2015届高考数学必会题型：专题7《解析几何》第32练
高考数学《解析几何》专项训练及答案解析
高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。
2015届高考数学必考题型过关练：专题七+解析几何 学生版
第31练 直线和圆的位置关系题型一 直线和圆的位置关系的判断问题例1 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 题型二 弦长问题例2 若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是__________________． 题型三 直线和圆的综合性问题例3 如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当||MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)B Q →·B P →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．总结提高 (1)直线和圆的位置关系一般有两种判断方法：一是将直线和圆的方程联立，利用判别式的符号求解根的个数，即为直线和圆的交点个数；二是将圆心到直线的距离d 和半径r 相比较，当d >r 时相离，d ＝r 时相切，d <r 时相交．(2)求圆的弦长的方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，联立直线与圆的方程消去y 后得到方程两根为x 1，x 2，则弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|；三是利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法较为简单．1．直线(1＋3m )x ＋(3－2m )y ＋8m －12＝0(m ∈R )与圆x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0的交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0或2 D ．1或22．(2014·浙江)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－83．(2014·北京)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．44．(2014·福建)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．16．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(x －b )2＝2相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.8．已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________________．9．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________. 10．(2014·山东)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．11．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B . (1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在求k 的值；如果不存在，请说明理由．第32练 与直线和圆有关的最值问题题型一 有关定直线、定圆的最值问题例1 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45 B.25 C.255 D.105题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题例2 直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．当|OA |＋|OB |最小时，O 为坐标原点，求l 的方程．题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3) (2)与其他知识相结合的范围问题例4 已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[2，22) D ．[3，22)总结提高 (1)主要类型：①圆外一点与圆上任一点间距离的最值． ②直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值． ③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题． ⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值．⑥已知圆上的动点Q (x ，y )，求与点Q 的坐标有关的式子的最值，如求ax ＋by ，ax ＋bycx ＋dy 等的最值，转化为直线与圆的位置关系． (2)解题思路：①数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解．②函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解． (3)注意事项：①准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系；②涉及切线段长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形．1．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 22．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45 D.1353．(2014·成都模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 34．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝06．(2014·雅安模拟)已知Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎨⎧ y ≥0，y ≤4－x 2，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈⎣⎡⎦⎤π－22π，1，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1B.⎣⎡⎦⎤0，33C.⎣⎡⎦⎤33，1 D ．[0,1] 7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．8．直线l 过点(0，－4)，从直线l 上的一点P 作圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的切线P A ，PB (A ，B 为切点)，若四边形P ACB 面积的最小值为2，则直线l 的斜率k 为________．9．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________． 10．与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆C 的方程是________________________________________________________________________． 11．已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点． (1)求点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值； (2)求y －2x －1的最大值和最小值．12．已知圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得|DE |，|DO |，|DF |成等比数列，求DE →·DF →的取值范围．第33练 椭圆问题中最值得关注的几类基本题型题型一 利用椭圆的几何性质解题例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →的最大值和最小值．题型二 直线与椭圆相交问题例2 已知直线l 过椭圆8x 2＋9y 2＝72的一个焦点，斜率为2，l 与椭圆相交于M 、N 两点，求弦|MN |的长．题型三 点差法解题，设而不求思想例3 已知椭圆x 22＋y 2＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．题型四 轨迹问题例4 △ABC 的一边的顶点是B (0,6)和C (0，－6)，另两边斜率的乘积是－49，求顶点A 的轨迹方程．总结提高 (1)关于线段长的最值问题一般有两个方法：一是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值．(2)直线和椭圆相交问题：①常用分析一元二次方程解的情况，仅有“Δ”还不够，还要用数形结合思想．②弦的中点、弦长等，利用根与系数关系式，注意验证“Δ”．(3)当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解．(4)求轨迹(方程)的方法大致有直接法、代入法、定义法、参数法等，根据条件选择恰当的方法．1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．已知椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1 4．(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 5．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 26．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.627．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左，右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．8．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.9．(2014·江西)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．10．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．11．(2014·课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .12．(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．第34练 双曲线的渐近线和离心率题型一 双曲线的渐近线问题例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x题型二 双曲线的离心率问题例2 已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题例3 已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．总结提高 (1)求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a ，c 的关系，a ，c 关系的建立方法直接反映了试题的难易程度，最后在求得e 之后注意e >1的条件，常用到数形结合．(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由y ＝±b a x ⇔x a ±y b ＝0⇔x 2a 2－y 2b 2＝0，所以可以把标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于b a ＝c 2－a 2a ＝e 2－1，当e 逐渐增大时，ba 的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．2或233 B.6或233C ．2或 3 D.3或 62．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．33．(2014·绵阳模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2＋1)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞)5．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C ．3D ．26．(2014·山东)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝07．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围为________．8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．10．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．11．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．12．(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．第35练 与抛物线相关的热点问题题型一 抛物线的定义及其应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一动点，(1)求点P 到A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，抛物线的焦点为F ，求|PB |＋|PF |的最小值．题型二抛物线的标准方程及性质例2(1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.题型三直线和抛物线的位置关系例3已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为() A．4 B．－2 C．4或－4 D．