线性微分—代数方程的辨识
线性代数在微分方程中的应用
线性代数在微分方程中的应用线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间和线性映射等概念。
它通过矩阵和向量的运算来描述和解决各种数学问题。
在微分方程中，线性代数的应用发挥着重要的作用。
本文将探讨线性代数在微分方程中的具体应用。
1. 线性代数与齐次线性微分方程齐次线性微分方程是指形式为y'' + p(x)y' + q(x)y = 0的微分方程，其中p(x)和q(x)是已知的函数。
利用线性代数的概念和技巧，可以通过矩阵和向量的方法解决这类微分方程。
首先，将齐次线性微分方程转化为矩阵形式。
假设y(x)是方程的解，可以构造一个向量函数Y(x) = (y(x), y'(x))^T，其中y'(x)是y(x)的导数。
将Y(x)代入方程，得到一个关于Y(x)的矩阵方程Y''(x) + P(x)Y'(x) +Q(x)Y(x) = 0，其中P(x)和Q(x)是由p(x)和q(x)构成的矩阵。
接下来，考虑特征值问题。
对于矩阵方程，可以找到一个特征值λ和对应的特征向量V，满足矩阵方程的特征值问题(A - λI)V = 0，其中A是由P(x)和Q(x)构成的矩阵，I是单位矩阵。
最后，利用特征值和特征向量构建齐次线性微分方程的解。
通过求解特征值问题，可以得到特征值λ1和λ2，以及对应的特征向量V1和V2。
齐次线性微分方程的通解可以表示为y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)，其中c1和c2是常数，y1(x)和y2(x)分别是由特征向量V1和V2构成的解函数。
2. 线性代数与非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程是指形式为y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的微分方程，其中r(x)是已知的函数。
通过线性代数的方法，可以利用特解和齐次解的线性组合来求解非齐次线性微分方程。
首先，找到非齐次线性微分方程的特解。
通过试探法，假设非齐次线性微分方程的特解为y(x) = u(x)v(x)，其中u(x)是待定函数，v(x)是齐次线性微分方程的解函数，通过求导和代入方程，可以得到u(x)的表达式。
线性微分方程组
第五章 线性微分方程组[教学目标]1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。
[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义 考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。
方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3）这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
第8章 代数方程和常微分方程求解
8.2 常微分方程求解
求解微分方程必须事先对自变量的某些值规定出 函数或是导数的值。 若在自变量为零的点上，给出初始条件，称为初 值问题，最普遍的自变量是“时间”。例如，弹 性系统的自由振动，若以时间为零来限定位移和 速度，这是一个初值问题。 若在自变量为非零的点上，给出边界条件，称为 边值问题，最普遍的自变量是“位移”。例如， 描述梁弯曲变形的微分方程，边界条件总是规定 在梁的两端。
当 x 0 2 和 y 0 0 条件下的特解。 在此问题中，两个微分方程的MATLAB表达式为： e1：Dx+2*x-Dy=10*cos(t) e2：Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t) 初值条件表达式为： C1：x(0)=2 C2：y(0)=0
8.1 代数方程求解
8.1.1 代数方程图解法
符号绘图函数fplot()和ezplot()也可以用于图解 法求代数方程的根，它适用于求解维数较少的一 维方程或二维方程组。 对于一维方程图解，其解就是函数曲线与x轴交点 所对应的变量数值。如果有多个交点，则表示该 方程有多个解；如果没有交点，则表示该方程没 有解。 例如，在例5-3使用符号绘图函数绘制代数方程的 图形（图5-3左图）中可见，函数在区间[-5,5]内 与x轴有3个交点，因此该代数方程该区间内有3个 实根。
M文件运行结果： 采用矩阵左除或矩阵求逆求出线性方程组的解： xx (zx)= 1.0000 2.0000 3.0000 -1.0000 计算残量： r = 1.0e-014 * 0.0888 0.2220 -0.4441 0.1776 计算残量的模： R = 5.3475e-015
第四章第1节(线性微分方程的一般理论)
d x d x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x 0 (4.3) n dt dt dt
n 阶齐线性微分方程, 简称齐线性微分方程. 简称非齐线性 方程(4.1)称为n阶非齐线性微分方程， 微分方程. 通常把方程(4.3)称作对应于方程(4.1)的齐线性方程.
是否为(4.3)的通解？ Q2: 在什么条件下,表达式(4.4)能成为(4.3)的通解? 注：定理2说明, 齐线性方程组的所有解的集合构成 一个线性空间. Q3：此空间的维数是多少呢？
8
线性相关与线性无关的定义
a t b 上有定义， 如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck , 使得
13
函数组的Wronski 行列式的性质 定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 a t b
上线性相关，则 W (t ) 0, t [a, b]. Corollary 若 t0 [a , b], s.t . W ( t0 ) 0, 则
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 [a, b] 线性无关.
设 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 在
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0, t [a , b],
则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数 在所给的区间上线性无关.
