【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：专题限时集训7 用样本估计总体 Word版含解析
《课堂新坐标》2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略训练专题十一等差数列与等比数列Word版含
专题十一 等差数列与等比数列题型一| 数列的概念及其表示(1)(2016·无锡期末)对于数列{a n }，定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n .若S n ＋1＝2S n ＋1，则a n ＝________.[解题指导] (1)b n ＋1－b n ＝1――→等差数列定义求b n ――→a n ＋1－a n ＝b n求a n(2)S n ＋1＝2S n ＋1――→构造法求S n ――→a n 与S n 的关系求a n (1)n 2－11n ＋262 (2)⎩⎨⎧ 2，3·2n －2，n ＝1，n ≥2[(1)∵a 3＝1，a 4＝－1，∴b 3＝a 4－a 3＝－2.又b n ＋1－b n ＝1，∴{b n }是等差数列， ∴b n ＝b 3＋(n －3)×1＝－2＋(n －3)×1＝n －5. ∴a n ＋1－a n ＝n －5.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 4－a 3)＋a 3 ＝(n －6)＋(n －7)＋…＋(－2)＋1 ＝(n －3)(－2＋n －6)2＋1＝n 2－11n ＋262.(2)依题意得S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)，因此数列{S n ＋1}是以S 1＋1＝3为首项，2为公比的等比数列，S n ＋1＝3×2n －1，S n ＝3×2n －1－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3·2n －2，又a 1＝2，因此a n ＝⎩⎨⎧ 2，3·2n －2，n ＝1，n ≥2.]【名师点评】 1.数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.在形如“a n ＋1＝pa n ＋q ”的数列中，通常用构造法求解，构造时可先设(a n ＋1＋x )＝p (a n＋x )，再由等量关系求得x ，实现构造.,3.在形如“a n ＋1a n ＝f (n )”的数列中，通常用累积法求a n ，即a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1.,4.在形如“a n ＋1－a n ＝f (n )”的数列中，通常用累加法求a n ，即a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1.1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________. 2n －1 [由S n ＝2a n －n ①，得S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2)②，①－②，得a n ＝2a n －2a n －1－1(n ≥2)，即a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2， 又a 1＝1，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.]2．数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n a n S n －S 2n ＝1(n ≥2)．则a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2 [由已知，当n ≥2时，2a na n S n －S 2n ＝1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n＝1，即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1，所以1S n －1S n －1＝12.又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列，所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n＝－2n (n ＋1).因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2.]题型二| 等差、等比数列的基本运算(1)(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．(2)如图11-1，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.图11-1(3)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 3，a 5成等差数列，且S k ＝33，S k ＋1＝－63，其中k ∈N *，则S k ＋2的值为________．(1)4 (2)14 (3)129 [(1)因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.(2)根据题意易知a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1，所以{a n }构成以a 1＝2为首项，以q ＝22为公比的等比数列， 所以a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.(3)设公比为q ，由2a 3＝a 4＋a 5，即2a 3＝a 3q ＋a 3q 2，解得q ＝－2或q ＝1(舍去，因为S k 与S k ＋1异号)，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝－96，a k ＋2＝a k ＋1q ＝192，S k ＋2＝S k ＋1＋a k ＋2＝－63＋192＝129.]【名师点评】 等差(比)数列基本运算中的关注点 1.基本量.在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个基本量. 2.解题思路.(1)求公差d (公比q )：常用公式a n ＝a m ＋(n －m )d (a n ＝a m q n －m )；(2)列方程组：若条件与结论的联系不明显时，常把条件转化为关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元及整体计算，以减少计算量.1．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 6＝a 8，则S 5a 5＝________.3 [由a 2＋a 6＝a 8，得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝a 1＋7d ，即a 1＝d ，S 5a 5＝5a 3a 1＋4d ＝5(a 1＋2d )a 1＋4d＝15d5d ＝3.]2．(2016·苏州期中)等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.4 [由⎩⎨⎧a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，a 4－a 2＝a 1q (q 2－1)＝6，得2q 2－5q ＋2＝0， 即q ＝2.代入a 5－a 1＝15得a 1＝1. ∴a 3＝a 1q 2＝1×22＝4.]3．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．33 [由题意知a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3且q ≥1；a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2且a 2≥1，那么有q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33，即q 的最小值为33.]4．已知数列{a n }满足a 1＝43，2－a n ＋1＝12a n ＋6(n ∈N *)，则∑i ＝1n 1a i＝________.【导学号：91632035】有2·3n －n －24 [由已知，2－a n ＋1＝12a n ＋6， 化简得(2－a n ＋1)(a n ＋6)＝12， 即1a n ＋1＝3×1a n＋12，令b n ＝1a n ，则b n ＋1＝3b n ＋12，得b n ＋1＋14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋14是等比数列，b 1＋14＝1，公比为3，所以b n ＋14＝1×3n －1，故b n ＝3n －1－14，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝1－3n 1－3－14n ＝2·3n －n －24，所以∑i ＝1n1a i ＝2·3n －n －24.]题型三| 等差、等比数列的性质及应用(1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．(3)等差数列{a n }中，公差d ≠0，且2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.(1)5 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 (3)16 [(1)由等比数列的性质知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4⇒a 3＝2，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 2a 53＝5log 22＝5.(2)由题意知d <0且⎩⎨⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎨⎧7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.(3)在等差数列中，由2a 3－a 27＋2a 11＝0，得2(a 3＋a 11)－a 27＝0,4a 7－a 27＝0，则a 7＝0或a 7＝4，又因{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则a 7＝0(舍)，a 7＝4，又由b 7＝4得b 6b 8＝b 27＝16.]【名师点评】 1.等差数列前n 项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题，有时利用数列的单调性(d >0，递增；d <0，递减)．2．等差、等比数列的性质1．(2016·南通二调)在等比数列{a n }中， a 2＝1，公比q ≠±1.若a 1,4a 3,7a 5成等差数列，则a 6的值是________．149 [由题意可知 8a 3＝a 1＋7a 5， ∴8q 2＝1＋7q 4，解得q 2＝17或q 2＝1(舍去)．又a 2＝1，故a 6＝a 2q 4＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝149.]2．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 2＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4＝________.94 [由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4，得S 4－S 2S2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 6S 4＝94.]3．已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________． 5972 [易得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43，而y ＝S n－1S n 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤89，43上单调递增， 所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1772，712⊆[A ，B ]，因此B －A 的最小值为712－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1772＝5972.]。
2017高考数学文科二轮(通用版)复习模拟卷1Word版含答案
高考冲刺模拟卷Ⅰ本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间：120分钟，满分：150分．第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数6i 7+8i 2 016(其中i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( C )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.一批产品有A,B,C 三种型号,数量分别是120件,80件,60件.为了解它们的质量是否存在差异,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本,其中从型号C 的产品中抽取了3件,则n 的值是 ( D )A.9B.10C.12D.133.已知条件p ：log 2(x -1)<1；条件q ：|x -2|<1,则p 是q 成立的 ( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知0≤θ≤2π,且cos )2(θπ-->0, 012sin 22>-θ,则θ的范围是 ( C )A.)2,0(πB.),2(ππC.)23,(ππ D.)2,23(ππ5.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为4,过焦点且垂直于长轴的弦长为3,则椭圆的方程是 ( A )A.13422=+y xB.12422=+y x C.14522=+y xD.1222=+y x 6.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1,点数之和大于5的概率记为p 2,点数之和为偶数的概率记为p 3,则（ C ）A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 1<p 3C.p 1<p 3<p 2D.p 3<p 1<p 27.在长为5 cm 的线段AB 上任取一点C,以AC,BC 为邻边作一矩形,则矩形面积不小于 4 cm 2的概率为 ( C )A.51B.52C.53 D.54 8.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=7,则∙= ( B )A.23 B.25 C.2 D.39.关于x 的方程e x -1-|kx |=0(其中e =2.718 28…是自然对数的底数)有三个不同实根，则k 的取值范围是 ( D )A.{-2,0,2}B.(1,+∞)C.(e ,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)10.如果函数f (x )满足：对定义域中的任意三个数a ,b ,c ,都有f (a ),f (b ),f (c )是一个三角形三边的长,则称f (x )为“三角形函数”.在函数①y =|x |;②y =2x ;③y =x +x1(1≤x ≤2);④y =4x 3-3x 2+2(0≤x ≤1)中,“三角形函数”的个数是 ( B )A.1B.2C.3D.411.设函数y =f (x )在R 上有定义，对给定的正数M,定义函数M x f x f x f M ≤=)(),()(, M , f (x )>M ,则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”.若给定函数f (x )=2-x 2,M=1,则f M (0)的值为 ( B )A.2B.1C.2D.2-12.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d (b,c,d 为常数),其极大值在（0，1）上取得，极小值在 （1，2）上取得.若T =22)3()21(-++c b ,则T 的取值范围是 ( A )A.(5,5)B.)5,237( C.)25,437(D.(5,25) 第Ⅱ卷二、填空题：(本大题4共小题，每小题5分，共20) 13．已知)0,0(112>>=+y x yx ，则y x +14.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是__3272π______.15.某汽车公司对新生产的舒适型和豪华型两种轿车进行民意调查，并按规定的项目对两种轿车的某些功能进行打分评价(满分为10分),董事长从若干次调查结果中随机抽取6次，结果如下表.(1) =-豪华型舒适型x x _______;(2) _______型轿车的功能发挥更稳定. 16.某种平面分形如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…(1)依此规律得到5级分形图，则5级分形图中所有线段的长度之和为(2)n 级分形图中所有线段的长度之和为___n)32(99∙-_______.三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ,满足(a -b )(sin A- sin B)=c sin C-a sin B. (1)求角C 的大小；(2)若c =7,a >b ,且△ABC 的面积为233,求ab的值. 解析：(1)由(a -b )(sin A -sin B )=c sin C -a sin B ,利用正弦定理得 (a -b )(a -b )=c 2-ab ,化简得a 2+b 2-ab =c 2,所以cos C=3,212222π==-+C ab c b a . (2)由(1)得a 2+b 2-ab =7,① 又由△ABC 的面积得 S=2332321sin 21=∙=ab C ab ,即ab =6,② 又a >b ,由①②联立可解得a =3,b =2, 所以32=a b .18.(本小题满分12分)如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，AA 1=3,点E 在棱B 1B 上运动.豪华(1)证明：AC ⊥D 1E;(2)若三棱锥B 1-A 1D 1E 的体积为32时，求异面直线AD 与D 1E 所成的角.解析：(1)证明：连接BD. ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD. ∵四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1是直棱柱， ∴B 1B ⊥平面ABCD ． ∵AC ⊂平面ABCD ， ∴B 1B ⊥AC. ∵B 1B ∩BD=B ， ∴AC ⊥平面B 1BDD 1.∵D 1E ⊂平面B 1BDD 1，∴AC ⊥D 1E. (2)∵111111D B A E E D A B V V --=, EB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1, ∴11111131EB S V D B A D B A E ∙=∆-. ∵121111111=∙=∆D A B A S D B A , ∴2.323111111=∴==-EB EB V D B A E . ∵AD ∥A 1D 1,∴∠A 1D 1E 为异面直线AD 与D 1E 所成的角. 在Rt △EB 1D 1中，求得ED 1=22. ∵D 1A 1⊥平面A 1ABB 1,∴D 1A 1⊥A 1E.在Rt △EA 1D 1中，求得cos ∠A 1D 1E=222=21,∠A 1D 1E=60°. ∴异面直线AD 与D 1E 所成的角为60°.19.(本小题满分12分)已知公比为q 的等比数列{a n }是递减数列，且满足a 1+a 2+a 3=913,a 1a 2a 3=271. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若2331+∙=-n n n a n b (n ∈N*),证明：35411113221≥++++n n b b b b b b . 解析：(1)由a 1a 2a 3=271及等比数列性质得27132=a ,即a 2=31, 由a 1+a 2+a 3=913得a 1+a 3=910, 由 a 2=31, a 1+a 3=910, 得 a 1q =31, a 1+a 1q 2=910, 所以31012=+q q ,即3q 2-10q +3=0, 解得q =3,或q =31. 因为{a n }是递减数列，故q =3舍去, 所以q =31,由a 2=31,得a 1=1, 故数列{a n }的通项公式为a n =131-n .354111,352715152151,1).52151(2)52132191717151(2111),521321(25223221,2323233)2(132211322111≥+++=-≥+-≥+-=+-+++-+-=++++-+=+∙+=+=+=+∙=+++-n n n n n n n n n b b b b b b n n n n n b b b b b b n n n n b b n n a n b 所以因为所以因为20.(本小题满分12分)已知x n x mx f ln 1)(++=(m ,n 为常数)在x =1处的切线为x +y -2=0. (1)求y =f (x )的单调区间；(2)若任意实数x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e ,使得对任意的t ∈[1,2]上恒有f (x )≥t 3-t 2-2at 成立，求实数a 的取值范围.解析：(1)由x n x mx f ln 1)(++=的定义域为(0,+∞)， 可得xnx m x f ++-=2')1()(. 由条件可得f ′(1)=4m-+n =1-, 把x =1代入x +y -2=0可得y =1, ∴f (1)=2m =1,∴m =2,n =21-. ∴f (x )=x x ln 2112-+,f ′(x )=x x 21)1(22-+-. ∵x >0, ∴f ′(x )<0,∴f (x )的递减区间为(0,+∞),没有递增区间.(2)由(1)可知，f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e 上单调递减，∴f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e 上的最小值为f (1)=1.∴只需t 3-t 2-2at ≤1,即2a ≥t 2-t -t1对任意的t ∈[1,2]上恒成立.令g(t )=t 2-t -t1,则g ′(t )=2t -1+21t=22312t t t +-. ∵t ∈[1,2], ∴01)12(12222>+-=+-t t t t , ∴g ′(t )>0,即g(t )在[1,2]上单调递增， ∴g(t )的最大值为g(2)=4-2-21=23, ∴只需2a ≥23,即a ≥43. ∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43.21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F(1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P(-2,1),求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围. 解析：(1)设点M (x ,y ),依题意得|MF |=|x |+1, 即1)1(22+=+-x y x , 化简整理得y 2=2(|x |+x ).故点M 的轨迹C 的方程为0,2≥=x x y , 0,x<0. (2)在点M 的轨迹C 中，记C 1:y 2=4x (x ≥0),C 2：y =0(x <0).依题意，可设直线l 的方程为y -1=k (x +2). 由方程组 y -1=k (x +2), y 2=4x , 可得ky 2-4y +4(2k +1)=0.①当k =0时,y =1.把y =1代入轨迹C 的方程, 得x =41. 故此时直线l :y =1与轨迹C 恰好有一个公共点)1,41(. 当k ≠0时，方程①的判别式Δ=-16(2k 2+k -1).② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0), 则由y -1=k (x +2),令y =0,得x 0=kk 12+-.③ (ⅰ)若 Δ<0,x 0<0,由②③解得k < -1或k >21. 即当k ∈(-∞,-1)∪（21，+∞）时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点. (ⅱ)若 Δ=0, x 0<0 或Δ>0, x 0≥0,由②③解得021}21,1{<≤--∈k k 或. 即当}21,1{-∈k 时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点. 当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,21k 时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点.故当}21,1{0,21-⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈k 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.(ⅲ)若 Δ>0,x 0<0,由②③解得-1<k <21-或0<k <21. 即当)21,0()21,1(⋃--∈k 时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综上所述，当}0{),21()1,(⋃+∞⋃--∞∈k 时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点； 当}21,1{0,21-⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈k 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当)21,0()21,1(⋃--∈k 时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1，以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1,C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.解析：(1)因为x =ρcos θ,y =ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. (2)将θ=4π代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2=2. 故ρ1-ρ2=2,故｜MN ｜=2. 由于C 2的半径为1, 所以△C 2MN 的面积为21.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |,a >0.(1)当a =1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.解析：(1)当a =1时，f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|-1>0.当x ≤-1时，不等式化为x -4>0,无解；当-1<x <1时，不等式化为3x -2>0, 解得32<x <1; 当x ≥1时，不等式化为-x +2>0,解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为}232{<<x x . (2)由题设可得 f (x )= x -1-2a ,x < -1,x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数 f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为)1,()0,12(),0,312(++-a a C a B a A ，, 则△ABC 的面积为32(a +1)2. 由题设得32(a +1)2>6,故a >2. 所以a 的取值范围为(2,+∞).。
《课堂新坐标》2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略专题限时集训6利用导数研究函数的单调性
