[误差理论与数据处理][课件][第01章][绪论]
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电子测量原理之误差理论与数据处理PPT(59张)
2.按误差性质分 系统误差 随机误差 粗大误差
1.1.3 测量误差的分类（续）
1.按误差来源分 仪器误差 使用误差 人身误差 方法误差 理论误差 影响误差
1.1.4 测量误差的表示方法
测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 1.绝对误差 （1）定义：由测量所得到的被测量值与其真值之差，
1．2．1 随机误差的性质及特点（续）
p(x)
1
e[xM(x)2]/22(x)
2（x）
1．2．1 随机误差的性质及特点（续）
p()
1
e2/22()
2π（）
1．2．1 随机误差的性质及特点（续）
式中 x 为各测量值， 为随机误差， (x)及 ( 为) 测量值及随 机误差分布的标准差，M（x ）是的数学期望值。
n n i i1
i i1
1．2．2 数学期望值及标准差 （续）
2.标准差 (x)
测量的数学期望值反映了测量值平均的情况，在实际测量中还 需要知道测量值的离散程度，通常用测量值的标准差来反映测量值 的离散程度。标准差的平方叫方差。
测量值连续时方差为：
2 (x ) [x M (x )2 p ] (x )d (x ) 2 p (x )d (x )
称为绝对误差 xxA0 x 有大小，又有符号和量纲
实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或计量器 具测量所得之值）来代替真值。
绝对误差： xxA
1.1.4 测量误差的示方法（续）
（2）修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称
为修正值
C xAx
4 误差对测量结果的影响及测量结果评价 测量误差的系统误差、随机误差和粗大误差
1.1.3 测量误差的分类（续）
1.按误差来源分 仪器误差 使用误差 人身误差 方法误差 理论误差 影响误差
1.1.4 测量误差的表示方法
测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 1.绝对误差 （1）定义：由测量所得到的被测量值与其真值之差，
1．2．1 随机误差的性质及特点（续）
p(x)
1
e[xM(x)2]/22(x)
2（x）
1．2．1 随机误差的性质及特点（续）
p()
1
e2/22()
2π（）
1．2．1 随机误差的性质及特点（续）
式中 x 为各测量值， 为随机误差， (x)及 ( 为) 测量值及随 机误差分布的标准差，M（x ）是的数学期望值。
n n i i1
i i1
1．2．2 数学期望值及标准差 （续）
2.标准差 (x)
测量的数学期望值反映了测量值平均的情况，在实际测量中还 需要知道测量值的离散程度，通常用测量值的标准差来反映测量值 的离散程度。标准差的平方叫方差。
测量值连续时方差为：
2 (x ) [x M (x )2 p ] (x )d (x ) 2 p (x )d (x )
称为绝对误差 xxA0 x 有大小，又有符号和量纲
实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪器或计量器 具测量所得之值）来代替真值。
绝对误差： xxA
1.1.4 测量误差的示方法（续）
（2）修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称
为修正值
C xAx
4 误差对测量结果的影响及测量结果评价 测量误差的系统误差、随机误差和粗大误差
误差理论与数据处理
湖北省高等教育自学考试大纲课程名称：误差理论与数据处理课程代码：06018（理论）第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点《误差理论与数据处理》课程是高等教育自学考试光机电一体化工程专业的一门沟通课程，是一门基础性很强的课程，理论严密、系统完整、逻辑性很强，也是工科学生的一门方法论课程。
没有测量就没有科学。
人类进行的科学研究和生产实践中都离不开测量，由于测量结果中存在误差是必然的和普遍的现象，误差的存在使得测量结果的可靠性和可信赖度大打折扣，甚至使测量试验结果丧失应有的意义和价值。
在当今的信息技术时代，任何科学试验和生产实践所获得的大量数据信息，必须经过合理的数据处理并给出科学的评价才有其实际价值。
《误差理论与数据处理》课程研究误差存在的一般规律、分析误差的影响因素和产生原因、减小误差对测量结果的影响、以及科学实验和工程实际中常用静态测量数据和动态测量数据的各种常用处理方法。
二、课程目标与基本要求课程目标：使学员系统地掌握误差理论与数据处理的基本概念、理论与方法，并且能够灵活进行误差分析、测量结果评价和试验数据处理，具有较强的分析问题与解决问题的能力。
基本要求：通过学习，学员应能正确理解有关测量、误差、精度、显著性检验等基本概念和它们之间的内在联系，正确理解和应用误差理论与数据处理的基本定律和公式，如：贝赛尔公式、随机误差标准差合成公式、随机误差极限差合成公式、最小二乘法原理、正归方程、回归方程等，能运用所学知识正确确定测量方案并解决一些简单的误差合成与分配问题。
三、与本专业其它课程的关系本课程的先修课程主要有：高等数学、概率论与数理统计、大学物理、矩阵代数、检测理论、工程测试技术、过程控制与自动化仪表、信号与系统等。
本课程的重点内容包括：误差的基本性质与误差处理、误差的合成与分配、测量不确定度、线性参数的最小二乘估计、回归分析、动态测试数据处理基本方法、动态测量误差及其评定等。
学好本课程，将为本专业后续专业课程的学习打下基础。
大学物理实验理论误差与数据处理PPT课件
或确不定S ( y 度y ) iN 1 l必x in f然S (造x i)A 成 2 y的iN 1 不 lx 确in f定S (x 度i)B 2 1 2 iN 1 。 各 lx in f x i的2 S i2 不 1 2
确
第26页/共61页
区间的概率是68.3（％返，回与）不确定度的
第21页/共61页
B类不确定度的评定
在测量过程中，必然涉及所用材料的一般特性参数、 制造说明书、检定证书、所用仪器所提供的检定数据 以及取自手册的一些参数，这些都会造成测量结果的 不确定性。这类不确定性不能用统计分析的方法加以 评定，这称为B类评定，评定的依据就是上述内容提
P
50% 68.3% 90% 95% 99% 99.7%
KP 0.6745 1
1.645 1.96 2.576 3