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) ck xk ( t ) 0, t [a , b] c1 c2 ck 0
c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 (4.9) ...................................................... c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) x ( n1) . 0 2 2 0 n n 0 0 1 1
对“常微分方程”线性微分方程组理论的教学探究
对“常微分方程”线性微分方程组理论的教学探究1. 引言1.1 研究背景常微分方程是数学中的一个重要分支，它在现代科学和工程领域中有着广泛的应用。
线性微分方程组作为常微分方程的一个重要分支，其理论和方法对于解决实际问题具有重要意义。
研究背景方面，线性微分方程组的理论和方法是解决实际问题的重要工具之一。
通过对线性微分方程组的探究，可以帮助我们更好地理解自然现象和工程问题背后的数学原理，提高问题的求解效率和准确性。
线性微分方程组也是数学和工程领域中的一个重要研究方向，不断有新的理论和方法被提出和应用。
在教学中，对线性微分方程组的理论和方法进行深入的探究和教学，可以帮助学生建立起扎实的数学基础，提高他们的问题解决能力和创新能力。
对线性微分方程组的教学探究具有重要意义，可以为学生的学习和发展提供有力支持。
1.2 研究意义线性微分方程组理论的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
线性微分方程组是数学分析中的重要分支之一，其理论研究对于深入理解微分方程的性质和解的存在唯一性具有重要意义。
线性微分方程组的矩阵表达和特征值问题在科学和工程领域中有着广泛的应用，例如在控制论、物理学、生物学等领域中都有着重要的应用价值。
线性微分方程组的稳定性研究可以帮助我们预测系统的稳定性以及解的长期行为。
在教学中，深入探讨线性微分方程组的理论和方法，不仅可以提高学生对微分方程的理解和掌握，还可以培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
对线性微分方程组理论的教学探究具有重要的教育意义。
通过对线性微分方程组的深入研究和教学实践，可以帮助学生建立扎实的数学基础，为他们今后的学习和科研打下坚实基础。
深入研究线性微分方程组理论的教学探究具有重要的意义和价值。
1.3 研究目的研究目的是为了深入探究常微分方程线性微分方程组理论，提升教学效果和学生学习质量。
通过对线性微分方程组的概念、基本理论、解法和性质的研究，帮助学生建立起对该领域的系统性认识与理解。
控制理论发展史
1.五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析法； 在1957年提出了动态规划。
2.1959年卡尔曼（Kalman）和布西创 建了卡尔曼滤波理论；1960年在控制 系统的研究中成功地应用了状态空间 法，并提出了可控性和可观测性的新 概念。 卡尔曼
3. 1961年庞特里亚金（俄国人）提出 了极小（大）值原理。
2. 20世纪70年代末，控制理论向着“大系统理论”、 “智能控制理论”和“复杂系统理论”的方向发 展：
大系统理论：用控制和信息的观点，研究各种大系的结
构方案、总体设计中的分解方法和协调等 问题的技术基础理论。
复杂大系统控制
智能控制理论：研究与模拟人类智能活动及其控制与信
息传递过程的规律，研制具有某些拟人 智能 的工程控制与信息处理系统的理论。
倒立摆稳定控制
单级倒立摆稳定控制
二级倒立摆稳定控制
导弹稳定控制
地空导弹稳定控制
空空导弹稳定控制
航天器控制
卫星控制
月球车控制
机器人控制
空间机器人控制
足球机器人控制
指南车
指南车是我国古代伟大的发明之一，也是世 界上最早的控制论机械之一。用英国著名科学史 专家李约瑟的话说，中国古代的指南车“可以说 是人类历史上迈向控制论机器的第一步”，是人 类“第一架体内稳定机”。 指南车与司南、指南针等相比在指南的原理上截然不同。它的车箱 里装着非常巧妙而复杂的机械。是一种双轮独辕车。它的中央有一个大 平轮，木头人就竖立在上面。在大平轮两旁，装着很多小齿轮。如果车 子向左转，右边的车轮就会带动小齿轮，小齿轮再带动大平轮，使大平 轮相反地向右转。如果车子向右转，同样地，大平轮则向左转。因此， 只要指南车开动以前，先让木头人的右手指向南方，以后车子不论是向 左转还是向右转，木头人的右手就总是指向南方。指南车是利用齿轮的 原理造成的。这种齿轮传动类似现代汽车用的差动齿轮，相当于汽车中 差动齿轮的逆向使用原理。这种指南车，可以说是世界上最早的自动化 设备。
拉氏变换详细解读
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
常微分方程3.2 线性微分方程的基本理论
性质3.1 性质3.1
L(cx) = cL(x)L c 为常数. L 为常数.
性质3.2 性质3.2 L(x1 + x2 ) = L(x1) + L(x2 )
6
dn x d n−1x dx + a1(t) n−1 +…… n−1(t) + an (t)x = 0 a n dt dt dt
(3.2.2)
(3.2.2)
x 定理3.4 定理3.4 若函数组 x1(t)， 2 (t),L, xn (t) 是齐线性方程
在区间（ ）上的n个线性无关的解 在区间（a, b）上的n个线性无关的解, 则它们的Wronskian 行列式 则它们的
W[x1(t)，x2 (t),L, xn (t)]在该区间上任何点都不为零. 在该区间上任何点都不为零
cx
(n−1) 1 1
L L, L
(t) + c x
(n−1) 2 2
(t) +L+ c x
(n−1) n n
(t) ≡ 0,
上述n个恒等式所组成的方程组是关于 上述 个恒等式所组成的方程组是关于 c1, c2 ,L, cn 系数行列式就是 的齐次方程组, 它的系数行列式就是 齐次方程组 它的系数行列式就是Wronskian 行列式, 由线性代数的知识知, 行列式 由线性代数的知识知 要使方程组存在 非零解, 则必有 W(t) = 0. 非零解
证明: 证明 用反证法 假设有 t0 ∈(a, b), 使得 W(t0 ) = 0.
