阻尼振动受迫振动共振汇总
556阻尼振动受迫振动和共振
2 0
k m
C 2m
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
固有角 频率
3、讨论
x(t)
•情况1：欠阻尼 2 02
t
x(t) Aet co s(t )
02 2
欠阻尼
阻力使周期增大 这种情况称为欠阻尼
由初始条件决定A和初相位 0 ,设
t 0, x (0) x0 , v t0 v0
即有： x0 Acos v0 A sin A cos
d2x dt 2
2
dx dt
02x
f
c o s pt
当 2 02 时，其解为：
x(t) A0et cos( 02 2t ) Acos(pt )
经过足够长的时间，称为定态解：
x(t ) Acos( pt )
该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；
稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：
点看在共振时，这能量转变为共振质点的能量，也叫共 振吸收。
3、共振的危害及其应用 •危害
•应用
•钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果； •收音机利用电磁共振进行选台；
•核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和 医疗诊断等。
•防止
•改变系统的固有频率或外力的频率； •破坏外力的周期性； •增大系统的阻尼； •对精密仪器使用减振台。
A
x02
(v0
2
x0 )2
tg0
v0 x0 x0
情况2：过阻尼
2 02
x(t) C1e(
C e 2 02 )t
(
2
2 02 )t
x(t)
积分常数由初始条件来
决定，这种情况称为过 阻尼。
物理-阻尼振动 受迫振动和共振
大学物理阻尼、受迫、共振、机械波
§3-5 频谱分析（不讲）§3-6阻尼振动 受迫振动 共振（了解）一、阻尼振动简谐振动是一种理想情况，实际上阻尼是不可消除的。
机械能将会损耗，其振幅不断衰减。
这种振幅随时间不断衰减的振动叫阻尼振动。
设阻力与物体的速度成正比r dxf v dt γγ=-=-dxF kx dtγ=--合22d x d xk x m d t d tγ--= 220d x d x kx d t m d t mγ++= 令2mγβ=，20k mω= （β——阻尼系数） 220220d x dx x dt dtβω++= 特征方程为22020λβλω++=1,2λβ=-弱阻尼即 0βω 时1,2i λββω=-±=-± ()00cos t x A e t βωϕ-=+其中ω=Ox特征：振幅随时间指数衰减，圆频率比固有圆频率小，周期比固有周期长。
二、受迫振动对弱阻尼的系统施加持续的周期性外力作用 （称为策动力）⇒ 受迫振动 0c o s F F p t = 0c o s dxF kx F pt dtγ=--+合 202c o s d x d xk x F p t m d t d tγ--+= 202c o s F d x d x k x p t d t m d t m mγ++=令2mγβ=，20k m ω=， 00F f m= 220022cos d x dx x f pt dt dtβω++= 该非齐次方程的解为()()00cos cos t x A e t A pt βωϕϕ-=+++ 衰减项 稳定相经过足够长的时间后，稳定解为 ()c o s x A p t ϕ=+稳定受迫振动得频率等于策动力的频率。
2A =受迫振动的振幅与系统的初始条件无关！三、共振2A =当阻尼和策动力幅值不变时，受迫振动的振幅是策动力圆频率 p 的函数，它有一个极大值 —— 共振 由0dAdp= 可得r p =A第4章机械波波动：振动在空间的传播过程叫做波动。
机械振动中的阻尼振动与受迫振动
机械振动中的阻尼振动与受迫振动在机械系统中，振动是一种普遍存在的现象，它包含着阻尼振动和受迫振动两种类型。
阻尼振动是指系统在一定的阻尼作用下运动的周期性减弱振动，而受迫振动是指系统受到外部力的作用而发生周期性振动。
本文将探讨机械振动中的阻尼振动和受迫振动的特点及其应用。
一、阻尼振动阻尼振动是指振动系统在受到阻力的作用下产生的振动。
阻尼力可以分为粘性阻尼、干摩擦阻尼和液体摩擦阻尼等不同形式。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率也逐渐减小。
阻尼振动的主要原因是能量的损失。
当机械系统受到阻尼力的作用时，振动系统的机械能会逐渐转化为热能而损失。
这导致振动幅度逐渐减小，最终停止振动。
