人教版八年级数学下册第一章二次根式的知识点汇总

二次根式的知识点汇总

知识点一： 二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是

为二次根式的前提条件，如

，

，

等是二次根

式，而

，

等都不是二次根式。

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1

x 、x （x>0）、0、42、-2、

1

x y

+、x y +（x ≥0，y•≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

知识点二：取值范围

1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，

有意义，是二次根式，所

以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。

例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？

例3．当x 是多少时，23x ++1

1

x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式

（

）的非负性

（

）表示a 的算术平方根，也就是说，

（

）是一个非负数，即

0（）。

注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是

0，所以非负数（

）的算术平方根是非负数，即

0（

），这个性质也就是非负数的算术平

方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；

若

，则a=0,b=0；若

，则a=0,b=0。

例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求

x

y

的值．(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过

来应用：若，则，如：，.

例1 计算 1．（

32）2 2．（35）2 3．（56

）2

4．（7）2 例2在实数范围内分解下列因式:

（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，

即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即；

2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

例1 化简

（19 （22(4)- （325 （42(3)-例2 填空：当a ≥02a ；当a<02a ，•并根据这一性质回答下列问题．

（1）若2a=a ，则a可以是什么数？（2）若2a=-a，则a 是什么数？（3）2a>a，则a 是什么数？

例3当x>2，化简2

(2)

x --2

(12)x

-．

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示

一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的乘除

1、a b＝ab（a≥0，b≥0）ab=a·b（a≥0，b≥0）

2

a

b=

a

b（a≥0，b>0）

a

b=

a

b（a≥0，b>0）

（思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0）例1．计算

（1）57（2）

1

3

9（3927（4

1

2

6

例2 化简

（1916

⨯（21681

⨯（322

9x y（454

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1(4)(9)49

-⨯-=--

（2

12

4

25

25

12

25

25

12

25

25123

例4．计算：（1

12

3

（2

31

28

（3

11

416

（4

64

8

例5．化简：

（1

3

64

（2

2

2

64

9

b

a

（3

2

9

64

x

y

（4

2

5

169

x

y

例6．已知99

66

x x

x x

--

=

--

，且x为偶数，求（1+x）

2

2

54

1

x x

x

-+

-

的值．

3、最简二次根式应满足的条件：

（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；

（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式

（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）

例1．把下列二次根式化为最简二次根式(1)

5

3

12

; (2) 2442

x y x y

+; (3) 23

8x y

4、化简最简二次根式的方法：

(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；

(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；

(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝

对值，注意符号问题）

5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①与；②与；

③与；④与．

说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．

13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。

判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如818

知识点八：二次根式的加减

1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。

例1．计算（1818（216x64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

解：（181822=（2+322

（216x64x x x=（4+8x x

例2．计算

（1）481

3

122）4820+（125

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2

9

3

x x+y

3

x

y

-（x

1

x

y

x

2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减