专题限时集训(六) 利用导数研究函数的单调性、极值、最值(建议用时：45分钟)1．设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． [解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.1分令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2， 2分所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2).3分 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.5分故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增. 6分 (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.7分①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值.10分②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值.12分又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值.14分2．已知函数f (x )＝ax －2x －3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值； (2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．【导学号：91632019】[解] (1)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ， 由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，解得a ＝1.2分由f (x )＝x －2x －3ln x ，∴f ′(x )＝(x －1)(x －2)x 2.由f ′(x )＝0，得x ＝2. 4分 于是可得下表：min (2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x 2(x >0)，8分由题意可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，10分则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，x 1＋x 2＝3a >0，x 1x 2＝2a >0，也可以为⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，－－32a >0，h (0)>0，13分解得0<a <98.14分3．如图6-4，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”．正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2 m 的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.图6-4(1)求x 的取值范围；(运算中2取1.4)(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为12a11元/m 2，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？[解](1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，2分解得⎩⎨⎧x ≥9，x ≤20，－20≤x ≤15，4分即9≤x ≤15.6分(2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意得 y ＝a ×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a 11×104－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22－πx 2＝a 11⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，8分令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f ′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫125x 2－x ＋6，10分由f ′(x )＝0，解得x ＝10或x ＝15， 列表如下：即当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分4．(理)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x ＞0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [解] (1)由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.1分 令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞). 2分①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点； 3分 ②当a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． a ．当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点； 4分b ．当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12， 所以x 1＜－14，x 2＞－14.5分 由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， 6分 因此，函数有两个极值点． c ．当a ＜0时，Δ＞0， 由g (－1)＝1＞0，可得x 1＜－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 所以函数有一个极值点.7分 综上所述，当a ＜0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点； 当a ＞89时，函数f (x )有两个极值点. 8分 (2)由(1)知，①当0≤a≤89时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意. 9分②当89＜a≤1时，由g(0)≥0，得x2≤0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，符合题意. 10分③当a＞1时，由g(0)＜0，可得x2＞0.所以x∈(0，x2)时，函数f(x)单调递减．因为f(0)＝0，所以x∈(0，x2)时，f(x)＜0，不合题意. 11分④当a＜0时，设h(x)＝x－ln(x＋1)．因为x∈(0，＋∞)时，h′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增. 12分因此，当x∈(0，＋∞)时，h(x)＞h(0)＝0，即ln(x＋1)＜x.可得f(x)＜x＋a(x2－x)＝ax2＋(1－a)x，当x＞1－1a时，ax2＋(1－a)x＜0，此时f(x)＜0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是[0,1]. 14分4．设函数f(x)＝e xx2－k2x＋ln x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．[解](1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x2e x－2x e xx4－k⎝⎛⎭⎪⎫－2x2＋1x＝x e x－2e xx3－k(x－2)x2＝(x－2)(e x－kx)x3. 2分由k ≤0可得e x －kx >0，3分所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞). 6分(2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；7分 当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞). 8分 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点. 10分 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； 11分 x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎨⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2，解得e<k <e 22.13分综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22.14分5．(2016·无锡期末)已知函数f (x )＝ln x ＋a ＋e －2x (a ＞0)． (1)当a ＝2时，求出函数f (x )的单调区间；(2)若不等式f (x )≥a 对于x ＞0的一切值恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，函数f (x )＝ln x ＋ex ， 1分 所以f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex 2，2分所以当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，则函数f(x)在(0，e)上单调递减； 3分当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，则函数f(x)在(e，＋∞)上单调递增. 4分(2)由题意知ln x＋a＋e－2x≥a恒成立，5分原式等价于x ln x＋a＋e－2－ax≥0在(0，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x ln x＋a＋e－2－ax，6分因为g′(x)＝ln x＋1－a，令g′(x)＝0，得x＝e a－1，a1a1a1 8分令t(x)＝x＋e－2－e x－1，因为t′(x)＝1－e x－1，令t′(x)＝0，得x＝1，且所以当a∈(0,1)时，g(x)的最小值t(a)＞t(0)＝e－2－1e＝e＞0，12分当a∈[1，＋∞)时，g(x)的最小值为t(a)＝a＋e－2－e a－1≥0＝t(2)，所以a∈[1,2]. 14分6．(2016·苏北三市三模)已知函数f(x)＝e xe x，g(x)＝ax－2ln x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)求f(x)的极值；(2)若在区间[0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求a的取值范围．[解](1)因为f(x)＝e xe x，所以f′(x)＝(1－x)ee x，令f ′(x )＝0，得x ＝1.2分当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数． 所以f (x )在x ＝1时取得极大值f (1)＝1，无极小值.5分(2)由(1)知，当x ∈(0,1)时，f (x )单调递增；当x ∈(1，e]时，f (x )单调递减． 又因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (e)＝e·e 1－e ＞0， 所以当x ∈(0，e]时，函数f (x )的值域为(0,1].7分当a ＝0时，g (x )＝－2ln x 在(0，e]上单调，不合题意； 当a ≠0时，g ′(x )＝a －2x ＝ax －2x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a x ，x ∈(0，e]， 故必须满足0＜2a ＜e ，所以a ＞2e .8分 此时，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：所以x →0，g (x )→＋∞，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝2－a －2ln 2a ，g (e)＝a (e －1)－2.所以对任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，10分使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，当且仅当a 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ≤0，g (e )≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a －2ln 2a ≤0，a (e －1)－2≥1.令m (a )＝2－a －2ln 2a ，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞，m ′(a )＝－a －2a ，由m ′(a )＝0，得a ＝2.12分当a ∈(2，＋∞)时，m ′(a )＜0，函数m (a )单调递减；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，2时，m ′(a )＞0，函数m (a )单调递增．所以，对任意a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞有m (a )≤m (2)＝0，即2－a －2ln 2a ≤0对任意a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞恒成立．由a (e －1)－2≥1，解得a ≥3e －1. 13分综上所述，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3e －1，＋∞时，对于任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0). 14分。
【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：专题限时集训14 函数的图象和性质 Word版含解析
专题限时集训(十四) 函数的图象和性质建议A 、B 组各用时：45分钟]A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·南昌一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)＜f (20.3)＜f (log 25)B ．f (log 25)＜f (20.3)＜f (0.32) C.f (log 25)＜f (0.32)＜f (20.3) D ．f (0.32)＜f (log 25)＜f (20.3)A ∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)， 且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数． 又∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∵0＜0.32＜20.3＜log 25， ∴f (0.32)＜f (20.3)＜f (log 25)． 故选A.]2．(2016·安庆一模)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )D 因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x ·cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ·cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B.当0＜x ＜1时，x －1x ＜0，cos x ＞0，所以f (x )＜0，排除C ，故选D.]3．已知偶函数f (x )在区间0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 A 偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，进而转化为不等式|2x －1|＜13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.]4．(2016·青岛一模)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2 B.1 C.－1D.－2A 设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数， 则g (－x )＝g (x )， 即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2， ∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.]5．(2016·南通三调)设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈－2,0]时，f (x )＝( ) 【导学号：85952060】A ．|x ＋4| B.|2－x | C.2＋|x ＋1|D.3－|x ＋1|D ∵∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋12，即f (x )＝f (x ＋2)．若x ∈0,1]，则x ＋2∈2,3]， f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2， 若x ∈－1,0]，则－x ∈0,1]． ∵函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数， ∴f (－x )＝－x ＋2＝f (x )， 即f (x )＝－x ＋2，x ∈－1,0]； 若x ∈－2，－1]，则x ＋2∈0,1]， 则f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2＋2＝x ＋4， x ∈－2，－1]．综上，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，－2≤x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤0，故选D.]二、填空题6．(2016·宁波联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，x 2，x ＜0，则f (f (－1))＝________，f (f (x ))＝1的解集为________．12{－2，4} f (－1)＝1，f (f (－1))＝f (1)＝12. ∵f (f (x ))＝1，∴f (x )＝－1(舍去)，f (x )＝2，∴x ＝4，x ＝－2，∴f (f (x ))＝1的解集为{－2，4}．]7．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．1 ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为x ＝1，∴a ＝1，f (x )＝2|x －1|，∴f (x )的增区间为1，＋∞)． ∵m ，＋∞)⊆1，＋∞)，∴m ≥1，∴m 的最小值为1.]8．(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x ＋1|，x ≤1，log 2(x －1)，x ＞1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围为________．(1,8] f (x )的图象如图所示，可令x 1＜x 2＜x 3，由图易知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.令log 2(x －1)＝3，得x ＝9，由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知2＜x 3≤9，所以1＜x 1＋x 2＋x 3≤8.]三、解答题9．已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)在区间2,3]上有最大值4和最小值1，设f (x )＝g (x )x .(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈－1,1]上有解，求实数k 的取值范围． 解] (1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，因为a ＞0，所以g (x )在区间2,3]上是增函数，3分故⎩⎨⎧ g (2)＝1，g (3)＝4，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.6分 (2)由已知可得f (x )＝x ＋1x －2，所以f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x ，即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·12x ≥k ，8分 令t ＝12x ，则k ≤t 2－2t ＋1，x ∈－1,1]，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，10分记h (t )＝t 2－2t ＋1，因为t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故h (t )max ＝1，所以k 的取值范围是(－∞，1].12分10．已知函数f (x )＝a －22x＋1.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)＜f(2)的x的范围．解](1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.2分(2)∵(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·(2x1－2x2)(1＋2x1)(1＋2x2).4分∵y＝2x在R上单调递增且x1＜x2，∴0＜2x1＜2x2，∴2x1－2x2＜0,2x1＋1＞0,2x2＋1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上单调递增.8分(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1.(或用f(0)＝0去解)10分∴f(ax)＜f(2)，即为f(x)＜f(2)，又因为f(x)在R上单调递增，所以x＜2.12分B组名校冲刺]一、选择题1．(2016·莆田二模)已知定义在R上的奇函数满足f(x＋4)＝－f(x)，且在区间0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C.f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)D∵f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)，∴f(x＋8)＝f(x)，∴f(x)的周期为8，∴f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f (11)＝f (3)＝f (－1＋4)＝－f (－1)＝f (1)． 又∵奇函数f (x )在区间0,2]上是增函数， ∴f (x )在区间－2,2]上是增函数， ∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D.]2．(2016·济南模拟)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在－π，π]的图象大致为( )C 因为f (－x )＝1－cos(－x )]sin(－x )＝－(1－cos x )·sin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ；当x ∈(0，π)时，1－cos x ＞0，sin x ＞0，所以f (x )＞0，排除选项A ；又函数f (x )的导函数f ′(x )＝sin x ·sin x ＋(1－cos x )·cos x ，所以f ′(0)＝0，排除D.故选C.]3．(2016·开封模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )【导学号：85952061】A ．1 B.78 C.34D.12D f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ，即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去． 综上，b ＝12，故选D.]4．(2016·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪1，＋∞) C.1，＋∞) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，1 B 对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14；当x ＞1时，f (x )＝log 13x ＜0，∴要使不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，需m 2－34m ≥14恒成立，即m ≤－14或m ≥1，故选B.]二、填空题5．(2016·合肥二模)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．－12 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.]6．(2016·泉州二模)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．(1,2] 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈4，＋∞)．当x ＞2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a ＞1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2.]三、解答题7．已知奇函数f (x )的定义域为－1,1]，当x ∈－1,0)时，f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .(1)求函数f (x )在0,1]上的值域；(2)若x ∈(0,1]，y ＝14f 2(x )－λ2f (x )＋1的最小值为－2，求实数λ的值． 解] (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈－1,0)，所以f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x .又因为f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以当x ∈(0,1]时，f (x )＝－f (－x )＝2x ， 所以f (x )∈(1,2]．又f (0)＝0，所以当x ∈0,1]时函数f (x )的值域为(1,2]∪{0}.4分 (2)由(1)知当x ∈(0,1]时，f (x )∈(1,2]， 所以12f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，令t ＝12f (x )，则12＜t ≤1，g (t )＝14f 2(x )－λ2f (x )＋1＝t 2－λt ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －λ22＋1－λ24.8分①当λ2≤12，即λ≤1时， g (t )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12无最小值．②当12＜λ2≤1即1＜λ≤2时，g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＝1－λ24＝－2.解得λ＝±23舍去．③当λ2＞1，即λ＞2时，g (t )min ＝g (1)＝－2，解得λ＝4. 综上所述，λ＝4.12分8．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有f (x ＋1)＝f (x －1)成立，已知当x ∈1,2]时，f (x )＝log a x .(1)求x ∈－1,1]时，函数f (x )的表达式；(2)求x ∈2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时，函数f (x )的表达式；(3)若函数f (x )的最大值为12，在区间－1,3]上，解关于x 的不等式f (x )＞14. 解] (1)因为f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )＝⎩⎨⎧log a (2＋x )，x ∈[－1，0]，log a (2－x )，x ∈(0，1].3分(2)当x ∈2k －1,2k ]时，f (x )＝f (x －2k )＝log a (2＋x －2k )， 同理，当x ∈(2k,2k ＋1]时， f (x )＝f (x －2k )＝log a (2－x ＋2k )，所以f (x )＝⎩⎨⎧log a (2＋x －2k )，x ∈[2k －1，2k ]，log a (2－x ＋2k )，x ∈(2k ，2k ＋1].6分(3)由于函数是以2为周期的周期函数，故只需要考查区间－1,1]， 当a ＞1时，由函数f (x )的最大值为12，知f (0)＝f (x )max ＝log a 2＝12，即a ＝4. 当0＜a ＜1时，则当x ＝±1时， 函数f (x )取最大值为12， 即log a (2－1)＝12，舍去． 综上所述a ＝4.9分当x ∈－1,1]时，若x ∈－1,0]， 则log 4(2＋x )＞14， 所以2－2＜x ≤0；若x ∈(0,1]，则log 4(2－x )＞14， 所以0＜x ＜2－2，所以此时满足不等式的解集为(2－2,2－2)． 因为函数是以2为周期的周期函数，所以在区间1,3]上，f (x )＞14的解集为(2，4－2)，综上所得不等式的解集为(2－2,2－2)∪(2，4－2).12分。
