2018-2019学年上海市嘉定区第一中学高二下学期期中检测数学试题(解析版)
上海嘉定区2018-2019高二下期末数学卷(答案)
分
由于 MP = (x1 − m, y1 ), MQ = (x2 − m, y2 ) ，其中 x1 − x2 ≠ 0 ，
由 MP
=
MQ 得
m = x1 + x2 4
，即 m = x1 + x2 4
= k2 1+ 2k 2
=
1
1 k2
+
2
(k ≠ 0) ，
因此 0 < m < 1 ．…………………………………………………………………………………………9 分 2
两边平方得
| OC |2
⋅|
OD
|2 =
3 (OC 2 2
+ OD2 ) ，则得 |
1 OC |2
+
1 | OD
|2
=
2 3
．………………12
分
即
x02
1 +
y02
+
x2
1 +
y2
=
2
．
3
将③代入上式得
1
+ 1 =2
2y2 + 2x2 2 x2 + y2 3 ，
2x2 + y2 2x2 + y2
化简，得点 D 的轨迹方程是
一．填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 3
分，否则一律得零分．
1． 2 2． 2
6． arctan 1 2
11． 2 2
3． y = − 1 x 、 y = 1 x
2
2
7．18
8． πR
3
π 12． 96 − π
嘉定区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学
嘉定区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学一、选择题1． 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（ ） A ．4 2 B ．4 5 C ．2 2D ．2 52． “m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3． 下列命题中正确的是（ ）A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题B ．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x ≠0”C ．“”是“”的充分不必要条件D ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“”4． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（ ） A ．9 B ．8 C.7 D ．55． 已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 6． 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（ ）A ．程序流程图B ．工序流程图C ．知识结构图D ．组织结构图 7． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为1S 、2S 、3S ，则（ ）A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ．213S S S <<D ．213S S S >>8． 椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）A ．31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 定义运算：,,a a ba b b a b≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）A ．22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 10．已知函数f （x ）=lnx+2x ﹣6，则它的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）11．已知函数f （x ）=2x ﹣2，则函数y=|f （x ）|的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ． 21y x =-+C ．||1y x =+D ．2xy -=二、填空题13．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3π，则|2|+=a b ． 14．已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足：（1）对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立；（2）当x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x ．给出如下结论：①对任意m ∈Z ，有f （2m ）=0；②函数f （x ）的值域为[0，+∞）；③存在n ∈Z ，使得f （2n +1）=9；④“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得（a ，b ）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是 ．15．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ． 16．若函数f （x ）=3sinx ﹣4cosx ，则f ′（）= ．17．设()xxf x e =，在区间[0,3]上任取一个实数0x ，曲线()f x 在点()00,()x f x 处的切线斜率为k ，则随机事件“0k <”的概率为_________.18．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．三、解答题19．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b 人．假设每个窗口的售票速度为c 人/min ，且当开放2个窗口时，25min 后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min 后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min 后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？20．已知F 1，F 2分别是椭圆=1（9＞m ＞0）的左右焦点，P 是该椭圆上一定点，若点P 在第一象限，且|PF 1|=4，PF 1⊥PF 2． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求点P 的坐标．21．（本小题满分12分）已知1()2ln ()f x x a x a R x=--∈． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()()2ln g x f x x a x =-+，且()g x 有两个极值点，其中1[0,1]x ∈，求12()()g x g x -的最小值． 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力．22．（本题满分14分）已知函数x a x x f ln )(2-=.（1）若)(x f 在]5,3[上是单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）记x b x a x f x g )1(2ln )2()()(--++=，并设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若27≥b ， 求)()(21x g x g -的最小值.23．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求f（x）；（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．24．某市出租车的计价标准是4km以内10元（含4km），超过4km且不超过18km的部分1.5元/km，超出18km的部分2元/km．（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y元与行车里程x km的函数关系式；（2）如果某人乘车行驶了30km，他要付多少车费？25．已知命题p：x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，命题q：若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．26．已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，且2a1，a1+a2+2a3，a1+2a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1=（），T n为数列{b n}的前n项和，求T n．嘉定区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】【解析】选D.设圆的方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0（－1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2（2－a ）2＋（2－b ）2＝r2，解之得a ＝－1，b ＝2，r ＝3，∴圆的方程为（x ＋1）2＋（y －2）2＝9， 令y ＝0得，x ＝－1±5，∴|MN |＝|（－1＋5）－（－1－5）|＝25，选D. 2． 【答案】B【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x ﹣1=0，2x ﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y ﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直； 当m ≠0，2时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得m=1．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．∴“m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．故选：B ．【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．3． 【答案】 D【解析】解：若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为假命题，故A 不正确； 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy ≠0，则x ≠0”，故B 不正确；“”⇒“+2k π，或，k ∈Z ”，“”⇒“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C 不正确；命题“∀x ∈R ，2x＞0”的否定是“”，故D 正确． 故选D ．【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．4． 【答案】C【解析】试题分析：因为三个数1,1,5a a a -++等比数列，所以()()()2115,3a a a a +=-+∴=，倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{}n a 的前三项，为111,,842，公比为，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以为首项，12为公比的等比数列，则不等式1212111n n a a a a a a +++≤+++等价为()1181122811212n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤--，整理，得722,17,n n n N +≤∴≤≤≤∈，故选C. 1考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式. 5． 【答案】A.【解析】6． 【答案】D【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图，某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．故选D ．【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7． 【答案】A 【解析】考点：棱锥的结构特征．8．【答案】B9．【答案】D【解析】考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.10．【答案】C【解析】解：易知函数f（x）=lnx+2x﹣6，在定义域R+上单调递增．因为当x→0时，f（x）→﹣∞；f（1）=﹣4＜0；f（2）=ln2﹣2＜0；f（3）=ln3＞0；f（4）=ln4+2＞0．可见f（2）•f（3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点．故选C．11．【答案】B【解析】解：先做出y=2x的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．故选B【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．12．【答案】C【解析】试题分析：函数30,+∞上单调递减，不=-+是偶函数，但是在区间()y x=为奇函数，不合题意；函数21y x合题意；函数2x=为非奇非偶函数。
2018-2019学年上海市嘉定区第一中学高二下学期期中检测数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市嘉定区第一中学高二下学期期中检测数学试题一、单选题1．下列命题中正确的是（）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面【答案】D【解析】利用定理及特例法逐一判断即可。
【详解】解：如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线相交、平行或异面，故A不正确；过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直，不正确．反例：如果该直线本身就垂直于已知平面的话，那么可以找到无数个平面与已知平面垂直，故B不正确；如果这两条直线都在平面内且平行，那么这直线不平行于这个平面，故C不正确；如果两条直线都垂直于同一平面，则这两条直线平行，所以这两条直线共面，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了线线平行的判定，面面垂直的判定，线面平行的判定，线面垂直的性质，考查空间思维能力，属于中档题。