例如，摆钟在受到空气阻力的影响下，其摆动幅度会逐渐减小，最终停止。
阻尼振动的应用广泛。
在机械工程中，阻尼振动常常被用于减震和能量吸收的装置设计。
例如，在车辆的悬挂系统中使用减震器，可以有效地缓解车辆行驶中的颠簸感。
同时，阻尼振动还常用于物体的减振和抗震设计，例如建筑物中的隔震装置。
二、受迫振动受迫振动是指振动系统在外部力的作用下产生的振动。
外力可以是周期性的，也可以是非周期性的。
受迫振动的特点是振幅和频率与外力的频率相关。
外力对振动系统的影响可以分为共振和强迫两种情况。
共振是指外力的频率接近或等于振动系统的固有频率时，振动幅度会显著增大。
强迫是指外力的频率与振动系统的固有频率有一定的差别，但仍然能引起系统振动。
受迫振动在实际生活中有许多应用。
例如，在音乐中，乐器的共振现象使得乐器能够产生特定的音调。
另外，受迫振动还在工程领域中有着广泛的应用，如振动筛、振动输送机等。
它们利用外力作用产生振动，以完成特定的分选和输送任务。
三、阻尼振动与受迫振动的关系阻尼振动与受迫振动是机械振动中两种常见的振动类型，它们在某些情况下可以相互转化。
当受迫振动系统存在阻尼时，会产生阻尼振动。
此时，外力的频率与振动系统的固有频率相同或接近时，阻尼振动的幅度会受到外力的影响，产生共振效应。
5-5阻尼振动 受迫振动 共振
两项都衰减，都不是周 期振动（如单摆放在粘 滞的油筒中摆到平衡位 置须很长时间）。
不能往复运动。
o
7
t
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
3.临界阻尼振动
0
2 ( 2 0 )t
由通解
x c1e
c2e
2 ( 2 0 )t
2 02 0
乐器、收音机…… 共振现象的危害:马达底座共振……
16
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
小号发出的声波足以使酒杯破碎
17
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
共振现象的危害
1940 年华盛顿的塔科 曼悬索大桥建成
同年7月的一场大风引 起桥的共振使桥摧毁
本节 18 结束
通解 三
x c1e
2 ( 2 0 )t
c2e
2 ( 2 0 )t
三种阻尼振动
1.欠阻尼振动—阻尼很小
0
2 0 2
2
2 0
为虚数，令
通解
xe
t
(c1e
it
c2e
it
)
3
i 1
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
5-5* 阻尼振动 受迫振动 共振
第五章 机械振动
一 阻尼振动
简谐振动是无阻尼的自由振动，无能量损失，振 幅不变。
阻尼：消耗振动系统能量的原因。
在流体中运动的物体受到的阻力称为粘滞力。 当物体低速运动时，阻力
f r v
：阻力系数
弹簧、单摆振动过程，受到的空气阻力与速度成正 比且反向。 当物体高速运动时，阻力
大学物理阻尼振动受迫振动共振概论
2） 物 体 振 动 具有准周期性(来回振动一次所需时
间却是一定的。准周期：
T 2 2
2 0
2
x o
Ae t t
欠阻尼振动
过阻尼：
即
2
2 0
02 2
是一个虚数，没有物理意义。这表明物体不能完成一 个周期运动，将缓慢回到平衡位置
特点：物体不再作来回振动，而是逐渐靠近并停止 在平衡位置。
临界阻尼：
即
2
2 0
特点：对应振子刚好从准周期振动转变为非周期 运动的临界状态。物体从运动到静止在平衡位置 所经历的时间最短
x
a： <0
b
b： >0 c： =0
c
O
t
a
阻尼振动
2．受迫振动（Forced Oscillation)
2.1 受迫振动 振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。
dx dt
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
(
2m
,
0
k) m
( 为阻尼系
数, 0为固有 频率.)
为二阶常系数齐次微分方程。
欠阻尼： 即 0 x A0et cos(t 0 )
特点：
其中
2 0
2
。
1）物 体 在 平 衡 位 置 附 近 来 回 振 动 ，振 幅 不 断 衰 减 ：
A(t) A0et
4－5 阻尼振动 受迫振动 共振
1．阻尼振动(Damped Oscillation)
1.1 阻尼振动：物体在振荡过程中因受阻力的作用 而使能量不断损失，振幅不断减小的振动。
1.2 阻尼振动的定量分析F F弹 FrFra bibliotekFrv
阻尼振动 受迫振动 共振
阻尼振动
受迫振动
共振
一、无阻尼振动（等幅振动） 所有的简谐振动都是无阻尼振动.
