§6.1.1线面垂直的判定(北师大版必修二)(1)ppt课件
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垂直关系的判定-课件ppt
北师大版必修二第一章第六节第一课时
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直示例
栽树问题
M
E
A C
DP3 OB
F
P1 P2
概念
• 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面垂直.
• 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任 何一条直线都垂直.
概念辨析与应用
作业
•作业本作业：课本第41页第4题和第5题；
•课外探究：1、课本第36页第3题； •2、如何证明直线与平面的判定定理
பைடு நூலகம்
• (1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直， 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
• (2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条直 线垂直于梯形所在的平面.( )
• (3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这 条直线垂直于三角形的第三边.( )
典例剖析
O
小结
• 1、本节课主要学习了哪些知识？ • 概念、定理。 • 2、探究概念定理时所采用了什么方法？ • 生活实例、实验演示、类比联想等. • 3、解题过程中用了什么方法？体现了什么思想？ • 线线垂直与线面垂直的不断转化, • 从条件出发推理，从问题入手分析. • 4、你觉着本节课还有什么遗憾没有？ • 课后探究
•（1）如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，则这条 直线和这个平面垂直。
•（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面。
l
判定定理 • 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线 与此平面垂直。
定理应用
• 1、生活实例
• 2、折纸
• 3、判断错对
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直示例
栽树问题
M
E
A C
DP3 OB
F
P1 P2
概念
• 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面垂直.
• 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任 何一条直线都垂直.
概念辨析与应用
作业
•作业本作业：课本第41页第4题和第5题；
•课外探究：1、课本第36页第3题； •2、如何证明直线与平面的判定定理
பைடு நூலகம்
• (1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直， 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
• (2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条直 线垂直于梯形所在的平面.( )
• (3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这 条直线垂直于三角形的第三边.( )
典例剖析
O
小结
• 1、本节课主要学习了哪些知识？ • 概念、定理。 • 2、探究概念定理时所采用了什么方法？ • 生活实例、实验演示、类比联想等. • 3、解题过程中用了什么方法？体现了什么思想？ • 线线垂直与线面垂直的不断转化, • 从条件出发推理，从问题入手分析. • 4、你觉着本节课还有什么遗憾没有？ • 课后探究
•（1）如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，则这条 直线和这个平面垂直。
•（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面。
l
判定定理 • 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线 与此平面垂直。
定理应用
• 1、生活实例
• 2、折纸
• 3、判断错对
北师大版数学必修二同步课件：第一章66.1 垂直关系的判定 (1)
栏目 导引
第一章 立体几何初步
二面角的求解问题 已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，求二面 角 C1BDC 的正切值． [解] 如图，连接 AC，与 BD 相交于点 O，连接 OC1. 由于 ABCD 是正方形，
栏目 导引
第一章 立体几何初步
所以 AC⊥BD，即 OC⊥BD. 又因为 C1B＝C1D，且 O 是 BD 的中点，所以 C1O⊥BD. 因此∠C1OC 就是二面角 C1BDC 的平面角． 在 Rt△C1CO 中，tan∠C1OC＝CO1CC， 而 C1C＝a，OC＝ 22a， 所以 tan∠C1OC＝ 2.
B．2 对 D．5 对
栏目 导引
第一章 立体几何初步
解析：选 D.因为 DA⊥AB，DA⊥PA，所以 DA⊥平面 PAB， 同理 BC⊥平面 PAB，又 AB⊥平面 PAD，所以 DC⊥平面 PAD， 所以平面 PAD⊥平面 AC，平面 PAB⊥平面 AC，平面 PBC⊥ 平面 PAB，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PDC⊥平面 PAD， 共 5 对．故选 D.
