高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.2 圆的一般方程课件 新人教B版必修2.pptx
新人教B版高中数学必修二教学课件 第二章 平面解析几何初步 2.3.1《圆的标准方程》
求经过点A(10,5)、B(－4,7)，半径为10的圆的方程．
[ 解析] 解法一：设圆心为(a，b) ① ② ③
2 2 a－10 ＋b－5 ＝100 ∴ 2 2 a ＋ 4 ＋ b － 7 ＝100
当水面下降 1 m 后，可设点 A′的坐 标为(x0，－3)(x0>0)，如图所示，将 A′的 坐标(x0，－3)代入方程(2)，求得 x0＝ 51. 所以， 水面下降 1 m 后， 水面宽为 2x0 ＝2 51≈14.28 m.
[点评] 求圆的方程有两类方法： (1)几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位 置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)； (2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤
易错疑难辨析
点 P(m,5) 与圆 O ： x2 ＋ y2 ＝ 24 的位置关系是 ( ) A．在圆内 C．在圆上
[ 错解] D
B．在圆外 D．不确定
[辨析]
误选D的原因是认为点P的横坐标大小不确定，故
点P与圆O：x2＋y2＝24的位置就不确定．
[ 正解] B
∵|OP|2＝m2＋25>24＝r2， ∴点 P 在圆外．
4x－3y－2＝0 由 x＋y－11＝0 x＝5 ，得 y＝6
.
∴圆的半径 r＝ 5－22＋6－22＝5，∴圆 C 的方程为(x －5)2＋(y－6)2＝25.
课堂典例讲练
已知圆的标准方程，解决与圆心、半径有关的 问题 写出下列方程表示的圆的圆心和半径． (1)x2＋y2＝2； (2)(x－3)2＋y2＝4； (3)x2＋(y－1)2＝9；
)
[答案] B
[解析] 25. ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝
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1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
实习作业
1.2.2 空间中的平行关系
本章小结
ห้องสมุดไป่ตู้
第二章 平面解析几何初步
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
2.2.2 直线方程的几种形式
2.2.4 点到直线的距离
2.3.2 圆的一般方程
2.3.4 圆与圆的位置关系
2.4.2 空间两点的距离公式
阅读与欣赏
笛卡儿
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1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球 的表面积
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1.1.7 柱、锥、台和球的体积
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后记
第一章 立体几何初步
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1.1 空间几何体
1.1.1
构成空间几何体的基本元素
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1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结 构特征
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0002页 0040页 0102页 0185页 0223页 0295页 0343页 0365页 0411页 0460页 0490页 0520页 0548页 0570页 0601页 0603页
第一章 立体几何初步
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.4 投影与直观图
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
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1.1.4 投影与直观图
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1.1.5 三视图
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2_3_2圆的一般方程学案新人教B版必修2
2．3.2 圆的一般方程学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．知识点圆的一般方程思考1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？思考2 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？梳理方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点(－D2，－E2)D2＋E2－4F>0表示以(－D2，－E2)为圆心，以12D2＋E2－4F为半径的圆类型一圆的一般方程的概念例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．类型二求圆的一般方程例2 已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．引申探究若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．类型三求轨迹方程例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．反思与感悟求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程．特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．跟踪训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )A．8π B．4πC．2π D．π2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝03．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤124．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为( ) A ．－2,4,4 B ．－2，－4,4 C ．2，－4,4D ．2，－4，－45.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程．1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判断D 2＋E 2－4F 是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 2．待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D 、E 、F .3．求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设动点M 的坐标(x ，y )． (2)列出点M 满足条件的集合．(3)用坐标表示上述条件，列出方程f (x ，y )＝0. (4)将上述方程化简．(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．答案精析问题导学 知识点思考1 对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝－1，不表示任何图形． 思考2 对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方并移项，得 (x ＋D2)2＋(y ＋E2)2＝D 2＋E 2－4F4.①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，它表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形． 题型探究例1 解 由表示圆的条件， 得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0， 解得m <15，即实数m 的取值范围为(－∞，15)．圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m . 跟踪训练1 (1)(－2，－4) 5 (2)9π解析 (1)由圆的一般方程知，a ＋2＝a 2，得a ＝2或－1. 当a ＝2时，该方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，∵D 2＋E 2－4F ＝12＋22－4×52＜0，∴a ＝2不符合题意； 当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2)圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为(－k2，－1)，由圆的性质知，直线x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－k2＋1＋1＝0，得k ＝4，∴圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为 1242＋22＋16＝3， ∴该圆的面积为9π.例2 解 (1)设△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋－12＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的一般方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0， ∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0， 即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或a ＝6. 引申探究解 ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为(72，52)，∴AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3(x －72)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y －52＝－3x －72，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为(132，－132)，r ＝132－22＋－132－22＝3702， ∴圆C 的方程为(x －132)2＋(y ＋132)2＝1852.跟踪训练2 解 方法一 (待定系数法) 设圆的一般方程方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 点的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知，得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48. 