最新广东高考试卷(理科数学)解析版
最新五年广东高考数学试题分析
最新五年广东高考数学试题分析一、在模块的交汇处设计试题早在1993年，原国家教委考试中心首次提出：“在知识点的交汇处设计试题”，基本确定了高考数学试题命制的理论。
这一提法得到了命题专家的认同，更得到了广大中学数学教师的赞许。
在这一理论框架指导下，以后的数学试题避免了在难度上大起大落的现象发生，保持了一定的稳定性。
纵观广东省近五年的高考数学试卷，在这方面的特点尤其显著：例1：04年17题已知角,,αβγ成公比为2的等比数列（[0,2]απ∈），s i n ,s i n ,s i n αβγ也成等比数列，求,,αβγ的值。
简解：由题意，可以设2,4βαγα==，那么2sin 2sin 4cos 2cos 1sin sin 2αααααα=⇒=-，则有cos 1α=或1cos 2α=- 当cos 1α=时，sin 0α=与等比数列概念矛盾， 当1cos 2α=-时，[0,2]απ∈，所以23πα=或43πα= 则248,,333πππαβγ===或4816,,333πππαβγ=== 试题特点：这是04年解答题的第一题，属于容易题。
试题将三角函数变换与等比数列的有关概念糅合在一起，侧重于基础知识、基本能力的考查。
例2：05年18题箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为:s t 现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数 （Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望.简解： （Ⅰ）()(0,1,2,,)()kkst P k k n s t ξ===⋅⋅⋅+ （Ⅱ）ξ的数学希望为n nn n t s t n t s st n t s st t s st t s s E )()()1(...)(2)(1011322+⨯++⨯-+++⨯++⨯++⨯=--ξ (1)图1 111113322)()()1()()2(...)(2)(++---+++-++-+++++=+n n n n n n t s nt t s st n t s st n t s st t s st E t s t ξ…(2) (1) －(2)得nnn n n n t s nt t s t n t s s t s t E )()()1()(11+++--+-=--ξ 试题特点：这是解答题的第四题，属于中档题目。
2019年广东省高考数学试卷(理科)(附详细答案)
2019年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．84．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，107．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= ．13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= ．（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．2019年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2}D．{﹣1，0，1}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，∴M∪N={﹣1，0，1，2}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A．若=（﹣1，1，0），则cosθ＝=，不满足条件．B．若=（1，﹣1，0），则cosθ＝==，满足条件．C．若=（0，﹣1，1），则cosθ＝=，不满足条件．D．若=（﹣1，0，1），则cosθ＝=，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键．6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数．【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，∴样本容量=10000×2%=200，分层抽样抽取的比例为，∴高中生抽取的学生数为40，∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20．故选：A．【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键．7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定．【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．故A、B、C错误．故选：D．【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．8．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A．60 B．90 C．120 D．130【分析】从条件“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|x i|只能取0或1，且“１≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．即元素个数为130．故选：D．【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）9．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③．解①求得x≤﹣3，解②求得x∈?，解③求得x≥2．综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．10．（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y=﹣5x+3．．【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程．﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，【解答】解；y′＝∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3．故答案为：y=﹣5x+3【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，故答案为：．【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的．比较基础．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 ．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= 50 ．【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…ａ20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．【分析】首先运用x=ρcosθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方，y=ρsinθ程组，解之求交点坐标．【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，，即为ρ2sin2θ=ρcosθ化为普通方程为：y2=x，，化为普通方程为：y=1，曲线ρsinθ=1联立，即交点的直角坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则= 9 ．【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，∴=，∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△CDF∽△AEF，∴=（）2=9．故答案为：9．【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值．的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A?=，∴A=．（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ＝cosθ＝，∴cosθ＝，再由θ∈（0，），可得sinθ＝．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ＝．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率．【解答】解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，∴P（A）==，∴P（）=1﹣P（A）=，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为．【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题．18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，∴DF=，AF==，∴CF==，又FE∥CD，∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ＝|cos＜，＞|===∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明．【解答】解：（1）由S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：S2=4a3﹣20 ①又S3=S2+a3=15 ②联立①②解得：a3=7．再在S n=2na n+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：a1=2a2﹣7 ③又S3=a1+a2+7=15 ④联立③④得：a2=5，a1=3．∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7；（2）∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1．由此猜测a n=2n+1．下面由数学归纳法证明：1、当n=1时，a1=3=2×1+1成立．2、假设n=k时结论成立，即a k=2k+1．那么，当n=k+1时，由S n=2na n+1﹣3n2﹣4n，得，，两式作差得：．∴==2（k+1）+1．综上，当n=k+1时结论成立．∴a n=2n+1．【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题．20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1?k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程．【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，∴﹣1=k1?k2==﹣1，∴x02+y02=13．把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．【解答】解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）．（2）f′（x）===﹣，由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x ＜﹣1+，即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）．（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，∵k＜﹣6，∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f（1）的集合为：（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．。
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.考生答卷前，必须在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M∩N=（）A。
{x|-4<x<3}B。
{x|-4<x<-2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A。
(x+1)^2+y^2=1B。
(x-1)^2+y^2=1C。
x^2+(y-1)^2=1D。
x^2+(y+1)^2=13.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A。
a<b<cB。
a<c<bC。
c<a<bD。
b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为0.618，称为黄金分割比例。
某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A。
165cmB。
175cmC。
185cmD。
190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为（）A。
B。
C。
D。
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图为一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A。
B。
C。
D。
7.已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（）A。
2021年全国新高考一卷数学试卷分析
2021年全国新高考一卷数学试卷分析2021年，作为广东省新高考的第一年，难度相对前年去年理科高考卷有所下降，试题上相对去年主要有以下三个变化：其一、8-12变为多选题，部分选对2分，全对5分（一般有2个或3个选项）；其二、大题的格局分布依次是数列、统计概率、解三角形、立体几何、解析几何、导数。
相对去年的题型，去掉了选做题（极参、不等式2选1），其三、填空题最后一题变为1题2空的模式。
新高考文理学生同考一份试卷，难度梯度分层，常规的又透露着新意。
第5题紧扣圆锥曲线的定义，结合了基本不等式或函数单调性考察学生知识点的复合运用能力。
第7题考察曲线y=e^x及x轴（为曲线的水平渐近线）将平面上的点分为三部分从上往下作曲线的切线的条数依次为0，2和1，此问题本质上是研究曲线（指数曲线）的包络。
第8题考察概率计算时，事件之间的相互独立关系P(AB)=P(A)P(B)，紧扣教材，同时又推陈出新，深度考察学生对知识点的运用能力。
近几年首次考察相互独立事件的概念。
什么是相互独立事件？教材定义如下：图片第10题考察学生的平面向量坐标运算，考察学生的计算能力，细致能力。
第11题在既有题库上进行了升华，考察移动点形成的移动角问题，乍一看有些陌生，其实还是考察圆的切线问题，达到了难度分层，筛选人才的效果。
第12题考察立体几何的动点问题，可以用几何法分析处理，也可以用空间向量基地法来计算，还可以用纯坐标法计算来完成，体现了“一题多解”的运用，让学生有充分的自由发挥空间。
第15题也是略有新意，融合了分段函数，函数图像，导数运用等考点。
第16题纸片对折，结合生活实际进行探究，实际上内涵了二项式定理的分配思想，结合数列找规律求通项公式，求和之数学归纳法等考察学生的分析问题，处理问题，解决问题的能力。
第17题考查数列，是一道常规题，但将等差数列与分类讨论巧妙的综合，可综合考察学生各方面的能力，不失一道好题，但放在第一道大题，对学生确实有一定的难度。
2020年全国II卷理科数学高考试卷(含答案)
下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块。
下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块。
已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 A. 5 B. 255C. 355D.456.数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k =A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点。
若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．329.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f xA.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减10. 已知△ABC 是面积为93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上。
若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32C. 1D．11. 若2233,x y x y ---<-则A. 1(1)0n y x -+>B. 1(1)0n y x -+<C. ln 0x y ->D. 10n x y -<12. 01-周期序列在通信技术中有着重要应用,若序列12...n a a a 满足 {}10,1(1,2,...)a i ∈=,且存在正整数m ,使得i i (1,2,...)m a a i +==成立,则称其为01-周期序列,并满足i i (1,2,...)m a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期,对于周期为m 的0-1序列12,,...n a a a , 11()(1,2,...1)m i i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1的序列中,满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A. 11010...B. 11011...C. 10001...D. 11001...二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考真题汇编——理科数学(解析版)1：集合与简易逻辑