栏目 导引
第一章 立体几何初步
易错警示
对定理理解不透彻致误
设 α，β 为不重合的两个平面，给出下列说法： ①若 α 内的两条相交直线分别平行于平面 β，则 α 平行于 β； ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行，则 l 和 α 平行； ③设 α 和 β 相交于直线 l，若 α 内有一条直线垂直于 l，则 α 和 β 垂直； ④直线 l 与平面 α 垂直的条件是 l 与 α 内的两条直线垂直． 上面说法中正确的序号是______(写出所有的正确的序号)．
栏目 导引
③二面角的记法
第一章 立体几何初步
第一章 立体几何初步
二面角的求解问题 已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，求二面 角 C1BDC 的正切值． [解] 如图，连接 AC，与 BD 相交于点 O，连接 OC1. 由于 ABCD 是正方形，
栏目 导引
第一章 立体几何初步
所以 AC⊥BD，即 OC⊥BD. 又因为 C1B＝C1D，且 O 是 BD 的中点，所以 C1O⊥BD. 因此∠C1OC 就是二面角 C1BDC 的平面角． 在 Rt△C1CO 中，tan∠C1OC＝CO1CC， 而 C1C＝a，OC＝ 22a， 所以 tan∠C1OC＝ 2.
B．2 对 D．5 对
栏目 导引
第一章 立体几何初步
解析：选 D.因为 DA⊥AB，DA⊥PA，所以 DA⊥平面 PAB， 同理 BC⊥平面 PAB，又 AB⊥平面 PAD，所以 DC⊥平面 PAD， 所以平面 PAD⊥平面 AC，平面 PAB⊥平面 AC，平面 PBC⊥ 平面 PAB，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PDC⊥平面 PAD， 共 5 对．故选 D.
栏目 导引
第一章 立体几何初步
易错警示
对定理理解不透彻致误
设 α，β 为不重合的两个平面，给出下列说法： ①若 α 内的两条相交直线分别平行于平面 β，则 α 平行于 β； ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行，则 l 和 α 平行； ③设 α 和 β 相交于直线 l，若 α 内有一条直线垂直于 l，则 α 和 β 垂直； ④直线 l 与平面 α 垂直的条件是 l 与 α 内的两条直线垂直． 上面说法中正确的序号是______(写出所有的正确的序号)．
栏目 导引
③二面角的记法
第一章 立体几何初步
北师大版必修第二册第六章立体几何初步直线与平面垂直的证明技法课件共36张PPT
一、量化证明法
1.如图，四面体ABCD中，O是BD的中点， =
= = = 2, = = 2,
求证： ⊥ 平面.
证明：在 中， = = 2, = 2,O为BD
的中点， ⊥ ⋯ ①
在 ∆中， = = = 2,O为BD的中点，
A在PB上的射影为E，求证： ⊥ 平他.
证明： ⊥ , ⊂ , ⊥ . . . . . . ① ⊥
. . . . . ②, ∩ = ⋯ ⋯ 3 .由①②③可得，
⊥ .
⊂ , ⊥ , ∩ = ⋯ 3 .由①②③可
连接DE、AE.在 中，由于PD⊥平面ABCD，AB ⊂ 平面ABCD，
PD⊥AB，AB⊥AD、PD∩AD=D，AB⊥平面PAD，PA ⊂ 平面PAD，
⊥ ,所以，△PAB为直角三角形，又E为PB的中点， =
1
.连接BD，在△PBD中， ⊥ ,所以△PBD为直角三角形，
2
1
.
2
又E为PB的中点， =
于是，在 中， = ,F为AD的中点，所以 ⊥
, //,EF⊥BC……②, ∩ = ...③.由①②③可得，EF⊥
平面PBC.
3.如图在底面为直角梯形的四棱锥 − 中，
∘
⊥底面ABCD， //, ∠ = 90 , = 2, =
2 3, = 6,求证： ⊥平面PAC，
证明： ⊥ , ⊂ , ⊥ ⋯ ⋯ ①,
在四边形ABCD中， //, ∠ = 90∘ ,所以，四
边形ABCD是直角梯形，在∆ABD中，AD=2, =
∘
2 3,所以 ∠ = 30 ,
得， ⊥
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§6.1
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 直线与平面垂直的判定 例1
在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的
中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
【证明】 如图所示，连接AC，BD,则O是AC和BD的交点，∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BO，∵B1B⊥平面ABCD，AC
∴BB1⊥AC. ∵E、F分别是棱AB、BC的中点， ∴AC∥EF， ∴EF⊥BO，EF⊥BB1.