由表可知，129m是由标准不确定度乘以2.576得到的， 所以电阻R的B类标准不确定度SB=129mg/2.576=50mg。
(3)通常信息给出的是仪器误差限
许多仪器给出的不是不确定度，而是误差限△，则B 类标准不确定度为 SB K。其中系数K视△的概率分 布而定，若△为正态分布，则K=3；若为均匀分布，则 K 3 ；若为三角分布 K 6 。高级别的仪器△可 视为正态分布，通常△均视为均匀分布。
第14页/共61页
§3.3 算术平均值与标准偏差
1、算术平均值 一组测量数据 x1,x2,xn 的算术平均值为： xx1x2xn n 算术平均值是真值的最佳近似值，因为
lim lim lim n 1 n i n 1i 0 n 1 n i n 1x i A n 1 n i n 1x i A
第19页/共61页
§1.1 直接测量不确定度的评定
《误差分析与处理》第一章 绪论
1-27
误差理论与数据处理 第一章 概述 引用误差（fiducial error of a measuring instrument）
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
该标称范围（或量程）上限 引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引 用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的， 故该误差又称为引用相对误差、满度误差。
二、测量的分类
测量
非 等 权 测 量 非 电 量 测 量
直 接 测 量
间 接 测 量
静 态 测 量
动 态 测 量
等 权 测 量
电 量 测 量
精 密 测 量
工 程 测 量
1-11
误差理论与数据处理 第一章 概述
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过 量值的变换与计算。
(0.5 10l / m)μm =0.0006m，但用来测量 1m长的工件，其绝对误差为0.0105m。
前者的相对误差为 r1 / l 0.6 106 / 0.01 0.6 104 后者的相对误差为 r2 / l 10.5106 /1 1.1105 用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、 不同物理量等的准确度。
根据被测量对象在测量过程中所处的状态分类
静态测量
指在测量过程中被测量可以认为 是固定不变的。因此，不需要考虑 时间因素对测量的影响
在日常测量中，大 多接触的是静态测 量。对于这种测量， 被测量和测量误差 可以当作一种随机 变量来处理
动态测量
指被测量在测量期间随时间（或 其他影响量）发生变化
误差理论与数据处理 第一章 概述 引用误差（fiducial error of a measuring instrument）
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
该标称范围（或量程）上限 引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引 用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的， 故该误差又称为引用相对误差、满度误差。
二、测量的分类
测量
非 等 权 测 量 非 电 量 测 量
直 接 测 量
间 接 测 量
静 态 测 量
动 态 测 量
等 权 测 量
电 量 测 量
精 密 测 量
工 程 测 量
1-11
误差理论与数据处理 第一章 概述
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过 量值的变换与计算。
(0.5 10l / m)μm =0.0006m，但用来测量 1m长的工件，其绝对误差为0.0105m。
前者的相对误差为 r1 / l 0.6 106 / 0.01 0.6 104 后者的相对误差为 r2 / l 10.5106 /1 1.1105 用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、 不同物理量等的准确度。
根据被测量对象在测量过程中所处的状态分类
静态测量
指在测量过程中被测量可以认为 是固定不变的。因此，不需要考虑 时间因素对测量的影响
在日常测量中，大 多接触的是静态测 量。对于这种测量， 被测量和测量误差 可以当作一种随机 变量来处理
动态测量
指被测量在测量期间随时间（或 其他影响量）发生变化
误差理论与数据处理课件(全)
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
（四）复杂规律变化的系统误差
（一）实验对比法 （二）残余误差观测法
（五）计算数据比较法
（一）从产生误差根源上消除系统误差 （二）用修正方法消除系统误差 （三）不变系统误差消除法 1。替代法 2。抵消发 3。交换法
一、粗大误差产生的原因 （1）测量人员的主观原因 （2）客观外界条件的原因
第一节：研究误差的意义 1、始终存在着误差 意义：
1）正确认识误差的性质，分析误差产生 的原因，以消除和减少误差。
2）正确处理测量和实验数据 3）正确组织实验过程
由于误差的存在，使测量数据之间产生矛 盾。
( )实际 180
( )理论 180
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16 …… 1 0 210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
(4)( AT )1 ( A1)T
(5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。
(6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
A1 (diag (a11, a22,ann ))1 diag( 1 , 1 1 )
a11 a22 ann
（1）伴随矩阵法：
设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由 n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵 的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。
第1章误差理论与数据处理绪论PPT课件
20
误差的来源
▪ 测量装置误差 计量器具误差、测量仪器误差
▪ 测量方法误差 原理性误差
▪ 测量环境误差 温度、湿度、压力等因素引起
▪ 测量人员误差
21
误差分析的目的及意义
