时滞Leslie-Gower捕食者—食饵系统Hopf分支的存在性

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一类具有食饵避难的Leslie-Gower捕食-食饵模型的定性分析

斑图;
本文借助文献[３]的方法,主要研究在 N 维
情况下系统 (２)在常数正平衡解处的线性稳定
性,运用分支理论讨论非常数正平衡解的整体分
支 ,因此考虑系统 (２)对应的平衡态方程 :
ìï－d１ΔH ＝H (r－aH )－
ïïï b＋(１(１－－mm)H)H , x ∈ Ω;
一类具有食饵避难的 LeslieＧGower捕食Ｇ食饵模型的定性分析
贾延飞
(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州７３００７０)
摘要:研究了一类具有食饵避难的 LeslieＧGower捕食Ｇ食饵模型．利用线性稳定性理论,得到了平衡态方程正常数解的渐进稳定性;借助分支理论,得到了以扩散系数d２为分支参数,平衡态方程在正常数解 E∗ 处的局部分支,证明了在一定条件下,(dj２,E∗ )处产生的局部分支可以延拓成全局分支．关键词 :捕食Ｇ食饵模型 ;稳定性 ;局部分支 ;全局分支中图分类号 :O２４１．８１文献标志码 :A
第３２卷第２期２０１８年３月
兰州文理学院学报 (自然科学版 ) JournalofLanzhou UniversityofArtsandScience (NaturalSciences)
Vol．３２ No．２ Mar．２０１８
文章编号 :２０９５Ｇ６９９１(２０１８)０２Ｇ０００１Ｇ０６
出现空间避难,这些食饵种群在一定程度上可以
得到保护以避免被捕食,从而有利于减小被捕食

具时滞和食物补贴的捕食者—食饵模型的分支研究

具时滞和食物补贴的捕食者—食饵模型的分支研究为了保护物种的多样性,维护生态平衡,需要对种群动力学模型进行深入研究,揭示出种群之间的相互作用关系。

在种群动力学中,捕食者-食饵模型因其重要性一直受到各界学者的关注。

在描述种群数量变化时,需要考虑到物种的成熟期和能量的转化时间,因此有必要在系统中引入时滞,以便更好地反应实际情况。

所以本文讨论了一类具时滞的捕食者-食饵模型,并在模型中引入了食物补贴项的影响。

首先,讨论了系统正平衡点的存在唯一性,在此基础上利用特征方程根的分布分析方法分析其稳定性,得到了在正平衡点处存在局部Hopf分支的充分条件。

又由中心流形定理和规范型理论,分析了正平衡点处Hopf分支的性质,包括分支的方向、分支周期解的稳定性以及周期解周期的变化等。

其次,在局部Hopf分支的基础上进一步研究系统周期解的大范围存在性问题。

由全局Hopf分支定理可以得到每个连通分枝是无界的,接着证明了系统的解具有正性,又利用常微分方程高维Bendixson定理证明系统没有非常值?-周期解,进而得到了周期解的全局存在性结论。

最后,本文分为两部分进行数值模拟。

第一部分以时滞为参数,观察系统在不同时滞处的稳定性和全局Hopf分支的存在性,对之前的理论结果给予了算例支撑;第二部分分别以食物补贴投放率、环境承载量、捕食者消耗食饵的最大速率和转换因子为参数。

通过模拟观察其对第一个分支值的影响,从而得到各参数对系统稳定区间的影响,同时解释了各种情况下的生物学意义。

一类具有时滞Holling—Ⅳ型捕食-食饵系统的Hopf分支

Ｖｎ．６Ｎｏ１１１．
Ｊｎ２０ａ．０７
类具有时滞Ｈｌｎ — ｏｉｇＩｌＶ型捕食一饵系统的Ｈｐ分支食ｏｆ
一
郑宗剑林怡平
（昆明理工大学理学院，昆明６０９）５０３
摘要研究了一类具有时滞的Ｈｌｎ－ｏｉＩｌｇＶ型功能性反应和Ｌｓｅ形式的捕食者数量反应的两种群竞争模型．ｅｉｌｓ讨论了平
ｆｒａｉｎＳｅｉｔｎｃｓｄｓｕｓｄ．ｕｃｔｏｘｓｅｅｗａｉｃｓｅ
ＫｅｒｓＨｏｆｂｆｒａｉｎ；ｄｌｙ；ｓａｉｔｙｗｏｄ：ｐｉｃｔｕｏｅａｔｂｌｙ；ｅｕｌｒｍ；ＨｏｌｇＩｉｑｉｂｉｉｕｌｎ－Ｖｉ
（（）（） ∈ ＋ｃ（丁０，２，０，０）ｃ＝（一，）尺）＋
‘ （）０ｉ，．Ｄ０＞．＝１２。
了关于分支和稳定性等动力学现象，但是现实中的
收稿日期：０６— ３—２．２００４
作者简介：郑宗剑（９２一）男，１８，硕士研究生，主要从事动力系统分支与混沌的学习与研究通讯作者：林怡平（９４一）女，１５，教授，主要从事动力系统分支与混沌的研究．
）ｘ００ｙｏ０ａ６Ｊ０（）＞，（）＞；，，Ｂ＞
（）０，（）＞ｒｓＫ，０，０＞Ｙ００，，，ｈ＞
其中Ｘｔ表示ｔ（）时刻食饵的密度；（）Ｙｔ表示ｔ时刻捕食者的密度；（）ＰＸ表示捕食者的功能反应函数；ｙ－Ｌｓｅ佻ｅｌ形式的捕食者数量反应．ｓｉ

具有收获和避难所效应的捕食——食饵系统Hopf分支分析

DOI ：10.14182/ki.1001-2443.2022.06.002具有收获和避难所效应的捕食—食饵系统Hopf 分支分析张道祥，李梦婷，闫晴，周文（安徽师范大学数学与统计学院，安徽芜湖241002）摘要：研究了具有收获和避难所效应的捕食-食饵系统的动力学。

首先研究了系统解的正性，有界性以及正平衡点的存在性。

其次，对系统正平衡点的局部稳定性和全局稳定性进行分析。

接着分别给出了ODE 系统以及PDE 系统产生Hopf 分支的条件。

最后通过一系列数值模拟来展示理论的正确性。

结果表明收获效应会提高食饵的密度，降低捕食者密度，避难所效应会提高食饵的密度且在一定范围内会提高捕食者密度。

关键词：捕食-食饵系统；收获；避难所；Hopf 分支中图分类号：O175.2；O193文献标志码：A文章编号：1001-2443（2022）06-0522-12引言多年来，捕食-食饵系统动力学一直是生态学和生物数学的重要研究问题。

在数学中，使用微分方程组来刻画捕食者与食饵之间的关系是一种主要的研究方法。

20世纪50年代，Leslie 首先提出了如下捕食-食饵模型［1-2］：ìíîïïïïdu dt =u (a -su )-muvdv dt =v (b -v γu )（1）其中u ,v 分别表示食饵和捕食者的密度，m 是捕食者的攻击率，a 是食饵的内禀增长率，b 是捕食者的内禀增长率，a s代表食饵的环境容纳量，1γu 代表捕食者依赖食饵的承载能力。

1960年，Leslie 和Gower 对系统（1）进行了改进，引入了功能反应函数［3］：ìíîïïïïdu dt =u (a -su )-p (u )vdv dt=v (b -v γu )（2）其中p (u )表示捕食者对食饵的功能反应函数。

具有时滞的Leslies型食饵-捕食系统的Hopf分支

ｍｏｌｓｃｎｉｅｅＣｏｃｕｉｎＢｙｃｏｓｎｈｉｅａｓａｂｆｒａｉｎｐｒｍｅｅ，ｔｅｅｉｔｎｅｏｐｄｅｉｏｓｄｒｄ．ｎｌｓｏｈｏｉｇｔｅｔｍｅｄｌｙｔａｉｕｃｔｏａａｔｒｈｘｓｅｃｆＨｏｆｒ
情形，已获得一些结论］文献［０考虑了食饵，１］
有自时滞反馈，且功能反应函数下系统：
ｃ
ｔ＝）㈤（一）１
，、
），，）ｆ））（
（）１
）㈩（一）＝。
其中（）Ｙ分别表示ｔ，（）时刻食饵、捕食者的种群数量，。＞０ｒ，，＞０分别表示食饵、捕食者的内禀增长率；＞０表示环境对食饵的承载能力，￡ｙ（）＞０表示依赖于食饵的对捕食者的承载能力，（）ｑ（）
Ａｂｔａｔｓｒｃ：ＡｉＡｓｉｓｐｅ — ｒｄｔｒｓｓｅｗｉｈｔｍｅｄｌｙｉｔｄｅ．ｅｈｏｓＢｙｕｉｇｔｔｏｆｔｅｍＬｅｌｅｒｙｐｅａｏｙｔｍｔｉｅａｓｓｕｉｄＭｔｄｓｎｈｅｍｅｈｄｏｈｑａｉａｉｅｔｅｒｎｔｂｌｙｔｏｙｏｒｉａｉｅｅｔａｑａｉｎＲｅｕｌＴｈｕｆｃｅｔｃｎｉｏｆｔｅｇｏ — ｕｌｔｔｈｏｙａｄｓａｉｉｈｅｒｆｏｄｎｒｄｆｒｎｉｌｅｕｔｏ．ｓｔｖｔｙｆｓｅｓｆｉｎｏｄｔｎｏｈｌｂｉｉ