平面ABCD，
又∵BO∩BB1＝B，
∴EF⊥平面BB1O.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
【名师点评】
证明直线与平面垂直时， 一定要证明直线和
平面内两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能 把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误结论．
栏目 导引
第一章
立体几何初步
又∵ AO 平面 AA1C1C， ∴ BD⊥ A1O. 在矩形 AA1C1C 中，
2 A1O＝ AA1 ＋ AO2， 2 OM＝ MC2＋ OC2， A1M＝ A1C2 ＋ C M . 1 1
设正方体的棱长为 1， 则在△ A1OM 中， A1M2＝ A1O2＋ OM2， ∴∠ A1OM＝ 90° ，即 A1O⊥ OM. 又∵ BD∩ OM＝ O， BD 平面 MBD， OM 平面 MBD， ∴ A1O⊥平面 MBD.
平面角是直角 的二面角叫作直二面角． ⑤直二面角： _____________ (2)平面与平面的垂直 直二面角 ， ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是 __________ 就说这两个平面互相垂直．
栏目 导引
北师大版数学必修二课件：垂直关系的判定
求证:(1)AF∥平面PCE;
(2)平面PCE⊥平面PCD.
探究一
探究二
易错辨析
分析:(1)要证AF∥平面PCE,只需证明AF平行于平面PCE内的一
条直线即可,取PC的中点G,则该直线为GE.
(2)要证明平面PCE⊥平面PCD,只需证明GE⊥平面PCD,而由(1)
知GE∥AF,故只需证明AF⊥平面PCD即可.
腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三
角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.
探究一
探究二
易错辨析
变式训练1 如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平
面,C是圆O上的点.求证:BC⊥平面PAC.
分析:由AB是圆O的直径可知AC⊥BC,再结合PA⊥平面ABC,即可
证明BC⊥平面PAC.
直”.
(2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据,
而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.
(3)要证α⊥β,可证α经过β的某一条垂线,也可证明β经过α的某一
条垂线.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若直线l垂直于平面α内无数条直线,则有l⊥α. (
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直
线和这个平面垂直.
(2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示
平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.
(3)直线与平面垂直的判定定理
①文字叙述:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,
那么该直线与此平面垂直.
②符号表示:若直线a⫋α,直线b⫋α,直线l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则l⊥α.
数学北师大版高中必修2北师大版高中数学必修二第一章第六节《直线平面垂直的判定及性质》ppt
0, . 2
共 71 页
2
(2)直线与平面垂直 ①定义:如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直,
那么就说直线l和平面α互相垂直.
②判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直,那么这条直线垂直于这个平面. ③性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 线平行.
不正确. 如果l∥α,那么,α内的直线m不可能与l相交,所以,选项B不正 确. 在上述三种情况下,α内总存在直线m,使得m⊥l.
答案:C
共 71 页
13
类型一
线线垂直
解题准备:判定直线与直线垂直的方法:
(1)计算两直线所成的角为90°(包括平面角与异面直线所成
的角). (2)线面垂直的性质(若a⊥α,b⊂α,则a⊥b). (3)a·b=0⇔a⊥b.
共 71 页
16
[反思感悟] 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线 是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,
如勾股定理,等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为
线面垂直进行证明.
共 71 页
17
直线､平面垂直的判定及性
质
金溪一中汪君兴
共 71 页
1
1.直线与平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做
这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说 它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,就 说它们所成的角是0°的角,可见,直线和平面所成的角的范 围是
共 71 页
3
注意:(1)定义中的“任意一条”与“所有条”是同义词,不同 于“无数条”.
(2)判定定理在应用时,一定要明确“平面内的两条相交直
北师大版高中数学必修二课件1.6.1垂直关系的判定(1)
1. 请归纳一下获得直线与平面垂 直的判定定理的基本过程. 2. 直线与平面垂直的判定定理， 体现的教学思想方法是什么？
课后作业
课本P41习题1-6 A组 4，5，7
高8cm,它的顶端A挂
有两条长10m的绳子，
拉紧绳子并把它的下
Hale Waihona Puke 端放在地面上的两点 （和旗杆脚不在同一
C
A
B
D
条直线上 ）C、D. 如 果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什 么?
例题解析
解：在ABC中，AC2 AB2 BC2
AB BC
同理AB BC
BD与BC相交于B
书脊AB和每页书与
A
桌面的交线的位置关系
如何？
此时，书脊AB和
B
桌面内的每条直线都
垂直吗？
引入新知
1.定义：一条直线和一个平面相交,且
和这个平面内的任意一条直线都垂直，那
么称这条直线和这个平面垂直.