联立①②④，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 (几何法)由题意，得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0， ∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上， 设其坐标为(a ，a －1)． 又圆C 的半径r ＝|CP |＝a －42＋a ＋12.①由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |， ∴r 2＝a 2＋(432)2，代入①整理得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，∴r ＝13或r ＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.例3 解 (1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D (32，－12)．又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝－3－12＋－2－12＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)． 因为点P 的坐标为(5,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y .又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动， 所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25， 即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25. 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.跟踪训练3 解 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系(如图)，则点A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵|AD |＝3， ∴(x 0＋2)2＋y 20＝9.②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上， ∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)． 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.A5．解 设点B 坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点， 所以4＝x 0＋x2，3＝y 0＋y2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .① 因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动， 所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4， 即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4， 整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.。
新教材高中数学第2章平面解析几何圆的一般方程课件新人教B版选择性必修第一册
(2)由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则 其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点 M 在圆 06 _外__ 点 M 在圆 07 _上__ 点 M 在圆 08 _内__
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0
89＋8D＋5E＋F＝0， 由题意知73＋3D＋8E＋F＝0，
9＋3E＋F＝0，
D＝－8， 解得E＝－8，
解
(3)两边同除以 2，得
x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，
∴D2＋E2－4F＝2a2>0，
∴方程(3)表示圆，它的圆心为－a2，a2，
半径 r＝12
D2＋E2－4F＝
2 2 |a|.
解
题型二 求圆的一般方程
例 2 已知 Rt△ABC 的顶点 A(8,5)，直角顶点为 B(3,8)，顶点 C 在 y 轴 上，求：
半径长．
[跟踪训练 1] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半 径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解 (1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程(1)不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程(2)表示点(－a,0)．
判断二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断 D2＋E2－4AF 是否大于 0；或直接配方变 形，判断等号右边是否为大于零的常数．
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程》_8
《圆的一般方程》教学设计1．教材所处的地位和作用《圆的一般方程》是高中数学人教B 版必修2第二章第三节第二课时的内容。
圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。
圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。
2．学情分析圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。
另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强。
根据上述教材所处的地位和作用分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3．教学目标知识与技能：(1) 掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2) 能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径(3) 能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：(1) 进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2) 加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。
(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
根据以上对教材、学情及教学目标的分析，我确定如下的教学重点和难点：4．教学重点与难点重点：(1) 圆的一般方程。
(2) 待定系数法求圆的方程。
难点：(1) 圆的一般方程的应用(2) 待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解。
5.教学过程【复习引入】师：自初中初步接触圆的概念和研究圆的几何性质以来，上节课我们又在平面直角坐标系中对圆的标准方程进行了定义和学习。
请大家回忆圆的标准方程的形式是怎样的？生：222()()x a y b r -+-=师：答得很好。
高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程课件新人教B版必修2
法二 设所求圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由条件知2－－2a－2a＋2＋－3－－5b－2b＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
解得ab＝ ＝－ －12， ， r2＝10.
故所求圆的标准方程为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
第十六页，共35页。
法三 线段AB的中点为(0，－4)，kAB＝－23－－－－25 ＝12， 所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2， 所以线段AB的垂直平分线的方程为： y＋4＝－2x， 即y＝－2x－4.
第二十二页，共35页。
[探究共研型]
与圆有关(yǒuguān)的最值问题
探究1
若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝
1 4
上任意一点，请求出P(x，y)到原点
的距离的最大值和最小值．
【提示】
原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为
1 2
，故圆上的点到
坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.
【答案】 (1)A (2)A
第十一页，共35页。
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方 程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直 接写出圆的标准方程.
第十二页，共35页。
[再练一题] 1．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( ) A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16 D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 【解析】 因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所 以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16. 【答案】 C
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程》_19
④能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容.
问题2.问题：求过三点A (0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
导学方法
问题引导法
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
导学教师复备
回顾旧知，引出新课
问题1.①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.
②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
年级
学科
主题
主备教师
课型
新授课
课时
1
时间
教学目标
1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0表示圆的条件.
2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.
教学
重、难点
教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.
由题意该圆经过P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心C(a,b)在PQ的垂直平分线上,故a=2.