【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：专题限时集训7 用样本估计总体 Word版含解析
专题限时集训(七)用样本估计总体建议A、B组各用时：45分钟]A组高考达标]一、选择题1．(2016·山西考前模拟)某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图7-5所示)，据此估计此次考试成绩的众数是()图7-5A．100 B.110C.115D.120C分析频率分布折线图可知众数为115，故选C.]2．(2016·南昌二模)如图7-6所示是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在15,20)内的频数是()图7-6A．50 B.40C.30D.14C因为15,20]对应的小矩形的面积为1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以样本落在15,20]的频数为0.3×100＝30，故选C.]3．(2016·青岛模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x50,500(单位：kg)，其中x1，x2，x3，…，x50是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x, 中位数为y，则x1，x2，x3，…，x50,500这51个数据的平均数、中位数分别与x，y比较，下列说法正确的是()【导学号：85952030】A．平均数一定变大，中位数一定变大B．平均数一定变大，中位数可能不变C.平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小B显然500大于这50个学生的平均体重，则这51个数据的平均数一定增大，中位数可能增大也可能不变，故选B.]4．(2016·沈阳模拟)从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图7-7)．若要从身高在120,130)，130,140)，140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140,150]内的学生中选取的人数应为()图7-7A．2 B.3C.4D.5B依题意可得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)＝1，解得a＝0.030，故身高在120,130)，130,140)，140,150]三组内的学生比例为3∶2∶1，所以从身高在140,150]内的学生中选取的人数应为3.]图7-85．(2016·郑州模拟)某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图7-8所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为()A.815 B.49C.35 D.19C依题意，平均数x＝20＋60＋30＋(7＋9＋1＋5)6＝22，故优秀工人只有2人，用a，b表示优秀工人，用c，d，e，f表示非优秀工人，故任取2人的情况如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15种，其中至少有1名优秀工人只有9种情况，故所求概率P＝915＝35.]二、填空题6．某中学共有女生2 000人，为了了解学生体质健康状况，随机抽取100名女生进行体质监测，将她们的体重(单位：kg)数据加以统计，得到如图7-9所示的频率分布直方图，则直方图中x的值为________；试估计该校体重在55,70)的女生有________人．图7-90．024 1 000由5×(0.06＋0.05＋0.04＋x＋0.016＋0.01)＝1，得x＝0.024.在样本中，体重在55,70)的女生的频率为5×(0.01＋0.04＋0.05)＝0.5，所以该校体重在55,70)的女生估计有2 000×0.5＝1 000人．]7.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图7-10所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．图7-101当x≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x <4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91， ∴x ＝1.] 8．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图7-11.根据茎叶图，树苗的平均高度较高的是__________种树苗，树苗长得整齐的是__________种树苗．【导学号：85952031】图7-11乙 甲 根据茎叶图可知，甲种树苗中的高度比较集中，则甲种树苗比乙种树苗长得整齐；而通过计算可得，x 甲＝27，x 乙＝30，即乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．]三、解答题9．(2016·太原二模)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成如下六段：40,50)，50,60)，…，90,100]，得到如图7-12所示的频率分布直方图．图7-12(1)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(2)在抽取的40名学生中，若从数学成绩在40,50)与90,100]两个分数段内随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解] (1)由10×(0.005＋0.01＋0.02＋a ＋0.025＋0.01)＝1，得a ＝0.03.2分 根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.4分估计期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544(人).6分(2)成绩在40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在40,50)分数段的两名同学为A1，A2，在90,100]分数段内的同学为B1，B2，B3，B4.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种.8分如果2名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共7种取法，所以所求概率为P＝715.12分10．(2016·郑州一模)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将先取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少．解](1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A，2分则P(A)＝40200＝15.4分所以当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低15.6分(2)由题可知A类市民和B类市民各有40人，故分别从A类市民和B类市民中各抽出2人，设从A类市民中抽出的2人分别为A1，A2，从B类市民中抽出的2人分别为B1，B2.设“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，8分则事件M中首先抽出A1的事件有：(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种．同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种．故事件M 共有24种.10分设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)．∴P (N )＝424＝16.12分B 组 名校冲刺]一、选择题1．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图7-13所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值m n ＝( )图7-13A ．1B.13C.38D.29C 由茎叶图可知乙的中位数是32＋342＝33，根据甲、乙两组数据的中位数相同，可得m ＝3，所以甲的平均数为27＋33＋393＝33，又由甲、乙两组数据的平均数相同，可得20＋n ＋32＋34＋384＝33，解得n ＝8，所以m n ＝38，故选C.]2．(2016·山西四校二联)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图7-14，数据的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，80,100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )图7-14A ．45B.50C.55D.60B∵20,40)，40,60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是150.3＝50.]3．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图7-15)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是()图7-15A．240 B.280C.320D.480D由频率分布直方图知：学生的体重在65～75 kg的频率为(0.012 5＋0.037 5)× 5＝0.25，则学生的体重在50～65 kg的频率为1－0.25＝0.75.从左到右第2个小组的频率为0.75×26＝0.25.所以抽取的学生人数是120÷0.25＝480,故选D.]4．3个老师对某学校高三三个班级各85人的数学成绩进行分析，已知甲班平均分为116.3分，乙班平均分为114.8分，丙班平均分为115.5分，成绩分布直方图如图7-16，据此推断高考中考生发挥差异较小的班级是()图7-16A．甲 B.乙C.丙D.无法判断C由于平均分相差不大，由直方图知丙班中，学生成绩主要集中在110～120区间上且平均分较高，其次是乙，分数相对甲来说比较集中，相对丙而言相对分散．数据最分散的是甲班，虽然平均分较高，但学生两极分化，彼此差距较大，根据标准差的计算公式和性质知甲的方差大于乙的方差大于丙的方差，所以丙班的学生发挥差异较小．故选C.]5．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．图7-17(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图7-17所示，则该样本的方差为________．(1)2,10,18,26,34 (2)62 (1)分段间隔为405＝8，则所有被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)x ＝15(59＋62＋70＋73＋81)＝69.s 2＝15(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.]6．如图7-18是某个样本的频率分布直方图，分组为100,110)，110,120)，120,130)，130,140)，140,150)，已知a ，b ，c 成等差数列，且区间130,140)与140,150)上的数据个数相差10，则区间110,120)上的数据个数为__________．图7-1820 由频率分布直方图得130,140)上的频率为0.025×10＝0.25，140,150)上的频率为0.015×10＝0.15.设样本容量为x ，则由题意知0.25x －0.15x ＝0.1x ＝10，解得x ＝100.因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c .又10a ＋10b ＋10c ＝1－0.25－0.15＝0.6⇒a ＋b ＋c ＝0.06⇒3b ＝0.06，解得b ＝0.02.故区间110,120)上的数据个数为10×0.020×100＝20.]7．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩(单位：分)数据的茎叶图如图7-19(1)所示：(1)(2)图7-19(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度(只需给出结论)；(2)甲组数据频率分布直方图如图7-19(2)所示，求a，b，c的值；(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．解](1)甲组数据的中位数为78＋792＝78.5，乙组数据的中位数为75＋822＝78.5.从茎叶图可以看出，甲组数据比较集中，乙组数据比较分散.3分(2)由题图易知a＝0.05，b＝0.02，c＝0.01.7分(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，得到的所有基本事件共有100个，其中满足“两数之差的绝对值大于20”的基本事件有16个，故所求概率P＝16100＝425.12分8．(2016·河南六市联考)在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图7-20所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．图7-20(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为A的概率．解](1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25＝40(人)，2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.4分(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]÷40＝2.9.8分(3)由题图可知，“数学与逻辑”科目的成绩为A的有3人，“阅读与表达”科目的成绩为A的有3人，因为恰有2人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A.设这4人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P(B)＝16.12分。
【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：2017年高考仿真押题卷(三) Word版含解析
2017年高考仿真原创押题卷(三) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝() A．(2, 3] B.(－∞，1]∪(2，＋∞)C.1,2)D.(－∞，0)∪1，＋∞)D因为∁U A＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪1，＋∞)．]2．已知i是虚数单位，若a＋b i＝i2＋i－i2－i(a，b∈R)，则a＋b的值是()A．0 B.－2 5iC.－25 D.25D因为a＋b i＝i2＋i －i2－i＝2i＋1－2i＋14＋1＝25，所以a＝25，b＝0，a＋b＝25.]3．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈p是綈q的必要不充分条件．] 4．如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()图1①②③④A ．①④ B.②③ C.②④D.①②A 由所给的正方体知，△P AC 在该正方体上下面上的射影是①，△P AC 在该正方体左右面上的射影是④，△P AC 在该正方体前后面上的射影是④，故①④符合题意．]5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是( )A ．(2,4) B.(2,4] C.2,4)D.(2，＋∞)A 椭圆x 225＋y 29＝1的半焦距c ＝4.要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即ba ＜tan 60°＝3，即b ＜3a ，∴c 2－a 2＜3a 2，整理得c ＜2a ，∴a ＞2.又a ＜c ＝4，则此双曲线实半轴长的取值范围是(2,4)．]6．若数列{a n }满足1a n －1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝()A ．10 B.20 C.30 D.40B由题意知，∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列．又∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20(x 1＋x 20)2，∴x 1＋x 20＝20.又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16，∴x 5＋x 16＝20.]7．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0，则x 2＋y 2＋2x 的最小值是( )【导学号：85952100】A.25B.2－1C.2425D.1D满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0的平面区域如图中阴影部分所示．∵x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1表示(－1,0)点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当x ＝0，y ＝1时，x 2＋y 2＋2x 取最小值1.]8．已知函数f (x )＝sin (2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6C 若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，即sin φ＜0,0＜φ＜2π，当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．]9．程序框图如图2所示，该程序运行后输出的S 的值是 ( )图2A ．2 B.－12 C.－3D.13A 由程序框图知：S ＝2，i ＝1；S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；S ＝1－31＋3＝－12，i ＝3；S ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，i ＝4；S ＝1＋131－13＝2，i ＝5；……，可知S 值周期性出现，周期为4，当i ＝2 017＝4×504＋1时，结束循环输出S ，即输出的S ＝2.]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C ，则( )A ．a ，b ，c 成等差数列B ．a ，b ，c 成等比数列 C.a,2b,3c 成等差数列 D ．a,2b,3c 成等比数列B ∵cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cosC ，∴1－cos 2B ＝cos B ＋cos A cos C ，即sin 2B ＝－cos(A ＋C )＋cos A cos C ＝sin A sin C ，由正弦定理可知：b 2＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列．故选B.]11．已知双曲线T ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的右焦点为F (2,0)，且经过点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，△ABC 的三个顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，P ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k i ≠0，i ＝1,2,3.若直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为－1.则1k 1＋1k 2＋1k 3的值为( )A ．－1 B.－12 C.1D.12B 由题易知a ＝233，a 2＋b 2＝4，解得a 2＝43，b 2＝83，所以T 为：3x 24－3y 28＝1.已知k OM ＋k ON ＋k OP ＝－1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 214－3y 218＝1，3x 224－3y 228＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22y 1＋y 22.即k 1＝2kOM⇒k OM ＝2k 1，同理k ON ＝2k 2，k OP ＝2k 3.由k OM ＋k ON ＋k OP ＝－1，所以2k 1＋2k 2＋2k 3＝－1， 即1k 1＋1k 2＋1k 3＝－12，故选B.]12．如图3，在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别表示三棱锥M -P AB ，M -PBC ，M -P AC 的体积，若f (M )＝(1，x,4y )，且1x ＋ay ≥8恒成立，则正实数a 的最小值是( )【导学号：85952101】图3A ．2－ 2 B.22－12C.9－424D.6－4 2C ∵P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2， ∴V P -ABC＝13×12×3×2×2＝2＝1＋x ＋4y ，即x ＋4y ＝1.∵1x ＋a y ≥8恒成立，∴1x ＋a y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y (x ＋4y )＝1＋ax y ＋4y x ＋4a ≥1＋4a ＋4a ≥8，解得a ≥9－424，∴正实数a 的最小值为9－424.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.1 由题意知(a ＋b )·(k a －b )＝0， 即k －1＋(k －1)a·b ＝0， ∴(k －1)(1＋a·b )＝0.又∵1＋a·b ＝0不恒成立，∴k ＝1.]14．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________.13因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2＜0，所以公比0＜q ＜1.又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0＜q ＜1，所以q ＝13.]15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝e x ＋x 2＋1，则函数h (x )＝2f (x )－g (x )在点(0，h (0))处的切线方程是________．x －y ＋4＝0 由f (x )－g (x )＝e x ＋x 2＋1知f (－x )－g (－x )＝e －x ＋x 2＋1， 即f (x )＋g (x )＝e －x ＋x 2＋1，∴f (x )＝e x ＋e －x ＋2x 2＋22，g (x )＝e －x －e x2，∴h (x )＝2f (x )－g (x )＝e x ＋e －x ＋2x 2＋2－e －x －e x 2＝32e x ＋12e －x ＋2x 2＋2，∴h ′(x )＝32e x ＋12e －x ·(－1)＋4x ，∴h ′(0)＝32－12＝1.又∵h (0)＝4， ∴切线方程是x －y ＋4＝0.]16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x ＜0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是0,2]，则实数a 的取值范围是________．1，3] 函数图象如图所示：∴1≤a≤ 3.]三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin C2＝104.(1)求cos C的值；(2)若△ABC的面积为3154，且sin2A＋sin2B＝1316sin2C，求a，b及c的值.【导学号：85952102】解](1) 因为sinC2＝104，所以cos C＝1－2sin2C2＝－14.4分(2) 因为sin2A＋sin2B＝1316sin2C，由正弦定理得a2＋b2＝1316c2.①6分由余弦定理得a2＋b2＝c2＋2ab cos C，将cos C＝－14代入，得ab＝38c2，②8分由S△ABC＝3154及sin C＝1－cos2C＝154，得ab＝6.③10分由①②③得⎩⎨⎧a＝2，b＝3，c＝4或⎩⎨⎧a＝3，b＝2，c＝4.经检验，满足题意．所以⎩⎨⎧a＝2，b＝3，c＝4或⎩⎨⎧a＝3，b＝2，c＝4.12分18.(本小题满分12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生(1)从表2人中恰有1人测评等级为合格的概率；(2)由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考数据与公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 临界值表：解](1)则m500＝45500＋400，m＝25，∴x＝25－20＝5，y＝20－18＝2.2分表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(b，c)，(A，B)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共10种.4分设事件C表示“从表2的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种，∴P(C)＝610＝35，故所求概率为35.6分(2)8分∵1－0.9＝0.1，P (K 2≥2.706)＝0.10，而K 2＝45(15×5－15×10)230×15×25×20＝98＝1.125＜2.706，10分∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.12分19．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，DC ＝2AB ＝2a ，DA ＝3a ，E 为BC 中点．