高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示自主训练北师大版必修4
高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示备课素材 北师大版必修4
2.6 平面向量数量积的坐标表示备课资料一、|a ·b |≤|a ||b |的应用若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则平面向量的数量积的性质|a ·b |≤|a ||b |的坐标表示为x 1x 2+y 1y 2≤2212122222121)(y y x x y x y x +⇔++≤(x 12+y 12)(x 22+y 22).不等式(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 12+y 12)(x 22+y 22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n ).例1 (1)已知实数x,y 满足x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是__________;(2)已知实数x,y 满足(x+2)2+y 2=1,则2x-y 的最大值是__________. 解析:(1)令m =(x,y),n =(1,1).∵|m ·n |≤|m ||n |,∴|x+y|≤222•+y x ,即2(x 2+y 2)≥(x+y)2=16.∴x 2+y 2≥8,故x 2+y 2的最小值是8. (2)令m =(x+2,y),n =(2,-1),2x-y=t.由|m ·n |≤|m ||n |,得|2(x+2)-y|≤5)2(22•++y x =5,即|t+4|≤5. 解得-4-5≤t≤5-4.故所求的最大值是5-4. 答案:(1)8 (2)5-4例2 已知a .,b∈R ,θ∈(0,2π),试比较θθ2222sin cos b a +的大小. 解:构造向量m =(θθsin ,cos ba ),n =(c osθ,sinθ),由|m ·n |≤|m ||n |,得 (θθθθsin sin cos cosb a +)2≤(θθ2222sin cos b a +)(cos 2θ+sin 2θ), ∴(a+b)2≤θθ2222sin cos b a +. 同类变式:已知a .,b∈R ,m,n∈R ,且mn≠0,m 2n 2＞a 2m 2+b 2n 2,令M=22n m +,N=a+b,比较M 、N的大小.解:构造向量p=(mbn a ,),q =(n,m),由|p ·q |≤|p ||q |,得(m m b n n a ⨯+⨯)2≤(2222m b n a +)(m 2+n 2)=222222m n n b m a +(m 2+n 2)＜m 2+n 2, ∴M＞N. 例 3 设a .,b∈R ,A={(x,y)|x=n,y=na +b,n∈Z },B={(x,y)|x=m,y=3m 2+15,m∈Z },C={(x,y)|x 2+y2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集,讨论是否存在a 和b,使得A∩B=∅与(a ,b)∈C 能同时成立.解:此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题,它满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++=+)2(144)1(,153222b a n b na设存在a 和b 满足①②两式,构造向量m =(a.,b),n =(n,1).由|m ·n |2≤|m |2|n |2,得(na+b)2≤(n 2+1)(a 2+b 2),∴(3n 2+15)2≤144(n 2+1)n 4-6n 2+9≤0.解得n=±3,这与n∈Z 矛盾,故不存在a.和b 满足条件. 二、备用习题1.若a =(2,-3),b =(x,2x),且a ·b =34,则x 等于( ) A.3 B.31 C.-31D.-32.设a =(1,2),b =(1,m),若a 与b 的夹角为钝角,则m 的取值范围是( )A.m ＞21B.m ＜21C.m ＞-21D.m ＜-21 3.若a =(c osα,sinα),b =(c osβ,sinβ),则( )A.a ⊥bB.a ∥bC.(a +b )⊥(a .-b )D.(a +b )∥(a -b )4.与a =(u,v)垂直的单位向量是( ) A.(2222,υυυ++-u u u ) B.(2222,υυυ+-+u u u )C.(2222,υυυ++u uu ) D.(2222,υυυ++-u u u )或(2222,υυυ+-+u u u )5.已知向量a =(c os23°,c os67°),b =(c os68°,cos 22°),u =B+t b (t∈R ),求u 的模的最小值.6.已知a ,b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹角.7.已知△ABC 的三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△ABC 的面积. 参考答案:1.C2.D3.C4.D5.解：|a |=οοοο23sin 23cos 67cos 23cos 2222+=+=1,同理|b |=1. 又a ·b =c os23°c os68°+c os67°c os22° =c os23°c os68°+sin23°sin68°=c os45°=22, ∴|u |2=(a +t b )2=a 2+2t a ·b +t 2b 2=t 2+2t+1=(t+22)2+21≥21. 当t=-22时,|u |min =22.6.解：由已知(a +3b )⊥(7a .-5b )⇔(a +3b ）•(7a -5b )=0⇔7a 2+16a ·b -15b 2=0.①又(a -4b )⊥(7a -2b )⇔(a -4b )·(7a .-2b )=0⇔7a 2-30a ·b +8b 2=0.②①-②，得46a ·b =23b 2,即a ·b =2||222b b =.③ 将③代入①,可得7|a .|2+8|b |2-15|b |2=0,即|a |2=|b |2,有|a |=|b |,∴若记a 与b 的夹角为θ,则c osθ=21||||2||||||2==•b b b b a b a .又θ∈[0°,180°],∴θ=60°,即a 与b 的夹角为60°. 7.分析:S △A.BC =||||21AC AB sin ∠BAC ,而|AB |,|AC |易求,要求sin∠BAC 可先求出c os∠BAC. 解:∵=(2,1),=(3,4),||=2,||=5, ∴c ||||AC AB =524032⨯⨯+⨯=53∴sin∠BAC=54.∴S △ABC =21|||AC |sin∠BAC=21×2×5×54=4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化; 探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化; 大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化; 学法指导个性化,对待学生情感化;作业抛砖引玉化,选题质量层次化; 学生学习研究化,知识方法思想化;抓住闪光激励化,教学相长平等化; 教学意识超前化,与时俱进媒体化;灵活创新智慧化,学生素质国际化.。
高中数学第二章2.6第26课时平面向量数量积的坐标表示作业课件北师大版必修4
所以A→B⊥A→D，所以四边形 ABCD 是矩形． 又|A→B|＝ 13，|A→D|＝2 13，故|A→B|≠|A→D|， 所以四边形 ABCD 不是正方形． 综上，四边形 ABCD 是矩形．
13．(13 分)已知在△ABC 中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)， BC 边上的高为 AD.
A．1
B．2
C. 2
2 D. 2
解析：建立平面直角坐标系，设 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x， y)，由(a－c)·(b－c)＝0，得x－122＋y－122＝12，这说明向量 c 的终 点坐标在圆x－122＋y－122＝12上，又向量 c 的起点 O 也在圆上， 原点 O 到此圆上的点的最大值等于圆的直径的大小，即|c|max＝ 2. 故选 C.
由题意知 AC⊥BC，且 CA＝CB＝3， ∴C→M·C→A＝(C→A＋A→M)·C→A ＝(C→A＋B→A)·C→A＝(C→A＋C→A－C→B)·C→A ＝(2C→A－C→B)·C→A＝2C→A2－C→B·C→A＝2×32＝18.
解法二：如图，建立平面直角坐标系，则 C(0,0)，B(3,0)，A(0,3)． 由题意知|A→B|＝3 2，∴|B→M|＝6 2，设点 M 的坐标为(x，y)， 则 x＝－3，y＝6，即 M(－3,6)， ∴C→M·C→A＝(－3,6)·(0,3)＝18.