2．如图，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D【答案】B【解析】先还原几何体，再根据直角梯形面积公式得结果.【详解】几何体为一个直角梯形，上底长为1，下底长为，高为2，因此面积为12(1122⨯⨯++=+选B. 【点睛】本题考查直观图，考查基本分析求解能力，属基础题.3．已知直线:4360l x y -+=，抛物线C ：24y x =上一动点P 到直线l 和y 轴距离之和的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．65D ．2116【答案】A【解析】抛物线24y x =上一动点P 到直线l 和y 轴距离之和最小转化为：抛物线24y x =上一动点P 到直线l 和直线x ＝-1的距离之和最小，x ＝−1是抛物线24y x =的准线，则P 到x ＝−1的距离等于PF ，F （1，0）为抛物线24y x =的焦点，过F 作4360x y -+=垂线，和抛物线的交点就是P ，所以点P 到直线:4360l x y -+=的距离和到y 轴的距离之和的最小值就是F （1，0）到直线4360x y -+=距离再减1．【详解】解：x ＝−1是抛物线24y x =的准线，抛物线24y x =的焦点F （1，0），则P 到x ＝−1的距离等于PF ，过F 作4360x y -+=垂线，和抛物线的交点就是P ，所以点P 到直线l ：4360x y -+=的距离和到直线：x ＝−1的距离之和的最小值 就是F （1，0）到直线4360x y -+=距离， 所以最小值2==． 抛物线24y x =上一动点P 到直线l 和y 轴的距离之和的最小值是：2−1＝1故选：A ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意抛物线的性质的灵活运用．4．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ）（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断.【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误.故选：B.【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线.二、填空题5．复数13i z i -=的虚部是________ 【答案】-1【解析】根据复数的除法运算即可.【详解】 解：133i z i i-==--， 复数13i z i -=的虚部是-1， 故答案为：-1.【点睛】本题考查复数的除法，是基础题.6．已知321()22(1)z i -+=-，则z =______________ 【答案】12【解析】利用除法的模就是模的除法，乘方的模就是模的乘方来进行计算即可.【详解】解：()32121z i ⎝⎭===-，故答案为：12【点睛】 本题考查复数模的计算，是基础题.7．已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为______【答案】4【解析】由题得2493a -=+，解之即得a 的值.【详解】由题得2493a -=+，所以a=4,故答案为：4【点睛】（1）本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)椭圆中222c a b =-，双曲线中222.c a b =+8．棱长为a 的正方体外接球的表面积为________【答案】23a π【解析】先求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】解：由已知外接球的半径r ==，外接球的表面积为222443S r a πππ===⎝⎭， 故答案为：23a π【点睛】本题考查球的表面积公式，考查学生空间想象能力，是基础题.9．232021i i i i ⋅⋅的值是________________ 【答案】i -【解析】变形12320212432021,(03,,)n k i i k n k i i i N i++++==≤≤⋅⋅∈，确定,n k 的值，即可得答案.【详解】 解：(12021)202321123202120201011100834(5051011252)3032221i i i i i i i i i i +⨯+++⨯++⨯++=====-⋅⋅=，故答案为：i -.【点睛】本题考查复数的乘方运算，充分利用41i =是关键，是基础题.10．34i +的平方根为________【答案】(2)i ±+【解析】先设复数z a bi =+，可得2()34a bi i +=+，再结合复数相等的充要条件求解即可.【详解】解：设所求复数为z a bi =+，由题意有2()34a bi i +=+，即22234a b abi i -+=+， 则22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，即2z i =+或2z i =--， 即34i +的平方根为(2)i ±+，故答案为：(2)i ±+.【点睛】本题考查了复数的运算及复数相等的性质，属基础题.11．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为__________．【答案】45︒【解析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．【详解】设侧棱与底面所成的角为θ．因为是正四棱锥，所以顶点到底面的高的垂足一定是底面正方形的中心，所以在由侧棱、高和底面对角线的一半所构成的直角三角形中，2cos 1θ==，故45θ=︒． 【点睛】本题考查棱锥的结构特征，以及求直线和平面成的角的方法，体现了数形结合的数学思想．z-=，则z i-的最大值为____________12．已知复数z满足311【解析】由已知得到复数z对应点的轨迹，然后利用数形结合的思想求解．【详解】z-=，可知复数z对应的点在以(3,0)为圆心，以1为半径的圆周上，解：由31而z i-表示复数z对应的动点到点(0,1)的距离．=．所以z i-11故答案为: 1．【点睛】本题考查了复数模的求法，考查了复数模的几何意义，是基础题．13．圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm，底面圆周上有一点A，由A点出发绕圆锥侧面一周到点A的最短距离为____________cm【答案】【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短路线是展开图中扇形的弧所对弦长，求弦长即可．【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短路线即展开图得到的扇形弧所对的弦长如图所示：设展开图的扇形圆心角为α，由圆锥底面半径1r cm =，母线长是3OA cm =，根据弧长公式得213πα⨯=⨯， 解得23πα=，即扇形的圆心角是120︒， 60AOH ︒∴∠=，∴动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程为弧所对的弦长：22sin 23AH OA AO A H A '==⨯∠=⨯=故答案为：【点睛】 本题考查了圆锥的侧面展开图是扇形应用问题，是基础题．14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________.【答案】36【解析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果.【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下图所示：①对于正方体的每一条棱，都有2个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12224⨯=个；②对于正方体的每一条面对角线（如11A C ，则11A C ⊥平面11BB D D ），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12112⨯=个.综上所述，正方体中的“正交线面对”共有36个.故答案为：36.15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的半焦距c ，坐标原点到直线bx ay ab +=的距离等于114c +，则c 的最小值为_______ 【答案】4【解析】14ab c c ==+，进而根据均值不等式的性质求得22222a b c ab +≤=求得c 的范围． 【详解】14ab c c ==+， 214ab c c ∴=+， 22222a b c ab +≤=， 22142c c c ∴+≤，解得4c ≥或0c ≤（舍去） 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是利用点到直线的距离求得,a b 和c 的关系16．在三角形ABC 中，,AB AC AD BC ⊥⊥，D 是垂足，则2AB BD BC =⋅推广到空间，三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC AO ⊥，面BCD ，O 为垂足，且O 在三角形BCD 内，则类似的结论为___________【答案】2ABC BCO BCD S S S ∆∆∆=⋅【解析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中在△ABC 中，AB ⊥AC ，点D 是点A 在BC 边上的射影，则2AB BD BC =⋅，我们可以类比这一性质，推理出若在三棱锥A −BCD 中，BA ⊥平面ACD ，点O 是点A 在平面BCD 内的射影，即可得到答案【详解】解：由已知在平面几何中，若三角形ABC 中，,AB AC AD BC ⊥⊥，D 是垂足，则2AB BD BC =⋅，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC AO ⊥，面BCD ，O 为垂足，则2ABC BCO BCD S S S ∆∆∆=⋅。
2018-2019学年上海市嘉定区嘉一中高二第二学期期中检测数学试题(Word版)
上海市嘉定区嘉一中2018-2019学年第二学期期中检测试卷高二年级 数学学科考试时间 120分钟 满分150一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1、复数iiZ 31-=的虚部是 【答案】-12、已知23)1()2321(i i Z -+-=，则=Z 【答案】21 3、已知椭圆()014222>=+a y a x 与双曲线13922=-y x 有相同的焦点，则a 的值为 【答案】44、棱长为a 的正方体外接球的表面积为 【答案】π212a5、202132i i i i ⋅⋅的值是【答案】i -6、复数i 43+的平方根是 【答案】i +2 i --27、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 【答案】22arccos8、已知复数Z 满足13=-Z ，则i z -的最大值为 【答案】110+9、圆锥的母线长为3cm ，底面半径为1cm ，底面圆周上有一点A ，由A 点出发绕圆锥侧面一周到点A 的最短距离为 cm 【答案】3310、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 【答案】2411、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的半焦距C ，坐标原点到直线ab ay bx =+的距离等于141+c ，则c 的最小值为 【答案】412、在三角形ABC 中，BC AD AC AB ⊥⊥,，D 是垂足，则BC BD AB ⋅=2.推广到空间，三棱锥BCD A -中，，面，面BCD AO ABC AD ⊥⊥O 为垂足，且O 在三角形BCD 内，则类似的结论为 【答案】BCD BCA BCO S S S ∆∆∆⋅=2二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13、下列命题中正确的是（ ）A 、如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B 、过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C 、如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D 、如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 【答案】D14、如图所示，一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（ ） A 、221+B 、221+ C 、21+ D 、22+【答案】D15、已知直线0634:=+-y x l ，抛物线C ：x y 42=上一动点P 到直线l 和y 轴距离之和的最小值是（ ） A 、1 B 、2 C 、56 D 、1621【答案】A16、下列关于复数Z 的四个命题，正确的个数是（ ） （1）若211=++-z z ，则复数Z 对应的动点的轨迹是椭圆 （2）若222=+--Z Z ，则复数z 对应的动点轨迹是双曲线（3）若1Re 1+=-z z ，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线 （4）若32≤-z ，则z 的取值范围是[]5,1； A.4 B 、1 C 、2 D 、3 【答案】B三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题14分）若复数z 满足方程：2z +z+z （）i=1-i （i 为虚数单位)，求复数z【答案】1322z i =-- 或 1322z i =-+【解析】设 z a bi =+（a ，b ∈R ）， 则由2z +z+z （）i=1-i，得：2221a b ai i ++=-或 1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 22121a b a ⎧+=⎨=-⎩ ，即 故 1322z i =-- 或 1322z i=-+18. （本题14分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 的边长为2，点P 是1CC 的中点，直线AP 与平面11BCC B 成30°角． （1）求1CC 的长（2）求异面直线11B C 和AP 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示)【答案】1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】(1)连结BP,设长方体的高1CC 为h 因为AB ⊥平面11BCC B 所以,∠APB 即为直线AP 与平面11BCC B 所成的角。
精品解析：上海市上海中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题(解析版)
上海中学2019学年第二学期期终考试数学试题一、选择题1.__________.1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】1【解析】【分析】由即可求得1lim =0x n →∞【详解】11lim(1=lim1lim =1-0=1x x x n n →∞→∞→∞--）【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。
2.等差数列中，若，则___________.{}n a 13,21,2n a a d ===n =【答案】10.【解析】【分析】直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解的值．n 【详解】在等差数列中，由，，，{}n a 13a =21n a =2d =且，所以，1(1)n a a n d =+-1213192n a a n d ---===所以．10n =故答案为：10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求．n 3.数列中，已知，50为第________项.{}n a *41322,n n n a n N =-+∈•【答案】4【解析】【分析】方程变为，设，解关于的二次方程可求得。
4132-48=0n n -•2nx =x 【详解】，则，即*41322,n n n a n N =-+∈•5041322n n =-+•4132-48=0n n -•设，则，有或2n x =213480x x --=16x =3x =-取得，，所以是第4项。
16x =216n =4n =【点睛】发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。
对于指数结构，242n n =（）x 242n n =（），等，都可以通过换元变为二次形式研究。
293n n =（）2255n n =（）4.为等比数列，若，则_______.{}n a 1234126,52a a a a a ++=-=n a =【答案】123n -•【解析】【分析】将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解1234126,52a a a a a ++=-=1,a q 方程组即可求出。
