，∴EC∥AB∥A'B'且EC=A'B'，∴A'E∥B'C，又直四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'侧面AA'D'D为矩形，，∠AA'E=∠AD'A'，∠AA'E+∠D'AA'=∠AD'A'+∠D'AA'=90°∴AD'⊥A'E，∴AD'⊥B'C（Ⅲ）∵DB⊥面ABB'A'且过点B作BF⊥AB'交AB'于F，连接DF，则AB'⊥面DBF，∴AB'⊥DF，∠BFD为所求二面角的平面角，又∴，即二面角D﹣AB'﹣B的正切值为．点评：本题考查二面角的求法和线与面之间的关系，本题解题的关键是理解求二面角的三个环节，首先做出二面角的平面角，把平面角放到一个可解的三角形中，解出平面角．18．（12分）（2012•开封一模）休假次数0 1 2 3人数 5 10 20 15某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：根据上表信息解答以下问题：（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；函数的零点；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（1）由题意有函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．解答：解：（1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有，解得：η＜，所以，η=4或η=5当η=4时，，当η=5时，，又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，于是=，，，从而ξ的分布列：ξ0 1 2 3Pξ的数学期望：．点评：此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．19．（12分）已知函数f（x）=2n﹣x在[0，+∞）上最小值是a n（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，求证：b1+b2+…+b n＜．考点：数列与不等式的综合．专题：综合题．分析：（1）求导得出f′（x）=2n•﹣1=，利用导数与单调性的关系，得出a n=f（）=（2）b n==，对分母放缩列项和进行证明．解答：解：（1）f′（x）=2n•﹣1=，由f′（x）=0，得2nx=，两边平方并解出x=，当x＞时，f′（x）＞0，当0＜x时，f′（x）＜0，所以最小值是a n=f（）=（2）b n==，当n=1时，b1=1＜．当n=2时，b1+b2+=1+=＜当n≥3时，b1+b2+…+b n=+++＜1+++=1+（）+（）+=2﹣，∵，∴2﹣=，即当n≥3时不等式也成立．综上所述，不等式对于任意正整数都成立．点评：本题考查函数、数列与不等式的综合，考查导数与单调性的关系，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，有一定的难度．20．（13分）（2010•辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得．则当时，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0．故f（x）在单调增加，在单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜﹣1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于∀x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①令g（x）=f（x）+4x，则①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即．从而故a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（12分）点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．21．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）设出直线的方程，利用直线的截距式写出直线的方程，利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的等式，再利用椭圆的离心率公式得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即得到椭圆的方程．（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到关于交点坐标的关系，写出△PQF1的面积并求出最大值，再将面积用外接圆的半径表示，求出半径的最大值．解答：解：（1）直线AB 的方程为即bx﹣ay﹣ab=0由题意得①∵②a2=b2+c2③解得∴椭圆的方程为（2）设PQ：x=ty+代入并整理得设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，∴==当即t2=1时，∴又∴∴点评：求圆锥曲线的方程的一般方法是利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去一个未知数得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理找突破口．。

安徽师大附中2015届高考数学二模试卷(理科)

安徽师大附中2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设U=R，P={x|x＞1}，Q={x|x（x﹣2）＜0}，则∁U（P∪Q）=（）A．{x|x≤1或x≥2} B．{x|x≤1} C．{x|x≥2} D．{x|x≤0}2．（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则复数在复平面上的对应点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．（5分）已知各项不为0的等差数列{a n}，满足a72﹣a3﹣a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=（）A．2B．4C．8D．164．（5分）若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则A•ω=（）A．B．C．D．5．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣π6．（5分）某校2015届高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（）A．144种B．150种C．196种D．256种7．（5分）已知斜率为﹣的直线l交椭圆C：+=1（a＞b＞0）于A，B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．D．8．（5分）设集合S={x||x+3|+|x﹣1|＞m}，T={x|a＜x＜a+8}，若存在实数a使得S∪T=R，则m∈（）A．{m|m＜8} B．{m|m≤8} C．{m|m＜4} D．{m|m≤4}9．（5分）考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱，甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，则这两条棱互相垂直的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2•3lna）2+（c•d+2）2=0，且a∈（0，1），则（a•c）2+（b•d）2的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在相应位置.11．（5分）在的展开式中，x4的系数为．12．（5分）执行如图所示的程序框图，输出结果S的值为．13．（5分）已知满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是．14．（5分）若点P在平面区域上，则u=的取值范围为．15．（5分）有下列命题：①若集合{x|ax2﹣2x﹣1=0}为单元素集，则实数a=﹣1；②函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个；③函数y=cos（x﹣）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；④函数y=的图象关于点（1，1）对称；⑤函数y=sinx（x∈[﹣π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=sinxdx；⑥若ξ﹣N（1，σ2），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2．其中所有真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2023年高考数学全真模拟试卷02(新高考专用)(考试版)