0)，Q(0,1－λ)，则B→Q＝(－2,1－λ)，C→P＝(2λ，－1)，∵B→Q·C→P＝－
2，∴－2×2λ＋(1－λ)×(－1)＝－2，解得 λ＝13，故选 A.
7．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的 a＝ (m，n)，b＝(p，q)，令 a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是( B )
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高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的坐标自主训练 北师大版必修4(2021年最新整理)
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2.4 平面向量的坐标自主广场我夯基 我达标1.若向量a =（3，2)，b =（0，—1），则向量2b —a 的坐标是（ ）A.(3，-4）B.（—3，4）C.(3，4）D.（—3，-4）思路解析：依向量的坐标运算解答此题。
2b —a =（0，-2)-（3，2）=（-3，—4）。
答案：D2.(1国防科技工业第四次联考,3）已知向量a =（1，2），b =(—3，2)，且向量k a +b 与l b +a 平行，则实数k ，l 满足的关系式为（ ）A.kl=—1 B 。
k+l=0 C.l-k=0 D.kl=1思路解析：∵k a +b =(k-3,2k+2）,l b +a =(—3l+1,2l+2)，∴(k -3)(2l+2)-(2k+2）（—3l+1）=0。
整理得kl=1。
答案：D3。
（山东高考卷,理5)设向量a =（1,—3)，b =(-2,4)，c =（—1，—2），若表示向量4a ，4b -2c ，2（a -c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d 为( ）A.（2,6) B 。
（—2，6) C 。
(2,-6） D 。
(-2，-6） 思路解析:由题意,得4a +4b －2c +2(a －c )+d =0，代入向量的坐标即可求得向量d .答案：D4.与a =(12,5)平行的单位向量为( ）A.（1312，-135) B 。
高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示 也谈高考热点数量积素材 北师大版必修4
也谈高考热点—数量积 数量积是平面向量的一朵奇葩，其运算形式有cos (0)a b a b ααπ⋅=≤≤r r r r 与1212a b x x y y ⋅=+r r 两种。
用数量积来处理有关长度、角度、垂直关系，及构造不等式与函数都有其独到之处 。
因此关于数量积的考查，也成为高考命题的热点。
以下就其在高考中的考查形式，分类例述如下一、求长度例1 设向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r r ，()||1,,,a a b c a c =-⊥⊥u u r r r r r r ,则222a b c ++r r r 的值是分析：本题考查向量的代数运算，必须要熟练掌握数量积与向量加减法运算。
解析：()()0,0a b c a b c a c b c a c a c -⊥⇒-⋅=⋅-⋅=⊥⇒⋅=r r r r r r r r r r r r r r ，故0b c ⋅=r r ()2222220()21a b c a b c a b c b c b c b c ++=⇒-=+⇒-=+=++⋅=+=r r r r r r r r r r r r r r r r 由， 所以2222222a b c a b c ++=++=r r r r r r评注：求向量的模，通常是转化为向量的平方，利用向量的数量积来解决。
这是解决向量长度的一种重要方法。
二、求角例2 已知||2||0a b =≠r r ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根,则a r 与b r 的夹角的取值范围是 ( ) A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 分析： 要求两向量夹角，必须回到向量数量积的运算公式上来处理。
解：,0||2||≠= 且关于x 的方程0||2=⋅++x x 有实根，则2||4a a b -⋅r r r ≥0，设向量,a b r r 的夹角为θ，cosθ=||||a b a b ⋅⋅r r r r ≤221||1412||2a a =r r ，∴θ∈],3[ππ，选B. 评注：将向量的运算揉合在方程之中，这也是近年高考对向量考查的一个方向。
高中数学 第二章 平面向量 6 平面向量数量积的坐标表示学案 北师大版必修4
6 平面向量数量积的坐标表示学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．思考1 i·i，j·j，i·j分别是多少？思考2 取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j 表示，并计算a·b.梳理设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________________.这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．知识点二向量模的坐标表示思考若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示．梳理设a＝(x，y)，则|a|2＝____________，或|a|＝____________.知识点三向量夹角的坐标表示思考设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？梳理设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则(1)cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.知识点四 直线的方向向量 思考1 什么是直线的方向向量？思考2 直线的方向向量唯一吗？梳理 (1)给定斜率为k 的直线l ，则向量m ＝(1，k )与直线l 共线，我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量．(2)对于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，可取直线l 的方向向量为m ＝(1，－A B)(B ≠0)，或取直线l 的方向向量为m ＝(B ，－A )．类型一 平面向量数量积的坐标表示例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，即向量运算结合律一般不成立．跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 类型二 向量的模、夹角问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图)．已知点A (16,12)，B (－5,15)．(1)求|OA →|，|AB →|； (2)求∠OAB .反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围．类型三 向量垂直的坐标形式例3 (1)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A.17 B ．－17 C.16 D ．－16(2)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)，若(AB →－tOC →)⊥OC →，则实数t ＝____.1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π22．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－14．已知平面向量a ，b ，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝____________. 5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)． (1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．答案精析问题导学 知识点一思考1 i ·i ＝1×1×cos 0＝1，j ·j ＝1×1×cos 0＝1，i ·j ＝0. 思考2 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j ) ＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 2j 2＝x 1x 2＋y 1y 2. 梳理 x 1x 2＋y 1y 2 知识点二思考 ∵a ＝x i ＋y j ，x ，y ∈R ，∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i·j ＋(y j )2＝x 2i 2＋2xy i·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2. 梳理 x 2＋y 2 x 2＋y 2知识点三 思考 cos θ＝a·b|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 知识点四思考1 与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量．思考2 不唯一．因为与直线l 共线的非零向量有无数个，所以直线l 的方向向量也有无数个． 题型探究例1 解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)， 则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10)． 跟踪训练1 C例2 解 (1)由OA →＝(16,12)，AB →＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得|OA →|＝162＋122＝20， |AB →|＝－2＋32＝15 2.(2)cos ∠OAB ＝AO →，AB →＝AO →·AB→|AO →||AB →|.其中AO →·AB →＝－OA →·AB → ＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300， 故cos ∠OAB ＝30020×152＝22.∴∠OAB ＝45°.跟踪训练2 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1. 又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎨⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 例3 (1)B (2)k ＝－23或113或3±132跟踪训练3 －1 当堂训练1．B 2.A 3.B 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 5．(1)2525 (2)λ＝529。
数学北师大版高中必修4第二章第6节《平面向量数量积的坐标表示》同步练习及答案