(1)求证：平面PBC ⊥平面PDE ；(2)线段PC 上是否存在一点F ，使P A ∥平面BDF ？若存在，请找出具体位置，并进行证明：若不存在，请分析说明理由．图--【证明】 (1)连接BD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°， AB ＝a ，DA ＝3a ， 所以BD ＝DC ＝2a ，2分 E 为BC 中点， 所以BC ⊥DE .又因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PD .4分 因为DE ∩PD ＝D ， 所以BC ⊥平面PDE .因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE.6分(2)当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)时，P A∥平面BDF.8分连接AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD.又因为AB＝12DC，所以AO＝12OC，10分从而在△CP A中，AO＝13AC，而PF＝13PC，所以OF∥P A，而OF⊂平面BDF，P A⊄平面BDF，所以P A∥平面BDF.12分20．(本小题满分12分) (2016·河南八校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝83y的焦点．图6(1)求椭圆C的方程；(2)点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解](1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则由题意可知b＝2 3.2分由ca＝12，a2＝c2＋b2，得a＝4.∴椭圆C的方程为x216＋y212＝1.4分(2)①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝12x＋t，5分代入x216＋y212＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0.6分由Δ＞0，解得－4＜t＜4.由韦达定理得x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－12.四边形APBQ 的面积S ＝12×6×|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝348－3t 2， ∴当t ＝0，S max ＝12 3.8分②由∠APQ ＝∠BPQ ，可知P A ，PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －3＝k (x －2)，x 216＋y 212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0. ∴x 1＋2＝8(2k －3)k 3＋4k 2.9分 同理，PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)，可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)3＋4k 2. ∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k 3＋4k 2.10分 k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2 ＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝12. 所以AB 的斜率为定值12.12分21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln ax －x －a x (a ≠0)．(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！(e 为自然对数的底数).【导学号：85952103】解] (1)由题意f ′(x )＝x －a x 2.2分当a ＞0时，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值.4分当a ＜0时，函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a )上是减函数，在(a,0)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值. 6分(2)证明：取a ＝1，由(1)知f (x )＝ln x －x －1x ≥f (1)＝0，故1x ≥1－ln x ＝ln e x ，10分取x ＝1,2,3，…，n ，则1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！.12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a ＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝π2＋φ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D .(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程；(2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值．解] (1) C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝2，C 2：y ＝a .3分因为曲线C 1关于曲线C 2对称，所以a ＝1，C 2：y ＝1.5分(2)|OA |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，6分 |OB |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π2＝22cos φ，7分 |OC |＝22sin φ，8分|OD |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，9分 所以|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |＝4 2.10分23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为－1,5]，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t ＜2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)．解] (1)因为|x －a |≤m ，所以 a －m ≤x ≤a ＋m ，3分所以⎩⎨⎧a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得a ＝2，m ＝3.5分(2)a ＝2时等价于|x －2|＋t ≥|x |，6分 当x ≥2时，x －2＋t ≥x ，∵0≤t ＜2，∴舍去；7分当0≤x ＜2时，2－x ＋t ≥x ，∴0≤x ≤t ＋22，成立；8分当x ＜0时，2－x ＋t ≥－x ，成立.9分所以原不等式的解集是 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，t ＋22.10分。
【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习2017年高考仿真押题卷(一)Word版含解析
2017年高考仿真原创押题卷(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|(x＋2)(x－2)≤0}，N＝{x|x－1＜0}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x＜1} B.{x|－2≤x≤1}C.{x|－2＜x≤1}D.{x|x＜－2}A M＝{x|(x＋2)(x－2)≤0}＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，则M∩N＝{x|－2≤x＜1}，故选A.]2．设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝()A．3＋3i B.－1＋3iC.3＋iD.－1＋iC复数(1－i)(1＋2i)＝1＋2－i＋2i＝3＋i.故选C.]3．已知函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2－1，则f(1)的值为()【导学号：85952090】A．1 B.－1C.2D.－2B函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x2－1，则f(1)＝－f(－1)＝－(2×12－1)＝－1.故选B.]4．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2D设M在双曲线x2a2－y2b2＝1的左支上，且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，则M的坐标为(－2a，3a)，代入双曲线方程可得，4a2a2－3a2b2＝1，可得a＝b，c＝a2＋b2＝2a，即有e＝ca＝ 2.故选D.]5．(2016·黄冈模拟)若a ，b ∈{－1,0,1,2}，则函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 有零点的概率为( )A.1316 B.78 C.34D.58A 法一 显然总的方法总数为16种．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋b ，显然b ∈{－1,0,1,2}时，原函数必有零点，所以有4种取法；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 为二次函数，若f (x )有零点须Δ≥0，即ab ≤1，所以a ，b 取值组成的数对分别为(－1,0)，(1,0)，(2,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)共9种，综上符合条件的概率为9＋416＝1316，故选A.法二 (排除法)总的方法种数为16种，其中原函数若无零点须有a ≠0且Δ<0，即ab >1，所以此时a ，b 取值组成的数对分别为：(1,2)，(2,1)，(2,2)共3种，所以所求有零点的概率为：1－316＝1316，故选A.]6．在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin 2 θ－cos 2 θ的值等于( )图1A ．1 B.－725 C.725D.－2425B 依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ.∵小正方形的面积是125，∴(cos θ－sin θ)2＝ 125. 又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ＞sin θ，∴cos θ－sin θ＝15.又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝125， ∴2cos θsin θ＝2425，∴1＋2sin θcos θ＝4925， 即(cos θ＋sin θ)2＝4925，∴cos θ＋sin θ＝75，∴sin 2 θ－cos 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ)＝－15×75＝－725， 故选B.] 7．已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A ．3 B.－3 C.13D.－13B ∵a ∥b ，∴cos α＋2sin α＝0，∴tan α＝－12， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－3，故选B.]8．下面命题中假命题是( ) A ．∀x ∈R,3x ＞0B ．∃α，β∈R ，使sin (α＋β)＝sin α＋sin βC.∃m ∈R ，使f (x )＝mxm 2＋2是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增 D ．命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＞3x ” D 对于A ，根据指数函数的性质可知，∀x ∈R,3x ＞0，∴A 正确． 对于B ，当α＝β＝0时，满足sin (α＋β)＝sin α＋sin β＝0，∴B 正确． 对于C ，当m ＝1时，幂函数为f (x )＝x 3，且在(0，＋∞)上单调递增，∴C 正确． 对于D ，命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，∴D 错误．故选D.]9．执行如图2所示的程序框图，则输出的S ＝( )图2A ．1 023 B.512 C.511D.255C 模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是：S ＝20＋21＋22＋23＋…＋28＝1－291－2＝29－1＝511.故选C.]10.如图3，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )图3A ．y 2＝9xB ．y 2＝6x C.y 2＝3x D ．y 2＝3xC 如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠A 1AF ＝60°.连接A 1F ，则△A 1AF 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32， ∴抛物线方程为y 2＝3x .故选C.]11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图4所示，则该三棱锥的外接球的表面积为( )【导学号：85952091】图4A ．29π B.30π C.29π2D.216πA 由三视图复原几何体，几何体是底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径d ＝42＋22＋32＝29，球的半径R ＝292.该三棱锥的外接球的表面积S ＝4×π×⎝⎛⎭⎪⎫2922＝29π，故选A.]12．(2015·南昌二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－x )，x ≤0，log 5x ，x ＞0，函数g (x )是周期为2的偶函数，且当x ∈0,1]时，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．5 B.6 C.7D.8C 由题意作函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，log 5x ，x ＞0及函数g (x )的图象如下，结合图象可知，函数f (x )与g (x )的图象共有6个交点， 故函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点个数为6， 故选C.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2016·唐山期末)若(x 2＋ax ＋1)6(a ＞0)的展开式中x 2的系数是66，则⎠⎛0a sinx d x 的值为________．1－cos 2 由题意可得(x 2＋ax ＋1)6的展开式中x 2的系数为C 16＋C 26a 2. 故C 16＋C 26a 2＝66，所以a ＝2或a ＝－2(舍去)． 故⎠⎛0a sin x d x ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x)|20＝1－cos 2.] 14．已知p ：－2≤x ≤11，q ：1－3m ≤x ≤3＋m(m ＞0)，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．8，＋∞) 因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，但qD ⇒/p ， 即⎩⎨⎧ 1－3m ≤－2，3＋m ≥11，即⎩⎨⎧m ≥1，m ≥8，所以m ≥8.] 15．如图5，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC ＝60°，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，则BE →·BF→＝________.图5138 BE →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BA →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12CD →＝BA →·BC →＋12BA →·CD →＋12AD →·BC →＋14AD →·CD→＝1×1×cos 60°＋12×1×1＋12×1×1＋14×1×1×cos 60°＝32＋18＝138.]16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c cos B ＝2a ＋b ，△ABC 的面积为S ＝312c ，则ab 的最小值为________.【导学号：85952092】13 在△ABC 中，由条件及正弦定理可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin (B ＋C )＋sin B ，即 2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋sin B ， ∴2sin B cos C ＋sin B ＝0，∴cos C ＝－12，C ＝2π3. 由于△ABC 的面积为S ＝12ab ·sin C ＝34ab ＝312c ， ∴c ＝3ab .再由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，整理可得9a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时，取等号，∴ab ≥13.]三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a n ，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解] (1)设{a n }是公比为q 大于1的等比数列， ∵a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列，∴6a 2＝a 3＋4＋a 1＋3，化为6a 1q ＝a 1q 2＋7＋a 1.4分 又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7. 联立解得a 1＝1，q ＝2. ∴a n ＝2n －1.6分(2)b n ＝ln a n ＝(n －1)ln 2，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n (n －1)2ln 2.12分18．(本小题满分12分)性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：(单位：名)(1)从这606的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？(2)根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．(精确到0.001)(3)从(1)中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解] (1)抽样比为660＝110，则样本中喜爱的观众有40×110＝4名；不喜爱的观众有6－4＝2名.4分 (2)假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，K 2＝140×(60×20－40×20)280×60×100×40＝224192≈1.167＜5.024.所以不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关.8分(3)记喜爱乐嘉的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1,2，则基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a,1)，(a,2)，(b ，c )，(b ，d )，(b,1)，(b,2)，(c ，d )，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，(1,2)．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个， 故其概率为P (A )＝615＝0.4.12分19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1， (2)求证：AC 1∥平面CDB 1； (3)求三棱锥D -AA 1C 1的体积．图--解] (1)证明：∵AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，∴AC ⊥BC. ∵BB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥CC 1，又BC ∩CC 1＝C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥平面BCC 1B 1.∵BC 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC ⊥BC 1. 4分(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE . ∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴E 是BC 1的中点． ∵D 是AB 的中点，∴DE ∥AC 1.又∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.8分(3)VB -AA 1C 1＝VB -ACC 1＝VC 1-ABC ＝13S △ABC ·CC 1＝13×12×3×4×4＝8. ∵D 是AB 的中点，∴VD -AA 1C 1＝12VB -AA 1C 1＝4.12分20．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，点M 在椭圆上，且满足MF 2⊥x 轴，|MF 1|＝433.(1)求椭圆的方程；(2)若直线y ＝kx ＋2交椭圆于A ，B 两点，求△ABO (O 为坐标原点)面积的最大值.【导学号：85952093】解] (1)由已知得c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2， 得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，因为点M 在第一象限且MF 2⊥x 轴， 可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c ，由|MF 1|＝4c 2＋43c 2＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.4分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2代入椭圆，可得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0， 由Δ＞0，即144k 2－24(3k 2＋2)＞0， 可得3k 2－2＞0，则有x 1＋x 2＝－12k 2＋3k 2，x 1x 2＝62＋3k 2，所以|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2.8分因为直线y ＝kx ＋2与y 轴交点的坐标为(0,2)，所以△OAB 的面积S ＝12×2×|x 1－x 2|＝218k 2－123k 2＋2＝26×(3k 2－2)3k 2＋2.①令3k 2－2＝t ，由①知t ∈(0，＋∞)， 可得S ＝26tt ＋4＝26tt 2＋8t ＋16＝26t ＋16t ＋8≤62， 所以t ＝4时，面积最大为62.12分 21．(本小题满分12分)已知f (x )＝mx ＋1＋n ln x (m ，n 为常数)在x ＝1处的切线为x ＋y －2＝0.(1)求y ＝f (x )的单调区间；(2)若任意实数x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，使得对任意的t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒有f (x )≥t 3－t 2－2at ＋2成立，求实数a 的取值范围．解] (1)f (x )＝m x ＋1＋n ln x 的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝－m (x ＋1)2＋n x， ∴f ′(1)＝－m 4＋n ＝－1， 把x ＝1代入x ＋y －2＝0可得y ＝1，∴f (1)＝m 2＝1，∴m ＝2，n ＝－12， ∴f (x )＝2x ＋1－12ln x ，f ′(x )＝－2(x ＋1)2－12x. ∵x ＞0，∴f ′(x )＜0，∴f (x )的递减区间是(0，＋∞)，无递增区间.4分(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递减， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上的最小值为f (1)＝1， ∴只需t 3－t 2－2at ＋2≤1，即2a ≥t 2－t ＋1t 对任意的t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立.6分 令g (t )＝t 2－t ＋1t ，则g ′(t )＝2t －1－1t 2＝2t 3－t 2－1t 2. ∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴2t 3－t 2－1＝(t －1)(2t 2＋t ＋1)， ∴在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上g (t )单调递减，在1,2]上g (t )单调递增.10分 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝74，g (2)＝52，∴g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是52， ∴只需2a ≥52，即a ≥54，∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞.12分 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，两曲线相交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若P (－2，－4)，求|PM |＋|PN |的值．解] (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，求得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，2分用代入法消去参数求得直线l 的普通方程为x －y －2＝0.5分(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，代入y 2＝4x ，得到t 2－122t ＋48＝0，6分设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，8分则 t 1＋t 2＝122，t 1·t 2＝48，∴|PM |＋|PN |＝|t 1＋t 2|＝12 2.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ＞1)，且f (x )的最小值为3.(1)求a 的值；(2)若f (x )≤5，求满足条件的x 的集合．解] (1)函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |表示数轴上的x 对应点到4，a 对应点的距离之和，它的最小值为|a －4|＝3，4分再结合a ＞1，可得a ＝7.5分(2)f (x )＝|x －4|＋|x －7|＝⎩⎨⎧ －2x ＋11，x ＜4，3，4≤x ≤7，2x －11，x ＞7.6分 故由f (x )≤5可得⎩⎨⎧ x ＜4，－2x ＋11≤5，① 或⎩⎨⎧ 4≤x ≤7，3≤5，② 或⎩⎨⎧x ＞7，2x －11≤5.③8分 解①求得3≤x ＜4，解②求得4≤x ≤7，解③求得7＜x ≤8，综上，不等式的解集为3,8].10分。