捕食者具有反馈控制的Leslie-Gower捕食-食饵模型的稳定性研究

ｔｅｒｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｌｅｓｌｉｅ — Ｃｏｗｅｒｐｒｅｄａｔｏｒ — ｐｒｅｙｍｏｄｅｌ；ｆｅｅｄｂａｃｋｃｏｎｔｒｏｌ；Ｌｙａｐｕｎｏｖｆｕｎｃｔｉｏｎ
第３４卷第５期２０１３年９月
闽江学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＭＩＮＪＩＡＮＧＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
Ｖｏ１．３４Ｎｏ．５Ｓｅｐ．２０１３
捕食者具有反馈控制的Ｌｅｓｌｉｅ — Ｇｏｗｅｒ捕食食饵模型的稳定性研究
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｇｌｏｂａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆａＬｅｓｌｉｅ — Ｇｏｗｅｒｐｒｅｄａｔｏｒ — ｐｒｅｙｍｏｄｅｌｗｉｔｈｆｅｅｄ — ｂａｃｋｃｏｎｔｒｏ１．ＴｈｅｇｌｏｂａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｂｙｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇＬｙａｐｕｎｏｖｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅ — ｓｕｉｔｉｎｄｉｃａｔｅｓｔｈａｔｆｅｅｄｂａｃｋｃｏｎｔｒｏｌｖａｉａｒｂｌｅｏｎｌｙｃｈａｎｇｅｓｔｈｅｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｎｔｅｉｏｒｒｅｑｕｉｌｉｂｉｕｍ— ｒ・ｔｈｅｐｒｅｄａ・－ｔｏｒ ’ ｓｄｅｎｓｉｔｙｄｅｃｒｅａｓｅｓｗｈｉｌｅｔｈｅｐｒｅｙ’ ｓｉｎｃｒｅａｓｅｓａｎｄｈａｓｎｏｉｎｌｕｆｅｎｃｅｏｎｔｈｅｓｔｂｉａｌｉｔｙｐｒｏｐｅ￣ｙｏｆｔｈｅｓｙｓ－

一类多时滞有捕获的Leslie-Gower型捕食系统的Hopf分支

ｚ＝（，）Ｙ，
艿ａ（。一ｑＥ）
一
引理１１）若Ｈ１Ｈ，４成立，于Ｊ０方，２Ｈ对ｒ≥ ，程（）所有的根都有负实部．３２）若ＨｌＨ，３成立，＝７（，２Ｈ－ｊ＝０１２ … ）￣，，，，
ｎ６＋ｂ ’
收稿日期：００—０２１２—０５
作者简介：王
玲（９４）女，南驻马店人，教，士，１７一，河助硕主要从事生物数学方面的研究
第３卷第２期１
王
玲，：一类多时滞有捕获的ＬｓｅＧｗｒ捕食系统的Ｈｏｆ支等ｅｌ — ｏｅ型ｉｐ分
一ｑ＋ｒＲ：ｒａＥ，（２。一ｇ）Ｅ，．，
１正平衡点的稳定性及Ｈｏｆ支的ｐ分存在性
假设条件（。＞ｑａＥ）成立，时系统有唯一的这
正平衡点：
．
Ｈ：＋２ —Ｐ＜０且Ｒ４ＳＲ一Ｑ。＞０或（＋２ —Ｐ）一４ＲＳＲ（一Ｑ）＜０
文章编号：０２—５３２１０１０６４（００）２—００１４—０３
）
一
（
￡类多时滞有源自获的ＬｓｅＧｏｒ型ｅｌ・ｗｅｉ捕食系统的Ｈｏｆ支ｐ分
王玲赵中建，，张广。
（．１中北大学数学系，山西太原００５；．３０１２华北水利水电学院，南郑州４０１；河５０ｌ３天津商业大学理学院，津３０３）．天０１４

一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支

一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：捕食者-食饵模型可用于研究生态系统中的捕食行为和食物链稳定性。

在现实生态系统中，许多因素会对捕食者与食饵之间的相互作用产生影响，其中一个重要因素就是时滞。

本文通过引入时滞因素，研究了一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支。

通过数学模型的建立与分析，我们得到了该系统的平衡点存在以及Hopf分支发生的条件，并利用MATLAB软件进行了数值模拟。

结果表明，时滞对系统的稳定性和动态性质具有重要影响，适当的时滞引入可以使系统产生周期性振荡。

1. 引言生态系统中的捕食者-食饵关系是一个重要而复杂的生态现象，其研究可以揭示自然规律并帮助我们更好地了解生态系统的运行机制。

捕食者-食饵模型在生态学中被广泛应用，其中Lotka-Volterra模型是最经典的一种。

2. 模型的建立我们考虑一个具有时滞的捕食者-食饵模型，其中食饵种群用x表示，捕食者种群用y表示。

模型可以表示为以下方程组：dx/dt = ax(1 - bx) - cxy(t - τ)dy/dt = -fy + hxy(t - σ)其中a, b, c, f, h是正常数，τ和σ是时滞参数。

3. 平衡点的存在性首先，我们研究该模型的平衡点的存在性。

设平衡点为(x0, y0)，即dx/dt = 0，dy/dt = 0。

通过求解方程组，我们可以得到平衡点的表达式。

4. 稳定性分析接下来，我们研究平衡点的稳定性。

通过线性稳定性分析，我们可以判断平衡点的稳定性。

当α = β = 0时，模型简化为传统Lotka-Volterra模型，它的平衡点为(0, 0)和(1/b, 0)。

根据稳定性分析，我们得到当r < 1时，平衡点(0, 0)是稳定的；当r > 1时，平衡点(1/b, 0)是稳定的。

其中r = ah/(bf)。

5. Hopf分支的发生条件在本文的模型中，我们引入了时滞参数τ和σ。

一类时滞两食饵-捕食者系统的Hopf分支

中图分类号：１１Ｑ４文献标识码：Ａ
ＨｏｆＢｉｕｃｔｏｆａＴｗｏｐｅｅｐｅａｏｐｆｒａｉｎｏ－ｒｙＯｎ－ｒｄｔｒＳｓｅｔｍｅＤｅａｓｙｔｍｗｉｈＴｉｌｙ
ｉｌｉｌｉｎｒａｉｕｔｉｕｔｔｔｅｌＣｌｓｍｔｔａｙｓｂｅｆＡ）ａｄＨｐｉｒａｏｅｏｉｓ．ｃｍｕａｏｓａｅｃｒｅｏｔｏｌｓａｅｈａａｙｐｏｉｌｔｌＳｎｏｆｆｃｔｎｐｒｄｃＯａｓｔｄｌｒＯｃｌａＬｂｕｉｉ
ｐｐｌｔｎａｅｃｅｉｅｎｅｕｈｃｎｉｏｓｏｕａｉｓｃｎｂｏｘｓｄｕｄｒｓｃｏｄｔｎ．ｏｔｉＫｅｏｄ：ｗ — ｒｙｏｅｐｅａｏｙｔｍ；ｄｌｙｙＷｒｓｔｏｐｅｎ — ｒｄｔｒｓｓｅｅａ；Ｈｏｆｉｒａｉｎｐｆｃｔｂｕｏ
Ｍａ．００ｒ２８
文章编号：０６— ４６２０）１０９—０１００５（０８０ —０１５
一
类时滞两食饵一捕食者系统的Ｈｐ分支ｏｆ
李顺异，熊佐亮，欣王
（昌大学数学系，江西南昌３０３）南３０１
摘要：究了一类具有时滞的两食饵一捕食者模型，论了正平衡点的性质，明了当时滞研讨证ｒ适当小时，平正
ａｄｔｅｃｎｉｏｓｏｅｐｓｔｅｅｕｌｒｍｃｕｒｎｐｉｒａｉｎｗｔｅａｎｏｄｔｎｆｈｏｉｖｑｉｂｕｏｃｒｉｇＨｏｆｆｃｔｉｄｌｙ丁ａａａｔｒｉｇｖｎｈｉｔｉｉｉｂｕｏｈｓｐｒｍｅｅｉｅ．Ｎｍｅ．ｓｕｒ

