高考数学 最新模拟专题16 极限与连续性理
高中数学中的极限与连续解题技巧
高中数学中的极限与连续解题技巧在高中数学学习中，极限与连续是重要的概念和解题技巧。
本文将介绍关于极限与连续的基本知识以及解题技巧，帮助学生更好地理解和应用。
1. 极限的概念与性质在数学中，极限是指一个数列、函数或序列在趋向于某个值时的状态和性质。
学生们在学习极限时，需要掌握以下几个基本概念和性质：1.1 无穷小与无穷大无穷小是指当变量趋近于某个值时，其绝对值趋近于零的量。
无穷大是指当变量趋近于某个值时，其绝对值趋近于正无穷或负无穷的量。
在求解极限时，无穷小与无穷大的概念常常被用到。
1.2 极限的存在性当变量趋近于某个值时，如果我们可以确切地确定变量的极限值，那么我们称这个极限存在。
对于函数而言，常见的求极限方法有代入法、夹逼法、变量替换等。
1.3 极限的运算法则在求解复杂函数的极限时，可以运用极限的运算法则简化问题。
常见的运算法则包括函数极限的四则运算法则、极限的乘法法则、除法法则、复合函数的极限法则等。
2. 极限解题技巧在高中数学习题中，极限解题是一个常见而重要的考点。
以下是一些解题技巧的介绍：2.1 有理函数极限对于有理函数的极限，可以通过化简、分离变量、洛必达法则等方法进行求解。
其中，洛必达法则是一种常用的方法，特别适用于计算不定式的极限。
2.2 三角函数极限对于三角函数的极限，可以利用特殊角的正弦值和余弦值的性质进行求解。
例如，对于常见的极限 sin(x)/x 当 x 趋近于零时，可以利用泰勒级数展开或三角函数的定义进行求解。
2.3 自然对数与指数函数极限对于自然对数和指数函数的极限，可以利用它们的性质进行求解。
例如，当 x 趋近于正无穷时，指数函数 e^x 的极限为正无穷。
3. 连续的概念与性质在高中数学中，连续是指函数在某个区间内具有无间断性的性质。
了解连续的概念和性质对解题非常重要。
3.1 连续函数的定义函数f 在某个区间上连续，当且仅当它在该区间上的每个点都连续。
连续函数的定义是理解连续性的基础。
高考数学技巧如何快速计算复杂的极限与连续性问题
高考数学技巧如何快速计算复杂的极限与连续性问题高考数学中，复杂的极限与连续性问题常常让学生感到头疼。
在解题过程中，掌握一些快速计算的技巧可以帮助学生更高效地解决这些难题。
本文将介绍几种常用的数学技巧，帮助学生在高考中迅速解答复杂的极限与连续性问题。
1. 利用极限的性质进行计算在计算复杂的极限问题时，可以利用极限的性质进行简化。
例如，对于形如lim(x→a) [f(x) + g(x)]的极限，可以将其分解为lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)，然后分别计算这两个极限。
同样地，对于形如lim(x→a) [f(x) - g(x)]、lim(x→a) [f(x) * g(x)]、lim(x→a) [f(x) / g(x)]等复杂的极限，也可以借助极限的性质进行简化计算。
2. 使用洛必达法则洛必达法则是解决复杂极限问题的重要工具之一。
当极限形式为0/0或∞/∞时，可以使用洛必达法则来快速计算。
具体操作是对极限中的分子和分母分别求导，然后重新计算得到一个新的极限，重复这个过程直到得到一个确定的值或无穷大。
需要注意的是，在使用洛必达法则时，必须保证导数存在。
3. 利用连续性的特性简化计算连续性是复杂极限问题的另一个关键点。
在计算极限时，可以利用函数的连续性来简化问题。
例如，对于形如lim(x→a) f(g(x))的极限，如果函数f在g(x)的极限点处连续，那么可以通过直接将g(x)的极限代入f(x)中进行计算。
类似地，如果在极限点a附近，函数f与g(x)等值（或等价），则可以用f(x)来代替g(x)，简化极限的计算步骤。
4. 利用数学公式和恒等式简化问题在解决复杂的极限问题时，可以运用数学公式和恒等式来简化计算过程。
例如，对于形如lim(x→∞) [f(x)]^n的极限，可以应用函数的幂函数极限公式lim(x→∞) x^n = ∞或lim(x→∞) a^n = a^n（其中a为常数），从而简化问题。
高考数学中的极限与连续性知识点
高考数学中的极限与连续性知识点高考数学作为考试中的一门重要科目，其中的极限与连续性是必考知识点之一。