《课堂新坐标》2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略训练专题二函数的图象与性质Word版含解析
专题二 函数的图象与性质题型一| 函数及其表示(1)(2016·苏锡常镇调研(二))函数f (x )＝ln (2x －x 2)x －1的定义域为________．(2)(2016·苏州模拟)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x ＞2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．(1)(0,1)∪(1,2) (2)8或－83 [(1)要使函数有意义，只需⎩⎨⎧2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x ＜1或1＜x ＜2，即原函数的定义域为(0,1)∪(1,2)． (2)当m ＞0时，2－m ＜2＜2＋m ，由f (2－m )＝f (2＋m )得3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ， 解得m ＝8.当m ＜0时，2＋m ＜2＜2－m ，由f (2－m )＝f (2＋m )得－(2－m )－2m ＝3(2＋m )－m ， 解得m ＝－83. 综上所述m ＝8或－83.]【名师点评】 1.对于分段函数求值，应注意依据条件准确地找出利用哪一段求解．2．若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2016·无锡期中)定义在R上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(3－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (11)＝________. 2 [f (11)＝f (10)－f (9)＝f (9)－f (8)－f (9)＝－f (8)， f (8)＝f (7)－f (6)＝f (6)－f (5)－f (6)＝－f (5)， f (5)＝f (4)－f (3)＝f (3)－f (2)－f (3)＝－f (2)， f (2)＝f (1)－f (0)＝f (0)－f (－1)－f (0)＝－f (－1)， ∴f (11)＝f (－1)＝log 2(3＋1)＝log 24＝2.]题型二| 函数的图象及其应用(1)已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________．(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【导学号：91632003】[解题指导] (1)作出f (x )的图象，根据图象转化为关于x 的不等式． (2)在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象，将方程根的个数问题转化为两图象交点的个数问题求解．(1)[－1，＋∞) (2)(0,1)∪(9，＋∞) [(1)函数y ＝f (x )的图象如图，由不等式f (2－x )≤f (1)知，2－x ≤2＋1，从而得到不等式f (2－x )≤f (1)的解集为[－1，＋∞)．(2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎨⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，所以0<a <1或a >9.]【名师点评】 1.识图：在观察、分析图象时，要注意图象的分布及变化趋势，尤其是函数的奇偶性以及极值点、特殊点的函数值等，找准解析式与图象的对应关系.2.用图：函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质，求解方程(不等式)中的参数取值等.1．设函数y ＝f (x )是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1)时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎨⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，则函数f (x )和g (x )的图象在区间[－5,10]内公共点的个数为________． 14 [根据题意可在同一坐标平面内分别作出函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图象，如图所示，可见它们在区间[－5,10]内公共点的个数为14个．] 2．函数y ＝12－x的图象与函数y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于________．16 [函数y ＝12－x与函数y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象有公共的对称中心(2,0)，画出两者的图象如图所示，易知y ＝12－x 与y ＝sin π2x (－4≤x ≤8)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝4，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝16.]题型三| 函数的性质及其应用(1)(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．(2)(2016·苏锡常镇调研(二))已知函数f (x )＝x 3＋2x ，若f (1)＋f (log 1a 3)＞0(a ＞0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．【导学号：91632004】[解题指导](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92――――――――――→周期为2，f (x )在[－1，1)上已知建立a 的等量关系―→求a ―→求f (5a )(2)f (x )＝x 3＋2x――→奇偶性f (x )为奇函数――――――――→f (1)＋f (log 1a3)＞0f (log a 3)＜f (1)――→f (x )的单调性建立log a 3与1的不等关系――→解对数不等式求a 的取值范围(1)－25 (2)(0,1)∪(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35.∴f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. (2)∵f (x )＝x 3＋2x ，∴f (－x )＝－x 3－2x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，∴f (1)＋f (log 1a 3)＞0等价于f (1)＞f (log a 3)． 又f ′(x )＝3x 2＋2＞0，∴f (x )在R 上单调递增， ∴log a 3＜1，当a ＞1时，由log a 3＜1得a ＞3， 当0＜a ＜1时，由log a 3＜1得0＜a ＜1. 综上可知，a ∈(0,1)∪(3，＋∞)．]【名师点评】 1.应用函数周期性和奇偶性求值的关键是借助函数的性质将待求函数值的自变量向已知函数的定义域进行转化.2.关于周期性的常用结论,若对于函数f (x )的定义域内任意一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x ) 或f (x ＋a )＝－1f (x )(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以2a 为一个周期的周期函数.1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 [由f (x )为R 上的增函数，则f (x )在(0，＋∞)上为增函数，1－k ＞0，k ＜1.同时，k ≥e 0－k ＝1－k ，即k ≥12，从而k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.]2．(2016·南京三模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．[－1,3] [∵f (x )是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x －2，∴f (x )＝2|x |－2.由f (x )≤2得2|x |－2≤2，即2|x |≤4，解得－2≤x ≤2.故由f (x －1)≤2得－1≤x ≤3，即不等式f (x －1)≤2的解集为[－1,3]．]命题展望函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，综合应用函数的性质解题是高考考查的重点内容之一.纵观江苏省近五年高考，我们可以发现以分段函数为载体的函数性质问题，是每年的必考题.(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a.②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.] [阅卷心语]易错提示 (1)对周期函数的定义理解不到位，找不到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的计算方式；(2)找不出f (－1)与f (1)的关系.防范措施 (1)可借助f (x ＋T )＝f (x )间的关系，把自变量的值实现区域转化； (2)要注意函数特殊点(或特殊位置)的函数值.1．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.1 [函数的周期是2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，根据题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.] 2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)时，那么t 的取值范围是________．【导学号：91632005】⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e [因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ＝f (－ln t )＝f (ln t )＝f (|ln t |)．由f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)⇒2f (ln t )<2f (1)⇒f (|ln t |)<f (1)⇒|ln t |<1⇒－1<ln t <1⇒1e<t <e.]3．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．(－5,0)∪(5，＋∞) [设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.当x ＞0时，由x 2－4x ＞x ，得x ＞5；当x ＜0时，由－x 2－4x ＞x ，得－5＜x ＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．]。
【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：专题限时集训13 圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)
专题限时集训(十三) 圆锥曲线中的综合问题建议用时：45分钟]1．(2016·哈尔滨一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右顶点A (2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的直线l 交椭圆于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值，并求此定值．解](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以C 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)证明：由题意知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x ＝my ＋32，与x 24＋y 2＝1联立得(m 2＋4)y 2＋3my －74＝0，6分由Δ＞0，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－3mm 2＋4，y 1y 2＝－74m 2＋4，8分k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝y 1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－12＝y 1y 2m 2y 1y 2－12m (y 1＋y 2)＋14 ＝－74－74m 2＋32m 2＋14(m 2＋4)＝－74，∴k 1k 2为定值，定值为－74.12分2．(2016·衡水二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【导学号：85952057】解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.4分(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，∴(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0，∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4.6分由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，∴y M ＝28y 13(x 1＋4).8分同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4).10分∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7)＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49，∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127.12分 ∴k 1k 2为定值－127.3．(2016·太原一模)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)求椭圆方程；(2)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(3)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． 解] (1)因为F (－1,0)为椭圆的焦点，所以c ＝1，又b 2＝3， 所以a 2＝4，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.3分(2)因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y ＝x ＋1，和椭圆方程联立得到⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消掉y ，得到7x 2＋8x －8＝0，4分所以Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，5分所以|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247.6分(3)当直线l 斜率不存在时，直线方程为x ＝－1，此时D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0，7分当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)． 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 和椭圆方程联立得到⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x ＋1)，消掉y 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，8分显然Δ＞0，方程有根，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，9分此时|S 1－S 2|＝2||y 1|－|y 2||＝2|y 1＋y 2|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)| ＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2＝123|k |＋4|k |≤1223|k |×4|k |＝12212＝3(k ＝±32时等号成立)，所以|S 1－S 2|的最大值为 3.12分4．(2016·开封二模)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22.图15-4(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解] (1)由题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c ＞0)，且2a 2＋12b 2＝1，故a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，5分 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.6分故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，7分 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0.8分 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.9分由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2，且m 2≠1. 设d 为点O 到直线l 的距离，则d＝|2m|5，10分|PQ|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5(2－m2)，11分所以S＝12|PQ|d＝m2(2－m2)＜m2＋2－m22＝1(m2≠1)，故△OPQ面积的取值范围为(0,1).12分。
2017高考数学文科二轮(通用版)复习对点练专题七概率与统计第1讲演练Word版含答案
第一部分专题七第1讲1.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( C)A. B.C. D.解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为.故选C.2.从正方形四个顶点及其中心这5 个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( C)A. B.C. D.解析：取两个点的所有情况有10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为．故选C.3.(2016·杭州模拟)已知点P,Q为圆C：x2+y2=25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ中点组成的区域为M,在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为( B)A. B.C. D.解析：PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在C内任取一点落在M内的概率为，故选B．4.在区间[0,1]上随机取两个数x,y，记p1为事件“x+y≤12”的概率，p2为事件“xy≤12”的概率，则( D)A p1<p2< B.p2<<p1C.<p2<p1D.p1 <<p2解析：“x+y≤”对应区域面积为S1，“xy≤”对应区域面积为S2，如图.p1=,p2=.由图可知S1<,S2>，所以p1<<p2.故选D.5.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_______.解析：由题意知，这是个几何概型问题,∵S正=1, ∴S阴=0.18.答案：0.186.(2016·武汉二月调考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮互不影响，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是_______.解析：如图所示，设在通电后的4秒种内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x，y，x，y互不影响，由题意可知0≤x≤4,0≤y≤4,|x-y|≤2,所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x-y|≤2)=.答案：7.(2016·南京模拟)设a∈[0,10]，则函数g(x)=在区间(0,+∞)内为增函数的概率为______.解析：因为函数g(x)=在区间(0,+∞)内为增函数,所以a-2<0,解得a<2,所以函数g(x)=在区间(0,+∞)内为增函数的概率为.答案：8.(2016·长沙模拟)一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个.(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，求连续取两次分数之和大于1分的概率.解析：(1)设2个白球分别为白1、白2，则有放回地连续两次所包含的基本事件有(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)，(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)，(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)，(黑，红)(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以基本事件的总数为16．设事件A为“连续取两次都是白球”，则事件A所包含的基本事件有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4种，所以，P(A)=.(2)方法一由(1)知，连续取两次的事件总数为16．设事件B为“连续取两次分数之和为0分”，则P(B)=；设事件C为“连续取两次分数之和为1分”，则P(C)=；设事件D为“连续取两次分数之和大于1分”，则P(D)=1-P(B)-P(C)=.方法二设事件B为“连续取两次分数之和为2分”，则P(B)=;设事件C为“连续取两次分数之和为3分”，则P(C)=；设事件D为“连续取两次分数之和为4分”，是P(D)=；设事件E为“连续两次分数之和大于1分”，则P(E)=P(B)+P(C)+P(D)=.9.(2016·沈阳模拟)一个坛子里有编号为1,2,3,4,5,6的6个大小相同的球.(1)若从中任取两个球，求两个球的编号之和为偶数的概率；(2)若从坛子里任取一个球，记下其编号x，然后放回坛子，第二次再任取一个球，记下其编号y.求点P(x,y)在直线y=2x-1上的概率.解析：(1)两个球的编号的所有不同的结果有{1，2}，{1，3}，{1，4)，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4)，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共有15种情况．其中两个球的编号之和为偶数的有{1，3}，{1，5}，{2，4}，{2，6}，{3，5}，{4，6}，共有6种情况．所以两个球的编号之和为偶数的概率为P1=.(2)由题意，点P(x，y)的选取如下表所示：共有36种不同的情况.点P(x，y)在直线y=2x-1上的不同结果有(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3种不同的情况. 所以点P(x,y)在直线y=2x-1上的概率为P2=.10.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5，3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.解析：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45-30＝15人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P=.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．因此，A1被选中且B1未被选中的概率为P=.。
【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：专题限时集训3 平面向量 Word版含解析