绝密★考试结束前2023高考数学全真模拟试卷02（新高考专用）（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知集合{}2N 23A x x x =∈-≤，R 02x B x x ⎧⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=（）A ．{}3B ．{}0,3C ．{}2,3D ．{}0,2,32．（2023·湖南邵阳·统考一模）已知复数z 满足()23i 3z z +=，则z =（） A ．69i 1313-- B ．69i 1313-+ C ．69i 1313- D ．69i 1313+ 3．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知ABC 中，O 为BC 的中点，且4BC =，AB AC AB AC +=-，π6ACB ∠=，则向量AO 在向量AB 上的投影向量为（） A ．14AB B ．13AB C ．12AB D ．AB4．（2023·广西柳州·二模）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则下列可能是()f x 的解析式的是（）A ．()cos f x x x =+B ．()cos f x x x =-C ．cos ()xf x x= D ．()cos x f x x=5．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知π1sin cos 62αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12- B ．12C ．34-D ．346．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）在等比数列{}n a 中，公比0,n q S >是数列{}n a 的前n 项和，若1232,12a a a =+=，则下列结论正确的是（） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列C ．564S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列7．（2023·湖南永州·统考二模）如图，12,F F 为双曲线的左右焦点，过2F 的直线交双曲线于,B D两点，且223F D F B =，E 为线段1DF 的中点，若对于线段1DF 上的任意点P ，都有11PF PB EF EB ⋅≥⋅成立，则双曲线的离心率是（）AB C ．2D 8．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）设191e 10a =，19b =，32ln 2c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某学校体温检测员对一周内甲，乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）A ．乙同学体温的极差为0.2℃B ．甲同学体温的第三四分位数．．．．为36.5℃C ．甲同学的体温比乙同学的体温稳定D ．乙同学体温的众数，中位数，平均数都相等10．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AD AB AA ===，,,E F H 分别是棱11,,AD B C BC 的中点，点P 在侧面11A ADD 内，且(),BP xBE yBF x y =+∈R ，则（）A ．APB ．1A H BP ⊥C ．三棱锥P ABF -的体积是定值D ．三棱锥1P BB F -的外接球表面积的取值范围是[]12π,44π11．（2023·安徽·模拟预测）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2||||||OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>12．（2022秋·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x x'>.则对任意1x ，()20,x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的是（） A ．()()11e1ex x f f <B ．()222221122x x f x f x ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ C ．()()()1212f x x f x f x +>+D ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +>+ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023秋·天津·高三大港一中校考）若()()()()21112412012*********x x a a x a x a x a x ++=++++⋅⋅⋅++++，则01112a a a ++=______.14．（2023·全国·模拟预测）已知圆O ：221x y +=与直线l ：=1x -，写出一个半径为1，且与圆O 及直线都相切的圆的方程：______．15．（2022秋·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）已知函数()f x 为偶函数，当0x <时，()()2ln f x x x =+-，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为___．16．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为__________，编码99共出现__________次．算步骤.17．（本小题10分）（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）在数列{}n a 中，114a =，111322n n n n a a++-=-．（1）证明32n na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列1221n n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：43n S <．18．（本小题12分）（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，ABC 中，若角,,A B C 所对的边分别是,,,,2a b c AD DC BA BD ==.（1）证明：sin 2sin BDC BAC ∠∠=；（2）若22b a ==，求ABC 的面积.19．（本小题12分）（2023·全国·模拟预测）如图，四棱锥P ABCD -中，平面APD ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，底面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，224AB CD BC ===．（1）求证：BD ⊥平面APD ；（2）若点F 为线段PB 上靠近点P 的三等分点，求二面角F AD P --的大小．20．（本小题12分）（2023·湖南岳阳·统考一模）8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP ，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下：.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时.（1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率；（2）若随机变量X 表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X 的分布列及数学期望.21．（本小题12分）（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）设椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点31,2G ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设点T 在直线3x =上，过T 的两条直线分别交E 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．22．（本小题12分）（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知函数()()21e xf x x m x nx m=--+，且曲线()y f x =在0x =处的切线为=2y -.（1）求m ，n 的值和()f x 的单调区间；（2）若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，证明：120x x +>.。

湖南师大附中2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析

湖南师大附中2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④2．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE =50cm ．EF =40cm ．FC =30cm ，∠AEF =∠CFE =60°，则该正方形的边长为（）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm3．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（）A ．10B ．32C ．40D ．804．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（） A ．1B ．2C ．-1D ．-25．若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）6．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-D ．221y x =-7．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（） A ．24()27 B ．34()27C ．44()27D ．54()278．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 9．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（）A ．58B ．25C ．35D ．7810．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B ．63C ．33D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题21 椭圆(解答题压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

(1)求椭圆的方程；
(2)过1F作两直线,m n交椭圆于
(1)记椭圆与抛物线的公共弦为MN，求|MN
(2)P为抛物线上一点，1F为椭圆的左焦点，直线
线交于P，Q两点，求||
||
AB
PQ的最大值．
（1）求椭圆的方程∶
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过M点作两条互相垂直的直线MA，
(1)当(),t a a ∈-时，设直线=x t 交椭圆于的周长最大值为42，求椭圆方程；
