2010-2011高等数学试题(I)A卷评分标准
2010全国高中数学联赛一试评分标准a
整数的点）的个数是 1790 . 解：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,9) 与双曲线右半支于 Ak ,交直
1
线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的个数 为
(99 k ) 99 9 45 846 .
k 1
9
又 x 轴上有 98 个整点，所以所求整点的个数为
2 846 98 1790 .
4. 已知 {a n } 是公差不为 0 的等差数列， {bn } 是等比数列，其中 a1 3, b1 1, a 2 b2 ,3a 5 b3 ， 且存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 a n log bn ，则 解：设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ，则
2010 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷）
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本 评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分为一个档次，不要增加其 他中间档次。 一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分） 1. 函数 f ( x)
C B
PB PA1 5 , A1O B1O 2 , PO 3 .
在直角 PA1O 中， A1O PO A1 P OE , 即
2 3 5 OE , OE
6 5
10-11-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准
共 2 页 第 1 页10-11-3高数A 期末试卷（A ）参考答案及评分标准11.6.21一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 4；2. 2；3. 224()t f t π；4. π-；5. 4π；6. 2，3；7. i π；8. 12；9.2-，0. 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}=-⨯-=-a ，（4分）切线方程为1111492x y z ---==-.（3分）（或223022550x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩（7分）） 11．解22201d cos d cos d 2xyy x x x x y x x ===⎰⎰⎰⎰⎰.（3+2+2分） 12．解 由sin ,2sin y x y x ==(0)x π≤≤所围成的区域记为D ，利用Green 公式得2sin 220sin 033(1)d d d d d sin d 24x xCDy x xy y y x y y x x ππσπ++=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ.（3+2+2分） 13. 解 补两个面2211:1x y S z ⎧+≤⎨=⎩，2224:2x y S z ⎧+≤⎨=⎩ ，分别取下侧和上侧，（1分）由12,,S S S 所围成的区域记为Ω，利用Gauss 公式得()d d ()d d Sy x z y z x z y x y -∧+-∧⎰⎰12()d (1)d d (2)d d 0S S y x v x y x y x y x y Ω=+--∧--∧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（3+3分）三（14）．（本题满分8分）解1()n n a a ∞=∑未必收敛，例11n a n =+，10n a n ≤<，而111n n ∞=+∑发散；（2分）1()(1)nn n b a ∞=-∑未必收敛，例111(1)sin 2n n a n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n a n ≤<，而11(1)n n n ∞=-∑收敛，11sin n n ∞=∑发散，故1(1)11(1)sin 2n nn n n ∞=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑发散；（2分）1()n c ∞=11n a n =+，10n a n ≤<，而1n ∞=发散；（2分）21()(1)n n n d a ∞=-∑必定收敛，2210n a n ≤<，共 2 页 第 2 页而211n n ∞=∑收敛，所以21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛，故21(1)n n n a ∞=-∑收敛. （2分） 四（15）。
2010-2011-1高数试题[1]
![2010-2011-1高数试题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/19cf2077f242336c1eb95eee.png)
5. 水坝中有一直立矩形闸门，宽为 3 米， 高为 4 米. 闸门的上边平行于 水面，顶部与水面相齐, 则闸门所受到的水压力为____________. 三、解答下列各题(共 4 小题，每小题 6 分,共 24 分). 1.求极限 lim
x→0
1 + x sin x − cos x . sin x2
0
x
第 2 页 共 3 页
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
五、解微分方程(共 2 小题，每小题 6 分,共 12 分).
⎧ xy ′′ − y ′ = 2 x 3 ⎪ 1.求解初值问题 ⎨ ⎪ y (1) = 1, y ′(1) = 2. ⎩
四、求下列积分 (共 2 小题，每小题 6 分,共 12 分). 1. ∫ x 2 cos xdx .
⎧ x = ln(1 + t 2 ) d2y 3. ⎨ ，求 2 dx ⎩ y = t − arctan t
t =1
.
2.
求 ∫ x 4 1 − x 2 dx .
0
1
4. 确定曲线 f ( x ) = ∫ (t − 1)(t − 2) 2 dt 的凹凸区间与拐点.