▪ 从测量结果的角度分析： 明确测量结果的质量，对测量结果进行评价 寻求误差补偿的措施，提高测量结果的水平
▪ 从系统分析的角度着手 分析误差传递的特点，对传递过程进行探索 评价系统的总体性能，寻求改善性能的方法
绪论
钱政 北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院
1
几点说明
▪ 考试形式？ – 闭卷考试
▪ 成绩比例？ – 20%的作业；80%卷面成绩
▪ 答疑安排？ – 日常答疑——新主楼B座702房间，82339267 – 考前不安排答疑
▪ 参考教材？ – 测试误差分析与数据处理（北航出版社）
2
几个问题
▪ 为什么学习这门课程？ – 误差分析与数据处理的作用？
14
组合形式单位
▪ 两个或两个以上的单位用乘、除的形式组合而成 的新单位
由基本单位构成，如加速度单位，“米每二次方 秒（m/s2）”；
由辅助单位和基本单位构成，如角速度单位“弧 度每秒（rad/s）”；
由专门名称的导出单位和基本单位构成，如压力 单位“牛顿每平方米（N/m2）”；
由一个单位作分母，而分子为1构成；如线膨胀 系数单位“每摄氏度（1/℃）”；
总和
测量结果＝测量数值× 测量单位 ▪ 完整的测量过程包括：被测量、测量单位、测量
方法、测量精度
8
测量与测试
▪ 测试的概念 – 带有试验性质的测量
▪ 测试的目的 – 获取被测对象的信息
▪ 测试的过程 – 借助专门的设备、仪器或测试系统，通过适当的 实验方法与必需的信号分析及数据处理，由测得 信号获取与研究对象有关信息量值的过程。
误差的来源
▪ 测量装置误差 计量器具误差、测量仪器误差
▪ 测量方法误差 原理性误差
▪ 测量环境误差 温度、湿度、压力等因素引起
▪ 测量人员误差
21
误差分析的目的及意义
▪ 从测量结果的角度分析： 明确测量结果的质量，对测量结果进行评价 寻求误差补偿的措施，提高测量结果的水平
▪ 从系统分析的角度着手 分析误差传递的特点，对传递过程进行探索 评价系统的总体性能，寻求改善性能的方法
绪论
钱政 北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院
1
几点说明
▪ 考试形式？ – 闭卷考试
▪ 成绩比例？ – 20%的作业；80%卷面成绩
▪ 答疑安排？ – 日常答疑——新主楼B座702房间，82339267 – 考前不安排答疑
▪ 参考教材？ – 测试误差分析与数据处理（北航出版社）
2
几个问题
▪ 为什么学习这门课程？ – 误差分析与数据处理的作用？
14
组合形式单位
▪ 两个或两个以上的单位用乘、除的形式组合而成 的新单位
由基本单位构成，如加速度单位，“米每二次方 秒（m/s2）”；
由辅助单位和基本单位构成，如角速度单位“弧 度每秒（rad/s）”；
由专门名称的导出单位和基本单位构成，如压力 单位“牛顿每平方米（N/m2）”；
由一个单位作分母，而分子为1构成；如线膨胀 系数单位“每摄氏度（1/℃）”；
总和
测量结果＝测量数值× 测量单位 ▪ 完整的测量过程包括：被测量、测量单位、测量
方法、测量精度
8
测量与测试
▪ 测试的概念 – 带有试验性质的测量
▪ 测试的目的 – 获取被测对象的信息
▪ 测试的过程 – 借助专门的设备、仪器或测试系统，通过适当的 实验方法与必需的信号分析及数据处理，由测得 信号获取与研究对象有关信息量值的过程。
01第一章误差理论与数据处理01
e物质的量
Luminous
L
intensity发光强度
Second秒
s
Metre米
m
Kilogram千克 kg
Ampere安培 A
- in terms of the period of the Cs hyperfine transition铯原子超精细跃迁的周期
- distance travelled by light in 1/299792548 of a second 光在1/299 792 458 秒的时间内运动的距离
a second 光在 1/299 792 458 秒时间内运 动的距离
- in terms of the mass of the international
prototype K 国际原器的质量， K
- in terms of the force between wires carrying
current带电导线之间的力
Quantity symbol 量 符号
Base unit symbol 基本单位 符号
Proposed new definition 建议新定义
Time时间
t
Length长度
x
Mass质量
m
Electric
i
current 电流
Thermodynamic T temperature热力学温度
Amount
笔式记录仪 光线示波器 磁带记录仪 电子示波器 半导体存储器 显示器 磁卡
数据处理器 频谱分析仪
FFT 实时信号分析仪 计算机
被测对象 传感器
中间变换 测量装置
显示及 记录装置
实验结果 处理装置
9
四、测量方法分类
Luminous
L
intensity发光强度
Second秒
s
Metre米
m
Kilogram千克 kg
Ampere安培 A
- in terms of the period of the Cs hyperfine transition铯原子超精细跃迁的周期
- distance travelled by light in 1/299792548 of a second 光在1/299 792 458 秒的时间内运动的距离
a second 光在 1/299 792 458 秒时间内运 动的距离
- in terms of the mass of the international
prototype K 国际原器的质量， K
- in terms of the force between wires carrying
current带电导线之间的力
Quantity symbol 量 符号
Base unit symbol 基本单位 符号
Proposed new definition 建议新定义
Time时间
t
Length长度
x
Mass质量
m
Electric
i
current 电流
Thermodynamic T temperature热力学温度
Amount
笔式记录仪 光线示波器 磁带记录仪 电子示波器 半导体存储器 显示器 磁卡
数据处理器 频谱分析仪
FFT 实时信号分析仪 计算机
被测对象 传感器
中间变换 测量装置
显示及 记录装置
实验结果 处理装置
9
四、测量方法分类
第1章误差理论与数据处理绪论
5．重复性 和 再现性
• 重复性——测量结果的重复性是指用同一种方法、同