2021高|考真题分类汇编：集合与简易逻辑1.【2021高|考真题浙江理1】设集合A ={x|1＜x ＜4} ,集合B ={x|2x -2x -3≤0}, 那么A ∩ (C R B ) =A .(1,4)B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪ (3,4 ) 【答案】B【解析】B ={x|2x -2x -3≤0} =}31|{≤≤-x x ,A ∩ (C R B ) ={x|1＜x ＜4} }3,1|{>-<x x x 或 =}43|{<<x x .应选B.2.【2021高|考真题新课标理1】集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,那么B 中所含元素的个数为 ( )()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【答案】D【解析】要使A y x ∈-,当5=x 时 ,y 可是1 ,2 ,3 ,4.当4=x 时 ,y 可是 1 ,2 ,3.当3=x 时 ,y 可是1 ,2.当2=x 时 ,y 可是1 ,综上共有10个 ,选D.3.【2021高|考真题陕西理1】集合{|lg 0}M x x => ,2{|4}N x x =≤ ,那么M N =( ) A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2] 【答案】C.【解析】}22|{}4|{},1|{}0lg |{2≤≤-=≤=>=>=x x x x N x x x x M ,]2,1(=∴N M ,应选C.4.【2021高|考真题山东理2】全集{}0,1,2,3,4U = ,集合{}{}1,2,3,2,4A B == ,那么U C A B 为(A ){}1,2,4 (B ){}2,3,4 (C ){}0,2,4 (D ){}0,2,3,4 【答案】C【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C.5.【2021高|考真题辽宁理1】全集U =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝ ,集合A =｛0,1,3,5,8｝ ,集合B =｛2,4,5,6,8｝ ,那么)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【解析】1.因为全集U =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝ ,集合A =｛0,1,3,5,8｝ ,集合B =｛2,4,5,6,8｝ ,所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ,所以)()(B C A C U U 为{7,9} .应选B2. 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素 ,所剩的元素形成的集合 ,由此可快速得到答案 ,选B【点评】此题主要考查集合的交集、补集运算 ,属于容易题 .采用解析二能够更快地得到答案 . 6.【2021高|考真题辽宁理4】命题p ：∀x 1 ,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0 ,那么⌝p 是 (A) ∃x 1 ,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 (B) ∀x 1 ,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 (C) ∃x 1 ,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1 ,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 【答案】C【解析】命题p 为全称命题 ,所以其否认⌝p 应是特称命题 ,又(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0否认为(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 ,应选C【点评】此题主要考查含有量词的命题的否认 ,属于容易题 .7.【2021高|考真题江西理1】假设集合A =｛ -1 ,1｝ ,B =｛0 ,2｝ ,那么集合｛z ︱z =x +y,x ∈A,y ∈B ｝中的元素的个数为 A ．5 B.4 C 【答案】C【命题立意】此题考查集合的概念和表示 .【解析】因为B y A x ∈∈, ,所以当1-=x 时 ,2,0=y ,此时1,1-=+=y x z .当1=x 时 ,2,0=y ,此时3,1=+=y x z ,所以集合}2,1,1{}2,1,1{-=-=z z 共三个元素 ,选C. 8.【2021高|考真题江西理5】以下命题中 ,假命题为 A ．存在四边相等的四边形不．是正方形 B ．1212,,z z C z z ∈+为实数的充分必要条件是12,z z 为共轭复数C ．假设,x y ∈R ,且2,x y +>那么,x y 至|少有一个大于1D ．对于任意01,nn n nn N C C C ∈+++都是偶数 【答案】B【命题立意】此题考查命题的真假判断 .【解析】对于B,假设21,z z 为共轭复数 ,不妨设bi a z bi a z -=+=21, ,那么a z z 221=+ ,为实数 .设di c z bi a z +=+=21, ,那么i d b c a z z )()(21+++=+ ,假设21z z +为实数 ,那么有0=+d b ,当c a ,没有关系 ,所以B 为假命题 ,选B.9.【2021高|考真题湖南理1】设集合M ={ -1,0,1} ,N ={x|x 2≤x} ,那么M ∩N = A.{0} B.{0,1} C.{ -1,1} D.{ -1,0,0} 【答案】B 【解析】{}0,1N = M ={ -1,0,1} ∴M ∩N ={0,1}.【点评】此题考查了{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N. 10.【2021高|考真题湖南理2】命题 "假设α =4π,那么tan α =1”的逆否命题是 α≠4π ,那么tan α≠1 B. 假设α =4π,那么tan α≠1 C. 假设tan α≠1 ,那么α≠4π D. 假设tan α≠1 ,那么α =4π【答案】C【解析】因为 "假设p ,那么q 〞的逆否命题为 "假设p ⌝ ,那么q ⌝〞 ,所以 "假设α =4π ,那么tan α =1”的逆否命题是 "假设tan α≠1 ,那么α≠4π〞. 【点评】此题考查了 "假设p ,那么q 〞形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题 ,考查分析问题的能力.11.【2021高|考真题湖北理2】命题 "0x ∃∈R Q ,30x ∈Q 〞的否认是A ．0x ∃∉R Q ,30x ∈QB ．0x ∃∈R Q ,30x ∉QC ．x ∀∉R Q ,3x ∈QD ．x ∀∈R Q ,3x ∉Q【答案】D【解析】根据对命题的否认知 ,是把谓词取否认 ,然后把结论否认 .因此选D 12.【2021高|考真题广东理2】设集合U ={1,2,3,4,5,6} , M ={1,2,4 } ,那么CuM = A ．U B ． {1,3,5} C ．{3,5,6} D ． {2,4,6}【答案】C【解析】}6,5,3{=M C U ,应选C.13.【2021高|考真题福建理3】以下命题中 ,真命题是 A. 0,00≤∈∃x eR xB. 22,x R x x >∈∀C.a +b =0的充要条件是ab= -1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件 【答案】D.【解析】此类题目多项选择用筛选法 ,因为0>xe 对任意R x ∈恒成立 ,所以A 选项错误；因为当3=x 时93,8223==且8<9,所以选项B 错误；因为当0==b a 时,0=+b a 而ab无意义 ,所以选项C 错误；应选D.14.【2021高|考真题北京理1】集合A ={x ∈R|3x +2＞0} B ={x ∈R| (x +1 )(x -3)＞0} 那么A ∩B = A ( -∞ , -1 )B ( -1 , -23 ) C ( -23,3 )D (3, +∞)【答案】D【解析】因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ,利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．应选D ．15.【2021高|考真题安徽理6】设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内 ,直线b 在平面β内 ,且b m ⊥ ,那么 "αβ⊥〞是 "a b ⊥〞的 ( )()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 即不充分不必要条件【答案】A【命题立意】此题借助线面位置关系考查条件的判断【解析】①,b m b b a αβα⊥⊥⇒⊥⇒⊥ ,②如果//a m ,那么a b ⊥与b m ⊥条件相同．16.【2021高|考真题全国卷理2】集合A ＝{1.3.} ,B ＝{1 ,m} ,A B ＝A, 那么m =A 0B 0或3C 1D 1或3 【答案】B【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.假设3=m ,那么}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .假设m m = ,解得0=m 或1=m .假设0=m ,那么}0,3,1{},0,3,1{==B A ,满足A B A = .假设1=m ,}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立 ,综上0=m 或3=m ,选B..17【2021高|考真题四川理13】设全集{,,,}U a b c d = ,集合{,}A a b = ,{,,}B b c d = ,那么B C A C U U ___________ .【答案】{},,a c d【命题立意】此题考查集合的根本运算法那么 ,难度较小. 【解析】},{d c A C U = ,}{a B C U = ,},,{d c a B C A C U U =∴18.【2021高|考真题上海理2】假设集合}012|{>+=x x A ,}2|1||{<-=x x B ,那么=B A .【答案】)3,21(-【解析】集合}21{}012{->=>+=x x x x A ,}31{}21{<<-=<-=x x x x B ,所以}321{<<-=x x B A ,即)3,21(- .19.【2021高|考真题天津理11】集合},32|{<+∈=x R x A 集合},0)2)((|{<--∈=x m x R x B 且),,1(n B A -= 那么m =__________ ,n =__________. 【答案】1,1-【解析】由32<+x ,得323<+<-x ,即15<<-x ,所以集合}15{<<-=x x A ,因为)1(n B A ，-= ,所以1-是方程0)2)((=--x m x 的根 ,所以代入得0)1(3=+m ,所以1-=m ,此时不等式0)2)(1(<-+x x 的解为21<<-x ,所以)11(，-=B A ,即1=n .20.【2021高|考江苏1】 (5分 )集合{124}A =，， ,{246}B =，， ,那么A B = ▲ ．【答案】{}1,2,4,6 . 【考点】集合的概念和运算 . 【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB = .21.【2021高|考江苏26】 (10分 )设集合{12}n P n =，，，… ,*N n ∈．记()f n 为同时满足以下条件的集合A 的个数：①n A P ⊆；②假设x A ∈ ,那么2x A ∉；③假设A C x n p ∈ ,那么A C x np ∉2 .(1 )求(4)f ；(2 )求()f n 的解析式 (用n 表示 )．【答案】解： (1 )当=4n 时 ,符合条件的集合A 为：{}{}{}{}21,42,31,3,4，，， , ∴ (4)f =4 .( 2 )任取偶数n x P ∈ ,将x 除以2 ,假设商仍为偶数．再除以2 ,··· 经过k 次以后．商必为奇数．此时记商为m .于是=2k x m ,其中m 为奇数*k N ∈ .由条件知．假设m A ∈那么x A k ∈⇔为偶数；假设m A ∉ ,那么x A k ∈⇔为奇数 .于是x 是否属于A ,由m 是否属于A 确定 .设n Q 是n P 中所有奇数的集合．因此()f n 等于n Q 的子集个数 . 当n 为偶数〔 或奇数 )时 ,n P 中奇数的个数是2n (12n + ) . ∴()()2122()=2nn n f n n +⎧⎪⎨⎪⎩为偶数为奇数. 【考点】集合的概念和运算 ,计数原理 .【解析】 (1 )找出=4n 时 ,符合条件的集合个数即可 . (2 )由题设 ,根据计数原理进行求解 .22.【2021高|考真题陕西理18】 (本小题总分值12分 )(1 )如图 ,证明命题 "a 是平面π内的一条直线 ,b 是π外的一条直线 (b 不垂直于π ) ,c 是直线b 在π上的投影 ,假设a b ⊥ ,那么a c ⊥〞为真 . (2 )写出上述命题的逆命题 ,并判断其真假 (不需要证明 )【答案】分析： (1 )证法一：做出辅助线 ,在直线上构造对应的方向向量 ,要证两条直线垂直 ,只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0 ,根据向量的运算法那么得到结果．证法二：做出辅助线 ,根据线面垂直的性质 ,得到线线垂直 ,根据线面垂直的判定定理 ,得到线面垂直 ,再根据性质得到结论．(2 )把所给的命题的题设和结论交换位置,得到原命题的逆命题,判断出你命题的正确性．。
2020-高考全国二卷理科数学试题分析解析解读(20210516222512)
2020高考全国二卷理科数学试题分析解析解读2020年高考数学试题，聚焦学科主干的内容，突显了关键能力和数学素养的考查，重视数学应用价值，关注创新意识培养，考察数学建模。
试题体现考主干知识、考基本能力、考核心素养，重视思维、关注应用、鼓励创新的指导思想，很好的体现了高考评价体系“一核、四层、四翼”的内涵和要求。
●试卷总体结构变化很大，比较2018年、2019年的试题，2020年理科试题难度也明显加大，题目文字阅读量增多。
主观题在各部分的内容布局和考查难度上进行较大的改变，由去年的解析几何压轴回归到之前的导数压轴题的惯例，而解析几何解答题位置提前到19题，难度下降，首次放弃了直线和曲线位置关系的考察。
今年试题突显了数学学科素养的导向，注重基本能力的考查，全面覆盖了基础知识，增强了综合性及应用性，以社会生活中真实情境作为问题的载体，贴近实际，联系社会生活，在数学教育和评价中真正的落实了“立德树人”的根本任务。
2017—2020年理科试题对比表：客观题??主观题??2020年高考数学Ⅱ卷试题具有以下特点：聚焦主干知识，突出核心素养2020年数学高考试卷注重对高中基础内容的全面考查。
集合、三角、概率、数列、解析几何、立体几何、函数、平面向量、排列组合、复数等内容在选择题和填空题中得到了有效的考查。
2019年算法和线性规划没有考查，2020年也没有考查，这与新课标的导向一致。
新课标中删掉了三视图，弱化了排列组合，而且在2018年、2019年两年没考之后，今年又回到高考试题中，虽然难度不大，但是给我们一个信号，所有知识都在考察范围内。
填空压轴题为复合命题真值判断和立体几何结合问题，这也是首次把简易逻辑放到压轴题位置。
在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现了全面性、基础性和综合性的考查要求。
理科Ⅱ卷客观题中除了3、4、12文字阅读量偏大外，其余试题比较常规，比较柔和。
在解答题中重点考查了解三角形、概率统计、圆锥曲线、立体几何、函数与导数等主干内容。
2020年广东高考(理科)数学(原卷版)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题目（共12小题）.1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．22．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．4．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+bex D．y＝a+blnx 6．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．8．（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．209．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．10．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π11．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线1：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0 12．若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析
绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科)(全解析)(word版)
绝密★启用前试卷类型：A2010 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ={x | -2 <x <1}，B ={x | 0 <x < 2}，则集合A∩B=（）A．{x | -1 <x <1}1．D．【解析】A∩B=B．{x | -2 <x <1} C．{x | -2 <x < 2} D．{x | 0 <x < 1}2．若复数z1 =1+i ，z2= 3 -i ，则z1⋅z2=（）A．4 + 2i B．2 +i C．2 + 2i D．3 +i2．A．【解析】z1⋅z2=(1+i)⋅(3-i)=1⨯3+1⨯1+(3-1)i=4+2i3．若函数f (x) = 3x + 3-x 与g(x) = 3x -3-x 的定义域均为R ，则 ( ) A．f (x)与g(x) 均为偶函数B．f (x) 为偶函数，g(x) 为奇函数C．f (x)与g(x) 均为奇函数D．f (x) 为奇函数，g(x) 为偶函数3．B．【解析】f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x)．4．已知数列{a }为等比数列，S 是是它的前 n 项和,若a ⋅a = 2a ，且a 与2 a 的等差中项为5 ，n n则S5 =( )2 3 1 4 7 4A．35 B．33 C．3l D．294．C．【解析】设{an }的公比为q，则由等比数列的性质知，a2⋅a3=a1⋅a4=2a1，即a4=2。
高考数学理(广东卷)WORD解析版
数学（理科）逐题详解参照公式 : 台体的体积公式 V1 S 1 S 1S2 S 2 h , 此中 S 1 , S 2 分别是台体的上、 下底面3积, h 表示台体的高 .一、选择题 : 本大题共 8 小题 , 每题 5 分, 共 40 分 , 在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的.1．设会合 Mx | x 2 2x 0, x R , Nx | x 2 2x0, x R , 则 M U N( )A.B ．0,2 C ．2,0D ．2,0,2【分析】 D ；易得 M2,0 , N0,2 , 因此 M U N2,0,2, 应选 D ．2 ．定义域为 R 的四个函数 yx 3 , y 2x , y x 2 1 , y 2sin x 中 , 奇函数的个数是( )A .4B ． 3C ． 2D ． 1【分析】C ；考察基本初等函数和奇函数的观点 , 是奇函数的为 yx 3与 y2sin x , 应选 C ．3．若复数 z 知足 iz2 4i , 则在复平面内 , z 对应的点的坐标是 ()A . 2,4B ．2,4C ． 4,2D ．4,22 4i4 2i 对应的点的坐标是4, 2 ,应选 C ．【分析】 C ； zi4．已知失散型随机变量X 的散布列为X123P33151010则 X 的数学希望 EX( )135A .B ． 2D ． 32C ．221331 153【分析】 A ； EX2 3 ,应选 A ．510 10 10 225．某四棱台的三视图以下图, 则该四棱台的体积是( )正视图 侧视图144A .B ．1316D ． 61C ．3【分析】 B ；由三视图可知 , 该四棱台的上下底面边长分别为俯视图第5题图1 和 2的正方形 , 高为 2 , 故 V 1 121222 222 14 ,, 应选 B ．336．设 m, n 是两条不一样的直线, ,是两个不一样的平面 , 以下命题中正确的选项是 ( )A . 若,m, n, 则 mn B ．若 // , m , n, 则 m // nC ．若 m n ,m, n , 则D ．若 m, m // n , n // , 则【分析】 D ； ABC 是典型错误命题 , 选 D ．7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 F 3,0 , 离心率等于 3, 在双曲线 C 的方程是2( )x 2y 22222A .1B ．xy 1C ．xy 1454525D ．x 2 y 2 125【分析】 B ；依题意 c3 , e 3 , 因此 a 2 , 进而 a 24 , b 2 c 2 a 2 5,应选 B ．28．设整数 n 4,会合 X 1,2,3, L , n . 令会合Sx, y, z | x, y, z X , 且三条件 x y z, y z x, z x y 恰有一个成立若 x, y, z 和 z, w, x 都在 S 中, 则以下选项正确的选项是 ( ) A .y, z, w S , x, y, w SB ． y, z, w S , x, y, w SC ．y, z, w S , x, y, wSD ．y, z, w S , x, y, wS【 解 析 】B； 特 殊 值 法,不 妨 令x 2, y 3, z 4,w 1, 则y, z, w3,4,1 S , x, y, w 2,3,1 S , 应选 B ．假如利用直接法 : 由于 x, y, z S ， z, w, x S ，因此 x y z ①， yz x ②，z x y ③三个式子中恰有一个成立； z w x ④， w x z ⑤， x z w ⑥ 三个式子中恰有一个成立 .配对后只有四种状况： 第一种： ①⑤成立， 此时 w x y z ，于是 y,z,wS ， x, y, w S ；第二种：①⑥成立，此时 x y z w ，于是 y, z, wS ，x, y, w S ；第三种：②④成立，此时y z w x ，于是 y, z,wS ， x, y, wS ；第四种：③④成立，此时 z w x y ，于是 y, z,w S ， x, y, wS . 