1．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则DA ＝ CDA ＝CB ＝AB －AC ＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．] 2．(2016· 河北联考)在等腰梯形 ABCD 中，AB ＝－2CD ，M 为 BC 的中点，则AM A.2AB ＋2AD B.4AB ＋2AD C.4AB ＋4ADD.2AB ＋4ADB 因为AB ＝－2CD ，所以AB ＝2DC.又 M 是 BC 的中点，所以AM ＝2(AB＋AC)＝2(AB ＋AD ＋DC)＝2(AB ＋AD ＋2AB)＝4AB ＋2AD ，故选 B.]3．已知向量BA ＝ ，⎪，BC ＝ ，2⎪，则∠ABC ＝( )⎪，BC ＝ ，2⎪，所以BA · BC ＝ 4 ＋ 4 ＝ 2 .又因为BA · BC⎝2 2 ⎭ ⎝ 2 ＝|BA||BC|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以 cos ∠ABC ＝ 3.又 0°≤∠ABC ≤180°，4．(2016· 武汉模拟)将OA ＝(1,1)绕原点 O 逆时针方向旋转 60°得到OB ，则OB ＝ 专题限时集训 (三)平面向量建议 A 、B 组各用时：45 分钟]A 组 高考达标]一、选择题→ → →()A ．(2,4) B.(3,5)C.(1,1)D.(－1，－1)→ → → →→ → →＝()1 → 1 →3 → 1 → 3 → 1 →1 → 3 →→ → → → → 1 → →1 → → → 1 → → 1 → 3 → 1 →→ ⎛1 3⎫ → ⎛ 3 1⎫ ⎝2 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭A ．30°C.60°B.45°D .120°→ ⎛1 3⎫ → ⎛ 3 1⎫ → → 3 3 3 → → A因为BA ＝ ，⎭2所以∠ABC ＝30°.故选 A.]→ → →()2 ⎪⎝2 ⎭ 2 ⎪ ⎝ 2⎭ C. ， ⎪D. ， ⎪22 2 2 A由题意可得OB的横坐标 x ＝ 2cos(60°＋45°)＝ 2 － 4 2 ，纵坐⎝ 4 标 y ＝ 2sin(60°＋45°)＝ 2＋ 4 ⎛ 6 2⎫ 1＋ 3 → ⎛1－ 3 1＋ 3⎫ 2 ，则OB ＝2 ⎪，故选 A.] ⎝ 4 ⎝ 2 ⎭ ．△5 ABC 外接圆的半径等于 1，其圆心 O 满足AO ＝2(AB＋AC)，|AO|＝|AC|， 则向量BA在BC 方向上的投影等于(C 由AO ＝2(AB ＋AC)可知 O 是 BC 的中点，即 BC 为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC|.又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由 圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB|＝ 3，所以BA 在BC 方向上的投影为|BA |· c os ∠ 1 → → ⎛1－ 3 1＋ 3⎫ A. ，⎛－1－ 3 －1＋ 3⎫⎝ ⎭ ⎛1＋ 3 1－ 3⎫B. ，⎛－1＋ 3 －1－ 3⎫⎝⎭→ ⎛ 2 6⎫ 1－ 3 ⎪＝ ⎭⎪＝ ， ⎭→ 1 → → → →→ →)【导学号：85952018】3A ．－ 23 C.23 B. 2D.3→ →→ → → →→ → → →3ABC ＝ 3×cos 30°＝2，故选 C.]二、填空题6．在如图 3-2 所示的方格纸中，向量 a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方x形顶点)上，若 c 与 x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，则y 的值为________．图 3-2e －y)e 1＋λ(x －2y)e 2，∴⎨⎪⎩y ＝ 5 ，7．已知向量AB 与AC 的夹角为 120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数 λ 的值为________． 7 → → → →∵AP ⊥BC ，∴AP · B C ＝0，∴(λAB ＋AC )· B C ＝0， 即(λAB ＋AC )· (AC －AB)＝λAB · A C －λAB 2＋AC 2－AC · A B ＝0. ∵向量AB 与AC 的夹角为 120°，|AB|＝3，|AC|＝2， 8．(2016· 湖北七州联考)已知点 O 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心，则OB · O C－ ∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长 AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且 AO ＝ 3 ，∴OB · OC ＝(AB －AO )· (AC －AO)＝AB · AC －AO · AC－⎛ 3⎫29．设向量 a ＝( 3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈⎢0，2⎥. ⎝ 3 ⎭⎤ 65设 e 1，2 为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量 c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与 x a ＋y b 共线，得 c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x⎧λ(2x －2y )＝1， ⎩λ(x －2y )＝－2，∴ ⎧⎪x ＝3， ⎨ λ2λx 6 则y 的值为5.]→ → → → → → → →→12→ → →→ → → → → → → → → →→ → → →7 ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得 λ＝12.]→ →＝__________.163 → → → → → → → → → →→ → → 3 3 1 AO · AB ＋AO 2＝1×1×cos 60°－ 3 ×1×cos 30°－ 3 ×1×cos 30°＋ ⎪ ＝－6.]三、解答题⎡ π ⎣ ⎦(1)若|a|＝|b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x)＝a·b ，求 f(x)的最大值．解] (1)由|a |2＝( 3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2 x ，|b |2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，又 x ∈⎢0，2⎥，从而 sin x ＝ ，2＝sin 2x －6⎪＋2，9 分当 x ＝3∈⎢0，2⎥时，sin 2x －6⎪取最大值 1.．在△10 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 a >c.已知BA · B C ＝解](1)由BA · B C ＝2 得 cacos B ＝2.1 分 π⎤ (2)在△ABC 中，sin B ＝ 1－cos 2 B ＝⎛1⎫ ⎝ ⎭⎪ ＝ 及|a |＝|b |，得 4sin 2x ＝1.4 分⎡ π⎤ 1 ⎣ ⎦π所以 x ＝6.6 分(2)f(x)＝a·b ＝ 3sin x ·cos x ＋sin 2 x3 1 1 ＝ 2 sin 2x －2cos 2x ＋2⎛ π⎫ 1 ⎝ ⎭π ⎡ ⎛ π⎫ ⎣ ⎦ ⎝ ⎭3所以 f(x)的最大值为2.12 分→ →12，cos B ＝3，b ＝3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(B －C)的值．→ →1因为 cos B ＝3，所以 ac ＝6.2 分由余弦定理，得 a 2＋c 2＝b 2＋2accos B.又 b ＝3，所以 a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.⎧ac ＝6， 解⎨⎩a 2＋c 2＝13，得 a ＝2，c ＝3 或 a ＝3，c ＝2.4 分因为 a >c ，所以 a ＝3，c ＝2.6 分2 21－ 3⎪2＝ 3 ，7 分c 2 2 2 4 2由正弦定理，得 sin C ＝b sin B ＝3× 3 ＝ 9 .8 分因为 a ＝b >c ，所以 C 为锐角，因此 cos C ＝ 1－sin 2 C ＝1－⎛4 2⎫2 7.10⎝ 9 ⎭ 9分AB交于点D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( B由题意可得OD＝k OC＝kλOA＋kμOB(0<k<1)，又A，D，B三点共线可得kλ3．如图3-3，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·F E等A．－48 B.－917224223于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝3×9＋3×9＝27.12分B组名校冲刺]一、选择题1．(2016·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段→→→)A．(0,1) C.(1，2]B.(1，＋∞)D.(－1,0)→→→→1＋kμ＝1，则λ＋μ＝k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]12．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝3，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为()A．4 9C.4B.－49 D.－4B∵n⊥(tm＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，即t m·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.31又4|m|＝3|n|，∴t×4|n|2×3＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.]→→→→于()图3-33C.－44D.－9B∵BF ＝2FO ，圆 O 的半径为 1， ∴FD · FE ＝(FO ＋OD )· (FO ＋OE)＝FO 2＋FO · (OE ＋OD)＋OD · OE ＝ 3⎪2＋0－1＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量 m ＝ 2，4⎪，n ＝ 6，0⎪，点 P 在 y ＝cos x 的图象上运动， 点 Q 在 y ＝f(x)的图象上运动，且满足OQ ＝m ⊗OP ＋n (其中 O 为坐标原点)，则 y ＝f(x) 在区间⎢6，3⎥上的最大值是()Q 点的坐标为(x ，y)，则OQ ＝m ⊗OP ＋n ⇒(x ，y)＝ 2，4⎪⊗(x 0，cos x 0)＋ 6，0⎪⇒(x ，⎧⎪ x ＝2x 0＋6， ⎪⎩y ＝4cos x ， 1 π ⎝2x 0＋6，4cos x 0⎭ ⎧⎪ x ＝2 x －6⎪， 即⎨ 0 ⎪⎩y ＝4cos x ⇒y ＝4cos 2x －3⎪，2x －3⎪，⎛ π⎫ 即 f(x)＝4cos 当 x ∈⎢6，3⎥时， 2x －3⎪≤1⇒2≤4cos2x －3⎪≤4， 所以2≤cos 1 ⎛ ⎛ π⎫ 所以函数 y ＝f(x)在区间⎢6，3⎥上的最大值是 4，故选 A.] 1→ →→ 1 ∴|FO|＝3，→ → → → → → → → → → → → ⎛1⎫ ⎝ ⎭8＝－9.]4．设向量 a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)⎛1 ⎫ ⎛π ⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭→⎡π π⎤ ⎣ ⎦【导学号：85952019】A ．4C.2 2 B.2D.2 3A 因为点 P 在 y ＝cos x 的图象上运动，所以设点 P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设→ → ⎛1 ⎫ ⎛π ⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 π ⎛ ⎫y)＝ ⎪⇒⎨⎛ π⎫ ⎝ ⎭ 0⎛ π⎫ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎡π π⎤ ⎣ ⎦π π π 2π π π由6≤x ≤3⇒3≤2x ≤ 3 ⇒0≤2x －3≤3，⎝ ⎭⎝ ⎭⎡π π⎤ ⎣ ⎦二、填空题→与AC满足AB＋AC⎪·B C＝0,且|AB－AC|＝23，点D是⎛→→⎫6．已知非零向量AB⎝|AB||AC|⎭△ABC中BC边的中点，则AB·B D＝________.⎛AB AC⎫⎪→＋－3由→→⎪·B C＝0得BC与∠A的角平分线所在的向量垂直，所以AB＝AC，BC⊥AD.又|AB－AC|＝23，所以|CB|＝23，所以|BD|＝3，AB·B D＝－BA·B D＝－|BD|2＝－3.]7．已知向量a＝ 2sin ωx＋3⎪，0⎪，b＝(2cosωx,3)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的图解](1)因为向量a＝ 2sin ωx＋3⎪，0⎪，b＝(2cosωx，3)(ω>0)，所以函数f(x)a|⎛ωx＋2π⎫⎪cosωx＝4 sinωx·⎛ －⎫⎪＋cosωx·3⎭⎝2⎭＝a·b＝4sin ⎪cosωx＝23·c os2ωx－2sin ωx cosωx＝3(1＋cos2ωx)－sin2ωx＝2cos 2ωx＋6⎪＋3，4分π5．(2016·广州二模)已知平面向量a与b的夹角为3，＝(1，3)，a－2b|＝23，则|b|＝__________.2由题意得|a|＝12＋(3)2＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝π22－4×2cos3|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]→→→→→→⎪→→→→→⎝|AB||AC|⎭→→→→→→→→→→→三、解答题⎛⎛2π⎫⎫⎝⎝⎭⎭象与直线y＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在0,2π]上的单调递增区间．⎛⎛2π⎫⎫⎝⎝⎭⎭⎝⎝⎛13⎫2⎭⎛π⎫⎝⎭由题意可知f(x)的最小正周期为T＝π，2π所以2ω＝π，即ω＝1.6分(2)易知 f(x)＝2cos 2x ＋6⎪＋ 3，当 x ∈0,2π]时，2x ＋6∈⎢6，4π＋6⎥，8 分所以函数 f(x)的单调递增区间为⎢12， 12 ⎥和⎢ 12 ， 12 ⎥.12 分．已知△8 ABC 的周长为 6，|BC|，|CA|，|AB|成等比数列，求：(2)BA · B C 的取值范围． 解] 设|BC|，|CA|，|AB|依次为 a ，b ，c ，则 a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac.2 分 (2)BA · B C ＝accos B ＝ ＝ ＝ ＝－(b ＋3)2 ∵0＜b ≤2，∴2≤BA · B C ＜18， 即BA · B C 的取值范围是 2,18).12 分⎛ π⎫ π ⎡π π⎤ ⎝ ⎭ ⎣ ⎦π π故 2x ＋6∈π，2π]或 2x ＋6∈3π，4π]时，函数 f(x)单调递增，10 分⎡5π 11π⎤ ⎡17π 23π⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦→ → →(1)△ABC 面积 S 的最大值；→ →→ → →在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 a 2＋c 2－ac 2ac －ac 1 π2ac ＝ 2ac ≥ 2ac ＝2，故有 0＜B ≤3，4分a ＋c 6－b又 b ＝ ac ≤ 2 ＝ 2 ，从而 0＜b ≤2.6 分1 1 1 π π (1)S ＝2acsin B ＝2b 2sin B ≤2·22·sin 3＝ 3，当且仅当 a ＝c ，且 B ＝3，即△ABC 为等边三角形时面积最大，即 S max ＝ 3.8 分→ →a 2＋c 2－b 2 (a ＋c )2－2ac －b 2 (6－b )2－3b 2 22 2＋27.10 分→ →→ →。
【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：第1部分 专题6 突破点16 导数的应用(酌情自选)
突破点16导数的应用(酌情自选)提炼1导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递减．(2)常数函数的判定方法如果在某个区间(a，b)内，恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)是常数函数，在此区间内不具有单调性．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围设可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验)．提炼2函数极值的判别注意点(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，当x＝0时就不是极值点，但f′(0)＝0.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值．在x0处有f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件．(3)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值．提炼3函数最值的判别方法(1)求函数f(x)在闭区间a，b]上最值的关键是求出f′(x)＝0的根的函数值，再与f(a)，f(b)作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)求函数f(x)在非闭区间上的最值，只需利用导数法判断函数f(x)的单调性，即可得结论．回访1导数与函数的单调性1．(2016·全国乙卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 C 取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A ，B ，D.故选C.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1,0)D.(0,1)∪(1，＋∞)A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0， ∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0，g (x )>0时，f (x )>0,0<x <1，当x <0，g (x )<0时，f (x )>0，x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.]回访2 函数的极值与最值3．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B.(－∞，－2)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)B f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )<0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝59>0，则f (x )的大致图象如图(1)所示．(1)不符合题意，排除A 、C.当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32时，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－54，则f (x )的大致图象如图(2)所示．(2)不符合题意，排除D.]4．(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a . (1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．2 a <－1 由当x ≤a 时，f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.如图是函数y＝x3－3x与y＝－2x在没有限制条件时的图象．(1)若a＝0，则f(x)max＝f(－1)＝2.(2)当a≥－1时，f(x)有最大值；当a<－1时，y＝－2x在x>a时无最大值，且－2a>(x3－3x)max，所以a<－1.]热点题型1利用导数研究函数的单调性问题题型分析：利用导数研究函数的单调性问题常在解答题的第(1)问中呈现，有一定的区分度，此类题涉及函数的极值点、利用导数判断函数的单调性、不等式的恒成立等．(2016·辽宁葫芦岛模拟)已知x＝1是f(x)＝2x＋bx＋ln x的一个极值点．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)设函数g(x)＝f(x)－3＋ax，若函数g(x)在区间1,2]内单调递增，求实数a的取值范围.【导学号：85952067】解](1)因为f(x)＝2x＋bx＋ln x，所以f′(x)＝2－bx2＋1x，因为x＝1是f(x)＝2x＋bx＋ln x的一个极值点，所以f′(1)＝2－b＋1＝0，解得b＝3，经检验，符合题意，所以b＝3.则函数f(x)＝2x＋3x＋ln x，其定义域为(0，＋∞).4分令f′(x)＝2－3x2＋1x＜0，解得－32＜x＜1，所以函数f(x)＝2x＋3x＋ln x的单调递减区间为(0,1].6分(2)因为g(x)＝f(x)－3＋ax＝2x＋ln x－ax，所以g′(x)＝2＋1x＋ax2.8分因为函数g(x)在1,2]上单调递增，所以g′(x)≥0在1,2]上恒成立，即2＋1x＋ax2≥0在x∈1,2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，而在1,2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.所以实数a的取值范围为－3，＋∞).12分根据函数y＝f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：(1)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增，转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立求解．(2)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递减，转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立求解．(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调，转化为f′(x)在(a，b)上不变号即f′(x)在(a，b)上恒正或恒负．(4)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，转化为f′(x)在(a，b)上变号．变式训练1](2016·重庆模拟)设函数f(x)＝3x2＋axe x(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．解](1)对f(x)求导得f′(x)＝(6x＋a)e x－(3x2＋ax)e x(e x)2＝－3x2＋(6－a)x＋ae x.2分因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝3x2e x，f′(x)＝－3x2＋6xe x，故f(1)＝3e，f′(1)＝3e，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3e＝3e(x－1)，化简得3x－e y＝0.6分(2)由(1)知f′(x)＝－3x2＋(6－a)x＋ae x.令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝6－a－a2＋366，x2＝6－a＋a2＋366.8分当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数；当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)为增函数；当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数．由f (x )在3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92， 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.12分 热点题型2 利用导数研究函数的极值、最值问题题型分析：利用导数研究函数的极值、最值是高考重点考查内容，主要以解答题的形式考查，难度较大．(2016·株洲一模)已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2.(1)求f (x )的解析式及单调区间；(2)若f (x )≥12x 2＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值．解] (1)f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2⇒f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x ，令x ＝1，得f (0)＝1，所以f (x )＝f ′(1)e x －1－x ＋12x 2，令x ＝0，得f (0)＝f ′(1)e －1＝1，解得f ′(1)＝e ，故函数的解析式为f (x )＝e x －x ＋12x 2.3分令g (x )＝f ′(x )＝e x －1＋x ，所以g ′(x )＝e x ＋1＞0，由此知y ＝g (x )在x ∈R 上单调递增．当x ＞0时，f ′(x )＞f ′(0)＝0；当x ＜0时，由f ′(x )＜f ′(0)＝0得：函数f (x )＝e x －x ＋12x 2的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0).6分(2)f (x )≥12x 2＋ax ＋b ⇔h (x )＝e x －(a ＋1)x －b ≥0，得h ′(x )＝e x －(a ＋1).8分①当a ＋1≤0时，h ′(x )＞0⇒y ＝h (x )在x ∈R 上单调递增，x →－∞时，h (x )→－∞与h (x )≥0矛盾．②当a ＋1＞0时，h ′(x )＞0⇔x ＞ln(a ＋1)，h ′(x )＜0⇔x ＜ln(a ＋1)，得当x ＝ln(a ＋1)时，h (x )min ＝(a ＋1)－(a ＋1)ln(a ＋1)－b ≥0，即(a ＋1)－(a ＋1)ln(a ＋1)≥b ，所以(a ＋1)b ≤(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)(a ＋1＞0)．令F (x )＝x 2－x 2ln x (x ＞0)，则F ′(x )＝x (1－2ln x )，所以F ′(x )＞0⇔0＜x ＜e ，F ′(x )＜0⇔x ＞e ，当x ＝e 时，F (x )max ＝e 2，即当a ＝e －1，b ＝e 2时，(a ＋1)b 的最大值为e 2.12分利用导数研究函数极值、最值的方法1．若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．2．若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．3．求函数f (x )在闭区间a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．变式训练2] (2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .2分若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.6分 (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.10分 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1).12分热点题型3 利用导数解决不等式问题题型分析：此类问题以函数、导数与不等式相交汇为命题点，实现函数与导数、不等式及求最值的相互转化，达成了综合考查考生解题能力的目的．(2016·长沙十三校联考)设函数f (x )＝x ln x －ax .(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为减函数，求实数a 的最小值；(2)若存在x 1，x 2∈e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围．解] (1)由⎩⎨⎧x >0，ln x ≠0，得x >0且x ≠1，则函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，因为f (x )在(1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )＝ln x －1(ln x )2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立． 又f ′(x )＝ln x －1(ln x )2－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x 2＋1ln x －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋14－a ， 故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a .所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14.4分(2)命题“若存在x 1，x 2∈e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”.由(1)知，当x ∈e ，e 2]时，f ′(x )max ＝14－a ，∴f ′(x )max ＋a ＝14.5分 问题等价于：“当x ∈e ，e 2]时，有f (x )min ≤14”． ①当a ≥14时，由(1)知，f (x )在e ，e 2]上为减函数，则f (x )min ＝f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e 2.6分 ②当a <14时，由x ∈e ，e 2]得12≤1ln x ≤1，∴f ′(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋14－a 在e ，e 2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，14－a .7分 (ⅰ)－a ≥0，即a ≤0，f ′(x )≥0，在e ，e 2]上恒成立，故f (x )在e ，e 2]上为增函数，于是，f (x )min ＝f (e)＝e －a e ≥e>14，不合题意.8分(ⅱ)－a <0，即0<a <14，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f ′(x )＝0，且满足：当x∈(e，x0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(x0，e2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；10分所以，f min(x)＝f(x0)＝x0ln x0－ax0≤14，x0∈(e，e2)，所以，a≥1ln x0－14x0>1ln e2－14e>12－14＝14，与0<a<14矛盾.11分综上得a≥12－14e2.12分1．利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．2．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))．(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．变式训练3](2016·太原一模)设函数f(x)＝ax2ln x＋b(x－1)(x＞0)，曲线y＝f(x)过点(e，e2－e＋1)，且在点(1,0)处的切线方程为y＝0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)≥(x－1)2；(3)若当x≥1时，f(x)≥m(x－1)2恒成立，求实数m的取值范围．解](1)函数f(x)＝ax2ln x＋b(x－1)(x＞0)，可得f′(x)＝2a ln x＋ax＋b，因为f′(1)＝a＋b＝0，f(e)＝a e2＋b(e－1)＝a(e2－e＋1)＝e2－e＋1，所以a＝1，b＝－1.2分(2)证明：f (x )＝x 2ln x －x ＋1，设g (x )＝x 2ln x ＋x －x 2(x ≥1)，g ′(x )＝2x ln x －x ＋1，(g ′(x ))′＝2ln x ＋1＞0， 所以g ′(x )在0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )≥g ′(1)＝0，所以g (x )在0，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，所以f (x )≥(x －1)2.6分(3)设h (x )＝x 2ln x －x －m (x －1)2＋1，h ′(x )＝2x ln x ＋x －2m (x －1)－1，由(2)中知x 2ln x ≥(x －1)2＋x －1＝x (x －1)，所以x ln x ≥x －1，所以h ′(x )≥3(x －1)－2m (x －1)，①当3－2m ≥0即m ≤32时，h ′(x )≥0，所以h (x )在1，＋∞)单调递增，所以h (x )≥h (1)＝0，成立．②当3－m ＜0即m ＞32时，h ′(x )＝2x ln x －(1－2m )(x －1)，(h ′(x ))′＝2ln x ＋3－2m ，令(h ′(x ))′＝0，得x 0＝e 2m －32－2＞1，当x ∈1，x 0)时，h ′(x )＜h ′(1)＝0，所以h (x )在1，x 0)上单调递减，所以h (x )＜h (1)＝0，不成立．综上，m ≤32.12分。