平面向量数量积的坐标表示 同步练习1、已知两点 A （2，4），B （2，3），则｜AB ｜等于（ ）A ．1B ．7C ．17D ．152．设非零向量),(),,(2211y x b y x a ==，则下列命题中错误的是（ ） A ．=||a 2121y x + B ．2222y x b +=C ．2121y y x x b a +=∙D ．02121=+⇔⊥y y x x b a3．已知)2()(),1.2(),3,1(b a b ka b a -⊥+-=-=且，则k ＝ （ ）A ．34B ．－34C ．－43D ．434．下列命题中不正确的是（ ） A ．0与任何一向量垂直B ．若非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，则2121y y x x b a +⇔⊥＝0C ．若A ，B 不全为0，则当0=++C By Ax 时一定有向量（A ，B ）与直线0=++C By Ax 垂直D ．若b a ⊥，则a 与b 不共线5、已知10=a ，b =（1，2），且b a //，则a 的坐标为 。
6、ABC ∆中，A （1，0），B （3，1），C （2，0），则与的夹角为。
7、已知m =（1，0），n =（1，1）且n k m ⋅+与m 垂直，则实数k =（ ）A 、1B 、-1C 、1或-1D 、非上述答案8、平面上有三个点A 、B 、C ，坐标分别是（1，3），（7，y ），（2，2），若︒=∠90ACB ，则y 值为（ ）A 、9B 、8C 、7D 、69、已知a =（3，4），b =（-1，2），且)()(b a b a -⊥+λ，则λ= 。
10、已知=（-1，2），=（3，m ），且⊥，则m = 。
11、已知向量p =（-2，3），则与p 垂直的单位向量的坐标为 。
12、ABC ∆中，A （1，2），B （2，3），C （-2，5），则ABC ∆为（ ）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、等腰直角三角形13、若)sin ,(cos αα=m ，)sin ,(cos ββ=n ，且kn m n km -=+3，0 k 。
高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示自主训练北师大版必修420170825355
2.6 平面向量数量积的坐标表示自主广场我夯基我达标1.已知向量a=（-4，7），向量b=（5，2），则a·b的值是（）A.34B.27C.-43D.-6思路解析：依数量积的坐标运算法则解答此题.a·b=-4×5+7×2=-6.答案：D2.已知向量a=（2，1），b=（3，x），若（2a-b）⊥b，则x的值是（）A.3B.-1C.-1或3D.-3或1 思路解析：欲求x的值，只需建立关于x的方程，由条件（2a-b）⊥b（2a-b）·b=0，即可得出x的方程.∵（2a-b）⊥b，∴（2a-b）·b=2a·b-b2=2×2×3+2×1×x-32-x2=0.整理，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3.答案：C3．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=35，则b等于（）A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)思路解析：由题意，b与a共线，再结合|b|=35，列出关于b的坐标的方程，即可解出.方法一：设b=λ(-1,2)，且λ＞0，有(-λ)2+(2λ)2=(35)2b=(-3，6).方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反.故可由方向相反排除B，C；由共线可知b=-3a.答案：A4．(2006 天津高考卷，文12)设向量a 与b 的夹角为θ，且a=(3,3),2b-a=(-1,1)，则cosθ=________________.思路解析：由题意，得b=12a+12(-1,1)=（1,2），则a·b=9，|a|=32，|b|=5，∴cosθ=|aa ||bb|31010.答案：310105.已知a=（1，2），b=（1，1），c=b-k a，若c⊥a，则c=_________________.思路解析：根据a和b的坐标、c的坐标，利用垂直建立关于k的方程，求出k后可得向量c. 答案：（2）1,556.已知a=（3，-1），b=（1，2），x·a=9与x·b=-4，向量x的坐标为_______________.思路解析：待定系数法，设出向量x的坐标，利用所给两个关系式得到关于坐标的方程组，再x求解.设x=（t，s），由xab943tst2s94ts2,3.答案：（2，-3）7.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2），1（1）若|c |=2 5 ，且 c ∥a ，求 c 的坐标；（2）若|b |= 5 2，且 a +2b 与 2a -b 垂直，求 a 与 b 的夹角 θ.思路分析：（1）欲求向量 c ，同前面的题目类似，可以设出向量 c 的坐标，然后建立 c 的坐 标方程，可得解法一.另外注意到 c ∥a ，故存在实数 λ ，使 c =λa ，则|c |=|λa |，即 |λ|=| | c a | |.故可求出 λ，也就能求出 c ，得解法二.（2）欲求 a 与 b 的夹角 θ，可根据 cosθ=ab | a || b|来求 cosθ，然后再求 θ.故只需求出 ab和|a ||b |即可.由题意易知|a ||b |，关键是求 a ·b .又有 a +2b 与 2a -b 垂直，故可以得到 （a +2b ）·（2a －b ）=0.进一步可求出 a ·b 的值. （1）解法一：设 c =（x ，y ）. ∵|c |=2 5 ，∴ x 2 y 2 =2 5 ，即 x2+y 2=20.①又 c ∥a ，∴2x －y=0. ②由①②可得x y2, x 或4y2, 4, 即向量 c 的坐标为（2，4）或（-2，-4）. 解法二：∵c ∥a ，故可设 c =λa ， 则|λ|=| c| | a |2 5 5=2. ∴λ=±2.即向量 c 的坐标为（2，4）或（-2，-4）. （2）解：∵a =（1，2），∴|a |= 5 .又|b |= 5 2，故|a ||b |= 5 2.又∵（a +2b ）⊥（2a -b ），∴（a +2b ）·（2a -b ）=0，即 2a 2+3a ·b -2b 2=0.5∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=45a b2∴cosθ= 1|a||b|5.2又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a与b的夹角为π.5.22我综合我发展8.已知a=（3，4），b=（4，3），求实数x、y的值使（x a+y b）⊥a，且|x a+y b|=1.思路分析：首先写出（x a+y b）的坐标，再根据它与向量a垂直和模为1列出方程组，从而解得x和y的值.解：由a=（3，4），b=（4，3），有x a+y b=（3x+4y，4x+3y）.∵（x a+y b）⊥a，∴（x a+y b）·a=0.∴3（3x+4y）+4（4x+3y）=0，即25x+24y=0.①又∵|x a+y b|=1,∴（3x+4y）2＋（4x+3y）2=1.整理得25x2＋48xy+25y2=1.②由①②联立方程组，解得xy243557,x和y24355.7,9.(2006全国高考卷Ⅱ，理17)已知向量a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)，-（1）若a⊥b，求θ；（2）求｜a＋b｜的最大值.2＜θ＜2.思路分析：利用定义直接求得θ.把点的坐标代入｜a＋b｜，先化简再求最值.解：（1）∵a⊥b，∴sinθ＋cosθ=0.∴tanθ=-1(-∴θ=.42＜θ＜2).（2）∵a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)，∴a+b=(sinθ+1，1+cosθ).∴｜a+b｜=(sin 1)2(1cos)2= 32(sin cos)322sin().4当sin(θ+即当θ=44时，|a＋b|的最大值为.21)=1时，|a＋b|取得最大值，10.平面上有两个向量e1=(1,0)，e2=(0,1)，今有动点P，从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|，另一动点Q，从点Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P，Q在t=0分别在P0,Q0处，则当PQ⊥P时，t=___________秒.0Q3思路解析：用t表示出PQ，列出方程即可求解.∵P0(-1,2),Q0(-2,-1),∴P0Q0=(-1,-3).又∵e1+e2=(1,1),∴|e1+e2|= 2.∵3e1+2e2=(3,2),∴|3e1+2e2|= 13.∴当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).∴PQ=(-1+2t,-3+t).∵P⊥PQ,0Q∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0.∴t=2.答案：211.(2006 湖北黄冈模拟，16) 平面直角坐标系内有点P(1,cosx) 、Q(cosx ，1),x∈［］.,44(1)求向量OP和向量OQ的夹角θ的余弦值；(2)令f(x)=cosθ，求f(x)的最小值.思路分析：（1）直接用夹角公式即可求得；（2）利用换元法，再利用函数的单调性求出最小值.解：(1)由题意，得OP=(1,cosx),OQ=(cosx,1).∴OP·OQ=2cosx，|OP|= 1cos2x，|OQ|= 1cos2x.∴cosθ=OP OQ2cos x|1cosxOP||OQ|1cos x2.2cos x∴向量OP和向量OQ的夹角θ的余弦值为12cos x2cos x（2）由(1)得f(x)= ,x∈［］,,1cos244x.设t=cosx,则222t≤t≤1.∴f(t)=1t2，22≤t≤1.可以证明当222t≤t≤1时，f(t)=1t2是增函数.∴f(x)的最小值是f(22)=21(2222)2223.4。
高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示例题与探究(含解析)北师大版必修4