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程》_23
“八个优竞赛课”教案2.2.1 椭圆的标准方程单位：鞍钢高中授课班级：高三.16班授课教师：李志远《椭圆的标准方程》说课稿授课教师李志远授课班级高三（16）班说课内容：《高中数学》（选修2-1）高二第2.2.1节《椭圆的标准方程》一、概说：1、教材分析：椭圆及其标准方程是圆锥曲线的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习。
是后继学习的基础和范示。
同时，也是求曲线方程的深化和巩固。
2、教学分析：椭圆及其标准方程是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。
本节课通过创设情景、动手操作、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握坐标法的规律，掌握数学学科研究的基本过程与方法。
3、学生分析：高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。
但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。
基于上述分析，我采取的是教学方法是“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结规律”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。
引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
我设定的教学重点是：椭圆定义的理解及标准方程的推导。
教学难点是：标准方程的推导。
二、目标说明：根据数学教学大纲要求确立“三位一体”的教学目标。
1、知识与技能目标：理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。
2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。
3、情感、态度和价值观目标：(1)探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。
(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。
三、过程说明：依据“一个为本，四个调整”的新的教学理念和上述教学目标设计教学过程。
“以学生发展为本，新型的师生关系、新型的教学目标、新型的教学方式、新型的呈现方式”体现如下：（一）对教材的重组与拓展：根据教学目标，选择教学内容，遵循拓展、开放、综合的原则。
人教B版选择性必修第一册2-3-2圆的一般方程课件(42张)
[自我排查]
1．(2022 四川棠湖中学模拟)圆的方程为 x2＋y2＋x＋2y－10＝0，则圆心坐标为( D )
A．(1，－1)
B.12，－1
C．(－1,2)
D.－12，－1
2．(多选题)(2022 山东泰安一中月考)已知方程 x2＋y2＋3ax＋ay＋52a2＋a－1＝0，若方 程表示圆，则 a 的值可能为( AB )
又圆 C 的半径长 r＝|CP|＝ a－42＋a＋12.⑤
由已知得圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3，而圆心 C 到 y 轴的距离为|a|，∴r2＝a2＋
4
2
32，
代入⑤整理得 a2－6a＋5＝0，解得 a1＝1，a2＝5，
∴r1＝ 13，r2＝ 37.故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13 或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
联立①②④解得DE＝＝0－，2， F＝－12
或DE＝＝－－81，0， F＝4.
故圆的方程为 x2＋y2－2x－12＝0 或 x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二(几何法)：
由题意得线段 PQ 的垂直平分线方程为 x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心 C 在直线 x－y－1＝0 上，
设其坐标为(a，a－1)．
B．x2＋y2－2x＋2y＋1＝0
C．x2＋y2＋2x－2y＝0
D．x2＋y2－2x＋2y＝0
4．(2022 云南宣威民族中学月考)若原点 O(0,0)在圆 x2＋y2＋2ax＋a2－2a＋1＝0 外，
则 a 的取值范围为( C )
A．a≠0
B．a>0
C.12<a<1 或 a>1
D．a>1
5．(2022 浙江宁波北仑中学开学考试)关于方程 x2＋y2＋2ax－2ay＝0 表示的圆，有下 列叙述：①关于直线 x＋y＝0 对称；②其圆心在 x 轴上；③过原点；④半径为 2a.其中叙 述正确的是_______①__③_______(要求写出所有正确命题的序号)．
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程》_1
课题：圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方：
归纳总结：当D2+E2-4F＞0时，
当D2+E2-4F = 0时，
当D2+E2-4F＜0时，ห้องสมุดไป่ตู้
提出概念：圆的一般方程的定义
三、例题精讲
例1、例2
四、反馈练习
五、课堂小结
（1）知识性小结
（2）方法性小结
六、课后作业
教师强调：不要死记结果，要熟记通过配方求圆心和半径的方法。
教师活动：巡视学生完成情况，对学生的回答作点评，给出正确答案，同时强调：方程中隐含条件以及分类讨论的情况。
教师设问：圆的一般方程有什么特点？
教师活动：引导学生比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)。
【师生互动】：教师巡视指导，参与学生的讨论。
学生活动：先独立思考，自主探究后，再与前后同学合作交流。
生生互动：在教师引导下，合作交流，共同探讨方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形。
共同探讨后，达成共识：先将方程配方，再与圆的标准方程比较。
从特殊到一般，从具体问题入手，从而找到配方的办法来解决问题。让学生经历知识形成的过程，体会数形结合思想，加深对知识的理解。
(2)掌握方程 表示圆的条件。
二、能力目标：(1)能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。
(2)能应用待定系数法求圆的一般方程。
(3)能应用代入法求一般曲线的方程。
高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程课件新人教B版必修2
方法技巧 法一是求圆的标准方程的常用方法;法二是利用圆上任一点 满足的几何特性,这是求任意轨迹方程的方法,更具有一般性.