二、阻尼振动（减幅振动）
dx 阻力: f dt
dx F合 F弹力 f kx dt
d x dx m 2 kx dt dt
上页 下页
2
d 2 x dx k x0 2 dt m dt m
阻尼振动中欠阻尼情况下的解
A
h 2 2 2 4 2 2 0
1 2
2 arctan 2 2 0
上页 下页
四、共振 1、共振：受迫振动的振幅达到最大值的现象叫共振.
2 2 2、条件： r 0 2
弱阻尼情况下:
0
k 令 m
2 0
2
2
m
——阻尼振动的微分方程
d x dx 2 2 0 x 0 2 dt dt
1、 0
阻尼作用较小——欠阻尼
t
x A0e
cos( t )
上页 下页
x
A
O
t
A
上页
下页
2、 0
阻尼作用较大——过阻尼
2 ( 2 0 )t
x C1e
3、 0
C2 eBiblioteka 2 ( 2 0 )t
——临界阻尼
t
x C1 C2t e
x
x
o
t
o
上页
t
下页
x
A
O
t
A
上页
下页
三、受迫振动 驱动力:
2
F驱动力 F0 cos t
阻尼振动和受迫振动的动力学
阻尼振动和受迫振动的动力学振动是物体在围绕平衡位置上下运动的一种现象。
当物体受到外力的作用时，它可能出现阻尼振动或受迫振动。
本文将分别讨论这两种振动的动力学特征。
1. 阻尼振动阻尼振动指的是物体在受到阻尼力的影响下进行振动。
阻尼力是由于摩擦或阻力而产生的一种力。
一般而言，阻尼力与物体的运动速度成正比。
在阻尼振动中，振幅会逐渐减小，直到最终趋于零。
这是因为阻尼力的作用导致了振动能量的损失。
阻尼振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0其中，m为物体的质量，x为物体的位移，t为时间，c为阻尼系数，k为弹簧的劲度系数。
这是一个二阶常微分方程，可以通过求解得出振动的解析解。
2. 受迫振动受迫振动是指物体在受到外力周期性作用下进行振动。
外力的周期性作用可能是恒定的或变化的。
受迫振动的一个典型例子是在谐振子中。
谐振子是一个具有弹簧和质量的系统，当受到周期性驱动力时，谐振子会在特定的驱动频率下展现出共振现象。
共振是指外力频率与谐振子固有频率相同或接近时的现象。
受迫振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/d t + k * x = F0 * sin(ω * t)其中，F0为驱动力的振幅，ω为驱动力的角频率。
通过求解这个方程，可以得到受迫振动的解，包括相位和幅频特征。
3. 动力学特征比较阻尼振动和受迫振动在动力学特征上有一些区别。
首先，阻尼振动的振幅会随时间逐渐减小，直到最终停止。
而受迫振动在存在共振现象时，振幅可能会增大甚至无限增大。
其次，阻尼振动的频率与振幅无关，而受迫振动的频率会对振幅产生明显的影响。
当驱动力的频率接近谐振子的固有频率时，振幅会显著增加。
最后，阻尼振动和受迫振动在相位上也略有不同。
在阻尼振动中，振动的相位随着时间的推移而发生改变。
而在受迫振动中，振动的相位与驱动力的相位存在一定的差距。
综上所述，阻尼振动和受迫振动都是振动的一种形式，但它们在动力学特征上有一些差别。
阻尼振动、受迫振动和共振
2 临界阻尼”情况。 3. 当（β 2 = ω0 ）时，为“临界阻尼”情况。是 质点不做往复运动的一个极限。 质点不做往复运动的一个极限。
−β t
cos ω − β t +ϕ
2 0 2
(
)
2 β 2 < ω2 阻尼较小时（ ），振动为减幅振动 振动为减幅振动， 1. 阻尼较小时（β 2 < ω0 ），振动为减幅振动，振幅
Ae−β tt 随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大， Ae−β 随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大， 减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。 减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。
7-6 阻尼振动、受迫振动和共振
一. 阻尼振动
阻尼振动： 阻尼振动：振动系统在恢复力和阻力作用 下发生的减幅振动。 下发生的减幅振动。
dx F = −γ v = −γ γ dt
γ ：阻尼系数
v F γ
O x
v v F = −kx
x
dx 动力学方程 m 2 = −kx − γ dt dt k γ 2 令 ω0 = ,2β = m m 2 dx dx 2 + 2β + ω0 x = 0 dt 2 dt
v 速度幅： 速度幅： max = ω A =
(ω
ω f0
−ω
2 2
2 0
)
+ 4β 2ω2
ω = ω0 时，速度幅极大
π 在速度共振条件下稳态振动的初相位为 ϕ = − 2
v = ωAcosω t
阻尼振动 受迫振动汇总
向睿
一、阻尼振动
如图1-4-1所示，在鼓皮上放几 颗米粒，猛敲一下鼓，观察米粒在 鼓皮上的运动.