一类具有时滞的捕食者食饵模型的稳定性和Hopf分支

一类具有时滞的捕食者食饵模型的稳定性和Hopf分支作者：张婧张睿周震来源：《经济数学》2019年第02期摘要针对种群的发展趋势不仅依赖于当前的状态，而且还依赖于过去某一时间段的状态.研究了一类带时滞的捕食者-食饵模型. 首先应用线性化方法分析该模型正平衡点的局部渐近稳定性，然后以时滞为分支参数讨论Hopf分支的存在性，最后对模型进行数值模拟证实了以上相关结果.关键词常微分方程; 稳定性; 线性化; 时滞中图分类号 O175;;;;;;;;;; 文献标识码 AStability and Hopf Bifurcationfor a PredatorPrey Model with Time DelayZHANG Jing， ZHANG Rui， ZHOU Zhen（Department of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou， Gansu 730070， China）Abstract The development trend of a population depends not only on the current， but also on the state in a certain period of time in the past， a predatorprey model with time delay is investigated. First， the local asymptotic stability of the positive equilibrium is demonstrated by using linearization. Then， the existence of Hopf bifurcation is considered by choosing the time delay as the parameter. Finally， some numerical simulations are carried out to illustrate above results.Key words ordinary differential equation; stability; linearization; time delay1 引言自然界中，捕食与被捕食是种群之间相互作用的关系之中最为普遍的一种，食饵-捕食者系统的模型构建以及动力学行为研究已经取得了很大进展.随着研究的不断深入和拓展，学者们发现了时滞现象，也就是种群的发展趋势不仅依赖于当前的状态，而且还依赖于过去或未来某一时间段的状态.在分析这类系统时，就要选用具有时滞的微分方程才能更准确地描述出种群的现实状态.在时滞微分方程理论中， Hopf分支是一种常见的分支现象.该现象是指当参数变化时，系统在某个平衡解附近发生非平凡周期解从无到有或者从有到无的现象.发生改变的相应参数的临界值被称为分支值. Faria（2001）[1]对捕食者-食饵模型中的生物学参数作了详细解释. Celik （2008）[2]研究了一类捕食者种群具有时滞的比例依赖型的捕食者食饵模型.Celik（2009）[3]研究了一类食饵种群具有时滞的比例依赖型捕食者-食饵模型.这两篇文章都以时滞τ为参数，分析了模型唯一正平衡点的局部渐近穩定性与Hopf分支的存在性. Yuan和Song（2009）[4]研究了具有时滞的LeslieGower捕食者-食饵模型，分析了其正平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性. Ma（2012）[5]研究了一类捕食者与食饵种群都具有时滞的捕食者-食饵模型，分析了其平衡点处Hopf分支的存在性及分支周期解的稳定性. Chen和Zhang（2013）[6]研究了一类食饵种群具有时滞和庇护所效应的捕食者-食饵模型，考虑了食饵种群妊娠期的时间滞后影响，分析了其平衡点稳定性和Hopf分支的存在性.对于捕食者种群个体来说，捕食者并不是一出生就具有抓捕能力，它们需要时间由幼年成长为成年，时间对抓捕能力的影响不容忽视.需要考虑捕食者成熟期的时间滞后影响，因此在上述模型中对捕食者种群引入时滞，首先建立了一类新的捕食者种群具有时滞和庇护所效应的捕食者-食饵模型，然后运用线性化的方法分析模型正平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性，接着举出模拟数值算例，最后得出时滞对模型正平衡点稳定性的影响作用.2 具有时滞的捕食者-食饵模型在一类捕食者-食饵模型中对捕食者引入时滞τ建立模型（1）.dx（t）dt=x（t）r-ay（t），dy（t）dt=y（t）[-d+bx（t）-cy（t-τ）]+m[x（t）-py（t）]，（1）其中， x（t）与y（t）分别代表食饵种群与捕食者种群在t时刻的密度， r为食饵种群的内禀增长率， ay（t）表示捕食者存在被狩猎的情况， m是捕食者的迁移率， p是捕食者单位时间对猎物的消耗速率， c是捕食者的自限性常数， d是捕食者的死亡率.为了减少参数数量，令u（t）=cxtτpr， v（t）=cytτr，得du（t）dt=u（t）1-acv（t），dv（t）dt=v（t）[-dr+bpcu（t）-v（t-rτ）]+pmr[u（t）-v（t）]. （2）用a，d，b，τ，m分别代替ac，dr，bpc，rτ，得du（t）dt=u（t）-au（t）v（t），dv（t）dt=v（t）[-d+bu（t）-v（t-τ）]+m[u（t）-v（t）]. （3）定理1对于模型（3），若（H1） -d-1a<m成立，系统存在唯一正平衡点E11+a（m+d）a（b+ma），1a.3 局部稳定性与Hopf分支的存在性以下讨论唯一正平衡点E1的局部渐近稳定性与在平衡点E1处Hopf分支的存在性.令x（t）=u（t）-u*，y（t）=v（t）-v*，得线性化系统dx（t）dt=（1-av*）x（t）-au*y（t），dy（t）dt=（bv*+m）x（t）-（d+m-bu*+v*）y（t）-v*y（t-τ）.（4）其对应的特征方程为0=λ1+a（m+d）b+ma-ba-mλ+mda+m2a+mb+ma+1ae-λτ=λ2+（mda+m2a+mb+ma+1ae-λτ）λ+1+a（m+d）a即λ2+Pλ+Qλe-λτ+R=0，（5）其中P=mda+m2a+mb+ma，Q=1a，R=1+a（m+d）a.令λ=iω（ω>0）为方程的一个根，把iω（ω>0）代入方程，得到（iω）2+Piω+Q（iω）（cos ωτ-isin ωτ）+R=0，分离上述方程的实部与虚部，得-ω2+ωQsin ωτ+R=0，ωP+ωQcos ωτ=0，（6）把上述方程的两端平方相加，得到关于ω的代数方程ω4+（P2-2R-Q2）ω2+R2=0. （7）当P2-2R-Q2>0时，方程无正根，故不存在纯虚根;当P2-2R-Q2<0且P2-2R-Q22>4R2时，方程存在两个正根ω+和ω-，ω+=2R+Q2-P2+（P2-2R-Q2）2-4R22，ω-=2R+Q2-P2-（P2-2R-Q2）2-4R22.由式（6）得τ±k=1ω±arc cosPQ+2kπω±（k=0，1，2，…）.对方程（5）求关于τ的导数dλdτ=Qλ2e-λτ2λ+P+Qe-λτ-τQλe-λτ，dλdτ-1=2λ+PQλ2e-λτ+1λ2-τλ，dλdτ-1=-2ωsin ωτ+Pcos ωτ-Qω2-1ω2=2ω2-2R+P2-Q2Q2ω2=ΔQ2ω2，从而得到横截性条件signdλdττ=τ+k，ω=ω+>0，signdλdττ=τ-k，ω=ω-<0.定理2对于模型（3），假设（H1）成立.（ⅰ）当P2-2R-Q2<0时，即（H2）mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a-1a2<0成立，則对于所有τ>0，模型（3）的正平衡点E1都是局部渐近稳定的;（ⅱ）当P2-2R-Q2>0且P2-2R-Q22>4R2时，即（H3）;; mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a-1a2>0，mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a-1a22>4+4am+da2成立，此时存在一个正整数N，当τ∈[0，τ+0）∪（∪N-1n=0（τ-n，τ+n+1）时，模型（3）的正平衡点E1局部渐近稳定，当τ∈（∪N-1n=0（τ+n，τ-n））∪（τ+N，+SymboleB@）时，模型（3）的正平衡点E1不稳定.当τ∈（∪N-1n=0（τ+n，τ-n））∪（τ+N，+∞）时，模型（3）在平衡点E1处发生Time New Roma分支.4 模拟数值算例例1 令模型（3）中a=10，b=0.1，m=1，d=2，则模型（3）存在唯一平衡点E1=（31101，110），这些系数满足（H1）与（H2），则当时滞τ>0时正平衡点E1渐近稳定，如图1所示.例2 令模型（3）中a=4，b=2，m=1，d=-1，则模型（3）存在唯一平衡点E1=（124，14），这些系数满足（H1）与（H3），根据上节可计算得ω-=0.18，τ-0=4.666. 图2表明当τ<τ-0 时，平衡点E1=（124，14）渐近稳定; 图3表明当τ穿过τ-0时一个稳定的周期解从平衡点E1=（124，14）分支出来; 图4表明当τ>τ-0时，一个不稳定的周期解从平衡点E1=（124，14）分支出来.5 結论研究了一类捕食者种群具有时滞和庇护所效应的捕食者-食饵模型，考虑了捕食者种群个体的成熟期对捕食者-食饵模型的种群密度带来的时间滞后影响.当模型（3）存在唯一正平衡点即（H1）成立时，若模型（3）中的系数满足条件（H2），时滞不会影响模型正平衡点的稳定性。

具时滞和食饵收获的捕食—食饵系统的分支动力学研究

具时滞和食饵收获的捕食—食饵系统的分支动力学研究捕食-食饵模型是经典的生物模型之一,因其立足于生物的实际背景来建立模型,通过对数学模型的理论分析能在较大程度上帮助人们预测或理解实际生物系统的动力学行为,因此对捕食-食饵模型的数学研究就具有更一般的现实意义。

本文主要是对具有时滞和Michaelis-Menten型食饵收获项的捕食-食饵系统进行了动力学分析。

从分支的角度来研究当时滞和收获率发生变化时,捕食-食饵系统发生的动力学现象,例如:平衡点、周期轨和拟周期轨的存在性和稳定性,同宿轨和异宿轨的存在性和吸引性;并进一步研究这些现象对具有人为收获的捕食-食饵系统的长期行为的影响。

研究工作的主要理论基础是泛函和偏泛函微分方程的稳定性理论、中心流形定理、规范型理论、Hopf分支和高余维分支理论。

本文的主要工作归纳如下:1.研究一类具有转化时滞和Michaelis-Menten型食饵收获项的修正的Leslie-Gower捕食-食饵系统。

当转化时滞和收获率发生变化时,此类系统在共存平衡点处会经历saddle-node分支、Hopf分支和saddle-node-Hopf分支。

本文给出并证明用原始参数表达的saddle-node-Hopf分支的三阶截断规范型,分析saddle-node-Hopf分支的完整分支集和相图,此时系统在共存平衡点附近会出现吸引的拟周期轨和吸引的异宿轨。

2.对修正的Leslie-Gower捕食-食饵系统,研究成熟期时滞和Michaelis-Menten型食饵收获项对系统动力学行为的影响。

通过对平衡点的稳定性分析,得出系统发生fold分支和Bogdanov-Takens分支的临界条件,并从Bogdanov-Takens分支的视角,利用二阶开折方程研究系统在共存平衡点附近出现的周期轨的稳定性,以及同宿轨的吸引性。

3.研究一类具有Holling II型功能反应函数的浮游捕食-食饵系统。

考虑毒素释放的延迟性和对食饵进行Michaelis-Menten型收获,这类浮游捕食-食饵系统在共存平衡点处会发生稳定性切换,并经历Hopf分支、fold分支、fold-Hopf分支以及double Hopf分支。