综合上述四种状况，可得 y, z, wS ， x, y, wS .二、填空题：此题共 7 小题，考生作答 6 小题，每题 5分，共 30分( 一) 必做题 (9 ～13 题)开始9．不等式 x 2x 2 0 的解集为 ___________．输入 n【分析】 2,1 ；易得不等式x 2 x2 0 的解集为 2,1 .．若曲线 y kx ln x 在点1,k 处的切线平行于 x 轴 则k ______.i1, s 110,1i否【分析】1；求导得 y k 0 , 因此 k 1 .n, 依题意 k 1x是输出s11．履行以下图的程序框图 , 若输入 n 的值为 4 , 则输出 s 的值为 ______.ss i 1【分析】7 ；第一次循环后 : s 1,i2 ；第二次循环后 : s 2, i3 ；结束i i 1第11题图第三次循环后 : s 4, i 4 ；第四次循环后 : s 7, i 5 ；故输出 7 .12. 在等差数列a n 中 , 已知 a 3 a 8 10 , 则 3a 5 a 7_____.【分析】 20 ；依题意 2a 1 9d 10 , 因此 3a 5a 7 3 a 1 4da 1 6d 4a 1 18d20 .或 : 3a 5 a 72 a3 a 8 20yx4 y 4413. 给定地区 D :x y 4 ,令点集 T{ x 0 , y 0D | x 0 , y 0 Z , x 0 , y 0x 0是 z x y 在 D 上获得最大值或最小值的点 } , 则 T 中的点共确立 ______1 4x条不一样的直线 .O【分析】 6 ；画出可行域以下图,此中 zx y 获得最小值时的整点为 0,1 , 获得最大值时的整点为 0,4 , 1,3 , 2,2 , 3,1 及 4,0 共 5 个整点 . 故可确立5 1 6条不一样的直线 .（二）选做题（ 14、15 题 , 考生只好从中选做一题 , 两题全答的 , 只计前一题的得分）14. ( 坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线 C 的参数方程为x2 costCy( t 为参数 ),2 sin t在点1,1 处的切线为 l , 以坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系, 则 l 的极坐标方程为 _____________.【分析】 sin2；曲线 C 的一般方程为 x 2y 22 ,其在点1,1 处的切线 l 的4方程为 x y 2 , 对应的极坐标方程为cossin2 , 即 sin42 .15. ( 几何证明选讲选做题 )如图 ,AB 是圆 O 的直径 ,点C 在圆 O 上,AE延伸 BC 到D 使BCCD ,过C 作圆 O 的切线交 AD 于 E .若.DAB 6, ED 2,则 BC_________.O C【分析】 2 3 ；依题意易知ABC :CDE , 因此ABBC ,又 BCDDEBC CD , 因此 BC 2 AB DE 12,进而 BC 2 3 .第15 题图三、解答题 : 本大题共 6 小题 , 满分 80 分, 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 .16．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) 2 cos x, x R .12( Ⅰ ) 求f6 的值；( Ⅱ) 若 cos 3 , 3 , 2 ,求 f 2 ．5 2 3【分析】 ( Ⅰ ) f6 2 cos6 122 cos42 cos 1；4( Ⅱ ) f 23 2 cos 23 122 cos 2 cos2 sin 24由于 cos 3 , 3 , 2 , 因此sin 4 ,5 2 5因此sin 2 2sin cos 24 , c os 2 cos2 sin 2 725 25因此 f 23 cos2 sin 2 7 24 17 .25 25 2517．（本小题满分 12 分）某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名 , 他们某日加工部件个数的茎叶图以下图, 此中茎为十位数 , 叶为个位数 .1 7 9( Ⅰ ) 依据茎叶图计算样本均值；( Ⅱ ) 日加工部件个数大于样本均值的工人为优异工人. 2 0 1 5 依据茎叶图推测该车间12名工人中有几名优异工人； 3 0( Ⅲ) 从该车间12 名工人中 , 任取2 人 , 求恰有1名优异第 17 题图工人的概率 .【分析】 ( Ⅰ ) 样本均值为17 19 2021 25 30 132 22 ；6 6( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知样本中优异工人占的比率为2 112 名工人中有6, 故推测该车间31214 名优异工人.3(Ⅲ)设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优异工人,则1 1P A C4C816.C1223318．（本小题满分 14 分）如图1, 在等腰直角三角形ABC 中, A 90 , BC 6,D, E分别是AC , AB 上的点, CD BE 2,O为 BC的中点.将ADE 沿 DE 折起,获得如图 2 所示的四棱锥 A BCDE ,此中AO3.O.C BAD ECO BA D E(Ⅰ) 证明 :A O 平面B CDE ； ( Ⅱ) 求二面角 A CD B 的平面角的余弦值 .【分析】 (Ⅰ ) 在图 1 中, 易得 OC 3,AC 3 2, AD 2 2连接 OD,OE , 在OCD 中 , 由余弦定理可得CODOC 2 CD 2 2OC CD cos455D 由翻折不变性可知 A D 2 2 ,H因此 AO 2 OD 2 AD 2,因此 AO OD ,理可证 AOOE , 又ODI OE O ,因此 AO 平面 BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD 交CD 的延伸线于 H ,连接 AH ,由于 AO平面 BCDE ,因此 AHCD ,因此 A HO 为二面角 A CD B 的平面角 .AOBE联合图 1 可知, H 为 AC 中点,故OH3 2 ,进而 AH OH 2 OA 23022 因此 cos A HOOH 15, 因此二面角 ACD B 的平面角的余弦值为15 .A H5z5向量法 : 以 O 点为原点 , 成立空间直角坐标系O xyz 以下图 , A则A 0,0, 3 ,C 0, 3,0 , D 1, 2,0uuur uuuurB因此 CA 0,3, 3 , DA1,2, 3C yOrx, y, z 为平面 A CD 的法向量 , 则DE设 nr uuurx 向量法图0 3y 3z 0 y xn CA r r uuuur , 即 x 2y , 解得 z , 令 x 1 , 得 n 1, 1, 3 n DA 0 3z 0 3xuuur由( Ⅰ) 知, OA 0,0, 3 为平面 CDB 的一个法向量 ,r uuurr uuurn OA 3 15A CDB 的平面角的余弦因此 cos n,OA r uuur 3 5 , 即二面角n OA 515值为.519．（本小题满分 14 分）设数列a n的前 n 项和为 S n . 已知 a 11, 2S nan 11 n 2n 2 , n N * .n33( Ⅰ ) 求 a 2 的值；( Ⅱ ) 求数列 a n的通项公式；( Ⅲ ) 证明 : 对全部正整数 n , 有11 L 1 7 .a 1a 2 a n 4【分析】 (Ⅰ ) 依题意 , 2S 1 a 21 12 , 又 S 1 a 11, 因此 a 2 4 ；3 3 ( Ⅱ ) 当 n2 时 , 2S n na n 11 n 3 n 22n ,3 32S n 1n 1 a n 1 3n 1 2 2 3 n 1n 13两式相减得 2a n na n 1n1 a n 1 3n 23n 1 2n1 233整理得n 1 a n na n 1 n n 1 , 即a n 1a n 1 , 又a 2a 1 1n 1n2 1故数列a n 是首项为a 1 1, 公差为 1的等差数列 ,n 1因此a n1n( Ⅲ ) 当 n当 n 3 时 ,11La 1 a 2n 1 1 n , 因此 a n n 2 .1 时 , 117；当 n 2 时 , 1 1a 1 4a 1 a 21 1 1 11,此时 a n n 2 n 1 n n 1 n 11 1 1 L1 1a n13242n 24115 7 ； 4 4 41 1 1 1 1 1 1 42 33 4Lnn 11 1 1 7 1 712 n4 n44综上 , 对全部正整数 n , 有11 L1 7 .a 1 a 2a n 420．（本小题满分 14 分）已知抛物线C 的极点为原点 , 其焦点 F 0,c c 0 到直线 l : x y 2 0 的距离为32. 设 P 为直线 l 上的点 , 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB , 此中 A, B 为切点 .2( Ⅰ ) 求抛物线 C 的方程；( Ⅱ ) 当点 P x 0 , y 0 为直线 l 上的定点时 , 求直线 AB 的方程；( Ⅲ ) 当点P在直线l上挪动时 , 求AF BF 的最小值.【分析】 ( Ⅰ ) 依题意 , 设抛物线C的方程为x20 c 23 2 联合 c 0 , 4cy ,由2 2解得 c 1 .因此抛物线 C 的方程为x2 4 y .( Ⅱ ) 抛物线C的方程为x2 4 y ,即 y 1 x2 , 求导得y 1 x4 2设A x1, y1,B x2 , y2( 其中 y1 x12 , y2 x22), 则切线PA,PB的斜率分别为4 41x1,1x2, 2 2因此切线 PA 的方程为 y y1 x1 x x1, 即 y x1 x x12 y1,即 x1x 2 y 2y1 02 2 2同理可得切线PB 的方程为 x2 x 2y 2 y2 0由于切线 PA, PB 均过点P x0 , y0 , 因此x1x0 2 y0 2 y1 0 , x2 x0 2 y0 2 y2 0 因此 x1, y1 , x2 , y2 为方程 x0 x 2 y0 2 y 0 的两组解.因此直线 AB 的方程为x0x 2 y 2 y0 0 .( Ⅲ ) 由抛物线定义可知AF y1 1 , BF y2 1 ,因此AF BF y1 1 y2 1 y1 y2 y1 y2 1x0 x 2 y 2 y0 0消去 x 整理得y2 2y0 x0 2 y y0 2 0 联立方程x2 4 y ,由一元二次方程根与系数的关系可得y1 y2 x0 2 2 y0, y1 y2 y0 2因此 AF BF y1 y2 y1 y2 1 y02 x02 2 y0 1又点P x , y在直线l上 , 因此 x0 y0 2 ,0 01 29因此 y 2 x 2 2 y0 1 2 y 2 2y5 2 y0 0 0 2 2因此当 y0 1 时, AF BF 获得最小值,且最小值为9 .2 2 21．（本小题满分 14 分）设函数 f x x 1 e x kx2 ( 此中k R ).( Ⅰ ) 当k 1 时,求函数 f x 的单一区间；( Ⅱ ) 当k 1,1 时, 求函数 f x 在0,k 上的最大值 M . 2【分析】 (Ⅰ )当 k 1 时 ,f xx 1 e x x 2 , f x e x x 1 e x2x xe x2x x e x2令 f x0, 得 x 1 0 , x 2 ln 2当 x 变化时 ,f x , f x 的变化以下表 :x,00 0,ln 2ln 2ln 2,f xf xZ极大值]极小值]右表可知 , 函数 f x 的递减区间为0,ln 2 , 递加区间为 ,0 ,ln 2,.( Ⅱ ) f x e x x 1 e x 2kx xe x2kx x e x2k , 令 f x 0, 得 x 1 0 , x 2 ln 2k ,令 gkln 2kk , 则 g k1 1 1 k 0 , 因此 g k 在1,1 上递加 ,k k2因此 g k ln 2 1 ln 2 ln e 0 , 进而 ln 2k k , 因此 ln 2k0,k 因此当 x0,ln 2k 时 , f x；当 xln 2k ,时 , fx 0 ；因此 M max f 0 , f kmax 1, k1 e kk 3令h kk 1 e k k 3 1, 则 h kk e k 3k ,令 ke k3k , 则 k e k3 e 3 0因此 k在1,1 上递减 , 而 11e 3 32e22因此存在 x1 ,1 使得 x 0, 且当 k1 , x 0 时 , k0 ,22当 k x 0 ,1 时 ,k0 ,因此k 在 1, x 0 上单一递加 , 在 x 0 ,1 上单一递减 .2由于 h11 e 70 , h 1 0 ,22 8因此 hk0 在1,1 上恒成立 , 当且仅当 k 1 时获得“ ” .2综上 , 函数 f x 在 0,k 上的最大值 Mk 1 e kk 3 .。
广东省新2021年高考数学试卷和答案解析(新课标Ⅰ)
2021年广东省新高考数学试卷（新课标Ⅰ）1.设集合，，则()A. B.C. D.2.已知，则()A. B.C. D.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2B.C.4D.4.下列区间中，函数单调递增的区间是()A. B.C. D.5.已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则的最大值为()A.13B.12C.9D.66.若，则()A. B.C.D.7.若过点可以作曲线的两条切线，则()A. B. C. D.8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立9.有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中为非零常数，则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点，，，，则()A. B.C.D.11.已知点P 在圆上，点，，则()A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当最小时，D.当最大时，12.在正三棱柱中，，点P 满足，其中，，则()A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点P，使得D.当时，有且仅有一个点P，使得平面13.已知函数是偶函数，则__________.14.已知O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且若，则C的准线方程为______.15.函数的最小值为__________.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么__________17.已知数列满足，记，写出，，并求数列的通项公式；求的前20项和.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，点D在边AC上，证明：；若，求20.如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点．证明：；若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．21.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足记M的轨迹为求C的方程；设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.22.已知函数讨论的单调性；设a，b为两个不相等的正数，且，证明：答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于简单题．直接利用交集运算可得答案．【解答】解：，，故选：2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，故选：3.【答案】B 【解析】解：由题意，设母线长为l，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有，解得，所以该圆锥的母线长为故选：设母线长为l，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．4.【答案】A 【解析】【分析】本题考查正弦型函数单调性，是简单题．本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．【解答】解：令，则，当时，，，故选：5.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用．【解答】解：，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，，所以，当且仅当时，取等号，所以的最大值为故选：6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于基础题．由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征将其“弦化切”即可求得三角函数式的值．【解答】解：由题意可得：故选7.【答案】D【解析】解：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，，即取得坐标在x轴上方，如果在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点在x轴或下方时，只有一条切线．如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知故选：画出函数的图象，判断与函数的图象的位置关系，即可得到选项．本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．【解答】解：由题意可知，两次取出的球的数字之和是8的所有可能为：，，，，，两次取出的球的数字之和是7的所有可能为，，，，，，甲，乙，丙，丁，A：甲丙甲丙，B：甲丁甲丁，C：乙丙乙丙，D：丙丁丙丁，故选：9.【答案】CD 【解析】【分析】本题考查平均数、中位数、标准差、极差，是基础题．利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．【解答】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；对于C，设原样本数据的样本方差和标准差分别为，，新数据的样本方差和标准差分别为，，因为…，，，，即，两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，…，，c为非零常数，原数据组的样本极差为，新数据组的样本极差为，两组样本数据的样本极差相同，故D正确．故选：10.【答案】AC【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，是中档题．由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．【解答】解：，，，，，，，，，，则，，则，故A正确；，，不能恒成立，故B错误；，，，故C正确；，，不能恒成立，故D错误．故选：11.【答案】ACD【解析】【分析】求出过AB的直线方程，再求出圆心到直线AB的距离，得到圆上的点P到直线AB的距离范围，判断A与B；画出图形，由图可知，当过B的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与B点间的距离，再由勾股定理求得判断C与本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．【解答】解：，，过A、B的直线方程为，即，圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离，点P到直线AB的距离的范围为，，，，点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大，此时，，故CD正确．故选：12.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于拔高题．判断当时，点P在线段上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；当时，点P在线段上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当时，取线段BC，的中点分别为M，，连结，则点P在线段上，分别取点P在，M处，得到均满足，即可判断选项C；当时，取的中点，的中点D，则点P在线的上，证明当点P在点处时，平面，利用过定点A与定直线垂直的平面有且只有一个，即可判断选项【解答】解：对于A，当时，，即，所以，故点P在线段上，此时的周长为，当点P为的中点时，的周长为，当点P在点处时，的周长为，故周长不为定值，故选项A错误；对于B，当时，，即，所以，故点P在线段上，因为平面，所以直线上的点到平面的距离相等，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项B正确；对于C，当时，取线段BC，的中点分别为M，，连结，因为，即，所以，则点P在线段上，当点P在处时，，，又，所以平面，又平面，所以，即，同理，当点P在M处，，故选项C错误；对于D，当时，取的中点，的中点D，因为，即，所以，则点P在线的上，当点P在点处时，取AC的中点E，连结，BE，因为平面，又平面，所以，在正方形中，，又，BE，平面，故平面，又平面，所以，在正方体形中，，又，，平面，所以平面，因为过定点A与定直线垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点P，使得平面，故选项D正确．