上海市嘉定区2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市嘉定区2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，1-6题每题4分，7-12题每题5分1.椭圆2213x y +=的焦点坐标是__________.【答案】()【解析】 【分析】从椭圆方程中得出a 、b 的值，可得出c 的值，可得出椭圆的焦点坐标.【详解】由题意可得a =1b =，c ∴===因此，椭圆2213x y +=的焦点坐标是()，故答案为：().【点睛】本题考查椭圆焦点坐标的求解，解题时要从椭圆的标准方程中得出a 、b 、c 的值，同时也要确定焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.2.若复数z 满足()12z i +=，则z 的实部是_________. 【答案】1 【解析】 【分析】由()12z i +=得出21iz =+，再利用复数的除法法则得出z 的一般形式，可得出复数z 的实部. 【详解】()12z i +=Q ，()()()()2121211112i i z i i i i --∴====-++-，因此，复数z 的实部为1， 故答案为：1.【点睛】本题考查复数的概念，同时也考查了复数的除法，解题时要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.球表面积是其大圆面积的________倍．【答案】4 【解析】 【分析】设球的半径为R ，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果. 【详解】设球的半径为R ，则球的表面积为24R π，球的大圆面积为2R π， 因此，球的表面积是其大圆面积的4倍，故答案为：4.【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.__________.【答案】3【解析】 【分析】利用正弦定理计算出正四面体底面三角形的外接圆半径r ，再利用公式h =可得出正四面体的高.【详解】设正四面体底面三角形的外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sin 60r ===o，r ∴=因此，正四面体的高为3h ===. 【点睛】本题考查正四面体高计算，解题时要充分分析几何体的结构，结合勾股定理进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.5.展开二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其常数项为_________.【答案】20 【解析】 【分析】利用二项展开式通项，令x的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出二项式61xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的常数项.【详解】二项式61xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的通项为6621661kk k k kkT C x C xx--+⎛⎫=⋅⋅=⋅⎪⎝⎭，令620k-=，得3k=.所以，二项式61xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的常数项为3620C=，故答案为：20.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，解题时要充分利用二项式展开式通项，利用x 的指数来求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.从0、1、2、3、4中取3个不同的数组成一个三位数，且这个数大于200，共有_____不同的可能．【答案】36【解析】【分析】由题意得知，三位数首位为2、3、4中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果.【详解】由于三位数比200大，则三位数首位为2、3、4中的某个数，十位数和个位数没有限制，因此，符合条件的三位数的个数为123431236C A=⨯=，故答案为：36.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.，则其侧面积是________.【解析】【分析】计算出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的侧面积公式可计算出圆锥的侧面积.【详解】由题意知，圆锥的底面半径为1 r==，因此，圆锥的侧面积为1Sπ=⨯=.【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键就是要求出圆锥的母线长和底面圆的半径，利用圆锥的侧面积公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.8.双曲线22213x yb-=的虚轴长为2，其渐近线夹角为__________.【答案】60°．【解析】【分析】计算出b的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.【详解】由题意知，双曲线22213x yb-=的虚轴长为22b=，得1b=，所以，双曲线的渐近线方程为y x=，两条渐近线的倾斜角分别为30o、150o，因此，两渐近线的夹角为60o，故答案为：60o.【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.9.在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为()1,2,3和()2,3,1--，则该二面角的大小为________（结果用反三角函数表示）．【答案】1 arccos14【解析】【分析】设锐二面角的大小为θ，利用空间向量法求出cosθ的值，从而可求出θ的值.【详解】设锐二面角的大小为θ，则1 cos14θ==，1arccos14θ∴=，故答案为：1arccos 14. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算二面角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.10.现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号1、2、3，从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有___________种． 【答案】6 【解析】 【分析】设红色的三个球分别为1A 、2A 、3A ，黄色的三个球分别为1B 、2B 、3B ，蓝色的三个球分别为1C 、2C 、3C ，列出所有符合条件的选法组合，可得出结果.【详解】设红色的三个球分别为1A 、2A 、3A ，黄色的三个球分别为1B 、2B 、3B ，蓝色的三个球分别为1C 、2C 、3C ，现从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有：()123,,A B C 、()132,,A B C 、()213,,A B C 、()231,,A B C 、()312,,A B C 、()321,,A B C ，因此，从中任取3个小球，颜色编号均不相同的情况有6种，故答案为：6.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，在求解排列组合问题时，若符合条件的基本事件数较少时，可采用列举法求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.11.已知点(),P s t ，(),Q u v ，2s t +≤，221u v +=，复数1z 、2z 在复平面内分别对应点P 、Q ，若12z z z =+，则z 的最大值是__________.【答案】3 【解析】 【分析】由题意可知，点P 在曲线2x y +≤内，点Q 在圆221x y +=上，利用三角不等式得出z =1212z z z z OP OQ +≤+=+，可求出z 的最大值.【详解】由题意知，点P 在曲线2x y +≤内，点Q 在圆221x y +=上，如下图所示：由三角不等式得12121213z z z z z OP OQ OP =+≤+=+=+≤+=，当点P 为正方形的顶点，且点OP uuu r 、OQ uuur 方向相反时，z 取最大值3，故答案为：3.【点睛】本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解，能简化计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在半平面α 内，且12POB π∠=，若对于半平面β内异于O 的任意一点Q ，都有12POQ π∠≥，则二面角AB αβ--大小的取值的集合为__________. 【答案】{}90o【解析】 【分析】画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可.【详解】如下图所示，过点P 在平面α内作PC AB ⊥，垂直为点C ，点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在平面α内，且12POB π∠=，若对于平面β内异于点O 的任意一点Q ，都有12POQ π∠≥.因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成的角是最小的， 即POB ∠是直线PO 与平面β所成的角，PC ∴⊥平面β，PC ⊂Q 平面α，所以，平面α⊥平面β，所以，二面角AB αβ--的大小是90o .故答案为：{}90o.【点睛】本题考查二面角平面角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分13.“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（ ） A. 杨辉 B. 刘微 C. 祖暅 D. 李淳风【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理.【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C.【点睛】本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.14.已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（ ） A. !!mn n C m =B. !()!A mn n n m =-C. 111m m m n n n C C C --++= D. 111m m m n n n C C C -+++=【答案】B 【解析】【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断. 【详解】由组合数的定义可知()!!!mn n C m n m =-，A 选项错误；由排列数的定义可知()!!mn A n n m =-，B 选项正确；由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选：B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.15.在复数范围内，多项式241x +可以因式分解为（ ） A. 422i i x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B. 11422x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C. 22i i x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D. 1122x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将代数式化为222414x x i +=-，然后利用平方差公式可得出结果.【详解】2222241444422i i i x x i x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，故选：A.【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题.16.已知抛物线22y px ＝（p 是正常数）上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点F ，甲：2124p x x =；乙：212y y p =-；丙：234OA OB p ⋅=-u u u r u u u r ；丁：112FA FB p+=. 以上是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件有几个（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为x my t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数t 的值，可以得出“直线AB 经过焦点F ”的充要条件的个数. 【详解】设直线AB 的方程为x my t =+，则直线AB 交x 轴于点(),0T t ，且抛物线的焦点F的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立22y px x my t⎧=⎨=+⎩，消去x 得，2220y pmy pt --=，由韦达定理得122y y pm +=，122y y pt =-.对于甲条件，()()22222122121222224444y y pt y y p x x t p p p -=====，得2p t =±， 甲条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件；对于乙条件，2122y y pt p =-=-，得2pt =，此时，直线AB 过抛物线的焦点F ， 乙条件是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件；对于丙条件，221212324OA OB x x y y t pt p ⋅=+=-=-uu r uu u r ，即223204t pt p -+=，解得2p t =或32pt =，所以，丙条件是“直线AB 经过焦点F ”必要不充分条件；对于丁条件，11121111112222p p p pFA FB x x my t my t +=+=+++++++()()()()()12122121212222222m y y t p m y y t p p p p p my t my t m y y m t y y t ++++++==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222222222222222pm t ppm t p p p p p m pt m t pm t p m t ++++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⋅++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得224p t =，得2p t =±，所以，丁条件是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件.综上所述，正确的结论只有1个，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知复数w 满足()1243w i i +=+（i 为虚数单位），52z w w=+-，求一个以z 为根的实系数一元二次方程． 【答案】26100x x +=- 【解析】 【分析】先由()1243w i i +=+求出复数w ，再由52z w w=+-求出复数3i z =+，计算出其复数z ，可得出以复数z 为根的实系数方程为()()0x z x z --=，化简后可得出结果.