【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：第1部分 专题5 突破点11 直线与圆 Word版含解析
专题五平面解析几何建知识网络明内在联系扫一扫，各专题近五年全国考点分布高考点拨]平面解析几何是高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系．双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题．基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升．突破点11直线与圆提炼1圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(2)圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．提炼2 求解直线与圆相关问题的两个关键点 (1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理．(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，弦长公式|AB |＝2r 2－d2(弦心距d )．提炼3 求距离最值问题的本质 (1)圆外一点P 到圆C 上的点距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中r 为圆的半径．(2)圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ，最小距离是d －r ，其中d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径．(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．回访1 圆的方程1．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎨⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]2．(2014·山东高考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．(x －2)2＋(y －1)2＝4 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]回访2 直线与圆的相关问题3．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43 B.－34 C. 3D.2A 由圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.] 4．(2016·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]热点题型1 圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法．(1)(2016·黄山一模)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．(2)(2016·郑州二模)已知⊙M 的圆心在第一象限，过原点O 被x 轴截得的弦长为6，且与直线3x ＋y ＝0相切，则圆M 的标准方程为________．(1)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 (2)(x －3)2＋(y －1)2＝10 (1)因为圆C 关于y 轴对称，所以圆C 的圆心C 在y 轴上，可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33.所以圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.(2)法一：设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(a ＞0，b ＞0，r ＞0)，由题意知⎩⎨⎧b 2＋9＝r 2，|3a ＋b |32＋12＝r ，a 2＋b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝10，故⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.法二：因为圆M 过原点，故可设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，又被x 轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 22＝32，故D ＝－6，与3x ＋y ＝0相切，则－E 2－D2＝13，即E ＝13D ＝－2，因此所求方程为x 2＋y2－6x －2y ＝0.故⊙M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.]求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 变式训练1] (1)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B.(x ＋1)2＋y 2＝4 C.x 2＋(y －1)2＝4D.x 2＋(y ＋1)2＝4(2)(2016·长春一模)抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________．(1)B (2)(x －1)2＋y 2＝4 (1)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得⎩⎨⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎨⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 故选B.(2)由题意知，A (1,2)，B (1，－2)，M (－1,0)，△AMB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则线段AB 是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.]热点题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法．(1)(2016·全国丙卷)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.4 如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线，∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4.](2)(2016·开封一模)如图13-1，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝r 2是椭圆x 216＋y 2＝1的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点．(1)求圆G 的半径r ；(2)过点M (0,1)作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．图13-1解] (1)设B (2＋r ，y 0)，过圆心G 作GD ⊥AB 于D ，BC 交长轴于H . 由GD AD ＝HB AH 得r 36－r 2＝y 06＋r， 即y 0＝r 6＋r6－r， ①2分而B (2＋r ，y 0)在椭圆上，y 20＝1－(2＋r )216＝12－4r －r 216＝－(r －2)(r ＋6)16，②3分由①②式得15r 2＋8r －12＝0， 解得r ＝23或r ＝－65(舍去).5分(2)证明：设过点M (0,1)与圆(x －2)2＋y 2＝49相切的直线方程为y ＝kx ＋1，③ 则23＝|2k ＋1|1＋k 2， 即32k 2＋36k ＋5＝0，④解得k1＝－9＋4116，k2＝－9－4116.将③代入x216＋y2＝1得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，则异于零的解为x＝－32k16k2＋1.8分设F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，则x1＝－32k116k21＋1，x2＝－32k216k22＋1，9分则直线FE的斜率为k EF＝k2x2－k1x1x2－x1＝k1＋k21－16k1k2＝34，于是直线FE的方程为y＋32k2116k21＋1－1＝34⎝⎛⎭⎪⎫x＋32k116k21＋1.即y＝34x－73，则圆心(2,0)到直线FE的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－731＋916＝23，故结论成立.12分1．直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．2．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2r2－d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．变式训练2](1)(2016·哈尔滨一模)设直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程为________.【导学号：85952047】y ＝x ＋1 直线l 恒过定点M (0,1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，易知点M (0,1)在圆C 的内部，依题意当l ⊥CM 时直线l 被圆C 截得的弦最短，于是k ·1－00－1＝－1，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.](2)(2016·泉州一模)已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．①求曲线E 的方程；②已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解] ①设曲线E 上任意一点坐标为(x ，y )， 由题意，(x ＋1)2＋y 2＝3(x －1)2＋y 2，2分 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0， 即(x －2)2＋y 2＝3为所求.4分②由题知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)，设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：y ＝x －2，设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ， 解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22.7分由圆的几何性质，|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2， 而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝⎛⎭⎪⎫t －222＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解得t ＝0，或t ＝3，11分所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.12分。
【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：专题限时集训6 古典概型与几何概型 Word版含解析
专题限时集训(六)古典概型与几何概型建议A、B组各用时：45分钟]A组高考达标]一、选择题1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815 B.18C.115 D.130C∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝1 15.]2．(2016·福州模拟)在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()A.310 B.58C.710 D.25D由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为410＝25，故选D.]3．(2016·大连双基检测)在区间0，π]上随机地取一个数x，则事件“sin x≤1 2”发生的概率为()A.34 B.23C.12 D.13D 由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π时，sin x ≤12，所以所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π－5π6π＝13，故选D.]4．(2016·合肥二模)某中学有3个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为( )A.13B.12C.23D.34C 甲、乙两位同学参加3个社团，共有9种不同的情况，其中两人参加相同的社团的情况有3种，所以两人参加不同的社团的概率为1－39＝23，故选C.]5．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78C 如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ，y ，x ，y 相互独立，由题意可知⎩⎨⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABCS 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.]二、填空题6．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝__________.23将事件A＋B分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”，则C，D互斥，且P(C)＝13，P(D)＝13，∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝2 3.]7．(2016·河南市联考)已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{}4，6，8，b∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为__________.【导学号：85952028】23要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0要有两个实根，则Δ＝4a2－4b2>0.又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即a>b，而a，b的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.]8．如图6-2，向边长为2的正方形中随机投入一粒黄豆，若圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝94，则黄豆落入阴影部分的概率为________．图6-21－9π64由题意可知黄豆落入阴影部分的概率为22－14π⎝⎛⎭⎪⎫32222＝1－9π64.]三、解答题9.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：图6-3甲商场：顾客转动如图6-3所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球，3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外，不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解] 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26.所以，在甲商场中奖的概率为 P 1＝πR 26πR 2＝16.4分如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，8分摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共3个，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15.10分由于P 1<P 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大.12分 10．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y ∈R ，且1≤x ≤6,1≤y ≤6，求满足a·b >0的概率；(2)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率．解] (1)用B 表示事件“a·b >0”，即x －2y >0.1分试验的全部结果所构成的区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，2分 构成事件B 的区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x －2y >0}，3分 如图所示．所以所求的概率为P (B )＝12×4×25×5＝425.6分(2)设(x ，y )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个.9分用A 表示事件“a·b ＝－1”，即x －2y ＝－1. 则A 包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个． 11分∴P (A )＝336＝112.12分B 组 名校冲刺]一、选择题1．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( )A.310 B.15 C.12D.35A 基本事件的总数为10，其中能构成三角形三边长的数组为(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故其概率为310.]2．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )【导学号：85952029】A.14B.13C.12D.23C 如图所示，取边BC 上的中点D ，由PB →＋PC →＋2P A →＝0，得PB →＋PC →＝2AP →.又PB →＋PC →＝2PD →，故AP →＝PD →，即P 为AD 的中点，则S △ABC ＝2S △PBC ，根据几何概率的概率公式知，所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.]3．(2016·济南模拟)已知函数f (x )＝13ax 3－12bx 2＋x ，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数f ′(x )在x ＝1处取得最值的概率是( )A.136 B.118 C.112D.16C 由题意得f ′(x )＝ax 2－bx ＋1，因为f ′(x )在x ＝1处取得最值，所以b2a ＝1，符合的点数(a ，b )有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a ，b )共有36种情况，所以所求概率为336＝112，故选C.]4．在区间0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3 B.p 2<p 3<p 1 C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1B 满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.]二、填空题5．曲线C的方程为x2m2＋y2n2＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A为“方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝__________.512试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P(A)＝1536＝512.]6．已知区域Ω＝{(x，y)|x＋y≤10，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x－y≥0，x≤5，y≥0}，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率P(A)＝__________.14作出如图所示的可行域，易得区域Ω的面积为12×10×10＝50，区域A(阴影部分)的面积为12×5×5＝252，所以P(A)＝252÷50＝14.]三、解答题7．现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀，从中选出数学、物量、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率．解](1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A1，B1，C1}，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18个基本事件组成.4分由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“C1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}.6分事件M 由9个基本事件组成，因而P (M )＝918＝12.8分 (2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件， 则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件．由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，事件N 由2个基本事件组成，所以P (N )＝218＝19.11分由对立事件的概率公式得 P (N )＝1－P (N )＝1－19＝89.12分8．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)若直线l ：x ＋y －5＝0，求点P (b ，c )恰好在直线l 上的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解] (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，4分当b ＋c ＝5时，(b ，c )的所有取值为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，5分 所以所求概率为P 1＝416＝14.6分(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立.7分 ②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎨⎧ b ＝1，c ＝2.8分③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎨⎧b ＝2，c ＝3.9分④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎨⎧b ＝3，c ＝4.10分由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，11分 所以方程为“漂亮方程”的概率为P 2＝316.12分。
《课堂新坐标》2017高考数学(文科山东专版)二轮复习与策略习题专题17集合与常用逻辑用语限时集训Word版含