一仪器(或量具)，同一观察者在相同的环境条件下， 在短时间内，对同一特定的待测量进行连续地多次测 量结果之间的一致程度。
• 再现性—— 测量结果的再现性是指用不同的方法、
不同的仪器(或量具)，或在不同的环境条件下比单次 测量长的时间内，对同一特定的待测量进行多次测量 结果之间的一致程度。
误差理论与数据处理
主讲： 任传胜 副教授
E-mail: rencs@
课 程 简 介
• 1.课程的性质、目的与任务
• 本课程是机械设计制造及其自动化和测控技术与 仪器专业的重要专业基础课。通过本课程的学习，使 学生掌握测量数据处理的基本方法。了解研究误差的 意义、随机误差、系统误差和粗大误差产生的原因、 特征、判断和处理方法，误差的合成与分配，线性参 数的最小二乘法处理等内容。
3.主要内容及学时分配——第一单元
• 第一单元 绪论（学时数：3学时） • 学习目的和要求： • 本单元首先介绍了研究误差的意义，误差的 基本概念，精度，有效数字与其基本概念。 • 重点和难点： • 误差的基本概念，研究误差的意义。
3.主要内容及学时分配—第二单元
• 第二单元 误差的基本性质与处理 • （学时数：12学时） • 学习目的和要求： • 本单元是误差理论最重要的基础内容之一，也 是正确分析误差的前提。主要介绍了随机误差、 系统误差、粗大误差的基本性质、产生原因、处 理方法。通过对本单元学习，应熟悉各种误差的 概念；了解各类误差产生的原因；熟悉测量结果 的数据处理方法。 • 重点和难点： • 粗大误差的基本性质；产生原因；处理方法。
2．测量的分类
• 根据测量条件划分 • （1）等精度测量 在相同的测量精度条件下(同一测 量水平的观测者、同一精度的测量仪器、同样环境条 件、同样实验方法等)对同一待测量所做的重复性测量， 称为等精度测量。 • （2）非等精度测量 在不同的测量精度条件下 (不同测量水平的观测者、不同精度的仪器、不同方法、 不同环境等)对同一待测量所做的测量，称为非等精度 测量。
[误差理论与数据处理][课件][第01章][绪论]
![[误差理论与数据处理][课件][第01章][绪论]](https://img.taocdn.com/s3/m/f4d28ba5f605cc1755270722192e453610665b0c.png)
压表进行测量。
1-9
误差理论与数据处理
【例1-3 】
检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在
50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差
均小于2V，问这只电压表是否合格？
【解】 由公式2，该电压表的引用误差为
rm
U m Um
2 100
2%
由于
2% 2.5%
所以该电压表合格。
1-10
误差理论与数据处理
【例1-4 】
某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100uA，求测 量值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。
【解】 根据题意得
s 1.0，xm 100 A, x1 100A, x2 80A, x3 20A
由公式1可知，最大绝对误差为
xm xms% 1001.0% 1A
准确度高。
度高，准确度低。 密度亦高。
1-27
误差理论与数据处理
常用质量名词术语
重复性（repeatability）
指在相同条件下在短时间内对同一个量进行多次测量 所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性 来定量表示。
一成不变的，在一定
条件下可以相互转化。
也就是说一个具体误
差究竟属于哪一类，
应根据所考察的实际 问题和具体条件，经 _3
分析和实验后确定。 标准差
均值 某次测得值
期望值(真实值)
+3
奇异值 1-23
误差理论与数据处理
误差性质的相互转化
如一块电表，它的刻度误差在制造时可能 是随机的，但用此电表来校准一批其它电表 时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这 一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度 不准，用它来测量某电源的电压时必带来系 统误差，但如果采用很多块电表测此电压， 由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正 有负，就使得这些测量误差具有随机性。
误差理论与数据处理-绪论
《误差理论与数据处理》
第23页
一、误差的定义及表示法
测量误差 被测量真值
式中：L —— 实际测得的数值； L0 —— 被测量的真值； ΔL —— 测量误差。
被测量真值是未知的理想概念，因此测量误差也是 一个理想概念，一般情况下测量误差是不可能得知的。
因为误差始终存在于一切观测实验之中，任何测量 都不可避免地存在着测量误差。
第5页
教学进度安排
课次 1 2 3 4 5
6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
主要内容 概述，测量与误差的基本概念，有效数字与数据运算 误差理论的数学基础－概率统计基础知识 随机误差。产生原因、分布 系统误差及粗大误差，产生的原因、特征与发现，系统误差的减小与消除 非等精度测量，“权”，误差的传递、合成与分配
、新设备的产生。
《误差理论与数据处理》
第19页
误差理论与数据处理与理工科学生的关系
• 国际上于1993年制订出了《测量不确定度表达指南》 (GUM)（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement )，1995年又作了修订。
• 我国于1999年1月批准发布了《测量不确定度评定与表 示》（JJF1059－1999 ），1999年5月1日起实施。
《误差理论与数据处理》
第8页
第一章 概 论
第一节 第二节 第三节 第四节
实验、测量 与 误差理论 误差的基本概念 误差的分类 有效数字与数据运算
《误差理论与数据处理》
第9页
第一节 实验、测量 与 误差理论
实验
人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然界的 各种现象进行研究，各个学科所研究的科学领域不同，但各 个学科有一个共同点,即：
误差理论及数据处理培训教材PPT课件( 44页)
产生系统误差的原因主要有以下几种。
第二章 误差理论及数据处理
（一）方法误差
方法误差来源于分析方法本身不够完善或有缺陷。例如， 反应未能定量完成，干扰组分的影响，在滴定分析中滴定终 点与化学计量点不相符合，在重量分析中沉淀的溶解损失、 共沉淀和后沉淀的影响等，都可能导致测定结果系统地偏高 或偏低。 （二）仪器和试剂误差