18
考虑关于 c1, c2 ,L, cn 的齐次线性代c2 x2 (t0 ) +L+ cn xn (t0 ) = 0, c x′(t ) + c x′ (t ) +L+ c x′ (t ) = 0, 2 2 0 n n 0 1 1 0 L L L c x (n−1) (t ) + c x (n−1) (t ) +L+ c x (n−1) (t ) = 0. 0 2 2 0 n n 0 1 1
通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨
通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨摘要：通过拉普拉斯变换主要用于求解线性微分方程（或积分方程）。
经过变换，原来函数所遵从的微分（或积分）方程变成了像函数所遵从的代数方程，代数方程比较容易求解，从而化难为易，本论文将介绍通过”三“步求解线性微分（或）积分方程。
关键词：拉普拉斯变换 线性方程 原函数 像函数 反演（一） 拉普拉斯变换的定义傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数()f x 在任一区间满足狄里希利条件，并且在(,)-∞∞区间上绝对可积。
这是一个相当强的条件，以致于许多常见的函数（如多项式，三角函数等）都不满足这一条件。
因此需要引入——拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换常用于初始值问题，即已知某个物理量的初始时刻0t =的值(0)f ，而求解它在初始时刻之后的变化情况()f t ，至于它在初始时刻之前的值，我们并不感兴趣，不妨置()0f t = (0)t <为了获得宽松的变换条件，把()f t 加工为()g t ，()()t g t e f t σ-=这里t e σ-是收敛因子，就是说，正的实数σ的值选得如此之大，以保证()g t 在区间(,)-∞∞上绝对可积，。
于是，可以对()g t 实施傅里叶变换()011()()()22i t i t G g t e dt f t e dt ϖσϖϖππ∞∞--+-∞==⎰⎰将i σϖ+记作p ，并将()G ϖ改记作()2f p π，则 0()()pt f p f t e dt ∞-=⎰ （1）其中积分0()pt f t edt ∞-⎰称为拉普拉斯积分，()f p 称为()f t 的拉普拉斯变换函数.（1）代表从()f t 到()f p 的一种积分变换，称为拉普拉斯变换（简称拉式变换），pt e-称为拉普拉斯变换的核。
()G ϖ的傅里叶逆变换是1()()()2i t i t g t G e d f i e d ϖϖϖϖσϖϖπ∞∞-∞-∞==+⎰⎰即 ()1()()2i t f t f i e d σϖσϖϖπ∞+-∞=+⎰由 i p σϖ+= ，有1d dp i ϖ=所以 1()()2i ip i f t f p e dp i σσπ+∞-∞=⎰ ()f p 又称为像函数，而()f t 称为原函数，它们之间的关系常用简单的符号写为 []()()f p f t =℘1()()f t f p -⎡⎤=℘⎣⎦（二） 拉普拉斯变换的基本性质（1） 线性定理若1()f t 1()f p ，2()f t 2()f p ，则1122()()c f t c f t + 1122()()c f p c f p + （2） 导数定理'()()(0)f t p f p f - （3） 积分定理 []01()()t d t pψττψ℘⎰（4） 相似性定理1()()p f at f a a（5） 位移定理()()t e f t f p λλ-+（6） 延迟定理00()()pt f t t e f p --(7) 卷积定理 若11()()f t f p ，22()()f t f p ，则1212()()()()f t f t f p f p * 其中12120()()()()tf t f t f f t d τττ*≡-⎰（三） 拉普拉斯变换的反演（1） 有理分式反演法如果像函数是有理分式，只要把有理分式分解成分项分式，然后利用拉普拉斯变换的基本公式，就能得到相应的原函数。
完整版常微分方程总结
问题：
C2 [ y2 P(x) y2 Q(x) y2 ] 0 证毕
y C1y1(x) C2 y2 (x)是不是所给二阶方程的通解？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解
说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 .
2. 可分离变量方程的求解方法:法:
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
f (x) 0 f (x)
(Y P(x)Y Q(x)Y )
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伯努利 方程
dx x x
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第五节
第七章
可降阶高阶微分方程
一、
型的微分方程
二、
型的微分方程
三、
型的微分方程
解法：降阶
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一、y ( n)
f
(x)
型的微分方程
既不含未知函数y,也 不含未知函数的导数
令 z y(n1) ,
因此
解法: 连续积分n
但是
并不是通解！
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
高等数学、线性代数