故答案选：13.【答案】1【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，考查计算能力，属于基础题．根据题意，可得也为R上的奇函数，即可得解.【解答】解：函数是偶函数，为R上的奇函数，故也为R上的奇函数，所以时，，所以，经检验，满足题意，故答案为：14.【答案】【解析】解：由题意，不妨设P在第一象限，则，，所以，所以PQ的方程为：，时，，，所以，解得，所以抛物线的准线方程为：故答案为：求出点P的坐标，推出PQ方程，然后求解Q的坐标，利用，求解p，然后求解准线方程．本题考查抛物线的简单性质的应用及求抛物线的标准方程，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15.【答案】1【解析】【分析】本题考查利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题．求出函数定义域，对x分段去绝对值，当时，直接利用单调性求最值；当时，利用导数求最值，进一步得到的最小值．【解答】解：函数的定义域为，当时，，此时函数在上为减函数，所以；当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时取得最小值，为，，函数的最小值为故答案为：16.【答案】5【解析】【分析】本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．依题意，对折4次共可以得到5种不同规格图形；对折k次共有种规格，且每个面积为，则，，然后再转化求解即可．【解答】解：易知有，，共5种规格；由题可知，对折k次共有种规格，且每个面积为，故，则，记，则，，，故答案为：5；17.【答案】解：因为，，所以，，，所以，，，所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，所以由可得，，则，，当时，也适合上式，所以，，所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，则的前20项和为……【解析】本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．由数列的通项公式可求得，，从而可得求得，，由可得数列是等差数列，从而可求得数列的通项公式；由数列的通项公式可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．18.【答案】解：由已知可得，X 的所有可能取值为0，20，100，则，，所以X 的分布列为：X 020100P 由可知小明先回答A 类问题累计得分的期望为，若小明先回答B 类问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100，，，，则Y的期望为，因为，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．【解析】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；由可得，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，Y的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得，比较与的大小，即可得出结论．19.【答案】解：证明：由正弦定理知，，，，，，即，；由知，，，，在中，由余弦定理知，，在中，由余弦定理知，，，，即，得，，，或，在中，由余弦定理知，，当时，舍；当时，；综上所述，【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理，难度不大．利用正弦定理求解；要能找到隐含条件：和互补，从而列出等式关系求解．20.【答案】解：证明：因为，O为BD的中点，所以，又平面平面BCD，平面平面，平面ABD，所以平面BCD，又平面BCD，所以；方法一：取OD的中点F，因为为正三角形，所以，过O作与BC交于点M，则，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，设，则，因为平面BCD，故平面BCD的一个法向量为，设平面BCE的法向量为，又，所以由，得，令，则，，故，因为二面角的大小为，所以，解得，所以，又，所以，故方法二：过E作，交BD于点F，过F作于点G，连结EG，由题意可知，，又平面BCD所以平面BCD，又平面BCD，所以，又，，FG、平面EFG，所以平面EFG，又平面EFG，所以，则为二面角的平面角，即，又，所以，则，故，所以，因为，则，所以，则，所以，则，所以【解析】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．利用等腰三角形中线就是高，得到，然后利用面面垂直的性质，得到平面BCD，再利用线面垂直的性质，即可证明；方法一：建立合适的空间直角坐标系，设，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t的值，然后利用锥体的体积公式求解即可．方法二：过E作，交BD于点F，过F作于点G，连结EG，求出，，然后利用锥体的体积公式求解即可．21.【答案】解：由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的右支，设C的方程为，根据题意，解得，的方程为；设，设直线AB的方程为，，，由，得，整理得，，，，设，同理可得，由，得，，，，，【解析】的轨迹C是双曲线的右支，根据题意建立关于a，b，c的方程组，解出即可求得C的方程；设出直线AB的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得，同理求得，再根据，即可得出答案．本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由函数的解析式可得，，，单调递增，，，单调递减，则在单调递增，在单调递减．证明：由，得，即，由在单调递增，在单调递减，所以，且，令，，则，为的两根，其中不妨令，，则，先证，即证，即证，令，则在单调递减，所以，故函数在单调递增，，，得证．同理，要证，即证，根据中单调性，即证，令，，则，令，，，单调递增，，，单调递减，又，，且，故，，，恒成立，得证，则【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思想等知识，属于难题．首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性，利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题，构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可．。
2022年广东省高考数学试卷(新高考I)(含答案)
2022年广东省高考数学试卷(新高考I)(含答案)一、选择题（每小题5分，共45分）1. 若函数f(x) = x^2 4x + 3，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=1处取得最小值B. f(x)在x=2处取得最大值C. f(x)在x=3处取得最小值D. f(x)在x=4处取得最大值2. 若a > b > 0，则下列哪个选项是正确的？A. a^2 > b^2B. a^3 < b^3C. 1/a > 1/bD. a/b > 13. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，则a1 + a10的值为多少？A. 20B. 10C. 5D. 24. 若正弦函数y = sin(x)在x = π/4时的值为√2/2，则下列哪个选项是正确的？A. y在x = π/2时的值为1B. y在x = 3π/4时的值为√2/2C. y在x = π时的值为0D. y在x = 2π时的值为15. 若等比数列{bn}的公比为q，且b2 = 4，b3 = 8，则q的值为多少？A. 2B. 4C. 1/2D. 1/46. 若复数z满足|z 1| = 2，则z在复平面上的轨迹是什么？A. 圆心在(1,0)，半径为2的圆B. 圆心在(1,0)，半径为2的圆C. 圆心在(0,1)，半径为2的圆D. 圆心在(0,1)，半径为2的圆7. 若直线y = kx + b与曲线y = x^2相切，则k的值为多少？A. 1B. 1C. 2D. 28. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 2n^2 + 3n，则a1的值为多少？A. 5B. 7C. 9D. 119. 若函数f(x) = log(x)在x = 1时的值为0，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x = 10时的值为1B. f(x)在x = 0.1时的值为1C. f(x)在x = 100时的值为2D. f(x)在x = 0.01时的值为210. 若圆的方程为(x 2)^2 + (y + 3)^2 = 16，则圆的半径是多少？A. 4B. 2C. 8D. 111. 若正方形的对角线长度为2√2，则正方形的面积是多少？A. 4B. 2C. 8D. 112. 若函数f(x) = 2x 3，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x = 1时取得最小值B. f(x)在x = 2时取得最大值C. f(x)在x = 3时取得最小值D. f(x)在x = 4时取得最大值为多少？A. 2B. 4C. 1/2D. 1/414. 若直线y = kx + b与曲线y = x^2相切，则k的值为多少？A. 1B. 1C. 2D. 215. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 2n^2 + 3n，则a1的值为多少？A. 5B. 7C. 9D. 11二、填空题（每小题5分，共25分）16. 若函数f(x) = x^2 4x + 3，则f(x)的极值点为______。
广东卷(数学理)解析版
2015年普通高等学校招生全国统一考试·广东卷(理科)1.1.(2015·广东高考理科·T1)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N=()A.⌀B.{-1,-4}C.{0}D.{1,4}【解题指南】先求出两个集合,然后再进行交集的运算.【解析】选A.因为M==,N==,所以M∩N=⌀. 232.(2015·广东高考理科·T2)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则=()A.3-2iB.3+2iC.2+3iD.2-3i【解题指南】可先求出z,再利用共轭复数的概念实部相同,虚部互为相反数求出结果.【解析】选D.因为z=i=2+3i,所以=2-3i.53.(2015·广东高考理科·T3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+e xB.y=x+C.y=2x+D.y=【解题指南】先求出函数的定义域,再利用f与f的关系判断奇偶性.【解析】选A.函数y=x+e x的定义域为R,关于原点对称,因为f=1+e,f=-1+,所以函数y=x+e x既不是奇函数,也不是偶函数;函数y=x+的定义域为,关于原点对称,因为f=-x-=-=-f,所以函数y=x+是奇函数;函数f(x)=2x+的定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)=2-x+=+2x=f(x),所以函数f(x)=2x+是偶函数;函数y=的定义域为R,关于原点对称,因为f===f,所以函数y=是偶函数.524.(2015·广东高考理科·T4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为()A.1B.C.D.【解题指南】先计算出从15个球中任选两个的组合数,再计算出恰有1个白球,1个红球的组合数,进而求出概率.【解析】选C.从袋中任取2个球共有=105种,其中恰好1个白球,1个红球共有=50种,所以恰好1个白球,1个红球的概率为=.435.(2015·广东高考理科·T5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x-y+=0或2x-y-=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x+y+5=0或2x+y-5=0【解题指南】先设出与2x+y+1=0平行的直线系方程2x+y+c=0,利用圆心到直线的距离求出参数c .【解析】选D.设所求切线方程为2x+y+c=0,依题有=,解得c=±5,所以所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.316.(2015·广东高考理科·T6)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为()A. B.6C. D.4【解题指南】先根据不等式组画出可行域,再将直线化成斜截式方程,平移目标函数,找到z取最小值时与可行域的交点,进而求出z的最小值.【解析】选C.不等式组所表示的可行域如图所示,由z=3x+2y得y=-x+,依题当目标函数直线l:y=-x+经过A时,z取得最小值,即z min=3×1+2×=. 457.(2015·广东高考理科·T7)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】利用已知条件可知c=5,根据离心率求出a,再利用双曲线中b2=c2-a2,求出b2的值.【解析】选B.因为所求双曲线的右焦点为F 2且离心率为e==,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1.378.(2015·广东高考理科·T8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解题指南】本题考查了空间中点与点的位置关系,这些两两距离相等的点在正多面体中可以找出.【解析】选C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的,即空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值至多等于4.539.(2015·广东高考理科·T9)在(-1)4的展开式中,x的系数为.【解题指南】先利用二项展开通项公式写出T r+1项,然后再利用x的指数为1,求出r,再将r代入通项即可.【解析】由题意可知T r+1==,令=1,解得r=2,所以展开式中x的系数为=6.答案:62510.(2015·广东高考理科·T10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.【解题指南】利用等差数列的性质,m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q.【解析】因为是等差数列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5,所以a2+a8=2a5=10.答案:101911.(2015·广东高考理科·T11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a =,sin B=,C=,则b =.【解题指南】可先求出角B的大小,再利用正弦定理求解.【解析】因为sin B=且B∈,所以B=或B=,又C=,所以B=,A=π-B-C=,又a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1.答案:15212.(2015·广东高考理科·T12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)【解题指南】两两彼此写留言相当于从40人中任选两人的排列数,可直接利用排列数公式计算.【解析】依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数,所以全班共写了=40×39=1560条毕业留言.答案:15605613.(2015·广东高考理科·T13)已知随机变量X服从二项分布B,若E=30,D=20,则p=.【解题指南】直接利用二项分布公式即可求解.【解析】依题意可得E=np=30且D=np=20,解得p=.答案:5914.(2015·广东高考理科·T14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为.【解题指南】先将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程,点A的极坐标转化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式求出结果.【解析】依题已知直线l:2ρsin=和点A可化为l:x-y+1=0和A,所以点A到直线l的距离为d==.答案:5715.(2015·广东高考理科·T15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.【解题指南】可作辅助线OC,然后利用直角三角形射影定理求得.【解析】如图所示,连接OC,因为OD∥BC,又BC⊥AC,所以OP⊥AC,又O为线段AB的中点,所以OP=BC=,在Rt△OCD中,OC=AB=2,由直角三角形的射影定理可得OC2=OP·OD即OD===8.答案:81816.(2015·广东高考理科·T16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值.(2)若m与n的夹角为,求x的值.【解题指南】(1)利用向量垂直转化为向量的数量积为0.(2)利用向量的夹角公式求解.【解析】(1)因为m=,n=且m⊥n,所以m·n=·=sin x-cos x=sin=0,又x∈,所以x-∈,所以x-=0即x=,所以tan x=tan=1.(2)由(1)及题意知cos===sin,所以sin=,又x-∈,所以x-=,所以x=.5017.(2015·广东高考理科·T17)某工厂36名工人的年龄数据如下表.工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834 244113120432939 340123821413043 441133922373138 533144323343242 640154524423353 745163925373437 842173826443549 943183627423639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据.(2)计算(1)中样本的平均值和方差.(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?【解析】(1)由题条件知所抽样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)(1)中样本的平均值为==40,方差为:s2=[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]==.(3)由(2)知s=,所以-s=,+s=,所以年龄在-s与+s之间的共有23人,所占的百分比为:×100%≈63.89%.3918.(2015·广东高考理科·T18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG.(2)求二面角P AD C的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.【解题指南】(1)可先证线面垂直,PE⊥平面ABCD,进而得到线线垂直.(2)可以找出二面角的平面角,然后再求解.(3)利用等角定理将两条异面直线所成角问题转化到一个三角形中去解决.【解析】(1)因为PD=PC且点E为CD的中点,所以PE⊥DC,又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,所以PE⊥平面ABCD,又FG⊂平面ABCD,所以PE⊥FG.