猛敲一下鼓皮，开始时鼓声很大，随后迅速变弱.在鼓 皮上放一些米粒，开始时它跳动的幅度很大，随着鼓声变弱 ，米粒跳动的幅度变小.由此可知，鼓皮振动的振幅变小了. 这是振动的鼓皮受到阻力的缘故.弹簧振子和单摆在振动过 程中振幅总会不断减小，这是因为它们不可避免地要受到摩 擦力等阻力的作用.
系统在振动过程中受到阻力的作用，振动逐渐消逝 ，振动能量逐渐转变为其他能量，这种振动叫做阻尼振 动.
系统不受外力作用，也不受任何阻力，只在自身回 复力作用下的振动，称为自由振动，又叫做无阻尼振动.
自由振动的频率，叫做系统的固有频率.固有频率由 系统本身的特征决定.
图1-4-2 图1-4-2(a)(b)分别是自由振动和阻尼振动的振动图像.
T驱＝T固或f驱 ＝f固
振动物体获 得的能量最
大 共振筛、声
四、共振的应用和防止
美国有一农场农妇，习惯于用吹笛的方式招 呼丈夫回家吃饭，可当她有一次吹笛时，居然发 现树上的毛毛虫纷纷坠地而死，惊讶之余，她到 自己的果园吹了几个小时，一下子将果树上的毛 毛虫收拾的一干二净，究其原因，还是笛子发出 的声音引起毛毛虫内脏发生剧烈共振而死亡。
洗衣机把衣服脱水完毕切断电源后，电动机 由于惯性还要转一会儿才能停下来，在这个过程 中，洗衣机的振动剧烈程度有变化，其中有一阵 子最剧烈。
唐朝时候洛阳某寺一僧人房中挂着的一件乐器， 经常莫名其妙地自动鸣响，僧人因此惊恐成疾，四处 求治无效。他有一个朋友是朝中管音乐的，闻讯特去 看望他。这时正好听见寺里敲钟声，那件乐器又随之 作响。于是朋友说：你的病我可以治好，因为我找到 你的病根了。只见朋友找到一把铁锉，在乐器上锉磨 几下，乐器便再也不会自动作响了。
阻尼振动、受迫振动与共振
T 2π 2π
02 2
上式表明，由于阻尼的存在，阻尼振动的周期比无阻尼振动 的周期长，即振动变慢了。阻尼越大，阻尼振动的周期越长。
阻力很大，即β＞ω0时，在未完成一次振动前，振动系统的 能量已全部耗尽，此时，振动系统将通过非周期运动的方式回到 平衡位置，这种阻尼振动称为过阻尼振动，如下图所示b曲线
在振动研究中，常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来
处理。因此，下面我们在讨论时仅考虑摩擦阻尼。实验证明，
介质对运动物体的阻力与物体的运动速度有关，在物体速度不
太大时，阻力Fr的大小与速度v的大小成正比，方向与速度v的
方向相反，即
Fr
v
dx dt
对弹簧振子，在弹力F＝－kx和阻力Fr的作用下，根据牛 顿第二定律可得阻尼振动的动力学方程为：
x Acos（ pt ）
稳定状态受迫振动的振幅A和初相φ可由下式确定：
f
A
（02
2）2
p
4
2 2 p
tan
2p
02
2 p
需要注意的是，稳定状态的受迫振动虽然也是简谐振动，
但它与无阻尼振动有着本质的区别：受迫振动的角频率不是振 动系统的固有频率，而是驱动力的频率；受迫振动的振幅和初 相不是决定于振动系统的初始条件，而是决定于振动系统本身
在阻尼振动中，能量损失的原因通常有以下两种：一种是 由于介质对振动物体的摩擦阻力作用，使振动物体的能量转变 为热能，称为摩擦阻尼；另一种是由于振动物体引起临近质点 的振动，使系统的能量向四周辐射出去，转变为波动的能量， 称为辐射阻尼。例如，音叉振动时，不仅因为摩擦而消耗能量 ，同时也因辐射声波而损失能量。
阻尼振动 受迫振动 共振
x
A0 e
t
O
减幅振动
t
阻尼振动的准周期性
阻尼振动
阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因 位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。
位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振 动的周期，有
2 2 2 T ' 2 2 ' 0 0
显而易见，由于阻尼，振动变慢了。 阻尼振动的振幅为： 振幅随时间作指数衰减。阻尼 大小决定了阻尼 振动振幅的衰减程度。
§4-5
阻尼振动 受迫振动 共振
振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用 下所作的振动，称为无阻尼自由振动。 在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。 阻尼：消耗振动系统能量的原因。
阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼
对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速 度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示 为
dA 0 d
阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大
共振 2
2 0
2
O
0
共
振
受迫振动速度在一定 条件下发生共振的的现象 称为速度共振。
d vm 0 根据 d
vm
阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大
共振 0
在 阻尼 很小的 前提下 ， 速度共振和位移共振可以 O 认为等同。
0
共
衰减项
稳态项
经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。
x A cos(t 0 )
F0 A 2 m ( 0 2 ) 2 4 2 2
2 tg 0 2 0 2
受 迫 振 动
稳态时振动物体速度：
dx v vm cos(t 0 2) dt
高中物理必选一知识点：第2章 第5节 受迫振动 共振
第五节受迫振动共振[核心素养·明目标]核心素养学习目标物理观念了解阻尼振动和阻尼振动的图像物理观念掌握受迫振动的概念，知道受迫振动与驱动力的关系科学态度与责任理解共振和共振产生的条件，知道共振的应用和防止知识点一受迫振动的频率1．等幅振动：振幅不变的振动．2．阻尼振动：振幅逐渐减小的振动．3．受迫振动：在外界驱动力作用下的振动．4．固有频率：物体自由振动的频率，只与它们自身的参数有关，称为固有频率．知识点二共振1．条件：驱动力的周期(或频率)等于振动系统的固有周期(或固有频率)．2．特征：共振时，物体受迫振动的振幅最大．3．共振曲线：如图所示．知识点三共振的应用与防止1．共振的应用在需要利用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈．2．共振的防止在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率保持一定差距．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)做阻尼振动的物体其振动频率不变．(√)(2)阻尼振动振幅逐渐减小时，其频率也逐渐减小．(×)(3)驱动力的频率越大振动物体振幅越大．(×)(4)共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率．(√)2．(多选)某一单摆由于受阻力作用，从开始摆动到逐渐停止的过程中() A．振幅越来越小，周期也越来越小B．振幅越来越小，周期不变C．通过某一位置时，机械能始终不变D．机械能不守恒，周期不变BD[单摆做阻尼振动时，振幅会减小，机械能减小，振动周期不变，故选项B、D对，A、C错．]3．某振动系统的固有频率为f1，该振动系统在频率为f2的驱动力的作用下做受迫振动，系统的振动频率为()A．f1B．f2C．f1＋f2D．f1＋f2 2B[做受迫振动的系统，其振动频率等于驱动力的频率f2，故B正确．]考点1阻尼振动、受迫振动与简谐运动的比较甲乙(1)如图甲所示，生活中会见到阵风吹过树枝，使树枝左右摇摆，一会儿树枝就会停下来，树枝的运动是阻尼振动吗？(2)如图乙所示，荡秋千的小朋友在一旁小朋友的不断推动下不停地摆动．秋千的运动是受迫振动吗？提示：(1)是．(2)是．三者对比列表：振动类型简谐运动阻尼振动受迫振动产生条件不受阻力作用受阻力作用受阻力和驱动力作用频率固有频率频率不变驱动力频率振幅不变减小大小变化不确定振动图像形状不确定实例弹簧振子振动，单摆做小角度摆动敲锣打鼓发出的声音越来越弱扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动【典例1】(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小．下列说法正确的是()A．机械能逐渐转化为其他形式的能B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能[思路点拨](1)在阻尼振动中，振动系统的机械能减小，即动能和势能之和减小．(2)在一段较短的时间内，动能和势能不一定都减小，关键要看动能与势能之间是如何转化的．AD[单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，选项A和D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，选项B、C错．]阻尼振动的三个特点(1)振幅逐渐减小，最后停止振动．(2)系统的机械能逐渐减少，最后耗尽．(3)周期、频率不随振幅的变化而变化．[跟进训练]训练角度1阻尼振动的图线1．(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是()A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能C．摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能D．摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能BD[在单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使振动的能量逐渐转化为内能，C错，D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化．