2.6 平面向量数量积的坐标表示典题精讲例1湖北高考卷，理1)已知向量a =（3,1），b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b =3，则b 等于（ ）A.（23,21） B.（21, 23） C.（433,41） D.(1,0)思路解析：方法一（待定系数法）：设b =(x,y)(x≠y)，则依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,33,122y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.23,21y x方法二（代入验证法）：将四个选项逐一验证，仅有选项B 符合题意.答案：B绿色通道： 已知向量的坐标时，通常利用向量数量积的坐标表示来解决有关向量问题. 变式训练1已知|a |=132,b =(-2,3),且a ⊥b ，则a 的坐标为_______________. 思路解析：利用向量的长度公式和垂直的条件列出关于向量ab 的坐标的方程，然后求解.设a =(x,y)，则x 2+y 2=52.由a ⊥b 得-2x+3y=0.由以上两个条件得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.4,64,6y x y x 或 答案：(6，4)或(-6，-4) 变式训练2已知向量a 与b 同向，b =(1,2),a ·b =10. (1)求向量a 的坐标；(2)若c =(2,-1)，求(b ·c )a .思路分析：由向量a 与b 同向可得a =λb ，且λ＞0. 解：(1)∵向量a 与b 同向，b =（1，2），∴a =λb =（λ，2λ）.又∵a ·b =10， ∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0.符合向量a 与b 同向的条件, ∴a =（2，4）.(2)∵b ·c =1×2+2×(-1)=0, ∴(b ·c )a =0.例2(湖北高考卷，理19)如图2-6-2，在Rt△ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.图2-6-2思路分析：可以用分解向量法和建立直角坐标系法解决. 解法一（基向量法）： ∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC =0.∵AP =-AQ ,BP =AP -AB ,CQ =AQ -AC , ∴·CQ =(-)·(AQ -AC )=·-·-·+·=-a 2-·+· =-a 2+·(-)=-a 2+21·=-a 2+a 2cos θ. 故当cos θ=1即θ=0(与方向相同)时, ·最大,其最大值为0. 解法二（坐标法）：以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立如图2-6-3所示的平面直角坐标系. 设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c ,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P 的坐标为（x,y ）,则Q （-x,-y ）.图2-6-3∴=(x-c ,y), =(-x,-y-b ), =(-c ,b ), =(-2x,-2y). ∴·=(x-c )(-x)+y(-y-b )=-(x 2+y 2)+c x-b y.∵cos θ,||||2a bycx BC PQ -=∙ ∴cx -by=a 2cos θ.∴·=-a 2+a 2cos θ.故当cos θ=1,即θ=0,(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.绿色通道 解决向量问题的两种方法：①基向量法：选择不共线（最好垂直）的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；②坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.变式训练1如图2-6-4，正方形OABC 的边长为1，点D 、E 分别为AB 、BC 的中点，试求cos 〈OD ,OE 〉的值.思路分析：最优解法坐标法. 解法一（坐标法）：如图2-6-4所示.图2-6-4 以OA 和OC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系， 则有A=(1,0)，C=(0,1),B=(1,1)， ∴=（1，21），OE=（21，1）， 故cos∠542525121211||||=⨯⨯+⨯=OE OD .解法二(基向量法)：以OA 和OC 为基向量建立平面向量基底.设OA =a ,OB =b ，则有|a |=|b |=1，〈a ,b 〉=2π，a ·b =0. ∴=+=+21=+21=a +21b ，=+=+21=+21=21a +b .∴||=2541)21(222=+∙+=+b b a a b a ， ||2=2541)21(222=+∙+=+b b a a b a , ·=(a +21b )·(21a +b )=21a 2+45a ·b ＋21b 2=1.54||||=OE OD . 变式训练2已知a ,b 是两个非零向量，同时满足|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角.思路分析：可以由条件求出a ·(a +b )及|a +b |代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.解法一：根据|a |=|b |，有|a |2=|b |2，又由|b |=|a -b |，得|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2， ∴a ·b =21|a |2. 而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2, ∴|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则cos θ=23||3||||21||||||)(22=∙+=++∙a a a a b a a b a a ，∴θ=30°. 解法二：设向量a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，∵|a |=|b |，∴x 12+y 12=x 22+y 22. 由|b |=|a -b |，得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12)，即a ·b =21(x 12+y 12). 由|a +b |2=2(x 12+y 12)+2×21 (x 12+y 12)=3(x 12+y 12)得 |a +b |=3(x 12+y 12). 设a 与a +b 的夹角为θ，则cos θ=233)(21)(||||)(2121212121212121=+∙++++=++∙y x y x y x y x b a a b a a ， ∴θ=30°.解法三：在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，以，为邻边作平行四边形. ∵|a |=|b |，即|OA |=|OB |. ∴OACB 为菱形，OC 平分∠A OB ，这时=a +b ，=a -b .而|a |=|b |=|a -b |， 即|OA |=|OB |=|BA |. ∴△A OB 为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°， 即a 与a +b 的夹角为30°. 问题探究问题在直角坐标系中，将单位向量旋转90°到向量的位置，这两个向量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？导思：探究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关系. 探究：如图2-6-5所示，在单位圆中，设OA =(a 1,a 2)，OB =(x,y)，图2-6-5∵⊥，且||=||=1，∴有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,1,1,022222121y x a a y a x a整理得⎩⎨⎧=-=12,a y a x 或⎩⎨⎧-==,,12a y a x即当按逆时针方向旋转90°时，=(-a 2,a 1)，当按顺时针方向旋转90°时，=(a 2,-a 1).也就是把原向量的横、纵坐标交换，并在其中一个前添加负号.这一结论可以证明三角函数的诱导公式.例如：求证：cos(α+90°)=-sin α,sin(α+90°)=cos α. 证明：设α的终边与单位圆交于点A ， 则A(cos α,sin α)，所以=(cos α,sin α). ∴||=1，即是单位向量. 当OA 按逆时针方向旋转90°后到OB ，则点B(cos(α+90°),sin(α+90°))， 由结论可得B(-sin α,cos α).∴(cos(α+90°),sin(α+90°))=(-sin α,cos α). ∴cos(α+90°)=-sin α， sin(α+90°)=cos α.。
高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示学案 北师大版必修4
§6 平面向量数量积的坐标表示1．掌握数量积的坐标表达式．(重点)2．能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点) 3．了解直线的方向向量的概念．(难点)[基础·初探]教材整理 平面向量数量积的坐标表示 阅读教材P 98～P 99，完成下列问题． 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；(2)a 2＝x 21＋y 21，即|a |＝x 21＋y 21；(3)设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．直线的方向向量给定斜率为k 的直线l ，则向量m ＝(1，k )与直线l 共线，我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( ) (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.( )(3)两向量a 与b 的夹角公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22的使用范围是a ≠0且b ≠0.( )【解析】 (1)错误．如a ＝(－1，－1)，b ＝(2,2)，显然cos θ＝a ·b|a |·|b |＜0，但a与b 的夹角是180°，而并非钝角．(2)正确.AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，所以|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)正确．两向量a 与b 的夹角公式cos ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22有意义需x 21＋x 22≠0且y 21＋y 22≠0，即a ≠0，且b ≠0.此说法是正确的．【答案】 (1)× (2)√ (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型](1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ＋c )·b .【精彩点拨】 根据a 与b 共线设出a 的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a 的坐标，进而求(a ＋c )·b.【自主解答】 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ＞0)．又∵a·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)法一：a ＋c ＝(4,3)，∴(a ＋c )·b ＝4＋6＝10. 法二：(a ＋c )·b ＝a·b ＋c·b ＝10＋0＝10.进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算；(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[再练一题]1．已知向量a ＝(4，－2)，b ＝(6，－3)，求： (1)(2a －3b )·(a ＋2b )； (2)(a ＋b )2.【解】 法一：(1)∵2a －3b ＝(8，－4)－(18，－9)＝ (－10,5)，a ＋2b ＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)，∴(2a －3b )·(a ＋2b )＝－160－40＝－200. (2)∵a ＋b ＝(10，－5)，∴(a ＋b )2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125. 