记作 l
l
其中：交点A叫垂足
A
l 叫 的垂线，
α
叫 l 的垂面
l l 内的任意一条直线
AB 平面
课内练习 1.判断：
(1) 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直(√) (2) 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直(√)
2.下列条件下,直线一定和平面垂直吗?
①一条直线和一个平面内的一条直线垂直
②一条直线和一个平面内的两条直线垂直 ③一条直线和一个平面内的无数条直线垂直
课堂小结
引入新知
2.判定定理：若直线l和平面α内
的两条相交直线m, n都垂直,则直线l
垂直平面α.
课后作业
课本P41习题1-6 A组 4，5，7
高8cm,它的顶端A挂
有两条长10m的绳子，
拉紧绳子并把它的下
Hale Waihona Puke 端放在地面上的两点 （和旗杆脚不在同一
C
A
B
D
条直线上 ）C、D. 如 果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什 么?
例题解析
解：在ABC中，AC2 AB2 BC2
AB BC
同理AB BC
BD与BC相交于B
书脊AB和每页书与
A
桌面的交线的位置关系
如何？
此时，书脊AB和
B
桌面内的每条直线都
垂直吗？
引入新知
1.定义：一条直线和一个平面相交,且
和这个平面内的任意一条直线都垂直，那
么称这条直线和这个平面垂直.
记作 l
l
其中：交点A叫垂足
A
l 叫 的垂线，
α
叫 l 的垂面
l l 内的任意一条直线
AB 平面
课内练习 1.判断：
(1) 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直(√) (2) 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直(√)
2.下列条件下,直线一定和平面垂直吗?
①一条直线和一个平面内的一条直线垂直
②一条直线和一个平面内的两条直线垂直 ③一条直线和一个平面内的无数条直线垂直
课堂小结
引入新知
2.判定定理：若直线l和平面α内
的两条相交直线m, n都垂直,则直线l
垂直平面α.
北师大版高中数学必修二6.1垂直关系的判定课件(共20张PPT)
与影子所在直线的位置关系是什么？
随着时间的推移呢？
B1
A
B C1
、直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 （2）BC 平面PAC l 与平面 互相垂直，记作 l
例题:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是
如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA AC, PA AB,求证：
问题2： （1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB 及它在地面的影子BC，旗杆所在直线 与影子所在直线的位置关系是什么？ 随着时间的推移呢？
A B
知识探究（一）：直线与平面垂直的定义
问问题题3：2： 旗（杆1A）B与在地阳面光上下任观意察一直条立不于过地旗面杆旗底杆AB 部及B的它直在线地B面1C的1的影位子置BC又，是旗什杆么所？在直线
（2）BC 平面PAC
解 ： （ 1）
A
O
B
AB ,AC , 且 AB AC A
(2)C为圆O上一点C， AB为圆直径
P A A C , P A A B BC AC
PA 又 BC PA BC
由1得BCPA,又PAAC A
BC面PAC
知识小结
1.直线与平面垂直的概念
问题1：请同学们观察图片,说出双子塔与水面、葡萄架柱与地面是什么位置关系？ 知识探究（一）：直线与平面垂直的定义 （1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
知识探究（一）：直线与平面垂直的定义
地面是什么位置关系？ （1）在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢
随着时间的推移呢？
B1
A
B C1
、直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 （2）BC 平面PAC l 与平面 互相垂直，记作 l
例题:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是
如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,且PA AC, PA AB,求证：
问题2： （1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB 及它在地面的影子BC，旗杆所在直线 与影子所在直线的位置关系是什么？ 随着时间的推移呢？
A B
知识探究（一）：直线与平面垂直的定义
问问题题3：2： 旗（杆1A）B与在地阳面光上下任观意察一直条立不于过地旗面杆旗底杆AB 部及B的它直在线地B面1C的1的影位子置BC又，是旗什杆么所？在直线
（2）BC 平面PAC
解 ： （ 1）
A
O
B
AB ,AC , 且 AB AC A
(2)C为圆O上一点C， AB为圆直径
P A A C , P A A B BC AC
PA 又 BC PA BC
由1得BCPA,又PAAC A
BC面PAC
知识小结
1.直线与平面垂直的概念
问题1：请同学们观察图片,说出双子塔与水面、葡萄架柱与地面是什么位置关系？ 知识探究（一）：直线与平面垂直的定义 （1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
知识探究（一）：直线与平面垂直的定义
地面是什么位置关系？ （1）在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢
【数学】 垂直关系的判定----直线与平面垂直的判定 课件 (北师大版必修2)
直线与平面垂直
A
A
C
D
B
D
C
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 线与桌面所在平面 垂直．
直线与平面垂直
（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面 ，你 同意他的说法吗？ （2）如图，由折痕 AD BC ，翻折之后垂直关 系不变，即 AD CD ， AD BD ．由此你能得到什 么结论？
归纳: 1.要证明线线垂直,往往转化为证明线面垂直,然后用线面垂直的基本 性质. 2.要证明线面垂直,只要在该平面内找到两条相交直线与已知直线垂 直就行.