12或－22．(2014·泸州模拟)若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有() A．0个B．1个C．2个D．4个3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()A．2±3 B．2＋ 3 C.3±1 D.3－14．(2014·课标全国Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.945．已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于( ) A ．3 B ．2 C ．4 D ．56．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B. 2 C.322D ．2 2 7．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.8．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．9．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°.则△OAF 的面积为________．10．(2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________.11．(2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．12．(2014·湖北)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．第36练 直线与圆锥曲线问题题型一 直线和椭圆的位置关系例1 如图所示，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C1相交于点D ，E .(1)求C 1，C 2的方程； (2)求证：MA ⊥MB ；(3)记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝λ，求λ的取值范围．题型二 直线和双曲线的位置关系例2 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．题型三 直线和抛物线的位置关系例3 已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率e ＝233，且S △ABF ＝1－32.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程；(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由．总结提高 直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决．1．已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A (1,0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋k 2＋1与(1)中所求点N 的轨迹E 交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且23≤OF →·OH →≤34，求k 2的取值范围．2．(2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．3．(2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．4．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x －y ＋6＝0相切．(1)求双曲线E 的方程；(2)已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线交双曲线E5．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．6．(2014·辽宁)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．第37练 圆锥曲线中的探索性问题题型一 定值、定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．题型二 定直线问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点．(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；(2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存题型三 定圆问题例3 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12，圆C k ：x 2＋y 2＋2kx －4y －21＝0(k ∈R )的圆心为点A k . (1)求椭圆G 的方程； (2)求△A k F 1F 2的面积；(3)问是否存在圆C k 包围椭圆G ？请说明理由．总结提高 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )． (3)定直线问题一般都为特殊直线x ＝x 0或y ＝y 0型．1．(2014·成都模拟)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？2．已知双曲线方程为x 2－y 22＝1，问：是否存在过点M (1,1)的直线l ，使得直线与双曲线交于P 、Q 两点，且M 是线段PQ 的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．3．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ，b >0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，请说明理由．4．(2014·重庆)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22. (1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．5．(2014·江西)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．6．(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程．(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．。
2015年高考数学必做解答题——解析几何
ＢＩ Ｚ Ｕ０ Ｊ Ｉ ＥＤＡＴ１
秽， ＾
考数学 撇解篡题
解析几何
Ｏ 湖南长沙市长郡中学 赵攀峰
利用函数思想破解解析几何 问题
ｌ ０ Ｈ翁ＮＳ ＳＩ Ｘｌ ｎＮＧ ｐｏ Ｊ ｌ Ｅ Ｊ Ｉ 《 Ｘｌ ｊ ｌ Ｈ《 山《 虿 ｌ
（ ★★ ★★ ★ ） 必做 １ 在 平 面直
Ｙ ２ ） ．
关 系成 立．因此 ， 点Ｃ即是 点曰。 ， 这说
明 ． Ｃ 关 于 轴 对称．
② 由① 得Ｂ ． ｃ 关于 轴 对称 ． 同
理， Ａ， Ｄ关 于 轴 对 称 ．所 以 四 边 形
ｇ－ － ＿ ￣ ，联立
， ｙ ， 消 破解思路 对于第 （ １ ） 问， 先将
数 ｍ的 目标 函数 ．此 时 可 用 换 元 法 结
因 此 ， （ ｓ …） ＝ 去 （ ５ ） × ｍ ２ ≤ ２ ４ ５ ‘
（ 一 ５ － ｍ ％ ｍ Ｚ ） ＝ ． 又 一 ２ ≤ ｍ ≤ ２ ， 即 ｍ ２ ∈
极速 突击
备考 时要 重点掌握
“ 设 而不 求 ， 整体代换” 的技 巧 。 以此
Ｉ ４ 。
（ １ ＋ ４ ｋ ） ２ ８ ｍｋ ２ ｘ ＋ ４ （ ｋ Ｚ ｍ２ － １ ） ＝ ０， 解 此
方程 ， 可得 Ｉ 慨产 ８ ｍｋ ２ ， － ・
—
①若ｋ ＝ １ ， 求 ＡＯ Ａ Ｂ 面积 的最大
值：
４ （ ｋ Ｚ ｍ ￣ ｌ ）
●
＾
ｉ ｛ ｙ 车 ＝ ｘ — ， ＜ ＋ ， 工 ＝ １ ． 将ｙ 消去 ，化 简可 得
４ ｌ
） ， ； ＝ 丢 （ ； ） 一 ２ ｍ （ ） ＋ ２ ｍ ＋ ２ ＝
2015高考数学第二轮复习专题讲解 解析几何 (含试题及答案)
2
）
D．与 P 点位置有关 解： A 记 △P F 1 F 2 的内切圆圆心为 C ，边 P F 1 、 P F 2 、 、 D ，易见点 C 、 D 的横坐标相等，如图，
c
F1 F2
上的切点分别为
M
、
N
可得 |P M | = |P N | ，|F 1 M | = |F 1 D| ，|F 2 N | = |F 2 D| ． 由 |P F 1 | − |P F 2 | = 2a ，即
|P M | + |M F 1 | − (|P N | + |N F 2 |) = 2a,
得 |M F 1 | − |N F 2 | = 2a ，即 记点 C 的横坐标为 x 0 ，则 练习 1. 已知椭圆 C
x : 9
2
|F 1 D| − |F 2 D| = 2a D (x 0 , 0)
． ，得
圆锥曲线定义挖掘 描述 锥曲线问题可以从曲线的几何性质和代数计算两个角度考虑，圆锥曲线的几何性质中首先需 圆 要关注的是圆锥曲线的定义． 对椭圆来说，是椭圆上任意一点到两个焦点的距离和为定值；对 双曲线来说，是双曲线上任意一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为定值；对抛物线 来说是，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离． 本小节主要关注如何利用这些定义去解决圆锥曲线的一些选择填空题． 一般来说，涉及到与焦 点相关的问题或与准线（抛物线）相关问题，优先考虑定义，避免直接代数计算． 而一般圆锥 曲线的解答题或是小题与焦点、准线无关时，才会考虑去做代数计算． 已知
易知线段 M F 的中点在抛物线内，且线段 M F 的垂直平分线斜率存在且不为零，故其与抛 物线有两个交点，从而满足条件的圆共有 2 个． 设双曲线
高考数学(理)配套文档 专题7 解析几何 第32练 Word版含解析
第练直线与圆锥曲线的综合问题[题型分析·高考展望]本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来．本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果．预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高．体验高考.(·江苏)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝(＞＞)的离心率为，且右焦点到左准线的距离为.()求椭圆的标准方程；()过的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，，若＝，求直线的方程．解()由题意，得＝且＋＝，解得＝，＝，则＝，所以椭圆的标准方程为＋＝.()当⊥轴时，＝，又＝，不合题意．当与轴不垂直时，设直线的方程为＝(－)，(，)，(，)，将的方程代入椭圆方程，得(＋)－＋(－)＝，则＝，的坐标为，且＝＝＝.若＝，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．从而≠，故直线的方程为＋＝－，则点的坐标为，从而＝.因为＝，所以＝，解得＝±.此时直线的方程为＝－或＝－＋.．(·浙江)如图，设抛物线＝(＞)的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于－.()求的值；()若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，求的横坐标的取值范围．解()由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于点到直线＝－的距离，由抛物线的定义得＝，即＝.()由()得，抛物线方程为＝，()，可设()，≠，≠±.因为不垂直于轴，可设直线：＝＋(≠)，由消去得－－＝.故＝－，所以.又直线的斜率为，。
【课堂新坐标】2015届高考数学(文、理)新一轮专题复习：专题七 平面解析几何
专题七 平面解析几何1.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.452.已知双曲线C 1：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y3.直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．14.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3 D. 25.已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－86.椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．8.过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫5a 5，22a 在椭圆上． (Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．10.(2012·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120²(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．11.如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．12.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(Ⅰ)求椭圆C 2的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．13.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝22，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|<2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.14.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．