(2)在第（1）问条件下，将直线=x t 移动至为半径的圆交2x a =-于,M N 两点，直线
(1)若M的坐标为
335
28
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，，求四边形PMNF
(2)若PN与椭圆Γ相切于N且121 4
NF NF
⋅=
(3)作N关于原点的对称点N'，是否存在直线
23
7，若存在，求出直线2
F N的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由．
(1)求12F AF 的周长；
(2)若以2F 为圆心的圆截y (3)设l 的斜率为k ，在x 轴上是否存在一点求出M 的坐标；若不存在，请说明理由
(1)求点P的轨迹E的方程;
(2)设点C为x轴上（不同于,A B）一定点，若过点
M N两点，求证：与直线2
x=-和直线2
x=分别交于,
∠=∠．
ACP ACQ。

安徽师大附中2021届高考数学二模试卷(文科) Word版含解析

安徽师大附中2021届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B ，则=（）A．﹣i B．﹣+i C．﹣i D ．﹣+i2．（5分）设x∈R，则“x＜﹣1”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知单位向量、的夹角为60°，则|+|的值为（）A．3B．2C．D ．4．（5分）如图所示程序框图的输出的全部值都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上5．（5分）已知a=（），b=log 2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．（5分）两位老师和两位同学站成一排合影，则两位老师至少有一人站在两端的概率是（）A．B．C．D ．7．（5分）直线截圆（x﹣2）2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是（）A．B．C．D ．8．（5分）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．199．（5分）已知D是△ABC的边BC上（不包括B、C 点）的一动点，且满足=m +n ，则+的最小值为（）A．3B．3+2C．4D．4+210．（5分）已知定义在R的函数f（x），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则下列推断肯定正确的是（）A．f（a）=f（c）=f（e）B．f（b）＞f（c）＞f（d）C．f（c）＞f（b）＞f（a）D．f（c）＞f（d）＞f（a）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在相应的位置.11．（5分）已知某正三棱柱的三视图如图所示，其中正视图是边长2的正方形，则俯视图的面积为．12．（5分）设变量x，y 满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．13．（5分）已知在△ABC中，角A、B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°，S△ABC =，则b=．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x+3），f=1，f（1）=．15．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），关于数列{a n}有下列命题：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则S n=na n（n∈N*）；②若S n=an2+bn（a，b∈R），则{a n}是等差数列；③若S n=3n+1，则{a n}是等比数列；④若{a n}是等比数列，则S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m（m∈N*）也成等比数列；⑤若{a n}是公比为q的等比数列，且S m，2S m+1，3S m+2（m∈N*）成等差数列，则3q﹣1=0．其中正确的命题是．（填上全部正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在指定区域16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，|Φ|＜π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．17．（12分）某校2021届高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成果进行统计（考生成果均不低于90分，满分为150分），将成果按如下方式分成六组，第一组[90，100）、其次组[100，110）…，第六组[140，150]，如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（Ⅰ）求第四和第五组频率，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）若不低于120分的同学进入决赛，不低于140分的同学为种子选手，完成下面2×2列联表（即填写空格处的数据），并推断是否有99%的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关”．[120，140）[140，150]合计参与培训8 8未参与培训合计 4附：K2=P（K2≥k0）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82818．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=．（Ⅰ）求证：PA1⊥BC；（Ⅱ）求证：PB1∥平面AC1D；（Ⅲ）求V A1﹣ADC1．19．（12分）已知函数f（x）=ax+﹣2a+2（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．（Ⅰ）求log4（a﹣b）的值；（Ⅱ）若f（x）﹣2lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．20．（13分）已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2=4y有一个相同的焦点F1，直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的长轴长取最小值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．21．（14分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…）阶“期盼数列”：①a1+a2+…+a n=0；②|a1|+|a2|+…+|a n|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期盼数列”；（Ⅱ）若等比数列{a n}为2022阶“期盼数列”，求公比q的值；（Ⅲ）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期盼数列”又是递增数列，求该数列的通项公式．安徽师大附中2021届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B ，则=（）A．﹣i B．﹣+i C．﹣i D ．﹣+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的几何意义、运算法则即可得出．解答：解：由图可知：z1=i，z2=2﹣i，则则====．故选：D．点评：本题考查复数的除法运算、几何意义，属于基础题．2．（5分）设x∈R，则“x＜﹣1”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：依据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得出答案．解答：解：若x＜﹣1，则2x2+x﹣1=（2x﹣1）（x+1）＞0，是充分条件；若2x2+x﹣1=（2x﹣1）（x+1）＞0，则x ＞或x＜﹣1，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．3．（5分）已知单位向量、的夹角为60°，则|+|的值为（）A．3B．2C．D ．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面对量及应用．分析：由条件求得=，再依据|+|=，计算求得结果．解答：解：由题意可得||=||=1，=1×1×cos60°=，∴|+|====，故选：C．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．4．（5分）如图所示程序框图的输出的全部值都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上考点：程序框图．专题：计算题．分析：依程序框图可知输出的点为（1，1）、（2，2）、（3，4）、（4，8），只要验证即可选出答案．解答：解：依程序框图可知输出的点为（1，1）、（2，2）、（3，4）、（4，8），阅历证可知四个点皆满足y=2x ﹣1，故选D．点评：理解循环结构的功能和推断框的条件是解决问题的关键．5．（5分）已知a=（），b=log 2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：借助中间量把a，b，c的大小关系找出来即可．解答：解：由于0＜a=（）＜（）0=1，b=log 2＜=0，c=log ＞=1，故选C．点评：本题主要考查指数函数、对数函数的性质．6．（5分）两位老师和两位同学站成一排合影，则两位老师至少有一人站在两端的概率是（）A．B．C．D ．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出2位老师，2位同学站成一排合影，没有任何要求的站法，再求出每位老师都不站在两端的站法，依据对立大事的概率公式求得．解答：解：2位老师，2位同学站成一排合影，没有任何要求的排列是A44=24种，每位老师都不站在两端，则两端只能是2名同学站，有A22A22=4种，依据古典概型的概率公式可得，有2位老师，2位同学站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是P==，故两位老师至少有一人站在两端的概率是1﹣=故选A．