具有时滞的捕食-食饵系统的Hopf分支分析

具有时滞的捕食-食饵系统的Hopf分支分析第28卷第8期2010年8月嘉应学院(自然科学)JOURNALOFJIAYINGUNIVERSITY(NaturalScience)V o1.28N0.8Aug.201b具有时滞的捕食一食饵系统的Hopf分支分析陈映辉,张海军(1.嘉应学院数学学院,广东梅州514015;2.嘉应学院文学院,广东梅州514015)摘要:研究一类具有时滞的阶段结构捕食一食饵系统.首先讨论正平衡点的稳定性及局部Hopf分支出现的条件;然后通过分析系统关于正平衡点的线性变分方程的特征根来研究系统在正平衡点的稳定性,应用泛函微分方程的局部Hopf分支理论给出了该模型出现周期解的条件;根据全局Hopf分支存在定理,建立了捕食一食饵系统全局Hopf分支存在性;最后通过数值模拟进行验证.关键词:捕食一食饵系统;Hopf分支;周期解;全局存在性中图分类号:O175.7文献标识码:A文章编号:1006—642X(2010)08—0020一o6 0引言在自然界中,捕食者只能捕食幼小的未成年猎物这种现象是很普遍的.例如东方蝾螈就只能捕食幼年时期的中国林蛙一蝌蚪状的林蛙.由此可见种群在幼年与成年时期,在捕食能力,生存能力等各方面,都具有很大的差异性.考虑而不是忽略种群在幼年与成年时期的阶段差异性具有实际的意义.假设捕食者只能捕食幼年食饵,徐瑞和马知恩在文[1]中提出了如下阶段结构的捕食者——食饵系统::(t)=02(￡)一卢l21(t)一bx1(t)一0l(t)一ct11(￡)Y(￡),(t)=似(t)-fl2x(t),(1)Y'(t)=ct2l(t—r)y(t一.r)一ry(t)一y(t),其中(t),(t)分别表示食饵幼年种群和成年种群在时刻t的密度,),(t)表示捕食者在时刻t的密度;时滞I>0是源于捕食者的妊娠期.a表示食饵种群的出生率;b是未成年食饵的死亡率;ct是收稿日期:2010—05—16作者简介:陈映辉(1980一),女,广东梅州人,助教,硕士,主要研究方向:微分方程定性理论及应用.张海军(1978一),男,江西宁都人,助教,硕士,主要研究方向:计算机工程.未成年食饵成长为成年食饵的转化率;是未成年食饵的种群竞争率;是成年食饵的死亡率.捕食者种群的数量增长服从I_~tka—V olterra规律,其中r 是捕食者的死亡率;是捕食者的种群竞争率;a,是r,.捕食者的食物捕获率;是捕食者把食物转化为生Ⅱl育能力的转化率.所有系数都是常数.本文将从分支角度研究系统(1).1平衡解的稳定性和局部Hopf分支的存在性若系统(1)满足(日1)a2[act一卢2(b+)]>卢1r,则系统(1)有两个边界平衡点为E=(0,0,0),=(10,加,0),其中act一2(b+)[act一2(b+a)],2;20=JB:及一个正平衡点为E.=(.,,Y.),其中/3[act—is2(b+)]+a,132r一卢2(a1Ⅱ2+1)'0[act一(b+)]+口lroll一(aI口2+届81)'a2[act一(b+ct)]一卢12r一(a1口2+1).系统(1)在正平衡点E.处的特征方程为第28卷第8期陈映辉,张海军具有时滞的捕食一食饵系统的Hopf分支分析21 A+g2A2+g1A+go+(^2A2+^lA+^0)e一^=0,(2)其中系数为go=卢1似1.(Ⅱ21.+.),g1=(r+2/3y+)(2卢11木+b++O:1Y.+2)+11.,g2=2l1.+6++a1Y.+卢2+r+2/3y.,h0=一口21+(211.+6+)+Ⅱ口201.,h】=一021.(Zll.+b+Ot+),h2=一口21.易见g0+h0>O,gl+hlu>0,g2+h2>0,g;一h一2gl>0,g+2h0h2一h一2gog2>o,所以A=0不是方程(2)的根.注意到/o)(∞>0)为方程(2)的根,当且仅当g0一g2∞2+(0一2)COS∞r+hi~osingo'/"+i[g1一一(o—h2)sin7-+hl(.OeOS,丁]=0分离实部和虚部,则有g2一g0=(ho—h2o))COS+hirosin(c'.『,一gl=(h2一h0)sinr+hlgOCO$.两式分别左右平方相加,得∞+(g;一h一2g1)∞+(g;+2h0h2一h一2gog2)+一h=0,令=,上式变为+(g22一h一2g1)2+(g+2h0h2一h一2g0g2)z+ g—h=0.(3)记g(z)=z+(g一h;一2g1)+(g+20^2一研一2g.)z2一,由于警=3+2(g一一2g1)+(g+2hoh2一h一2g0g2)>o,Vz>~0. 故方程(3)有唯一正实根,当且仅当一h<0成立,即go—h.<0成立,而这等价于(『2)Ⅱ:[口一(6+凸)]>.(3r+,,.).定义.=1r,1—7+(7+7-hlg1)一,,L.一(————～)+2]=0,1,2,…由此得到如下结论引理1当且仅当()成立,方程(2)在=(|l}=0,1,…)时有一对纯虚根为-1-..当=0时,方程(2)为A+(g2+^2)A+(g1+h1)A+go+ho=0此方程的所有根都有负实部,当且仅当g0+h0>0,g2+h2>0,(g2+2)(gl+^1)一(g0+^0)>0成立,而这等价于()(g2+h2)(g1+h1)>(go+0)成立.记A(r)=(下)+(丁)为(2)满足OL(.r)=0,()=.的根.易证引理2设()成立,则I丁:7->o.引理3设()成立.(i)若()不成立,则对下≥O,方程(2)的所有根都有负实部.(ii)若()成立,则当.r=.r(=0,1,…)时,方程(2)有一对纯虚根土..当.r∈[0,)时,方程(2)的所有根都有负实部;当=.时,方程(2)的根除±ko.外都有负实部;当.r∈(I,r)(J}=0,1,…)时,方程(2)有2(+1)个正实部的根.由引理3所述性质可推出系统(1)在正平衡点E.的性质.定理1设系统(1)满足()和().(i)若()不成立,则对所有的.『≥0,E.均为渐进稳定的.(ii)若()成立,则当r∈[0,r.)时,E.是渐进稳定的;当r>丁.时,是不稳定的.(iii)若()成立,则当=r(后=0,1,…)时,系统(1)在E.处出现Hopf分支.证明:系统(1)渐进稳定的充分必要条件,是其系数矩阵的所有特征值的实部<0(文[5]),于是(i)(ii)成立.由文[2]中的局部Hopf分支定理可知(iii)成立.注1本文完善了文[1]的结论,并且给出了具体的.,等值.2局部Hopf分支的全局延拓当满足一定条件时,系统(1)在Jr=.r(.j}=0,1,嘉应学院(自然科学)2010年8月…)时,从正平衡点E.分支出小振幅周期解.然而,从局部Hopf分支定理,只能知道这些周期解在分支值的小邻域内存在,那么大范围内系统(1)的周期解是否存在?这一节我们讨论系统(1)的全局周期解的存在性.(为简化符号,不妨把系统(I)写成".(t)=F(",,p),(4)其中(t)=(t1(t),(t),3(t))=(1(t),(),,,())r.我们假设(),(),()始终成立.这样系统(4)就有两个边界平衡点E.=(0,0,0),E:=(o,∞,0)和一个正平衡点E.(1.,:.,y.).定义X=C([一.r,0],R),N={,,p;F(u,,P)=0},∑={M,.r,pEXxRxR;"是(3.1)的P一周期解}令Z(E.,r,)(.j}=0,1,…)表示在∑中通过点030 (E,-c,r,)的连通分支,由定理(1)可知Ⅲ0Z(E.,I,纽)非空.t-O0以下我们叙述本节中的两个关键引理.引理4令DcR"是单连通区域.假设线形系统=r(z)=D是等度一致渐进稳定的,则(0)D中不含不变简单闭曲线,包括周期轨,同宿轨,异宿轨;(6)D中任意半轨皆趋于单个平衡解.特别地,若D是正不变集且仅含唯一平衡解.,则.是全局渐进稳定的.引理5设(M.,T0,P.)是满足文[7]中条件(～)的孤立中心,z(.,,Po)为(.,7_0,Po)在∑中的连通分支,则(1)z(,"gO,P.)为无界的;或者(2)Z(o,.r0,P.)有界,且Z(uo,.,P.)nⅣ(F)是有限的;对所有m=1,2,…,有)El(,肋)nN(,)(,p)=o(".r.p)El(I.o,r0,po),)…这里,当m∈J(x,r,p)时,(,,p)为(,,P)的m次横截数,否则为0.引理6系统(4)的所有周期解一致有界.证明:设(t)为(4)的任一非平凡周期解,定义u(￡)=rain{"i(t)},Ml(')=max{Ⅱ'(t)},i=1,2,3,则易证Ui(f)-0或(t)≠0(i=1,2,3).由(4)的第二式可知:()(),:(叼z)Ⅱ?(),这就意味着u(t)与Ⅱ(t)有相同的符号.所以我们考虑以下几种情况.(1)当(t)<0,,()>0时,由第三式可得('73)=口2ul(叼3一.r)u3(田3一r)一九正3('73)一;(77,<0),这与3('7,)=0相矛盾.(2)当H(t)>O,u3(t)>0时,由第一式可得口2(771)>l('71)+bul(rl1)+l(rl1),即ut(t)>(.,7:)(z)>('7)>1(.,71)+bu1(771)+口Ⅱ1(-q1).所以我们有1)<,由此可知:)<.而由第三式可得兀3(叩3)+M(rl3)=a2l('73一r)u3('73一)<口2l(叼1)3(.,73),因此,)<堂.