三(1)
三(2)
三(3)
三(4)
四(1)
四(2)
五(1)
五(2)
六
七
一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 填在题末的括号中. 共 5 小题, 每小题 4 分, 计 20 分). 1. x = 0 是函数 f ( x) = (A) 可去间断点； (C) 振荡间断点； 2. 下列结论中，正确的是 (A) 有界数列必收敛； (C) 收敛数列必有界；
大一第一学期高数1试题A及答案
2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设，则 .()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+⎪⎝⎭()0x ≠=)3(ln f 2.设是的一个原函数，则= ．x e xsin +()f x ()f 'x 3.曲线的拐点坐标是 .16623-+=x x y 4.若，则 ．2121A dx x -∞=+⎰A =5． .21lim(2)cos2x x x →-=-二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）.()f x []12,-()()()22F x f x f x =++A ．；B ．；C ．；D ．.[]30,-[]31,-112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．是函数的（ ）.3x =1()arctan 3f x x=-A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点.3．当时，与等价，则（ ）.0→x 1ax e -x 2sin a = A ．1 ；B ．2 ；C ． ；D ．.2-214．函数 在处（）.()21sin,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0=x A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导；D ．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（ ）．A ．； B .；()()ba d f x dx f x dx =⎰()()()x ad f x dx f x f a dx=-⎰C ．；D . .()()df x dx f x dx=⎰()()f x dx f x '=⎰6．函数（ ）.()21xf x x =+ A ．在内单调增加；B ．在内单调减少；(),-∞+∞(),-∞+∞C ．在内单调增加；D ．在内单调减少.()11,-()11,-7．若可导，且，则（）.()f u ()x y f e = A ．；B ．；()x dy f e dx '=()x x dy f e e dx '= C ．；D ．.()xxdy f e e dx =()xxdy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦8．（ ）.20|1|x dx -=⎰A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．.1-9．方程的通解是( ).sin y x '''=A .； B .；21231cos 2y x C x C x C =+++21231sin 2y x C x C x C =+++C .； D ..1cos y x C =+2sin 2y x =10.曲线与该曲线过原点的切线及轴围成的图形的面积为（ ）．xe y =y A ． ；B ．；10()xe ex dx -⎰1(ln ln )ey y y dy -⎰C ．； D ．．1()ex x e xe dx -⎰10(ln ln )y y y dy -⎰题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、解下列各题（每小题6分，共12分）.1．计算.)lim x xx →+∞-2．计算．xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知，求．076333=--++y xy x y 2=x dxdy2. 设函数由参数方程所确定，求和.)(x y y =⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln dx dy22dx y d五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算．⎰++dx xx x 221)(arctan 2．计算.204ln(1)limx x t dt x→-⎰3. 计算.220cos x e xdx π⎰阅卷人阅卷人阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号 姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、（本题10分）.设曲线上任意一点处的切线斜率为,且该曲线经过点，)(x f y =),(y x 2x x y +11,2⎛⎫⎪⎝⎭（1）求函数；)(x f y =（2）求曲线，,所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积．)(x f y =0y =1x =x七、(本题10分).由半径为的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中R 心角，使圆锥的容积为最大.S阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号姓名……………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………参考答案一、填空题1.3；2.sin x e x -3.()2,0-4.1π5. 0二、单项选择题题号12345678910答案DCBCCCBCAA三、解下列各题1. 解：)lim x xx →+∞3分limx =. 6分12=2．． 解：3分xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→()222202lim 12x xx x x x x x -⋅-→⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.6分()02lim2x xx x e→-=1e e ==四、解下列各题1. 解：两边分别对求导，得x ，3分22333360dy dy dyy x y x dx dx dx+++-= 当时，，代入上式，得2x =1y =-. 6分23x dy dx==- 2..解： 3分dx dy dydt dx dt=sin sin cos cos sin t t t tt t-++=sin t t = . 6分22dxy d dy dtdx dt'=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t tt+=五、解下列各题1.．解：⎰++dx x x x 221)(arctan ()222arctan 11x xdx dx x x =+++⎰⎰ 3分()()()22211arctan arctan 21d x x d x x +=++⎰⎰. 6分()()3211ln 1arctan 23x x C =+++2．.解： 3分204ln(1)limx x t dtx→-⎰()232ln 1lim4x x x x→-= .6分220lim 2x x x →-=12=-3..