第二章 误差理论及数据处理
第二章 误差理论及数据处理
上述情况说明，精密度高表明测定条件稳定， 这是保证准确度高的先决条件。精密度低的测定结 果是不可靠的，因而是不准确的。但是高精密度的 测定值中也可能包含有系统误差的影响，只有在消 除了系统误差的前提下，精密度高其准确度必然也 高。
对于含量未知的试样，由于仅凭测定的精密度 难以正确评价测定结果，因此常同时测定一个或数 个标准试样，检查标样测定值的精密度，并对照真 实值以确定它的准确度，从而对试样测定结果的可 靠性做出评价。
第二章 误差理论及数据处理
§2.1定量分析中的误差
定量分析的目的是准确确定试样中物质的含量。因此要 求结果准确可靠。但在定量分析的过程中，由于受到所采用 的分析方法、仪器和试剂，工作环境和分析者自身等主客观 因素的制约，所得的结果与待测组分的真实含量不可能完全 相符，它们之间的差值就称为误差。即使同一分析者在相同 的条件下，对同一试样进行多次测定，其结果也不等同。因 此，在分析过程中误差是客观存在且不可避免的，它可能出 现在测定过程的每一步中。从而影响分析结果的准确性。因 此，我们不仅要对试样进行测定，还需根据实际要求，对分 析结果的可靠性和精确程度做出合理的评价和正确的表示。 同时还应查明产生误差的原因及其规律性，采取减免误差的 有效措施，从而不断提高分析测定的准确程度。
按总测定次数来计算平均偏差时会使所得的结果偏小，大偏 差值得不到充分的反映。因此在数理统计中，一般不采用平 均偏差，而广泛采用标准偏差来衡量数据的精密度，它反映 了各测定值对平均值的偏离程度。标准偏差用s表示：
第二章 误差理论及数据处理
（一）方法误差
方法误差来源于分析方法本身不够完善或有缺陷。例如， 反应未能定量完成，干扰组分的影响，在滴定分析中滴定终 点与化学计量点不相符合，在重量分析中沉淀的溶解损失、 共沉淀和后沉淀的影响等，都可能导致测定结果系统地偏高 或偏低。 （二）仪器和试剂误差
第二章 误差理论及数据处理
第二章 误差理论及数据处理
上述情况说明，精密度高表明测定条件稳定， 这是保证准确度高的先决条件。精密度低的测定结 果是不可靠的，因而是不准确的。但是高精密度的 测定值中也可能包含有系统误差的影响，只有在消 除了系统误差的前提下，精密度高其准确度必然也 高。
对于含量未知的试样，由于仅凭测定的精密度 难以正确评价测定结果，因此常同时测定一个或数 个标准试样，检查标样测定值的精密度，并对照真 实值以确定它的准确度，从而对试样测定结果的可 靠性做出评价。
第二章 误差理论及数据处理
§2.1定量分析中的误差
定量分析的目的是准确确定试样中物质的含量。因此要 求结果准确可靠。但在定量分析的过程中，由于受到所采用 的分析方法、仪器和试剂，工作环境和分析者自身等主客观 因素的制约，所得的结果与待测组分的真实含量不可能完全 相符，它们之间的差值就称为误差。即使同一分析者在相同 的条件下，对同一试样进行多次测定，其结果也不等同。因 此，在分析过程中误差是客观存在且不可避免的，它可能出 现在测定过程的每一步中。从而影响分析结果的准确性。因 此，我们不仅要对试样进行测定，还需根据实际要求，对分 析结果的可靠性和精确程度做出合理的评价和正确的表示。 同时还应查明产生误差的原因及其规律性，采取减免误差的 有效措施，从而不断提高分析测定的准确程度。
按总测定次数来计算平均偏差时会使所得的结果偏小，大偏 差值得不到充分的反映。因此在数理统计中，一般不采用平 均偏差，而广泛采用标准偏差来衡量数据的精密度，它反映 了各测定值对平均值的偏离程度。标准偏差用s表示：
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由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的 准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常 值）予以剔除。具体见第四章。
1-22
误差理论与数据处理
三类误差的关系及其对测得值的影响
系统误差和随机误差 的定义是科学严谨， 不能混淆的。但在测 量实践中，由于误差 划分的人为性和条件 性，使得他们并不是 一成不变的，在一定 条件下可以相互转化。 也就是说一个具体误 差究竟属于哪一类， 应根据所考察的实际 _ 3 问题和具体条件，经 分析和实验后确定。 标准差
1-10
误差理论与数据处理
【例1-4 】
某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100uA，求测量 值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。 【解】 根据题意得 s 1.0，m 100 A, x1 100A, x2 80A, x3 20A x 由公式1可知，最大绝对误差为
1-1
误差理论与数据处理
修正值
修正值(correction) 与误差绝对值相等、符号相反 的值，一般用c表示。
c x x0 x
在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公 式的形式给出。 在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储 在仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。 修正结果（correction result）是将测得值加 上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。
x
3
xm
测量的最大相对误差不超过 xm rx s% 1.5s% 2 xm 3
即测量误差不 会超过测量仪 表等级的1.5倍。
1-8
误差理论与数据处理
【例1-2 】
某被测电压为100伏左右，现有0.5级、量程为300伏和1.0 级、量程为150伏两块电压表，问选用哪一块合适？
【解】
由公式2，当用0.5级、量程为300伏的电压表测 量时，有 x 300
测量装置在制造过程中由于设计、制 造、装配、检定等的不完善，以及在 使用过程中，由于元器件的老化、机 械部件磨损和疲劳等因素而使设备所 产生的误差。
测量仪器所 带附件和附 属工具所带 来的误差。
标准量具误差
设计测量装置 时，由于采用 近似原理所带 来的工作原理 误差 组成设备的 主要零部件 的制造误差 与设备的装 配误差
误差理论与数据处理
1 按表现形式分类
绝对误差（absolute error）
定义
被测量的真 值，常用约 定真值代替 测得值 绝对误差
x x x0