[考试科目]高等数学、线性代数高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限 :函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念。
5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容。
导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数和微分的四则运算复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数的极值函数单调性的判别函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数最大值和最小值考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．4. 会求分段函数的一阶、二阶导数．5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理.7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直渐近线，会描绘函数的图形．9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分定积分的应用考试要求1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解广义积分的概念，会计算广义积分．6．了解定积分的近似计算法．7．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功）.四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数、隐函数求导法二阶偏导数多元函数的极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。
微分代数方程理论
线性变系数 DAE 线性变系数 DAE 的一般形式为
A(t ) x' (t ) B(t ) x(t ) f (t )
定义在区间 I 上。 它有许多特性在常系数方程中未出现， 而在非线性方程中却存在着， 所以， 变系数 DAE 是认识一般 DAE 的重要方程。而线性情形可用来帮助作出分析，如正则束的 问题。 假设 A, B 为 m m 阶矩阵，一个线性变系数 DAE 称为在区间 I 上是可解的，如果对每 一个 m 次可微函数 f ，至少存在一个满足其解的连续可微的解。这个解定义于整个 I 上且 由 I 中任意 t 的值唯一确定。 若一个线性变系数 DAE 在 I 上是可解的，为了确定 x' 作为 x ， t 的唯一的连续函数所 需的最少微分次数称为这个 DAE 的指标。
（1） 当原系统是一个高指标 DAE 系统时，其解要涉及到函数 f 的 k 1 阶导数； （2）
k 1 时，并不是所有的初始条件被允许获得一个光滑解。允许获得光滑解的初始条
件称为相容性初始条件；
（3） 高指标 DAE 可以含有隐藏着的代数约束。 我们举例说明最后一点，考虑下列半显式 DAE，
1 t A(t ) 0 0 ,
0 0 B(t ) 1 t ，
那么 A(t ) B (t ) 对所有 ， t 都是奇异的，所以 Ax' Bx f 不是一个正则的 DAE 。令
t 1 x 1 0 y ，则 Ax' Bx f 成为 0 1 1 0 0 0 y ' y f ， 0 1
因 det(A B ) 1 。然而它是不可解的，因为解不能被初值唯一确定。这个例子也因为对
于所有的 f 解不存在而不可解，因为 f 必须满足 ( 1 t ) f ' 0 ，才有可能存在一个光滑
线性积分微分代数方程初值问题的多分裂波形松弛方法
文章编号 ：０ ０５ １ （０ ８ ０ —１８０ １０ —８ １ ２ ０ ）２０ １ —７
线 性 积 分 微 分 代 数 方 程 初 值 问题 的 多分 裂 波 形松 弛 方 法
蔺小林 ，恒 杰 ，王玉萍
（． １ 西安交通大学数学系 ，陕西 西安 ７ ０ ４ ，．陕西科技 大学理学院 ， １０ ９２ 陕西 西安 ７０ ２ ） １ ０ １
维普资讯
№． ２
・
陕西科技大学学 报
Ｊ ＯＵＲ Ｌ ＯＦ Ｓ ＮＡ ＨＡＡＮＸ Ｉ ＵＮＩ Ｒ Ｉ Ｙ Ｆ Ｓ Ｉ ＮＣ ＆ Ｔ Ｃ ＶＥ Ｓ Ｔ Ｏ Ｃ Ｅ Ｅ Ｅ ＨＮ Ｏ ＯＬ ＧＹ
Ａｐ ． ０ ８ ｒ２０
１ ８・ １
Ｖｏ ． ６ １２
多分裂波形松弛方法就是其 中的一种．
令 Ｄ＝Ｄ１ ｚ —Ｄ２ Ｍ —Ｍ１ ｚ ， ｚ —Ｍ２ Ａ—Ａ１ ｚ ， ｚ —Ａ２ Ｂ—Ｂ ｚ ２， ｚ ， １ —Ｂ ｚＣ＝Ｑｚ ２ Ｎ＝Ｎ１ —Ｃ ｚ ， ｚ —Ｎ２ （一１ ２ … ， ｚ Ｚ ，，
和 ｚ （ ∈ｊ 是要计算的未知函数 ， ｚ ）∈Ｒ 是初始值． 。￡ ） （ ｏ 注 ：１ 为 了简 单起 见 ， （） 在不 引起 混淆 情况 下 ， 我们用 － ￡一［ （） （） 和 ｚ（） ｚ （） ｚ （）Ｔ 厂 ） ￡ ， ￡］ （ ｒ ￡一［ ￡，ｚ￡］
来 表示 厂（） （ １，￡， ） （） 和 ．（） （ （） （ ２，￡］． ￡一［－ ） （） （ ￡］ 厂 ， ， ２ ￡一［ｚ ） ￡，ｚ ） （） ７ ， ， （） ２ 系统 （） 一个相 当广泛 的 系统 ， １是 由于它 包含 了积 分 、 分 和代数 部分 ， 微 因此也 包含 了线 性微 分 代数方程（ Ａ ｓ、 Ｄ Ｅ ）线性积分微分方程（ Ｅ ） 线性常微分方程（ Ｄ ｓ和线性代数方程（ ｓ ， Ｉ ｓ、 Ｄ Ｏ Ｅ） ＡＥ ） 本文仅讨 论 线 性积 分微 分代 数方 程．
数学微分方程与线性代数
线性方程组
定义：线性方程组 是由n个线性方程 组成的方程组，形 如Ax=b，其中A是 n阶矩阵，x和b是n 维列向量