解：2分220cos xe xdx π⎰()22sin xe d x π=⎰222200sin 2sin xx e x e xdx ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰()2202cos xe e d x ππ=+⎰2222002cos 4cos xx e e x e xdx πππ⎡⎤=+-⎣⎦⎰5分22024cos x e e xdx ππ=--⎰.6分∴22cos xe xdx π⎰()125e π=-三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、解：(1)，即，且当时，， 2分2y y x x '=+2y y x x '-=1x =12y =与之对应的齐次线性微分方程的通解为，y Cx = 令，将其代入非齐次线性方程得，所以，()y u x x =u x '=212u x C =+所以非齐次线性微分方程的通解为，代入初始条件得，312y Cx x =+0C =故所求函数为. 6分312y x =(2) .10分23102x V dx π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰28π=七、解：设留下的扇形的中心角为，圆锥的高为，底面半径为，则其容积为ϕh r V ，又，213V r h π=2rR πϕ=h =故 4分V =()02ϕπ<<6分3224RV π'=令 得，0V '=ϕ=当时，时，，0ϕ<<0V '>2ϕπ<<0V'<因此为极大值点，又驻点唯一，从而也是最大值点. 8分ϕ=ϕ=即当割去扇形的中心角为时，圆锥的容积最大，2π. 10分3R 八、证明：方程在区间内有唯一实根.4013101xx dt t --=+⎰)1,0( 证明：令，()401311x f x x dt t =--+⎰则，()010f =-< ，()1401121f dt t =-+⎰0>由零点定理知，至少存在一点，使. 4分()0,1ξ∈()0f ξ=由，，()41301f x x'=->+()0,1x ∈知在内单调增加，()f x )1,0(所以方程在区间内有唯一实根. 8分4013101xx dt t --=+⎰)1,0(。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(⎰--为( )(A) c e F x+)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x 。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→xx x 11lim20_____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
10-11 高等数学1试题(A卷)及解答
广州大学2010-2011学年第一学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ1（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:__________专业班级:__________ 学号:__________ 姓名:_________一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)1．设函数1,||1()0,||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩，则 )]([x f f = .2．设函数sin 2,0()2,0xx f x x x a x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，当常数=a ______时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线xe y 2=上点（0，1）处的切线方程为______ __.4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为_______ _____. 5．若xe -是)(xf 的原函数，则dx x f x )(ln 2⎰= .二．选择题(每小题3分,本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量x -1是x -1的( ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小. 2．若∞=→)(lim x f ax ，∞=→)(lim x g ax 则必有( ).A. ∞=+→)]()([lim x g x f ax ; B. ∞=-→)]()([lim x g x f ax ;C. 0)()(1lim=+→x g x f ax ; D. ∞=→)(lim x kf a x ，(0≠k 为常数).3．函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点个数为( ).A ．1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个.4．设函数)(x f y =在点0x 处可导, 则 xdyy x ∆-∆→∆0lim等于( ).A. 0；B. -1；C. 1；D. ∞ .5. 设)(x f 连续，且240()x f t dt x =⎰，则)4(f = ( ).A. 2；B. 4；C. 8；D. 16 .三．解答下列各题(每小题6分,本大题满分18分)1．)3ln(tan 2x x y ⋅=，求dy .2．求由方程0)cos(=-+xy e yx 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数.3．设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12，求dx dy 和22dx y d .四．解答下列各题(每小题6分,本大题满分12分)1．计算极限13)1232(lim +∞→++x x x x .2．设21cos ,02(),0x x f x xx x ⎧<<⎪=⎨⎪≤⎩，讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.五．计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分) 1．xdx x 2sin ⎰.2．12dx x. 3．221(1)dx x -⎰.六．(本题满分5分)证明方程015=-+x x 只有一个正根.七．(本题满分5分)设)(x f 在),(+∞-∞内连续，且0()(2)()x F x x t f t dt =-⎰，试证：若)(x f 为偶函数，则)(x F 亦为偶函数.八．(本大题满分12分)设抛物线c bx ax y ++=2通过点（0，0），且当]1,0[∈x 时，0≥y .求c b a ,,的值，使得抛物线c bx ax y ++=2与直线0,1==y x 所围图形的面积为94，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.广州大学2010-2011学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时A 卷）参考解答与评分标准一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)1．设函数⎩⎨⎧>≤=1||01||1)(x x x f ，则 )]([x f f = 1 ),(+∞-∞∈x 。
大学高数试题（共7套）