(2)因为四边形ABCD是矩形,所以AD⊥DC,又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面PCD,又CD,PD⊂平面PDC,所以AD⊥DC,AD⊥PD,所以∠PDC即为二面角P AD C的平面角,在Rt△PDE中,PD=4,DE=AB=3,PE==,所以tan∠PDC==,即二面角P-AD-C的正切值为.(3)如图所示,连接AC,因为AF=2FB,CG=2GB即==2,所以AC∥FG,所以∠PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角,在△PAC中,PA==5,AC==3,由余弦定理可得cos∠PAC===,所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.1219.(2015·广东高考理科·T19)设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x-a.(1)求f(x)的单调区间.(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤-1.【解题指南】(1)利用导数的运算法则求f(x)的导数,再利用导数判断单调性.(2)利用函数零点存在定理判断函数零点的个数.(3)构造函数证明不等式.【解析】(1)依题意得f'(x)=(1+x2)'e x+(1+x2)(e x)'=(1+x)2e x≥0,所以f的单调递增区间是(-∞,+∞).(2)因为a>1,所以f=1-a<0且f=e a-a>1+a2-a>0,所以f在上有零点,又由(1)知f在上是单调增函数,所以f在上仅有一个零点.(3)由(1)知令f'=0得x=-1,又f=-a,即P,所以k OP==a-,又f'=e m,所以e m=a-,令g=e m-m-1,则g'=e m-1,所以g'>0得m>0,g'<0得m<0,所以函数g在上单调递减,在上单调递增,所以g=g,即g≥0在R上恒成立,所以e m≥m+1,因此a-=e m≥=,即≥1+m,所以m≤-1.4320.(2015·广东高考理科·T20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)把圆的一般方程转化为标准方程求圆心.(2)利用相关点法求轨迹方程.(3)利用数形结合法求解.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设M(x,y),则因为点M为弦AB的中点,所以C1M⊥AB,所以·k AB=-1即·=-1,所以线段AB的中点M的轨迹的方程为+y2=.(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心,r=为半径的部分圆弧EF(如图所示,不包括两端点)且E, F,又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线L与圆C相切时,由=得k=±,又k DE=-k DF=-=-,k DF=,结合图形可知当k∈∪时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.2821.(2015·广东高考理科·T21)数列{a n}满足a1+2a2+…+na n=4-,n∈N*.(1)求a3的值.(2)求数列{a n}的前n项和T n.(3)令b1=a1,b n=+a n(n≥2),证明:数列{b n}的前n项和S n满足S n<2+2ln n.【解题指南】(1)直接利用已知等式令n=2,n=3,然后两式相减求解.(2)求出数列{a n}的通项公式,再求出前n 项和T n.(3)先求出S n再放缩,构造函数,利用导数求解.【解析】(1)令n=2,a1+2a2=4-,①令n=3,a1+2a2+3a3=4-,②②-①得3a 3=-=4--=,所以a3=.(2)由(1)知,当n>1时,na n=(a1+2a2+…+na n)-[a1+2a2+…+a n-1]=4--=,所以a n=,又因为a1=4-=1也适合此式,所以数列是首项为1,公比为的等比数列,故T n==2-.(3)依题由b1=a1,b n=+(1++…+)a n(n≥2)知b1=a1,b2=+a2,b3=+a3,所以S n=b1+b2+…+b n=(a1+a2+…+a n)=T n =<2×,记f(x)=ln x+-1(x>1),则f'(x)=-=>0,所以f(x)在(1,+∞)上是增函数,又f(1)=0即f(x)>0,又k≥2且k∈N*时,>1,所以f=ln+-1>0即ln>,所以<ln,<ln,…,<ln,即有++…+<ln+ln+…+ln=ln n,所以2×<2+2ln n,即S n<2+2ln n.。
2022年全国甲卷理科数学高考试卷(原卷+答案)
333U 绝密★启用前注意事项：2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）理科数学1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若z = -1+zi ，则zz -1= （）A.-1+i B.-1-i C.- 1+3i D.- 1-3i 33332.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：1.则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.设全集U ={-2,-1,0,1,2,3}，集合A ={-1,2},B ={x ∣x 2-4x +3=0}，则ð(A ⋃B )=（）A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）2A.8B.12C.16D.205.函数y =(3x -3-x)cos x 在区间⎡-π,π⎤的图象大致为（）⎣⎢22⎥⎦A. B.C. D.6.当x= 1时，函数f (x )= a ln x + b取得最大值-2，则f '(2)= （）xA.-1B.-1 C.122D.17.在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，已知B 1D 与平面ABCD 和平面AA 1B 1B 所成的角均为30°，则（）A.AB = 2ADB.AB 与平面AB 1C 1D 所成的角为30°C.AC = CB 1D.B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角为45︒8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD ⊥ AB ．“会圆术”给出AB 的弧长的近似CD 2值s 的计算公式：s = AB +．当OA = 2,∠AOB = 60︒ 时，s = （）OA1.A.11- 332 B.11- 432C.9- 332D.9- 4329.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和S 甲V甲V 乙．若=2，则=（）S 乙V乙A.22B.2C.D.510410.椭圆C :x+ ya 2b 2= 1(a > b > 0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ,AQ 的斜1率之积为4，则C 的离心率为（）A.32B.22C.1 D.1235103ωr 3⎛11.设函数f (x )= sin ωx +⎝π⎫⎪ 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）⎭⎡513⎫⎡519⎫⎛ 138⎤⎛ 1319⎤A.⎢⎣ ,⎪ B.⎢⎣ ,⎪ C. ,⎥ D. ,⎥36⎭36⎭⎝ 63⎦⎝ 66⎦12.已知a =31,b = cos 1,c = 4sin 13244，则（）A.c > b > a B.b > a > c C.a > b > c D.a > c > b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.113.设向量a ，b 的夹角的余弦值为3，且2，b = 3，则(2a + b )⋅b =．14.若双曲线y 2- x m 2= 1(m > 0)的渐近线与圆x 2+ y 2- 4y + 3= 0相切，则m =．15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为．16.已知△���中，点D 在边BC 上，∠ADB = 120︒,AD = 2,CD = 2BD ．当AC取得最小值时，BD =AB．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17.记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知（1）证明：{a n }是等差数列；2S nn+ n = 2a n +1．（2）若a 4,a 7,a 9成等比数列，求S n 的最小值．18.在四棱锥P - ABCD 中，PD ⊥ 底面ABCD ,CD ∥AB ,AD = DC = CB = 1,AB = 2,DP =．（1）证明：BD ⊥ PA ；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．a = 1x ⎪x ⎩⎩19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．20.设抛物线C :y 2= 2px (p > 0)的焦点为F ，点D ( p ,0) ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，MF = 3．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ,ND 与C 另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ,AB 的倾斜角分别为α,β ．当α - β 取得最大值时，求直线AB 的方程．21.已知函数f ( x ) =e - ln x + x - a ．x（1）若f (x ) ≥ 0，求a 的取值范围；（2）证明：若f ( x ) 有两个零点x 1,x 2，则x 1x 2< 1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]⎧x = 2+ t ⎧2+ s ⎪ =-22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎨6⎪ y =（t 为参数），曲线C 2的参数方程为⎨⎪ y =6（s 为参数）．（1）写出C 1的普通方程；t −s（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ -sinθ = 0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23.已知a，b，c均为正数，且a2+ b2+ 4c2= 3，证明：（1）a+ b+ 2c≤ 3；（2）若b= 2c，则1+1≥ 3．a c3331.【答案】C 【解析】参考答案【详解】z = -1-i,zz = (-1+i)(-1-i)= 1+ 3= 4.z = -1+ 3i = - 1+3i zz -1333故选：C2.【答案】B 【解析】【详解】讲座前中位数为70%+ 75%2> 70%,所以A 错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%- 80%= 20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%- 60%= 35%> 20%,所以D 错.故选:B.3.【答案】D 【解析】【详解】由题意，B ={x x 2- 4x + 3= 0} = {1,3}，所以A ⋃ B = {-1,1,2,3} ,所以ðU ( A ⋃ B ) = {-2,0} .故选：D.4.【答案】B 【解析】【详解】由三视图还原几何体，如图，2+ 4则该直四棱柱的体积V =⨯ 2⨯ 2= 12.2故选：B.5.【答案】A 【解析】【详解】令f (x )=(3x-3-x)cos x ,x ∈⎡-π,π⎤，⎢⎣22⎥⎦则f (-x )=(3-x -3x )cos (-x )=-(3x -3-x)cos x =-f (x )，所以f ( x ) 为奇函数，排除BD ；又当x ∈⎛ 0,π ⎫ 时，3x - 3- x> 0,cos x > 0，所以f (x ) > 0，排除C. 2⎪⎝⎭故选：A.6.【答案】B【解析】a 2+b 2+c 222a b322333432【详解】因为函数f ( x ) 定义域为(0,+∞ ) ，所以依题可知，f (1)=-2，f '(1) = 0，而f '( x ) = x - x 2，所22以b = -2,a - b = 0，即a = -2,b = -2，所以f '(x ) = -+x x，因此函数f ( x ) 在(0,1) 上递增，在(1,+∞)上递减，x = 1时取最大值，满足题意，即有f '(2) = -1+ 1= - 1．故选：B.227.【答案】D【解析】【详解】如图所示：不妨设AB = a ,AD = b ,AA 1= c ，依题以及长方体的结构特征可知，B 1D 与平面ABCD 所成角为∠B 1DB ，cbB 1D 与平面AA 1B 1B 所成角为∠DB 1A ，所以sin 30==，即b = c ，B D = 2c =，解B 1DB 1D1得a =c ．对于A ，AB =a ，AD =b ，AB =AD ，A 错误；对于B ，过B 作BE ⊥ AB 1于E ，易知BE ⊥ 平面AB 1C 1D ，所以AB 与平面AB 1C 1D 所成角为∠BAE ，因为tan ∠BAE = c =a 2，所以∠BAE ≠ 30，B 错误；2对于C ，AC ==c ，CB 1==c ，AC ≠ CB 1，C 错误；CD a对于D ，B 1D 与平面BB 1C 1C 所成角为∠DB 1C ，sin ∠DB 1C ===，而0< ∠DB 1C < 90，所以∠DB 1C = 45．D 正确．故选：D ．8.【答案】B 【解析】【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC ⊥ AB ，又CD ⊥ AB ，所以O ,C ,D 三点共线，即OD = OA = OB = 2，又∠AOB = 60︒ ，所以AB = OA = OB = 2，则OC =，故CD = 2-，B 1D 2c 2所以CD 2(2-)11-s = AB += 2+=.故选：B .OA229.【答案】C 【解析】【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r 1，乙圆锥底面圆半径为r 2，a 2+b 2b 2+c 225所以===11=133Sπ rlr则甲= 1= 1= 2，S 乙π r 2l r 2所以r 1= 2r 2，2π r 2π r 又1+2= 2π ，l l r + r 则12= 1，l21所以r 1= 3l ,r 2= 3l ，所以甲圆锥的高h 1==5l ，3乙圆锥的高h 2==22l ，31π r 2h 4l 2⨯lV 甲31193乙21222V π r h 322故选：C.l ⨯l9310.【答案】A【详解】解：A (-a ,0) ，设P (x 1,y 1)，则Q (-x 1,y 1)，则k=y 1,k=y 1，APx + aAQ-x 1+ a故k ⋅ k y y y 21=1⋅1=1=，AP AQ x + a -x + a -x 2+ a 24111又x 1+y 1= 1，则2b (a - x 1)22222，a 2b 2y =a 12b 2(a 2-x 2)1所以a21，即b = 1，-x 2+ a 24a 4所以椭圆C 的离心率e = c=a = 3.2故选：A .11.【答案】C【分析】由x 的取值范围得到ω x +π的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．3【详解】解：依题意可得ω > 0，因为x ∈(0,π )，所以ωx + π ∈⎛ π ,ωπ + π ⎫ ，⎪3⎝⎭要使函数在区间(0,π ) 恰有三个极值点、两个零点，又y = sin x ，x ∈⎛ π ,3π ⎫的图象如下所示： 3⎪⎝⎭l 2- 4l 29l 2- 1l 2910.2b 21-a 2则f ⎪a = 122m 1+ m2385ππ138⎛ 138⎤则< ωπ +≤ 3π ，解得< ω ≤，即ω ∈ ,⎥ ．23故选：C ．63⎝ 63⎦12.【答案】Ac【详解】因为b = 4tan 14⎛,因为当x ∈ 0,⎝π⎫⎪,sin x < x < tan x⎭所以tan 1> 1,即c 44b > 1,所以c > b ；设f (x )= cos x + 1x 2-1,x ∈(0,+∞)，2f '(x )= -sin x + x > 0，所以f (x )在(0,+∞)单调递增，⎛ 1⎫> f (0)=0,所以cos ⎝ 4⎭所以b > a ,所以c > b > a ，故选：A 1- 31> 0，43213.【答案】111【详解】解：设a 与b 的夹角为θ ，因为a 与b 的夹角的余弦值为31，即cos θ =，3r 又，b = 3，所以1⨯ 3⨯ 1= 1，3所以(2a + b )⋅ b = 2a ⋅ b + b 2= 2a ⋅ b + b 2= 2⨯1+ 32= 11．故答案为：11．14.【答案】33【详解】解：双曲线y 2-x= 1(m > 0) 的渐近线为y =± x，即x ± my = 0，m 2m 不妨取x +my =0，圆x 2+y 2-4y +3=0，即x 2+(y -2)2=1，所以圆心为(0,2)，半径r =1，依题意圆心(0,2) 到渐近线x + my = 0的距离d == 1，解得m =3或m =-（舍去）．33故答案为：3．3615.【答案】.35【解析】【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有n = C 4= 70个结果，这4个点在同一个平面的有m = 6+ 6= 12m1266个，故所求概率P ===．故答案为：．n 70353516.【答案】-1##-1+3【详解】设CD = 2BD = 2m > 0，则在△ABD 中，AB 2= BD 2+ AD 2- 2BD ⋅ AD cos ∠ADB = m 2+ 4+ 2m ，在△ACD 中，AC 2= CD 2+ AD 2- 2CD ⋅ AD cos ∠ADC = 4m 2+ 4- 4m ，2a ⋅ b = a ⋅ b cos θ =333S n -1AC 2所以AB 24m 2+ 4- 4m ==m 2+ 4+ 2m 4(m 2+ 4+ 2m ) -12(1+ m )m 2+ 4+ 2m= 4-12(m +1)+3m +1≥ 4-212(m +1) ⋅3m +13= 4- 2，当且仅当m +1=AC m +1即m =-1时，等号成立，所以当AB取最小值时，m =-1.故答案为：-1.17.【答案】（1）证明见解析；（2）-78．【解析】【分析】（1）依题意可得2S +n 2= 2na + n ，根据a ⎧S 1,n = 1=，作差即可得到a - a= 1，从而得证；nnn⎨⎩n - S n -1,n ≥ 2nn -1（2）由（1）及等比中项的性质求出a 1，即可得到{a n }的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】2S 解：因为n + n = 2a +1，即2S +n 2= 2na + n ①，nnnn当n ≥ 2时，2S n -1+(n -1)2=2(n -1)a + (n -1) ②，①-②得，2S + n 2- 2S-(n -1)2=2na + n - 2(n -1) a-(n -1) ，nn -1即2a n + 2n -1= 2na n - 2(n -1)a n -1+1，nn -1即2(n -1) a n - 2(n -1) a n -1= 2(n -1) ，所以a n - a n -1= 1，n ≥ 2且n ∈ N*，所以{a n }是以1为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）可得a 4= a 1+ 3，a 7= a 1+ 6，a 9= a 1+ 8，2又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以a 7= a 4⋅ a 9，即(a +6)2=(a + 3) ⋅(a + 8) ，解得，111a 1= -12n (n -1)1251⎛25⎫625所以a n = n -13，所以S = -12n +=n 2-n =n --，n 2222 2⎪8所以，当n =12或n =13时(S n )min ⎝⎭= -78．18.