① 绝对误差是一个具 有确定的大小、符号 及单位的量。单位给 出了被测量的量纲， 其单位与测得值相同。
特点
② 绝对误差不 能完全说明测 量的准确度。
1-21
误差理论与数据处理 粗大误差（gross error）
定义
指明显超出统计规律预期值的误差。又 称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。
产生原因 某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。
测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未 按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等） 测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、 雷电干扰、机械冲击和振动等）。
精确度（accuracy of measurement）
表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。就误 差分析而言，精确度是测量结果中系统误差和随机误差的 综合，误差大，则精确度低，误差小，则精确度高。 精确度（精度）在数值上有时用相对误差来表示，但 不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精 度为10-5。
1-2
误差理论与数据处理
【例1-1】
测得值
用某电压表测量电压，电压表的示值为226V， 查该表的检定证书，得知该电压表在220V 附 近的误差为5V ，被测电压的修正值为－5V ， 则修正后的测量结果为226+(－5V )=221V。 绝对误差 真值
1-3
误差理论与数据处理
相对误差
相对误差（relative error） 定义
系统误差（systematic error）
定义
按对误差 掌握程度
已定系 统误差
在同一条件下，多次测量同一量值时， 绝对值和符号保持不变，或在条件改变 时，按一定规律变化的误差。
系统误差
按误差出 现规律
未定系 统误差
不变系 统误差
变化系 统误差
1-18
误差理论与数据处理
系统误差举例
用天平计量物体质 量时，砝码的质量 偏差
1-12
误差理论与数据处理
二、误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差 来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有 因素都将引入测量误差。
主要来源
测量设 备误差
测量方 法误差
测量环 境误差
测量人 员误差
1-13
误差理论与数据处理
测量设备误差
以固定形式复现标准量值的器具， 如标准电阻、标准量块、标准砝 码等等，他们本身体现的量值， 不可避免地存在误差。一般要求 标准器件的误差占总误差的 1/3～1/10。
x r x0
绝对误差
被测量的真值，常用约定 真值代替，也可以近似用 测量值 x 来代替
x0
相对误差
特点
①相对误差只有 大小和符号，而 无量纲，一般用 百分数来表示。
② 相对误差 常用来衡量 测量的相对 准确程度。
1-4
误差理论与数据处理
绝对误差和相对误差的比较
用1μm测长仪测量0.01m长的工件，其绝对误差 ∆=0.0006m，但用来测量1m长的工件，其绝对误差 为0.0105m。 前者的相对误差为 r1 / l 0.6 106 / 0.01 0.6 104 后者的相对误差为 r2 / l 10.5106 /1 1.1105 用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、 不同物理量等的准确度。
仪器误差
设备出厂 时校准与 定化、 力有限而 器所特有 磨损、疲劳 造成的读 的量化误 所造成的误 差 数误差 差 1-14
误差理论与数据处理
测量环境误差
指各种环境因素与要求条件不一致而造成的 误差。
对于电子测量，环境误差主要来源于环境 温度、电源电压和电磁干扰等 激光光波比长测量中，空气的温度、湿度、 尘埃、大气压力等会影响到空气折射率， 因而影响激光波长，产生测量误差。高精 度的准直测量中，气流、振动也有一定的 影响
1-19
误差理论与数据处理 随机误差（random error） 定义
在相同测量条件下，多次测量同一量 值时，绝对值和符号以不可预定方式 变化的误差。
实验条件的偶然性微小变化，如温 度波动、噪声干扰、电磁场微变、 电源电压的随机起伏、地面振动等。
产生原因
1-20
误差理论与数据处理
随机误差的性质
随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见， 不可修正。 虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定， 也不能用实验的方法加以消除。但是，经过大量 的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。 因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差 的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计， 并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。 具体见第三章。
1-15
误差理论与数据处理
测量方法误差
指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算 公式等原因所引起的误差 ，又称为理论误差
如用均值电压表测量交流电压时，其读数是 按照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式 KFU U / 2 2 中出现无理数 和 2，故 取近似公式 1.11U ，由此产生的误差即为理 论误差。
绝对误差的最大值与 该仪表的标称范围 （或量程）上限xm成 正比
最大相对误差为
（公式2）
选定仪表后，被测量的值越接近于标 称范围（或量程）上限，测量的相对 误差越小，测量越准确
1-7
误差理论与数据处理
仪表准确度等级选择原则
① 不应单纯追求测量仪表准确度越高越好，而应根
据被测量的大小，兼顾仪表的级别和标称范围（或量 程）上限合理进行选择。 ② 选择被测量的值应大于均匀刻度测量仪表量程 上限的三分之二，即 2
1-6
误差理论与数据处理
电工仪表、压力表的准确度等级