变式训练2-1:已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点M(6,9)在圆N上,求a的值; (2)已知点P(3,3)和点Q(5,3),线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点, 求a的取值范围.
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
所以弦 OP 的垂直平分线方程为 y- 3 =- 1 (x- 1 ),即 x+3y-5=0. 23 2
因为圆心在直线
y=x+2
上,且圆心在弦
OP
的垂直平分线上,所以由
y x
x 2, 3y 5
0,
解得
2.3.2圆的一般方程课件高二上学期数学人教B版选择性
解析：
若方程 x2 y2 4x 8y 2a 0 表示圆，则 (4)2 82 4 2a 0 ，即 A×
a 10 ，故 A 错误.
B √ 当 a 10 时，方程表示的圆的圆心为 (2, 4) .
C √ 当 a 0 时，方程表示的圆的半径为 1 (4)2 82 2 5 . 2
当 a 8时，方程表示的圆的半径为 1 (4)2 82 416 2 ，等于圆 2
即 x2 y2 6x 6 y 8 0 .故选 C.
7.（多选）已知圆 x2 y2 2x 4 y 1 0 关于直线 2ax by 2 0(a,b R) 对称，
ABCD 则下列结论正确的是( )
A.圆 x2 y2 2x 4 y 1 0 的圆心坐标是 (1, 2)
B.圆 x2 y2 2x 4 y 1 0 的半径是 2
标为 (a, 2a) ，半径为 3，因为圆 x2 y2 2ax 4ay 5a2 9 0 上所有点都在第
a 0,
二象限，所以
2a 0, a 3,
解得
a
3
，故选
A.
2a 3,
4.一束光线从点 P(1, 2) 出发，经 x 轴反射到圆C : x2 y2 8x 6 y 23 0 上的最
6.已知圆 C 经过两点 A(0, 2) ， B(4, 6) ，且圆心 C 在直线l : 2x y 3 0 上，则圆
C C 的方程为( )
A. x2 y2 6x 6 y 16 0
B. x2 y2 2x 2y 8 0
C. x2 y2 6x 6y 8 0
D. x2 y2 2x 2 y 56 0
一般地，圆的标准方程 ( − )2 + ( − )2 = 2 可以化为 2 + 2 − 2 − 2 + 2 + 2 − 2 = 0. 在这个方程中，如果令 =− 2 ， =− 2 ， = 2 +
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 2.3.2 圆的一般方程
用待定系数法求出常数D,E,F.
变式训练2[北师大版教材习题]已知圆经过A(0,2),B(-1,1)两点,且圆心在直
线x+2y-1=0上,求圆的方程.
解 设圆的方程为 x +y
2
-Dx-Ey+F=0,则圆心坐标为( 2 , 2 ),
(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x+4y-6=0.
解 (1)方程x2+y2=0表示一个点(0,0).
(2)方程x2+y2-2x+4y-6=0可化为(x-1)2+(y+2)2=11,故表示圆心坐标是(1,-2),
半径是 11 的圆.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
判断圆的方程
【例1】 [北师大版教材例题]讨论方程λ(x2+y2)=(x-3)2+y2表示的是怎样的
2
4-2 + = 0,
= 2,
由题意得 1 + 1 + - + = 0,所以 = 0,
= -4,
+ -1 = 0,
2
所以圆的方程为x2+y2-2x-4=0.
探究点三
求动点的轨迹方程问题
【例3】 如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4
l 的方程为( A )
解析 整理圆的方程可得(x-1)2+(y+1)2=1,
∴圆心C(1,-1).
∵直线 l
π
倾斜角为 ,∴其斜率
3
π
k=tan
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.2 圆的一般方程课件 bb高一数学课件
二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有当 D2＋E2－4F>0 时才表示圆，要防止忽略这个条件而出现错误．
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1．方程 x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0 表示的图形是( ) A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b)
第二十三页，共三十八页。
法二：(定义法)设线段 AB 的中点为 D，则 D(1，0)． 由题意知|CD|＝12|AB|＝2． 所以点 C 的轨迹是以 D 为圆心，以 2 为半径的圆，其方程为 (x－1)2＋y2＝4． 由于直角顶点 C 不在直线 AB 上， 所以 y≠0． 故顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
第三十五页，共三十八页。
本部分内容讲解 结 (jiǎngjiě)
束ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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内容 总结 (nèiróng)
答案：x2＋y2－3x－4y＝0
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根据圆的一般方程求圆心和半径 求下列各圆的圆心坐标和半径． (1)x2＋y2－4y＝0； (2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．
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【解】 法一：将方程分别化为标准方程：
(1)x2＋(y－2)2＝4，
与圆有关的动点轨迹问题 已知 Rt△ABC 中，A(－1，0)，B(3，0)． 求：(1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程．