天津市五区县2013届高三质量检查试卷(一)理科数学 Word版含答案

天津市五区县201 3年高三质量调查试卷数 学（理工类）本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第1卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效， 祝各位考生考试顺利l一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)i 是虚数单位，复数31ii++等于 (A)2i + (B)2i - (C) 12i + (D)12i -(2)设x ∈R ，则“x>0"是“12x x+≥"的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 当输入的值为10时，输出S 的值为 (A) 45 (B) 49(C) 52 (D) 54 (4)在5()x x-的二项展开式中，2x 的系数为 (A) 40 (B) -40 (C) 80 (D) -80(5)在等比数列{}n a 中，12512511127,3a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，则3a = (A)±9 (B)9 (C)±3 (D)3(6)设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b,c ，且12,3,cos 4a b C ===,则sinA= (A)154 (B)158 ( C)6 (D)6 (7)直角三角形ABC 中，90,2,1C AB AC ∠===，点D 在斜边AB 上，且AD AB λ=,R λ∈,若2CD CB ⋅=，则λ=(A)12 (B)13(C)3 (D ）23(8)定义在R 上奇函数，()f x 对任意x R ∈都有(1)(3)f x f x +=-，若(1)2f =-，则2012(2012)2013(2013)f f -=(A) -4026 (B) 4026 (C) -4024 (D) 4024天津市五区县201 3年高三质量调查试卷（一）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共110分，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． (9)某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取_______人． (10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______． (11)已知集合{}|12A x R x =∈->，集合 {}2|(1)0B x R x a x a =∈-++<,若(3,5)A B =则实数a=______. (12)若直线x - y+t=0被曲线14cos 34sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为42，则实数t 的值为______。

(13)如图，在O 中，CD 垂直于直径AB ，垂足为D ，DE ⊥BC ，垂足为E ，若AB =8，7CE CB ⋅=，则AD=____． (14)设函数221 (x 0)()(0x f x x bx c x ⎧-+≥⎪=⎨+=<⎪⎩若(3)(1),(2)3f f f -=--=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为_______个，三、解答题：本大题共6小题，共80分． (15)（本小题满分13分）已知函数2()sin 2cos ,f x x a x a =+，a 为常数，a R ∈，且()04f π=．(I)求函数()f x 的最小正周期。

(Ⅱ)当11,2424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值， (16)（本小题满分13分）一盒中装有9个大小质地相同的小球，其中红球4个，标号分别为0，1，2，3；白球3个，标号分别为0，1，2；黑球2个，标号分别为0，l ；现从盒中不放回地摸出2个小球． (I)求两球颜色不同且标号之和．．为3的概率； (Ⅱ)记所摸出的两球标号之积．．为ξ，求ξ的分布列与数学期望． (17)（本小题满分13分）在三棱锥S -ABC 中，ABC ∆是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，3SA SC ==，E ，F 分别为AB 、SB 的中点．(I)证明：AC ⊥SB ；(Ⅱ)求锐二面角F -CE –B 的余弦值； (Ⅲ)求B 点到平面CEF 的距离． 18．（本小题满分13分） 已知数列{}n a 中1112,2n n a a a +==-，数列{}n b 中11n n b a =-。

其中n N ∈． (I)求证：数列{}n b 是等差数列： (Ⅱ)设n S 最是数列13n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求12111...nS S S +++； (Ⅲ)设n T 是数列1()3nn b ⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：34n T <． (19)（本小题满分14分）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为(0,2)A ，右焦点F 到点(2,2)B 的距离为2.(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)设经过点（0，-3）的直线Z 与椭圆相交于不同两点M ，N 满足AM AN =，试 求直线l 的方程． (20)（本小题满分14分）已知函数32()f x ax bx =+在点(2,(2))f 处的切线方程为6x+3y -10=0，且对任意 的[)0,x ∈+∞'()ln(1)f x k x ≤+恒成立． (I)求a,b 的值；(Ⅱ)求实数k 的最小值； (Ⅲ)证明：11ln(1) 2 (n N )ni n i =<++∈∑．