2017年四川省成都市高新区高考数学考前模拟试卷(文科)

2017年四川省成都市高新区高考数学考前模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|y=}，B={y=|y=1﹣e x}，则A∩B=（）A．[﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，i是虚数单位，则的虚部为（）A．﹣ B．C．﹣ D．3．（5分）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（5分）《孙子算经》中有道算术题：“今有百鹿人城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；再每3户共分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如下，则输出的值是（）A．74 B．75 C．76 D．775．（5分）已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称6．（5分）已知菱形ABCD中，∠A=，AB=1，E为BC边上任一点，则•的最大值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n﹣a，则数列{log2a n}的前10项和等于（）A．1023 B．55 C．45 D．358．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．249．（5分）函数的图象大致是（）A．B． C．D．10．（5分）点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+u（λ，μ∈R），λ2+u2=，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足＞0，f（2﹣x）=f（x）•e2﹣2x 则下列判断一定正确的是（）A．f（1）＜f（0）B．f（3）＞e3•f（0）C．f（2）＞e•f（0）D．f（4）＜e4•f（0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为．14．（5分）已知两个平面向量满足，，若与垂直，则实数k=．15．（5分）已知总体中的10个个体的数值由小到大依次为c，3，3，8，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10，平均数为10，若要使该总体的方差最小，则abc=．16．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＞0，S10＜0，则中最大的是．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，3b﹣2c=7，A=60°．（1）求b的值；（2）若AD平分∠BAC交BC于点D，求线段AD的长．18．（12分）如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC的中点．（1）指出平面ADM与PB的交点N所在位置，并给出理由；（2）求平面ADM将四棱锥P﹣ABCD分成上下两部分的体积比．19．（12分）已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如表：若抽取学生n人，成绩分为A（优秀），B（良好），C（及格）三个等次，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=64（人），数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x 与y均为A等级的概率是0.07．（Ⅰ）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a，b的值；（Ⅱ）已知a≥7，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．20．（12分）已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）lnx+2x﹣3，x≥1．（1）试判断函数f（x）的零点个数；（2）若函数g（x）=（x﹣a）lnx+在[1，+∞）上为增函数，求整数a的最大值．（可能要用的数据：ln1.59≈0.46；ln1.60≈0.47；≈9.76）【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知极点与坐标原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，两个坐标系单位长度相同，已知倾斜角为α的直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）若直线l的斜率为﹣1，求直线l与曲线C交点的极坐标；（2）设曲线C与直线l相交于A、B两点，且|AB|=2，求tanα．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=﹣1时，求f（x）≤2的解集；（2）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合，求实数a的取值范围．2017年四川省成都市高新区高考数学考前模拟试卷（文科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|y=}，B={y=|y=1﹣e x}，则A∩B=（）A．[﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：∵集合A={x|y=}={x|x≥﹣1}，B={y=|y=1﹣e x}={y|y＜1}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．故选：A．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，i是虚数单位，则的虚部为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵z1=1﹣2i，∴由题意，z2=﹣1﹣2i，则，∴的虚部为﹣．故选：A．3．（5分）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于①，令y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx≥0，则有函数y=x﹣sinx在R 上递增，则当x＞0时，x﹣sinx＞0﹣0=0，则x＞sinx恒成立．