【详解】由()1243w i i +=+，得()()()()243124345621212125i i i i i w i i i i +-+--====-++-， ()()()52552221213222i z w i i i w i i i +∴=+-=+--=+=++=+--+，3z i ∴=-. 6z z ∴+=，2223110z z z ⋅==+=，因此，以复数z 为一个根实系数方程为()()0x z x z --=，即()0x z z x z z -++⋅=， 即26100x x +=-.【点睛】本题考查复数形式的乘法与除法运算，考查实系数方程与虚根之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.18.在平面直角坐标系中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右焦点2F 为(),0c ．（1）若其长半轴长为2，焦距为2，求其标准方程．（2）证明该椭圆上一动点P 到点2F 的距离d 的最大值是a c +．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设条件可得出a 、c 的值，进而可求出b 的值，由此得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()()000,P x y a x a -≤≤，将该点代入椭圆C 的方程得出()222202b y a x a=-，并代入d 的表达式，转化为关于0x 的函数，利用函数的性质求出d 的最大值. 【详解】（1）由题意，2a =，22c =，则1c =，2223b a c ∴=-=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）设()()000,P x y a x a -≤≤，()2,0F c Q ，d ∴====∴当0x a=-时，2max c a d a a c a c ⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解及椭圆方程的应用，在处理与椭圆上一点有关的最值问题时，充分利用点在椭圆上这一条件，将问题转化为二次函数来求解，考查函数思想的应用，属于中等题.19.推广组合数公式，定义()()11!mx x x x m C m --+=L ，其中x ∈R ，m N *∈，且规定01x C =． （1）求315C -的值；（2）设0x >，当x 为何值时，函数()()321xx C f x C =取得最小值？【答案】（1）680-；（2）当x ()321xxC C 取得最小值.【解析】 【分析】（1）根据题中组合数的定义计算出315C -的值； （2）根据题中组合数的定义求出函数()1236f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求出函数()y f x =的最小值，并计算出等号成立对应的x 的值.【详解】（1）由题中组合数的定义得()()()3151516176803!C ----==-；（2）由题中组合数的定义得()()()()32211212366xx x x x C f x x x x C --⎛⎫===+- ⎪⎝⎭．因为0x >，由基本不等式得2x x+≥x =时，等号成立，所以当x ()321xxC C 取得最小值．【点睛】本题考查组合数的新定义，以及利用基本不等式求函数最值，解题的关键就是利用题中组合数的新定义进行化简、计算，考查运算求解能力，属于中等题.20.被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点()1,2,,24i P i =L 为棱上的四等分点.（1）求该方灯体的体积；（2）求直线12PP 和611P P 的所成角； （3）求直线913P P 和平面129P P P 的所成角．【答案】（1）1883；（2）60o ；（3）3arcsin 3. 【解析】 【分析】（1）计算出八个角（即八个三棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线12PP 和611PP 的所成角； （3）求出平面129P P P 的法向量，利用空间向量法求出直线913P P 和平面129P P P 的所成角的正弦值，由此可得出913P P 和平面129P P P 的所成角的大小.【详解】（1）Q 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D ﹣中，点()1,2,,24i P i =L 为棱上的四等分点，∴该方灯体的体积：111884448111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，()13,0,4P 、()24,1,4P 、()60,3,4P 、()110,4,3P ，()121,1,0PP =uuu r ，()6110,1,1P P =-uuuu r， 设直线12PP 和611P P 的所成角为θ，则11161126111cos 2PP P P PP P P θ⋅==⋅uu u r uuuu ruuu r uuuu r ， ∴直线12PP 和611PP 的所成角为60o ；（3）()94,0,3P ，()134,0,1P ，()1930,0,2P P =-uuuu r ，()911,0,1PP =-uuu r，设平面129P P P 的法向量(),,n x y z =r ，则191200n PP x z n PPx y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u u v v u u u u v v ，得y x z x =-⎧⎨=⎩，取1x =，得()1,1,1n =-r ， 设直线913P P 和平面129P P P 的所成角为α，则9913313sin 323P P n P P n α⋅===⋅uuuu r ruuuu r r ， ∴直线913P P 和平面129P P P 的所成角为3arcsin3． 【点睛】本题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.21.双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A 、B 两点．（1）若l 的倾斜角为2π，3a =1F AB ∆是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程； （2）3a =1b =，若l 斜率存在，且()110F A F B AB +⋅=uuu r uuu r uu u r，求l 的斜率；（3）证明：点P 到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值2222a b a b+是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．【答案】（1）2213x -=；（2）；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）将x c =代入双曲线的方程，得出2by a=±，由1F AB ∆是等腰直角三角形，可得出22b c a=，再将a =b 的值，由此可得出双曲线的标准方程；（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线l 的方程为()2y k x =-，将该直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段AB 的中点M 的坐标，由()110F A F B AB +⋅=uuu r uuu r uu u r得出11F A F B =uuu r uuu r，转化为1F M AB ⊥，利用这两条直线斜率之积为1-，求出实数k 的值，可得出直线l 的斜率；（3）设点()00,P x y ，双曲线的两条渐近线方程为0bx ay ±=，利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证.【详解】（1）直线l 的倾斜角为2π，a =可得直线:l x c =，代入双曲线方程可得2b y a=±，1F AB ∆是等腰直角三角形可得22b c a =，即有22223b c a c ==-=-，解得c =2226b c a =-=+，则双曲线的方程为2213x -=；（2）由a =1b =，可得2c ==，直线l 的斜率存在，设为k ，设直线方程为()2y k x =-，()()()22111111110F A F B AB F A F B F B F A F B F A +⋅=+⋅-=-=uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，可得11F A F B =，由()2y k x =-，联立双曲线方程2233x y =-，可得()222213121230kxk x k -+--=，可得21221231k x x k +=-，线段AB 的中点M 为22262,3131k k k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，由1F M l ⊥，可得12221662F M kk k k k ⋅==-+-，解得k =，满足()()4221444123130k k k ∆=+⋅+->，故直线l的斜率为；（3）证明：设()00,P x y ，双曲线的两条渐近线为0bx ay ±=， 可得P222222002222b x a y a b a b a b -==++， 即为222222b x a y a b -=，可得2200221x y a b-=±，可得P 在双曲线22221x y a b-=或22221x y a b -=-上，即有点P 到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值2222a b a b+是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，同时也考查为韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件、点到直线的距离公式以及必要不充分条件的判断，解题时要结合相应条件进行转化，考查化归与转化、以及方程思想的应用，属于难题.。
2018-2019学年上海市嘉定区高二第二学期期末数学试卷(解析版)
2018学年第二学期期末考试高二年级数学试卷满分150分 时间90分钟一、填空题（本大题54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前6题每题得4分，后6题每题得5分. 1、 椭圆1322=+y x 的焦点坐标是____________.【答案】 ()0,2±2、若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是____________. 【答案】 13、球的表面积是期大圆面积的____________倍. 【答案】 44、棱长为2的正四面体的高为____________.【答案】332 5、展开二项式61⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x ，其常数项为____________. 【答案】 206、从0,1,2,3,4中取3个不同的数组成一个三位数，且这个数大于200，共有________不同的可能.【答案】 367、圆锥的母线长是3，高是2，则其侧面积是___________. 【答案】π38、双曲线13222=-by x 的虚轴长为2，其渐进线夹角为___________. 【答案】3π 9、在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为(1,2,3)和(-2,-3,-1)，则该二面角的大小为___________.(结果用反三角函数表示)【答案】 141arccos10、现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号为1、2、3，从中任取3个小球，颜色和编号均不相同的情况有_________种. 【答案】 611、已知点1,2),,(),,(22≤+≤+v u t s v u Q t s P ，复数21、z z 在复平面内分别对应点Q P 、，若21z z z +=，则z 的最大值是___________. 【答案】312、已知点O 在二面角βα--AB 的棱上，点P 在半平面α内，且12π=∠POB ，若对于半平面β内异于O 的任意一点Q ，都有12π≥∠POQ ，则二面角βα--AB 大小的取值集合为___________. 【答案】⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分 13、“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（） A 杨辉 B 刘徽 C 祖暅 D 李淳风 【答案】C14、已知n ，m ∈*N ，n ≥m ，下面哪一个等式是恒成立的（ ） A 、 mn C =!!m n B 、)!(!m n n P n m -= C 、 111-+-=+m n m n m n C C C D 、111++-=+m n m n m n C C C【答案】B15、在复数范围内，多项式4X²+1可以因式分解为（ ） A 、4（X -2i ）（x+2i ） B 、4（X -21）(X+21) C 、（X -2i ）（x+2i ） D 、（X -21）(X+21) 【答案】A16、已知抛物线A p px y 上有两点是正常数)(22=（11,y x ），B （22,y x ）焦点F ，甲：1x 2x =42p 乙：1y 2y =-2p 丙：OA •OB =－243p 丁：p FB FA 211=+ 以上是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件共有几个（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B17、已知复数W 满足W （1+2i ）=4+3i （i 为虚数单位），Z=w5+2-w ，求一个以Z 为根的实系数一元二次方程.解：i iiii -=++=+=+2213434)21(ωω i i i w w z +=-+-=-+=322251061a 10)3)(3(633a b-i -32=+-==-+==-++=x x i i aci i z 时，得当一根，得另一根为为实系数一元二次方程 18、在平面直角坐标系中，椭圆C ：12222=+by a x （0〉〉b a ），右焦点2F 为（c ，0）.（1）若其长半轴长为2，焦距为2，求其标准方程.（2）证明该椭圆上一动点P 到点2F 的距离d 的最大值是a+c. 解：（1）由题意得a=2,2c=2 得3222=-=c a b所以，标准方程为13422=+y x （3）设P （x,y ）[][]a a cc a x acx x a c x a b b c x y c x d PF a a x ,a 2)()(,22222222222222-∉=∴+-=-+-=+-==-∈ 为对称轴当ca c a d a x c a a x a x +∴-==+=-=±=∴最大值为时得当时得当时取最值当min max d19、推广组合数公式，定义!)1()1(m m x x x C mn +--=，其中*∈∈N m R x ,，且规定10=x C .（1）求415-C 的值.（2）设0〉x ，当x 为何值时，函数213)()(x xC C x f =取得最小值？ 解：（1）30604321)18()17()16(15415=⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-=-C(2)6322)(22220)32(61623)(321)2)(1(min 213-==∴≥+∴>-+=+-==⨯⨯--=x f x xx x xx x x x x f xC x x x C x x 时当20、被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如下图所示，在棱长为4的正方体ABCD －1111D C B A 中，点)24,,2,1( =i P i 为棱上的四等分点. （1）求该方灯体体积.（2）求直线21P P 和116P P 的所成角. 求直线139P P 和平面921P P P 的所成角. 解答（1） V=S ABCD h -8 13S B1P9P2 B 1P 1=64- 43=1883(2) ∵P 1P 2∥P 6P 5∴ P 1P 2 和P 6P 11的所成角即为P 6P 5和P 6P 11的所成角为Π3（3）（3）直线P 9P 13和平面P 1P 2P 9的所成角为a=arccos √6321.（本题满分18分）本题共3三小题，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分。