专题限时集训(十七)集合与常用逻辑用语[A组高考题、模拟题重组练]一、集合1．(2016·全国乙卷)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝() A．{1,3} B.{3,5}C．{5,7} D.{1,7}B[集合A与集合B的公共元素有3,5，故A∩B＝{3,5}，故选B.]2．(2016·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1} B.{1,2}C．{0,1,2,3} D.{－1,0,1,2,3}C[B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]3．(2016·山东高考)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝()A．(－1,1) B.(0,1)C．(－1，＋∞) D.(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}．故选C.] 4．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．[2,3] B.(－2,3]C．[1,2) D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)B[∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2<x<2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}＝(－2,3]．]5．(2012·全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则() A．A B B.B AC．A＝B D.A∩B＝∅B[∵A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，∴B A.]6．(2016·威海二模)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝()A．(－1,2) B.[2,3)C．(2,3) D.(－1,2]B[A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，由题意知A－B＝{x|2≤x＜3}，故选B.]二、命题及其关系、充分条件与必要条件7．(2016·泰安一模)以下说法错误的是()【导学号：73552074】A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B．“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若命题p：存在x0∈R，使得x20－x0＋1＜0，则綈p：对任意x∈R，都有x2－x＋1≥0D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D[“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，A项正确；由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，因此“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，B项正确；命题p：存在x0∈R，使得x20－x0＋1＜0，则綈p：对任意x∈R，都有x2－x ＋1≥0，C项正确；由p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，因此D 项不正确．故选D.]8．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件C[当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x ＞|y |，因为|y |≥y ，所以x ＞y .所以x ＞y 是x ＞|y |的必要而不充分条件．]9．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [∵⎩⎨⎧x >1，y >1，∴x ＋y >2，即p ⇒q . 而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3>2，但不满足x >1且y >1，即qD ⇒/p .故p 是q 的充分不必要条件．]10．(2016·山东高考)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]11．(2016·黄冈二模)设集合A ＝{x |x ＞－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1＜x ≤1B.x ≤1 C ．x ＞－1 D.－1＜x ＜1 D [由x ∈A 且x ∉B 知x ∈A ∩(∁R B )，又∁R B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(∁R B )＝{x |－1＜x ＜1}．]三、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词12．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则綈p 为( )A．∀n∈N，n2＞2n B.∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2nC[因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]13．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B.綈p∧qC．p∧綈q D.綈p∧綈qB[当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x＜3x，∴p：∀x∈R,2x＜3x是假命题．如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．∴p∧q为假命题，排除A.∴綈p为真命题，∴綈p∧q是真命题，选B.]14．(2016·潍坊二模)下列命题中假命题的是()A．∃x0∈R，ln x0＜0B．∀x∈(－∞，0)，e x＞x＋1C．∀x＞0,5x＞3xD．∃x0∈(0，＋∞)，x0＜sin x0D[对于A，比如x0＝1e时，ln1e＝－1，是真命题；对于B，令f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝e x－1＜0，f(x)递减，所以f(x)＞f(0)＝0，是真命题；对于C，函数y＝a x 当a＞1时是增函数，是真命题，对于D，令g(x)＝x－sin x，g′(x)＝1－cos x≥0，g(x)递增，所以g(x)＞g(0)＝0，是假命题．故选D.]15．(2016·青岛一模)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为() A．m≥2 B.m≤－2或m＞－1C．m≤－2或m≥2 D.－1＜m≤2B[由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，可得－2＜m＜2，若命题p，q均为真命题，则此时－2＜m≤－1.因为p∧q为假命题，所以命题p，q中至少有一个为假命题，所以m≤－2或m＞－1.]16．(2016·武汉一模)已知命题“∃x0∈R，x20＋ax0－4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为()A．[－16,0] B.(－16,0)C．[－4,0] D.(－4,0)A[由题意可知“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，所以Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选A.][B组“10＋5”模拟题提速练]一、选择题1．(2016·济南模拟)已知集合M＝{x|x2－2x－8≤0}，集合N＝{x|lg x≥0}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x≤4} B.{x|x≥1}C．{x|1≤x≤4} D.{x|x≥－2}C[M＝{x|－2≤x≤4}，N＝{x|x≥1}，则M∩N＝{x|1≤x≤4}．]2．(2016·菏泽一模)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈Z||x|≤1}，则A∩(∁Z B)＝()A．∅ B.4C．{3,4} D.{2,3,4}D[因为集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈Z||x|≤1}＝{－1,0,1}，所以A∩(∁Z B)＝{2,3,4}．]3．(2016·江南十校一模)已知集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则b的最小值等于()A．0 B.1C．2 D.3C[集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x＜0，x∈Z}＝{1,2}，P∩Q≠∅，可得b的最小值为2.]4．(2016·武汉一模)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，集合B＝{x|x2－cx＜0，c ＞0}，若A⊆B，则c的取值范围为()A．(0,1] B.(0,1)C．[1，＋∞) D.(1，＋∞)C [由题意将两个集合化简得：A ＝(0,1)，B ＝(0，c )，因为A ⊆B ，所以c ≥1.]5．(2016·贵州七校联考)以下四个命题中，真命题的个数是( )①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件．A ．0B.1 C ．2 D.3C [对于①，原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a ＝b ＝2时，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A <B ⇔a <b (a ，b 为角A ，B 所对的边)⇔2R sin A <2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A <sin B ，故A <B 是sin A <sin B 的充要条件，故④是假命题．选C.]6．(2016·郑州一模)已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )【导学号：73552075】A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [命题甲能推出命题乙，是充分条件，命题乙：直线EF 和GH 不相交，可能平行，命题乙推不出命题甲，不是必要条件．]7．(2016·临沂一模)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥－1，B ＝{y |y ＝e x ＋1，x ≤0}，则下列结论正确的是( )A ．A ＝BB.A ∪B ＝R C ．A ∩(∁R B )＝∅ D.B ∩(∁R A )＝∅ D [A ＝{y |0＜y ≤2}，B ＝{y |1＜y ≤2}，则∁R A ＝{y |y ≤0或y ＞2}，从而B ∩(∁R A )＝∅.]8．(2016·江门模拟)函数f (x )的定义域为实数集R ，“f (x )是奇函数”是“|f (x )|是偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件A [f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，因此|f (x )|是偶函数，但当f (x )为奇函数时，|f (x )|为偶函数，但由|f (x )|为偶函数不能得出结论f (x )为奇函数，因此本题选A.]9．(2016·开封联考)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＞2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A ．1B.2 C ．3 D.4B [因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故命题p 为假命题；特称命题的否定为全称命题，根据命题的否定知命题q 为真命题，则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．]10．(2016·商丘二模)命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为( ) A ．p ∧qB.p ∨q C ．p ∧(綈q ) D.綈qB [令t ＝x 2－2x ，则函数y ＝log 2(x 2－2x )化为y ＝log 2t ，由x 2－2x ＞0，得x ＜0或x ＞2，所以函数y ＝log 2(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．函数t ＝x 2－2x 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x 在定义域内的增区间为(2，＋∞)．又因为函数y ＝log 2t 是增函数，所以复合函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)．所以命题p 为假命题；由3x ＞0，得3x ＋1＞1，所以0＜13x ＋1＜1， 所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，故命题q 为真命题． 所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题，故选B.]二、填空题11．(2016·厦门二模)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．4 [A ＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }＝{1,2,3,4}． 因为A ⊆C ⊆B ，所以C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．]12．(2016·泉州二模)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为________.【导学号：73552076】至少有一个实数的平方不是正数 [因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．]13．(2016·郴州二模)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，B ＝{x ∈R |－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．(2，＋∞) [A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8＝{x |－1＜x ＜3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A ⊆B ，所以m ＋1＞3，即m ＞2.]14．(2016·枣庄一模)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．0 [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，0≤tan x ＋1≤2，则m ≤0.故实数m 的最大值为0.]15．(2016·哈尔滨一模)设p ：(x －a )2＞9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若綈p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ [綈p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3， q ：x ≤－1或x ≥12.因为綈p 是q 的充分不必要条件，所以a ＋3≤－1或a －3≥12，即a ≤－4或a ≥72.]。
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专题限时集训(七)用样本估计总体建议A、B组各用时：45分钟]A组高考达标]一、选择题1．(2016·山西考前模拟)某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图7-5所示)，据此估计此次考试成绩的众数是()图7-5A．100 B.110C.115D.120C分析频率分布折线图可知众数为115，故选C.]2．(2016·南昌二模)如图7-6所示是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在15,20)内的频数是()图7-6A．50 B.40C.30D.14C因为15,20]对应的小矩形的面积为1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以样本落在15,20]的频数为0.3×100＝30，故选C.]3．(2016·青岛模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x50,500(单位：kg)，其中x1，x2，x3，…，x50是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x, 中位数为y，则x1，x2，x3，…，x50,500这51个数据的平均数、中位数分别与x，y比较，下列说法正确的是()【导学号：85952030】A．平均数一定变大，中位数一定变大B．平均数一定变大，中位数可能不变C.平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小B显然500大于这50个学生的平均体重，则这51个数据的平均数一定增大，中位数可能增大也可能不变，故选B.]4．(2016·沈阳模拟)从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图7-7)．若要从身高在120,130)，130,140)，140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140,150]内的学生中选取的人数应为()图7-7A．2 B.3C.4D.5B依题意可得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)＝1，解得a＝0.030，故身高在120,130)，130,140)，140,150]三组内的学生比例为3∶2∶1，所以从身高在140,150]内的学生中选取的人数应为3.]图7-85．(2016·郑州模拟)某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图7-8所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为()A.815 B.49C.35 D.19C依题意，平均数x＝20＋60＋30＋(7＋9＋1＋5)6＝22，故优秀工人只有2人，用a，b表示优秀工人，用c，d，e，f表示非优秀工人，故任取2人的情况如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15种，其中至少有1名优秀工人只有9种情况，故所求概率P＝915＝35.]二、填空题6．某中学共有女生2 000人，为了了解学生体质健康状况，随机抽取100名女生进行体质监测，将她们的体重(单位：kg)数据加以统计，得到如图7-9所示的频率分布直方图，则直方图中x的值为________；试估计该校体重在55,70)的女生有________人．图7-90．024 1 000由5×(0.06＋0.05＋0.04＋x＋0.016＋0.01)＝1，得x＝0.024.在样本中，体重在55,70)的女生的频率为5×(0.01＋0.04＋0.05)＝0.5，所以该校体重在55,70)的女生估计有2 000×0.5＝1 000人．]7.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图7-10所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．图7-101当x≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x <4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91， ∴x ＝1.] 8．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图7-11.根据茎叶图，树苗的平均高度较高的是__________种树苗，树苗长得整齐的是__________种树苗．【导学号：85952031】图7-11乙 甲 根据茎叶图可知，甲种树苗中的高度比较集中，则甲种树苗比乙种树苗长得整齐；而通过计算可得，x 甲＝27，x 乙＝30，即乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．]三、解答题9．(2016·太原二模)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成如下六段：40,50)，50,60)，…，90,100]，得到如图7-12所示的频率分布直方图．图7-12(1)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(2)在抽取的40名学生中，若从数学成绩在40,50)与90,100]两个分数段内随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解] (1)由10×(0.005＋0.01＋0.02＋a ＋0.025＋0.01)＝1，得a ＝0.03.2分根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.4分估计期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544(人).6分(2)成绩在40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在40,50)分数段的两名同学为A1，A2，在90,100]分数段内的同学为B1，B2，B3，B4.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种.8分如果2名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共7种取法，所以所求概率为P＝715.12分10．(2016·郑州一模)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将先取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少．解](1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A，2分则P(A)＝40200＝15.4分所以当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低15.6分(2)由题可知A类市民和B类市民各有40人，故分别从A类市民和B类市民中各抽出2人，设从A类市民中抽出的2人分别为A1，A2，从B类市民中抽出的2人分别为B1，B2.设“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，8分则事件M中首先抽出A1的事件有：(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种．同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种．故事件M 共有24种.10分设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)．∴P (N )＝424＝16.12分B 组 名校冲刺]一、选择题1．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图7-13所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值m n ＝( )图7-13A ．1B.13C.38D.29C 由茎叶图可知乙的中位数是32＋342＝33，根据甲、乙两组数据的中位数相同，可得m ＝3，所以甲的平均数为27＋33＋393＝33，又由甲、乙两组数据的平均数相同，可得20＋n ＋32＋34＋384＝33，解得n ＝8，所以m n ＝38，故选C.]2．(2016·山西四校二联)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图7-14，数据的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，80,100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )图7-14A ．45B.50C.55D.60B∵20,40)，40,60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是150.3＝50.]3．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图7-15)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是()图7-15A．240 B.280C.320D.480D由频率分布直方图知：学生的体重在65～75 kg的频率为(0.012 5＋0.037 5)× 5＝0.25，则学生的体重在50～65 kg的频率为1－0.25＝0.75.从左到右第2个小组的频率为0.75×26＝0.25.所以抽取的学生人数是120÷0.25＝480,故选D.]4．3个老师对某学校高三三个班级各85人的数学成绩进行分析，已知甲班平均分为116.3分，乙班平均分为114.8分，丙班平均分为115.5分，成绩分布直方图如图7-16，据此推断高考中考生发挥差异较小的班级是()图7-16A．甲 B.乙C.丙D.无法判断C由于平均分相差不大，由直方图知丙班中，学生成绩主要集中在110～120区间上且平均分较高，其次是乙，分数相对甲来说比较集中，相对丙而言相对分散．数据最分散的是甲班，虽然平均分较高，但学生两极分化，彼此差距较大，根据标准差的计算公式和性质知甲的方差大于乙的方差大于丙的方差，所以丙班的学生发挥差异较小．故选C.]5．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．图7-17(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图7-17所示，则该样本的方差为________．(1)2,10,18,26,34 (2)62 (1)分段间隔为405＝8，则所有被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)x ＝15(59＋62＋70＋73＋81)＝69.s 2＝15(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.]6．如图7-18是某个样本的频率分布直方图，分组为100,110)，110,120)，120,130)，130,140)，140,150)，已知a ，b ，c 成等差数列，且区间130,140)与140,150)上的数据个数相差10，则区间110,120)上的数据个数为__________．图7-1820 由频率分布直方图得130,140)上的频率为0.025×10＝0.25，140,150)上的频率为0.015×10＝0.15.设样本容量为x ，则由题意知0.25x －0.15x ＝0.1x ＝10，解得x ＝100.因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c .又10a ＋10b ＋10c ＝1－0.25－0.15＝0.6⇒a ＋b ＋c ＝0.06⇒3b ＝0.06，解得b ＝0.02.故区间110,120)上的数据个数为10×0.020×100＝20.]7．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩(单位：分)数据的茎叶图如图7-19(1)所示：(1)(2)图7-19(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度(只需给出结论)；(2)甲组数据频率分布直方图如图7-19(2)所示，求a，b，c的值；(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．解](1)甲组数据的中位数为78＋792＝78.5，乙组数据的中位数为75＋822＝78.5.从茎叶图可以看出，甲组数据比较集中，乙组数据比较分散.3分(2)由题图易知a＝0.05，b＝0.02，c＝0.01.7分(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，得到的所有基本事件共有100个，其中满足“两数之差的绝对值大于20”的基本事件有16个，故所求概率P＝16100＝425.12分8．(2016·河南六市联考)在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图7-20所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．图7-20(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为A的概率．解](1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25＝40(人)，2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.4分(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]÷40＝2.9.8分(3)由题图可知，“数学与逻辑”科目的成绩为A的有3人，“阅读与表达”科目的成绩为A的有3人，因为恰有2人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A.设这4人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P(B)＝16.12分。