本文将对这两个知识点进行详细介绍。
一、极限1. 定义极限是数列或函数自变量趋近于某一值时，因变量相应的取值趋近于一个确定的值或趋于无穷大或无穷小的现象。
数列或函数在自变量趋近于某一值时，与所趋近的值的相差越来越小，但却始终无法达到这一值。
2. 常见极限（1）$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$（2）$\lim _{x \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^x=e$（3）$\lim _{x \rightarrow a} (x-a)^n f(x)=0 (n>0)$3. 求极限的方法（1）代入法：将趋近的值代入函数后直接计算。
（2）夹逼法：利用函数大小的矛盾（左右夹逼）进行推断。
（3）变形法：将式子化简后，使其成为已知极限的形式。
4. 连续性函数的连续性是指函数在定义域内任何一个点的函数值与极限值相等的状态。
也就是说，如果函数f(x)在x=a处极限存在且等于f(a)，则称函数f(x)在x=a处连续。
如果函数在其定义域的任一点都连续，则称函数在其定义域内连续。
连续性是一个函数的基本属性。
5. 连续函数（1）定义：若一个函数在其定义域内的每个点都连续，则称这个函数为连续函数。
（2）充分必要条件：若函数f(x)在其定义域内各点均可导，则该函数连续，反之不一定成立。
（3）连续函数的性质：连续函数在其定义域内有以下几个性质：①有界性：有界函数的定义是指其在任意一个区间中都有界。
连续函数在有限区间内一定有界。
②最值性：有界函数在其定义域内一定存在最大值和最小值。
③介值性：连续函数在其定义域内根据介值定理，一个值介于函数值的最大值和最小值之间。
总之，在高考数学中，极限与连续性是非常重要的知识点。
理解和掌握好这两个知识点，有助于我们更深入地理解和掌握相关知识，为高考数学的考试打下较好的基础。
极限与连续的应用于极值问题练习题及解析
极限与连续的应用于极值问题练习题及解析在微积分中，极限和连续是两个核心概念。
它们不仅在理论上有重要的意义，而且在实际问题的求解过程中也发挥着重要的作用。
本文将针对极限和连续的应用于极值问题进行一些练习题的讨论和解析。
题目一：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的单调区间。
解析：首先，我们需要求出函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
对函数f(x)进行求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x - 9，再对f'(x)进行求导得到f''(x) = 6x - 6。
接下来，我们需要找出函数f(x)的临界点。
临界点即为函数f(x)的导数f'(x)为零的点。
令f'(x) = 0，解得x = -1和x = 3。
所以函数f(x)的临界点为x = -1和x = 3。
根据一阶导数的符号可以确定函数的单调性。
当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 3时，f'(x) > 0；当x > 3时，f'(x) < 0。
由此可得函数f(x)的单调区间为(-∞，-1)和(3，+∞)。
题目二：确定函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的极值点及极值。
解析：根据题目一的解析，我们已经知道函数f(x)的临界点为x = -1和x = 3。
现在我们需要进一步确定这些点是否为极值点，并求出极值。
首先，我们需要求出函数f(x)的二阶导数f''(x)。
根据题目一的解析，f''(x) = 6x - 6。
接下来，我们可以对临界点进行二阶导数的带入计算。
当x = -1时，f''(-1) = 6(-1) - 6 = -12；当x = 3时，f''(3) = 6(3) - 6 = 12。
根据极值点的判定条件，当f''(x) > 0时，函数在该点处有极小值；当f''(x) < 0时，函数在该点处有极大值；当f''(x) = 0时，判定条件不成立。