上海市嘉定区第一中学2018-2019学年高三数学文测试题含解析
上海市嘉定区第一中学2018-2019学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是不共线的向量那么A、B、C三点共线的充要条件是A． B． C． D．参考答案：答案：D2. “更相减损术”是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下程序框图，若输入的a，b分别为98、38，则输出的i为( )A．5 B．6 C. 7 D．8参考答案：D3. 一个样本容量为的样本数据，它们组成一个公差不为的等差数列，若，且成等比数列，则此样本的中位数是（）A． B． C． D．参考答案：A略4. 某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )A. B. C.D.参考答案：C由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，那么根据体积公式可得组合体的体积为，选C.5. 在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如右。
下列说法正确的是（）A．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定B．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定C．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定D．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定参考答案：C6.已知函数为常数）的图象过点的反函数，则的值域为（）A. [2，5]B. [1，5]C. [1，10] D. [2，10]参考答案：答案:B7. “”是“关于x的不等式的解集非空”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分又不必要条件参考答案：C试题分析：解：因为，所以由不等式的解集非空得：所以，“”是“关于x的不等式的解集非空”的充分不必要条件，故选C.考点：1、绝对值不等式的性质；2、充要条件.8. 设变量满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：C9. 若的三个内角满足,则【】.A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形参考答案：C因为，所以，不妨设，由余弦定理得：，所以角C为钝角，所以一定是钝角三角形。
上海市2018_2019学年高二数学下学期阶段性检测试题(含解析)
上海市2018-2019学年高二数学下学期阶段性检测试题（含解析）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知i 为虚数单位，若复数()()12ai i ++是纯虚数，则实数a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】∵复数（1+ai ）（2+i ）＝2﹣a +（1+2a ）i 是纯虚数，∴20120a a -=⎧⎨+≠⎩，解得a ＝2． 故答案为：2．【点睛】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键，本题属于基础题． 2.椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为______.【答案】6 【解析】 【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩变形为cos 5sin 4xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，平方相加消去参数θ可得：2212516x y +=， 所以，c ==3，所以，焦距为2c ＝6．故答案为6．【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．3.以椭圆2212x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______.【答案】221x y -= 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程．【详解】椭圆2212x y +=的焦点为F （±1，0），，0）；则双曲线的顶点为（±1，0），0）， ∴a ＝1，c，∴b ==1， ∴双曲线的方程为221x y -=， 故答案为：221x y -=．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．4.某圆锥体的侧面图是圆心角为23π的扇形，当侧面积是27π时，则该圆锥体的体积是______.【答案】 【解析】 【分析】由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长，展开图的弧长是底面圆的周长，可以求出圆锥的母线和底面圆半径，从而得出高和体积．【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的半径为l ，则侧面展开图扇形的面积S 1223π=⨯ l 2＝27π；∴l ＝9．又设圆锥的底面圆半径为r ，则2πr ＝23πl ， ∴r 13=l ＝3； ∴圆锥的高h === ∴该圆锥体的体积是：V 圆锥13=•πr 2•h 13=•π•9•=．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥的体积公式，考查了空间想象能力，计算能力，关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系,属于基础题．5.已知实数x 、y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为______.【答案】5 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(2,1),(1,0)A B C -，直线2z x y =-过点C 时取最大值1. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的体积相等，则它们的表面积之比:S S =圆柱球______.（用数值作答） 【答案】76【解析】【分析】由已知中圆柱M 与球O 的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的表面积后，即可得到S 圆柱：S 球的值．【详解】∵设圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径均为R ，M 的高为h 则球的表面积S 球＝4πR 2又∵圆柱M 与球O 的体积相等 即2343R h R ππ= 解得h ＝43R ， 4πR 2＝2πR 2+2πR •h 则S 圆柱＝2πR 2+2πR •h=2143R π，S 球24R π=， ∴S 圆柱：S 球147436==：， 故答案为：76. 【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求出圆柱的高，是解答本题的关键．7.若虛数1z 、2z 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，且212z z =，则pq =______.【答案】1 【解析】 【分析】设z 1＝a +bi ，则z 2＝a ﹣bi ，（a ，b ∈R ），根据两个复数相等的充要条件求出z 1，z 2，再由根与系数的关系求得p ，q 的值．【详解】由题意可知z 1与z 2为共轭复数，设z 1＝a +bi ，则z 2＝a ﹣bi ，（a ，b ∈R 且b 0≠），又212z z =，则222abi a b -+=a ﹣bi ，∴（2a +b ）+（a +2b ）i ＝1﹣i ，∴22122ab 2a a b a b b ⎧=-⎪⎧-=⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=±⎪⎩．∴z 1＝12-，z 2＝12-i ，（或z 2＝12-，z 1＝12-i ）由根与系数的关系，得p ＝﹣（z 1+z 2）＝1，q ＝z 1•z 2＝1， ∴pq ＝1． 故答案为：1.【点睛】本题考查实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考查了两个复数相等的充要条件，属于基础题．8.已知双曲线221x y -=，1A 、2A 是它的两个顶点，点P 是双曲线上的点，且直线1PA 的斜率是12，则直线2PA 的斜率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】设P （x 0，y 0），则22001x y -=，202011y x =-，由A 1（﹣1，0），A 2（1，0），知k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--，由此能求出直线PA 2的斜率． 【详解】设P （x 0，y 0），则22001x y -=，∴202011y x =-， ∵A 1（﹣1，0），A 2（1，0），设直线PA 1的斜率为k 1，直线PA 2的斜率为k 2，∴k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--， ∵k 112=， ∴k 22=． 故答案：2．【点睛】本题考查两直线的斜率之积的求法，考查曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考查了分析问题的能力，属于基础题．9.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R =______.【答案】【解析】 【分析】根据题意，得出AB ＝BC ＝CA ＝R ，利用其周长得到正三角形ABC 的外接圆半径r ，故可以得到高，设D 是BC 的中点，在△OBC 中，又可以得到角以及边与R 的关系，在Rt △ABD 中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R ．【详解】∵球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ， ∴∠ABC ＝∠BCA ＝∠CAB 3π=，∴AB ＝BC ＝CA ＝R ，设球心为O ，因为正三角形ABC 的外径r ＝2，故高AD 32=r ＝3，D 是BC 的中点． 在△OBC 中，BO ＝CO ＝R ，∠BOC 3π=，所以BC ＝BO ＝R ，BD 12=BC 12=R ．在Rt △ABD 中，AB ＝BC ＝R ，所以由AB 2＝BD 2+AD 2，得R 214=R 2+9，所以R ＝故答案为：．【点睛】本题考查了球的基本概念及性质应用，考查了空间想象能力，是基础题．10.关于x 的方程1x +m 的取值范围是______.【答案】m 1≥-． 【解析】 【分析】由题意可得，函数y ＝x +1的图象和函数y =的图象有一个交点，对函数y =的m 分类，分别画出y =的图象，可求出实数m 的取值范围．【详解】∵关于x 的方程x+1=故直线y＝x+1的图象和函数y=的图象有一个交点．在同一坐标系中分别画出函数y＝x+1的图象和函数y=的图象．由于函数y====和直线y＝x+1的图象如图：当m=0时，y x满足有一个交点；当m>0时，y=y2﹣x2＝m(y>0)此双曲线y2﹣x2＝m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，双曲线y2﹣x2＝m的顶点坐标为（0，如图：只要m>0，均满足函数y＝x+1的图象和函数y=的图象有一个交点，当m<0时，y=x2﹣y2＝﹣m(y>0)，此双曲线x2﹣y2＝﹣m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，而双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的顶点坐标为（0），如图：1≤时，满足函数y ＝x +1的图象和函数y即当1m 0-≤<时符合题意； 综上： m 1≥-， 故答案为：m 1≥-．【点睛】本题考查的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y ＝x +1的图象和函数y =是解答本题的关键，考查了数形结合思想，属于中档题．11.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别在线段1AB 、1BC 上运动（不包括线段端点），且AM BN =.以下结论：①1AA MN ⊥；②若点M 、N 分别为线段1AB 、1BC 的中点，则由线MN 与1AB 确定的平面在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为等边三角形；③四面体MBCN 的体积的最大值为124；④直线1D M 与直线1A N 的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，可得四边形MNEF 是矩形，可得MN ∥FE ，利用AA 1⊥面AC ，可得结论成立；②截面为△AB 1C ，为等边三角形，故正确．③设=BN 1λB C ，则MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），故③成立； ④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角接近于3π，当λ接近于1时，夹角接近于2π，故④不正确；【详解】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，∵AM ＝BN ，∴NE ＝MF ，∴四边形MNEF 是矩形，∴MN ∥FE ，∵AA 1⊥面AC ，EF ⊂面AC ，∴AA 1⊥EF ，∴AA 1⊥MN ，故①正确；②点M 、N 分别为线段AB 1、BC 1的中点，则由线MN 与AB 1确定的平面在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 上的截面为△AB 1C ，为等边三角形，故②正确． ③设=BN 1λB C ，则M BCN V -＝13BCNS d M ﹣BCN ，又AM=BN=11λB λA C B =,∴BCN S=1λ2，d M ﹣BCN =()1λAB 1λ-=-，∴MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），当且仅当1λ2=时取得最大值，故③成立；④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线1A D 和直线1B A 的夹角，接近于3π，当λ接近于1时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线11D B 和直线11A C 的夹角，接近于2π，故④不正确；综上可知，正确的结论为①②③ 故答案为：①②③【点睛】本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[]3,4至少有一个零点，则22a b +的最小值为______. 【答案】1100【解析】 【分析】把等式看成关于a ，b 的直线方程：（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0，由于直线上一点（a ，b ）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，从而可得，从而可得a 2+b 222221()51(24)2x x x x -≥=+-++-；从而解得．