解法：高斯消元法、 LU分解法等
应用：在物理、工 程、经济等领域都 有广泛应用
性质：解唯一当且 仅当系数矩阵A的行 列式不为0，无解当 且仅当A的行列式为 0
特征值与特征向量
特征值：矩阵 中使得行列式 为0的数，与 特征向量相关
特征值与特征向量：矩阵的特征值是与特征向量对应的标量，通过特征向量可以描述线性变换 的性质。
线性变换的应用：在解决实际问题中，线性变换可以用于描述物理现象、数据分析和图像处理 等领域。
Part Four
线性微分方程
一阶线性微分方程
定义：形如y' + p(x)y =
q(x)的微分方 程称为一阶线
求解方法：常数变 易法、分离变量法 、幂级数法等
应用领域：物理、 工程、经济等领域
线性微分方程组
特点：解的叠加性，即解的 线性组合仍为解
定义：线性微分方程组是一 组相互关联的线性微分方程
求解方法：常数变易法、变 量代换法等
应用：描述多个相互关联的 变量随时间变化的规律
线性微分方程的应用
化学反应：描述化学反应的 动力学过程
偏微分方程的应用
物理学：描述物理现象和规律，如波动、热传导、弹性力学等 经济学：分析市场供求关系、消费和生产函数等 生物学：研究生态系统的平衡、种群增长等 工程学：解决各种实际问题，如桥梁和建筑物的稳定性、航空航天器的设计等
THANKS
汇报人：XX
性微分方程
解法：通过变 量代换将其化 为可分离变量 的微分方程，
然后求解
应用：在物理、 工程等领域有 广泛的应用， 如描述物体的 运动规律、电 路中的电流等
数学公开课高等数学中的微积分与线性代数
数学公开课高等数学中的微积分与线性代数微积分与线性代数在高等数学中都是很重要的分支。
微积分研究的是变化率和积分，而线性代数研究的是向量空间和线性变换。
两者在数学领域具有广泛的应用，对于理工科的学生来说尤为重要。
本文将以数学公开课的形式，介绍高等数学中的微积分与线性代数的基本概念和应用。
1. 导数与微分微积分中最基础的概念之一就是导数与微分。
导数指的是函数在某一点处的斜率或变化率，它可以用来描述曲线的陡峭程度。
微分则是导数的一种表达形式，表示函数的微小变化量。
导数和微分在数学和物理领域中都有广泛的应用，如求解极值问题、描述物体运动等。
2. 积分与定积分积分是微积分中的另一个重要概念，它是对函数的累加或者区域面积的计算。
定积分是积分的一种特殊形式，表示在一个区间上的累积变化量。
积分和定积分在物理、经济学等领域中都有广泛的应用，如计算曲线下的面积、求解定积分方程等。
3. 线性代数的基本概念线性代数是数学中的一门重要课程，研究的是向量空间和线性变换。
向量是线性代数中最基础的概念之一，它可以表示空间中的方向和大小。
向量空间则是由一组满足线性运算法则的向量所组成的集合。
线性变换指的是将一个向量空间映射到另一个向量空间的操作。
4. 矩阵与行列式矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它是由数字排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性方程组和线性变换，广泛应用于工程、计算机科学等领域。
行列式是矩阵的一个特征值，它可以用来描述矩阵的性质和求解线性方程组的解。
5. 线性方程组与特征值问题线性方程组是线性代数中一个重要的研究对象，它可以用来描述多个线性方程的组合关系。
线性方程组的求解可以使用矩阵运算和高斯消元法等方法。
特征值问题是线性代数中另一个重要的研究内容，它可以用来描述矩阵的特征向量和特征值。
综上所述，微积分与线性代数是高等数学中的重要分支，对于理工科的学生来说具有重要意义。
通过对导数、微分、积分和定积分的学习，我们可以更好地理解函数的变化和曲线的特性。
从线性代数看微分方程
从线性代数看微分方程十一月 18th, 2009 by 大侠本文的阅读等级：中级大学理工科系经常将微分方程和线性代数分为两门独立课程讲授，表面上两者处理的问题对象不同，使用的分析运算技巧也相异，在这种认知下，我们很自然会将微分方程和线性代数看成平行进展的数学领域。
抱持怀疑态度的学生可能发现两者间存在一些概念和形式交集，例如，微分方程与线性代数都有特征方程式 (characteristic equation) 一词，难免心中纳闷：究竟微分方程和线性代数有什么关系？对多数人来说，这并不是一个显而易见的问题，我也不认为可以三言两语就说清楚。
以下我选择几个重要的线性代数主题——线性函数、零空间、特征值和特征向量，以及齐次和非齐次方程，从这些角度检视微分方程与线性代数的关连。
开始之前，如果读者还不能接受函数也是向量这个观念，请先阅读“从几何向量空间到函数空间”。
1. 线性函数设是由向量空间映射至另一向量空间的函数，标记为。
对于里的任意向量和，以及任意实数，如果总是满足我们称是线性函数，也称为线性算子、线性映射或线性变换，之所以有这些不同的名称是为了配合强调的具体作用。
下面我们看几个建立于具有实际用途的向量空间的线性函数。
1A. 几何向量空间设是阶实矩阵，，是一个由映至的线性函数，执行矩阵乘法计算可以确认1B. 多项式空间令为所有多项式形成的向量空间，微分算子可视为由映至的函数，例如，。
微分算子是一个线性函数，利用微分基本性质可知执行两次微分可记为，不难检查是线性函数，推广至更高次幂，全部都是线性函数。
1C. 连续实函数空间令表示所有连续实函数形成的空间，设，对于，，考虑以下的例子：是线性函数，因为将微分算子 与线性函数 结合成一条方程式便得到微分方程例如，设 ，，就有 或写为 。
求解微分方程等于寻找 使得 ，这是一个相当重要的观念，由此可以逐步建立微分方程与线性代数的关连性。
2. 零空间设是一个线性函数，所有满足的 所形成的集合构成 里的一个子空间，称为零空间(nullspace) 或核 (kernel)，记作或。
判定线性偏微分方程组解的完备性的一个符号计算方法