法二：由已知可得：a 2＝20，b 2＝45，a·b ＝30. (1)(2a －3b )·(a ＋2b ) ＝2a 2＋a·b －6b 2＝2×20＋30－6×45＝－200.(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝20＋60＋45＝125.已知a (1)求|a ＋2b |；(2)若(a ＋b )·c ＝52，求向量a 与c 的夹角．【精彩点拨】 (1)利用|a |＝x 21＋y 21求解． (2)利用cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解． 【自主解答】 (1)a ＋2b ＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)， ∴|a ＋2b |＝－2＋－2＝3 5.(2)∵b ＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a ，∴a ＋b ＝－a ，∴(a ＋b )·c ＝－a·c ＝52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a·c |a||c|＝－525×5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝23π，即a 与c 的夹角为23π.1．已知向量的坐标和向量的模(长度)时，可直接运用公式|a |＝x 2＋y 2进行计算． 2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为： (1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积； (2)再求出两向量的模； (3)由公式cos θ＝a·b|a||b|，计算cos θ的值；(4)在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ.[再练一题]2．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)a 与b 的夹角为直角； (2)a 与b 的夹角为钝角； (3)a 与b 的夹角为锐角．【解】 a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ. (1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角， 所以cos θ＜0，且cos θ≠－1， 所以a·b ＜0，且a 与b 不反向． 由a·b ＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 所以a·b ＞0且a ，b 不同向．由a·b ＞0，得λ＞－12，由a 与b 同向得λ＝2.所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． [探究共研型]探究1【提示】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，由向量长度的坐标表示可得|AB |＝|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.探究2 向量的模的坐标表达式是什么？ 【提示】 向量a ＝(x 1，y 1)的模是|a |＝x 21＋y 21. 探究3 求向量的坐标一般采用什么方法？ 【提示】 一般采用设坐标、列方程的方法求解．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 的坐标和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |.【精彩点拨】 (1)将已知向量的坐标代入运算即可．(2)利用a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求得c 的坐标表示，然后求模．【自主解答】 (1)a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，所以a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58.(2)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－6＋5＝－1，所以c ＝a ＋b ＝(1,6)，所以|c |＝12＋62＝37.求向量的模的两种基本策略1．字母表示F 的运算利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． 2．坐标表示F 的运算若a ＝(x ，y )，则a ·b ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2， 于是有|a |＝x 2＋y 2.[再练一题]3．(1)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |＝________. (2)已知|a |＝10，b ＝(1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标．【解析】 (1)因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，a ∥b ，所以1×m －2×(－2)＝0， 所以m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)， 所以|2a ＋3b |＝－2＋－2＝4 5.【答案】 4 5(2)设a 的坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧2x －y ＝0，x 2＋y 2＝10，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝45或⎩⎨⎧x ＝－25，y ＝－45，所以a ＝(25，45)或a ＝(－25，－45)．[构建·体系]1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 a ·b ＝(1,1)·(－1,2)＝1×(－1)＋1×2＝1. 【答案】 A2．已知a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么a ·b 的夹角θ＝( )【导学号：66470057】A ．120°B ．30°C ．150°D ．60°【解析】 因为a ·b ＝(－3，－1)·(1，3)＝－23， |a |＝－32＋－2＝2，|b |＝12＋32＝2.|a |·|b |2×22又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 【答案】 C3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，则(a ＋b )·(a －b )＝________. 【解析】 法一：a ＋b ＝(0,7)，a －b ＝(4，－1)， 所以(a ＋b )(a －b )＝0×4＋7×(－1)＝－7.法二：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝13－20＝－7. 【答案】 －74．已知a ＝(1，x )，b ＝(－3,1)，若a ⊥b ，则x ＝________. 【解析】 ∵a ⊥b ， ∴－3＋x ＝0， ∴x ＝3. 【答案】 35．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )·a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的射影．【解】 (1)∵c ＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)， ∴b·c ＝(2，－2)·(6,6) ＝2×6－2×6＝0， ∴(b·c )a ＝0·a ＝0.(2)∵a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2) ＝(1＋2λ，2－2λ)， ∵(a ＋λb )⊥a ，∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0， 得λ＝52.(3)法一：设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b|＝1×2＋－12＋22×22＋－2＝－1010. ∴向量a 在b 方向上的投影为⎝⎭102法二：∵a·b ＝(1,2)·(2，－2) ＝－2，|b |＝2 2.∴向量a 与b 方向上的投影为 |a |cos θ＝a·b |b|＝－222＝－22.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。
高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示自我小测 北师大版必修4
2.6 平面向量数量积的坐标表示自我小测1．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与a －3b 垂直，则k 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．212．若向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，则(a·b )(a ＋b )＝( )A ．20B ．54C ．(－10,30)D ．(－8,24)3．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝( )A ．4 2B ．2 5C ．8D ．8 24．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 5．如果向量a 与b 的夹角为θ，那么我们称a×b 为向量a 与b 的“向量积”，a×b 是一个向量，它的长度为|a×b|＝|a|·|b|sin θ.如果|a |＝5，|b |＝1，a·b ＝－3，则|a×b |＝( )A ．3B ．－4C ．4D ．56．已知向量a 是直线x ＋2y －3＝0的方向向量，且|a |＝25，则a ＝__________.7．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝__________.8．设a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，则t 的值为__________．9．在四边形ABCD 中，AB u u u r ＝a ，BC uuu r ＝b ，CD uuu r ＝c ，DA u u u r ＝d ，且a·b ＝b·c ＝c·d＝d·a ，试问四边形ABCD 是什么图形？10．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .(1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 的坐标和向量AD u u u r .参考答案1．解析：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．