【详解】把等式看成关于a ，b 的直线方程：（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0， 由于直线上一点（a ，b ）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，≥所以a 2+b 222221()51(24)2x x x x -≥=+-++-， ∵x ﹣252x +-在[3，4]是减函数，∴252+≤x ﹣252x +≤-1+5； 即92≤x ﹣252x +≤-6； 故2115100(24)2x x ≥-++-；当x ＝3，a 225=-，b 350=-时取等号，故a 2+b 2的最小值为1100．故答案为：1100． 【点睛】本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a ，b 的直线方程（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0是难点，属于较难题．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑13.设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 不平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直【答案】C 【解析】 【分析】由已知中直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，可得直线l 与直线m 异面或平行，进而得到答案．【详解】∵直线l 与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公共点， 又直线m 在平面α上， ∴直线l 与直线m 没有公共点， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查了直线与平面平行的定义，属于基础题．14.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是（ ） A. 1a b +>B. 1a b +<C. 221a b +<D.221a b +>【答案】C 【解析】 【分析】先设出复数z，利用复数相等的定义得到集合A看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若A∩B＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z＝x+yi，则（a+bi）（x﹣yi）+（a﹣bi）（x+yi）+2＝0化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆x2+y2=0的点集，若A∩B＝∅，即直线ax+by+1＝0与圆x2+y2=0没有交点，d1=，即a2+b2＜1故选：C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．15.已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（）A. 0B. 79C. 0或79D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，如图，取CD中点E，则∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，AE、BE是平面ABE内的相交直线∴CD⊥平面ABE，结合AB⊆平面ABE，可得AB⊥CD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，检验：此时△ABE中，AE＝BE=AE+BE＞AB，故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ9947 2339+-==⨯⨯综上所述，得所求余弦值为7 9故选B.【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题．16.以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误； 【详解】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确； 对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误； ∴只有命题①正确． 故选A ．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1.（1）求二面角1B AC B --的大小；（用反三角函数表示） （2）求直线1A B 与平面11BDD B 所成角的大小.【答案】（1）；（2）6π. 【解析】 【分析】（1）连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，先说明1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角，再在1Rt BO B 中求得1tan BOB ∠即可．（2）取11B D 的中点1O ，连接1A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得1AO ⊥平面11BDD B ，可得11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角. 在直角三角形11AO B 中，计算11sin A BO ∠即可.【详解】（1）连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，因为AB BC =，则BO AC ⊥， 因为11AB CB =，则1B O AC ⊥，所以1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角.因为1B B ⊥平面ABCD ，2BO =，11BB =，所以11tan BB BOB BO ∠==所以1BOB ∠=，即二面角1B AC B --的大小为. （2）取11B D 的中点1O ，连接1A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得1A O ⊥平面11BDD B ， 所以11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角.在直角三角形11AO B 中，112A O =，1A B =所以111111sin 2A O A BO A B ∠==，所以116A BO π∠=， 所以直线1AB 与平面11BDD B 所成角的大小为6π. 【点睛】本题考查线面角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，利用定义定理作出所求角是关键，是中档题．18.已知抛物线24y x =，(),0A a 是x 轴上一点，(),P x y 是抛物线上任意一点. （1）若1a =，求PA 的最小值；（2）已知O 为坐标原点，若PA 的最小值为OA ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）2a ≤. 【解析】 【分析】（1）由题意及抛物线的定义可得PA =P 到准线的距离，可得P 为抛物线的顶点时，PA 的最小值为1.（2）将PA 表示为关于x的函数，结合二次函数的性质求得结果.【详解】（1）当a=1时，A （1，0）为抛物线的焦点，此时PA =P 到准线的距离， ∴当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离最小为1，即PA 的最小值为1. （2）||PA ===||PA 的最小值为||OA ，即当0x =时||PA 取得最小值，所以20a -≤，即2a ≤.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了二次函数最值问题，考查了分析转化能力，属于基础题.19.如图，已知四面体ABCD 中，DA DB DC ===且DA DB DC ==两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心.（1）过O 作OE AD ⊥，求DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积；（2）将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角记为θ，求cos θ的取值范围.【答案】（1；（2）0cos θ≤≤. 【解析】 【分析】（1）由圆锥的几何特征可得，该几何体由两个底面相等的圆锥组合而成，其中两个圆锥的高，底为3，代入圆锥的体积公式，即可得到答案． （2）以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求得cos θ=，令t y =+，结合点A 的轨迹方程求得t 的范围，可得结果.【详解】（1）过E 作EH DO ⊥，经计算得DO =，=OA 2OE =，由此得EH =所以DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积213V π==⎝⎭. （2）过O 作OGAC 交AB 于G ，以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D ，()10y f x π=-，3,0)C -，设(, ,0)A x y ，则(33,3,0)BC =-，(,AD x y =--，所以cosθ=，在xOy 平面上，点A 的轨迹方程为2212x y +=，令t y =+，将t y =+看作直线y=，则直线y=与圆2212x y +=有公共点，则||2t d =≤所以0t ≤≤0cos 3θ≤≤. 【点睛】本题考查了旋转体的体积，考查了利用空间向量进行异面直线所成的角的求法，涉及点的轨迹问题，属于中档题．20.如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 是边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AD DC ⊥，2AD =，90ADF ∠=︒.（1）求异面直线BE 和CD 所成角的大小； （2）求几何体EF ABCD -的体积；（3）若平面ABCD 内有一经过点B 的曲线Γ，该曲线上的任一动点都满足EQ 与CD 所成角的大小恰等于BE 与CD 所成角.试判断曲线Γ的形状并说明理由.【答案】（1）；（2）163；（3）双曲线.【解析】 【分析】 （1）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，求出向量CD ，BE 的坐标，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；（2）利用几何体的体积V ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣CEF ，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．（3）利用向量夹角公式直接可得关于x ，y 的表达式，满足双曲线方程，可得结果.【详解】（1）∵AD DC ⊥且90ADF ︒∠=，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥如图建系，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,4,0)B ，(0,0,2)E ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(2,4,2)BE =--，(0,2,0)CD =-u u u r设异面直线BE 和CD 所成角的大小为θ，则6cos 1||||BE CD BE CD θ⋅==⋅所以异面直线BE 和CD 所成角的大小为. （2）如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，则BN ⊥平面CDEF ，且BN ＝2．∵V EF ﹣ABCD ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣ECF()1111111642222223332323ABCDEFCS DE S BN =⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=． ∴几何体EF ﹣ABCD 的体积为163．（3）设(, , 0)Q x y ，则(,,2)EQ x y =-，由题意知EQ 与CD 所成角的大小为所以|3||EQ CD EQ CD ⋅==‖化简得22184y x -=所以曲线Γ的形状是双曲线.【点睛】本题考查了利用向量法求异面直线所成角，考查了组合几何体体积的计算，考查了学生的空间想象能力与运算能力，属于中档题．21.椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端，直线l 与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点O 作直线l 的垂线，垂足为D .若OA OB ⊥，求点D 的轨迹方程；（3）设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为1k ，k ，2k ，其中0k >且212k k k =.设OAB ∆的面积为S .以OA 、OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ，求12S S S+的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=；（2）2245x y +=；（3）5,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）由题意知a ＝2b=，由此能求出椭圆方程．（2）先考虑直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，和椭圆的方程联立，结合向量的垂直关系即可找到找m ，k的关系式，从而求得||5OD =．再验证斜率不存在时也满足，则可得点D 的轨迹方程.（3）设直线l 的方程为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出12S S S+的取值范围． 【详解】（1）由题可知，2a b =，解得：2a =，1b =，故椭圆的方程为：2214x y +=.（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有：()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+-> ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=∴()()12120x x kx m kx m +++=由韦达定理代入化简得：22544m k =+∵OD 垂直直线l，∴ ||5OD == 当直线l 斜率不存在时，设l ：x t =，易求t =?，此时||5OD = 所以点D 的轨迹方程为2245x y +=. （3）设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠， 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有： ()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+-> ∵212k k k =⋅，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++=⋅=，即()2120km x x m ++= 由韦达定理代入化简得：214k =. ∵0k >，∴12k = 此时()21620m∆=->，即(m ∈⋃.故121||2S AB d x =⋅=-||||m m ==又()22221211224S S x y x y π+=⋅+++2212332444x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ ()212123521624x x x x πππ⎡⎤=⋅+-+=⎣⎦为定值.∴1254S S S π+=5544ππ=≥ ∴当且仅当1m =±时等号成立.综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程，考查弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于较难题．。