点评：本题主要考查了古典概型的概率问题，关键是利用排列组合求出基本大事，属于基础题．7．（5分）直线截圆（x﹣2）2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是（）A．B．C．D ．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d==1，设劣弧所对的圆心角是2θ，则有cosθ=，可得θ的值，则2θ即为所求．解答：解：圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为（2，0），圆心到直线的距离d==1，而圆的半径等于2，设弦所对的劣弧所对的圆心角是2θ，则有cosθ==，可得θ=，故2θ=，故选D．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题．8．（5分）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．19考点：进行简洁的合情推理．专题：推理和证明．分析：要想求得单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量．解答：解：依题意，首先找出A到B的路线，①单位时间内从结点A经过上面一个中间节点向结点B传递的最大信息量，从结点A向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点B最大传递分别是4个和3个，此时信息量为3+4=7个．②单位时间内从结点A经过下面一个中间结点向结点B传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（由于总共只有12个信息量）；再往下到结点B最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点B，所以此时信息量为6+6=12个．③综合以上结果，单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量是3+4+6+6=7+12=19个．故选：D．点评：本题考查分类计数的加法原理，对于此类问题，首先应分清是用分步计数还是分类计数．9．（5分）已知D是△ABC的边BC上（不包括B、C 点）的一动点，且满足=m +n ，则+的最小值为（）A．3B．3+2C．4D．4+2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用向量共线定理、基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵B，C，D 三点共线，满足=m +n，∴m+n=1，m，n＞0．∴+=（m+n ）=3==3+2，当且仅当n=m=．∴+的最小值为3+2．故选：B．点评：本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质，属于基础题．10．（5分）已知定义在R的函数f（x），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则下列推断肯定正确的是（）A．f（a）=f（c）=f（e）B．f（b）＞f（c）＞f（d）C．f（c）＞f（b）＞f（a）D．f（c）＞f（d）＞f（a）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：从导函数的图象得出导数的正负以及原函数的单调区间，画出y=f（x）的大致图象，再选择答案．解答：解：从导函数f′（x）的部分图象上看，当x∈（a，c）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（a，c）上单调递增；当x∈（c，e）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（c，e）上单调递减；当x＜a时，f′（x）＜0，∴f（x）在x＜a单调递减；当x＞e时，f′（x）＞0，∴f（x）在x＞e单调递增；而当x=a时函数取微小值，当x=c时函数取极大值，当x=e时函数取微小值，∴y=f（x）的图象大致为：从图象上看，f（c）＞f（b）＞f（a），故选：C．点评：本题主要考查函数的单调性、极值与函数的导数之间的关系，特殊地，由导函数的图象可画出原函数的大致图象，对于争辩函数来说，是一个行之有效的方法．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在相应的位置.11．（5分）已知某正三棱柱的三视图如图所示，其中正视图是边长2的正方形，则俯视图的面积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，俯视图为边长为2的正三角形，可得俯视图的面积．解答：解：由题意，俯视图为边长为2的正三角形，面积为=，故答案为：．点评：本题考查由三视图求面积、体积，考查同学的计算力量，比较基础．12．（5分）设变量x，y 满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8．考点：简洁线性规划．专题：计算题．分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，接受直线平移的方法，将直线l ：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8解答：解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y 为将直线l ：平移，由于直线l在y 轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣8点评：本题考查了用直线平移法解决简洁的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．13．（5分）已知在△ABC中，角A、B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°，S△ABC =，则b=1．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用条件和三角形的面积公式求出边a，再利用三角形的余弦定理求出边b．解答：解：由题意得，c=，B=45°，S△ABC=，所以，解得a=1，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=1+2﹣2×1××=1，则b=1，故答案为：1．点评：本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x+3），f=1，f（1）=﹣1．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（﹣x）=﹣f（x）=f（x+3），从而f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），进而f=f（336×6﹣1）=f （﹣1）=﹣f（1）=1，由此能求出f（1）．解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足：f（﹣x）=f（x+3），f=1，∴f（﹣x）=﹣f（x）=f（x+3），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∴f=f（336×6﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=1，∴f（1）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意函数性质的合理运用．15．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），关于数列{a n}有下列命题：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则S n=na n（n∈N*）；②若S n=an2+bn（a，b∈R），则{a n}是等差数列；③若S n=3n+1，则{a n}是等比数列；④若{a n}是等比数列，则S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m（m∈N*）也成等比数列；⑤若{a n}是公比为q的等比数列，且S m，2S m+1，3S m+2（m∈N*）成等差数列，则3q﹣1=0．其中正确的命题是①②⑤．（填上全部正确命题的序号）考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：由既是等差数列又是等比数列的数列为非零常数列说明①正确；由数列的前n项和求出通项公式说明②正确，③错误；举反例说明④错误；直接由等比数列的前n项和结合等差数列的性质列式分析⑤正确．解答：解：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则数列为非零常数列，∴S n=na n（n∈N*），命题①正确；②若S n=an2+bn（a，b∈R），则a1=S1=a+b，a n=S n﹣S n﹣1=an2+bn﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）]=2an﹣a+b（n≥2）．验证n=1上式成立，∴a n=2an﹣a+b，则{a n}是等差数列，命题②正确；③若S n=3n+1，则a1=S1=4，（n≥2），验证n=1时上式不成立，则{a n}不是等比数列，命题③错误；④若{a n}是等比数列，则S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m（m∈N*）不肯定成等比数列，如数列1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，…，m=2时不成立，命题④错误；⑤若{a n}是公比为q的等比数列，且S m，2S m+1，3S m+2（m∈N*）成等差数列，设其首项为a1，公比为q ，则，整理得3q﹣1=0，命题⑤正确．故答案为：①②⑤．