(3)1(t)<O,(')<0,或M1(t)>O,M3(t)<0,(4)l(t)----0,M2(￡)-0,M3(t)≠O,或Ⅱ3(t)=0,ul(t)≠O,Ⅱ2(t)≠O.利用同样的方法可以得到相似的结论.因此,若("l(t),(),",(t))为(4)的非平J:l周期解,则有一㈤≤max{堕,第28卷第8期陈映辉,张海军具有时滞的捕食一食饵系统的Hopf分支分析蒹);l卢2J一㈩≤max{,)Jrai..nI专一㈤≤一'一—堕.证毕.1卢2…我们做如下假设引:()存在N>0,M>0,使得{2p+alIusluIluI+-(b+),{2p+a?+一(b+邯:),(a2+2IS1)lu】I+(a2+213)IusI+aN一(b+r+),Ma2Iu3I++a2IulI+2pIu3I一(p2+r)}<0,其中U=(11l,u2,u3).引理7当(H4)成立时,系统(4)没有下～周期解. 证明:当T=0时.(4)是f(ul,U2,u3)=au2(t)一tS,u(t)一(b+et)u1(t)一alu1(t)u3(t)alll(t)一u2(t)a2ul(t)u3(t)一ru3(t)一隧(t)其二次复合系统为z:(t)=[一2Blul(t)一alu3(t)一(b++B2)]Zl+alu1(t)Z3,Z(t)=[a:一2B.]u1(t)一(a1+2p)U3(t)一(b++r)z2+az3,z(t)=一a2u3(t)Z1+OtZ2+[a2ul(t)一2u3(t)一(B:+r)]z..(6)直接计算得d—tIzt(t)I≤[2plIll+口lIM3I一(6++p2)]I+I,d"NI(￡)I≤[(口:+2fl,)+(口,+)lusl一(6++r)]ⅣI+,扣㈤I≤:+Iz21+[a2l11,lI+2卢I3I一(+r)]Mlzsl,等表示右向导数.若设()=maD【{IZtI,NIZ2I, IsI},则有苦()≤(t)(:(￡)),其中)=一IU1l.lusl+一(6++),(口:+)+(口.+)Iusl+aN一(6+r+),Ma2IM3I+IM.l+2illU3I一(/32+r)}.由(矾)及(5)的解的有界性可得,存在>0,使g(t)≤一艿<0,且满足w(g(t))≤w(g(s))e',t≥s>0.所以系统(6)是等度一致渐进稳定的.由引理4可知,r=0时系统(4)没有非常数周期解.证毕.定理2假设(),(),(),()成立,则对任一.r>(k=0,1,…),系统(4)(即系统(1))至少有k个非常数周期解.证明:我们只需证明z(E.,.r,在.r一空间O-10/的投影是无界的.考虑(.r,P)为参数.系统(4)在边界平衡点(E,下,P),(,,P)的特征方程分别为det(△E..,p(A))=(A+r)[A+(b+a+卢2)A+(b+)一ao1]=0,det(△层l.,p(A))=(A+r一口210e一^)[A2+(d+卢2)A+/32d一诹]=0,其中d=.+b+.显然这两个方程没有纯虚根.因此系统(4)没有形如(E,.r,p)(i=1,2)的中心.另一方面,由引理(1)(2)的证明易见,存在>0,>0和光滑曲线A(r):(一,+6)一C,使得对任意∈[一,7-+6],有det(A(A())=0,lA()一0l<占,且A(.rI)=,导ReA(.r)Ir=rI>o.于是对>0,系统(4)除了孤立中心(E.,.r,嘉应学院(自然科学)2010年8月塑)(.j}=0,1,…)外无其它中心.令,p).o<t,<P一'<}则易见在[.rI一,.r'+81×Q,中,det(△(￡(.,7+))=0的充分必要条件是71=0,=Tk,P=.所以引理中的条件(A,～)成立.进一步f-On地,如果我们假设日(E.,Tk,)(.,7)=det(△以)(71+iP))‰''.～则有横截数T(E.,,)=deO)0g(日一((E.,,O)o),Q磕)一.|0deg,).)一l所以每一个孤立中心的横截数都是一1,由引理5 可知,其在∑中通过点(.,,)的连通分支l(E.,,纽)是无界的.现在我们证明t(E.,.r,)在.r一空间上的投影是[,∞),0<<.r.引理6意味着Z(E.,,)在Ⅱ一空问上的投影是有界的.而引理7意味着r=0时系统(4)没有非常数周期解,l(E.,r,)在.r一空间的投影有下界.由的定义显示<7-I,k=1,2,….因此当r>时,存在整数m,使得工m<<r.由于系统(4)没有一周期解,于是对任一整数n,(4)没有三一周期解.这就是说￡(E+,.r,)中周期,'",n解的周期T满足工<T<To要使Z(E.,,)无m界,(.,Tk,)在一空问上的投影必须是无界COn的,即为区间[,∞),0<.r<丁.这就说明对每一个丁>7"0,系统(4)至少有k个周期解.证毕.3数值模拟考虑系统:(t)=2x2(t)-0.5x(t)一0.5xl(t)-4x1()一0.5x1(￡)),(￡),(t)=4x(f)一2(f),(7)Y.(f)=l(t—)),(t一7-)一),(￡)-0.1y(￡),其正平衡点为E.:(1.5455,6.1818,12.8182),0=0.1510,.r=9.7650+4l.5894}k(=0,1,……).现在我们用数值模拟的方式来证明全局Hopf分支定理.通过计算并结合图形1可得,当下=21时,分支是超临界的,分支周期解是轨道渐进稳定的,即此生态系统在一定条件下可以达到动态的生态平衡.(2)2一t第28卷第8期陈映辉,张海军具有时滞的捕食一食饵系统的Hopf分支分析(3)Y—tx100【4)相图图1,a=2,=0.5,a=0.5,=4,a1=0.5,2=I,a2=1,r=1,卢=0.1,.『=21时系统1的图象.参考文献:[1]XUR,MAZ.Theeffectofstage—structureontheperma- neneeofapredator—preysystemwithtimedelay[J]. AppliedMathematicsandComputation,2007(189): 1164—1177.[2]HASSARDBD,KAZARINOFFND,W ANYH.Theory andApplicationofHo?pfBifurcation[M].Cambridge: CambridgeUniversityPress,1981.[3]uMY,MULDOWNEYJ.OnBendixson~Criterion[J]. DifferentialEquation,1994(106):27—39.[4]WEIJJ,LIMY.Globalexistenceofperiodicsolutionsin atri—neuronnetworkmodelwithdelays[J].PhysicaD, 2004(198):106—119.[5]HALEJ.TheoryofFunctionalDifferentialEquations [M].Heidelberg:Springer—V erlag,1971.[6]WEIJJ,uMY.Hopfbifurcationanalysisinadelayed Nicholsonblowfliesequation[J].NonlinearAnalysis, 2005(60):1351—1367.[7]wUJH.Symmetricfunctionaldifferentialequationsand neuralnetworkswithmemory[J].Trans.Amer.Math. Soc,1998(350):799-4838.[8]RUANSG,WEIJJ.Onthezerosoftranscendental functionswithapplicationstostabilityofdelaydifferenti—alequationswithtwodelays[J].MathematicalAnalysis, 2003(1O):863—874.责任编辑:陈先军HopfBifurcationAnalysisinaDelayedPredator..preySystemCHENYing—hui,ZHANGHai—jun(1.SchoolofMathematics,JiayingUniversity,Meizhou514015,China;2.SchoolofArts,flayingUniversity,Meizhou514015,China)Abstract:Apredator—-preysystemwithstage——structureforthepreyandtimedelayduetothegestationofthe predatorisconsidered.Itisfoundthatthebifurcationoccurswhenthedelayvariesandpassesa sequenceofcriticalvalues.GlobalexistenceofperiodicsolutionsisestablishedusingaglobalHopfbifurcationth eoremforFDEandaBendixsoncriterionforhighdimensionalODE.Keywords:predator—preysystem;Hopfbifurcation;periodicsolution;globalexistence 98765',2,O,.,:,∞。