嘉定区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
嘉定区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 以过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定2． 已知函数f （x ）=x 2﹣，则函数y=f （x ）的大致图象是（）A ．B ．C ．D．3． 四面体 中,截面 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（）ABCDPQMN A ． B ．AC BD ⊥AC BD= C. D ．异面直线与所成的角为AC PQMN P PM BD 45o4． i 是虚数单位，=（）A ．1+2iB ．﹣1﹣2iC ．1﹣2iD ．﹣1+2i5． 记集合和集合表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，{}22(,)1A x y x y =+£{}(,)1,0,0B x y x y x y =+£³³ 若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．12p1p2p13p【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．6． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（）A ．M ＞N ＞PB ．P ＜M ＜NC ．N ＞P ＞M7． 已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（）A ．﹣1B ．1C ．﹣D ． 8． 复数的虚部为（ ）A ．﹣2B ．﹣2iC ．2D ．2i9． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．B ．（4+π）C ．D．10．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）A ．80B ．40C ．60D ．2011．已知三个数，，成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列的前三1a -1a +5a +{}n a 项，则能使不等式成立的自然数的最大值为（ ）1212111n na a a a a a +++≤+++L L A ．9 B ．8 C.7D ．512．设函数y=sin2x+cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则（）A ．T=π，B ．T=π，A=2C ．T=2π，D ．T=2π，A=2二、填空题13．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．14．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为 ． 15．函数y=1﹣（x ∈R ）的最大值与最小值的和为 2 ．16．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数在上是增函()f x xlnx ax ＝－＋()0e ，数，函数，当时，函数g （x ）的最大值M 与最小值m 的差为，则a 的值()22xa g x e a ＝－＋[]03x ln ∈，32为______.17．已知sin α+cos α=，且＜α＜，则sin α﹣cos α的值为 ．18．在中，已知，则此三角形的最大内角的度数等ABC ∆sin :sin :sin 3:5:7A B C =于__________.三、解答题19．本小题满分12分已知椭圆2．C Ⅰ求椭圆的长轴长；CⅡ过椭圆中心O 的直线与椭圆交于A 、B 两点A 、B 不是椭圆的顶点，点M 在长轴所在直线上，且C C C ,直线BM 与椭圆交于点D ，求证：AD AB 。
嘉定区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
嘉定区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 在等差数列中，首项公差，若，则{}n a 10,a =0d ≠1237k a a a a a =++++L k =A 、B 、C 、D 、222324252． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．8+2B ．8+8C ．12+4D ．16+43． 设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+取得最小值时，实数a 的值是（）A ．B ．C ．或D ．34． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A ．2sin 2cos 2αα-+ B．sin 3αα+C. 3sin 1αα-+ D ．2sin cos 1αα-+5． 设是等差数列的前项和，若，则（ ）n S {}n a 5359a a =95SS =A ．1B ．2C ．3D ．46． 如图，函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f （x ）的图象的一个对称中心是（）A ．（﹣，0）B ．（﹣，0）C ．（，0）D ．（，0）7． 函数y=2x 2﹣e |x|在[﹣2，2]的图象大致为（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．B ．C ．D ．8． 若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，1]B ．[0，1]C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]9． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．将函数f （x ）=sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（）A ．B ．C ．D ．11．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量（单位：毫克/升）与时间（单位：P t 小时）间的关系为（，均为正常数）．如果前5个小时消除了的污染物，为了消除0e ktP P -=0P k 10%27.1%的污染物，则需要（ ）小时.A. B. C. D. 8101518【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.12．从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．14．在△ABC 中，A=60°，|AB|=2，且△ABC 的面积为，则|AC|= ．15．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数有两个极值点，则实数的()()ln f x x x ax =-a 取值范围是．17．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数，其中，若存在唯一的整数()()21xf x ex ax a =--+1a <，使得，则的取值范围是0x ()00f x <a 18．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于_________.nsin2x 20．设函数f （x ）=x 3﹣6x+5，x ∈R （Ⅰ）求f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有3个不同实根，求实数a 的取值范围．21．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程． 1n =5,1S T ==S T >？22．已知p：，q：x2﹣（a2+1）x+a2＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．23．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．24．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体（Ⅰ）求几何体的表面积（Ⅱ）判断在圆A上是否存在点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为45°，且∠CAM为锐角若存在，请求出CM 的弦长，若不存在，请说明理由．嘉定区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】，1237k a a a a a =++++L 17672a d ⨯=+121(221)d a d ==+-∴．22k =2． 【答案】D【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA 1=2，AB=2，高为，根据三视图得出侧棱长度为=2，∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16，故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题． 3． 【答案】C【解析】解：∵a+b=3，b ＞0，∴b=3﹣a ＞0，∴a ＜3，且a ≠0．①当0＜a ＜3时， +==+=f （a ），f ′（a ）=+=，当时，f ′（a ）＞0，此时函数f （a ）单调递增；当时，f ′（a ）＜0，此时函数f （a ）单调递减．∴当a=时， +取得最小值．②当a ＜0时， +=﹣（）=﹣（+）=f （a ），f ′（a ）=﹣=﹣，当时，f ′（a ）＞0，此时函数f （a ）单调递增；当时，f ′（a ）＜0，此时函数f （a ）单调递减．∴当a=﹣时，+取得最小值．综上可得：当a=或时，+取得最小值．故选：C ．【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 4． 【答案】A 【解析】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积ααsin 2sin 112142=⨯⨯⨯⨯=S ；故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.考点：余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式ααsin 21sin 1121=⨯⨯⨯=S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()αcos 2-1122+，进而得到正方形的面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ，最后得到答案.5． 【答案】A 【解析】1111]试题分析：．故选A ．111]199515539()9215()52a a S a a a S a +===+考点：等差数列的前项和．6． 【答案】 B【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sin φ=，即sin φ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f （x ）=2sin （2x+）．由2x+=k π，k ∈Z 可解得：x=，k ∈Z ，故f （x ）的图象的对称中心是：（，0），k ∈Z当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．7．【答案】D【解析】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D8．【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，∴单调间区间为[a，+∞）又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1∵函数g（x）=在区间（﹣∞，﹣a）和（﹣a，+∞）上均为减函数，∵g（x）=在区间[1，2]上是减函数，∴﹣a＞2，或﹣a＜1，即a＜﹣2，或a＞﹣1，综上得a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]，故选：D【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围． 9．【答案】B【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．10．【答案】D【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：当x=时，sin（2×﹣）=0；∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．11．【答案】15【解析】12．【答案】B【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到，这三个事件是相互独立的，第一次不被抽到的概率为，第二次不被抽到的概率为，第三次被抽到的概率是，∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是=，故选B．二、填空题13．【答案】 84 ．【解析】解：（x2﹣）9的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x18﹣3r，令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7===84，故答案为：84．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14．【答案】 1 ．【解析】解：在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，所以，则|AC|=1．故答案为：1．【点评】本题考查三角形的面积公式的应用，基本知识的考查． 15．【答案】 75 【解析】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】由题意分两类，可以从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解，第一类，若从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，有C 31C 63=60，第二类，若从其他六门中选4门有C 64=15，∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．故答案为：75．【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．16．【答案】.【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx令f ′（x ）=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，函数有两个极值点,等价于f ′（x ）=ln x −2mx +1有两个零点，()()ln f x x x mx =-等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，，当m =时，直线y =2mx −1与y =ln x 的图象相切，12由图可知,当0<m <时，y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，12则实数m 的取值范围是（0,），12故答案为：（0,）.1217．