l
三:探究性学习篇
探究1. (1)过一点有几条直线与已知平面垂直？
(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?
l
P
l
P
l
（2）
P
（3）
（1）
A
D
B
三棱锥中最多有4个直角三角形,四棱锥中最多 也有4个直角三角形.
C
练习：如图，空间中直线L和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第 三边AB的位置关系是（ B ） A 平行 L B 垂!
如图，直四棱柱 A B C D ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时，A C B D ？(只能添加一个合适的条件)
证明：在平面 内作 两条相交直线m，n．
因为直线 a ， 根据直线与平面垂直的定义知
a m , a n.
a
b
m
n
又因为 b // a 所以 b m , b n . 又 m , n , m , n 是两条相交直线， 所以 b .
高中数学第一章立体几何初步1611直线与平面垂直的判定课件北师大版必修2
A．若l⊥α，l∥m，则m⊥α B．若l∥α，m⊂α，则l∥m C．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：易知A正确．B项，l与m可能异面，也可能平行．C 项，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.D项，l与m可能 平行、异面或相交．
答案：A
4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则
∴SC⊥平面AEF. ∵AF 平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，∴SA⊥DC.
又AD⊥DC，AD∩SA＝A， ∴DC⊥平面SAD. 又AG 平面SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF， ∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC. ∵SD 平面SDC，∴AG⊥SD.
复习课件
高中数学第一章立体几何初步1.6.1.1直线与平面垂直的判定课件北师大版 必修2
2021/4/17
高中数学第一章立体几何初步1611直线与平面垂直的判定
1
课件北师大版必修2
【课标要求】 1.了解线面垂直的定义. 2.理解线面垂直的判定定理. 3.能运用判定定理证明线面垂直．
自主学习 基础认识
解析：三角形两边必相交，圆的两条直径必相交，梯形的两 边有可能是平行的一组对边，正六边形的两边也可能是一组平行 对边．故由线面垂直的判定定理知，能保证该直线与平面垂直的 是①③.
答案：①③
课堂探究 互动讲练 类型一证明线面垂直 [例1] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB； (2)求证：BD1⊥平面ACB1.
符号语言
a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α
解析：易知A正确．B项，l与m可能异面，也可能平行．C 项，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.D项，l与m可能 平行、异面或相交．
答案：A
4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则
∴SC⊥平面AEF. ∵AF 平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，∴SA⊥DC.
又AD⊥DC，AD∩SA＝A， ∴DC⊥平面SAD. 又AG 平面SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF， ∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC. ∵SD 平面SDC，∴AG⊥SD.
复习课件
高中数学第一章立体几何初步1.6.1.1直线与平面垂直的判定课件北师大版 必修2
2021/4/17
高中数学第一章立体几何初步1611直线与平面垂直的判定
1
课件北师大版必修2
【课标要求】 1.了解线面垂直的定义. 2.理解线面垂直的判定定理. 3.能运用判定定理证明线面垂直．
自主学习 基础认识
解析：三角形两边必相交，圆的两条直径必相交，梯形的两 边有可能是平行的一组对边，正六边形的两边也可能是一组平行 对边．故由线面垂直的判定定理知，能保证该直线与平面垂直的 是①③.
答案：①③
课堂探究 互动讲练 类型一证明线面垂直 [例1] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB； (2)求证：BD1⊥平面ACB1.