高中数学中的极限与连续性
高中数学中的极限与连续性在高中数学中，极限与连续性是两个重要的概念。
它们不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在其他学科中也起到了关键的作用。
本文将探讨这两个概念的内涵和应用，并解释它们在实际生活中的意义。
一、极限的概念极限是数学分析中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的行为。
在数学中，我们经常遇到一些无法直接计算的问题，而通过极限的概念，我们可以对这些问题进行更深入的研究和分析。
极限的定义是：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当x与a的距离小于δ时，函数f(x)与L的距离小于ε。
简单来说，极限表示函数在某一点的值无论多么接近某个值，都可以通过选择足够接近的自变量来实现。
极限的概念在微积分中有着重要的应用。
例如，在求导过程中，我们需要计算函数在某一点的斜率。
通过极限的概念，我们可以定义导数，进而求得函数在任意一点的导数。
此外，极限还在数列和级数的研究中起到了关键作用。
数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的值趋近于某个常数。
级数的极限则是指当级数中的项数无限增加时，级数的和趋近于某个常数。
通过研究数列和级数的极限，我们可以了解它们的性质和收敛性。
二、连续性的概念连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的无间断性。
在数学中，连续性是指函数在某一点的函数值与该点的极限值相等。
换句话说，如果一个函数在某一点连续，那么它在该点附近的函数值与该点的极限值非常接近。
连续性的概念在微积分和实分析中有着广泛的应用。
例如，在求定积分的过程中，我们需要将函数分成无穷小的小矩形，并将它们的面积加起来。
如果函数在整个区间上连续，那么这个过程是可行的。
但如果函数在某些点上不连续，我们就需要通过分段函数的方法来处理。
连续性还在微分方程的研究中发挥了重要的作用。
微分方程描述了自然界中很多现象的变化规律，而连续性保证了我们可以对这些变化进行准确的描述和预测。
通过研究微分方程的连续性，我们可以了解函数的解在整个定义域上的行为。
高中数学练习题附带解析极限与连续函数的计算
高中数学练习题附带解析极限与连续函数的计算高中数学练习题附带解析：极限与连续函数的计算第一题：求以下函数在$x=0$处的右导数和左导数，判断该函数在$x=0$处是否连续。
$$f(x)=\begin{cases}x+1 &,x<0 \\x^2 &,x \geq 0\end{cases}$$解析：首先求该函数在$x=0$处的函数值$f(0)$，由于$x \geq 0$时，$f(x)=x^2$，因此$f(0)=0$。
其次，求该函数在$x=0$处的右导数和左导数。
当$x<0$时，$f(x)=x+1$，因此该函数在$x=0$处的左导数为$f'_{-}(0)=1$。
当$x>0$时，$f(x)=x^2$，因此该函数在$x=0$处的右导数为$f'_{+}(0)=0$。
由于$f'_{-}(0) \neq f'_{+}(0)$，因此该函数在$x=0$处不存在导数，所以该函数在$x=0$处不连续。
第二题：求以下函数在$x=1$处的极限。
$$f(x)=\begin{cases}x+1 &,x<1 \\x^2 &,x >1\end{cases}$$解析：该函数在$x=1$处的左极限为$$\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}(x+1)=2$$该函数在$x=1$处的右极限为$$\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{+}}(x^2)=1$$由于左极限和右极限不相等，因此该函数在$x=1$处不存在极限。
第三题：求以下函数在$x \to +\infty$时的极限。