专题七 平面解析几何1.C 由题意可知∠PF 2x ＝60°，|PF 2|＝（3a2－c ）cos60°＝3a －2c ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，得3a －2c ＝2c ，∴e ＝34，故选C.2.D ⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2a ·p 2a 2＋b 2＝2，可得p ＝8，故选D.3.B 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.4.B 设椭圆、双曲线的长轴和实轴分别为2a 1，2a 2，则易得a 1＝2a 2，又∵焦距相等， ∴e 2∶e 1＝2.5.C P A 方程为：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8， 同理QA 为：y ＝－2x －2， 解得x ＝1，∴y ＝－4.6.B 如图|AF 1|＝a －c ， |F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， ∴4c 2＝a 2－c 2，∴e ＝c a ＝55.7.43根据题意，x 2＋y 2－8x ＋15＝0，将此化成标准形式为(x －4)2＋y 2＝1，得到该圆的圆心为M (4，0)，半径为1，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤1＋1＝2即可，所以有d ：|4k －2|k 2＋1≤2，化简得k (3k －4)≤0，解得0≤k ≤43，所以k 的最大值为43.8.(2，2) 设P (x 0，y 0)如图 |PO |＝2.∴⎩⎨⎧x 20＋y 20＝4x 0＋y 0－22＝0. 则x 20＋(x 0－22)2＝4， ∴x 20－22x 0＋2＝0.∴(x 0－2)2＝0，∴x 0＝2，y 0＝ 2.9.解：(Ⅰ)因为点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58. 于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(Ⅱ)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2²a 2b2＋4.由(Ⅰ)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.10.解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．11.解：(Ⅰ)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(Ⅱ)法一：因为a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，所以bc＝3，直线AB 的方程可为：y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )，所以|AB |＝1＋3²⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|²|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ²165c ²32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ，由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得，t ＝85a ， 由S △AF 1B ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12.解：(Ⅰ)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)．其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(Ⅱ)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O 、A 、B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2， 又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .13.解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝⎛⎭⎫－62，0.设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝⎛⎭⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫62，±2.(2)由(1)知，左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2xy ＝2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1(*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b 22－k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP →²OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝（1＋k 2）（－1－b 2）2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2 ＝－1＋b 2－k 22－k 2.由(*)知，OP →²OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .14.解：(Ⅰ)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c ，0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12²|B 1B 2|²|OA |＝|OB 2|²|OA |＝c2²b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知B 1(－2，0)、B 2(2，0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. (*) 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1²y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →²B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16（m 2＋1）m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →²B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109， |y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|²|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910，综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.。
(完整)解析几何高考真题
【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题
【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路．
4．B
【解析】由抛物线 得准线 ，因为准线经过点 ，所以 ，
所以抛物线焦点坐标为 ，故答案选
【考点定位】抛物线方程和性质．
【名师点睛】1．本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出 的值．本题属于基础题，注意运算的准确性．2．给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键．
23．【2015高考陕西，文20】如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同两点 （均异于点 ），证明：直线 与 的斜率之和为2．
24．【2015高考四川，文20】如图，椭圆E： （a>b>0）的离心率是 ，点P（0，1）在短轴CD上，且 ＝－1
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）若 垂直于 轴，求直线 的斜率；
（Ⅲ）试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
19．【2015高考福建，文19】已知点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，且 ．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）已知点 ，延长 交抛物线 于点 ，证明：以点 为圆心且与直线 相切的圆，必与直线 相切．
11．
【解析】设双曲线的左焦点为 ，由双曲线定义知， ，
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ +|AF|=|PA|+ +|AF|+ ，
2015年湖北高考解析几何专题分析
2015年高考解析几何专题分析（含坐标系与参数方程）黄石二中谈运章湖北高考解析几何综述：解析几何是高中数学的又一重要内容，其核心内容是直线与圆以及圆锥曲线。
由于平面向量可以用坐标表示，因此可以以坐标为桥梁，使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系。
在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占较大的比例。
近三年的湖北卷中12、13年解析几何部分由一道小题和一道解答题构成，分值共17分，14年增加了一道小题，分值增加到22分。
高考的重点在考查圆锥曲线中的基本知识和基本方法，但由于计算量较大，学生往往失分较大。
解析几何作为高考的重要考点之一，其特点是用代数的方法研究、解决几何问题，重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题。
其命题一般紧扣课本全面考查，突出重点主干知识、注重知识交汇、强化思想方法、突出创新意识。
客观题的特点：一是侧重考查基础知识。
如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义与方程及基本量计算，焦点方程、渐近线方程等典型的几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的应用，点到直线距离公式、三角形面积公式、弦长公式等。
二是注重综合考察多种知识。
如不同曲线（含直线）之间的结合，解析几何与不等式、向量、三角、函数的结合等。
主观题考查的重点仍是直线与圆锥曲线的位置关系这一传统热点，着重围绕范围、轨迹方程、最值、定值、存在性、直线与圆锥曲线的位置关系等方面设置问题。
解题时需要根据具体情境，灵活运用解析几何、平面几何、向量、三角、函数、不等式等知识，具有较强的综合性。
对解析几何中体现的化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想提出了较高要求。
选修4-4坐标系与参数方程部分在我省高考中以选做填空题形式考查，侧重考查学生对极坐标与直角坐标的相互转化，考查问题的形式多为求交点坐标、弦长等基本问题。
一、平面解析几何初步部分1.考点与考试层次要求（依据2014年湖北高考数学考试说明）内容知识要求了解理解掌握平面解析几何初步直线与方程直线的倾斜角和斜率√过两点的直线斜率的计算公式√两条直线平行或垂直的判定√直线方程的点斜式、斜截式、截距式、√两点式及一般式两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式、点到直线的距离公式√两条平行线间的距离√圆与方程圆的标准方程与一般方程√直线与圆的位置关系√两圆的位置关系√用直线和圆的方程解决一些简单的问题√2.考试要求以及查查类型分析纵观近年高考直线与圆的方程试题的特点和高考命题的发展趋势，以下内容仍是高考的重点内容：直线斜率的概念及其计算，直线方程的五种形式；两条直线平行与垂直的条件及其判断，点到直线的距离公式；圆的标准方程、一般方程的概念、性质及其应用。
江苏省2015年高考文科数学复习课件 高考必会题型 专题7 解析几何 第32练
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
总结提高 (1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一
条准线，一条对称轴且离心率为e＝1，所以与椭圆、双曲线相
比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决．
(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图
准确求出抛
物线方程并结
合其简单几何
性质作答．
题型二
抛物线的标准方程及性质
解析 (1)∵x2＝8y，
∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知
FM＝y0＋2.
以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.
由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交，
又圆心F到准线的距离为4，故4<y0＋2，
2 p ①y1y2＝－p2，x1x2＝ ； 4
2p ②若直线 AB 的倾斜角为 θ，则 AB＝ 2 ； sin θ 1 1 2 ③若 F 为抛物线焦点，则有 ＋ ＝ . AF BF p
精题狂练
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1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，抛物线上的
4或－4 ． 点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________
∴y0>
抛物线的标准方程及性质
解析 (2)建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1. ∴x2＝－2y.