文章编号:1000-0887(2002)10-1008-05判定线性偏微分方程组解的完备性的一个符号计算方法Ξ张鸿庆, 谢福鼎, 陆 斌(大连理工大学应用数学系,大连116024)(我刊编委张鸿庆来稿)摘要: 从微分代数的角度出发,借助于吴微分特征集理论,对于线性偏微分方程组,给出了判定它的解的完备性的一个符号计算方法・ 这个算法是一个机械化的算法,借助于符号计算软件Maple ,可以在计算机上实现・ 关 键 词: 微分代数; 偏微分方程组; 符号计算; 特征集中图分类号: O155;O175.2 文献标识码: A引 言考虑线性微分代数方程组 Σ: P i (y 1,y 2,…,y n )=0 (i =1,2,…,r ),系数在一个特征为0的微分域K 内・ 如何求解方程组,是偏微分方程理论研究的一个重要问题・ 通过变换,我们可以把它化成一个容易求解的偏微分方程组,一般地,我们不能保证Σ的解是完备的・ 张鸿庆[1]对于常系数的情况,给出了变换的一般形式,且提出了恰当解的概念・ 张鸿庆[2]、王敏中[3]等研究了胡海昌解的完备性・ 直到目前为止,尚无一个一般性的方法去判定线性偏微分代数方程组的完备性・ 随着计算机的发展和应用领域的不断扩大,符号计算在数学领域中体现出了日益强大的生命力,微分代数[4,5]是研究代数形式偏微分方程组的一个有力的工具,吴微分特征集[6]的研究与应用,对代数形式偏微分方程组的计算提供了理论基础和方法・ 本文正是在以上的基础上,给出了一个判定线性偏微分方程组解的完备性的符号计算方法・ 1 预备知识1.1 概念和符号设K 是一个特征为0的微分域,K 具有有限多个微分算子:δ1,δ2,…,δm ,且δi δj =δj δi ,i ,j =1,2,…,m ;Θ是一个由δ1,δ2,…,δm 生成的自由幺半群,具有幺元ε=δ01…δ0m ,Θ的一个元素称为导数算子・ 一个导数算子θ=δi 11…δi m m 的阶(order )定义为ord (θ)=i 1+…+i m ,i j ∈8001 应用数学和力学,第23卷第10期(2002年10月) Applied Mathematics and Mechanics 应用数学和力学编委会编重庆出版社出版 Ξ收稿日期: 2001-06-16;修订日期: 2002-04-09基金项目: 国家973资助项目(G 1998030600);国家自然科学基金资助项目(10072013)作者简介: 张鸿庆(1936—),男,黑龙江人,教授,博士生导师.N =0,1,…,j =1,2,…,m ・ 记为ord (θ)・ 如果一个导数算子的阶为正数,则称其为真导数算子,否则,称其为平凡算子・ 令y 1,y 2,…,y n 是K 上的一组微分未定元,对每一个y k ,θy k 表示y k 关于θ的偏导数・ 我们约定:εy k =y k ,(ε为Θ的幺元)・ 令Θ(Y )=θy k |1≤k ≤n ,θ∈Θ・ Θ(Y )的一个元素θy k 称为y k 的导数,k 称为θy k 的类・ Θ(Y )的元素间的序定义如下・ 定义1 令θ1y i ,θ2y j ∈Θ(Y ),θ1y i =δi 11…δi m m y i ,θ2y j =δj 11…δj m m y j ,称θ1y i 大于θ2y j ,记为θ1y i>θ2y j ,如果ord (θ1)>ord (θ2),或ord (θ1)=ord (θ2),i >j ,或ord (θ1)=ord (θ2),i =j ,并且存在一个正整数k (1≤k ≤m ),使得i s =j s (s >k )且i k <j k ・ 微分多项式环R =K y 1,y 2…,y n 是由K 添加Θ(Y )的元素生成的可换多项式环,它的一个元素称为一个微分多项式・ 如果我们忽略其微分结构,则R 就成为一个代数多项式环K[Θ(Y )],称为基环・ 定义2 R 的一个子集I 称为一个R 的微分理想,如果ΠP 1,P 2∈I ,ΠQ ∈R ,则P 1+P 2∈I ,P 1Q ∈I ,θ∈Θ,则θP 1∈I ・ 如果I 是由R 的有限个元素所生成的,则我们称I 是有限生成的・ 本文用到的微分理想,都是指有限生成理想・ 设DPS 是一个微分多项式组,用[DPS]表示它所生成的微分理想,(DPS )表示忽略其微分结构后,所生成的代数理想・ 由于本文只讨论线性偏微分方程组的情况,所以以下涉及的微分多项式,如果没有特别说明,都是指线性的・ 设P ∈K y 1,y 2,…,y n \K,按上面规定的次序,在一个微分多项式中出现的最高阶导数称为微分多项式的首导数,记为:ld (P )・ 首导数的导数称为主导数,其余的称为参数导数・ 首导数的系数称为初式,记为:ini (P )・ 设微分多项式P 的首导数为θy i ,P 对θy i 的形式偏导数称为P 的隔离子,记为:sep (P )・ 在微分多项式中,不出现导数的一类称为平凡的,其余的称为非平凡的・ 对于两个非平凡多项式,他们的序由他们的首导数的序决定,若首导数相同,则称他们是等价的・ 此外,我们规定平凡多项式小于非平凡多项式,这样,我们就在微分多项式之间引入了一个偏序,记为>・ 设F 、G 是两个微分多项式,G 非平凡,称F 关于G 约化,如果G 的首导数或G 的首导数的导数不在F 中出现・ 我们可以通过伪微分带余除法,求得F 对G 的余式,该余式对于G 是约化的・ ini (G )a sep (G )b F =QG +r ,其中a 、b 是整数,r 对于G 是约化的・ 一个微分升列是指K 上的一个非零元或者不属于K 的一个微分多项式序列:P 1,P 2,…,P s ,满足P s >…>P 2>P 1,且当i >j 时,P i 关于P j 是约化的・ 对于线性微分代数方程组DPS <K y 1,y 2,…,y n ,我们首先选出它的基列,记为DBS ・ 通过伪微分带余除法求出在DPS 中,但不在基列中的微分多项式的余式,然后添加可积条件・ 重复这个过程,直到DPS \DBS 中的每一个元素对基列求余,其余式全为零且可积条件为空集・ 称这个基列为DPS 的特征集,记它为DCS ・ 吴[6]称之为被动的微分升列・ 该特征集的一个IS 2幂集是指DCS 中所有微分多项式的初式与隔离子的某些方幂的积,记为J k ・ 9001张 鸿 庆 谢 福 鼎 陆 斌0101判定线性偏微分方程组解的完备性的一个符号计算方法设Ω是K的一个微分泛域,DPS<K y1,y2,…,y n,DPS的一个微分零点(解)是指Ω上的一个n元组(z1,z2,…,z n)∈Ωn,使得用θz i代入DPS中所有的θy i(i=1,2,…,n)时,DPS 中的所有微分多项式均变为零・ DPS的所有微分零点集合记为d-zero(DPS)・ 当忽略DPS的微分结构时,即将DPS看作基环上的一个代数多项式组时,其代数零点的集合记为zero(DPS),显然d-zero(DPS)Αzero(DPS),反之不成立・ 1.2 正则系统定理[well-ordering principle][6] 设DPS<K y1,y2,…,y n,DCS是它的特征集,I i和S i 分别是它的初式和隔离子,J是DCS的IS-幂集,则 d-zero(DCS/J)<d-zero(DPS)<d-zero(DPS), d-zero(DPS)=d-zero(DCS/J)∪i d-zero(DPS′i)∪i d-zero(DPS″i),其中DPS′i和DPS″i分别是向DPS中添加DCS的初式和隔离子构成的微分多项式组・ 如果DPS是线性常系数的,显然,J=1,则d-zero(DPS)=d-zero(DCS)・ 若我们能够判定DCS有解的话,则能得知原方程组DPS有解・ Rosenfeld引理是微分代数中一个很重要的引理,它是微分代数和代数的桥梁・ 引理(Rosenfeld)[7,8] 设DPS<K y1,y2,…,y n,则DPS是凝聚自约化的当且仅当在[DPS]:(IS)∞中的任何对DPS是部分约化的多项式G也在(DPS):(IS)∞中・ 正则系统是Rosenfeld引理应用的一个方面・ 定义3 设DCS=A1,A2,…,A t,I1,I2,…,I t和S1,S2,…,S t分别是其所对应的初式和隔离子,Q是一个对于DCS是部分约化的K y1,y2,…,y n中的微分多项式,称系统 A1=0,A2=0,…,A t=0,I1≠0,I2≠0,…,I t≠0, S1≠0,S2≠0,…,S t≠0,Q≠0为一个正则系统・ 正则系统的解成为正则解・ 定理(R osen feld)[7,8] 一个正则系统有一个微分零点当且仅当它有一个代数零点・ 因此,我们可以把判定一个微分多项式组有无解的问题转化为判定其对应的代数多项式组有无解的问题・ 2 主要结果本部分所用到的微分多项式都是指线性常系数微分多项式・ 对于任意给定的一个微分代数方程组DPS=0,如果不是显然矛盾的,从偏微分方程的理论来说,很难判定它是否有解;从微分代数的角度出发,可以通过Rosenfeld引理,判定它所对应的代数方程组是否有解,而判定代数方程组是否有解,我们可以用G robner基的方法,一个代数方程组无解当且仅当它的G robner基为{1}・ 设R=K u1,u2,…,u t,v1,v2,…,v r是一个带有m个微分算子的微分环,A u,C v,D v< R,规定:A u是指,在它的每一个微分多项式中,只出现u1,u2,…,u r和它的有限阶导数・ D v 是指:在它的每一个微分多项式中,只出现v1,v2,…,v r和它的有限阶导数・ u=C v是指一个变换u i=C i v,i=1,2,…,t・ 设A u=0是我们所要求解的方程组,经过变换u=C v,得到目标方程组D v=0・ 如果D v=0有解,一般地有C d-zero(D v)Αd-zero(A u)・ 若无解,则说明A u=0没有u=C v类型的解・ 下面的定理给出了二者相等的充要条件・ 定理1 设A u=0、u=C v、D v=0,则系统D v,C v-u的只含有u的可积条件是恰为A u 的特征集当且仅当d-zero(A u)=C d-zero(D v)・ 这里恰为A u的特征集是指,若还有其它只含有u的可积条件,则此可积条件被A u的特征集约化为0・ 这里的序为,在前面规定的序的基础上,再规定u1<u2<…<u t<v1<v2<v r・ 证明 由Rosenfeld-G robner算法,首先判定A u=0,u=C v,D v=0是否有解,若无解,则说明A u=0没有u=C v类型的解・ 下面假设其有解・ (α)反证・ 设A u的特征集为DCS・ 假设D v,C v-u还有其它只含有u的可积条件,记为P u,且不能被DCS约化为0,设P u≡P1u m od[DCS]・ 此时,系统D v,C v-u的特征集中只含有u的可积条件正好是DCS,P1u的特征集,记为DCS1・ 由假设可知,d-zero(DCS1) <d-zero(DCS),且是真包含,否则P1u就会被DCS约化为0・ 这说明使得D v=0, C v=u有解的u的集合为d-zero(DCS1)・ 而d-zero(DCS)=d-zero(A u),矛盾・ (])由Rosenfeld-G robner算法,可知A u=0,u=C v,D v=0有解・ 设它的特征集为DCS,而d-zero(A u,u-C v,D v)=d-zero(DCS),由已知条件系统D v、C v-u的只含有u的可积条件是恰为A u的特征集,可知,使得D v=0,C v-u=0有解的u的集合恰为d-zero(A u)・ 即Πu∈d-zero(A u),ϖv∈d-zero(D v),且满足u=C v,即d-zero(A u)<C d-zero(D v)・ 同理有反包含关系成立・ 对于线性变系数的情形,由well-ordering principle可知,DPS′i和DPS″i的特征集都是K中的一个多项式,其零点与u、v无关,我们不予以讨论・ 