【答案】（1）证明见解析；（2）5.5【解析】【分析】（1）作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，利用勾股定理证明AD ⊥BD ，根据线面垂直的性质可得PD ⊥ B D ，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.3323【小问1详解】证明：在四边形ABCD 中，作DE ⊥ AB 于E ，CF ⊥ AB 于F ，因为CD //AB ,AD = CD = CB = 1,AB = 2，所以四边形ABCD 为等腰梯形，1所以AE = BF =，2故DE =3，BD =2=，所以AD 2+ BD 2= AB 2，所以AD ⊥ BD ，因为PD ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂ 平面ABCD ，所以PD ⊥ BD ，又PD ⋂ AD = D ，所以BD ⊥ 平面PAD ，又因为PA ⊂ 平面PAD ，所以BD ⊥ PA ；【小问2详解】解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，BD =3，则A (1,0,0),B (0,3,0),P (0,0,3)，则AP =(-1,0,3),BP =(0,-3,3),DP =(0,0,3)，设平面PAB 的法向量n = (x ,y ,z ) ，n ⋅ AP = -x +则有{z = 0，可取n = (3,1,1) ，n ⋅ BP = -则cos 3y +z = 0，所以PD 与平面PAB 所成角的正弦值为5.519.【答案】（1）0.6；（2）分布列见解析，E (X ) = 13.【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A ,B ,C ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互DE 2+ BE 23n ,DP =n ⋅ DP5=n DP 5312斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，X 的可能取值为0,10,20,30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A ,B ,C ，所以甲学校获得冠军的概率为P = P ( A BC ) + P ( A BC ) + P ( A BC ) + P ( A BC )= 0.5⨯ 0.4⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.4⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.6⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.4⨯ 0.2= 0.16+ 0.16+ 0.24+ 0.04= 0.6．【小问2详解】依题可知，X 的可能取值为0,10,20,30，所以，P ( X = 0) = 0.5⨯ 0.4⨯ 0.8= 0.16,P ( X = 10) = 0.5⨯ 0.4⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.6⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.4⨯ 0.2= 0.44，P ( X = 20) = 0.5⨯ 0.6⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.4⨯ 0.2+ 0.5⨯0.6⨯0.2= 0.34，P ( X = 30) = 0.5⨯ 0.6⨯ 0.2= 0.06.即X 的分布列为X0102030P 0.160.440.340.06期望E (X ) = 0⨯ 0.16+10⨯ 0.44+ 20⨯ 0.34+ 30⨯ 0.06= 13.20.【答案】（1）y 2=4x ；（2）AB :x =【解析】y + 4.【分析】（1）由抛物线的定义可得MF =p +p，即可得解；2（2）设点的坐标及直线MN :x = my + 1，由韦达定理及斜率公式可得k MN = 2k AB ，再由差角的正切公式及基本不等式可得k AB =2，设直线AB :x =2y + n ，结合韦达定理可解.小问1详解】p 抛物线的准线为x =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，2此时MF =p + p= 3，所以p = 2，2所以抛物线C 的方程为y 2= 4x ；【小问2详解】⎛ y 2⎫⎛ y 2⎫⎛ y 2⎫⎛ y 2⎫设1234M 4,y 1⎪,N 4,y 2⎪,A ,y 3⎪,B 4,y 4⎪ ，直线MN :x = my + 1，4⎝⎭⎝⎭⎧x = my +1⎝⎭⎝⎭由⎨⎩ y 2可得y 2- 4my - 4= 0，∆ > 0,y y = -4，k = y 1- y 2=4k = y 3- y 4=4由斜率公式可得MN y 2y 2y + y ，AB y 2y 2y + y ，1- 212443-43444直线MD :x = x 1- 2⋅ y + 2，代入抛物线方程可得y 2-4( x 1- 2) ⋅ y - 8= 0，y 1y 1∆ > 0,y 1y 3= -8，所以y 3= 2y 2，同理可得y 4= 2y 1，4所以k AB = y + y =42( y + y = k MN )23412又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为α ,β ，22= 4x221⋅ 2k k 2x x k tan α所以k AB = tan β = MN =，22若要使α - β 最大，则β ∈⎛ 0,π ⎫ ， 2⎪⎝⎭tan (α - β ) =设k MN = 2k AB = 2k > 0，则1tan α - tan β1+ tan α tan β=k 1+ 2k 2=1≤11+ 2k k =4，当且仅当k = 2k 即k =时，等号成立，2所以当α - β 最大时，k AB =，设直线AB :x =2y + n ，代入抛物线方程可得y 2- 42y - 4n = 0，∆ > 0,y 3y 4= -4n = 4y 1y 2= -16，所以n = 4，所以直线AB :x =y + 4.21.【答案】（1）(-∞,e +1]（2）证明见的解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；e x 1⎡1⎛1⎫⎤（2）利用分析法，转化要证明条件为【小问1详解】f (x )的定义域为(0,+∞)，-x e x - 2⎢ln x -x ⎣ x -⎝x ⎪⎥ > 0，再利用导数即可得证.⎭⎦f '(x )= ⎛ 1- 1⎫e x - 1+1= 1⎛1- 1⎫e x + ⎛1- 1⎫ = x -1⎛ e +1⎫ x x 2⎪x x x ⎪ x ⎪x x ⎪⎝⎭令f (x )= 0,得x = 1⎝⎭⎝⎭⎝⎭当x ∈(0,1),f '(x )< 0,f (x )单调递减当x ∈(1,+∞),f '(x )> 0,f (x )单调递增f (x )≥ f (1)= e +1- a ，若f (x )≥ 0,则e +1- a ≥ 0,即a ≤ e + 1所以a 的取值范围为(-∞,e +1]【小问2详解】由题知,f ( x ) 一个零点小于1,一个零点大于1不妨设x 1<1<x 21要证x 1x 2< 1,即证x 1<2x ,1∈(0,1)⎛ 1⎫因为12,即证f ( x 1) > f ⎪⎝ x 2⎭⎛ 1⎫因为f (x 1) = f ( x 2) ,即证f ( x 2) > f ⎪⎝ x 2⎭e x 11即证- ln x + x - x e x - ln x -> 0,x ∈ (1,+∞)x x e x 1⎡1⎛1⎫⎤即证- x e x - 2⎢ln x -x ⎣e x x -⎝1⎪⎥ > 0⎭⎦1⎛1⎫下面证明x > 1时，-x e x > 0,ln x -xx -⎝⎪ < 0⎭设g (x )= e 1- x e x ,x > 1，x 2222x 2x 2x xe t s 2⎪x ⎛ 11⎫⎛ 11⎛1⎫⎫1⎛1⎫1⎛1⎫x x x x x 则g '(x )= x - x 2⎪e - e +x e ⋅ - x 2⎪⎪ = x 1- x ⎪e - e 1- x ⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭= ⎛1-1⎫⎛ e x ⎪ 1⎫-e x ⎪ =x -1⎛ e x 1⎫-e x ⎪⎝x ⎭⎝ x ⎭x ⎝ x ⎭e x ⎛ 11⎫x -1设ϕ ( x ) =( x > 1),ϕ'( x ) = - 2⎪e => 0x 所以ϕ ( x ) > ϕ (1) = e ,而1x x ⎝ x x ⎭x e x 1e x < e所以- e x > 0,所以g '(x )> 0x所以g (x )在(1,+∞)单调递增e x 1即g (x )> g (1)= 0,所以-x e x > 0x 令h (x )= ln x -11⎛1⎛ x -⎝1⎫1⎫⎪,x > 1⎭2x - x 2-1-(x -1)2h '(x )=- 1+⎪ ==< 0x 2⎝x 2⎭2x 22x 2所以h (x )在(1,+∞)单调递减即h (x )< h (1)= 0,所以ln x - 1⎛ x - 1⎫ < 0；2 x ⎪e x 1⎡⎝⎭1⎛1⎫⎤综上,-x e x - 2⎢ln x -x ⎣ x -⎝⎪⎥ > 0,所以x 1x 2< 1.⎭⎦22.【答案】（1）y 2=6x -2(y ≥0)；⎛ 1,1⎫⎛1⎫（2）C 3,C 1的交点坐标为 2⎪ ，(1,2) ，C 3,C 2的交点坐标为 -,-1⎪ ，(-1,-2) ．⎝⎭【解析】【分析】(1)消去t ，即可得到C 1普通方程；⎝2⎭(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出．【小问1详解】2+ t 2+ y 22因为x =，y =，所以x =，即C 1的普通方程为y = 6x - 2( y ≥ 0) ．6【小问2详解】2+ s因为x = -66,y = -，所以6x = -2- y 2，即C 的普通方程为y 2= -6x - 2( y ≤ 0)，由2cos θ - sin θ = 0⇒ 2ρ cos θ - ρ sin θ = 0，即C 3的普通方程为2x - y = 0．⎧ y 2= 6x - 2( y ≥ 0)⎧x = 1⎧x = 1⎛ 1⎫联立⎨，解得：⎨2或⎨，即交点坐标为 2,1⎪ ，(1,2) ；⎩2x - y = 0⎪⎩y =1⎩y = 2⎝⎭⎧ y 2= -6x - 2( y ≤ 0)⎧1⎪ =-⎧x = -1⎛1⎫联立⎨，解得：⎨2或⎨，即交点坐标为 -,-1⎪ ，(-1,-2)．⎩2x - y = 0⎪⎩y =-1⎩y = -2⎝2⎭23.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据a 2+b 2+4c 2=a 2+b 2+(2c )2，利用柯西不等式即可得证；22x 2x⎣⎦（2）由（1）结合已知可得0< a + 4c ≤ 3，即可得到1a + 4c ≥ 1，再根据权方和不等式即可得证.3【小问1详解】证明：由柯西不等式有⎡a 2+b 2+(2c )2⎤(12+12+12)≥(a +b +2c )2，所以a + b + 2c ≤ 3，当且仅当a = b = 2c = 1时，取等号，所以a + b + 2c ≤ 3；【小问2详解】证明：因为b = 2c ，a > 0，b > 0，c > 0，由（1）得a + b + 2c = a + 4c ≤ 3，即0< a + 4c ≤ 3，所以1a + 4c ≥ 1，3111222(1+2)2由权方和不等式知+=+≥= 9≥ 3，a c a 124c a + 4c a + 4c 1当且仅当=，即a = 1，c =时取等号，a 4c 211所以+≥ 3.a c。
2022年全国乙卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
a |= 1,|b |=3,|a - 2b |= 3α*2绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）注意事项：（适用地区：:内蒙古、吉林、黑龙江、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆、山西、安徽、江西、河南）数学（理科）1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U = {1,2,3,4,5}，集合M 满足ðU M = {1,3}，则（）A.2∈ MB.3∈ MC.4∉ MD.5∉ M 2.已知z = 1- 2i ，且z + az + b = 0，其中a ，b 为实数，则（）A.a = 1,b = -2B.a = -1,b = 2C.a = 1,b = 2D.a = -1,b = -23已知向量a ,b 满足|，则a ⋅ b = （）A.-2B.-1C.1D.24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b}：b = 1+1，n111b 2= 1+1α +，1α1b 3= 1+1α1+1α，…，依此类推，其中αk ∈ N (k = 1,2,2．则（）A.b 1< b 52+3B.b 3< b 8C.b 6< b 2D.b 4< b 75.设F 为抛物线C :y 2= 4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若AF = BF ，则AB = （）A.2B.26.执行下边的程序框图，输出的n = （）C.3D.3A.3 B.4 C.5D.67.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ,BC 的中点，则（）A.平面B 1EF ⊥ 平面BDD 1B.平面B 1EF ⊥ 平面A 1BDα)232C.平面B 1EF //平面A 1AC D.平面B 1EF //平面A 1C 1D8.已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2-a 5=42，则a 6=（）A.14B.12C.6D.39.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）11A.B.32C.3D.210.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p 1,p 2,p 3，且p 3> p 2> p 1> 0．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（）A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大11.双曲线C 的两个焦点为F 1,F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2A.52= 3，则C 的离心率为（）53B.2C.132D.17212.已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R ，且f (x )+ g (2- x )= 5,g (x )- f (x - 4)= 7．若y = g (x )的图像关22于直线x = 2对称，g (2)= 4，则∑ f (k )= （）k =1A.-21B.-22C.-23D.-24二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．14.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为．15.记函数f (x ) = cos (ωx + ϕ ) (ω > 0,0< ϕ < π)的最小正周期为T ，若f (T )= 3，x = π为f (x )的零点，29则ω 的最小值为．16.已知x = x 1和x = x 2分别是函数f (x )= 2a 则a 的取值范围是．-e x 2（a > 0且a ≠ 1）的极小值点和极大值点．若x 1< x 2，三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.记△���的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知sin C sin(A - B )= sin B sin(C - A )．（1）证明：2a 2= b 2+ c 2；25（2）若a = 5,cos A =，求△���的周长．3118.如图，四面体ABCD 中，AD ⊥ CD ,AD = CD ,∠ADB = ∠BDC ，E 为AC 的中点．x22（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设AB = BD = 2,∠ACB = 60︒ ，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m 2）和材积量（单位：m 3），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积x i 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量y i 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9101010并计算得∑xi= 0.038,∑y i= 1.6158,∑x i y i = 0.2474．i=1i=1i=1（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．n∑(x i-x )(y i-y )i=1附：相关系数r =1.377．320.已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0,-2),B ⎛ 3,-1⎫两点． 2⎪⎝⎭（1）求E 的方程；（2）设过点P (1,-2) 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT = TH ．证明：直线HN 过定点．21.已知函数f (x ) = ln (1+ x ) + ax e - x（1）当a = 1时，求曲线y = f ( x ) 在点(0,f (0))处的切线方程；（2）若f ( x ) 在区间(-1,0),(0,+∞) 各恰有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]⎧⎪x =22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨cos2t，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴⎪⎩y =2sin t 为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ sin ⎛θ + π ⎫ + m = 0． ⎪⎝⎭（1）写出l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]33323.已知a ，b ，c 都是正数，且a 2+ b 2+ c 2= 1，证明：1（1）abc ≤；9a b c 1（2）++≤；b + ca + ca + b2abc3)k221.【答案】A参考答案【详解】由题知M = {2,4,5},对比选项知，A 正确,BCD 错误；故选:A 2.【答案】A【详解】z = 1+ 2iz + az + b = 1- 2i + a (1+ 2i)+ b = (1+ a + b )+ (2a - 2)i⎧1+ a + b = 0⎧a =1由z + az + b = 0,得⎨⎩2a - 2= 0,即⎨⎩b = -2故选:A3．【答案】C222【详解】解：∵|a - 2b |=|a |-4a ⋅ b + 4b ，又∵|a |= 1,|b |=3,|a - 2b |= 3,∴9= 1- 4a ⋅ b + 4⨯ 3= 13- 4a ⋅ b ，∴a ⋅ b = 1故选：C.4.【答案】D【详解】解：因为α ∈ N *(k = 1,2,，α < α +11>11b > b所以11，α12α +，得到12，1α211α1+同理α2> α1+α2+ 1，可得b 2< b 3，b 1> b 3α31>1,α +1< α +111又因为α2α +111α2+αα2+11，α3+4故b 2< b 4，b 3> b 4；3α3+4以此类推，可得b 1> b 3> b 5> b 7>…，b 7> b 8，故A 错误；b 1> b 7> b 8，故B 错误；1>1α2α+1，得b < b ，故C 错误；2126α3+…αα1+α2+611> α11+1α2+…11，得b 4< b 7，故D 正确.故选：D.α3+4α6+75.【答案】B【详解】由题意得，F (1,0) ，则AF = BF = 2，即点A 到准线x = -1的距离为2，所以点A 的横坐标为-1+ 2= 1，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A (1,2) ，所以AB =6.【答案】B= 2.故选：B【详解】执行第一次循环，b = b + 2a = 1+ 2= 3，a = b - a = 3-1= 2,n = n +1= 2，ααααα(3-1)2+(0-2)232227252172122⎨- 2=- 2= 1> 0.01；4执行第二次循环，b = b + 2a = 3+ 4= 7，a = b - a = 7- 2= 5,n = n +1= 3，- 2=- 2= 1> 0.01；25执行第三次循环，b = b + 2a = 7+10= 17，a = b - a = 17- 5= 12,n = n +1= 4，- 2=- 2= 1< 0.01，此时输出n = 4故选：B 1447.