第1 页共5页2010-2011学年第一学期考试卷 A课程：高等数学Ⅰ1（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题．填空题((每小题3分,本大题满分15分) 1．设函数îíì>£=1||01||1)(x x x f ，则)]([x f f = . 2．设函数ïîïíì³+<=0202sin )(x ax x xx x f ，当常数=a ____________时时,)(x f 在0x =处连续处连续. .3．曲线x e y 2=上点（0，1）处的切线方程为______ __. 4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为的凹区间为_______ _____. _______ _____. 5．若x e -是)(x f 的原函数，则dx x f x )(ln 2ò = . 二．选择题选择题((每小题3分,本大题满分15分)1. 1. 当当1x ®时，无穷小量x -1是x -1的( ).A. A. 高阶无穷小高阶无穷小; B. B. 低阶无穷小低阶无穷小;C. C. 等价无穷小等价无穷小;D. D. 同阶但不等价无穷小同阶但不等价无穷小. 2．若¥=®)(lim x f ax ，¥=®)(lim x g ax 则必有（）A. ¥=+®)]()([lim x g x f a x ;B. ¥=-®)]()([limx g x f a x ;C. 0)()(1lim=+®x g x f ax ; D. ¥=®)(lim x kf ax ，（0¹k 为常数）3.3.函数函数xx x x f p sin )(3-=的可去间断点个数为（）.A ．1; B. 2; C. 3; D. 1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个无穷多个无穷多个. .4.设函数)(x f y =在点0x 处可导,且0)(0¹¢x f ，则xdy y xD -D ®D 0lim 等于（）.A. 0A. 0；；B. -1 B. -1；；C. 1 C. 1；；D. ¥ .5. 5. 设设)(x f 连续，且ò=24)(x x dt t f ，则)4(f = = （（）A. 2A. 2；；B. 4 B. 4；；C. 8 C. 8；；D. 16 . 三．解答下列各题解答下列各题((每小题6分,本大题满分18分)1．)3ln(tan 2x x y ×=，求dy .2．求由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数处的导数. .3．设îíì=+=ty tx cos 12，求dx dy 和22dx y d 。
高数卷
天津轻工职业技术学院2010 —2011 学年度第一学期期末考试试卷 (A)科目：《 高等数学 》命题教师：谷秀珍一、选择题（每小题2分，共20分）1、设f(x)=ln5，则f(x+2)- f(x)=（ ）。
A 、ln7-ln5B 、ln7C 、ln5D 、0 2、当x →∞时，下列变量中是无穷小量的是（ ）.A 、x1B 、cosxC 、2x 2+ 1D 、x e3、11lim1--→x x x =（ ）。
A 、-1B 、1C 、0D 、不存在 4、如果lim ()x f x A -→=0，lim ()x f x A +→=0，则函数f(x)在x=0处（ ）。
A 、一定有定义B 、一定有极限C 、一定连续D 、一定间断 5、函数f(x)=│x-1│在x=1处（ ）。
A 、不连续 B 、连续但不可导 C 、连续且'f (1)=-1 D 、连续且'f (1)=1 6、当y=f(x)在点x 处取极值，则必有（）。
A 、 'f (x 0)=0B 、'f (x 0)不存在C 、''f (x 0)=0D 、'f (x 0)=0 或'f (x 0)不存在 7、下列等式中正确的是（ ）。
A 、()dx d x x -=211 B 、 ln ()xdx d x=1C d =D 、sin (cos )xdx d x =8. 函数()f x 在0x 可导，则0'()f x 等于（ ）A.00()()0limf x x f x x x -∆-∆∆→ B.00()()20limf x x f x x x -∆-∆∆→C.00()()0limf x x f x x x -∆--∆∆→ D.00()()lim f x x f x x x x -∆-+∆∆∆→9. f(x)的一个原函数为lnx ，则'f (x)=（ ） A 、xlnx B 、x 1 C 、-21xD 、x e 10、24xdxx =+⎰=（ ） A. 21ln(4)2x C ++ B. 2ln(4)x C ++C. 1arctan 22x C +D. arctan 22x xC +二、填空题(每小题2分，共20分)1、y=ln()x -12的定义域为 。
2010 A题 陕西省 评分标准
9487.87 11756.61 14155.51 16664.62 170 180 190 200
19265.60 21941.18 24674.88 27450.77 30253.25 33066.99 35876.76 38667.27 41423.11 44128.48
210
220
230
240
油量/L
油量/L
油量/L
10
163.59
40
1199.31
70
2489.15
100
3659.88
120
4110.15
西安理工大学 数学系
2010A题 陕西省赛区评分参考细则
注意单位标注：米（m）;分米（dm）,厘米（cm）. 主要考察以上几个考察高度点的标注， 本题原题没有明确要求正常情况下小椭圆罐的罐容表标定结果， 给出结果考虑加分。 结合问题中给出的数据，对计算结果给予一定的修正。
西安理工大学 数学系
2010A题 陕西省赛区评分参考细则
问题（2）：实际大储油罐的有关问题 （40分）
（2.1）（15分）根据储油罐纵向的变位方向，对于不同的油位高度，
分别考虑油罐的两端有油和一端有油的情况建模分析，可以得到罐内实际储油量
与纵向倾斜变位参数 V 的关系模型，即
、
横向偏转变位参数
（1.3）（15分）小椭圆型油罐罐体变位后（
）油位高度间隔为1cm的罐容表标定值
4.10
将变位参数代入模型，计算出修正后的罐容表标定值， 并与正常的标定值进行比较，分析罐体变位的影响。
实际上，对于纵向倾斜变位的影响明显，最大误差在257L以上， 平均误差达到190L以上，平均相对误差达30%以上。
2010期末考试标准试卷A卷标准答案和评分标准-推荐下载
注 有考场违纪或作弊行为者，按相应规定严肃处理。
意 四、学生必须将答题内容做在专用答题纸上，做在试卷、草稿纸上一律无
事 效。
项
考试
电磁场与电磁波 考试时间
课程
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分
满分 8 10 15 12 12 15 14 14
得分
阅卷 教师
一、（8 分）在无限大无源空间中填充了均匀、线性、各向同性
? 100 ，此频率下铝可视作良导体。
1
厨房中常用的薄膜铝皮厚度完全可以。 评分标准：共 10 分。判断为良导体，3 分；计算出趋肤深度，3 分；
所需铝皮厚度，2 分；最后结论，2 分。
三、（15 分）已知某理想介质( 0 )中均匀平面波电场为
E 3102 ex 2ey Ez0ez cos 30 108 t 4 3x 2 y z V/m，
评分标准：共 5 分。公式 3 分，答案 2 分。 5.
H
1
= 120 1.5
24 14
ek
E
103 (12ex
1 14
(3ex
22ey
2ey
2
4ez
2.25
ez
评分标准：共 5 分。公式 2 分，答案 2 分，单位 1 分。
)
3 102
)cos 30
3.