三种群食物链模型的全局Hopf分支的存在性分析

三种群食物链模型的全局Hopf 分支的存在性分析郭爽1,付楷涵2(1.大庆师范学院数学科学学院,黑龙江大庆163712;2.中国石油大学(北京)理学院,北京102249)摘　要:本文主要研究三种群食物链模型的稳定性及局部Hopf 分支,并利用吴建宏等人建立的一般泛函微分方程的全局Hopf 分支理论,研究该模型Hopf 分支的全局存在性问题,最后给出与理论分析结果相一致的数值模拟图㊂关键词:食物链模型;时滞;全局Hopf 分支作者简介:郭爽(1972 ),女,吉林九台人,博士,教授,从事泛函微分方程理论及其应用的研究㊂基金项目:大庆师范学院国家级基金培育项目(19ZR01)㊂DOI 编码:10.13356/ki.jdnu.2095-0063.2021.03.013中图分类号:O175.12　文献标识码:A　文章编号:2095-0063(2021)03-0098-06　收稿日期2021-02-03自然界中的种群数量在多数情况下,会呈现一种周期性的变化,例如在‘Gause 型捕食模型的稳定性与分支分析“(下文简称文献1)一文中讨论了如下Gause 型食物链模型:x′=x (1-x )-axy x +b ,y′=y -l +cx (t -τ)x (t -τ)+b -éëêêùûúúrz ,z′=z -s +[]ìîíïïïïïïdy .(1)其中x (t ),y (t ),z (t )分别为t 时刻食饵㊁捕食者和顶层捕食者的种群密度,l ,s 表示死亡率;r,d 表示转换率,a,c 是功能反应常数㊂b 表示饱和常数㊂①文献1主要讨论了随着时滞的增加共存平衡点E (x *,y *,z *)的稳定性和Hopf 分支的存在性问题㊂我们更加关心的是这种局部分支情况能否拓展为全局存在,本文主要利用全局Hopf 分支定理来给予证明㊂1　局部Hopf 分支的存在性模型(1)在E (x *,y *,z *)处的特征方程为:D (λ,τ)=λ3+a 2λ2+a 1λ+a 0+b 0λe -λτ=0(2)其中m 11=1-2x *-aby *(b +x *)2,m 12=-ax *x *+b <0,m 23=-ry *<0,m 32=dx *>0,n 21=-bcy *(b +x *)2<0㊂a 2=-m 11,a 1=-m 32m 23>0,a 0=m 32m 11,b 0=-m 12n 21>0㊂89第41卷　第3期大庆师范学院学报 Vol.41　No.3　2021年05月JOURNAL OF DAQING NORMAL UNIVERSITYMay,2021　①参见郭爽㊁刘洋㊁沙元霞:‘Gause 型捕食模型的稳定性与分支分析“,‘吉林大学学报(理学版)“,2012年第5期㊂把λ=iω代入到方程(2)中,分离实虚部有-a 2ω2+a 0+b 0ωsin ωτ=0-ω3+a 1ω+b 0ωcos ωτ{=0,平方相加上述两个方程,得到:ω6+(a 22-2a 1)ω4+(a 12-2a 0a 2-b 02)ω2+a 02=0(3)令ω2=l ,A =a 22-2a 1,B =a 12-2a 0a 2-b 02,C =a 02,则方程(3)变为l 3+Al 2+Bl +C =0(4)引理1如果asd ≤b ≤1和m 11<0成立,则(1)的共存平衡点E (x *,y *,z *)是局部渐近稳定的㊂引理2在引理1的条件下,如果A 2-3B <0成立,则(1)的共存平衡点E (x *,y *,z *)对于所有的τ⩾o 是渐近稳定的㊂令τk (j )=1ωk arcsin a 2ωk 2-a 0b 0ωk +2(j -1)πωk ,k =1,2,3;j =0,1,2, 定义τ0-τk 0(j 0)=min τk (j ),ω0=ωk 0,记h (l )=l 3+Al 2+Bl +C引理3假设如下条件成立(1)C <0;(2)A 2-3B >0,l 1=-A +A 2-3B3>0,h (l 1)<0,(3)h′(ω02)≠0,则当τ=τ0时,模型(1)于E (x *,y *,z *)处经历Hopf 分支㊂2　Hopf 分支的全局分析分支现象广泛存在于自然界中㊂①②我们看到从τ0分支出的周期解,是在分支临界点非常小的邻域内存在,那么这种局部性质能否拓展为全局存在,即能否拓展为全局Hopf 分支,我们利用吴建宏等的全局Hopf 分支定理来研究模型(1)Hopf 分支的全局存在性㊂③令R +3={(x ,y ,z ):x >0,y >0,z >0},X =C ([-τ,0],R +3),Z (t )=(x (t ),y (t ),z (t ))T ,我们把模型(1)写成如下的泛函微分方程的形式:dZ (t )dt=F (z t ,τ,T )这里zt (θ)=(x (t +θ),y (t +θ),z (t +θ))=Z (t +θ),t ≥0,θ∈[-τ,0),F :X ×R +×R +➝R 3是全连续函数㊂令F ^=F |R+3×R +×R +➝R +3的映射,如果F ^(z ^0,τ0,T 0)=0,则点(z ^0,τ0,T 0)就称为模型(1)的驻解㊂因此,我们有模型(1)中F ^的满足如下条件:(A1)F ^是二次连续可微的;(A2)D z F ^(z ^0,τ0,T 0)是R +3的同构;(A3)F (φ,τ,T )关于φ是可导的;对每一个驻解(z ^0,τ0,T 0),我们有:Δ(z ^0,τ0,T 0)=λI d -D φF (z ^0,τ0,T 0)(e λI d )99三种群食物链模型的全局Hopf 分支的存在性分析①②③参见Guo Shuang,Jiang Wei-hua,Wang Hong-bin. Global Analysis in Delayed Ratio-dependent Gause-type Predator-prey Models”.Journal of Applied Analysis and Computation,vol.7,no.3(2017).参见Wang Hong-bin,Jiang Wei-hua. Hopf-pitchfork bifurcation in Van der Pol’s oscillator with nonlinear delayed feed⁃back”.Journal of Mathematical Analysis Applications ,vol.368,no.2(2010).参见WU Jian-hong. Symmetric functional differential equations and neuralnetworks with memory”.Ttansactions of the A⁃merican Mathematical Society,vol.350,no.12(1998).若驻解(z ^0,τ0,T 0)满足det(Δ((z ^0,τ0,T 0)))(λ)=0有形如im 2πT æèçöø÷0的纯虚特征根(m 为正整数),则驻解(z ^0,τ0,T 0)是中心;若中心满足:在其某邻域内不存在其它中心,或它仅有有限个形如im 2πT æèçöø÷0的纯虚根,则称其为孤立中心㊂令Σ(F )=cl {(z ,τ,T),∈X ×R +×R +},其中z 是模型(1)的T 周期解,N(F)={(z,τ,T):F(z ,τ,T)=0},C E ,τ0,2πωæèçöø÷0是E,τ0,2πωæèçöø÷0在E (F )上的连通分支,proj τE ,τ0,2πωæèçöø÷0是τ空间上的投影,±iω0是方程λ3+a 2λ2+a 1λ+a 0+b 0λe -λτ=0在τ=τ0处的纯虚根㊂引理4假设(z ^0,τ0,T 0)是一个孤立的中心,且满足文献1中定理3.2中的条件,记C (z ^0,τ0,T 0)是(z ^0,τ0,T 0)在Σ(F )中的一个连通分支,则有:(1)C (z ^0,τ0,T 0)无界;(2)C (z ^0,τ0,T 0)有界,C (z ^0,τ0,T 0)∩N (F )有限,且对所有的m =0,1,2 有E (z ^,τ,T)∈C (z ^0,τ0,T 0)∩N (F )γm (z ^,τ,T)=0,其中γm (z ^,τ,T)是(z ^0,τ0,T 0)的m 阶横截数㊂引理5模型(1)的所有非平凡周期解都是一致有界的㊂证明定义W (t )=x (t )+a c y (t )+arcd z (t ),令m =min{l -c ,s ,l},有W′(t )=x′(t )+a c y (t )+arcdz′(t )=x (1-x )-axy x +b -la c y +ayx (t -τ)x (t -τ)+b -ar c yz -ars cd z +arcyz ≤x (1-x )-la c y +ayx (t -τ)x (t -τ)+b -arscd z≤2x -x 2-a c (l -c )y -arcd (sz )-x≤2-a c (l -c )y -arcd (sz )-x≤2-mW (t )通过比较定理,有W (t )≤W (0)-2æèçöø÷m e -mt +2m,即模型(1)的所有非常数周期解是一致有界的㊂(A4)　sup{|m 21|+m 23,|m 32|+2m 12,m 21}<0㊂引理6若条件(A4)成立,则模型(1)没有非常数τ周期解㊂证明我们首先证明不含时滞的捕食模型的解是一致有界的㊂定义W (t )=x (t )+a c y (t )+arcd z (t ),令m =min{l -c ,s ,l},有:有W′(t )=x′(t )+a c y (t )+arcdz′(t )01大庆师范学院学报2021年第3期Journal of Daqing Normal University No.3,2021≤x (1-x )-la c y -ars cd z ≤1-a c ly -arcdsz -x ≤1-mW (t )通过比较定理,有W (t )≤W (0)-1æèçöø÷m e -mt +1m㊂令u (t )=(x (t ),y (t ),z (t ))T ,f (x ,y ,z )=(f 1,f 2,f 3)T 这里f 1=x (1-x )-axy x +b ,f 2=y -1+cx x +b -æèçöø÷rz ,f 3=z (-s +dy ìîíïïïïïï)㊂我们计算得二阶复合矩阵为əf[2]əu =m 12　m 23　0m 32　m 12　m 120　m 21æèçççöø÷÷÷　0令L (z )-max{|z 1|,|z 2|,|z 3|}于是d T d t L (z (t ))≤μ(t )L (z (t )),这里d Td t表示右导数,μ(t )=max{|m 21|+m 23,|m 32|+2m 12,m 21},根据条件(A4),存在ε>0,使得μ(t)≤-ε<0,有L(z(t))≤L(z (s))e -ε(t -s ),t ≥s >0,这就说明常微系统是等度一致渐近稳定的,所以引理成立㊂引理7模型(1)周期解的周期是一致有界的㊂证明由τk(j )=1ωk arcsin a 2ωk 2-a 0b 0ωk +2(j -1)πωk,k =1,2,3;j -0,1,2, ,知当j ≥2时,ω0τ0≥2π,τ0>0,因此存在一个整数m,使得τ0m <2πω0<τ0由引理6知模型(1)没有τ周期解,这就意味着在连通分C (z ^0,τ0,T 0)支上的周期解的周期T 满足τ0m<T<τ0,即模型(1)周期解的周期是一致有界的㊂定理如果条件(A1)-(A4)成立,那么对于每一个τ^>0,系统(1)至少存在一个τ周期解㊂证明由前述,系统(1)有唯一的平衡点E (x *,y *,z *),第一部分局部Hopf 分支的分析中,我们可以看到E ,τ0,2πωæèçöø÷0是一个孤立的中心㊂那么一定存在常数ε>0,δ>0及光滑曲线λ:(τ0-δ,τ0+δ)→C 使得det (Δ(λ(τ)))=0,λ(τ)-i ω0<ε,λ(τ0)=i ω0,dRe λ(τ)d ττ=τ0>0,令Ωε,2πω0={(u ,T ):0<u <ε,T -2πω0<ε,如果τ-τ0<δ及[τ0-δ,τ0+δ]×əΩε,2πω0,有det(Δ(E ,τ,T))(u +2πω0i )⇔u =0,τ=τ0,T =2πω0,至此文献①中定理8的所有假设条件都满足㊂定义101三种群食物链模型的全局Hopf 分支的存在性分析①WU Jian-hong.Symmetric functional differential equations and neuralnetworks with memory[J].Ttansactions of the American Mathematical Society,1998,350(12):4799-4838.H ±E ,τ0,2πωæèçöø÷0(u ,T)=det(Δ(E ,τ0±δ,T)(u+2πω0i ))于是横截数γm (E ,τ0,2πω0)=deg B (H -(E ,τ0,2πω0),Ωε)-deg B (H +(E ,τ0,2πω0),Ωε)-1㊂于是由引理4知,Σ(F )中穿过E ,τ0,2πωæèçöø÷0的连通分支是无界的㊂又由引理5和引理7,得连通分支在方向的投影必无界,因此Hopf 分支是全局存在的㊂3　数值模拟选择一组参数,a =0.429;b =0.6087;c =0.432;l =0.22;r =0.62;s =0.45;d =0.55,由前面的分析可以看到,当τ∈(0,5.131]时,模型(1)的平衡点最终是趋于稳定的,如图1所示㊂τ=5.131是分支临界点,当τ>5.131时,模型(1)在共存平衡点E (x *,y *,z *)处经历了Hopf 分支,并且分支周期解是轨道渐近稳定的,如图2所示㊂图1　共存平衡点最终趋于稳定的波图201大庆师范学院学报2021年第3期Journal of Daqing Normal University No.3,2021三种群食物链模型的全局Hopf分支的存在性分析图2　共存平衡点附近的周期波动现象的的波图图3　体现出明显的多周期现象的全局Hopf分支的存在的波图结语如果继续增大时滞的取值,图3分别给出了τ=7.832,τ=9.878,τ=15.776和τ=20.98时的三个种群波动的相图,数值模拟的结果展示出由Hopf分支产生的周期轨仍然大范围存在,并且呈现出多周期的变化趋势㊂当采用其他的参数值进行实验时,发现数值模拟的结果极大地受到环境的最大容纳量的影响,环境容纳量越大,导致顶层食饵的灭绝速度越快,最终导致食物链断裂,对生态平衡造成极大的影响㊂[责任编辑:金天坤]301。