天津市五区县2013年高三质量调查试卷参考答案数 学（理工类）一、选择题：每小题5分，满分40分.（1）B （2）C （3）D （4）A （5）C （6）C （7）D （8）A二、填空题：每小题5分，共30分.（9）12 （10）36π （11）5 （12）2-或6 （13）1 （14）3三、解答题 （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知得2()=sin +cos 0424f a πππ= 即11+=02a ，………………………………………………………………2分 所以=2a - ………………………………………………3分所以2()sin 22cos =sin 2cos 21f x x x x x =--- ……………………4分)14--πx …………………………………5分 所以函数()f x 的最小正周期为π …………………………………6分 （Ⅱ）由112424,ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，得22463--,πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x …………………………………7分 则1sin (2)142--,π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ……………………………………………………9分所以1)1124----πx …………………………………11分所以函数()y f x =1；最小值为12--…………………13分（16）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)从盒中不放回地摸出2个小球的所有可能情况有2936C =种 ………… 2分 颜色不同且标号之和为3的情况有6种 ………………………………… 4分 ∴61366P == …………………………………………… 5分(Ⅱ) 依题意ξ的可取值为0,1,2,3,4,6112363217(0)363612C C C P ξ+====；………………………………………………6分 231(1)3612C P ξ===；………………………………………………7分 11231(2)366C C P ξ===；………………………………………………8分 131(3)3612C P ξ===；………………………………………………9分 1(4)36P ξ==； ………………………………………………10分 121(6)C P ξ=== ………………………………………………11分（不列表不扣分）71111110012346121261236189=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ …………………13分（17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）法一：取AC 中点O ，连结SO ，BO ． ∵SA SC AB AC ==,, ∴AC SO ⊥且AC BO ⊥,∴AC ⊥平面SOB ，又SB ⊂平面SOB ，∴AC SB ⊥…………………………3分 法二：取AC 中点O ，以O 为原点， 分别以OA 、OB 、OS 为x轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系，则(100)A ,,,(00)B(00S ,，1(0)2E ,(022F ,,,(100)C -,,∴(200)AC =-,,，(0SB =,(200)(00AC SB ⋅=-⋅=,,∴SB AC ⊥． ……………………………………………………………………3分(Ⅱ)由（Ⅰ）得331(0),(0222CE EF ==-,,,,,设),,(z y x =为平面CEF的一个法向量，则3021022CE n x y EF n x z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ 取=1z,x y =∴ )1,6,2(-=． …………………………………………………………6分又(00OS =,为平面ABC 的一个法向量，1cos 3n OS n OS n OS⋅==⋅∴,∴二面角F CE B --的余弦值为31．………………………………………9分 (Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）得1(0)2EB =-，(21)n =-,为平面CEF 的一个法向量 ∴点B 到平面CEF 的距离 223⋅==n EB d n……………………………13分（18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）11111111nn n n na b a a a ++===---， ………………………………1分 而 11n n b a =-， ∴ 11111n n n n n a b b a a +-=-=--．*N n ∈ …………………………3分 ∴ {n b }是首项为11111b a ==-，公差为1的等差数列． …………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知n b n =， ………………………………………………………5分111(1).(12)3336n n n n b n S n +=∴=+++=, …………………………………6分 于是16(1)n S n n =+ =116(),1n n -+ …………………………………………7分故有12111n S S S +++111116(1)2231n n =-+-++-+ =616(1)11nn n -=++ …………………………………9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知 1()3n n b ⋅1()3n n =⋅, ……………………………10分则211112()().333n n T n =⋅+⋅++⋅()231111111()2()1()33333nn n T n n +⎛⎫=⋅+⋅++-+⋅ ⎪⎝⎭∴． …………11分则232111()()3333n T =+++…+111()()33n n n +-⋅ 11111()()233n