$$f(x)=\frac{3x^3+x^2+1}{5x^3-2x+1}$$解析：首先将分母的最高次幂提取出来，得到$$f(x)=\frac{3x^3+x^2+1}{5x^3-2x+1}=\frac{x^3(3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3})}{x^3(5-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3})}$$当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{1}{x^2} \to 0$，$\frac{1}{x^3} \to 0$，所以$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to+\infty}\frac{x^3(3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3})}{x^3(5-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3})}=\frac{3}{5}$$因此，该函数在$x \to +\infty$时的极限为$\frac{3}{5}$。
高中数学极限与连续性
高中数学极限与连续性数学是一门抽象而又精确的科学，而高中数学中的极限与连续性是其中一项重要的内容。
在这篇文章中，我们将探讨高中数学中的极限与连续性概念，以及它们的应用和重要性。
一、极限的概念在高中数学中，极限是指当自变量逼近某一特定值时，函数值逐渐趋近于某一确定的值。
极限可以用符号“lim”表示，并且具有一些基本的性质，如极限的唯一性和极限的保序性。
极限的计算可以通过代入法、利用基本极限、夹逼定理等方法进行。
在实际应用中，极限在研究自然科学、经济学和工程学等领域具有广泛的应用。
例如在物理学中，我们可以利用极限概念来描述速度、加速度和力等物理量的变化情况。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点附近连续而且没有间断点的特性。
在高中数学中，我们主要研究函数在闭区间上的连续性。
函数在闭区间上连续的条件有三个：函数在该闭区间上有定义、函数在该闭区间上无间断点、函数在该闭区间上有极限。
如果一个函数在闭区间上连续，则它在该闭区间上一定有最大值和最小值。
函数的连续性在实际问题中有着重要的应用，例如经济学中的成本和收益问题，我们需要利用函数的连续性来研究最优解的存在性和性质。
三、极限与连续性的关系极限与连续性是密不可分的，它们之间存在着紧密的联系。
首先，极限是连续性的基础，只有函数在某一点的极限存在，函数才可能在该点连续。
其次，连续性可以通过极限的性质来判断。
如果一个函数在某一点连续，那么它在该点的左右极限应该存在且相等。
极限与连续性的关系也可以通过数列的极限来说明。
我们知道，数列收敛的充要条件是其极限存在，而数列的极限又与数列的连续性密切相关。
因此，我们可以通过数列的极限来判断数列的连续性。
总之，高中数学中的极限与连续性是数学中的重要内容，它们相互依存、相互补充，对于数学的发展以及实际应用都具有重要的意义。
我们需要深入学习和理解极限与连续性的概念、性质和应用，以便更好地应用于解决实际问题和深入研究数学科学。
高考数学如何应对复杂的极限与连续性问题
高考数学如何应对复杂的极限与连续性问题随着高考数学的改革和不断提高，极限与连续性成为了考试中的重要内容。
学生们普遍认为，这是数学中较为抽象和难以理解的概念，因此在备考过程中也会感到困惑和无从下手。
本文将从理解极限与连续性的概念、克服问题的方法以及应对复杂问题的技巧等方面，向大家介绍高考数学如何应对复杂的极限与连续性问题。
一、理解极限与连续性的概念1. 极限的概念极限是数学中一个重要的概念，表示数列或者函数在某一趋近状态下的极端值。
在高考中，常见的极限有数列极限和函数极限两种情况。
数列极限指的是当自变量趋近于无穷大时，函数值的极端情况。
而函数极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数值的极端情况。
2. 连续性的概念连续性是研究函数的一种性质，具体指的是函数在其定义域内没有突变或间断。
也就是说，函数图象中不存在折点或跳跃。