点评：本题考查了命题的真假推断与应用，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的性质，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在指定区域16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，|Φ|＜π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）依据已知和图象，先求出A，ω的值，再求出φ的值，即可确定函数f（x）的解析式；（Ⅱ）先确定2x+∈[﹣，]，则可确定得﹣1≤2sin（2x+）≤2，解答：解：（Ⅰ）依题意，A=2且=﹣﹣（﹣）=，得T=π=，所以ω=2，且f（0）=1，得2sinφ=，|φ|＜π，且点（0，1）在函数f（x ）的递增区间上，故﹣＜φ＜，因此φ=，所以f（x）=2sin（2x+）（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]得﹣1≤2sin（2x+）≤2当2x+=﹣时，即有x=﹣时，函数f（x）取得最小值﹣1；当2x+=时，即有x=时，函数f（x）取得最大小值2．点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于中档题．17．（12分）某校2021届高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成果进行统计（考生成果均不低于90分，满分为150分），将成果按如下方式分成六组，第一组[90，100）、其次组[100，110）…，第六组[140，150]，如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（Ⅰ）求第四和第五组频率，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）若不低于120分的同学进入决赛，不低于140分的同学为种子选手，完成下面2×2列联表（即填写空格处的数据），并推断是否有99%的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关”．[120，140）[140，150]合计参与培训8 8未参与培训合计 4附：K2=P（K2≥k0）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828考点：独立性检验．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）依据所给的频率分步直方图，列出关于x，y的方程，联立方程，得到方程组，解方程组得到要求的频率，补充完整频率分步直方图，求出M的值．（Ⅱ）做粗话进入决赛的人数，得到列联表的各个位置的数据，填上列联表，依据列联表中的数据，依据条件中所给的观测值的公式做出观测值，得到没有99%的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关．解答：解：（Ⅰ）设第四，五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10①x+y=1﹣（0.005+0.015+0.02+0.035）×10②由①②解得x=0.15，y=0.10从而得出直方图（如图所示）M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5（Ⅱ）依题意，进入决赛人数为×（0.15+0.10+0.05）=24，进而填写列联表如下：[120，140）[140，150]合计参与培训 5 3 8未参与培训15 1 16合计20 4 24又由K2==3.75＜6.635，故没有99%的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关．点评：本题考查频率分步直方图，考查独立性检验，考查利用观测值和临界值得到这件事的程度，本题是一个统计的综合题目．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=．（Ⅰ）求证：PA1⊥BC；（Ⅱ）求证：PB1∥平面AC1D；（Ⅲ）求V A1﹣ADC1．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取B1C1的中点Q，连接A1Q，PQ．利用等腰三角形底边上的性质可得A1Q⊥B1C1，PQ⊥B1C1，利用线面垂直的判定定理可得B1C1⊥平面PQA1，即可得到结论；（II）连接BQ，在△PB1C1中，由PB1=PC1=，B1C1=2，Q为B1C1的中点，可得PQ=1，BB1=PQ，BB1∥PQ．得到四边形BB1PQ为平行四边形．于是PB1∥BQ．又BQ∥DC1，利用平行线的传递性可得PB1∥DC1，再利用线面平行的判定定理即可得到PB1∥平面AC1D．（III）作DE⊥AC，则DE⊥平面AA1C1，DE=DC•sin60°=．即可得到，依据=即可得到体积．解答：（I）证明：取B1C1的中点Q，连接A1Q，PQ．∵A1B1=A1C1，PB1=PC1，∴A1Q⊥B1C1，PQ⊥B1C1，又PQ∩A1Q=Q，∴B1C1⊥平面PQA1，∴BC⊥PA1．（II）证明：连接BQ，在△PB1C1中，∵PB1=PC1=，B1C1=2，Q为B1C1的中点，∴PQ=1，BB1=PQ，BB1∥PQ．∴四边形BB1PQ为平行四边形．∴PB1∥BQ．又BQ∥DC1，∴PB1∥DC1，∵PB1⊄平面AC1D，DC1⊂平面AC1D，∴PB1∥平面AC1D．（III）解：作DE⊥AC，则DE⊥平面AA1C1，DE=DC•sin60°=．==1．∴===．点评：本题综合考查了线面平行于垂直的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、三棱锥的体积计算公式等基础学问与基本技能，考查了空间想象力量、推理力量和计算力量．19．（12分）已知函数f（x）=ax+﹣2a+2（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．（Ⅰ）求log4（a﹣b）的值；（Ⅱ）若f（x）﹣2lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知得，由此能求出log4（a﹣b）=log42=．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣2lnx=ax++2﹣2a﹣2lnx，得g（1）=0，g′（x）=a ﹣﹣=，由此利用分类争辩思想能求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+﹣2a+2（a＞0），∴，∵函数f（x）=ax+﹣2a+2（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，∴f′（1）=a﹣b=2，∴log4（a﹣b）=log42=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=ax++2﹣2a，令g（x）=f（x）﹣2lnx=ax++2﹣2a﹣2lnx，x∈[1，+∞），则g（1）=0，g′（x）=a ﹣﹣==，①当0＜a＜1时，＞1，∴当x∈（1，）时，g′（x）＜0，函数g（x）是（1，）上的减函数，∴f（x）﹣2lnx≥0在[1，+∞）上不成立；②当a＞1时，则＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，解得g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，∴f（x）﹣2lnx＞0．综上，a的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查对数值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意导数性质的合理运用．20．（13分）已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2=4y有一个相同的焦点F1，直线l：y=2x+m 与抛物线C2只有一个公共点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的长轴长取最小值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）直接把直线方程和抛物线方程联立，利用判别式等于0求解m的值，代入后可得直线方程；（Ⅱ）由抛物线的焦点坐标得到椭圆的两焦点坐标，求出点F1关于直线l的对称点，然后利用三角形两边之和大于第三边得到使椭圆C1的长轴长取最小值时点P的坐标，并求得椭圆长轴的最小值，则答案可求．解答：解：（Ⅰ）由消去y，得x2﹣8x﹣4m=0．∵直线l与抛物线C2只有一个公共点，∴△=82+4×4m=0，解得m=﹣4．∴直线l的方程为y=2x﹣4；（Ⅱ）∵抛物线C2的焦点为：F1（0，1），依题意知椭圆C1的两个焦点坐标为F1（0，1），F2（0，﹣1），如图，设点F1关于直线l 的对称点为，则，解得．∴点．∴直线的方程为y=﹣1．直线l 与直线的交点坐标为．由椭圆的定义及平面几何学问得：椭圆C1的长轴长2a=．其中当P与P0重合时上式取等号．∴当a=2时，椭圆的长轴长取得最小值为4，此时椭圆的方程为，点P 的坐标为．点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用三角形两边之和大于第三边求最值点，体现了数学转化思想方法，考查了椭圆方程的求法，是压轴题．21．（14分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…）阶“期盼数列”：①a1+a2+…+a n=0；②|a1|+|a2|+…+|a n|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期盼数列”；（Ⅱ）若等比数列{a n}为2022阶“期盼数列”，求公比q的值；（Ⅲ）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期盼数列”又是递增数列，求该数列的通项公式．考点：数列与函数的综合；等比关系的确定．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）运用定义，结合等差数列的性质书写简洁些，（2）分q=1，q≠1，争辩，结合题目给出的定义，求解．（3）依据等差数列的性质求和公式的出a1+a2+…+a k=，a k+1+a k+2+••+a2k=，再运用代数运算求解，即可．解答：解：（1）3阶“期盼数列”：﹣，0，；4阶“期盼数列”：，，，；（2）若q≠1，①a1+a2+…+a2022==0，得q=﹣1，②|a1|+|a2|+…+|a2022|=1，a2022=，a2022=，若q=1，则a1+a2+…+a2022=0，则2022a1=0，a2022=0，不行能，综上；q=﹣1，（3）一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期盼数列”又是递增数列，公差为d，可知d＞0，∵a1+a2+…+a2k=0，∴×2k（a1+a2k）=0，即a1+a2k=0，a k+a k+1=0∵d＞0，∴a1＜0，a2k＞0，a k＜0，a k+1＞0，由题目中的条件可知：a1+a2+…+a k=，a k+1+a k+2+••+a2k=，两式相减得：k2d=1，d=，又ka1+×=﹣，a1=，∴a n=a1+（n﹣1）d=+（n﹣1）=n，（n∈N*）点评：本题综合考查了数列的概念，性质，新定义等学问，属于难题．。

