专题08 平面向量(教案)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

2021届高考数学一轮复习 专题08 平面向量 教案

一、平面向量的概念

1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。

2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的

方向表示向量的方向.用小写字母a ，b

…或用，，…表示.

注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.

3．模：向量的长度叫向量的模，记作a

.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0

；零向量的方向不确定. 注意：0和0 是不同，0是一个数字，0

代表一个向量，不要弄混.

5．单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.a

a

a =0

注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。

6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量

也称为共线向量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量b a

,，若存在非零常

数λ使b a

λ=是b a ∥的充要条件.

7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 例1下列六个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||a b =，则a b =；

③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =；

⑥若b c b a

∥∥,，则.c a ∥

正确的是_________ 【答案】④⑤

【解析】①把一个向量平移后向量是不变的，③A,B,C,D 有可能在一条直线上，⑥b

可能是

零向量

二、平面向量的数量积及坐标表

1、向量的夹角：已知两个非零向量,a b ，如果以O 为起点作,OA a OB b ==，那么射线

,OA OB 的夹角θ叫做向量a 与b 的夹角．θ的取值范围是0θπ≤≤

（1） 当0θ=时，表示向量a 与b 方向相同；

（2） 当θπ=时，表示向量a 与b 方向相反；

（3） 当2

π

θ=

时，表示向量a 与b 相互垂直。

【注意：一定牢记夹角的取值范围，特别是0和π的实际意义。】

例题2已知||2,||3,a b ==a 与b 的夹角为

4

π

，当向量a b +与a b λ+夹角为锐角时，求实数λ的取值范围。 【答案】）

，（），（∞+⋃115

12

-

【解析】提示：当两个向量的数量积大于0时，它们的夹角取值范围是[0,90°）；锐角时，数量积大于0且不等于1.

2、 向量的数量积

已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ（0θπ≤≤），则把cos a b θ叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅．即||||cos a b a b θ⋅= （1）两个向量的数量积是一个实数；

（2）2

0a a a ⋅=≥，当且仅当0a a ⋅=时，0a =

（3）已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影．

显然b 在a 方向上的投影等于

||

a b

a ⋅． （4）a

b ⋅的几何意义： a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影cos b θ的乘积．

例题3已知向量a 与b 的夹角为θ，且3

sin ,||55

a θ==，则a 在

b 的方向上的投影是 ； 【答案】±4

【解析】提示：投影是数值，可能是正的也可能是负的。

3、向量数量积的运算律 ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅

②对实数的结合律成立：

()()()()R ∈⋅=⋅=⋅λλλλ

③分配律成立：()

⋅±⋅=⋅±()

±⋅= 特别注意：

（1）结合律不成立：()()

⋅⋅≠⋅⋅；

（2）消去律不成立⋅=⋅不能得到⋅=

（3）b a ⋅=0不能得到a =0或b =0

④但是乘法公式成立： ()()

2

2-=-=-⋅+；()

2

22

2+⋅±=±

2+⋅±=；等等。

⑤两个向量垂直的充要条件是：0a b ⋅= 4、向量数量积的坐标表示

设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

a 与

b 夹角为θ，则

cos θ=

a 与

b 的夹角为锐角等价于12120x x y y +>且1221x y x y ≠

a 与

b 的夹角为钝角等价于12120x x y y +<且1221

x y x y ≠

例题4

（2020·上海高三专题练习）已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、

()cos ,sin C αα，3,

22

ππ

α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

. （1）若AC BC =，求角α的值；

（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin21tan αα

α

++的值.

【答案】（1）54π

；（2）95

- 【解析】