H
H
H
H
(
z,
2
H
t
ez
ez
)
E0
+
2
2010-11-1高等数学试题答案及评分标准(A卷)
2010-11-1高等数学（A ）期末考试试题答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、[0,14]2、1y ex =+3、21,1x y y y ='==4、3223x x C -+ 5、2()b a x x dx πϕ⎰ 二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分)1、D2、C3、A4、D5、C三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)1、解：原式=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪→lim ()x a x x a x a x a x a 222222=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪→lim x a x x a 1=-a a 12……………每步2分 2、解：x x xdx x xdx sin cos sin ⎰⎰=122[]⎰⎰--=-=xdx x x x xd 2cos 2cos 41)2(cos 41 11cos 2sin 248x x x c =-++ ………………………………每步2分 3、解：原式=-⎰()t dt 149=-()233249t t 233=……………………………………每步2分 四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分)1、解：(),()1,(1)0f x f x x f ==因具有连续一阶导数即在处连续又，即20,(sin cos )0,tan ~x f x x x x →+→时………………………………………………………2分 2200(sin cos )(sin cos )(sin 2sin )lim lim tan 2x x f x x f x x x x x x→→'++-=则……………………………………5分 ='+-→122102lim (sin cos )(cos )x f x x x ……………………………………………………7分 ='⋅=12111f ()…………………………………………………………………………8分 2、解：24,(0)4,(3) 2.y x y y '''=-=-=在(0,3)43y x =-+点处切线为，(3,0)在点处切线为 26,y x =- 令4326x x -+=-，有交点3.2x =……5分 故 32323220(4343)(4326)S x x x dx x x x dx =-++-+-+-+⎰⎰………7分 =+-+=x x x 303233399432().……………8分 3、解：()101 ，p q ==…………………………………………………………………2分()20 p q ==……………………………………………………………………4分25522555(3)lim(5)0,lim(45)25550,15555lim lim 55lim(1)511x x x x x x px x p q q p px qx px px x x x px p →→→→→-=++=++==--++--+=--=-=-= 由知得：而 …7分于是：，p q ==--=-25123…………………………………………………8分 五、证明下列各题(本大题共2小题，每小题6分，总计12分) 1、证：'=++''=-++y e x x y e x x x x (sin cos )(sin cos )21422321442…………………………………………………4分 11525(3sin 24cos 22sin 24cos 25sin 2)424x x y y y e x x x x x e '''++=-++---++=…………6分 2、证：设 于，内连续f x x x ()arctan ()=--∞+∞……………………………………1分 '=-+=+>≠f x x x xx ()()111100222 ，故在，内单调增()()-∞+∞f x ……4分 而 即是方程的一个实根且是唯一的实根f x ()000==………………………………6分六、解答下列各题(本大题共1小题，总计6分) 解：512512,,2(0)x L x x x x=+>设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 ………2分 '=-=L xx 2512162 唯一驻点 ''=>=L xx 10240163 即为极小值点 ……………………4分 51216,32,16=故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省。
20092010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准
20092010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准2009-2010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准一、选择题（每小题4分，共24分。
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分）1．当0x x →时，)(x α、)(x β都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小.(A) )()(x x βα+， (B) )()(22x x βα+ ， (C) [])()(1ln x x βα⋅+， (D) )()(2x x βα。
【解】 应选D 。
2. 设a 不是π的整数倍，极限ax ax ax -→⎪⎭⎫⎝⎛1sin sin lim 的值是（ ）.（A ） 1， （B ）e ， （C ）ae cot ，（D ）ae tan 。
【解】 应选C 。
事实上ax a x ax a x a a x a x -→-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛11sin sin sin 1lim sin sin limaa x a x ax a a x a a x sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim ⋅---→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=aa e sin 1cos ⋅=ae cot =。
3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0 ,0 ,1sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续，则=a （ ）.（A ）1， （B ） 0， （C ）e （D ）1-。
【解】 应选D 。
事实上由于()a e a x x e x x f axx axx x 212cos lim 1sin lim )(lim 2020+=⋅+=-+=→→→，而af =)0(，要使函数)(x f 在0=x 处连续，必需且只需)0()(lim 0f x f x =→，即a a =+21，解得1-=a 。
4. 设函数)(x f 在点a x =处可导，那么极限=--+→hh a f h a f h )2()(lim 0（ ）. （A ） )(3a f '， （B ）)(2a f '，(C) )(a f '， （D ）)(31a f ' 。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1. (3分）若为连续函数,则的值为（ )。
（A）1 (B)2 (C）3 （D)-12。
(3分）已知则的值为（）。
(A)1 （B）3 (C)—1 （D）3。
（3分）定积分的值为（）。