我国电工仪表、压力表的准确度等级（accuracy class）就是按照引用误差进行分级的。 当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被 测量时，所产生的最大绝对误差为
（公式1）
xm xm s%
rx xm x m s% x x
1-5
误差理论与数据处理 引用误差（fiducial error of a measuring instrument
）
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
该标称范围（或量程）上限 引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引 用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的， 故该误差又称为引用相对误差、满度误差。
用千分表读数时， 表盘安装偏心引起 的示值误差
刻线尺的温度 变化引起的示 值误差
在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数 的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测 量器具的偏移或偏畸（bias）。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原 因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同 条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法， 或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系 统误差的规律后，对测量结果进行修正。具体可见第五章。
r1
m1
x
s1 %
100
0.5% 1.5%
当用1.0级、量程为150伏的电表测量时，有
xm 2 150 r2 s2 % 1.0% 1.5% x 100
1-22
误差理论与数据处理
三类误差的关系及其对测得值的影响
系统误差和随机误差 的定义是科学严谨， 不能混淆的。但在测 量实践中，由于误差 划分的人为性和条件 性，使得他们并不是 一成不变的，在一定 条件下可以相互转化。 也就是说一个具体误 差究竟属于哪一类， 应根据所考察的实际 _ 3 问题和具体条件，经 分析和实验后确定。 标准差
1-10
误差理论与数据处理
【例1-4 】
某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100uA，求测量 值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。 【解】 根据题意得 s 1.0，m 100 A, x1 100A, x2 80A, x3 20A x 由公式1可知，最大绝对误差为
1-1
误差理论与数据处理
修正值
修正值(correction) 与误差绝对值相等、符号相反 的值，一般用c表示。
c x x0 x
在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公 式的形式给出。 在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储 在仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。 修正结果（correction result）是将测得值加 上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。
x
3
xm
测量的最大相对误差不超过 xm rx s% 1.5s% 2 xm 3
即测量误差不 会超过测量仪 表等级的1.5倍。
1-8
误差理论与数据处理
【例1-2 】
某被测电压为100伏左右，现有0.5级、量程为300伏和1.0 级、量程为150伏两块电压表，问选用哪一块合适？
【解】
由公式2，当用0.5级、量程为300伏的电压表测 量时，有 x 300
测量装置在制造过程中由于设计、制 造、装配、检定等的不完善，以及在 使用过程中，由于元器件的老化、机 械部件磨损和疲劳等因素而使设备所 产生的误差。
测量仪器所 带附件和附 属工具所带 来的误差。
标准量具误差
设计测量装置 时，由于采用 近似原理所带 来的工作原理 误差 组成设备的 主要零部件 的制造误差 与设备的装 配误差
误差理论与数据处理
1 按表现形式分类
绝对误差（absolute error）
定义
被测量的真 值，常用约 定真值代替 测得值 绝对误差
x x x0
① 绝对误差是一个具 有确定的大小、符号 及单位的量。单位给 出了被测量的量纲， 其单位与测得值相同。
特点
② 绝对误差不 能完全说明测 量的准确度。
1-21
误差理论与数据处理 粗大误差（gross error）
定义
指明显超出统计规律预期值的误差。又 称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。
产生原因 某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。
测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未 按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等） 测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、 雷电干扰、机械冲击和振动等）。
精确度（accuracy of measurement）
表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。就误 差分析而言，精确度是测量结果中系统误差和随机误差的 综合，误差大，则精确度低，误差小，则精确度高。 精确度（精度）在数值上有时用相对误差来表示，但 不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精 度为10-5。
1-2
误差理论与数据处理
【例1-1】
测得值
用某电压表测量电压，电压表的示值为226V， 查该表的检定证书，得知该电压表在220V 附 近的误差为5V ，被测电压的修正值为－5V ， 则修正后的测量结果为226+(－5V )=221V。 绝对误差 真值
1-3
误差理论与数据处理
相对误差
相对误差（relative error） 定义
系统误差（systematic error）
定义
按对误差 掌握程度
已定系 统误差