水位下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，
2015年高考真题解答题专项训练：解析几何(理科)
2015年高考真题解答题专项训练：解析几何（理科）1．（2015•广东•理）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2+y 2﹣6x+5=0相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数 k ，使得直线L ：y=k （x ﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由． 2．（2015•重庆•理）（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）如图，椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222PF PF =+=，求椭圆的标准方程 （2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e3．（2015•浙江•理）已知椭圆2212xy+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．4．（2015•新课标一卷•理）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线y kx a=+（a＞0）交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.5．（2015•天津•理）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为(,0)F c -,离心率为，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，|FM|=3.（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.6．（2015•四川•理）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；7．（2015•陕西•理）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率； （Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．8．【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 错误！未找到引用源。
2015高考数学解析几何完美版
解析几何总结一、直线1、 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角。
2、 范围 0θπ≤<3、 直线的斜率：当倾斜角不是90时，倾斜角的正切值。
tan ()2k παα=≠4、 直线的斜率公式：设111(,)P x y ,222(,)P x y 12()x x ≠ 2121y y k x x -=-5、 直线的倾斜角和斜率关系：（如右图） 02πα≤<；0k >；单调增；2παπ<<，0k <；单调增6、 直线的方程（1）点斜式：11()y y k x x -=- ⑵、斜截式：y kx b =+ （3）两点式：112121y y x x y y x x --=-- ⑷、截距式：1x y a b += ⑸、一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠⑹、参数式： 11cos sin x x t y y t θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩（t 为参数）参数t 几何意义：定点到动点的向量7、 直线的位置关系的判定（相交、平行、重合）1l ：11y k x b =+；2l ：22y k x b =+ 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=平行：12k k =且12b b ≠111222A B C A B C =≠相交：12k k ≠1122A B A B ≠重合：12k k =且12b b =111222A B C A B C == 垂直：121k k ⋅=- 12120A A B B +=8、 到角及夹角(新课改后此部分已删掉)到角：直线1l 依逆时方向旋转到与2l 重合时所有转的角。
2121tan 1k k k k α-=+夹角：不大于直角的从1l 到2l 的角叫1l 与2l 所成的角，简称夹角。
2121tan 1k k k k α-=+9、 点到直线的距离（应用极为广泛）P （00,x y ）到1:0l Ax By C ++=的距离d =平行线间距离：11:0l Ax By C ++= 22:0l Ax By C ++=d =10、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）⑴、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。
2015届高考数学(二轮复习)专题训练：《解析几何解答题》
【状元之路】2015版高考数学二轮复习解析几何解答题专题训练（含解析） 1．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，由题意知 解得a＝1或a＝， 又S＝πR20， 解得k1＋. x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝， ＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(1，－3)， 假设， 则－3(x1＋x2)＝y1＋y2， 3×＝， 解得k＝∪，假设不成立， 不存在这样的直线l. 3．已知A(－2,0)，B(2,0)，点C，点D满足||＝2，＝(＋)． (1)求点D的轨迹方程； (2)过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程． 解 (1)设C，D点的坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)， 则＝(x0＋2，y0)，＝(4,0)， 则＋＝(x0＋6，y0)， 故＝(＋)＝. 又＝(x＋2，y)，故 解得 代入||＝＝2， 得x2＋y2＝1， 即所求点D的轨迹方程为x2＋y2＝1. (2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y＝k(x＋2)， 设椭圆方程为＋＝1(a2>4)． 将代入整理， 得(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0. 因为直线l与圆x2＋y2＝1相切， 故＝1， 解得k2＝. 故式可整理为(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝－. 由题意有＝2×(a2>4)， 解得a2＝8，经检验，此时Δ>0. 故椭圆的方程为＋＝1. 4．已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|＝2，F1PF2＝，F1PF2的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的kR，·是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由． 解 (1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n. 在PF1F2中，由余弦定理得22＝m2＋n2－2mncos， 化简得，m2＋n2－mn＝4. 由SPF1F2＝，得mnsin＝. 化简得mn＝. 于是(m＋n)2＝m2＋n2－mn＋3mn＝8. m＋n＝2，由此可得，a＝. 又半焦距c＝1，b2＝a2－c2＝1. 因此，椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为y＝k(x－1)， 由 消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝. ·＝· ＝＋y1y2 ＝＋k2(x1－1)(x2－1) ＝(k2＋1)x1x2－(x1＋x2)＋＋k2 ＝(k2＋1)－＋＋k2 ＝＋ ＝－. 由此可知·＝－为定值． 5．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x－y＋＝0相切． (1)求双曲线E的方程； (2)已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使·为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意知＝a，a＝. 又2c＝4，c＝2，b＝＝1. 双曲线E的方程为－y2＝1. (2)当直线为y＝0时， 则P(－，0)，Q(，0)，F(－2,0)， ·＝(－＋2,0)·(＋2,0)＝1. 当直线不为y＝0时， 可设l：x＝ty＋m(t≠±)，代入E：－y2＝1， 整理得(t2－3)y2＋2mty＋m2－3＝0(t≠±)．(*) 由Δ>0，得m2＋t2>3. 设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1＋y2＝－， y1y2＝， · ＝(ty1＋m＋2，y1)·(ty2＋m＋2，y2) ＝(t2＋1)y1y2＋t(m＋2)(y1＋y2)＋(m＋2)2 ＝. 当且仅当2m2＋12m＋15＝3时，·为定值， 解得m1＝－3－，m2＝－3＋(舍去)． 综上，过定点M(－3－，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使·＝1. 。
考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇练习：专题7 解析几何 第32练 Word版含解析
第32练 圆锥曲线中的探索性问题[题型分析·高考展望] 本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题，试题难度较大．体验高考1．(2016·山东) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明 设P ⎝⎛⎭⎫m ，m22(m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22， 得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)．(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1)，因为y 0x 0＝－14m . 所以直线OD 方程为y ＝－14mx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．②解 由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎫0，－m 22， 又P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22，F ⎝⎛⎭⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22(4m 2＋1)， 所以S 1＝12·|GF |·m ＝(m 2＋1)m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m (2m 2＋1)28(4m 2＋1).所以S 1S 2＝2(4m 2＋1)(m 2＋1)(2m 2＋1)2.设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝(2t －1)(t ＋1)t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94， 此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫22，14. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，14.2．(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值． 解 (1)由已知，得a ＝2b ， 则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2,1)．(2)由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3，|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝ ⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12 ＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3(x 1＋x 2)＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋4m 2－123＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.高考必会题型题型一 定值、定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵直线l 与y 轴相交于点M ，故斜率存在， 又F 坐标为(1,0)，设直线l 方程为y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )， 设l 交椭圆A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2，∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－2(4k 2－12)3＋4k 21－8k23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝－83. ∴当直线l 的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－83.点评 (1)定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．变式训练1 已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点P (t,0)(其中t >0)作互相垂直的两直线l 1，l 2，直线l 1与抛物线C 相切于点Q (Q 在第一象限内)，直线l 2与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)求证：直线l 2恒过定点；(2)记直线AQ ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 21＋k 22取得最小值时，求点P 的坐标．