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安徽师大附中2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．﹣i B．﹣+i C．﹣i D．﹣+i2．（5分）设x∈R，则“x＜﹣1”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知单位向量、的夹角为60°，则|+|的值为（）A．3 B．2 C．D．4．（5分）如图所示程序框图的输出的所有值都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上5．（5分）已知a=（），b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a6．（5分）两位老师和两位同学站成一排合影，则两位老师至少有一人站在两端的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）直线截圆（x﹣2）2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．199．（5分）已知D是△ABC的边BC上（不包括B、C点）的一动点，且满足=m+n，则+的最小值为（）A．3 B．3+2C．4 D．4+210．（5分）已知定义在R的函数f（x），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则下列判断一定正确的是（）A．f（a）=f（c）=f（e）B．f（b）＞f（c）＞f（d）C． f（c）＞f （b）＞f（a）D．f（c）＞f（d）＞f（a）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在相应的位置.11．（5分）已知某正三棱柱的三视图如图所示，其中正视图是边长2的正方形，则俯视图的面积为．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．13．（5分）已知在△ABC中，角A、B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°，S△ABC=，则b=．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x+3），f=1，f（1）=．15．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），关于数列{a n}有下列命题：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则S n=na n（n∈N*）；②若S n=an2+bn（a，b∈R），则{a n}是等差数列；③若S n=3n+1，则{a n}是等比数列；④若{a n}是等比数列，则S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m（m∈N*）也成等比数列；⑤若{a n}是公比为q的等比数列，且S m，2S m+1，3S m+2（m∈N*）成等差数列，则3q﹣1=0．其中正确的命题是．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在指定区域16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，|Φ|＜π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．17．（12分）某校2015届高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分为150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…，第六组[140，150]，如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（Ⅰ）求第四和第五组频率，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）若不低于120分的同学进入决赛，不低于140分的同学为种子选手，完成下面2×2列联表（即填写空格处的数据），并判断是否有99%的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关”．[120，140）[140，150] 合计参加培训8 8未参加培训合计 4附：K2=P（K2≥k0）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001K0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82818．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=．（Ⅰ）求证：PA1⊥BC；（Ⅱ）求证：PB1∥平面AC1D；（Ⅲ）求V A1﹣ADC1．19．（12分）已知函数f（x）=ax+﹣2a+2（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．（Ⅰ）求log4（a﹣b）的值；（Ⅱ）若f（x）﹣2lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．20．（13分）已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2=4y有一个相同的焦点F1，直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的长轴长取最小值时，求椭圆C1的方程及点P 的坐标．21．（14分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+…+a n=0；②|a1|+|a2|+…+|a n|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若等比数列{a n}为2014阶“期待数列”，求公比q的值；（Ⅲ）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式．安徽师大附中2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．﹣i B．﹣+i C．﹣i D．﹣+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的几何意义、运算法则即可得出．解答：解：由图可知：z1=i，z2=2﹣i，则则====．故选：D．点评：本题考查复数的除法运算、几何意义，属于基础题．2．（5分）设x∈R，则“x＜﹣1”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得出答案．解答：解：若x＜﹣1，则2x2+x﹣1=（2x﹣1）（x+1）＞0，是充分条件；若2x2+x﹣1=（2x﹣1）（x+1）＞0，则x＞或x＜﹣1，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．3．（5分）已知单位向量、的夹角为60°，则|+|的值为（）A．3 B．2 C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得=，再根据|+|=，计算求得结果．解答：解：由题意可得||=||=1，=1×1×cos60°=，∴|+|====，故选：C．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．4．（5分）如图所示程序框图的输出的所有值都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上考点：程序框图．专题：计算题．分析：依程序框图可知输出的点为（1，1）、（2，2）、（3，4）、（4，8），只要验证即可选出答案．解答：解：依程序框图可知输出的点为（1，1）、（2，2）、（3，4）、（4，8），经验证可知四个点皆满足y=2x﹣1，故选D．点评：理解循环结构的功能和判断框的条件是解决问题的关键．5．（5分）已知a=（），b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：借助中间量把a，b，c的大小关系找出来即可．解答：解：因为0＜a=（）＜（）0=1，b=log2＜=0，c=log＞=1，故选C．点评：本题主要考查指数函数、对数函数的性质．6．（5分）两位老师和两位同学站成一排合影，则两位老师至少有一人站在两端的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出2位老师，2位学生站成一排合影，没有任何要求的站法，再求出每位老师都不站在两端的站法，根据对立事件的概率公式求得．解答：解：2位老师，2位学生站成一排合影，没有任何要求的排列是A44=24种，每位老师都不站在两端，则两端只能是2名学生站，有A22A22=4种，根据古典概型的概率公式可得，有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是P==，故两位老师至少有一人站在两端的概率是1﹣=故选A．点评：本题主要考查了古典概型的概率问题，关键是利用排列组合求出基本事件，属于基础题．7．（5分）直线截圆（x﹣2）2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是（）A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d==1，设劣弧所对的圆心角是2θ，则有cosθ=，可得θ 的值，则2θ 即为所求．