（A)0 (B）-2 (C)1 （D)24. （3分)若在处不连续，则在该点处（）.（A)必不可导（B）一定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分)1．（3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为 .2。
（3分） .3. (3分） = .4. （3分）的极大值为。
三、计算题（共42分)1.（6分）求2.（6分）设求3.（6分)求不定积分4.（6分）求其中5.（6分）设函数由方程所确定，求6.（6分)设求7.（6分）求极限四、解答题(共28分）1.（7分）设且求2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程。
4.(7分)求函数在上的最小值和最大值。
五、证明题（6分)设在区间上连续,证明（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1．设函数，则是的第类间断点.2．函数，则。
3．.4．曲线在点处的切线方程为. 5．函数在上的最大值,最小值.6．.二、单项选择题(每小题4分,共20分)1．数列有界是它收敛的（) .必要但非充分条件; 充分但非必要条件;充分必要条件；无关条件。
2．下列各式正确的是（）。
; ；；。
3．设在上，且，则曲线在上。
沿轴正向上升且为凹的；沿轴正向下降且为凹的；沿轴正向上升且为凸的；沿轴正向下降且为凸的. 4．设，则在处的导数（）.等于；等于；等于；不存在.5．已知，以下结论正确的是（).函数在处有定义且；函数在处的某去心邻域内有定义;函数在处的左侧某邻域内有定义；函数在处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分)1．求极限：.2。
已知，求。
3. 求函数的导数。
_高等数学(1)(A卷)
(A 卷)一 填空题（每小题4分,共12分） 1．极限()=+-+-∞→2sin212lim 1πn n nnn .2． 已知点()1,2是曲线()32y f x x ax bx ==++的拐点,则a = ,b = . 3．2sin cos 1cos x xdx x =+⎰.答案：1 2 . 2 a =,b =4 . 3()C x ++-2c o s 1ln 21.二、单选题(每小题4分,共12分，多选,错选均不得分)1．0tan tan44lim t t t→⎛⎫+- ⎪⎝⎭=ππ（ ）（A ） 2 （B ）2（C ）12（D ）2． 函数()1ln 1f x x x=+，则()f x 有（ ） （A ）两个可去间断点 （B ）两个无穷间断点（C ）一个可去间断点和一个跳跃间断点 （D ）一个可去间断点和一个无穷间断点3． 如果()f x 在[],a b 上连续，积分上限函数()[](),x af t dt x a b ∈⎰是（ ）（A ）常数 （B ）函数()f x （C ）()f x 的一个原函数 （D ）()f x 的所有原函数答案1 （ A ） 2 （ D ） 3 （ C ）三、计算题（每小题5分,共40分）1 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x 。
解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim 1311lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→112lim 21-=+++-=→xx x x .2 设函数()x f 可导，求函数()()xf x f y 22cos sin +=的导数dxdy 。
解y '=f'(sin 2x )⋅(sin 2x )'+f'(cos 2x )⋅(cos 2x )'= f '(sin 2x )⋅2sin x ⋅cos x +f '(cos 2x )⋅2cos x ⋅(-sin x ) =sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )]. 3 求参数方程⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x （设)(''t f 存在且不为零）所确定的函数的二阶导数22dx y d ： ,解t t f t f t f t t f x y dx dy t t ='''-''+'=''=)()()()()(1)(22t f x y dx y d t tx ''='''=。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x ⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x 。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→xx x 11lim20_____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
2010-2011秋季高数A试题(A卷)答案
中国农业大学2010 ~2011学年秋季学期高等数学A 课程考试试题(A 卷)答案 2011/01(注意：本试卷共有八道大题，满分100分，考试时间100分钟)一、单项选择题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将合适选项填在括号内．1．设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是【 D 】.（A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 （D ）若0()()lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在.2. 设20()sin x f x tdt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的【 A 】.（A ）高阶无穷小 （B ）同阶但非等价无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）低阶无穷小. 3. 设()x f 是[]a a ,-上的连续函数，则()()cos a af x f x xdx ---⎡⎤⎣⎦⎰=【 B 】.（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）无法计算.4. 下列选项正确的是【 C 】.(A) ⎰-1121dx x = 2 (B) ⎰-1121dx x = - 2(C) dx x ⎰-1121 不存在 (D) dx x⎰-1121= 0 . 二、填空题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将答案填在横线上． 1. 已知0sin lim3(2)x kxx x →=-+，则k 的值等于 -6 .2.已知cos x x 是()f x 的一个原函数，则cos ()d x f x x x ⋅=⎰____21cos ()2x C x+_______.3. 计算定积分10x =⎰______4π_____________.4. )(x f y =是偶函数，在曲线)(x f y =上点（1，2）处的切线方程为053=+-y x ，则曲线在点（-1，2）处的切线方程为___053=-+y x ________________. 三、计算下列各题（本题共有4道小题，每小题6分，满分24分）.1．求极限 30sin lim x x xx→-. 解：33300sin 6lim lim x x x x xx x →→-= ……………………………3分16= ……………………………6分 2．求参数方程231x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）所确定的函数()y f x =的导数22,dy d ydx dx . 