符号语言
a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α
高中数学《直线与平面垂直的判定》课件1 北师大必修2
l
A
AB=A’B
B
m
n
g
α
A’
l
A
AB=A’B
B
m
n
g
α
A’
l
A
B
m
n
g
α
A’
l
A
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
l ⊥m
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
l ⊥m
B m
α
C
A’
l ⊥m
l
A
AC=A’C
B m
α
C
A’
l
A
AD=A’D
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
B
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二、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
三、线面垂直判定定理的证明
已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥
m， l ⊥ n。 求证： l ⊥α。
l
B
m
n
α
l
l
B
m
n
α
l
B
m
n
α
l
B
m
ng
α
l
B
m g
ng
α
练习
4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中 任一条直线是否垂直于另两条直线确定的 平面？为什么？
5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边， 能否断定这条直线和三角形的第三条边垂 直？为什么？
北师版数学必修2讲义：第1章 §6 6.1 垂直关系的判定
§6垂直关系6.1 垂直关系的判定1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义.(重点)2.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直.(重点、难点)3.了解二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小.(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1直线与平面垂直的概念及判定定理阅读教材P36～P37“练习1”以上部分，完成下列问题.1.定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.2.画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图1-6-1.图1-6-13.直线与平面垂直的判定定理：平面平面判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面垂直.()(2)一条直线和一个平面内的所有直线垂直，则该直线与该平面垂直.()(3)一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，则该直线与该平面垂直.()(4)若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l.()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×教材整理2二面角阅读教材P37“练习1”以下至倒数第4行部分，完成下列问题.1.二面角的概念：(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.(3)二面角的记法：以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α-AB-β.2.二面角的平面角：。
线面垂直的判定PPT课件
P
所在的平面,则PA与BC
的位置关系是_垂__直__.
A
3·如右图，PA平面ABC， p A B C 中 ， B CA B
则图中直角三角形的个
数是（ A ）
A
A4 B3 C2 D 1
2021
B
C B
C
10
例1: 有一根旗杆AB高8 m，它的顶端A 挂 有一条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它的 下端放在地面 上的(和旗杆脚不在同一条直线上) C、D。如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6 m， 那么旗杆就 和地面垂直，为什么？ A
线面垂直的定义 线面垂直
线面垂直的判定定理
2021
17
小结：
1、入手指南：碰到证明线面垂直的问题，应转 化为证明线线垂直；反之亦然.
2、小心提醒：平面内的这两条直线应该相交；
3、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？
①勾股定理的逆定理（已知长度）
②等腰三角形的三线合一
③利用线面垂直的性质
④利用平行移动不改变夹角大小
⑤正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直
⑥菱形(正方形）的对角线互相垂直
⑦相似
2021
18
作业：1、P66－探究题，请你先写出一个 条件，然后用你的这个条件来证明
A’C⊥B’D’
2、（如图）在正方体AC1中， D1
求证：(1)AC⊥平面D1DB A1
(2)D1B⊥平面ACB1
D
C1 B1
C
A
B
2021
3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？
Байду номын сангаас
2021
7
线面垂直判定定理：
高中数学 第1章 6.1 第1课时 直线与平面垂直的判定优质课件 北师大版必修2
第五页，共24页。
探究(tànjiū)点1 直线和平面垂直 思的考定：义能否用一条直线垂直于一个(yī ɡè)平面内的直线， 来定义这条直线与这个平面垂直呢？
A
B α
第六页，共24页。
要与平面里的所 有直线(zhíxiàn)
垂直
如果一条直线(zhíxiàn)和一个平面 内的任何一条直线(zhíxiàn)都垂直， 那么称这条直线(zhíxiàn)和这个平 直面线垂叫直作. 平面(píngmiàn)的垂线，平面
所以四面体 PABC 中的四个面都是直角三角形．
第十六页，共24页。
【提升总结】
直线与平面之间的垂直关系，可以相互转化，当直线垂
直于平面时，直线就会垂直于平面内的所有(suǒyǒu)直
线；
当一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线时，这条
直线就垂直于这个平面．
线线垂直 (chuízhí)
线面垂直 (chuízhí)
不能
第十一页，共24页。
探究点2 直线(zhíxiàn)与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定定理
直线只需相交
如果一条直线(zhíxiàn)和一个平面内的两条相交直线 (zhíxiàn)都垂直，那么该直线(zhíxiàn)与此平面垂直.