n n +⎡⎤=--⋅⎢⎥⎣⎦，∴ n T =131113()()443234n n n ---⋅<． ………………………13分（19）（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 依题意,设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ,则其右焦点坐标为22,)0,(b a c c F -=, ………………………………1分由=||FB 2,2=,即2(24c +=,故22=c . …………………………………………2分又∵2=b , ∴212a =, ……………………………………………………3分∴所求椭圆方程为141222=+y x . ……………………4分 (Ⅱ)由题意可设直线l 的方程为3y kx =-(0)k ≠, ……………………5分由||||AN AM =，知点A 在线段MN 的垂直平分线上,由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1412322y x kx y 得223(3)12x kx +=- 即22(13)18150k x kx ++=-……（*） ………………………………………6分222=(18)4(13)15144600k k k ∆+⨯=>---即25>12k 时方程（*）有两个不相等的实数根 …………………………7分 设11()M x y ,，22()N x y ,，线段MN 的中点00()P x y , 则1x ，2x 是方程（*）的两个不等的实根，故有1221813kx x k +=+ …………8分从而有12029213x x kx k +==+，22002293(13)331313k k y kx k k +===++--- 于是，可得线段MN 的中点P 的坐标为2293()1313k P k k ++-, ………………9分 又由于0k ≠，因此直线AP 的斜率为22123256139913k k k k k k +==+---- ………10分 由AP MN ⊥，得25619k k k⨯=--- …………………………11分 即2569k +=，解得225312k =>，∴3k =±， …………………………12分 ∴所求直线l的方程为：33y x =±-. …………………………14分 方法二：设直线l 的方程为3-=kx y (0)k ≠， ………………………………5分则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1412322y x kx y 得：22(13)18150k x kx +-+= ………………………………………6分 由2144600k ∆=>-设11(,)M x y 、22(,)N x y 由韦达定理得12212218131513k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ……………8分又22||||AN AM =，则22222121)2()2(-+=-+y x y x ……………9分移项得：k ＝1212x x y y --＝－21214x x y y ++-＝－2121()10x x k x x ++-＝－2110(13)18k k k+-解得k = …………………………………………………………12分 此时△＞0适合题意， ∴所求直线l 的方程为：y =±3x －3 …………………………………14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2()32,(2)2f x ax bx f ''=+=-， ∴1242a b +=- ① ………………1分将2x =代入直线方程得23y =-，∴2843a b +=- ② ………………2分 ①②联立，解得11,32a b =-= ……………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得3211()32f x x x =-+2()=f x x x '-+，∴2ln(1)x x k x -+≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立；即2ln(1)0x x k x -++≥在[)0,x ∈+∞恒成立； ………………………………5分设2()ln(1)g x x x k x =-++，(0)0g =，∴只需证对于任意的[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥ …………………………6分[)221()21,0,11k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++设2()21h x x x k =++-，1）当=18(1)0k ∆--≤，即98k ≥时，()0h x ≥，∴()0g x '≥ ()g x 在[)0,+∞单调递增，∴()(0)g x g ≥ ……………………………………7分2）当=18(1)0k ∆-->，即98k <时，设12,x x 是方程2210x x k ++-=的两根且12x x < 由1212x x +=-，可知10x <， 分析题意可知当20x ≤时对任意[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥；∴10,1k k -≥≥，∴918k ≤<…………………………………8分 综上分析，实数k 的最小值为1. …………………………………9分 （Ⅲ）令1k =，有2ln(1),x x x -+≤+即2ln(1)x x x ≤++在[)0,x ∈+∞恒成立…10分 令1x n =，得221111ln(1)ln(1)ln n n n n n n ≤++=++- ……………………11分 ∴222=111111(ln 2ln1)(ln 3ln 2)[ln(1)ln ]23≤+++++-+-+++-∑n i n n i n222111=1ln(1)23n n ++++++ 1111ln(1)1223(1)n n n <++++++⨯⨯- 12ln(1)n n=-++ ln(1)2n <++∴原不等式得证. ……………………………………………………………14分精心整理资料，感谢使用！。