因为k a ＋b 与a －3b 垂直，故(k a ＋b )·(a －3b )＝0，即10(k －3)＋(－4)(2k ＋2)＝0，解得k ＝19.答案：B2．解析：∵a·b ＝－3＋8＝5，a ＋b ＝(－2,6)，∴(a·b )(a ＋b )＝(－10,30)．答案：C3．解析：∵c ＝a －(a ·b )b ＝a －6b ＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.答案：D4．解析：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)．∵(c ＋a )∥b ，∴－3(1＋m )＝2(2＋n )．①又∵c ⊥(a ＋b )，∴3m －n ＝0.②由①②解得m ＝－79，n ＝－73. 答案：D5．解析：由于|a |＝5，|b |＝1，a·b ＝|a||b |cos θ＝－3，所以cos θ＝－35.又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ＝45，所以|a×b|＝|a||b |sin θ＝5×1×45＝4. 答案：C6．解析：设a ＝λ⎝⎛⎭⎪⎫1，－12(λ≠0)．由|a |＝25，得λ2＋14λ2＝20，解得λ＝±4，所以a ＝(4，－2)或(－4,2)．答案：(4，－2)或(－4,2)7．解析：设a ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)． 由题意得22(2)(1)1,10,x y y ⎧⎨⎩++-=-=⇒=1,=13y x ⎧⎨--⎩,或 ∴a ＝(－1,1)或(－3,1)．答案：(－1,1)或(－3,1)8．解析：∵a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，∴a ＋t b ＝(4＋2t ，－3＋t )．∵a ＋t b 与b 的夹角为45°，∴(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos 45°，∴2(4＋2t )＋(－3＋t )×1＝(4＋2t )2＋(－3＋t )2×22＋12×22， ∴5t ＋5＝522·t 2＋2t ＋5.∴t 2＋2t ＋5＝2(t ＋1)．① 将①式两边平方得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3.而t ＝－3时，①式无意义，∴t ＝－3舍去，故t ＝1.答案：19．解：因为a ＋b ＋c ＋d ＝0，所以a ＋b ＝－(c ＋d )．所以(a ＋b )2＝(c ＋d )2.即|a|2＋2a·b ＋|b|2＝|c|2＋2c·d ＋|d|2.由于a·b ＝c·d ，所以|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①同理，有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2.②由①②可得|a|＝|c |，且|b|＝|d|，即四边形ABCD 的两组对边分别相等．所以四边形ABCD 是平行四边形．又由a·b ＝b·c 得b·(a －c )＝0.而由平行四边形ABCD 的性质得a ＝－c ，代入上式得b·(2a )＝0，即a·b ＝0.所以a ⊥b .亦即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形． 10．(1)证明：AB u u u r ＝(－3，－6)，AC u u u r ＝(2，－1)．∵AB AC ⋅u u u r u u u r ＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB AC ⊥u u u r u u u r .∴AB ⊥AC .(2)解：设点D 的坐标为(x ，y )，则AD u u u r ＝(x －2，y －4)，BC uuu r ＝(5,5)．∵AD 为BC 边上的高，∴AD ⊥BC .∴AD BC ⊥u u u r u u u r .∴AD BC ⋅u u u r u u u r ＝5(x －2)＋5(y －4)＝0.①又∵BD u u u r ＝(x ＋1，y ＋2)，且BD u u u r 与BC uuu r 共线，∴5(x ＋1)＝5(y ＋2)．②由①②，解得7=,25=.2x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩.∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，52. ∴AD u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72－2，52－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32.。
2018_2019学年高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示学案北师大版必修4
§6 平面向量数量积的坐标表示内容要求 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点).2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系(难点)．知识点1 平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示(1)数量积的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模、夹角、垂直的坐标表示：【预习评价】1．已知向量a ＝(－4,7)，向量b ＝(5,2)，则a ·b 的值是( )A ．34B ．27C ．－43D ．－6解析 a ·b ＝(－4,7)·(5,2)＝－4×5＋7×2＝－6.答案 D2．设向量＝(1,0)，＝(1,1)，则向量，的夹角为( )OA → OB → OA → OB →A. B. π6π4C. D.π3π2解析 cos θ＝＝＝，OA → ·OB → |OA → |||1×1＋0×11·12＋1212∵θ∈[0，]，∴θ＝.π2π3答案 C知识点2 直线的方向向量(1)定义：与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量．(2)性质：给定斜率为k 的直线l 的一个方向向量为m ＝(1，k )．【预习评价】1．直线2x －3y ＋1＝0的一个方向向量是( )A ．(2，－3)B ．(2,3)C ．(－3,2)D ．(3,2)答案 D2．过点A (－2,1)且与向量a ＝(3,1)平行的直线方程为________．答案 x －3y ＋5＝0题型一 平面向量数量积的坐标运算【例1】 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求：(1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ)．∵a ·b ＝10，∴λ·cos 0°＝10，55解得λ＝2.∴a ＝(2,4)．(2)(a ·c )·b ＝[(2×2＋4×(－1)]·b ＝0·b ＝0.规律方法 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．【训练1】 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)．求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(2a －b )；(3)(a ·b )·c ，a ·(b ·c )．解 (1)a ·b ＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a ＋b ＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a －b ＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a ＋b )·(2a －b )＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a ·b )·c ＝17c ＝17(2,1)＝(34,17)，a ·(b ·c )＝a ·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．题型二 平面向量的夹角问题【例2】 已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐OP → OA → OB →标原点)．(1)求使·取得最小值时的；CA → CB → OC →(2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB .解 (1)∵点C 是直线OP 上的一点，∴向量与共线，OC → OP →设＝t (t ∈R )，OC → OP →则＝t (2,1)＝(2t ，t )，OC →∴＝－＝(1－2t,7－t )，CA → OA → OC →＝－＝(5－2t,1－t )，CB → OB → OC →∴·＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )CA → CB →＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.∴当t ＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．CA → CB → OC →(2)由(1)知＝(4,2)，OC →∴＝(－3,5)，＝(1，－1)，CA → CB →∴||＝，||＝，·＝－3－5＝－8.CA → 34CB → 2CA → CB →∴cos ∠ACB ＝＝－.CA →·CB →|CA → | |CB →|41717规律方法 利用数量积求两向量夹角的步骤【训练2】 已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．(1)试计算a ·b 及|a ＋b |的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．解 (1)a ＝e 1－e 2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b ＝4e 1＋3e 2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，∴a ·b ＝4×1＋3×(－1)＝1，|a ＋b |＝＝＝. 4＋1 2＋ 3－1 225＋429(2)由a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝＝＝.a ·b |a ||b |12×5210【例3】 设平面向量a ＝(1,1)，b ＝(0,2)．求a －2b 的坐标和模的大小．解 ∵a ＝(1,1)，b ＝(0,2)，∴a －2b ＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)，∴|a －2b |＝＝.12＋ －3 210【迁移1】 若c ＝3a －(a ·b )b ，求|c |.解 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝2，∴c ＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)，∴|c |＝＝.32＋ －1 210【迁移2】 若k a －b 与a ＋b 共线，求k 的值．解 ∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)．