对于它的正则解,有与常系数类似的结论,我们就不详细写出了・ 3 例 子考虑弹性力学平面应力方程组[1]: 原方程组A u=0 5σxx+5τxyy=0,5σyy+5τxyx=0,Δ(σx+σy)=0,变换u=C v σx=52φ5y2,σy=52φ5x2,τxy=-52φ5x5y,目标方程组D v=0 ΔΔφ=0・ 其中 Δ=525x2+525y2・ 规定序为:τxy>σx>σy,x>y,方程组D v=0,u=C v的特征集为: ΔΔφ=0,52φ5x2=σy,52φ5x5y=-τxy,52φ5y2=σx, 5τxy5x+5σy5y=0,5τxy5y+5σx5x=0,52σx5y2+52σy5x2+252σy5y2=0, 52σx5x2-52σy5y2=0,ΔΔσy=0・ 1101张 鸿 庆 谢 福 鼎 陆 斌2101判定线性偏微分方程组解的完备性的一个符号计算方法在上面的方程组中,只含有u(τxy,σx,σy)的方程组是A u=0在上面规定序下的特征集・ 因此,在这个变换下,我们得到的解是完备的・ 4 结 论本文只讨论了线性偏微分方程组的完备性,对于非线性的情况,由于其特征集的计算复杂度较高(指数形式)和它本身的情形比较复杂,本文没有涉及,但这仍是一个值得研究的问题・ [参 考 文 献][1] 张鸿庆.弹性力学方程组一般解的统一理论[J].大连工学院学报,1978,18(3):23—47.[2] 张鸿庆,王震宇.胡海昌解的完备性和逼近性[J].科学通报,1985,30(5):342—344.[3] 王敏中.关于胡海昌解的完备性[J].应用数学和力学,1981,2(2):243—249.[4] Ritt J F.Differential Algebra[M].New Y ork:Dover Publication Inc,1950,57—140.[5] Kolchin E R.Differential Algebra a nd Algebraic Groups[M].New Y ork:Academic Press,1973,43—54.[6] WU Wen-tsun.On the foundation of algebraic differential 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equation;symbolic comp utation;charac2 teristic set。
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Ｉ ｎ ｉ ｃ ｔｏ ｏ ｎ ａ ｆｅ ｅ ｔａ — ｌ ｅ ｒ ｉ ｕ ｔｏ ｄｅ ｔｆ ａ ｉ ｎ ｆＬｉ ｅ ｒ Ｄｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌ— ａ ｇ ｂ ａ ｃ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｉ
Ｄ ＥＮＧ Ｈｏ ｇ—ｆｎ ＪＡ ｉ Ｙ ｈ ｎ ｎ —ｅｇ Ｉ Ｊｅ ＥＺ ｅｇ
１ ９
线 性 微 分 一 代 数 方 程 的 辨 识
◎ 邓洪 峰 贾 杰
南昌
叶
蓁
（ 南昌航空［ 关键 词］微分一代数方程 ； 系统辨识 ； 极大似然估计 ； 间接投影 ［ 摘 要］文章对一个线性随机微分一代 数方 程作 了良态 的表述及 进一步解释 良态辨识 问题的形成 。推导 了利用 系统矩 阵 定义的子空间来 给出良态 的条件 。对于系统的辨识 问题 ， 采用极 大似然法并提 出了一个新的有效算法。 ［ 中图分类号 ］Ｔ ２ ３ Ｐ７ ［ 文献标志码］Ａ ［ 文章编号 ］１０ — ９６ ２ １ ）４— ０ ９— ７ ０ １ ４ ２ （０ ０ ０ ０ １ ０
Ｂ Ｎ ｎｈ ｎ ａｇｏ ｇＵ ｉ ｒ ｔ。 ａｃ ａｇ Ｊ ｎｘ ３０ ６ ，Ｃ ｉａ ＸＩ ａ ｃａｇＨ ｎｋｎ ｎｖ ｓｙ Ｎ ｎｈｎ ， ｉ ｇｉ ３ ０３ ｈｎ ） （ ｅｉ ａ Ｋｅ ｏｄ ： ｉｅｅｔ ｌ ｌｅｒ ｃｅｕｔ ｎ ｓｓ ｍ ｉｅｔ ｃｔ ｎ ｍ ｘ ｕ ｉｅｈ ｏ ｓｍ ｔ ｎ ｏｌ ｕ ｒｊｃｏ ｙｗ ｒｓ ｄ ｆ ｎｉ —ａ ｂａ ｑａｉ ； ｔ ｎ ｆａｉ ； ａｉ ｍ Ｌｋｌ ｏｄｅｔ ａ ｏ ；ｂｉ ｅｐｏｅｔ ｎ ｆｒ ａ ｇ ｉ ｏ ｙｅ ｄ ｉ ｉ ｏ ｍ ｉ ｉ ｉ ｑ ｉ
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的模 型 。通 常把 辨识 与物 理 建模 联 系 起 来 ， 把对 系 关 于时 间 的微 分 。这 些模 型通常 称为描 述模 型或 微 ＤＥ。 Ａ 统物理 的理解 用模 型结 构来表示 。传 统 的建模必 须 分 一代数方程 （ Ａ ） 目前 有很 多关 于 Ｄ Ｅ的参 考 构造状 态空 间模 型 ， 中未 知 的常数 作 为 模 型 中需 文献 ， 仍没有找到一种彻底 的关 于连续 时间滤 波问 其 但 要估计 的参数 。而 如今 的现代建 模 已不再关 注 与状 题 的方法 ， 特别 是 带 有 白噪声 输 入 模 型 的 良态 。在 态空 间模 型 。在许 多工程 领域 中对建模 需求 的 日益 Ｄ Ｅ模 型中噪声的引 入使得 噪声 偏导 的 出现 。这些 Ａ 增 长导致 了必 须发展 一种新 的方 法来 使得关 于复 动 偏导是 否是 良态的问题在一定程度上被研究过 。 力系统 的建模 变得更 容易 。在这 种趋 势下产 生 了一 为此很 有必 要研究 用 目标 一定位 建模 的模 型表
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系统 辨识是 利用 系统 中的可测 信号来 估计 系统
一
个包 含混合 方程 的模 型 。其 中一些方 程 的变量 是