在同一条件下，多次测量同一量值时， 绝对值和符号保持不变，或在条件改变 时，按一定规律变化的误差。
系统误差
按误差出 现规律
未定系 统误差
不变系 统误差
变化系 统误差
1-18
误差理论与数据处理
系统误差举例
用天平计量物体质 量时，砝码的质量 偏差
1-12
误差理论与数据处理
二、误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差 来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有 因素都将引入测量误差。
主要来源
测量设 备误差
测量方 法误差
测量环 境误差
测量人 员误差
1-13
误差理论与数据处理
测量设备误差
以固定形式复现标准量值的器具， 如标准电阻、标准量块、标准砝 码等等，他们本身体现的量值， 不可避免地存在误差。一般要求 标准器件的误差占总误差的 1/3～1/10。
x r x0
绝对误差
被测量的真值，常用约定 真值代替，也可以近似用 测量值 x 来代替
x0
相对误差
特点
①相对误差只有 大小和符号，而 无量纲，一般用 百分数来表示。
② 相对误差 常用来衡量 测量的相对 准确程度。
1-4
误差理论与数据处理
绝对误差和相对误差的比较
用1μm测长仪测量0.01m长的工件，其绝对误差 ∆=0.0006m，但用来测量1m长的工件，其绝对误差 为0.0105m。 前者的相对误差为 r1 / l 0.6 106 / 0.01 0.6 104 后者的相对误差为 r2 / l 10.5106 /1 1.1105 用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、 不同物理量等的准确度。
仪器误差
设备出厂 时校准与 定化、 力有限而 器所特有 磨损、疲劳 造成的读 的量化误 所造成的误 差 数误差 差 1-14
误差理论与数据处理
测量环境误差
指各种环境因素与要求条件不一致而造成的 误差。
对于电子测量，环境误差主要来源于环境 温度、电源电压和电磁干扰等 激光光波比长测量中，空气的温度、湿度、 尘埃、大气压力等会影响到空气折射率， 因而影响激光波长，产生测量误差。高精 度的准直测量中，气流、振动也有一定的 影响
1-19
误差理论与数据处理 随机误差（random error） 定义
在相同测量条件下，多次测量同一量 值时，绝对值和符号以不可预定方式 变化的误差。
实验条件的偶然性微小变化，如温 度波动、噪声干扰、电磁场微变、 电源电压的随机起伏、地面振动等。
产生原因
1-20
误差理论与数据处理
随机误差的性质
随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见， 不可修正。 虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定， 也不能用实验的方法加以消除。但是，经过大量 的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。 因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差 的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计， 并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。 具体见第三章。
1-15
误差理论与数据处理
测量方法误差
指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算 公式等原因所引起的误差 ，又称为理论误差
如用均值电压表测量交流电压时，其读数是 按照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式 KFU U / 2 2 中出现无理数 和 2，故 取近似公式 1.11U ，由此产生的误差即为理 论误差。
绝对误差的最大值与 该仪表的标称范围 （或量程）上限xm成 正比
最大相对误差为
（公式2）
选定仪表后，被测量的值越接近于标 称范围（或量程）上限，测量的相对 误差越小，测量越准确
1-7
误差理论与数据处理
仪表准确度等级选择原则
① 不应单纯追求测量仪表准确度越高越好，而应根
据被测量的大小，兼顾仪表的级别和标称范围（或量 程）上限合理进行选择。 ② 选择被测量的值应大于均匀刻度测量仪表量程 上限的三分之二，即 2
1-6
误差理论与数据处理
电工仪表、压力表的准确度等级
我国电工仪表、压力表的准确度等级（accuracy class）就是按照引用误差进行分级的。 当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被 测量时，所产生的最大绝对误差为
（公式1）
xm xm s%
rx xm x m s% x x
1-5
误差理论与数据处理 引用误差（fiducial error of a measuring instrument
）
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
该标称范围（或量程）上限 引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引 用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的， 故该误差又称为引用相对误差、满度误差。
用千分表读数时， 表盘安装偏心引起 的示值误差
刻线尺的温度 变化引起的示 值误差
在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数 的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测 量器具的偏移或偏畸（bias）。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原 因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同 条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法， 或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系 统误差的规律后，对测量结果进行修正。具体可见第五章。
r1
m1
x
s1 %
100
0.5% 1.5%
当用1.0级、量程为150伏的电表测量时，有
xm 2 150 r2 s2 % 1.0% 1.5% x 100