则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，则②对；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；对于④，命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．则④对．综上可得，其中正确的叙述共有3个．故选C．4．（5分）《孙子算经》中有道算术题：“今有百鹿人城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；再每3户共分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如下，则输出的值是（）A．74 B．75 C．76 D．77【解答】解：由题意，输出的值是100÷（1+）=100÷=75．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）﹣，故它的最小正周期为=π，故A不正确；令x=，求得f（x）=﹣=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）﹣为增函数，故C不正确，故选：D．6．（5分）已知菱形ABCD中，∠A=，AB=1，E为BC边上任一点，则•的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，∴B（1，0），A（0，0）∵菱形ABCD中，∠A=，AB=1，∴CF=，BF=，∴C（，），设=λ，（0≤λ≤1）E的坐标为（x，y），∴（x﹣1，y）=λ（，）∴x=1+λ，y=λ，∴•=（1+λ，λ）•（﹣λ，﹣λ）=﹣λ2++=﹣（λ﹣）2+，故当λ=时，有最大值，即为，故选：B7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n﹣a，则数列{log2a n}的前10项和等于（）A．1023 B．55 C．45 D．35【解答】解：因为等比数列{a n}的前n项和S n=2n﹣a，所以当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，所以公比q=2，a2=2，所以a1==1，即a n=2n﹣1，所以log2a n=log22n﹣1=n﹣1，故所求值为=45，故选：C．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．24【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱，切去看一半，底面为矩形长为4，宽为3，斜四棱柱的高是2，棱柱体积公式：V=Sh可得：V=×4×3×2=12故选B．9．（5分）函数的图象大致是（）A．B． C．D．【解答】解：函数是偶函数，排除B，x=e时，y=e，即（e，e）在函数的图象上，排除A，当x=时，y=，当x=时，y=﹣=，，可知（，）在（）的下方，排除C．故选：D．10．（5分）点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+u（λ，μ∈R），λ2+u2=，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则当x=c时，y═±•c=±，即A（c，），B（c，﹣），P（c，），因为=λ+μ，所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），所以λ+μ=1，λ﹣μ=，解得：λ=，μ=，∵λ2+u2=，∴（）2+（）2=，即=，即c2=4b2．则c2=4（c2﹣a2），则3c2=4a2．c=2a，则e==，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足＞0，f（2﹣x）=f（x）•e2﹣2x 则下列判断一定正确的是（）A．f（1）＜f（0）B．f（3）＞e3•f（0）C．f（2）＞e•f（0）D．f（4）＜e4•f（0）【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）满足＞0，∴当x＜1时，f′（x）﹣f（x）＜0．∴g′（x）＜0．此时函数g（x）单调递减．∴g（﹣1）＞g（0）．即∵f（2﹣x）=f（x）•e2﹣2x∴f（3）=f（﹣1）e4＞e﹣1f（0）•e4=e3f（0）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为7．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），化目标函数z=3x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．故答案为：7．14．（5分）已知两个平面向量满足，，若与垂直，则实数k=．【解答】解：∵两个平面向量满足，，与垂直，∴（）（）==2k2﹣25=0，解得实数k=．故答案为：．15．（5分）已知总体中的10个个体的数值由小到大依次为c，3，3，8，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10，平均数为10，若要使该总体的方差最小，则abc=200．【解答】解：这10个数的中位数为=10，∴a+b=20这10个数的平均数为10．∴a+b+c=22，∴c=2要使总体方差最小，即（a﹣10）2+（b﹣10）2最小．又∵（a﹣10）2+（b﹣10）2=（20﹣b﹣10）2+（b﹣10）2=2（b﹣10）2，∴当b=10时，（a﹣10）2+（b﹣10）2取得最小值．又∵a+b=20，∴a=10，b=10．∴abc=200，故答案为：200．16．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＞0，S10＜0，则中最大的是．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，若S9＞0，则有S9==9a5＞0，则有a5＞0，若S10＜0，则有s10=×10=（a5+a6）×5＜0，则有a5+a6＜0，则有a5＞0，a6＜0，则等差数列{a n}为递减数列，则有a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0＞a6＞a7＞a8＞a9，则有数列{}中，当n≤5时，有0＜＜＜＜＜，当n≥6时，＜0，故则中最大的是，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，3b﹣2c=7，A=60°．（1）求b的值；（2）若AD平分∠BAC交BC于点D，求线段AD的长．