a ＋b ＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．∵k a －b 与a ＋b 共线，∴k ＋2－(－k )＝0.∴k ＝－1.【迁移3】 若k a －b 的模等于.求k 的值．10解 ∵k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)∵k a －b 的模等于.10∴＝，k 2＋ k ＋2 210化简得k 2＋2k －3＝0，解得k ＝1或k ＝－3.即当k ＝1或k ＝－3时满足条件．规律方法 1.已知向量a ＝(x ，y )求其模，主要利用公式|a |＝求解．x 2＋y 22．形如(m a ＋n b )·(k a ＋e b )(m ，n ，k ，e ∈R )的坐标运算，有两条途径：其一，展开转化为a 2，a ·b ，b 2的坐标运算；其二，先求m a ＋n b 与k a ＋e b 的坐标，再运算.课堂达标1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角θ为( )A. B. π6π4C.D.π3π2解析 ∵|a |＝，|b |＝，a ·b ＝5.105∴cos θ＝＝＝.a ·b |a ||b |510×522又∵θ∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为.π4答案 B2．已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________．解析 由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.答案 23．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影是________．解析 a ·b ＝13，|b |＝，65|a |cos θ＝＝＝.a ·b |b |1365136565答案 6554．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －6b ，∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2＝20－12×6＋36×5＝128.∴|c |＝8.2答案 825．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝＝5，|b |＝＝，42＋32 －1 2＋225∴cos θ＝＝＝.a ·b |a ||b |2552525(2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝.529课堂小结1．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.应用该条件要注意：由a ⊥b 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0；反过来，由x 1x 2＋y 1y 2＝0可得a ⊥b .2．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.基础过关1．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解析 a·b ＝－5×6＋6×5＝0，∴a ⊥b .答案 A2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－B.1717C ．－ D.1616解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－.17答案 A3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A.B ．233C ．4D ．12解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝＝2.a 2＋4a ·b ＋4b 23答案 B4．已知a ＝(3，)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.3解析 a －2b ＝(1，)，3(a －2b )·b ＝1×1＋×0＝1.3答案 15．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝4，则b ＝________.5解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．答案 (－4,8)6．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即1×(2x ＋3)＋x ×(－x )＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)∵a ∥b ，∴1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.又|a －b |＝ a －b 2＝，|a |2－2a ·b ＋|b |2∴|a －b |＝2或2.57．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a ·b ＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－.12(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ＜0且cos θ≠－1，所以a ·b ＜0，且a 与b 不反向．由a ·b ＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－，12由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为.(－∞，－12)(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ＞0，且cos θ≠1，所以a ·b ＞0且a ，b 不同向．由a ·b ＞0，得λ＞－，由a 与b 同向得λ＝2.12所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．(－12，2)能力提升8.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，点E 为AB 的中点，若⊥，则||＝DE → AC → DE →( )A.B ．2523C ．3D ．22解析 以A 为坐标原点，建立坐标系．则A (0,0)，E (2,0)，C (4，x )，D (0，x )(x ＞0)．∴＝(2，－x )，＝(4，x )．DE → AC →∵⊥，DE → AC →∴2×4＋(－x )·x ＝0，x ＝2.2∴＝(2，－2)，||＝＝2.DE → 2DE →22＋ －22 23答案 B9．已知＝(－3,1)，＝(0,5)，且∥，⊥，则点C 的坐标是( )OA → OB → AC → OB → BC → AB →A. B.(－3，－294)(－3，294)C. D.(3，294)(3，－294)解析 设C 的坐标为(x ，y )，则＝(x ＋3，y －1)，＝(3,4)，＝(x ，y －5)．AC → AB → BC →由∥，⊥，得AC → OB → BC → AB → Error!解得x ＝－3，y ＝.294答案 B10．已知点A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量在向量上的投影为________．AB → CD →解析 由题意知＝(2,2)，＝(－1,3)，设和的夹角为α，则向量在向量上的AB → CD → AB → CD → AB → CD →投影为||cos α＝＝＝.AB →AB → ·CD →|CD → |－2＋6102105答案 210511．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是____________________．解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝<0，a ·b|a ||b |即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <.85∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－，52当x ＝－时，a ＝(2，－)＝－b ，525212∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <且x ≠－.8552答案 x <且x ≠－855212．在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．AB → AC →解 ∵＝(2,3)，＝(1，k )，AB → AC →∴＝－＝(－1，k －3)．BC → AC → AB →若∠A ＝90°，则·＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－；AB → AC →23若∠B ＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，AB → BC →∴k ＝；113若∠C ＝90°，则·＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，AC → BC →∴k ＝.3±132故所求k 的值为－或或.231133±13213．(选做题)设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝|a －k b |(k ＞0)．3(1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 夹角为60°，求k 的值．解 (1)因为|k a ＋b |＝|a －k b |，3所以(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，因为|a |＝|b |＝1.所以k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )，所以a ·b ＝.因为k 2＋1≠0，所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．k 2＋14k(2)因为a 与b 夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝.12所以＝.所以k ＝1.k 2＋14k 12。
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2.6 平面向量数量积的坐标表示
自主广场
我夯基 我达标
1.已知向量a =（-4，7），向量b =（5，2），则a ²b 的值是（ ）
A.34
B.27
C.-43
D.-6 思路解析：依数量积的坐标运算法则解答此题.a ²b =-4³5+7³2=-6.
答案：D
2.已知向量a =（2，1），b =（3，x ），若（2a -b ）⊥b ，则x 的值是（ ）
A.3
B.-1
C.-1或3
D.-3或1
思路解析：欲求x 的值，只需建立关于x 的方程，由条件（2a -b ）⊥b ⇔（2a -b ）²b =0，
即可得出x 的方程.∵（2a -b ）⊥b ，∴（2a -b ）²b =2a ²b -b 2=2³2³3+2³1³x -32-x 2=0.
整理，得x 2-2x-3=0，解得x=-1或3.