(1)证明 设直线l 1的斜率为k ，则l 1直线的方程为y ＝k (x －t )，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x －t )， 可得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线l 1与抛物线C 相切， 所以Δ＝16k 2－16kt ＝0，求得t ＝k ， 故Q 点坐标为(2t ，t 2)，由于l 1⊥l 2，故设l 2的方程为y ＝－1t (x －t )，即y ＝－1t x ＋1，所以直线l 2恒过定点(0,1)．(2)解 设A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，联立直线l 2方程与抛物线方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝－1t x ＋1， 可得： x 2＋4t x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4t ，x 1x 2＝－4，由题意可知：k 1＝t 2－x 2142t －x 1＝14(2t ＋x 1)，同理：k 2＝14(2t ＋x 2)，所以k 21＋k 22＝116[(2t ＋x 1)2＋(2t ＋x 2)2] ＝116[(x 1＋x 2)2＋4t (x 1＋x 2)－2x 1x 2＋8t 2] ＝116[16t 2－16＋8＋8t 2]＝12[2t 2＋t 2－1]≥2－12. 故当t ＝42时，k 21＋k 22有最小值为2－12，此时P 的坐标为(42，0)． 题型二 定直线问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点．(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；(2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．解 方法一 (1)依题意，点N 的坐标为(0，－p )， 可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋p ，与x 2＝2py 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p ， 消去y 得x 2－2pkx －2p 2＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p 2. 于是S △ABN ＝S △BCN ＋S △ACN ＝12·2p |x 1－x 2|＝p |x 1－x 2|＝p (x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝p 4p 2k 2＋8p 2＝2p 2k 2＋2， ∴当k ＝0时，(S △ABN )min ＝22p 2.(2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝a ，AC 的中点为O ′，l 与以AC 为直径的圆相交于点P ，Q ，PQ 的中点为H ， 则O ′H ⊥PQ ，O ′点的坐标为(x 12，y 1＋p2)．∵|O ′P |＝12|AC |＝12x 21＋(y 1－p )2＝12y 21＋p 2， |O ′H |＝⎪⎪⎪⎪a －y 1＋p 2＝12|2a －y 1－p |，∴|PH |2＝|O ′P |2－|O ′H |2 ＝14(y 21＋p 2)－14(2a －y 1－p )2＝(a －p2)y 1＋a (p －a )，∴|PQ |2＝(2|PH |)22令a －p2＝0，得a ＝p 2，此时|PQ |＝p 为定值，故满足条件的直线l 存在， 其方程为y ＝p2，即抛物线的通径所在的直线．方法二 (1)前同方法一，再由弦长公式得 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·4p 2k 2＋8p 2 ＝2p 1＋k 2·k 2＋2，又由点到直线的距离公式得d ＝2p1＋k 2. 从而S △ABN ＝12·d ·|AB |＝12·2p 1＋k 2·k 2＋2· 2p 1＋k 2 ＝2p 2k 2＋2.∴当k ＝0时，(S △ABN )min ＝22p 2.(2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝a ， 则以AC 为直径的圆的方程为 (x －0)(x －x 1)＋(y －p )(y －y 1)＝0，将直线方程y ＝a 代入得x 2－x 1x ＋(a －p )(a －y 1)＝0， 则Δ＝x 21－4(a －p )(a －y 1)＝4[(a －p2)y 1＋a (p －a )]．设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)， 则有|PQ |＝|x 3－x 4| ＝4[(a －p2)y 1＋a (p －a )]21令a －p 2＝0，得a ＝p 2，此时|PQ |＝p 为定值，故满足条件的直线l 存在， 其方程为y ＝p2，即抛物线的通径所在的直线．点评 (1)定直线由斜率、截距、定点等因素确定． (2)定直线一般为特殊直线x ＝x 0，y ＝y 0等．变式训练2 椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点(0,1)，且离心率e ＝223.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 的方程为x ＝4，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点，求F 1D →·F 2E →的值；(3)过点Q (1,0)任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点，与l 交于R 点，RM →＝xMQ →，RN →＝yNQ →，求证：4x ＋4y ＋5＝0. (1)解 由题意可得b ＝1，c a ＝223，∴a ＝3，椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)解 设P (x 0，y 0)，则直线P A 、PB 的方程分别为 y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，y ＝y 0x 0－3(x －3)， 将x ＝4分别代入可求得D ，E 两点的坐标分别为 D (4，7y 0x 0＋3)，E (4，y 0x 0－3)．由(1)知，F 1(－22，0)，F 2(22，0)， ∴F 1D →·F 2E →＝(4＋22，7y 0x 0＋3)·(4－22，y 0x 0－3)＝8＋7y 2x 20－9，又∵点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 209＋y 20＝1⇒y 20x 20－9＝－19， ∴F 1D →·F 2E →＝659.(3)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，R (4，t )， 由RM →＝xMQ →得(x 1－4，y 1－t )＝x (1－x 1，－y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4＋x 1＋x ，y 1＝t1＋x (x ≠－1)，代入椭圆方程得(4＋x )2＋9t 2＝9(1＋x )2， ① 同理由RN →＝yNQ →得(4＋y )2＋9t 2＝9(1＋y )2，②①－②消去t ，得x ＋y ＝－54，∴4x ＋4y ＋5＝0. 题型三 存在性问题例3 (1)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.(2) 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2 (r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M ，N . ①求椭圆C 的方程；②求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；③设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O为坐标原点．试问：是否存在使S △POS ·S △POR 最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 ①由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a ＝2，解之，得a ＝2，c ＝3，由c 2＝a 2－b 2，得b ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.②点M 与点N 关于x 轴对称， 设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)， 不妨设y 1>0，由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214.由已知T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)， ∴TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1) ＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 214 ＝54⎝⎛⎭⎫x 1＋852－15. 由于－2<x <2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15，当x 1＝－85时，y 1＝35，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35. 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325，故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325. ③假设存在满足条件的点P ，设P (x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，得x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4， ∴|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．∵S △POS ·S △POR ＝12|OS ||y P |·12|OR ||y P |＝14×4×y 2P ＝y 2P ，又P 为椭圆上的一点， ∴要使S △POS ·S △POR 最大，只要y 2P 最大，而y 2P 的最大值为1，故满足条件的P 点存在，其坐标为P (0,1)和P (0，－1)．点评 存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．变式训练3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，得点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2. 所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.高考题型精练1. (2015·陕西)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2. (1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和 k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2 ＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知得c ＝1，a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)S △BFM S △BFN ＝2等价于FM FN ＝2，当直线l 斜率不存在时，FMFN ＝1，不符合题意，舍去；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去x 并整理得，(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－6k3＋4k 2， ① y 1y 2＝－9k 23＋4k 2，② 由FMFN＝2得y 1＝－2y 2，③由①②③解得k ＝±52，因此存在直线l ：y ＝±52(x －1)使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2.3．(2016·山东) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B . ①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k 为定值；②求直线AB 的斜率的最小值． (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4,2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)． 由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )． 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k 为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由①知直线P A 的方程为y ＝kx ＋m . 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2(m 2－2)(2k 2＋1)x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k (m 2－2)(2k 2＋1)x 0＋m .同理x 2＝2(m 2－2)(18k 2＋1)x 0，y 2＝－6k (m 2－2)(18k 2＋1)x 0＋m .