由于A、B两时刻单摆的位移相等，所以势能相等，但动能不相等，A错，B对．]训练角度2受迫振动2．如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz．现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为()A．1 Hz B．3 Hz C．4 Hz D．5 HzA[受迫振动的频率等于驱动力的频率，把手转动的频率为1 Hz，选项A 正确．]考点2共振的特点洗衣机在把衣服脱水完毕后，电动机还要转动一会才能停下来．该过程中洗衣机先振动得比较小，然后有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减小直至停下来．思考讨论：(1)开始时，洗衣机为什么振动比较小？(2)期间剧烈振动的原因是什么？提示：(1)开始时，洗衣机的固有频率与脱水桶的频率相差较远．(2)剧烈振动的原因是此时脱水桶的频率与洗衣机的固有频率接近．(1)从受力角度来看：振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力频率等于物体的固有频率时，物体的振幅达到最大．(2)从功能关系来看：当驱动力频率越接近物体的固有频率时，驱动力与物体运动一致的次数越多，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱动力频率等于物体固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量时，振幅才不再增加．2．对共振曲线的理解(1)两坐标轴的意义：纵轴：受迫振动的振幅，如图所示．横轴：驱动力频率．(2)f0的意义：表示固有频率．(3)认识曲线形状：f＝f0，共振；f＞f0或f＜f0，振幅较小．f与f0相差越大，振幅越小．(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小．【典例2】如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？(3)若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大？[思路点拨]解答本题时应注意以下两个方面：(1)理解简谐运动、阻尼振动、受迫振动的概念．(2)知道受迫振动的频率与驱动力的频率的关系．[解析](1)用手往下拉振子使振子获得一定能量，放手后，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反(F＝－kx)，所以做简谐运动，其周期和频率是由它本身的结构特点决定的，称为固有周期(T固)和固有频率(f固)，根据题意T固＝tn＝1020s＝0.5 s，f固＝1T固＝10.5Hz＝2 Hz．由于摩擦和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅越来越小，故振动为阻尼振动．(2)由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力的频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动．振动达到稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或周期)无关，故f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s．(3)要使弹簧振子的振幅最大，处于共振状态，必须使其驱动力的频率f驱等于它的固有频率f固，即f驱＝f固＝2 Hz，故把手的转速应为n＝2 r/s．[答案](1)简谐运动0.5 s 2 Hz阻尼振动(2)受迫振动0.25 s(3)2 r/s共振问题的分析方法(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率，此时振动的振幅最大．(2)在分析有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解．[跟进训练]训练角度1共振的现象分析3．如图所示，在一根张紧的水平绳上挂有5个单摆，其中b摆球质量最大，其余4个摆球质量相等，摆长关系为L c>L b＝L d>L a>L e，现将b摆垂直于纸面向里拉开一微小角度后释放，经过一段时间后，其余各摆均振动起来并达到稳定，下列叙述正确的是()A．4个单摆的周期T c>T d>T a>T eB．4个单摆的频率f a＝f c＝f d＝f eC．4个单摆的振幅A a＝A c＝A d＝A eD．4个单摆中c摆的振幅最大B[b摆垂直于纸面向里拉开一微小角度后释放，使得其他4个单摆都做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以4个单摆频率相同，周期也一样，所以A错误，B正确；当驱动力的频率接近物体的固有频率时，振幅最大，即达到共振．根据T＝2πLg知，d摆长与b摆长相等，则驱动力的周期等于d摆的固有周期，发生共振，所以d摆振幅最大，C、D错误．]