连续性在高考数学中常常与极限有着密切的关系，需要学生们对其进行深入理解和运用。
以上是极限与连续性的基本概念，理解这些概念是应对复杂问题的基础。
二、克服问题的方法1. 熟悉相关定义与定理为了能够应对复杂的极限与连续性问题，学生需要事先熟悉相关的定义与定理。
例如，掌握数列极限和函数极限的定义，熟悉极限的四则运算、夹逼定理等重要定理。
熟练掌握这些基础知识，有利于解决复杂问题。
2. 多做例题与习题通过多做极限与连续性的例题和习题，可以提高对这一概念的理解和运用能力。
在解题过程中，要注意总结归纳，找出规律和特点，逐渐增强自己的解题能力。
此外，做题过程中可以寻找不同的解题方法，培养灵活性。
三、应对复杂问题的技巧1. 分析题目在解答复杂的极限与连续性问题时，首先要仔细阅读题目，分析所给条件和要求。
通过理解题目的背景和目标，抓住问题的关键，有助于确定解题的思路和方法。
2. 利用极限的性质极限的性质是解决复杂问题的重要工具之一。
例如，利用极限的有界性、保号性和单调性等特点，可以对复杂问题进行简化和转化。
高中数学函数的极限与连续性试题
高中数学函数的极限与连续性试题1. 对于以下函数 f(x) = 2x + 3，计算其在 x = 2 处的极限值。
解析：根据函数的定义，我们需要计算函数f(x) 在x = 2 处的极限值。
首先，我们可以将 x = 2 代入函数 f(x) 中，得到 f(2) = 2(2) + 3 = 7。
这意味着函数 f(x) 在 x = 2 处的函数值为 7。
接下来，我们需要计算该函数在 x = 2 处的左极限和右极限。
左极限表示靠近 x = 2 的左侧的函数值趋近于的值，而右极限则表示靠近 x = 2 的右侧的函数值趋近于的值。
左极限的计算：考虑 x 逐渐逼近 2，但小于 2 的值，我们将 x替换为一个接近 2 的小于 2 的数，如 1.9，代入函数 f(x) 得到 f(1.9) = 2(1.9) + 3 = 5.8。
右极限的计算：同样考虑 x 逐渐逼近 2，但大于 2 的值，我们将 x 替换为一个接近 2 的大于 2 的数，如 2.1，代入函数 f(x) 得到f(2.1) = 2(2.1) + 3 = 7.2。
根据以上计算，我们可以得出：左极限lim(x→2-) f(x) = 5.8右极限lim(x→2+) f(x) = 7.2因为左极限与右极限并不相等，所以函数 f(x) 在 x = 2 处不存在极限。
2. 设函数 g(x) 在 x = a 处连续，且a ≠ 0。
证明函数 f(x) = g(x)/x 在 x = a 处连续。
解析：要证明函数 f(x) = g(x)/x 在 x = a 处连续，我们需要根据连续性的定义来进行证明。
根据已知条件，函数 g(x) 在 x = a 处连续。
根据连续性定义，我们知道在函数 g(x) 连续的点 x = a 处，对于任意给定的ε > 0，存在一个δ > 0，当 |x - a| < δ 时，有 |g(x) - g(a)| < ε 成立。
我们需要证明函数 f(x) = g(x)/x 在 x = a 处连续。
高中数学知识点总结极限与连续性
高中数学知识点总结极限与连续性高中数学知识点总结：极限与连续性在高中数学学习过程中，极限与连续性是非常重要的概念和理论。
它们是分析数学中的基本内容，也是数学推理和问题解决的核心工具。
本文将对高中数学中的极限与连续性进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这些知识点。
一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是指当自变量趋于某个值时，函数取值的趋势或趋近于的值。
对于函数f(x)，当x趋近于a时，若存在实数L，使得对于任意给定的正数ε，总可以找到正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε成立，则称函数在x趋近于a时极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
2. 极限的性质（1）极限唯一性：如果极限存在，则极限值唯一。
（2）局部有界性：如果lim┬(x→a)〖f(x)=L〗，则存在一个δ>0，当0 < |x - a| < δ时，f(x)有界。