解：23322dy t tdx t == ……………………………3分 '223()3224t d y dx t t== ……………………………6分 3. 求不定积分ln d x x x⎰. 解：ln d ln d(ln )xx x x x=⎰⎰ ……………………………3分 2(ln )2x C =+ ……………………………6分4. 已知0()()()d xF x x t f t t =-⎰，求()F x 的二阶导数.解： 0()()()d ()d ()d x x xF x x t f t t xf t t tf t t =-=-⎰⎰⎰ ……………………………2分()[()d ()d ]()d ()()()d x x x xF x x f t t tf t t f t t xf x xf x f t t ''=-=+-=⎰⎰⎰⎰ ………………………4分()(()d )()xF x f t t f x '''==⎰ ……………………………6分四、（本题满分10分）求函数xn e n x x x y -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=!!212 的极值 (其中n 为正奇数).解：xn xn e n x x x en x x x y ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++='!!21)!1(!21212xn e n x --=!， ……………………………3分驻点为0x =， ……………………………5分由于n 为正奇数，当0x <时，0<nx ，故,0>'y 故y 单调上升 ； ……………7分当0x >时，0>n x ，故,0<'y 故y 单调递减 ； ……………………………9分因此0x =为函数的极大值点，且极大值为(0)1y =. ……………………………10分五、（本题满分10分）设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明02()d 1xx f t t -=⎰在[0,1]上只有一个解. 证明：（1）存在性()2()d 1xF x x f t t =--⎰ ……………………………2分(0)1,F =- ……………………………3分1(1)1()1()0F f x dx f ξ=-=->⎰ ……………………………4分函数()f x 在[0,1]上连续，根据介值定理，则存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=. ……………………………6分（2）唯一性()2()0F x f x '=->， ……………………………8分函数()F x 在[0,1]上单调增加，从而()F x 在[0,1]有唯一的根.……………………10分六、（本题满分10分）求经过三点123(1,1,1),(2,0,1),(1,1,0)P P P --的平面方程. 解：法一：12(1,1,0),PP =-13(2,2,1)PP =--- ……………………………2分 取1213110(1,1,4),221ij kn PP PP =⨯==-=---- ……………………………6分平面方程为(1)(1)4(1)0,x y z -+---= ……………………………10分整理得420.x y z +-+= ……………………………10分法二：所求平面的方程为1111100221x y z ----=--- 整理得420.x y z +-+=七、（本题满分10分） 设函数()f x 在[]0,1上可微，且满足()()-=⎰12012d 0,f x f x x 证明在()0,1内至少存在一点ξ，使'=-()()f f ξξξ.证明: 作辅助函数 )()(x xf x =ϕ， ……………………………2分根据积分中值定理，由-=⎰120(1)2()d 0f x f x x 得到 -⋅=1(1)2()02f c f c即()()1f c f c = ……………………………5分 显然，)(x ϕ在[,1]c 上连续，在(,1)c 内可导，且()(1)c ϕϕ=，可见，)(x ϕ满足罗尔定理，…………………………7分所以，在(),1(0,1)c ⊂内至少有一点ξ，使0)()()(=ξ'ξ+ξ=ξϕ'f f . 即 '=-()()f f ξξξ. ……………………………10分八、（本题满分12分）求曲线22y x x =-与0,1,3y x x ===所围成的平面图形的面积S ，并求该图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.解：22221112(02)(2)3S x x dx x x dx =-+=-=⎰⎰. ……………………………2分 32224(2)3S x x dx =-=⎰. ……………………………4分 所以1224233S S S =+=+=. ……………………………6分 平面图形1S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：21111(16V dy πππ-=+-=⎰. ……………………………8分平面图形2S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：232204333(16V dy πππ=⋅⋅-+=⎰. ……………………………10分 旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=. ……………………………12分 或222111112()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 332222432()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=.。
2017-2018-1《高等数学 ( I ) 》期末考试试卷A
北京化工大学2017——2018学年第一学期《高等数学（I ）》期终考试试卷A班级： 姓名： 学号： 分数：一、填空题（3分×6=18分）1．若0x →时，1cos x -与kx 为同阶无穷小，则k = ；2. 1x =为函数 sin ()1xf x x π=-的 间断点；3．设231()1x xf x dt t=+⎰，则(1)f '=； 4．曲线ln(y x =在点(0,0)处的曲率k = ； 5．120171(x dx-+=⎰；6．微分方程 20y y y '''-+= 的通解为 。
二、解答题(6分×7=42分) 1. 求极限 0sin 22sin limtan x x xx x→--2. 设函数()y y x =由方程lncos sec x t y a t=⎧⎨=⎩确定，若()y y x =为微分方程x dyy e dx -=+的解，求常数a 的值。
3. 求不定积分ln(1dx +⎰4. 将函数()arctan f x x = 展开为带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式。
5.求曲线24(1)y x =--与22(2)y x =-- 围成的平面图形的面积。
6.求曲线22ln 1yx x =+-上拐点处的切线方程。
7. 计算曲线3sin ,(0)3a a θρ=>相应于03θπ≤≤的一段弧的长度。
三．解答题（7分×5=35分）1. 设101()10x xx xf x x e e -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，计算2(1)f x dx -∞-⎰。
2. 求微分方程cos y y x x ''+=+的通解。
3. 求由曲线sin ,cos ,(0)2y x y x x π==≤≤及直线0,2x x π==围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
4. 设21sin ()x tf x dt t=⎰，求10()xf x dx ⎰。
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南京理工大学课程考试答案及评分标准课程号-课序号： 11223301 课程名称：高等数学（I ） 学分： 5 考试方式 闭卷笔试 满分分值： 80 考试时间： 120分钟一 、填空题（每小题3分，共15分） 1.72, 此题为基本题，考察导数的计算。