训练角度2共振曲线4．研究单摆受迫振动规律时得到如图所示的图像，则下列说法错误的是()A．其纵坐标为位移B．其纵坐标为振幅C．单摆的固有周期为2 sD．图像的峰值表示共振时的振幅A[纵坐标是振幅，不是位移，A说法错误，B说法正确；当f驱＝f固时发生共振，振幅最大，由图知T固＝1f＝2 s，可见C和D的说法正确．]1．物理观念：阻尼振动、受迫振动、共振．2．科学思维：共振曲线．3．科学方法：比较简谐运动与阻尼振动、受迫振动的不同．1．(多选)下列说法中正确的是()A．有阻力的振动叫作受迫振动B．物体振动时受到外力作用，它的振动就是受迫振动C．物体在周期性外力作用下的振动叫作受迫振动D．物体在周期性外力作用下振动，它的振动频率最终等于驱动力频率CD[物体在周期性外力作用下的振动叫作受迫振动，选项C对，B错；这个周期性的外力应当能给振动物体补充能量，不是有阻力的振动，选项A错；受迫振动的频率最终等于驱动力频率，选项D对．]2．下列振动，属于受迫振动的是()A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动B．打点计时器接通电源后，振针的振动C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动B[受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动，故A、C、D都是自由振动，B是受迫振动．]3．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害．后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法解决了这一问题．在飞机机翼前缘处装置配重杆的目的主要是()A．加大飞机的惯性B．使机体更加平衡C．使机翼更加牢固D．改变机翼的固有频率D[飞机抖动得厉害是因为发生了共振现象，想要解决这一问题，需要使系统的固有频率与驱动力的频率差距增大，在飞机机翼前缘处装置一个配重杆，改变的是机翼的固有频率，故选项D正确．]4．下表记录了某受迫振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f，则()固固固C．50 Hz<f固<70 Hz D．以上三个答案都不对C[固有频率等于驱动力的频率时，振幅最大，固有频率越接近驱动力频率，振幅越大；表格中当驱动力频率为60 Hz时，振幅最大，说明固有频率在50 Hz～70 Hz之间，C正确．]5．如图为一单摆的共振曲线，图中横轴表示周期性驱动力的频率，纵轴表示单摆的振幅，求此单摆的摆长(g取10 m/s2)．[解析]由图像可以看出，当驱动力的频率为0.4 Hz时，单摆的振幅最大，此时单摆共振．由共振的条件可知，单摆的固有频率为0.4 Hz，由T＝2πL g＝1f可得L＝g4π2f2≈1.58 m．[答案] 1.58 m。
阻尼受迫振动,共振
阻尼振动 受迫振动 共振
一、阻尼振动
能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。 摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的 作用，系统的动能转化为热能。
阻 尼 振 动
辐射阻尼： 振动以波的形式向外传波，使振动能量 向周围辅射出去。
阻尼振动的振动方程:（以摩擦阻尼为例）
振子受粘性阻力:
f v
量最大。
将通过非周期运动回到平衡位置
临界阻尼 使系统能以最短时间返回平衡位 临界阻尼
置，而恰好不作往复运动的阻尼
应用于天平调衡
二、 受迫振动
振动系统在周期性外力持续作用下进行的振动。 强迫力 振动周期与周期性 外力的周期相同
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
O
t
受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件， 而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的 大小和强迫力的特征有关。
三、共振
位移共振
强迫力角频率为某
一定值r时，受迫 振动位移振幅达到 极大值的现象。 共振频率 r 阻尼越小，r愈接近0
阻尼为零时， r 0
速度共振:
一定条件下, 速度 幅达到极大的现象。
0
速度幅值达到极大值 速度共振时，速度与 策动力同相，一周期 内策动力总作正功， 此时向系统输入的能
d2x dx 2 2 0 0 2 dt dt
dx d 2x 运动方程： kx m 2 dt dt
0
k m
固有角频率
2m
阻尼因子
小阻尼 每一周期内损失的能量 越小，振幅衰减越慢， 周期越接近于谐振动。
小阻尼
过阻尼
阻尼过大，在未完成一次振动以 过阻尼
前，能量就以消耗掉，振动系统
阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动●阻尼振动●受迫振动●共振1．阻尼振动实例a. 阻尼弹簧振子，阻力γγ其中。
实例b. RLC谐振电路或写作其中。