【解答】解：（1）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，即21=b2+c2﹣bc，联立3b﹣2c=7，解得b=5，c=4．（2），，，=S△ABD+S△ACD，得，由S△ABC∴．18．（12分）如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC的中点．（1）指出平面ADM与PB的交点N所在位置，并给出理由；（2）求平面ADM将四棱锥P﹣ABCD分成上下两部分的体积比．【解答】解：（1）N为PB中点．理由如下：∵AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC，又∵AD⊂平面AMD，平面AMD∩平面PBC=MN，∴AD∥MN，又∵M为PC的中点，∴N为PB的中点．（2）∵PA⊥底面ABCD，∴AD⊥PA又∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，又∵AN⊂平面PAB，∴AD⊥AN，∵MN是△PBC的中位线，且BC=1，∴，又，∴，∵P点到截面ADMN的距离为P到直线AN 的距离，∴四棱锥P﹣ADMN 的体积而四棱锥P﹣ABCD 的体积，∴四棱锥被截下部分体积故上、下两部分体积比．19．（12分）已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如表：若抽取学生n人，成绩分为A（优秀），B（良好），C（及格）三个等次，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=64（人），数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07．（Ⅰ）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a，b的值；（Ⅱ）已知a≥7，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．【解答】解：（1）∵x与y均为A等级的概率是0.07，∴，解得n=200，∴，故a=18而a+b=30所以b=12．（2）a+b=30且a≥7，b≥6由14+a+28＞10+b+34得a＞b+2则（a，b）的所有可能结果为：（7，23），（8，22），（9，21）…（24，6）共有18种，a＞b+2可能结果为（17，13），（18，12）…（24，6）共有8种，则所求．20．（12分）已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．【解答】解：（1）∵直线l：x=my+1过顶点（1，0），∴c=1，又抛物线的焦点坐标为（），∴．则a2=b2+c2=4．∴椭圆C的方程为：；（2）易知m≠0，，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0，，又由得：，，∴=．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）lnx+2x﹣3，x≥1．（1）试判断函数f（x）的零点个数；（2）若函数g（x）=（x﹣a）lnx+在[1，+∞）上为增函数，求整数a的最大值．（可能要用的数据：ln1.59≈0.46；ln1.60≈0.47；≈9.76）【解答】解：（1）由f（x）=（x﹣2）lnx+2x﹣3，x≥1，求导f′（x）=lnx﹣+3，（x≥1），则f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在[1，+∞）为增函数，由f′（x）≥f′（1）=1，故f（x）=（x﹣2）lnx+2x﹣3在[1，+∞）为增函数，又由f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，∴函数f（x）在[1，+∞）上有唯一的零点；（2）g（x）=（x﹣a）lnx+，g′（x）=lnx+1﹣+，在[1，+∞）上恒成立，由x=1，显然成立，则a≤在[1，+∞）上恒成立，令h（x）=，x∈（1，+∞），则a小于h（x）的x在区间（1，+∞）上的最小值，求导h′（x）=，由（1）可知f（x）=（x﹣2）lnx+2x﹣3在[1，+∞）为增函数，故f（x）在[1，+∞）上由唯一的零点m，由f（1.60）=0.012，f（1.59）=﹣0.0086＜0，则m∈（1.59，1.60），f（m）=（m﹣2）lnm+2m﹣3=0，则lnm=，由当x∈（1，m），h′（x）＜0，h（x）在（1，m]为减函数，x∈（m，+∞），h′（x）＞0，h（x）在[m，+∞）为增函数，故当x=m，h（x）有最小值h（m）==，令2﹣m=t∈（0.4，0.41），则h（x）最小值有，==t+﹣4∈（+，）+≈6.17，∴h（x）的最小值大约在6.17～6.4之间，故整数a的最大值为6．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知极点与坐标原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，两个坐标系单位长度相同，已知倾斜角为α的直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）若直线l的斜率为﹣1，求直线l与曲线C交点的极坐标；（2）设曲线C与直线l相交于A、B两点，且|AB|=2，求tanα．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ得C（x﹣2）2+y2=4，直线l：x+y=0．两者联立得直角坐标为A（0，0），B（2，﹣2），可得它们的交点的极坐标为．（2）将直线的参数方程带入曲线的直角坐标方程得t2+（2sinα﹣6cosα）t+6=0，∵，∴①．由韦达定理得：t1+t2=﹣（2sinα﹣6cosα），t1•t2=6，∴化简①可得2sinα﹣6cosα=±6．再根据sin2α+cos2α=1（0≤α＜π），求得得，∴tanα=0或．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=﹣1时，求f（x）≤2的解集；（2）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=﹣1时，f（x）=|2x+1|+|2x﹣1|≥|2x+1﹣2x+1|=2，即x=±时，“=”成立，故不等式的解集是[﹣，]；（2）由|2x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|得：|2x﹣a|≤|2x+1|﹣|2x﹣1|≤|2x+1﹣2x ﹣1|=2，故﹣2≤2x﹣a≤2，故≤x ≤，故[，1]⊆[，]，故，解得：a∈[0，3]．。