【答案】A【详解】解：在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥ BD 且DD 1⊥ 平面ABCD ，又EF ⊂ 平面ABCD ，所以EF ⊥ DD 1，因为E ,F 分别为AB ,BC 的中点，所以EFAC ，所以EF ⊥ BD ，又BD DD 1= D ，所以EF ⊥ 平面BDD 1，又EF ⊂ 平面B 1EF ，所以平面B 1EF ⊥ 平面BDD 1，故A 正确；选项BCD 解法一：如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设AB = 2，则B 1(2,2,2),E (2,1,0),F (1,2,0),B (2,2,0),A 1(2,0,2),A (2,0,0),C (0,2,0)，C 1(0,2,2) ，则EF = (-1,1,0),EB 1= (0,1,2) ，DB = (2,2,0),DA 1= (2,0,2) ，AA 1= (0,0,2),AC = (-2,2,0),A 1C 1= (-2,2,0),设平面B 1EF 的法向量为m = (x 1,y 1,z 1) ，则有⎧⎪m ⋅EF =-x 1+y 1=0，可取m =(2,2,-1)，⎪⎩m ⋅EB 1=y 1+2z 1=0同理可得平面A 1BD 的法向量为n 1= (1,-1,-1) ，平面A 1AC 的法向量为n 2= (1,1,0)，平面A 1C 1D 的法向量为n 3= (1,1,-1) ，则m ⋅ n 1= 2- 2+1= 1≠ 0，所以平面B 1EF 与平面A 1BD 不垂直，故B 错误；u u r因为m 与n 2不平行，所以平面B 1EF 与平面A 1AC 不平行，故C 错误；因为m 与n 3不平行，所以平面B 1EF 与平面A 1C 1D 不平行，故D 错误，故选：A.b 2a 2b 2a 2b 2a 2EMN B 1F 选项BCD 解法二：解：对于选项B ，如图所示，设A 1B B 1E = M ，EF 线，，则MN 为平面B 1EF 与平面A 1BD 的交在△BMN 内，作BP ⊥ MN 于点P ，在内，作GP ⊥ MN ，交EN 于点G ，连结BG ，则∠BPG 或其补角为平面B 1EF 与平面A 1BD 所成二面角的平面角，由勾股定理可知：PB 2+ PN 2= BN 2，PG 2+ PN 2= GN 2，底面正方形ABCD 中，E ,F 为中点，则EF ⊥ BD ，由勾股定理可得NB 2+ NG 2= BG 2，从而有：NB 2+NG 2=(PB 2+PN2)+(PG2+PN 2)=BG 2，据此可得PB 2+ PG 2≠ BG 2，即∠BPG ≠ 90，据此可得平面B 1EF ⊥ 平面A 1BD 不成立，选项B 错误；对于选项C ，取A 1B 1的中点H ，则AHB 1E ，由于AH 与平面A 1AC 相交，故平面B 1EF ∥平面A 1AC 不成立，选项C 错误；对于选项D ，取AD 的中点M ，很明显四边形A 1B 1FM 为平行四边形，则A 1M ，由于A 1M 与平面A 1C 1D 相交，故平面B 1EF ∥平面A 1C 1D 不成立，选项D 错误；故选：A.8.【答案】D【详解】解：设等比数列{a n }的公比为q ,q ≠0，若q = 1，则a 2- a 5= 0，与题意矛盾，BD = N32⎛ r 2+ r 2+ 2h 2⎫3 ⎝3⎪⎭13NF 2NF 1NF 1- NF 2即所以q ≠ 1，⎧a (1- q 3)⎧a 1= 96⎪a + a + a =则1231q = 168⎪，解得，⎨-⎨1⎪a - a = a q - a q 4= 42⎪⎩q =2⎩ 2511所以a = a q 5= 3.61故选：D .9.【答案】C【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α ，则S ABCD= 1⋅ AC ⋅ BD ⋅sin α ≤ 1⋅ AC ⋅ BD ≤ 1⋅ 2r ⋅ 2r = 2r 2222（当且仅当四边形ABCD 正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为2r 2又r 2+h 2= 1则V= 1⋅ 2r 2⋅ h =2r 2⋅ r 2⋅ 2h 2≤=O - ABCD3327当且仅当r 2= 2h 2即h = 3时等号成立，故选：C10.【答案】D【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为1，则此时连胜两盘的概率为p 2p = 1(1- p )p p + p p (1- p )甲+ 1(1- p )p p + p p (1- p )= p (p + p )- 2p p p ；则甲[213213][312312]12312322记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘概率为p 乙，则p 乙= (1- p 1)p 2p 3+ p 1p 2(1- p 3)= p 2(p 1+ p 3)- 2p 1p 2p 3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p 丙则p 丙= (1- p 1)p 3p 2+ p 1p 3(1- p 2)= p 3(p 1+ p 2)- 2p 1p 2p 3则p 甲- p 乙= p 1(p 2+ p 3)- 2p 1p 2p 3-[p 2(p 1+ p 3)- 2p 1p 2p 3] = ( p 1- p 2) p 3< 0p 乙- p 丙= p 2(p 1+ p 3)- 2p 1p 2p 3-[ p 3(p 1+ p 2)- 2p 1p 2p 3] = ( p 2- p 3) p 1< 0即p 甲< p 乙，p 乙< p 丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大.选项D 判断正确；选项BC 判断错误；p 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A 判断错误.故选：D 11.【答案】AC【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为G ，若M ,N 分别在左右支，3因为OG ⊥NF 1，且cos ∠F 1NF 2=>0，所以N 在双曲线的右支，5又OG = a ，OF 1= c ，GF 1= b ，设∠F 1NF 2= α ，∠F 2F 1N = β ，2c 在△F 1NF 2中，有sin β==，sin (α + β )sin α= 2c a c sin (α + β ) - sin βsin αsin (α + β )- sin β=，sin α所以a =c，sin α cos β + cos α sin β -sin βsin α43故b 21+a 213NF 1NF 2- NF 153a b 4而cos α =，sin β =，cos β =，故sin α =，5cc5代入整理得到2b = 3a ，即b = 3，a 2c所以双曲线的离心率e ===a 2若M ,N 均在左支上，同理有sin β== 2c，其中β 为钝角，故cos βsin (α + β )sin αb =-，c= 2c a c sin β - sin (α + β )即sin αsin β -sin α cos β - cos α sin β=，sin α3a 4a 1代入cos α =，sin β =，sin α =，整理得到：=，5故a = 2b ，故e =故选：AC.c 5=，24b +2a 412.【答案】D【详解】因为y = g (x )的图像关于直线x = 2对称，所以g (2- x ) = g (x + 2) ，因为g (x )- f (x - 4)= 7，所以g (x + 2)- f (x - 2)= 7，即g (x + 2)= 7+ f (x - 2)，因为f (x )+ g (2- x )= 5，所以f (x )+ g (x + 2)= 5，代入得f (x )+[7+ f (x - 2)] = 5，即f (x )+ f (x - 2)= -2，所以f (3) + f (5) ++ f (21) = (-2)⨯ 5= -10，f (4) + f (6) ++ f (22) = (-2)⨯ 5= -10.因为f (x )+ g (2- x )= 5，所以f (0)+ g (2)= 5，即f (0) = 1，所以f (2)= -2- f (0) = -3.因为g (x )- f (x - 4)= 7，所以g (x + 4)- f (x )= 7，又因为f (x )+ g (2- x )= 5，联立得，g (2- x )+ g ( x + 4) = 12，所以y = g (x )的图像关于点(3,6) 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，NF 2故1+ ⎛ b ⎫2a ⎪⎝⎭+f (21)⎤⎦+⎡⎣f (4)+f (6)++f (22)⎤⎦=-1-3-57⎩⎩⎪⎩⎩⎩7F ⎪所以g (3)= 6因为f (x )+ g (x + 2)= 5，所以f (1) = 5- g (3) = -1.所以22∑ f (k )= f (1) + f (2) + ⎡⎣ f (3) + f (5) +k =1故选：D 10-10= -24.313.【答案】10=0.3【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；33其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P =.故答案为：.1010解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C 3= 10甲、乙都入选的方法数为C 1= 3，所以甲、乙都入选的概率P =33，故答案为：3101014.【答案】(x -2)2+(y -3)2=13或(x -2)2+(y -1)2=5或⎛x -4⎫22+ ⎛ y -⎫= 65或3⎪ 3⎪9⎛ x - 8⎫+(y -1)2=169；⎝⎭⎝⎭5⎪25⎝⎭【解析】【详解】解：依题意设圆的方程为x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0，⎧F = 0⎪⎧F = 0⎪若过(0,0) ，(4,0) ，(-1,1) ，则⎨16+ 4D + F = 0⎪1+1- D + E + F = 0，解得⎨D = -4，⎪E = -6所以圆的方程为x 2+y 2-4x -6y =0，即(x -2)2+(y -3)2=13；⎧F = 0若过(0,0) ，(4,0) ，(4,2) ，则⎨16+ 4D + F = 0⎪16+ 4+ 4D + 2E + F = 0⎧F = 0⎪，解得⎨D = -4，⎪E = -2所以圆的方程为x 2+y 2-4x -2y =0，即(x -2)2+(y -1)2=5；⎧⎧F = 0⎪F = 0⎪8若过(0,0) ，(4,2) ，(-1,1) ，则⎨1+1- D + E + F = 0⎪，解得⎨D =-，⎪16+ 4+ 4D + 2E + F = 0⎪3⎪14所以圆的方程为x 2+ y 2- 8x - 14y = 0，即⎛ x - 4⎫22+ ⎛ y -⎫⎪⎩E =-3= 65；33 3⎪ 3⎪9⎝⎭⎝⎭⎧1+1- D + E + F = 0⎪⎧16=-5⎪16若过(-1,1) ，(4,0) ，(4,2) ，则⎨16+ 4D + F = 0⎪16+ 4+ 4D + 2E + F = 0，解得⎨D =-，⎪5⎩⎪E = -2⎪⎩25⎪3π⎪0所以圆的方程为x x - 8⎫⎭+(y -1)2=169；2522故答案为：(x -2)2+(y -3)2=13或(x -2)2+(y -1)2=5或⎛x -4⎫+ ⎛ y - 7⎫= 65或 3⎪ 3⎪9⎛ x - 8⎫+(y -1)2=169；⎝⎭⎝⎭ 5⎪25⎝⎭15.【答案】3【详解】解：因为f ( x ) = cos (ωx + ϕ ) ，（ω > 0，0< ϕ < π）2π⎛2π⎫所以最小正周期T =，因为f (T ) = cos ω ⋅+ ϕ ⎪ = cos (2π+ ϕ ) = cos ϕ =，ω⎝ω⎭2又0< ϕ < π，所以ϕ = π，即f ( x ) = cos ⎛ωx + π⎫ ，6 6⎪又x =为f ( x ) 的零点，所以9⎝⎭πω + π= π+ k π,k ∈ Z ，解得ω = 3+ 9k ,k ∈ Z ，962因为ω > 0，所以当k = 0时ωmin = 3；故答案为：3⎛ 116.【答案】 ⎝ e ,1⎫⎭【详解】解：f '(x ) = 2ln a ⋅ a x - 2e x ，因为x 1,x 2分别是函数f (x ) = 2a -e x 2的极小值点和极大值点，所以函数f ( x ) 在(-∞,x 1) 和( x 2,+∞) 上递减，在( x 1,x 2) 上递增，所以当x ∈(-∞,x 1) ⋃( x 2,+∞) 时，f '( x ) < 0，当x ∈( x 1,x 2) 时，f '( x ) > 0，若a > 1时，当x < 0时，2ln a ⋅ a x > 0,2e x < 0，则此时f '(x ) > 0，与前面矛盾，故a > 1不符合题意，若0< a < 1时，则方程2ln a ⋅ a x - 2e x = 0的两个根为x 1,x 2，即方程ln a ⋅ a x = e x 的两个根为x 1,x 2，即函数y = ln a ⋅ a x与函数y = e x 的图象有两个不同的交点，∵0< a < 1,∴函数y = a x的图象是单调递减的指数函数，又∵ln a < 0,∴y = ln a ⋅ a x 的图象由指数函数y = a x 向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：设过原点且与函数y = g ( x ) 的图象相切的直线的切点为(x 0,ln a ⋅ a x 0)，则切线的斜率为g '( x 0)=ln 2a ⋅a x0，故切线方程为y -ln a ⋅a x 0=ln 2a ⋅a x 0(x -x )，22+y 2- 16x - 2y - 16= 0，即⎛55 ⎝2x( 222)3则有-ln a ⋅a x 0= -x 0ln a ⋅a x 011，解得x0= ln a ，则切线的斜率为ln 2a ⋅ a ln a = eln 2a ，因为函数y = ln a ⋅ a x 与函数y = e x 的图象有两个不同的交点，1所以eln 2a < e ，解得e 1< a < e ，又0< a < 1，所以e < a < 1，综上所述，a 的范围为⎛ 1,1⎫.e ⎪⎝⎭17.【答案】（1）见解析（2）14【小问1详解】证明：因为sin C sin ( A - B ) = sin B sin (C - A ) ，所以sin C sin A cos B -sin C sin B cos A = sin B sin C cos A -sin B sin A cos C ，a 2+ c 2- b 2b 2+c 2- a 2a 2+b 2-c 2所以ac ⋅- 2bc ⋅= -ab ⋅，2ac 2bc 2ab a 2+ c 2- b 2a 2+ b 2- c2即- b + c - a = -，22所以2a 2= b 2+ c 2；【小问2详解】25解：因为a = 5,cos A =，31由（1）得b 2+ c 2= 50，由余弦定理可得a 2= b 2+ c 2- 2bc cos A ，50则50-bc = 25，3131所以bc =，2故(b +c )2=b 2+c 2+2bc =50+31=81，所以b + c = 9，所以△���的周长为a + b + c = 14.18.【答案】（1）证明过程见解析（2）CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为437【解析】【小问1详解】因为AD = CD ，E 为AC 的中点，所以AC ⊥ DE ；在△ABD 和△���中，因为AD = CD ,∠ADB = ∠CDB ,DB = DB ，所以△ABD ≌△CBD ，所以AB = CB ，又因为E 为AC 的中点，所以AC ⊥ BE ；又因为DE ,BE ⊂ 平面BED ，��∩��=�，所以AC ⊥ 平面BED ，因为AC ⊂ 平面ACD ，所以平面BED ⊥ 平面ACD .【小问2详解】连接EF ，由（1）知，AC ⊥ 平面BED ，因为EF ⊂ 平面BED，所以AC ⊥ EF ，所以S △AFC =1AC ⋅ EF ，2当EF ⊥ BD 时，EF 最小，即△AFC 的面积最小.因为△ABD ≌△CBD ，所以CB = AB = 2，又因为∠ACB = 60︒ ，所以△���是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以AE = EC = 1，BE =，233n ,CF =n ⋅ CF n CF =621⨯74n ,CF = 437因为AD ⊥ CD ，所以DE =1AC = 1,2在△���中，DE 2+ BE 2= BD 2，所以BE ⊥ DE .以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E - xyz ，则A (1,0,0),B (0,,0),D (0,0,1) ，所以AD = (-1,0,1),AB = (-1,3,0) ，设平面ABD 的一个法向量为n = ( x ,y ,z ) ，⎧⎪n ⋅AD =-x +z =0则⎨⎪⎩n ⋅AB =-x +y =0，取y =，则n =(3,3,3)，⎛33⎫⎛ 33⎫又因为C (-1,0,0),F 0,,，所以CF = 1,,，44⎪⎪ 44⎪⎪cos ⎝⎭⎝⎭= 43所以7，设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为θ ⎛ 0≤ θ ≤ π ⎫，2⎪⎝⎭所以sin θ = cos ，所以CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为43.719.【答案】（1）0.06m 2；0.39m 3（2）0.97（3）1209m 3【解析】【小问1详解】0.6样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x == 0.06103.9样本中10棵这种树木的材积量的平均值y == 0.3910据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m 2，平均一棵的材积量为0.39m 3【小问2详解】1010∑( x i - x )( y i - y )r =i=1=∑x i y i -10xyi=1102102⎛ 10⎫⎛ 10⎫( x - x )( y -y )x 2-10x 2y 2-10y 2∑i ∑i ∑ i ⎪ ∑ i ⎪i=1i=1⎝ i=1⎭⎝ i=1⎭=0.2474-10⨯ 0.06⨯ 0.39=(0.038-10⨯ 0.062)(1.6158-10⨯ 0.392)0.01340.0001896≈ 0.01340.01377≈ 0.97则r ≈ 0.973622【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m 3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，0.06186可得=0.39Y ，解之得Y =1209m 3．则该林区这种树木的总材积量估计为1209m 320.【答案】（1）y x 2+= 143（2）(0,-2)【解析】【小问1详解】解：设椭圆E 的方程为mx 2+ ny 2= 1，过A (0,-2),B ⎛ 3,-1⎫ ，2⎪⎝⎭⎧4n = 1⎪11则⎨ 9m + n = 1，解得m = 3，n = 4，⎪⎩4所以椭圆E 的方程为：y x 2+= 1.43【小问2详解】A (0,-2),B (3,-1)，所以AB :y + 2= 2x ，23x 2y 2①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x = 1.代入+= 1，34可得M (1,- 26)，N (1,26)，代入AB 方程y = 2x - 2，可得333T (-+ 3,- 26)，由MT = TH 得到H (-23y = (2+ 26)x - 2，过点(0,-2).3+ 5,- 26).求得HN 方程：3②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx - y - (k + 2)= 0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).