（3）四则运算法则：设lim┬(x→a)〖f(x)=A，lim┬(x→a)〖g(x)=B〗〗，其中A、B为有限数，常数C为常数，则有：a) lim┬(x→a)[f(x)±g(x)]=A±Bb) lim┬(x→a)[f(x)×g(x)]=A×Bc) lim┬(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B，其中B≠0。
3. 左极限与右极限对于函数f(x)，以a为自变量的取值上界时的极限值称为左极限，以a为自变量的取值下界时的极限值称为右极限。
记作lim┬(x→a⁻)f(x)和lim┬(x→a⁺)f(x)，分别对应于x从a左侧和右侧趋近。
二、连续性与间断点1. 连续性的定义连续性是指函数在某个点上没有突变、断裂或跳跃，并且与该点邻近的点上函数值变化相对较小。
对于函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在对应的δ>0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数在点a上连续。
如何快速解决高中数学中的函数极限与连续性问题
如何快速解决高中数学中的函数极限与连续性问题函数极限与连续性是高中数学中重要且常见的概念，对于学生来说，掌握这两个概念以及解决相关问题的方法至关重要。
本文将介绍一些快速解决高中数学中的函数极限与连续性问题的方法和技巧。
1. 函数极限的定义与性质在解决函数极限问题时，首先要理解极限的定义与性质。
函数f(x)在x趋近于c的极限为L，即lim{x→c} f(x) = L，表示当自变量x无限接近c时，函数值f(x)无限接近L。
常见的函数极限性质包括四则运算、复合函数的极限以及函数极限和数列极限的关系等。
2. 极限的计算方法对于一些简单的函数，可以直接利用函数极限的性质进行计算。
例如，当函数f(x)与g(x)的极限都存在时，可以利用加减乘除的性质计算它们的和、差、积以及商的极限。
此外，复合函数的极限可以通过求解内外函数的极限来进行计算。
3. 重要的极限表达式为了能够快速解决函数极限问题，掌握一些重要的极限表达式是必要的。
例如，常用的极限表达式包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的极限。
熟练掌握这些表达式的极限可以大大简化计算过程。
4. 利用函数连续性解决问题函数连续性是解决函数极限问题中的重要概念之一。
如果一个函数在某点处连续，那么该点的极限必定等于函数值。
因此，在解决函数极限问题时，可以先将函数进行化简，找到其连续的点，并计算该点的函数值，从而得到函数极限的结果。
5. 利用夹逼定理求解函数极限夹逼定理是求解函数极限问题中常用的方法之一。
当一个函数处于两个趋近于同一极限的函数之间时，可以利用夹逼定理得到该函数的极限。
这种方法在求解一些复杂的函数极限问题时非常有用。
6. 多次逼近法有些函数极限问题比较复杂，无法直接应用前面介绍的方法进行求解。
此时，可以利用多次逼近法，将原问题逼近为一个更简单的问题。
例如，可以先逼近为一个无穷小的极限，再通过对无穷小进行化简求解。
总结起来，要快速解决高中数学中的函数极限与连续性问题，关键是掌握极限的定义与性质，熟练使用函数极限的计算方法，并且掌握一些重要的极限表达式。
高中数学极限与连续解题技巧
高中数学极限与连续解题技巧极限与连续是高中数学中重要的概念和章节，它们在微积分学习中起着重要的作用。
本文将介绍一些解题技巧，以帮助高中生更好地理解和应用极限与连续的概念。
一、极限的概念及性质在学习极限的过程中，我们首先需要了解极限的概念和性质。
极限的概念是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
对于极限的计算，我们可以使用代入法、夹逼法以及极限的四则运算法则。
在实际应用中，我们常常遇到无穷大与无穷小的极限，对于这类极限的求解，我们可以运用洛必达法则等方法。
二、连续函数及其性质连续函数是指函数在某个区间内没有断点，即函数图像是一条连续的曲线。
为了判断一个函数是否连续，我们可以使用三个基本判定条件：函数在某点处存在、左右极限存在且相等、极限与函数值相等。