分析：引入阻尼将引起能量的减小，计算能量改变率，β（等于阻尼做功的功率）。
如果很小，基本上还是简谐振动，但由于能量消耗，振幅会逐渐减小，解的形式近似为：能量，β一个周期内能量的消耗率：其中称为品质因数(quality factor)，简称值(Q factor)。
从数量级上讲，Q值就是把储存的能量衰减完，振子中能够振荡的次数。
（注：RLC谐振电路，）精确解：(a)弱阻尼()其中。
与近似分析的结果相比，只是频率有所减小。
(b)过阻尼()其中。
无振荡，呈指数衰减。
注意是的减函数，衰减速度随增大反而减慢。
(c)临界阻尼()，无振荡，但衰减最快。
2．受迫振动实例a. 驱动弹簧振子γ实例b. RLC串联电路非齐次线性方程解的一般形式：其中是原方程的一个解（称为特解），是齐次方程的任意解。
写成复数形式，令满足方程则满足方程令，其中所以可取称为稳态解，而把称为暂态解。
3．共振为简单起见，只讨论速度共振。
的振幅为性质：(1)驱动频率与固有频率相等（）时，时速度振幅（或平均动能）最大，出现共振。
(2)共振时，速度与驱动力同相位，驱动一直做正功。
(3)驱动频率与固有频率相差越大，振幅（动能）越小，形成一个共振峰。
(4)Q值越大，共振峰越高，同时也越窄（对驱动频率的选择性越高）。
共振的应用：乐器、无线电接收、调Q激光、核磁共振与电子自旋共振等。
共振有时会造成破坏，需要避免。
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一 阻尼振动动力学方程
现象：振幅随时间减小
原因：阻尼
阻力系数
动力学分析： 阻尼力 Fr v
kx v ma
m
d2x 动
1
§9.6 阻尼振动
m
d2x dt 2
dx dt
kx
0
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
0
k m
2
m
固有角频率 阻尼系数
第九章 振 动
2
二、 阻尼振动的运动特征
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
§9.6 阻尼振动
1. 欠阻尼状态 0
x(t) Aet cos 't
' 02 2
T' 2 T 2
'
振幅为 Ae t 随时间的推移，呈指数递减， 越大，振动衰减越快；
越小， 振幅衰减越慢。
第九章 振 动
02 x
f0 cost
xt Aet cos 't A0 cost
x A0 cos(t )
A0
f
(02 2 ) 4 22
dA0 0
d
位移共振条件：驱动力的圆频率为
02 2 2
第九章 振 动
9
§9.7 受迫振动 共振
共振频率
r 02 2 2
共振频率
A
小阻尼
共振振幅
f
Ar 2 02 2
3
§9.6 阻尼振动
2. 过阻尼状态 0
x C e C e 2 02 t 1
2 02 t 2
随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不 是往复的。将质点移开平衡位置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来， 即过阻尼状态。
第九章 振 动
4
3. 临界阻尼状态 0
A0 2 cost cos sin t sin
2 A0 sin t cos cost sin
A0
2
0
cos
t
cos
sin
t
sin
f0 cos t
A0 f0
02 2 2 4 2 2
tg
2 02 2
;
第九章 振 动
8
§9.7 受迫振动 共振
三 共振
d2x dt 2
2
dx dt
共振现象 及应用
阻尼 0
大阻尼
o
0
第九章 振 动
10
x C1 C2 et
§9.6 阻尼振动
此种状态，由于阻力较前者小，质点移开平衡位 置释放后，质点很快回到平衡位置并停下来。
应用：例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想） 电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。
第九章 振 动
5
§9.7 受迫振动 共振
振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫受迫振动。
一、受迫振动的动力学方程
m d2x dt 2
dx dt
kx
F0
cos t
驱动力
0
k m
2
m
f0
F0 m
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
f0 cost
第九章 振 动
6
二、受迫振动运动特征
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
f0
cos t
x t Aet cos 't A0 cost
受迫振动方程的解：由二项之和组成：
第一项表示阻尼振动随着时间的增加而趋于零；
第二项是周期振动。
随着时间的增加，第一项的阻尼振动衰减掉了，经一段时间后系统达到稳
定状态 x A0 cos( t ) 。
不是简谐振动。（因为不是系统固有的频率，而是策动力的频率）
第九章 振 动
7
下面来确定 A0和 ：