解答：解：圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为（2，0），圆心到直线的距离d==1，而圆的半径等于2，设弦所对的劣弧所对的圆心角是2θ，则有cosθ==，可得θ=，故2θ=，故选D．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题．8．（5分）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．19考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：要想求得单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量．解答：解：依题意，首先找出A到B的路线，①单位时间内从结点A经过上面一个中间节点向结点B传递的最大信息量，从结点A向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点B最大传递分别是4个和3个，此时信息量为3+4=7个．②单位时间内从结点A经过下面一个中间结点向结点B传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点B最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点B，所以此时信息量为6+6=12个．③综合以上结果，单位时间内从结点A向结点H传递的最大信息量是3+4+6+6=7+12=19个．故选：D．点评：本题考查分类计数的加法原理，对于此类问题，首先应分清是用分步计数还是分类计数．9．（5分）已知D是△ABC的边BC上（不包括B、C点）的一动点，且满足=m+n，则+的最小值为（）A．3 B．3+2C．4 D．4+2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用向量共线定理、基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵B，C，D三点共线，满足=m+n，∴m+n=1，m，n＞0．∴+=（m+n）=3==3+2，当且仅当n=m=．∴+的最小值为3+2．故选：B．点评：本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质，属于基础题．10．（5分）已知定义在R的函数f（x），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则下列判断一定正确的是（）A．f（a）=f（c）=f（e）B．f（b）＞f（c）＞f（d）C． f（c）＞f （b）＞f（a）D．f（c）＞f（d）＞f（a）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：从导函数的图象得出导数的正负以及原函数的单调区间，画出y=f（x）的大致图象，再选择答案．解答：解：从导函数f′（x）的部分图象上看，当x∈（a，c）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（a，c）上单调递增；当x∈（c，e）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（c，e）上单调递减；当x＜a时，f′（x）＜0，∴f（x）在x＜a单调递减；当x＞e时，f′（x）＞0，∴f（x）在x＞e单调递增；而当x=a时函数取极小值，当x=c时函数取极大值，当x=e时函数取极小值，∴y=f（x）的图象大致为：从图象上看，f（c）＞f（b）＞f（a），故选：C．点评：本题主要考查函数的单调性、极值与函数的导数之间的关系，特别地，由导函数的图象可画出原函数的大致图象，对于研究函数来说，是一个行之有效的方法．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在相应的位置.11．（5分）已知某正三棱柱的三视图如图所示，其中正视图是边长2的正方形，则俯视图的面积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，俯视图为边长为2的正三角形，可得俯视图的面积．解答：解：由题意，俯视图为边长为2的正三角形，面积为=，故答案为：．点评：本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，比较基础．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8解答：解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y 为将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值z min=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为：﹣8点评：本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．13．（5分）已知在△ABC中，角A、B，C所对边分别为a，b，c，且c=，B=45°，S△ABC=，则b=1．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用条件和三角形的面积公式求出边a，再利用三角形的余弦定理求出边b．解答：解：由题意得，c=，B=45°，S△ABC=，所以，解得a=1，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=1+2﹣2×1××=1，则b=1，故答案为：1．点评：本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x+3），f=1，f（1）=﹣1．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（﹣x）=﹣f（x）=f（x+3），从而f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），进而f=f （336×6﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=1，由此能求出f（1）．解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足：f（﹣x）=f（x+3），f=1，∴f（﹣x）=﹣f（x）=f（x+3），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∴f=f（336×6﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=1，∴f（1）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），关于数列{a n}有下列命题：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则S n=na n（n∈N*）；②若S n=an2+bn（a，b∈R），则{a n}是等差数列；③若S n=3n+1，则{a n}是等比数列；④若{a n}是等比数列，则S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m（m∈N*）也成等比数列；⑤若{a n}是公比为q的等比数列，且S m，2S m+1，3S m+2（m∈N*）成等差数列，则3q﹣1=0．其中正确的命题是①②⑤．（填上所有正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由既是等差数列又是等比数列的数列为非零常数列说明①正确；由数列的前n项和求出通项公式说明②正确，③错误；举反例说明④错误；直接由等比数列的前n项和结合等差数列的性质列式分析⑤正确．解答：解：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则数列为非零常数列，∴S n=na n（n∈N*），命题①正确；②若S n=an2+bn（a，b∈R），则a1=S1=a+b，a n=S n﹣S n﹣1=an2+bn﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）]=2an﹣a+b（n≥2）．验证n=1上式成立，∴a n=2an﹣a+b，则{a n}是等差数列，命题②正确；③若S n=3n+1，则a1=S1=4，（n≥2），验证n=1时上式不成立，则{a n}不是等比数列，命题③错误；④若{a n}是等比数列，则S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m（m∈N*）不一定成等比数列，如数列1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，…，m=2时不成立，命题④错误；⑤若{a n}是公比为q的等比数列，且S m，2S m+1，3S m+2（m∈N*）成等差数列，设其首项为a1，公比为q，则，整理得3q﹣1=0，命题⑤正确．故答案为：①②⑤．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的性质，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在指定区域16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，|Φ|＜π）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）根据已知和图象，先求出A，ω的值，再求出φ的值，即可确定函数f（x）的解析式；（Ⅱ）先确定2x+∈[﹣，]，则可确定得﹣1≤2sin（2x+）≤2，解答：解：（Ⅰ）依题意，A=2且=﹣﹣（﹣）=，得T=π=，所以ω=2，且f（0）=1，得2sinφ=，|φ|＜π，且点（0，1）在函数f（x）的递增区间上，故﹣＜φ＜，因此φ=，所以f（x）=2sin（2x+）（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]得﹣1≤2sin（2x+）≤2当2x+=﹣时，即有x=﹣时，函数f（x）取得最小值﹣1；当2x+=时，即有x=时，函数f（x）取得最大小值2．