Leslie型双时滞捕食系统的Hopf分支

部ｌｏｆ支的存在性，到存在一个ｒ，ｒＯ），平衡点是渐近稳定的，ｒｒｔｐ分得０当 ∈［时正当＞０时，平衡点是不稳定正的，ｒ是该系统的Ｈｏｆ支值。而０ｐ分关键词：滞；食系统；定性；ｐ分支时捕稳Ｈｏｆ
ＣＵＩＳｕｉＷＡＮＧｈｌ．Ｆｕ
（ｐｒｍｅｔｏａｈｍａｉｓＴｅｃｅｓＣｌｇ，ｈｈｚＵｎｖｒｉＳｉｅｉ３０３，ｉａＤｅａｔｎｆＭｔｅｔ。ａｈｒｏｌｅＳｉｅｉｉｅｓｔｈｈｚ８２０Ｃｈｎ）ｃｅｙ，Ａ
ＨｏｆｒａｉｎｏｓｉｐｅＰｒｄｔｒＰｒｙＳｓｅｗｉｈＴｗｏＤｅａｓｐｆＢｉｕｃｔｏｆＬｅｌｅＴｙｅａｏ－ｅｙｔｍｔｌｙ
＼ｘ（／ｄ２出一）
（Ｅ一她（／】ｔ）。ｔ１）ｔｘ（）－３］
（）１
上式中：ｒ、、正常数，（）ｚ（）别表ｒ、ｚａ是，和￡分示食饵种群，捕食者种群在时刻ｔ密度；饵种群的食
Ｚ
（Ａ＋）Ｂ＋１一Ｐ一’为ｃｘ）型。１ ‘ ～均（】类。（）、
—
、
１
ｆ∞（）ｄ￣ｏ（［］ａ】ｆ－ｃｘ）２ｆ）￡￡－ｌ￡ｒ－ｘ（］（】ｘ（ｄ／－Ｔ））一，
对系统（）当：ｆ（）时已有学１，ｌ＝０一口者研究过其解的稳定性、久性、持周期性等。众所］周知，滞的出现将对系统的动力学行为产生较大时影响，别地，时滞会使得线化系统对应的特特多

具有非线性收获的Leslie-Gower捕食者-食饵扩散模型的Hopf分支分析

具有非线性收获的Leslie-Gower捕食者-食饵扩散模型的Hopf分支分析鲁引儿; 徐菲; 张丽娜【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2019(034)001【总页数】6页(P101-106)【关键词】Leslie-Gower捕食者-食饵模型; 非线性收获; 扩散; Hopf分支【作者】鲁引儿; 徐菲; 张丽娜【作者单位】西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O175.26§1 引言最近几年,众多学者在研究捕食者-食饵模型时都考虑到了收获项,用收获项来描绘对生物资源的收获.文[1]研究了带非线性食饵收获项的Leslie-Gower捕食者-食饵模型其中,r 1,r 2,a,b,k均为常数,x,y分别表示食饵和捕食者的密度函数,r 1,r2是其各自的内禀增长率,k为环境对食饵的最大容纳量,bx可解释为依赖于食饵的捕食者的承载能力,ax是Holling-I型功能反应函数,表示捕食者吃食饵的速率.模型(1)中,是Michaelis-Menten型非线性收获项,由文[2]首次提出.这里q表示对食饵物种的收获系数,E是人类收获能力,其大小与收获时间、设备以及技术人员等因素息息相关,n,l是正常数.该收获项随着食饵数量x或者人类收获能力E的增加逐渐增加趋于一个与收获系数q相关的常数上界,因而不会造成过度捕获.非线性收获项被提出后,迅速引起了学者们的关注.随着研究的不断深入,具有非线性收获项的捕食者-食饵模型被证实是一个相当复杂的非线性系统(见文[3-7]).迄今为止,相较于常数收获和线性收获(见文[8-9]),对非线性收获的研究结果还较少.对(1)进行如下约化并仍用t表示τ,则模型(1)变为文[1]选用s为分支参数,对该模型平衡点的鞍-结分支和Hopf分支进行了详细的分析,并研究了极限环的存在性、稳定性以及最佳奇异控制.众所周知,常微分系统忽略了空间因素的影响.如果物种密度在空间区域分布不均匀,则相应的模型需要用反应扩散系统(即偏微分系统)来刻画.本文将一般扩散引进模型(2)中，讨论如下具有扩散的捕食者-食饵模型其中Ω为R N中具有光滑边界∂Ω的有界开区域,ν为边界∂Ω上的单位外法向量,∂ν=∂/∂ν.正常数d1,d2为扩散系数,齐次Neumann边界条件意味着该生态系统是自我封闭的,在边界∂Ω上物种的流量为零.u0(x),v0(x)为非负光滑且不恒为零的函数.本文主要讨论收获和扩散的引入对模型(3)动力学行为的影响.§2对系统(2)的正平衡点的稳定性进行分析,改进文献[1]中的结果.§3对系统(3)证明空间齐次和空间非齐次周期解的存在性.§4分析收获和扩散在系统产生Hopf分支周期解中的作用.§2 常微分系统正平衡点稳定性分析首先回顾并改进文献[1]中有关常微分系统的一些结果.本文仅关注h>c的情形,其他情形均可类似讨论.h>c时,当且仅当系统(2)有两个正平衡解(u1∗,u1∗),(u2∗,u2∗),其中对于系统(2),E1∗(u1∗,u1∗)是鞍点的证明可参见文献[1]中定理2(a)的证明.这里仅讨论E2∗(u2∗,u2∗)的稳定性.系统(2)在E 2∗处的Jacobi矩阵为其中b=−mu2∗.此时tr N|E 2∗=s0−s,下面分析s0的符号.经简单的计算当h→0时,s0<0.当h→h1时,由于u2∗关于h单调递减,因而存在唯一的h2∈(0,h1),使得当h∈(0,h2)时s0<0,当h∈(h2,h1)时s0>0.显然,如果h∈(0,h2)或者h∈(h2,h1)且s>s0,则Jacobi矩阵的两个特征根都具有负实部,E 2∗局部渐近稳定.如果h∈(h2,h1)且0<s<s0成立,则Jacobi矩阵的两个特征根都具有正实部,E 2∗不稳定.类似于文献[1]中定理2(c)部分的证明过程,可以证明当h∈(h2,h1)且s=s0时,系统(2)存在Hopf分支周期解.综上所述,下述结论成立.定理2.1 假设成立.则E 1∗(u1∗,u1∗)是鞍点.存在唯一的h2∈(0,h1),使得下述结论成立:(1)如果h∈(0,h2),则E 2∗(u2∗,u2∗)是局部渐近稳定的.(2)如果h∈(h2,h1).当s>s0时E 2∗(u2∗,u2∗)局部渐近稳定;当0<s<s0时E2∗(u2∗,u2∗)不稳定.(3)如果h∈(h2,h1).当s=s0时,系统(2)由E2∗处产生Hopf分支周期解.这里s0注1 文献[1]中也讨论了E 2∗的稳定性,但是局部渐近稳定的条件为s>s0,没有对s0的符号进行分析.通过对s0符号的分析确定出h2,并对h在(0,h2)和(h2,h1)上分别给出了E2∗稳定性的分析,细化了稳定性结果.§3 Hopf分支分析下面固定参数d1,d2,l,m,c,h满足以s为分支参数,讨论系统(3)空间齐次和非齐次Hopf分支周期解的存在性.为了得到更精细的理论结果,将空间区域Ω假设为一维区间(0,lπ)(l∈R+).令ˆu=u−u2∗,ˆv=v−v2∗(为简便记,仍分别将ˆv和ˆv记作u和v),则系统(3)变为这时将系统(3)的正常数平衡解等价地转化为系统(7)的平凡解.定义Sobolev空间同时定义X的复化空间为系统(7)对应的稳态系统在(s,0,0)处的线性化算子为众所周知−ϕ=µϕ,x∈(0,lπ);ϕ (0)=ϕ(lπ)=0的特征值为其对应的特征函数为为L(s)对应于特征值η(s)的特征函数.换言之,L(s)(φ,ψ)T=η(s)(φ,ψ)T.通过分析可知L(s)的特征值可以由的特征值给出,这里n=0,1,···.Ln(s)的特征方程为其中如果存在一个实数sH∈R+和sH的一个邻域O,使得对任意的s∈O,L(s)具有一对单重复共轭特征值关于s是连续可微的,并且若对任意的的其它所有的特征值都具有非零实部.则在s=sH处,系统(7)会产生Hopf分支.在有一对单重纯虚根±ω0当且仅当存在唯一的n∈N 0:={0,1,···},使得±ω0为Ln(s)的纯虚特征值.这时相应的特征向量记为其中an,bn∈C,使得下面考虑系统(7)可能发生Hopf分支的分支值sH,具体形式为:存在n∈N0使得并且满足α (sH) =0.由(9)知,当s>s0时,对所有的n∈N0,Tn(s)<0.因此,任何可能发生Hopf分支的分支值一定在区间(0,s0]中.当参数s在Hopf分支值sH的充分小邻域中变化时,设α(s)±iω(s)是L(s)的特征值,于是.从而根据上面的分析,考虑Hopf分支值的问题就转化为考虑如下的集合注意到当s∈(0,s0]时,Tn(s)=0等价于当d2<d1时,可以证明sH0:=s0是Λ1中的一个元素,即s0是系统(3)的一个Hopf 分支值.因为T0(sH0)=0,Tj(sH0)<0(j≥1).由(6),令−s(s0+b):=sC0>0,从而(9)式Dn(s)可表示为因而当d2<d1时,对任意的n∈N 0,Dn(sH0)>0.显然,对任意的l>0,sH0是唯一能使系统(3)产生空间齐次Hopf分支的分支值,即分支出的周期解是空间齐次的.下面寻找能使系统(3)产生空间非齐次Hopf分支周期解的分支值.将(11)代入(12)并注意C0=−(s0+b)>0,b=−mu2∗,所以令则Dn(sH)>0当且仅当因此所有可能使系统(3)产生空间非齐次Hopf分支的分支值可以表示为满足所以可以选择扩散系数d2尽可能小,使得d1sHn−d2s0>0.即给定由(13)所定义的N对所有的0<n<N,都有d2<ε(m,h,c,l,N,d1),其中因此Di(sHn)>0.根据以上的分析并利用文献[10]中的定理2.1.1,可以得到如下结果.定理3.1 h>c时,若h,c满足0对任意的如(11)所定义的sHn,如果存在(14)中所定义的ε=ε(m,h,c,l,N,d1),使得0<d2<ε,则当s经过每一个分支值sHn(0≤n≤N)时,系统(3)经历Hopf分支,即系统(3)从正常数平衡解(u2∗,u2∗)处分支出周期解.在(s,u,v)=(sHn,u2∗,u2∗)附近,分支周期解可以用参数形式表示为(s(r),u(r),v(r)),其中对某一很小的常数δ>0,当r∈(0,δ)时s(r)=sHn+o(r)(s(r)∈C∞),并且这里T(1)当s=sH0时,系统(3)从正常数平衡解(u2∗,u2∗)处分支出空间齐次的周期解.(2)当s=sHn时,系统(3)从正常数平衡解(u2∗,u2∗)处分支出空间非齐次的周期解. §4 讨论不考虑收获时,即ODE系统(2)中h=0的情形,文[11]证明了唯一的正平衡点是全局渐近稳定的.对于PDE系统(3)中h=0的情形,文献[12]通过构造适当的Lyapunov 函数证明是全局渐近稳定的.也就是说,下述事实成立:(F)不考虑收获因素时,无论是对ODE系统还是PDE系统,从正常数平衡点都不会产生Hopf分支.从事实(F)和定理2.1以及定理3.1,可以得出以下结论:(i) 收获会导致Hopf分支产生(定理2.1(3));(ii) 扩散会创造Hopf分支(定理3.1(2));(iii) 在条件h>c,0<c<h<h1和s<s0下,单独的扩散或者单独的收获都不能导致Hopf分支(事实(F)和定理2.1(2)),但是当扩散和收获共同作用时会有Hopf分支产生(定理3.1(2)).现在只需验证Dj(sHn) =0对j =n是否满足.下面可以导出一个参数满足的条件,使得对所有i=0,1,···.都有Di(sHn)>0.因为参考文献:【相关文献】[1] Gupta R P,Banerjee M.Bifurcation analysis and control of Leslie-Gower predator-prey model with Michaelis-Menten type prey-harvesting[J].Dif ferential Equations and Dynamical Systems,2012,20(3):339-366.[2] Clark C W,Mangel M.Aggregation and f ishery dynamics:a theoretical study of schooling and the pure seine tuna f isheries[J].Fishery Bulletin,1979,77(2):317-337. [3] Lenzini P,Rebaza J.Non-constant predator harvesting on ratio-dependent predator-prey models[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems,Series S,2012,1(2):303-315.[4] Hu Dongpo,Cao Hongjun..Stability and bifurcation analysis in a predator-prey system with Michaelis-Menten type predator harvesting[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2017,33:58-82.[5] Gupta R P,Chandra P.Bifurcation analysis of modif ied Leslie-Gower predator-prey model with Michaelis-Menten type prey harvesting[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2013,398(1):278-295.[6] Elhassanein plex dynamics of a stochastic discrete modif ied Leslie-Gower predatorprey model with Michaelis-Menten typeprey harvesting[J].Computational Ecology and Software,2014,4(2):116-128.[7] Li Yan,Wang Mingxin.Dynamics of a dif fusive predator-prey model with modif ied Leslie-Gower term and Michaelis-Menten typeprey harvesting[J].Acta Applicandae Mathematicae,2015,140(1):147-172.[8] Brauer F,Soudack A C.Stability regions in predator-prey systems with constant-rate prey harvesting[J].Journal of Mathematical Biology,1979,8(1):55-71.[9] Zhu Changrong,Lan Kunquan.Phase portraits,Hopf bifurcations and limit cycles of Leslie-Gower predator-prey systems with harvesting rates[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems,Series B,2010,14(1):289-306.[10]Yi Fengqi,Wei Junjie,Shi Junping.Bifurcation and spatiotemporal patterns in a homogeneous dif fusive predator-prey system[J].Journal of Dif ferentialEquations,2009,246(5):1944-1977.[11]Korobeinikov A.A Lyapunov function for Leslie-Gower predator-preymodels[J].Applied Mathematics Letters,2001,14(6):697-699.[12]Chen Fengde,Chen Liujuan,Xie Xiangdong.On a Leslie-Gower predator-prey model incorporating a prey refuge[J].Nonlinear Analysis Real WorldApplications,2009,10(5):2905-2908.。