所以x 2－x 1＝2(m 2－2)(18k 2＋1)x 0－2(m 2－2)(2k 2＋1)x 0＝－32k 2(m 2－2)(18k 2＋1)(2k 2＋1)x 0， y 2－y 1＝－6k (m 2－2)(18k 2＋1)x 0＋m －2k (m 2－2)(2k 2＋1)x 0－m＝－8k (6k 2＋1)(m 2－2)(18k 2＋1)(2k 2＋1)x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 0＝4－8m 2， 故此时2m －m4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P (1，32)在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：13m 2＋1n2为定值． (1)解 由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1， 又因为点P (1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1，可解得a 2＝4，b 2＝3，43(2)解 设直线l 方程为y ＝kx ＋2， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0， 因为Δ＝12k 2－3>0，所以k 2>14，又x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3，因为∠AOB 为锐角， 所以OA →·OB →>0， 即x 1x 2＋y 1y 2>0，所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0， 所以(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，即－12k 2＋164k 2＋3>0，所以k 2<43，所以14<k 2<43， 解得－233<k <－12或12<k <233.(3)证明 由题意：C 1：x 24＋3y 24＝1，设点P (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，N (x 3，y 3)， 因为M ，N 不在坐标轴上，所以k PM ＝－1k OM ＝－x 2y 2， 直线PM 的方程为y －y 2＝－x 2y 2(x －x 2)，化简得x 2x ＋y 2y ＝43，① 同理可得直线PN 的方程为x 3x ＋y 3y ＝43，②把P 点的坐标分别代入①、②得⎩⎨⎧x 2x 1＋y 2y 1＝43，x 3x 1＋y 3y 1＝43，3令y ＝0，得m ＝43x 1，令x ＝0，得n ＝43y 1， 所以x 1＝43m ，y 1＝43n，又点P 在椭圆C 1上，所以(43m )2＋3(43n)2＝4，即13m 2＋1n 2＝34为定值．合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。
2015届高考数学必会题型专题7《解析几何》第33练
第33练 直线与圆锥曲线问题题型一 直线和椭圆的位置关系例1 如图所示，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .(1)求C 1，C 2的方程；(2)求证：MA ⊥MB ；(3)记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝λ，求λ的取值范围． 破题切入点 (1)利用待定系数法求解曲线C 1，C 2的方程．(2)设出直线AB 和曲线C 2联立，利用坐标形式的向量证明．(3)将S 1和S 2分别表示出来，利用基本不等式求最值．(1)解 由题意，知c a ＝22， 所以a 2＝2b 2. 又2b ＝2b ，得b ＝1.所以曲线C 2的方程：y ＝x 2－1，椭圆C 1的方程：x 22＋y 2＝1. (2)证明 设直线AB ：y ＝kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知M (0，－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1⇒x 2－kx －1＝0， MA →·MB →＝(x 1，y 1＋1)·(x 2，y 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－(1＋k 2)＋k 2＋1＝0，所以MA ⊥MB .(3)解 设直线MA 的方程：y ＝k 1x －1，直线MB 的方程：y ＝k 2x －1，由(2)知k 1k 2＝－1，M (0，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －1，y ＝x 2－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1，y ＝k 21－1，所以A (k 1，k 21－1)．同理，可得B (k 2，k 22－1)．故S 1＝12MA ·MB ＝121＋k 21·1＋k 22|k 1||k 2|. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －1，x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4k 11＋2k 21，y ＝2k 21－11＋2k 21，所以D (4k 11＋2k 21，2k 21－11＋2k 21)． 同理，可得E (4k 21＋2k 22，2k 22－11＋2k 22)． 故S 2＝12MD ·ME ＝121＋k 21·1＋k 22|16k 1k 2|(1＋2k 21)(1＋2k 22)， S 1S 2＝λ＝(1＋2k 21)(1＋2k 22)16＝5＋2(1k 21＋k 21)16≥916， 则λ的取值范围是[916，＋∞)． 题型二 直线和双曲线的位置关系 例2 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 破题切入点 (1)联立方程组，利用Δ>0求出k 的取值范围．(2)联立方程用根与系数的关系求解．解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根， 整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0， 解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|) ＝12|x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1，∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2. 题型三 直线和抛物线的位置关系例3 已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率e ＝233，且S △ABF ＝1－32.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程；(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由．破题切入点 (1)根据双曲线的性质，用a ，c 表示已知条件，建立方程组即可求解双曲线的方程，然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程．(2)设出点P 的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，并求出点Q 的坐标，然后根据圆的性质列出关于点P 的坐标的方程，将问题转化为方程恒成立的问题来解决．解 (1)在双曲线中，c ＝a 2＋b 2，由e ＝233，得a 2＋b 2a ＝233， 解得a ＝3b ，故c ＝2b . 所以S △ABF ＝12(c －a )×b ＝12(2b －3b )×b ＝1－32，解得b ＝1.所以a ＝3，c ＝2，其上焦点为F (0,2)．所以双曲线M 的方程为y 23－x 2＝1， 抛物线N 的方程为x 2＝8y .(2)由(1)知抛物线N 的方程为y ＝18x 2， 故y ′＝14x ，抛物线的准线为y ＝－2. 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝18x 20， 且直线l 的方程为y －18x 20＝14x 0(x －x 0)， 即y ＝14x 0x －18x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝14x 0x －18x 20，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－162x 0，y ＝－2.所以Q (x 20－162x 0，－2)． 假设存在点R (0，y 1)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点，也就是RP →·RQ →＝0对于满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立． 由于RP →＝(x 0，y 0－y 1)，RQ →＝(x 20－162x 0，－2－y 1)， 由RP →·RQ →＝0，得x 0·x 20－162x 0＋(y 0－y 1)(－2－y 1)＝0， 整理得x 20－162－2y 0－y 0y 1＋2y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋2y 1－8)＋(2－y 1)y 0＝0，(*)由于(*)式对满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－y 1＝0，y 21＋2y 1－8＝0，解得y 1＝2. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点，定点坐标为(0,2)．总结提高 直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决．1. 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的面积为2(O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)当直线l 与x 轴垂直时，则|MN |＝2p ，∴S △OMN ＝12·2p ·p 2＝p 22＝2，即p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)∵直线l 与x 轴垂直时，不满足．设正方形的第三个顶点为P .故可设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，可化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.代入直线l 可得MN 的中点为(k 2＋2k 2，2k )，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， 则线段MN 的垂直平分线为y －2k ＝－1k (x －1－2k 2)， 故P (0，3k ＋2k 3)． 又PM →·PN →＝0，则x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0.即x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0.1－4－y 0·4k＋y 20＝0，化解得ky 20－4y 0－3k ＝0， 由y 0＝3k ＋2k 3代入上式，化简得(3k 4－4)(k 2＋1)＝0. 解得k ＝± 443.∴存在直线l ：y ＝± 443(x －1)． 2．(2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求AF ·BF 的最小值．解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2， 所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0. 同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，又点P (x 0，y 0)在切线P A 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义知AF ＝y 1＋1，BF ＝y 2＋1，所以AF ·BF ＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ， 消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∴AF ·BF ＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92， ∴当y 0＝－12时，AF ·BF 取得最小值，且最小值为92. 3．(2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2. 所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1， 所以AB ＝24－d 2＝2 4k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2.所以PD ＝8k 2＋14＋k 2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·AB ·PD ＝84k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313， 当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 4．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x －y ＋6＝0相切．(1)求双曲线E 的方程；(2)已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线交双曲线E 于P ，Q 两点(P 在Q 点左侧)，使FP →·FQ →为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知|6|12＋(－1)2＝a ， ∴a ＝ 3.又∵2c ＝4，∴c ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝1.∴双曲线E 的方程为x 23－y 2＝1. (2)当直线为y ＝0时，则P (－3，0)，Q (3，0)，F (－2,0)，∴FP →·FQ →＝(－3＋2,0)·(3＋2,0)＝1.当直线不为y ＝0时，可设l ：x ＝ty ＋m (t ≠±3)代入E ：x 23－y 2＝1， 整理得(t 2－3)y 2＋2mty ＋m 2－3＝0(t ≠±3)．(*)由Δ>0得m 2＋t 2>3.设方程(*)的两个根为y 1，y 2，满足y 1＋y 2＝－2mt t 2－3，y 1y 2＝m 2－3t 2－3， ∴FP →·FQ →＝(ty 1＋m ＋2，y 1)·(ty 2＋m ＋2，y 2)＝(t 2＋1)y 1y 2＋t (m ＋2)(y 1＋y 2)＋(m ＋2)2＝t 2－2m 2－12m －15t 2－3. 当且仅当2m 2＋12m ＋15＝3时，FP →·FQ →为定值，解得m 1＝－3－3，m 2＝－3＋3(舍去)．综上，过定点M (－3－3，0)任意作一条直线交双曲线E 于P ，Q 两点，使FP →·FQ →＝1为定值．5．