在解题中，我们可以通过利用连续函数的性质来简化问题，比如利用介值定理、零点定理等。
三、极限与连续的解题技巧1. 利用极限的无穷小性质进行证明：当我们需要证明一些复杂的数学关系时，可以利用极限的无穷小性质进行简化。
比如，在证明一些不等式时，我们可以通过构造适当的无穷小和无穷大来进行求解。
2. 利用极限的夹逼法则求解问题：夹逼法则是极限计算中常用的重要方法之一。
当我们遇到复杂的极限问题时，可以尝试使用夹逼法则来进行求解。
通过构造夹逼的两个函数，我们可以找到一个介于它们之间的函数，从而确定极限值或确证函数的连续性。
3. 利用洛必达法则求解问题：洛必达法则是一种用于计算极限的重要技巧。
当我们遇到形如0/0或无穷大/无穷大的极限时，可以尝试使用洛必达法则进行求解。
该法则的核心思想是对函数的分子、分母分别求导，然后再次计算极限。
4. 利用函数的对称性进行求解：有些函数具有对称性，比如奇函数和偶函数。
在解题过程中，我们可以利用函数的对称性来简化问题。
通过运用对称性，我们可以减少计算步骤，提高解题效率。
五、结语高中数学中的极限与连续是一门基础而重要的学科，它们为我们理解和应用微积分打下了坚实的基础。
高考数学 模拟专题16 极限与连续性理 试题
智才艺州攀枝花市创界学校最新模拟专题1．li＝()A. B．0C．－D．不存在【解析】li＝li＝li＝li＝＝＝.【解析】由li(x2＋ax－b)＝4，即22＋2a－b＝4得2a＝b，代入可求得极限值为.【答案】B4．f(x)＝下面结论正确的选项是()A．f(x)在x＝1处连续B．f(1)＝5C．li f(x)＝2 D．li f(x)＝5【解析】假设li f(x)和li g(x)都存在，那么li[f(x)－g(x)]＝li f(x)－li g(x)＝0，∴li f(x)＝li g(x)．【答案】C6.li等于()A．0 B．1C. D.【解析】li＝li＝li＝.应选D.【答案】D7．假设a>0，那么li＝________.【解析】当a>1时，原式＝1；当0<a<1时，原式＝0；当a＝1时，原式＝.【答案】0、1或者8．假设f(x)＝在(－∞，＋∞)内连续，那么A＝________.∴f(x)max＝f(5)＝25＋5－3＝34，f(x)min＝f(－1)＝2－1－1－3＝－.(2)∵f(x)为初等函数，∴f(x)在[－1,5]上连续．∵f(－1)·f(5)＝×34<0，∴f(x)的图象在[－1,5]上与x轴至少有一个交点．又∵f(x)是[－1,5]上的单调函数，∴f(x)的图象在[－1,5]上只与x轴有一个交点，即f(x)＝0在[－1,5]上只有一个解，通过分析观察，x＝1是方程f(x)＝0的解．11．设f(x)＝问a，b为何值时，f(x)在定义区间内连续？【解析】li f(x)＝li(x＋a)＝a＝f(0)．li f(x)＝li(x2＋1)＝1，∴a＝1时，f(x)在x＝0处连续．li f(x)＝li(x2＋1)＝2＝f(1)，li f(x)＝li＝b.∴b＝2时，函数f(x)在x＝1处连续，而初等函数在其定义域内均为连续函数，∴当a＝1，b＝2时，f(x)在(－∞，＋∞)内连续．∴定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，图象如下列图：(2)li f(x)＝li1＝1，li f(x)＝li0＝0，li f(x)不存在．(3)f(x)在x＝－1及x＝1处不连续，∵f(x)在x＝－1处无意义，x＝1时，li f(x)＝1，li f(x)＝0，即li f(x)不存在，∴f(x)在x＝－1及x＝1处不连续．。
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1．li m x →1
x ＋3－2
x －1
＝( ) A.12 B ．0 C ．－12
D ．不存在
【解析】 li m x →1
x ＋3－2
x －1
＝ li m x →1
(x ＋3－2)(x ＋3＋2)(x ＋1)(x －1)(x ＋1)(x ＋3＋2) ＝li m x →1
(x －1)(x ＋1)
(x －1)(x ＋3＋2)＝li m x →1
x ＋1x ＋3＋2＝1＋11＋3＋2＝24＝1
2
.