一类推广的Leslie-Gower型捕食-被捕食模型的动力学性质研究

一类推广的Leslie-Gower型捕食-被捕食模型的动力学性质研究刘华祥【摘要】探讨了一类推广的Leslie-Gower型捕食.被捕食模型的动力学性质.以HollingII型功能反应和推广的Leslie-Gower模式为基础建立了无时滞和有时滞的捕食-被捕食种间作用模型;分析了无时滞模型共生平衡点的稳定性和Hopf分支,得到了共生平衡点的稳定性条件,找到了使系统发生Hopf分支的参数临界值,建立了系统存在稳定极限环的条件;分析了时滞模型系统共生平衡点的渐近稳定性以及孕育时滞参数值变化对模型系统共生平衡点稳定性的影响,找到了时滞模型系统发生Hopf分支的参数临界值,证明了当时滞参数在临界值附近变化时,系统也将发生Hopf分支.【期刊名称】《广东海洋大学学报》【年(卷),期】2009(029)003【总页数】6页(P53-58)【关键词】Leslie-Gower型;Holling功能反应;捕食-被捕食;时滞;Hopf分支【作者】刘华祥【作者单位】广东海洋大学理学院,广东湛江524025【正文语种】中文【中图分类】O193在生态动力学中，关于捕食-被捕食者系统的理论研究一直有一种趋势，这就是既要考虑使建立的模型更符合实际现象，又要考虑最大限度地避免增加这类模型在数学处理上的复杂性。

这方面的努力主要体现在提出或建立更能反映种群平均增长速度的各种功能反应上，或在模型中加入一些与实际背景有关的因素如孕育时滞因素等。

本文正是按照这种处理方式来建立一类新的捕食-被捕食模型，即推广 Leslie-Gower型无时滞和有时滞捕食-被捕食者模型。

同时研究无时滞模型系统的基本动力学行为，包括正平衡点的稳定性、Hopf分支及极限环的存在性；研究对应时滞系统正平衡点的局部渐近稳定性及Hopf分支条件，以及它们的动力学性质和种间相互作用的机理。

1 模型的建立设 N1(t)和N2(t)分别表示被捕食者和捕食者的种群大小。

首先假定在没有捕食者存在时，被捕食者种群符合逻结斯蒂增长方式，而在有捕食者存在时，由于捕食者的作用而具有了HollingII型功能反应。

具恐惧效应Leslie-Gower捕食-食饵系统的概周期解

具恐惧效应Leslie-Gower捕食-食饵系统的概周期解
黄爱梅
【期刊名称】《贵阳学院学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(17)4
【摘要】研究一类具恐惧效应Leslie-Gower捕食-食饵系统。

利用微分不等式并通过构造适当的Lyapunov函数,分别得到保证该系统持久性和全局吸引性的充分条件。

接着利用概周期微分方程壳理论,证明了系统概周期解的存在性和唯一性。

【总页数】4页(P125-128)
【作者】黄爱梅
【作者单位】福建船政交通职业学院
【正文语种】中文
【中图分类】O29
【相关文献】
1.具Holling Ⅳ型反应捕食-食饵系统的概周期解
2.食饵有补充具功能Ⅱ类二维捕食-食饵模型的正周期解与概周期解
3.食饵非密度制约的捕食与被捕食概周期系统概周期解的存在唯一性
4.脉冲Leslie-Gower型捕食者-食饵系统的概周期解
5.具有恐惧效应和食饵避难所的Leslie-Gower捕食者-食饵模型的动力学分析
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一类具有时滞的捕食者-食饵系统的数值逼近

一类具有时滞的捕食者-食饵系统的数值逼近
王玲书;冯光辉
【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(011)003
【摘要】研究了一类具有时滞的捕食系统的数值逼近问题.运用离散动力系统的分支理论,在该系统具有Hopf分支的条件下,讨论了欧拉方法数值求解该系统时,差分方程Hopf分支的存在性以及连续系统与其数值逼近间的关系.证明了当该系统在τ=τ0处产生Hopf分支且时间步长充分小时,其数值解在相应的参数值τh处也存在Hopf分支.
【总页数】4页(P193-196)
【作者】王玲书;冯光辉
【作者单位】河北经贸大学,数学与统计学学院,河北,石家庄,050061;军械工程学院,基础部,河北,石家庄,050003;军械工程学院,基础部,河北,石家庄,050003
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类具有无穷时滞的离散捕食者-食饵系统的持久性 [J], 吴丽萍
2.一类具有时滞和基于比率的捕食者-食饵系统的周期解 [J], 刘龙;李明;于立洋;洪港
3.一类具有脉冲效应和可变时滞的非自治捕食者-食饵系统正周期解的存在性 [J], 王斌;刘萍
4.一类具有时滞和阶段结构的捕食者-食饵系统的全局稳定性 [J], 王玲书
5.一类具有时滞的捕食者-食饵系统的全局吸引性 [J], 张帆;张超;宋强
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基金项目：国家自然科学基金项目（０４０４，江省自然科学基金资助项目（０３９５６３１）浙Ｙ６４５）作者简介：张建明（９２１７一）男，西延川人，师，士研究生，，陕１讲硕主要从事微分方程稳定性及分支问题的研究。
文章编号：１７ —８１（０８Ｏ — ０５０６３３５２０）１０９ — ４
时滞ｅｌ — ｗｅ捕者一食饵系统ＬｓｉＧｏｒ食ｅＨｏｆ支的存在性ｐ分
张建明骆，桦周小红，
（江理工大学，．数学系，ｂ浙ａ．材料与纺织学院，杭州３０１）１０８
摘
要：以时滞的滞量为分支参数，究了时滞Ｌｓｅｗｅ捕食者一食饵系统ｈｐ分支的存在性及正平衡研ｅｌ— ｉＧｏｒｏｆ
最的稳定性。
关键词：食者～食饵系统；时滞；定性；Ｈｏｆ支捕稳ｐ分
维普资讯
浙江理工大学学报，２第５卷，１期，０８年１月第２０
ＪｕｎｌｆＺｅｉｎｃ— ｃｉｅｓｔｏｒａｈｊａｇＳｉｏＴｅｈＵｎｖｒｉｙ
Ｖｏ．５，Ｎｏ１ａ．２０１２．，Ｊｎ０８
在性和重要性，捕食者与食饵之间的动力学关系必将仍然是重要的研究课题。
考虑到食饵、捕食者的成熟需要一定的时间且取功能反应函数为Ｈｏｌｇ工一函数，ｇ）一ｌｎｉ型即（
系统（）就成为时滞ＬｓｅＧｏｒ型。１ｅｌ — ｗｅ模ｉ
中图分类号：Ｏ１５７７．
文献标识码：Ａ
０引言
在文献Ｌ— １２中，ｅｌ提出环境对捕食者的承载能力与食饵的数量成正相关，Ｌｓｉｅｌ强调不论是食饵还司时
是捕食者的增长率都应有一个上限的捕食一食饵模型。
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