⎧kx - y - (k + 2)= 0⎪联立⎨⎪x 2y2+= 1,得(3k 2+ 4)x 2- 6k (2+ k )x + 3k (k + 4)= 0，⎩34⎧x + x = 6k (2+ k )⎧y + y = -8(2+ k )⎪ 12可得⎨3k 2+4⎪⎪12，⎨3k 2+ 4，2⎪x x = 3k (4+ k )⎪ y y =4(4+ 4k - 2k )⎪⎩123k 2+ 4⎪⎩223k 2+ 4x y + x y =-24k (*)且12213k 2+ 4⎧y = y 1⎪联立2,可得T (3y 1+ 3,y ),H (3y + 6- x ,y ).⎨ y =⎪⎩x - 2321111可求得此时HN :y - y =y 1- y2(x - x )，3y 1+ 6- x 1- x 2将(0,-2)，代入整理得2(x 1+ x 2)- 6(y 1+ y 2)+ x 1y 2+ x 2y 1- 3y 1y 2-12= 0，将(*)代入，得24k +12k 2+ 96+ 48k - 24k - 48- 48k + 24k 2- 36k 2- 48= 0,显然成立，226综上，可得直线HN过定点(0,-2).21.【答案】（1）y=2x（2）(-∞,-1)【解析】【小问1详解】f(x)的定义域为(-1,+∞)当a= 1时,f(x)= ln(1+ x) +2x,f(0)= 0,所以切点为(0,0)e xf' (x)=11+ x+1- x,f' (0)= 2,所以切线斜率为e x所以曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y= 2x【小问2详解】f(x)= ln(1+ x)+ axe x1a(1- x)e x+ a(1- x2)f' (x)=+=1+ x e x(1+ x)e x设g(x)= e x+ a(1- x2)1︒ 若a> 0,当x∈(-1,0),g(x)= e x+ a(1- x2) > 0,即f'(x)> 0所以f(x)在(-1,0)上单调递增,f(x)<故f(x)在(-1,0)上没有零点,不合题意f(0)= 02︒ 若-1剟a0,当x∈(0,+∞),则g' (x)= e x- 2ax> 0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增所以g(x)> g(0)= 1+ a…0,即f'(x)> 0所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)> f(0)= 0故f(x)在(0,+∞)上没有零点,不合题意3︒ 若a< -1(1)当x∈(0,+∞),则g' (x)= e x- 2ax> 0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增g(0)= 1+ a< 0,g(1)= e> 0所以存在m∈(0,1),使得g(m)= 0,即f'(m)= 0当x∈(0,m),f' (x)< 0,f(x)单调递减当x∈(m,+∞),f' (x)> 0,f(x)单调递增所以当x∈(0,m),f(x)< f(0)= 0当x→ +∞,f(x)→ +∞所以f(x)在(m,+∞)上有唯一零点又(0,m)没有零点,即f(x)在(0,+∞)上有唯一零点(2)当x∈(-1,0),g(x)= e x+ a(1- x2)设h(x)= g' (x)= e x- 2axh' (x)= e x- 2a> 0所以g'(x)在(-1,0)单调递增g' (-1)= 1+ 2a< 0,g' (0)= 1> 0e所以存在n∈(-1,0),使得g'(n)= 0当x∈(-1,n),g' (x)< 0,g(x)单调递减当x∈(n,0),g' (x)> 0,g(x)单调递增,g(x)< g(0)= 1+ a< 01又g(-1)=> 0e所以存在t∈(-1,n),使得g(t)= 0,即f'(t)= 033当x ∈(-1,t ),f (x )单调递增,当x ∈(t ,0),f (x )单调递减有x → -1,f (x )→ -∞而f (0)= 0,所以当x ∈(t ,0),f (x )> 0所以f (x )在(-1,t )上有唯一零点,(t ,0)上无零点即f (x )在(-1,0)上有唯一零点所以a < -1,符合题意所以若f (x )在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a 的取值范围为(-∞,-1)22.【答案】（1）3x +y +2m =0195（2）-≤ m ≤122【解析】【小问1详解】因为l ：ρ sin ⎛θ + π ⎫+ m = 0，所以1ρ ⋅sin θ +ρ ⋅cos θ + m = 0， ⎪⎝⎭22又因为ρ ⋅sin θ = y ,ρ ⋅cos θ = x ，所以化简为1y +3x + m = 0，整理得l 的直角坐标方程：【小问2详解】联立l 与C 的方程，即将x =22x + y + 2m = 03cos2t ，y = 2sin t 代入x + y + 2m = 0中，可得3cos 2t + 2sin t + 2m = 0，所以3(1- 2sin 2t )+ 2sin t + 2m = 0，化简为-6sin 2t + 2sin t + 3+ 2m = 0，要使l 与C 有公共点，则2m = 6sin 2t - 2sin t - 3有解，令sin t = a ，则a ∈[-1,1] ，令f (a )= 6a 2- 2a - 3，(-1≤a ≤1)，1对称轴为a =，开口向上，6所以f (a )max = f (-1)= 6+2- 3= 5，f (a )min = f (1)= 1- 2- 3= - 19，666619所以-≤ 2m ≤ 56195m 的取值范围为-≤ m ≤.12223.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【小问1详解】333证明：因为a > 0，b > 0，c > 0，则a 2> 0，b 2> 0，c 2> 0，33ab 2bc 2abc 2ac 2abc 2ab 2abc2abc 2abc 2abc ≥12abc 2abc333所以a 2+ b 2+ c 23即(abc )2≤1，所以abc ≤，当且仅当33339【小问2详解】a 2=b 2=c 2，即a = b = c =证明：因为a > 0，b > 0，c > 0，所以b + c ≥ 2，a + c ≥ 23，a + b ≥ 2，33所以a ≤a =a 2b +c ，b ≤b =b 2a + c ，c ≤c =c 2a +b 333333a +b +c ≤a 2+b 2+c 2= a 2+ b 2+ c 2=1b + c a + c a + b 当且仅当a = b = c 时取等号．bc ac。
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广东高考试卷(理科数学)解析版绝密★启用前试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、 选择题：本大题共8小题，每题5分满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的。
1.设集合2{|20,}M x x x x R =+=∈，2{|20,}N x x x x R =-=∈。
则M N =A ．{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2}解析：∵2{|20,}{2,0}M x x x x R =+=∈=-，2{|20,}{0,2}N x x x x R =-=∈= ∴{2,0,2}MN =- 选D2.定义域为R 的四个函数32,2,1,2sin x y x y y x y x ===+=中，奇函数的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1解析：四个函数32,2,1,2sin x y x y y x y x ===+=中，奇函数有3,2sin y x y x ==两个。
选C3.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是 A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2) 解析：2442iz i z i =+⇒=- 选C4.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E(X)=A.32B.2C.52D.3 解析：E(X)=3313123510102⨯+⨯+⨯= 选A5.某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是图1A. 4B.143 C.163D. 6 解析：显然棱台的上下底的面积分别为1214S S ==、，故其体积为11221114V=()(124)2333S S S S h ++=++⨯= 选B 6.设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A.若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m ⊥n ； B. 若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n C. 若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥； D. 若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥ 解析：选D ∵,//,//m m n n αβ⊥，∴平面β内存在直线α⊥，故αβ⊥ 其它选项均错。
7.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点F(3,0)，离心率等于32，则C 的方程是 A. 22145x -= B. 22145x y -= C. 22125x y -= D.22125x -= 解析：由题意得33,2,52c c e a b a ===∴== 故C 的方程是：B. 22145x y -= 8.设整数4n ≥，集合{123,}X =，，……，令集合{(,,)|,,,S x y z x y z X =∈且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(,,)x y z 和(,,)z u x 都在S 中，则下列选项正确的是A. (,,),(,,)y z u S x y u S ∈∉B. (,,),(,,)y z u S x y u S ∈∈C. (,,),(,,)y z u S x y u S ∉∈D. (,,),(,,)y z u S x y u S ∉∉ 解析：①若x z <，∵(,,)x y z 和(,,)z u x 都在S ，∴,x y z <<且x z u <<∴x y u <<，且y z u << 故(,,),(,,)y z u S x y u S ∈∈②若x z >，∵(,,)x y z 和(,,)z u x 都在S ，∴,z x y <<且z u x << ∴z u y <<，且u x y << 故(,,),(,,)y z u S x y u S ∈∈ 选B二、填空题：本大题共7小题， 考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题） 9.不等式220x x +-<的解集为解析：由220x x +-<(1)(2)0x x ⇒-+<所以原不等式的解集为{|21}x x -<<或填（-2,1）10.若曲线ln y kx x =+在点（1，k ）处的切线平行于x 轴，则k=解析：∵ 1'y k x =+ ∴101k += 解得1k =-11.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出S 的值为 解析：10123S =++++= 712.在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7= 解析：3a 5+a 7=a 5+a 4+a 6+a 7=(a 4+a 7)+(a 5+a 6)=2(a 3+a 8)= 2013.给定区域D ：4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，令点集{(,)|,n n n n T x y D x y Z =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 条不同的直线。
解析：目标函数z x y =+的最大值点有五个点12345(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)(4,0)A A A A A 、、、、都在同一直线上，最小值点为B(0,1). 故T 中的点共确定不同直线的条数为22651C C -+= 6 .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为2cos ()2sin x tt y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，C 在点（1,1）处切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 。
解析：曲线C 为圆C ：222x y +=，在点A （1,1）处切线为l 的斜率为11OAk k =-=- ∴处切线l 的直角坐标方程为2x y +=故l 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=或sin()24πρθ+=或画出图形解三角形（略）15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径， 点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC=CD 过C 作圆O 的切线交AD 于E 若AB=6，ED=2，则BC= 。
解析：∵BC=DC ，∠ACB=∠ACD ，AC=AC ∴△ACB ≌△ACD∴AD=AB=6，∠BAC=∠DAC∵CE 切圆O 于C ，∴∠ABC=∠ACE. ∴∠AEC=∠ACB=90° 在Rt △ACD 中 CD 2=AD ×ED=12 ∴BC CD == 23三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.（本小题满分12分）已知函数()2cos(),12f x x x R π=-∈.（1）求()6f π-的值；（2）若33cos ,(,2)52πθθπ=∈，求(2)3f πθ+.解：（1）()2cos()2cos 1644f πππ-=-==(2) ∵33cos ,(,2)52πθθπ=∈，∴4sin 5θ=-∴(2)2cos(2)cos 2sin 234f ππθθθθ+=+=- 22cos 12sin cos θθθ=--93417212255525=⨯-+⨯⨯=17. （本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率。
解：（1）样本的均值为1(171920212530)226x =+++++=（2）由茎叶图知，抽取的6名工人中有2名为优秀工人，由此推断 该车间12名工人中优秀工人有12×26=4（名）. （3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率114821232166633C C P C ===18. （本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，BC=6，D 、E 分别是ACAB 上的点，CD=BE=2，O 是BC 的中点，将△ADE 折起得到如图6所示的四棱锥'A BCDE -，其中'3A O =（1）证明'A O ⊥平面BCDE ；（2）求二面角'A CD B --的平面角的余弦值。
BED解：(1)连结OD 、OE 。
∵BC=6，∴BO=CO=3 由余弦定理得22222cos 29352OD OE CD CO CD CO BCD ==+-⋅∠=+-⨯=在等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，BC=6，AB AC ==∴''A D A E ==∴222222''538''OD A O OE A O A D A E +=+=+===∴','A O OD A O OE ⊥⊥，∵OD OE O = ∴'A O BCDE ⊥平面 (2)设G 为AC的中点，连结'A G OG 、，则122OG AB ==，且//OG AB ∵ AB ⊥BC ， ∴ OG ⊥AC. ∵'A O BCDE ⊥平面， ∴'A G AC ⊥ ∴∠'A GO 为二面角'A CD B --的平面角在Rt △'AOG中，'2A G ===B∴cos ''OG A GO A G ∠==为所求二面角'A CD B --的平面角的余弦值。
19. （本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2112121,,*33n n S a a n n n N n +==---∈. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<. 解：（1）令1n =，得1121222133S a a ==---把11a =代入，解得24a =（2）由2121233n n S a n n n +=---，得 32112233n n S na n n n +=---…………………………①3212122(1)(1)(1)33n n S na n n n ++=-+-+-+……………………②②-①化得211,(*)21n n a a n N n n ++-=∈++。
由（1）可得11,(*)1n n a an N n n+-=∈+，所以{}n a n 成为首项为111a=，公差为1的等差数列，于是有1(1)n a n n n =+-=即2n a n =（3）①当1n =时，显然11714a =<成立； ②当2n ≥时，22111111()1211n a n n n n =<=---+ ∴12111n a a a +++111111111[(1)()()()]2324211n n n n <+-+-++-+---+ 111171111(1)()221421n n n n =++--=-+++74<综合以上，对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<. 20. （本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为2，设P 为直线l 上的点过点P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值. 解：（12= ∵0c >，∴1c = 所以，抛物线C 的方程为24x y = （2）由24x y =，得1'2y x =设1222(,)(,)A x y B x y 、，切线111:()2x PA y y x x -=-，即112x y y x += 同理切线22:2x PB y y x +=，由00(,)P x y 得1010202022x y y x x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩上述表明直线002x y y x +=过1222(,)(,)A x y B x y 、两点 ∵ 0020x y --=， 故直线AB 的方程为：00202xx y x -+-=（3）由0022024x x y x x y ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩消去x 化得 222000(24)(2)0y x x y x --++-= ∴2120024,y y x x +=-+ 2120(2)y y x =- ∵1||(1)AF y =+， 2||(1)BF y =+，∴ 2212121200039||||(1)(1)()12682()22AF BF y y y y y y x x x ⋅=++=+++=-+=-+ 当032x =，即31(,)22P -时，||||AF BF ⋅取最小值为92.21. （本小题满分14分）设函数2()(1)()x f x x e kx k R =--∈. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 的最大值M.解：'()(1)22(2)x x x x f x x e e kx xe kx x e k =-+-=-=- （1）当1k =时，令'()(2)0x f x x e =-=，得120,ln 2x x ==当0x <时，'()0f x >；当0ln 2x <<时，'()0f x <；当ln 2x >时，'()0f x >； ∴函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞、(ln 2,)+∞；单调递减区间为(0,ln 2)（2）∵112k <<， ∴ 122k <<， 所以 0ln 2ln 2k << 记()ln 2,h k k k =-则21'()12k h k k k -=-=在1(,1)2k ∈有'()0h k <， ∴当1(,1)2k ∈时，()ln 2(1)1ln 20h k k h =->=->。