【答案】【解析】试题分析:设,由题设可知存在唯一的整数，使得在直线0x的下方.因为,故当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当且,解之得,应填答案.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点，使得为背景,设置了一道求函数解析式中的参数0x ()00f x <的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依0x据题设建立不等式组求出解之得.18．【答案】6【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，；第2次运行后，9,2,2,S T n S T ===>；第3次运行后，；第4次运行后，13,4,3,S T n S T ===>17,8,4,S T n S T ===>；第5次运行后，，此时跳出循环，输出结果21,16,5,S T n S T ===>25,32,6,S T n S T ===<6n =程序结束．三、解答题19．【答案】【解析】（本题满分12分）解：（1）由表格给出的信息知，函数f （x ）的周期为T=2（﹣0）=π．所以ω==2，由sin （2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以φ=．所以函数的解析式为f （x ）=sin （2x+）=cos2x …6分（2）g （x ）=f （x ）+sin2x=sin2x+cos2x=2sin （2x+），令2k≤2x+≤2k，k∈Z则得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z故函数g（x）=f（x）+sin2x的单调递增区间是：，k∈Z…12分【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应用，属于基本知识的考查．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∴当，∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是当；当（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，∴当的图象有3个不同交点，即方程f（x）=α有三解．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），则即=，∴M=．又det（M）=﹣3，∴M﹣1=；（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），则=M﹣1=，即，∴代入4x+y﹣1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．22．【答案】【解析】解：由p：⇒﹣1≤x＜2，方程x2﹣（a2+1）x+a2=0的两个根为x=1或x=a2，若|a|＞1，则q：1＜x＜a2，此时应满足a2≤2，解得1＜|a|≤，当|a|=1，q：x∈∅，满足条件，当|a|＜1，则q：a2＜x＜1，此时应满足|a|＜1，综上﹣．【点评】本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．23．【答案】【解析】解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，由题设f（x）=k 1x，g（x）=k2，（k1，k2≠0；x≥0）由图知f（1）=，∴k1=又g（4）=，∴k2=从而f（x）=，g（x）=（x≥0）（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元y=f（x）+g（10﹣x）=，（0≤x≤10），令，∴（0≤t≤）当t=，y max≈4，此时x=3.75∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．24．【答案】【解析】解：（1）根据题意，得；该旋转体的下半部分是一个圆锥，上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，其表面积为S=×4π×2×2=8π，或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，易证FM⊥BC，∴∠MFE为二面角M﹣BC﹣D的平面角，设∠CAM=θ，∴EM=2sinθ，EF=，∵tan∠MFE=1，∴，∴tan=，∴，∴CM=2．【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海市嘉定区第一中学高二下学期期中检测数学试题一、单选题1．下列命题中正确的是（）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面【答案】D【解析】利用定理及特例法逐一判断即可。
【详解】解：如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线相交、平行或异面，故A不正确；过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直，不正确．反例：如果该直线本身就垂直于已知平面的话，那么可以找到无数个平面与已知平面垂直，故B不正确；如果这两条直线都在平面内且平行，那么这直线不平行于这个平面，故C不正确；如果两条直线都垂直于同一平面，则这两条直线平行，所以这两条直线共面，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了线线平行的判定，面面垂直的判定，线面平行的判定，线面垂直的性质，考查空间思维能力，属于中档题。
2．如图，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．1+22B．2C．2D．122【答案】B【解析】先还原几何体，再根据直角梯形面积公式得结果.【详解】几何体为一个直角梯形，上底长为1，下底长为1+2，高为2，因此面积为12(112)2 2.2⨯⨯++=+选B. 【点睛】本题考查直观图，考查基本分析求解能力，属基础题.3．已知直线:4360l x y -+=，抛物线C ：24y x =上一动点P 到直线l 和y 轴距离之和的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．65D ．2116【答案】A【解析】抛物线24y x =上一动点P 到直线l 和y 轴距离之和最小转化为：抛物线24y x =上一动点P 到直线l 和直线x ＝-1的距离之和最小，x ＝−1是抛物线24y x =的准线，则P 到x ＝−1的距离等于PF ，F （1，0）为抛物线24y x =的焦点，过F 作4360x y -+=垂线，和抛物线的交点就是P ，所以点P 到直线:4360l x y -+=的距离和到y 轴的距离之和的最小值就是F （1，0）到直线4360x y -+=距离再减1．【详解】解：x ＝−1是抛物线24y x =的准线，抛物线24y x =的焦点F （1，0），则P 到x ＝−1的距离等于PF ，过F 作4360x y -+=垂线，和抛物线的交点就是P ，所以点P 到直线l ：4360x y -+=的距离和到直线：x ＝−1的距离之和的最小值 就是F （1，0）到直线4360x y -+=距离，所以最小值2==． 抛物线24y x =上一动点P 到直线l 和y 轴的距离之和的最小值是：2−1＝1故选：A ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意抛物线的性质的灵活运用．4．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ）（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断.【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误.故选：B.【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线.二、填空题5．复数13i z i -=的虚部是________ 【答案】-1【解析】根据复数的除法运算即可.【详解】 解：133i z i i -==--， 复数13i z i-=的虚部是-1， 故答案为：-1.【点睛】本题考查复数的除法，是基础题.6．已知321()22(1)z i -+=-，则z =______________ 【答案】12【解析】利用除法的模就是模的除法，乘方的模就是模的乘方来进行计算即可.【详解】解：()32121z i ⎝⎭===-， 故答案为：12【点睛】 本题考查复数模的计算，是基础题.7．已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为______【答案】4【解析】由题得2493a -=+，解之即得a 的值.【详解】由题得2493a -=+，所以a=4,故答案为：4【点睛】（1）本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)椭圆中222c a b =-，双曲线中222.c a b =+8．棱长为a 的正方体外接球的表面积为________【答案】23a π【解析】先求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】解：由已知外接球的半径22r ==，外接球的表面积为2224432S r a πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭， 故答案为：23a π【点睛】本题考查球的表面积公式，考查学生空间想象能力，是基础题.9．232021i i i i ⋅⋅L 的值是________________【答案】i -【解析】变形12320212432021,(03,,)n k i i k n k i i iN i ++++==≤≤⋅⋅∈L L ，确定,n k 的值，即可得答案.【详解】 解：(12021)202321123202120201011100834(5051011252)3032221i i i i i i i i i i +⨯+++⨯++⨯++=====-⋅⋅=L L ，故答案为：i -.【点睛】本题考查复数的乘方运算，充分利用41i =是关键，是基础题.10．34i +的平方根为________【答案】(2)i ±+【解析】先设复数z a bi =+，可得2()34a bi i +=+，再结合复数相等的充要条件求解即可.【详解】解：设所求复数为z a bi =+，由题意有2()34a bi i +=+，即22234a b abi i -+=+， 则22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，即2z i =+或2z i =--，即34i +的平方根为(2)i ±+，故答案为：(2)i ±+.【点睛】本题考查了复数的运算及复数相等的性质，属基础题.11．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为__________．【答案】45︒【解析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．【详解】设侧棱与底面所成的角为θ．因为是正四棱锥，所以顶点到底面的高的垂足一定是底面正方形的中心，所以在由侧棱、高和底面对角线的一半所构成的直角三角形中，2cos 1θ==，故45θ=︒． 【点睛】本题考查棱锥的结构特征，以及求直线和平面成的角的方法，体现了数形结合的数学思想．12．已知复数z 满足31z -=，则z i -的最大值为____________1【解析】由已知得到复数z 对应点的轨迹，然后利用数形结合的思想求解．【详解】 解：由31z -=，可知复数z 对应的点在以(3,0)为圆心，以1为半径的圆周上， 而z i -表示复数z 对应的动点到点(0,1)的距离．所以z i -的最大值为22(30)(01)1101-+-+=+．故答案为:101+． 【点睛】本题考查了复数模的求法，考查了复数模的几何意义，是基础题．13．圆锥的母线长为3cm ，底面半径为1cm ，底面圆周上有一点A ，由A 点出发绕圆锥侧面一周到点A 的最短距离为____________cm【答案】33【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短路线是展开图中扇形的弧所对弦长，求弦长即可．【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短路线即展开图得到的扇形弧所对的弦长如图所示：设展开图的扇形圆心角为α，由圆锥底面半径1r cm =，母线长是3OA cm =，根据弧长公式得213πα⨯=⨯， 解得23πα=，即扇形的圆心角是120︒， 60AOH ︒∴∠=，∴动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程为弧所对的弦长：322sin 23332AH OA AO A H A '==⨯∠=⨯⨯=． 故答案为：33.【点睛】 本题考查了圆锥的侧面展开图是扇形应用问题，是基础题．14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________.【答案】36【解析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果.【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下图所示：①对于正方体的每一条棱，都有2个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12224⨯=个；②对于正方体的每一条面对角线（如11A C ，则11A C ⊥平面11BB D D ），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12112⨯=个.综上所述，正方体中的“正交线面对”共有36个.故答案为：36.15．设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的半焦距c，坐标原点到直线bx ay ab+=的距离等于114c+，则c的最小值为_______【答案】4【解析】14ab cc==+，进而根据均值不等式的性质求得22222a b cab+≤=求得c的范围．【详解】14ab cc==+，214ab c c∴=+，22222a b cab+≤=Q，22142cc c∴+≤，解得4c≥或0c≤（舍去）故答案为：4.【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是利用点到直线的距离求得,a b和c的关系16．在三角形ABC中，,AB AC AD BC⊥⊥，D是垂足，则2AB BD BC=⋅推广到空间，三棱锥A BCD-中，AD⊥面ABC AO⊥，面BCD，O为垂足，且O在三角形BCD内，则类似的结论为___________【答案】2ABC BCO BCDS S S∆∆∆=⋅【解析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中在△ABC中，AB⊥AC，点D是点A在BC边上的射影，则2AB BD BC=⋅，我们可以类比这一性质，推理出若在三棱锥A−BCD中，BA⊥平面ACD，点O是点A在平面BCD 内的射影，即可得到答案【详解】解：由已知在平面几何中，若三角形ABC 中，,AB AC AD BC ⊥⊥，D 是垂足，则2AB BD BC =⋅，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC AO ⊥，面BCD ，O 为垂足，则2ABC BCO BCD S S S ∆∆∆=⋅。