点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于中档题．17．（12分）某校2015届高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分为150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…，第六组[140，150]，如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（Ⅰ）求第四和第五组频率，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）若不低于120分的同学进入决赛，不低于140分的同学为种子选手，完成下面2×2列联表（即填写空格处的数据），并判断是否有99%的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关”．[120，140）[140，150] 合计参加培训8 8未参加培训合计 4附：K2=P（K2≥k0）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001K0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828考点：独立性检验．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据所给的频率分步直方图，列出关于x，y的方程，联立方程，得到方程组，解方程组得到要求的频率，补充完整频率分步直方图，求出M的值．（Ⅱ）做粗话进入决赛的人数，得到列联表的各个位置的数据，填上列联表，根据列联表中的数据，根据条件中所给的观测值的公式做出观测值，得到没有99%的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关．解答：解：（Ⅰ）设第四，五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10①x+y=1﹣（0.005+0.015+0.02+0.035）×10②由①②解得x=0.15，y=0.10从而得出直方图（如图所示）M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5（Ⅱ）依题意，进入决赛人数为×（0.15+0.10+0.05）=24，进而填写列联表如下：[120，140）[140，150] 合计参加培训 5 3 8未参加培训15 1 16合计20 4 24又由K2==3.75＜6.635，故没有99%的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关．点评：本题考查频率分步直方图，考查独立性检验，考查利用观测值和临界值得到这件事的程度，本题是一个统计的综合题目．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=．（Ⅰ）求证：PA1⊥BC；（Ⅱ）求证：PB1∥平面AC1D；（Ⅲ）求V A1﹣ADC1．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取B1C1的中点Q，连接A1Q，PQ．利用等腰三角形底边上的性质可得A1Q⊥B1C1，PQ⊥B1C1，利用线面垂直的判定定理可得B1C1⊥平面PQA1，即可得到结论；（II）连接BQ，在△PB1C1中，由PB1=PC1=，B1C1=2，Q为B1C1的中点，可得PQ=1，BB1=PQ，BB1∥PQ．得到四边形BB1PQ为平行四边形．于是PB1∥BQ．又BQ∥DC1，利用平行线的传递性可得PB1∥DC1，再利用线面平行的判定定理即可得到PB1∥平面AC1D．（III）作DE⊥AC，则DE⊥平面AA1C1，DE=DC•sin60°=．即可得到，根据=即可得到体积．解答：（I）证明：取B1C1的中点Q，连接A1Q，PQ．∵A1B1=A1C1，PB1=PC1，∴A1Q⊥B1C1，PQ⊥B1C1，又PQ∩A1Q=Q，∴B1C1⊥平面PQA1，∴BC⊥PA1．（II）证明：连接BQ，在△PB1C1中，∵PB1=PC1=，B1C1=2，Q为B1C1的中点，∴PQ=1，BB1=PQ，BB1∥PQ．∴四边形BB1PQ为平行四边形．∴PB1∥BQ．又BQ∥DC1，∴PB1∥DC1，∵PB1⊄平面AC1D，DC1⊂平面AC1D，∴PB1∥平面AC1D．（III）解：作DE⊥AC，则DE⊥平面AA1C1，DE=DC•sin60°=．==1．∴===．点评：本题综合考查了线面平行于垂直的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、三棱锥的体积计算公式等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．19．（12分）已知函数f（x）=ax+﹣2a+2（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．（Ⅰ）求log4（a﹣b）的值；（Ⅱ）若f（x）﹣2lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知得，由此能求出log4（a﹣b）=log42=．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣2lnx=ax++2﹣2a﹣2lnx，得g（1）=0，g′（x）=a﹣﹣=，由此利用分类讨论思想能求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+﹣2a+2（a＞0），∴，∵函数f（x）=ax+﹣2a+2（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，∴f′（1）=a﹣b=2，∴log4（a﹣b）=log42=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=ax++2﹣2a，令g（x）=f（x）﹣2lnx=ax++2﹣2a﹣2lnx，x∈[1，+∞），则g（1）=0，g′（x）=a﹣﹣==，①当0＜a＜1时，＞1，∴当x∈（1，）时，g′（x）＜0，函数g（x）是（1，）上的减函数，∴f（x）﹣2lnx≥0在[1，+∞）上不成立；②当a＞1时，则＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，解得g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，∴f（x）﹣2lnx＞0．综上，a的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查对数值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．20．（13分）已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2=4y有一个相同的焦点F1，直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的长轴长取最小值时，求椭圆C1的方程及点P 的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）直接把直线方程和抛物线方程联立，利用判别式等于0求解m的值，代入后可得直线方程；（Ⅱ）由抛物线的焦点坐标得到椭圆的两焦点坐标，求出点F1关于直线l的对称点，然后利用三角形两边之和大于第三边得到使椭圆C1的长轴长取最小值时点P的坐标，并求得椭圆长轴的最小值，则答案可求．解答：解：（Ⅰ）由消去y，得x2﹣8x﹣4m=0．∵直线l与抛物线C2只有一个公共点，∴△=82+4×4m=0，解得m=﹣4．∴直线l的方程为y=2x﹣4；（Ⅱ）∵抛物线C2的焦点为：F1（0，1），依题意知椭圆C1的两个焦点坐标为F1（0，1），F2（0，﹣1），如图，设点F1关于直线l的对称点为，则，解得．∴点．∴直线的方程为y=﹣1．直线l与直线的交点坐标为．由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆C1的长轴长2a=．其中当P与P0重合时上式取等号．∴当a=2时，椭圆的长轴长取得最小值为4，此时椭圆的方程为，点P的坐标为．点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用三角形两边之和大于第三边求最值点，体现了数学转化思想方法，考查了椭圆方程的求法，是压轴题．21．（14分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+…+a n=0；②|a1|+|a2|+…+|a n|=1．（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若等比数列{a n}为2014阶“期待数列”，求公比q的值；（Ⅲ）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式．考点：数列与函数的综合；等比关系的确定．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）运用定义，结合等差数列的性质书写简单些，（2）分q=1，q≠1，讨论，结合题目给出的定义，求解．（3）根据等差数列的性质求和公式的出a1+a2+…+a k=，a k+1+a k+2+••+a2k=，再运用代数运算求解，即可．解答：解：（1）3阶“期待数列”：﹣，0，；4阶“期待数列”：，，，；（2）若q≠1，①a1+a2+…+a2014==0，得q=﹣1，②|a1|+|a2|+…+|a2014|=1，a2014=，a2014=，若q=1，则a1+a2+…+a2014=0，则2014a1=0，a2014=0，不可能，综上；q=﹣1，（3）一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，公差为d，可知d＞0，∵a1+a2+…+a2k=0，∴×2k（a1+a2k）=0，即a1+a2k=0，a k+a k+1=0∵d＞0，∴a1＜0，a2k＞0，a k＜0，a k+1＞0，由题目中的条件可知：a1+a2+…+a k=，a k+1+a k+2+••+a2k=，两式相减得：k2d=1，d=，又ka1+×=﹣，a1=，∴a n=a1+（n﹣1）d=+（n﹣1）=n，（n∈N*）点评：本题综合考查了数列的概念，性质，新定义等知识，属于难题．。

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