l
P
mn
简记( jiǎn jì)为：线线垂直
线面垂直
第十二页，共24页。
第九页，共24页。
思考 (sīkǎo): 如何判定一条直线(zhíxiàn)和一个平面垂直呢？ 用定义好不好？ 定义不易操作
第十页，共24页。
1.直线 l与平面 内的一条直线垂直，能否(nénɡ fǒu)保l 证
不能
2.直线 l与平面(píngmiàn) 内的两条直线垂直，l 数条直线垂直，能否(nénɡ fǒu)保证l ？
探究(tànjiū)点1 直线和平面垂直 思的考定：义能否用一条直线垂直于一个(yī ɡè)平面内的直线， 来定义这条直线与这个平面垂直呢？
A
B α
第六页，共24页。
要与平面里的所 有直线(zhíxiàn)
垂直
如果一条直线(zhíxiàn)和一个平面 内的任何一条直线(zhíxiàn)都垂直， 那么称这条直线(zhíxiàn)和这个平 直面线垂叫直作. 平面(píngmiàn)的垂线，平面
所以四面体 PABC 中的四个面都是直角三角形．
第十六页，共24页。
【提升总结】
直线与平面之间的垂直关系，可以相互转化，当直线垂
直于平面时，直线就会垂直于平面内的所有(suǒyǒu)直
线；
当一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线时，这条
直线就垂直于这个平面．
线线垂直 (chuízhí)
线面垂直 (chuízhí)
不能
第十一页，共24页。
探究点2 直线(zhíxiàn)与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定定理
直线只需相交
如果一条直线(zhíxiàn)和一个平面内的两条相交直线 (zhíxiàn)都垂直，那么该直线(zhíxiàn)与此平面垂直.
l
P
mn
简记( jiǎn jì)为：线线垂直
线面垂直
第十二页，共24页。
第九页，共24页。
思考 (sīkǎo): 如何判定一条直线(zhíxiàn)和一个平面垂直呢？ 用定义好不好？ 定义不易操作
第十页，共24页。
1.直线 l与平面 内的一条直线垂直，能否(nénɡ fǒu)保l 证
不能
2.直线 l与平面(píngmiàn) 内的两条直线垂直，l 数条直线垂直，能否(nénɡ fǒu)保证l ？
高中数学 第一部分 第一章§6 6.1 第一课时 直线与平面垂直的判定定理配套课件 北师大版必修2
第七页，共45页。
2．如果平面外一条直线(zhíxiàn)l与平面α的两条直 线(zhíxiàn)垂直，那么l与α的位置关系是什么？
提示：可能平行如图(1)，也可能相交(xiāngjiāo)如图 (2)(3)，((2)为垂直，(3)为斜交)．
第八页，共45页。
1．直线与平面垂直(chuízhí)的定义 如果一条直线和一个平面内的 任何(rènhé直)一线条都垂直 (chuízhí)，那么称这条直线和这个平面垂直(chuízhí)．
第
一
知识点一
章
理解(lǐjiě)教材
6.1
新知
知识点二
立
§6
知识点三
体 几 何 (lìt ǐjǐh
垂直 (chuí zhí) 关系
垂 直 关 系 的 判
第
把握热点考向
一
课
时
考点一 考点二 考点三
é) 初
定
应用创新演练
步
第一页，共45页。
第二页，共45页。
第三页，共45页。
第四页，共45页。
第五页，共45页。
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM.又AN
PAM，
∴BM⊥AN.这样(zhèyàng)，AN与PM、BM两条相交
直线垂直．
故AN⊥平面PBM.