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且AB ＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4. 由抛物线定义得AB ＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4，知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3， 所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.6．(2014·辽宁)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3. (1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．解 (1)设切点P 的坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)， 即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0. 由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时，x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝2， 故C 1的方程为x 2－y 22＝1. (2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0. 由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1. 显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0， 又设y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－23m m 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2， ② 由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋23＝43m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋3＝6－6m 2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤将①②③④代入⑤整理得2m 2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－62＋1. 因此直线l 的方程为x －(362－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.。
高考数学专题7第32练.docx
第32练与抛物线有关的热点问题[题型分析·高考展望] 抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点.考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上.常考题型精析题型一抛物线的定义及其应用例1 设P是抛物线y2＝4x上的一动点，(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|＋|PF|的最小值.点评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1 已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0等于( )A.1B.2C.4D.8题型二抛物线的标准方程及几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.点评(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2 (2015·福建)如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.题型三 直线和抛物线的位置关系例3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.点评 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3 (2015·长春模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.高考题型精练1.(2014·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A.12B.23C.34D.432.(2015·浙江)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋13.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是( )A.2± 3B.2＋ 3C.3±1D.3－14.(2014·课标全国Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A.334B.938C.6332D.945.已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于( ) A.3 B.2 C.4D.56.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( ) A.－4 B.4 C.p 2D.－p 27.(2014·湖南)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a＝________.8.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若A M →＝M B →，则p ＝________.9.过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.10.已知抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，设过点N (2,0)的直线l 的斜率为k ，且与抛物线C 相交于点S ，T ，若S ，T 两点只在第二象限内运动，线段ST 的垂直平分线交x 轴于Q 点，则Q 点横坐标的取值范围为________.11.(2014·安徽)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点.(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点.记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值.12.(2015·湖南)已知抛物线C 1 ：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点.C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向. (1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率.答案精析第32练 与抛物线有关的热点问题常考题型精析例1 解 (1)由于A (－1,1)，F (1,0)，P 是抛物线上的任意一点，则|AP |＋|PF |≥|AF |＝22＋1＝5，从而知点P 到A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和的最小值为5，所以点P 到A (－1,1)的距离与P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值也为 5.(2)如图所示，自点B 作BQ 垂直于抛物线的准线于点Q ，交抛物线于点P 1，此时|P 1Q |＝|P 1F |，那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.变式训练1 A解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1. 例2 解 由题意，得抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0). 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5.∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2). ∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.变式训练2 解 方法一 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)同方法一.(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 例3 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a(x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.变式训练3 解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m ).(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m，(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m ).得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m)，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞).∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形. 高考题型精练1.D [抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0).设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y＋2k ＋3＝0(k ≠0)①，由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为86＝43.]2.A [由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ， 则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.] 3.A [依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2).由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A.]4.D [由已知得焦点坐标为F (34，0)，因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94.]5.A [如图所示，由题意，知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，连接PF ，则d ＝|PF |.圆C 的方程配方，得(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1,4)，半径r ＝2.d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |，显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取等号).而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离， 显然当F ，Q ，C 三点共线时取得最小值，最小值为|CF |－r ＝(－1－2)2＋(4－0)2－2＝5－2＝3.]6.A [①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24； ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p 2)， 联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.则y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.] 7.2＋1解析 ∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点， ∴C (a 2，－a )，F (a 2＋b ，b ). 又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝pa ，b 2＝2p (a 2＋b )，解得b a ＝2＋1. 8.2 解析 如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又A M →＝M B →，∴M 为AB 的中点.过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴||BP ＝12||AB ＝||BM . ∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2. 9.56解析 ∵1|AF |＋1|BF |＝2p＝2， |AB |＝|AF |＋|BF |＝2512，|AF |<|BF |， ∴|AF |＝56，|BF |＝54. 10.(－∞，－6)解析 设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，由题意得直线ST 的方程为y ＝k (x －2)(显然k ≠0)，与y2＝－8x 联立，得ky 2＋8y ＋16k ＝0，y 1＋y 2＝－8k，y 1y 2＝16.因为直线l 与抛物线C 相交于S ，T 两点，所以Δ＝64－64k 2>0，再由y 1>0，y 2>0，则－8k>0，故－1<k <0.又线段ST 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋2，－4k ，所以线段ST 的垂直平分线方程为y ＋4k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 2－2.令y ＝0，得Q 点的横坐标为x Q ＝－2－4k 2<－6，故Q 点横坐标的取值范围为(－∞，－6). 11.(1)证明 设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1 ＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1. A 2B 2→＝(2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1)＝2p 2(1k 22－1k 21，1k 2－1k 1) 故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2. (2)解 由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2. 又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2， 故S 1S 2＝p 21p 22. 12.解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4). 因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x28＋y29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.。