2. 1arctan 21(,)2e, 此题为基本题，考察拐点的判定。
3.13, 此题为基本题，考察连续函数定义。
4. ln x c +, 此题为基本题，考察原函数的定义。
5. 2e -， 此题为基本题，考察利用重要计算计算数列极限。
二、判断题（每小题1分，共5分）1. B, ()(0,1)f x x ∈, 此题为基本题，考察导数的概念。
2. A, 此题为基本题，考察连续函数奇偶性。
3. B, ()arctan f x x =, 此题为提高题，考察连续函数极值点判定。
4. B, ,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩, 此题为提高题，考察连续函数定义。
5. B ，0sin lim=⎰-∞→AAA xdx ，但是，⎰∞∞-xdx sin 发散。
此题为提高题，考察反常积分收敛性。
三．计算题（6分）此题为综合题，主要考察利用变上限积分方程求未知函数。
解：令1x t s -+=, 则11(1)(1)()xxtf x t dt x s f s ds ''-+=+-⎰⎰， -------------2所以11(1)()ln (1)()ln (1)[()(1)]()xxx f x x x x s f s ds x x x f x f s f s ds ''+=++-=++--⎰⎰，由已知得：(1)0f =，对上式求导得：()(1)()1ln ()(1)()()f x x f x x f x x f x xf x '''++=++++-，即：1ln ()xf x x+'=----2 所以21()ln ln 2f x x x c =++，再由(1)0f =得：21()ln ln 2f x x x =+。
----------------2四、计算题（每小题6分，共12分）此题为基本题，主要考察极限的计算、等价无穷小代换、洛必塔法则的应用。
1. 原式=0(1cos )cos 2sin 1cos lim x xx x x x →--。
----------------------2 01cos21cos limx x x →-=- ----------------------2 14= ----------------------2 2．原式=2cos 4(2)sin lim x xx x ππ→+--。
----------------------2 2sin 8limx xπ→+-= ----------------------2 18=- ----------------------2五、计算题（8分）此题为基本题，主要考察隐函数、参数方程求导数。
解由已知得：2sin cos dxt t dt=。
----------------------3 对sin cos()0y t t y --=两边关于t 求导得：cos sin (1)sin()0dy dyy t t t y dt dt++--=, 所以cos sin()sin()sin dy y t t y dt t y t+-=--。
---------------3 所以dy dy dt dx dx dt==cos sin()1sin()sin 2sin cos y t t y t y t t t +---。
--------------------------2六、计算题（每小题5分，公10分）此题为基本题，主要考察定积分、不定积分计算。
1.解：令2x t =得：222tan 1cos 2cos2t t tdt dt td t t ===+⎰⎰⎰---------------2 2tan tan 2tan 4ln cos 2222t t t tt dt t c =-=++⎰， ---------------2所以4ln c =++。
---------------------------------------1 2. 令sin x t =得：122sin (2sin )tdt t π=-⎰⎰。
---------------------------2 2220cos arctan cos (1cos )t t d t t t ππ===-=-+⎰ ---------------------------2 4π= --------------------------1 七、证明、计算题（8分）此题为综合题。
主要考察周期函数积分计算，函数极值的计算。
（1）2()|sin |x x f x t dt ππππ++++=⎰。
------------------------122|sin()||sin()|()x x xxs ds s ds f x πππ++=+==⎰⎰ ------------------------2（2）由（1）得()f x 是以π为周期的周期函数，所以只需求()f x 在[0,]π上的最值即可。
不难得到22sin ,[0,]2()sin sin ,[,]2x x x x tdt x f x tdt tdt x πππππππ++⎧⎪∈⎪⎪=⎨⎪⎪-∈⎪⎩⎰⎰⎰，得sin cos ,[0,]2()cos sin 2,[,]2x x x f x x x x πππ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，()|cos ||sin |,f x x x '=- ------------------------2得驻点 4x π=±------------------------1所以max ()()2f x f x = ------------------------2八、应用题（8分）此题为综合题，主要考察定积分在计算面积、体积中的应用。
解：设切点)ln ,(00x x ，切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-， ------------------------1因为切线过原点，得e x =0，切线方程：exy =， ---------------------------1 面积：12)(1-=-=⎰edy ey e S y ， ------------------------2 体积：2201()ln ee x V dx xdx e ππ=-⎰⎰211[ln 2ln ]3ee ex x xdx ππ=--⎰ ------------------------2)26(3)2(3e e e-=--=πππ。
------------------------2九、证明题（8分）此题为基本+提高题，主要考察极值问题的求解。
1.（基本题）证明，由于()f x 是单调递减的，根据积分中值定理得，存在0(0,)x x ∈使得：2222[(3)()][()3()]xxxx t f t dt xf t dt tf t dt ''-=-⎰⎰⎰ ------------------------222220002()2()2()2()2[()()]0.xx f t dt x f x x f x x f x x f x f x =-=-=->⎰ --------------1所以220()(3)()xF x x t f t dt =-⎰是单调递增函数，而(0)0F =。
所以当0x ≥时，有220()(3)()0xF x x t f t dt =-≥⎰。
-------------------------------12. （提高题）证明（反证）：不妨设()0lim x f x m →+∞=>，则存在0xa >使得：()2mf x >，0x x >。
-------------------------------2 而()()()x aax f x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰，0()x a f x dx ⎰是存在的，但是由于()2mf x >，0x x >，所以0()x f x dx +∞⎰不存在，从而()af x dx +∞⎰发散，矛盾！所以()0lim x f x →+∞=。
---------------------------------2。