第二十一页，共45页。
[一点通] 证明线面垂直的主要(zhǔyào)方法是判定 定理，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可 ．
第三十七页，共45页。
(2)连接(liánjiē)OC，由(1)可知OC⊥AB，
又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O，
2．如果平面外一条直线(zhíxiàn)l与平面α的两条直 线(zhíxiàn)垂直，那么l与α的位置关系是什么？
提示：可能平行如图(1)，也可能相交(xiāngjiāo)如图 (2)(3)，((2)为垂直，(3)为斜交)．
第八页，共45页。
1．直线与平面垂直(chuízhí)的定义 如果一条直线和一个平面内的 任何(rènhé直)一线条都垂直 (chuízhí)，那么称这条直线和这个平面垂直(chuízhí)．
第
一
知识点一
章
理解(lǐjiě)教材
6.1
新知
知识点二
立
§6
知识点三
体 几 何 (lìt ǐjǐh
垂直 (chuí zhí) 关系
垂 直 关 系 的 判
第
把握热点考向
一
课
时
考点一 考点二 考点三
é) 初
定
应用创新演练
步
第一页，共45页。
第二页，共45页。
第三页，共45页。
第四页，共45页。
第五页，共45页。
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM.又AN
PAM，
∴BM⊥AN.这样(zhèyàng)，AN与PM、BM两条相交
直线垂直．
故AN⊥平面PBM.
第二十一页，共45页。
[一点通] 证明线面垂直的主要(zhǔyào)方法是判定 定理，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可 ．
第三十七页，共45页。
(2)连接(liánjiē)OC，由(1)可知OC⊥AB，
又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O，
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D
C
A
B
D1 A1
C1
B1
探究线面垂直的判定
请准备一块三角形的纸片， 过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）， 如何翻折才能保证折痕AD与桌面垂直？
直线和平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个 平面。
证 明 ： ABCD是 矩 形 CD DA 又 P A 面 A C ,C D 面 A C
PA CD 又 PA AD A CD 面 PAD 又 PD 面 PAD
CD PD PCD是 直 角 三 角 形
P
A
B
D C
小结：
一. 线与面垂直的判定方法: ① 定义法：
l 垂 直 于 内 的 任 意 一 条 直 线 l
已知： a， a．//b
求证： b．
证明：设 是m内 的任意一条直线．
a ,m
a m
注 意 ： 这 也 是 证 明 线 面 垂 直 的 好 方 法 又 a / / b b m 又 m
b
问题
（1）如果一条直线和一个平2）如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面 垂直？
《§6.1线面垂直的判定》
学习目标 • 能记住直线与平面垂直的概念，线面垂直的判定方法(重点) • 会证明直线与平面垂直（难点）
3/20/2021
直线和平面垂直的定义
平面如果互一相条垂直直线，记作和一个ll 平．面
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
l
和
直线 l叫做平面 的垂线，平面 叫做直线的垂面． l
② 判定定理：
线 线 垂 直 线 面 垂 直
③ 性 质 定 理 ： 线 线 线 面 平 垂 行 直 线 面 垂 直
二. 数学思想方法: 转化的思想
作业: 一，P41 第5题，第7题. 二，P39例3. 三，总结平面内证明线线垂直的方法
课外思考: 已知 ，l于PA ， 于A，PB B 于 AQl
它们唯一的公共点即交点叫做垂足．
（ l 垂 直 于 内 的 任 意 一 条 直 线 l ）
思考：（1）过空间一点作已知平面的垂线有几条？ （2）过空间一点作已知直线的垂面有几个？
⑴：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
⑵：过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
例: 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于 这个平面．
点 ，Q求证：
．BQl
谢
谢
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m , n , m n B , l m , l n . l
练 习 ： 下 列 条 件 中 是 l 的 条 件 的 有 D E
A . 直 线 l 垂 直 平 面 内 的 一 条 直 线
B . 直 线 l 垂 直 平 面 内 的 两 条 直 线
C . 直 线 l 垂 直 平 面 内 的 无 数 条 直 线
求证:
AC 平面 BDM
D
C
证 明 ： 四 边 形 ABCD是 菱 形
AC BD且 OA OC 在 MAC中 ， 又 MA MC A AC MO
O
B
又 MO BD O
AC 面 BDM
练习：已知ABCD是矩形,PA ⊥平面AC,连PB,PC,PD, 图中直角三角形的个数有 ( )个 4
D . 直 线 l 垂 直 平 面 内 所 有 直 线
E . 直 线 l 垂 直 平 面 内 某 两 条 相 交 直 线
证明： AB O的直径 BC AC 又 PA 面ABC，BC
PA BC 又 PA AC A
面ABC
BC面PAC
例2：如图, M是菱形ABCD
M
在平面外一点,满足MA=MC