【解析】 由li m x →2 (x 2
＋ax －b )＝4， 即22
＋2a －b ＝4 得2a ＝b ，
代入可求得极限值为1
4.
【答案】 B
4．已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋3，(x ≠1)，
2，(x ＝1)，下面结论正确的是( )
A ．f (x )在x ＝1处连续
B ．f (1)＝5
C ．li m x →1 f (x )＝2
D ．li m x →1
f (x )＝5
【解析】 若li m x →∞f (x )和li m x →∞g (x )都存在，则li m x →∞ [f (x )－g (x )]＝li m x →∞f (x )－li m x →∞g (x )＝0，∴li m x →∞f (x )＝li m x →∞g (x )．
【答案】 C
6. li m x →∞x 2－12x 2－x －1
等于( )
A ．0
B ．1 C.12
D.23
【解析】 li m x →∞x 2－12x 2－x －1＝li m x →∞(x ＋1)(x －1)
(2x ＋1)(x －1)
＝li m
x →∞x ＋12x ＋1＝2
3
.故选D. 【答案】 D 7．若a >0，则li m x →∞
a x
1＋a
x
＝________.
【解析】 当a >1时，原式＝1；当0<a <1时，原式＝0；当a ＝1时，原式＝12.
【答案】 0、1或1
2
8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－4x －2
，
A .
(x ≠2)
(x ＝2)在(－∞，＋∞)内连续，则A ＝________.
∴f (x )max ＝f (5)＝25
＋5－3＝34，
f (x )min ＝f (－1)＝2－1－1－3＝－72
.
(2)∵f (x )为初等函数， ∴f (x )在[－1,5]上连续．
∵f (－1)·f (5)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－72×34<0， ∴f (x )的图象在[－1,5]上与x 轴至少有一个交点． 又∵f (x )是[－1,5]上的单调函数，
∴f (x )的图象在[－1,5]上只与x 轴有一个交点，即f (x )＝0在[－1,5]上只有一个解， 通过分析观察，x ＝1是方程f (x )＝0的解．
11．设f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋a ，(x ≤0)x 2
＋1，(0<x ≤1)
b x ，(x >1)
问a ，b 为何值时，f (x )在定义区间内连续？
【解析】 li m x →0－ f (x )＝li m x →0－ (x ＋a ) ＝a ＝f (0)．
li m x →0＋ f (x )＝li m x →0＋ (x 2
＋1)＝1， ∴a ＝1时，f (x )在x ＝0处连续． li m x →1－ f (x )＝li m x →1－ (x 2＋1)＝2＝f (1)， li m x →1＋ f (x )＝li m x →1＋ b
x
＝b .
∴b ＝2时，函数f (x )在x ＝1处连续，而初等函数在其定义域内均为连续函数， ∴当a ＝1，b ＝2时，f (x )在(－∞，＋∞)内连续．
∴定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，图象如图所示：
(2)li m x →－1－f (x )＝li m x →－1－1＝1，li m x →－1＋f (x )＝li m x →－1＋0＝0， li m x →－1f (x )不存在．
(3)f (x )在x ＝－1及x ＝1处不连续，
∵f (x )在x ＝－1处无意义，x ＝1时，li m x →1＋f (x )＝1， li m x →1－
f (x )＝0，即li m x →1
f (x )不存在，
∴f (x )在x ＝－1及x ＝1处不连续．。