2015年解析几何模块备考
2013 2014
11 10
抛物线和双曲线的性质、渐近线，抛物线 抛物线与双曲线 的切线（导数） 椭圆和双曲线 椭圆的方程、离心率，双曲线的方程、离 心率、渐近线
六、文科考查内容-选择填空：
文
2010 2011 选择填空 9 16 考察载体 直线与抛物线 直线与圆 椭圆双曲线 圆 考察知识点 抛物线几何性质、直线与抛物线位置关系 直线方程、点到直线距离、直线与圆关系 椭圆和双曲线几何性质、双曲线标准方程 圆的标准方程、两圆位置关系
十二、圆锥曲线综合题答题原则
五个重视： (1)重视定义在解题中的作用； (2)重视平面几何知识在解题中的作用； (3)重视韦达定理在解题中的作用； (4)重视数形结合在解题中的作用； (5)重视曲线的几何特征、方程的代数特征 在解题中的作用．
十三、圆锥曲线综合题 答题策略
9
15 9
抛物线直线和圆 抛物线几何性质、直线和圆的位置关系
2012
11
11
双曲线抛物线
双曲线抛物线性质、点线距、抛物线方程
抛物线和双曲线性质、渐近线，抛物线 抛物线与双曲线 切线（导数） 直线与圆 定点直线系 、最短弦长
2013
13
14
2014 15
直线与圆
抛物线双曲线
直线与圆位置关系、圆的标准方程
抛物线、双曲线标准方程、性质
七、试题分析：
椭圆双曲线抛物线定义、标准方程、简单几何性质；直 线和圆锥曲线位置关系等基本运算，大部分属中低档题。 （二）解答题综合考查圆锥曲线定义、方程、几何性质， 涉及弦长、弦中点、焦点弦、直线与曲线相交、相切 （公共点）等问题；直线和圆锥曲线位置关系中的最值、 参数范围；定点与定值、存在性等，注重与代数、几何、 三角、向量等多方面知识结合，主要考查基本运算能力、 数形结合的数学思想及应用所学知识探索问题解决问题 的能力 ，一般第一问较简单，第二问难度较大，第三问 难度很大。 （三） 理科解答题以直线和椭圆为主，兼顾直线与抛物 线；文科解答题只研究直线与椭圆（直线过抛物线焦点 出现时是考查定义），都不再研究直线和双曲线。
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第3练 与抛物线相关的热点问题 题型一 抛物线的定义及其应用 例1 设P是抛物线y2＝4x上的一动点， (1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求PB＋PF的最小值． 破题切入点 画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题． 解 (1)由于A(－1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则AP＋PF≥AF＝＝，从而知点P到A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到A(－1,1)的距离与P到直线x＝－1的距离之和的最小值也为. (2) 如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时P1Q＝P1F，那么PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即PB＋PF的最小值为4. 题型二 抛物线的标准方程及性质 例2 (1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________． (2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m. 破题切入点 准确求出抛物线方程并结合其简单几何性质作答． 答案 (1)(2，＋∞) (2)2 解析 (1)∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知FM＝y0＋2. 以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2. 由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交， 又圆心F到准线的距离为4，故42. (2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1. ∴x2＝－2y. 水位下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)， 将其坐标代入x2＝－2y，得x＝6， ∴x0＝.∴水面宽CD＝2 m. 题型三 直线和抛物线的位置关系 例3 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 破题切入点 (1)将点代入易求方程． (2)假设存在，根据条件求出，注意验证． 解 (1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1， 所以p＝2. 故所求的抛物线C的方程为y2＝4x， 其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t. 由得y2＋2y－2t＝0. 因为直线l与抛物线C有公共点， 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 由直线OA到l的距离d＝， 可得＝， 解得t＝±1. 又因为－1[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)， 所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0. 总结提高 (1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e＝1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决． (2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y2＝2px关于y轴、直线x＋y＝0与x－y＝0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线y2＝2px绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系． (3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②若直线AB的倾斜角为θ，则AB＝； ③若F为抛物线焦点，则有＋＝. 1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________． 答案 4或－4 解析 设标准方程为x2＝－2py(p>0)， 由定义知P到准线的距离为4，故＋2＝4，所以p＝4， 则方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4. 2．若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有________个． 答案 1 解析 由题意得F(2,0)，l：x＝－2， 线段MF的垂直平分线方程为y－＝－(x－)， 即x＋3y－7＝0，设圆的圆心坐标为(a，b)， 则圆心在x＋3y－7＝0上，故a＋3b－7＝0，a＝7－3b， 由题意得|a－(－2)|＝， 即b2＝8a＝8(7－3b)，即b2＋24b－56＝0. 又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个． 3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________． 答案 2± 解析 依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2)．由抛物线定义及PF＝QF，得＋＝＋，∴y＝y，∴y1＝－y2.又PQ＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，点P(，y1)．又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF＝＋＝2，由此解得p＝2±. 4．(2014·课标全国Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________． 答案 解析 由已知得焦点坐标为F(，0)， 因此直线AB的方程为y＝(x－)， 即4x－4y－3＝0. 方法一 联立抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0， 故|yA－yB|＝＝6. 因此S△OAB＝OF·|yA－yB|＝××6＝. 方法二 联立方程得x2－x＋＝0， 故xA＋xB＝. 根据抛物线的定义有AB＝xA＋xB＋p＝＋ ＝12， 同时原点到直线AB的距离为h＝＝， 因此S△OAB＝AB·h＝. 5．已知抛物线y2＝8x的准线为l，点Q在圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋PQ的最小值为________． 答案 3 解析 如图所示，由题意，知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，连结PF，则d＝PF. 圆C的方程配方，得(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为C(－1,4)，半径r＝2. d＋PQ＝PF＋PQ，显然，PF＋PQ≥FQ(当且仅当F，P，Q三点共线时取等号)． 而FQ为圆C上的动点Q到定点F的距离， 显然当F，Q，C三点共线时取得最小值， 最小值为CF－r＝－2＝5－2＝3. 6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若AF＝3，则△AOB的面积为______． 答案 解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)， 又AF＝3， 由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3， ∴点A的横坐标为2. 将x＝2代入y2＝4x得y2＝8， 由图知点A的纵坐标y＝2， ∴A(2,2)， ∴直线AF的方程为y＝2(x－1)． 联立直线与抛物线的方程 解之得或由图知B， ∴S△AOB＝OF·|yA－yB|＝×1×|2＋| ＝. 7．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB＝，AF<BF，则AF＝________. 答案 解析 ∵＋＝＝2， AB＝AF＋BF＝，AF0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________. 答案 6 解析 因为△ABF为等边三角形， 所以由题意知B， 代入方程－＝1得p＝6. 11．(2014·大纲全国)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QF＝PQ. (1)求C的方程； (2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程． 解 (1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝. 所以PQ＝，QF＝＋x0＝＋. 由题设得＋＝×， 解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以C的方程为y2＝4x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直， 故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故设AB的中点为D(2m2＋1,2m)， AB＝|y1－y2|＝4(m2＋1)． 又l′的斜率为－m， 所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3. 将上式代入y2＝4x， 并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0. 设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)． 故设MN的中点为E(＋2m2＋3，－)， MN＝ |y3－y4|＝， 由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于AE＝BE＝MN， 从而AB2＋DE2＝MN2， 即4(m2＋1)2＋(＋2)2＋(2m＋)2＝， 化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1. 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 12．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：－x＝1(x＞0)． 化简得y2＝4x(x＞0)． (2)设过点M(m,0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． 设l的方程为x＝ty＋m， 由得y2－4ty－4m＝0， Δ＝16(t2＋m)＞0，于是① 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＜0 (x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.② 又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1＜0＋y1y2－ ＋1＜0.③ 由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④ 对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2. 由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0，且m的取值范围是(3－2，3＋2).。