答案：C
3．若向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180°，且|b |=53，则b 等于（ ）
A.(-3,6)
B.(3,-6)
C.(6,-3)
D.(-6,3) 思路解析：由题意，b 与a 共线，再结合|b |=53，列出关于b 的坐标的方程，即可解出. 方法一：设b =λ(-1,2)，且λ＞0，有(-λ)2+(2λ)2=(53)2
⇒b =(-3，6). 方法二：由题意可知，向量a 、b 共线且方向相反.故可由方向相反排除B ，C ；由共线可知b =-3a .
答案：A
4．(2006天津高考卷，文12)设向量a 与b 的夹角为θ，且a =(3,3),2b -a =(-1,1)，则cos θ=________________.
思路解析：由题意，得b =21a +2
1(-1,1)=（1,2），则a ²b =9，|a |=23，|b |=5， ∴cos θ=10
103||||=∙b a b a . 答案：10
103 5.已知a =（1，2），b =（1，1），c =b -k a ，若c ⊥a ，则c =_________________.
思路解析：根据a 和b 的坐标、c 的坐标，利用垂直建立关于k 的方程，求出k 后可得向量c .
答案：（5
1,52-） 6.已知a =（3，-1），b =（1，2），x²a =9与x²b =-4，向量x 的坐标为_______________. 思路解析：待定系数法，设出向量x 的坐标，利用所给两个关系式得到关于坐标的方程组，再求解.设x=（t ，s ），由⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=-⇒⎩⎨⎧-=∙=∙.
3,2429349s t s t s t b x a x
答案：（2，-3）
7.已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2），
（1）若|c |=52，且c ∥a ，求c 的坐标；
（2）若|b |=2
5，且a +2b 与2a -b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 思路分析：（1）欲求向量c ，同前面的题目类似，可以设出向量c 的坐标，然后建立c 的坐标方程，可得解法一.另外注意到c ∥a ，故存在实数λ，使c =λa ，则|c |=|λa |，即|λ|=||||a c .故可求出λ，也就能求出c ，得解法二.
（2）欲求a 与b 的夹角θ，可根据cos θ=|
|||b a b a ∙来求cos θ，然后再求θ.故只需求出ab 和|a ||b |即可.由题意易知|a ||b |，关键是求a ²b .又有a +2b 与2a -b 垂直，故可以得到（a +2b ）²（2a －b ）=0.进一步可求出a ²b 的值.
（1）解法一：设c =（x ，y ）.
∵|c |=52，∴22y x +=52，即x 2+y 2=20. ①
又c ∥a ，∴2x－y=0. ② 由①②可得⎩⎨⎧==4,2y x 或⎩⎨⎧-=-=,
4,2y x
即向量c 的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
解法二：∵c ∥a ，故可设c =λa ，
则|λ|=5
52||||=a c =2. ∴λ=±2.
即向量c 的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
（2）解：∵a =（1，2），∴|a |=5.
又|b |=2
5，故|a ||b |=25. 又∵（a +2b ）⊥（2a -b ），
∴（a +2b ）²（2a -b ）=0，即2a 2+3a ²b -2b 2=0.
∴2³5+3a ²b -2³
45=0，a ²b =2
5-. ∴cos θ=12525|
|||-=-=∙b a b a .
又θ∈［0，π］，
∴θ=π，
即a 与b 的夹角为π.
我综合 我发展
8.已知a =（3，4），b =（4，3），求实数x 、y 的值使（x a +y b ）⊥a ，且|x a +y b |=1.
思路分析：首先写出（x a +y b ）的坐标，再根据它与向量a 垂直和模为1列出方程组，从而解得x 和y 的值.
解：由a =（3，4），b =（4，3），有x a +y b =（3x+4y ，4x+3y ）.
∵（x a +y b ）⊥a ，
∴（x a +y b ）²a =0.
∴3（3x+4y ）+4（4x+3y ）=0，
即25x+24y=0.①
又∵|x a +y b |=1,
∴（3x+4y ）2＋（4x+3y ）2=1.
整理得25x 2＋48xy+25y 2=1.② 由①②联立方程组，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==75,3524y x 和⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=.75,3524y x 9.(2006全国高考卷Ⅱ，理17)已知向量a =(sin θ，1)，b =(1，cos θ)，-2π＜θ＜2
π. （1）若a ⊥b ，求θ；
（2）求｜a ＋b ｜的最大值.
思路分析：利用定义直接求得θ.把点的坐标代入｜a ＋b ｜，先化简再求最值. 解：（1）∵a ⊥b ，
∴sin θ＋cos θ=0.
∴tan θ=-1(-
2π＜θ＜2π). ∴θ=4π
-.
（2）∵a =(sin θ，1)，b =(1，cos θ)，
∴a +b =(sin θ+1，1+cos θ).
∴｜a +b ｜=22)cos 1()1(sin θθ+++ =)4sin(223)cos (sin 23πθθθ++=
++. 当sin(θ+
4π)=1时，|a ＋b |取得最大值， 即当θ=4
π时，|a ＋b |的最大值为12+. 10.平面上有两个向量e 1=(1,0)，e 2=(0,1)，今有动点P ，从P 0(-1,2)开始沿着与向量e 1+e 2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e 1+e 2|，另一动点Q ，从点Q 0(-2,-1)出发，沿着
与向量3e 1+2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e 1+2e 2|.设P ，Q 在t=0分别在P 0,Q 0处，则当PQ ⊥00Q P 时，t=___________秒.
思路解析：用t 表示出，列出方程即可求解.
∵P 0(-1,2),Q 0(-2,-1),∴00Q P =(-1,-3).
又∵e 1+e 2=(1,1),∴|e 1+e 2|=2.∵3e 1+2e 2=(3,2),∴|3e 1+2e 2|=13.
∴当t 时刻时,点P 的位置为(-1+t,2+t),点Q 的位置为(-2+3t,-1+2t). ∴=(-1+2t,-3+t).∵00Q P ⊥,
∴(-1)³(-1+2t)+(-3)³(-3+t)=0.∴t=2.
答案：2
11.(2006湖北黄冈模拟，16)平面直角坐标系内有点P(1,cosx)、Q(cosx ， 1),x∈［4π-,4π
］.
(1)求向量OP 和向量的夹角θ的余弦值；
(2)令f(x)=cos θ，求f(x)的最小值.
思路分析：（1）直接用夹角公式即可求得；（2）利用换元法，再利用函数的单调性求出最小值.
解：(1)由题意，得OP =(1,cosx),=(cosx,1). ∴²OQ =2cosx ，||=x 2cos 1+，|OQ |=x 2cos 1+.
∴cos θx
x OQ OP 2cos 1cos 2|||+=. ∴向量和向量OQ 的夹角θ的余弦值为
x x 2cos 1cos 2+. （2）由(1)得f(x)=x
x 2cos 1cos 2+,x∈［4π-,4π］, 设t=cosx,则22≤t≤1.∴f(t)=212t t +，2
2≤t≤1. 可以证明当2
2≤t≤1时，f(t)=212t t +是增函数. ∴f(x)的最小值是f(22)=322)22(122
22
=+⨯
.。