浙江省余姚中学高二上学期限时训练试卷数学试题(27日)+Word版缺答案【高考】

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2019-2020学年浙江省宁波市余姚姚中书院高二数学理测试题含解析

2019-2020学年浙江省宁波市余姚姚中书院高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 分类变量和的列联表如下，则(A)越小，说明与的关系越弱(B)越大，说明与的关系越强(C)越大，说明与的关系越强(D)越接近，说明与关系越强参考答案：C2. 不等式log(–x ) < 2的解集是（）（A）[ - 1，) （B）( - 1，) （C）(，) （D）[ - 1，)参考答案：A2.下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A. B. C. D.参考答案：D略4. 已知过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线仅与双曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A5. 已知两个正数a，b满足，则的最小值是A. 23B. 24C. 25D. 26参考答案：C【分析】根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．【详解】根据题意，正数a，b满足，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是25．本题选择C选项.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6. 直线,当m变动时，所有直线都经过的定点坐标为（▲）A．(－2,1) B．(1,2) C．(1,－2) D．(2,1)参考答案：A7. 已知数列满足：>0，，则数列{ }是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 不确定参考答案：B由等比数列的定义可知根据条件>0，可确定数列{ }是等比数列，并且是递减数列.8. 在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】茎叶图．【分析】根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间[130，151]内的组数，即可得出对应的人数．【解答】解：将运动员按成绩由好到差分成6组，则第1组为，第2组为，第3组为，第4组为，第5组为，第6组为，故成绩在区间[130，151]内的恰有5组，故有5人．故选：C．9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出高了一个容量为的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中高.考.资.支出在元的同学有人，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：A10. 从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )．A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有________参考答案：576种略12. 在各棱长都等于1的正四面体中，若点P满足,则的最小值为_____________.参考答案：略13. 将二进制数化为十进制数，结果为__________参考答案：4514. 坐标原点到直线4x+3y﹣15=0的距离为_________．参考答案：3略15. 已知偶函数的定义域为R,满足，若时，，则参考答案：3略16. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则= .参考答案：4略17. 设的夹角为;则等于______________.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知空间向量()()1,2,13,,3a b x =-=-，，且//a b ，则x =（） A ．3- B ．3 C ．6- D ．6【答案】C【分析】利用向量平行列方程直接求得.【详解】因为空间向量()()1,2,13,,3a b x =-=-，，且//a b ，所以33121x -==-，解得：6x =-. 故选：C2．直线3210x y +-=的一个方向向量是（） A ．()2,3- B ．()2,3 C ．()3,2- D ．()3,2【答案】A【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A.3．双曲线22154x y -=的焦距等于（）A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】D【分析】由题意可知，25a = ，24b =，解出3c =，即可知焦距. 【详解】由题意可知：25a = ，24b = ， ∴ 2229c a b =+= ，解得3c =， ∴26c = 即双曲线的焦距等于6，故选：D.4．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为（）AB ．CD ．【答案】B【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，可与任一圆联立方程求出交点坐标，根据两点间距离公式得到公共弦长.【详解】联立方程：22224044120x y x y x y ⎧+-=⎨+-+-=⎩，两式相减可得公共弦方程20x y -+=，方法一：联立方程：224020x y x y ⎧+-=⎨-+=⎩得220x x +=，得 10x =，22x =-，即公共弦的端点坐标为()0,2，()2,0-根据点到直线距离公式可得公共弦长为d =方法二：圆2240x y +-=的圆心坐标为()0,0，半径为2r =圆心到公共弦的距离为1d =d ==故选:B5．袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A =“第一次摸到白球”，事件B =“第二次摸到白球”，事件C =“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（） A ．A 与B 是互斥事件 B ．A 与B 不是相互独立事件 C ．B 与C 是对立事件 D ．A 与C 是相互独立事件【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可.【详解】根据题意可知，事件A 和事件B 可以同时发生，不是互斥事件，故A 错；不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件A 和事件B 不相互独立，故B 正确；事件B 的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C 错；事件A 与事件C 为对立事件，故D 错. 故选：B.6．在正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AC 的中点，则异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为（）A ．12B ．35C ．33D ．63【答案】C【分析】作出辅助线，找到异面直线AE ，FG 所成角，设出正四面体的边长，表达出其他边长，利用余弦定理求出答案.【详解】连接DE ，因为点F ，G 分别为棱CD ，AC 的中点，所以FG //AD ，所以EAD ∠或其补角为异面直线AE ，FG 所成角，设正四面体的边长为a ，则3AE DE ==，AD a =，由余弦定理得：222222233344cos 232a a a AE AD DE EAD AE AD a+-+-∠===⋅⨯所以异面直线AE ，FG 3故选：C7．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F (-c ，0)，2F (c ，0)，若椭圆C 上存在一点M 使得12MF F △的内切圆半径为2c，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用12MF F △的面积相等，得到2M a c y +=，得到2a cb +≤，消去b ，整理化简求出离心率的取值范围.【详解】12MF F △的面积为1212M F F y ⋅. 因为12MF F △的内切圆半径为2c，所以12MF F △的面积可表示为()12222c a c +⋅.所以()11222222M c c y a c ⨯⋅=+⋅，所以2M a cy +=. 因为M y b ≤，所以2a cb +≤. 两边平方得：222a c b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，而222b ac =-，所以2222a c a c +⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，整理得：225230c ac a +-≤,因为离心率c e a=，所以25230e e +-≤，解得：305e <≤.故选：A.8．如图，三棱柱111ABC A B C 满足棱长都相等且1AA ⊥平面ABC ，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（）A ．先增大再减小B ．减小C ．增大D ．先减小再增大【答案】D【分析】以AC 中点O 为坐标原点，,OB OC 分别为,x y 轴，并垂直向上作z 轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2，则(0,2)x ∈，通过空间向量来求二面角的cos θ=23115()24-+x ，故cos θ在1(0,)2x ∈上单增， 1(,2)2x ∈上单减，即随着x 增大先变大后变小，所以θ随着x 增大先变小后变大.即可得出结果.【详解】以AC 中点O 为坐标原点，,OB OC 分别为,x y 轴，并垂直向上作z 轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2，则(0,2)x ∈，(3,0,0)(0,1,1)(0,1,)，，-B D E x ,(3,1,1)DB =--，(0,2,1)DE x =--，设平面BDE 法向量(,,)n a b c =,则0302(1)0n DB a b cn DE b c x ⎧⎧⋅==+⎪⇒⎨⎨⋅=-+-=⎪⎩⎩，令3c =13(1)23a xb xc =+⎧⎪-⎨⎪=⎩，故(1,3(1),3)n x x =+-.又平面ABC 的法向量(0,0,1)m =，故平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角θ的余弦值222233cos (1)3(1)124m n m nx x x x θ⋅===++-+-+23115()24x =-+(0,2)x ∈，故cos θ在1(0,)2x ∈上单增， 1(,2)2x ∈上单减，即随着x 增大先变大后变小，所以θ随着x 增大先变小后变大. 故选：D.【点睛】本题考查了用空间向量求二面角的余弦值，考查了解决问题能力和计算能力，属于中档题目.二、多选题9．甲、乙两人在高二的6次数学成绩统计的折线图如图所示，下列说法中正确的是（）A ．若甲、乙两组成绩的平均数分别为1x ，2x ，则12x x >B ．若甲、乙两组成绩的方差分别为2212,s s ，则2212s s >C ．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数D ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差【答案】AC【分析】对四个选项一一判断：根据折线图直接判断选项A 、B 、D ；分析甲乙的中位数，判断C. 【详解】由折线图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,所以12x x >.故选项A 正确；由折线图的变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得2212s s <.故选项B 错误；由折线图可得甲同学的成绩的第3和第4均大于90，乙同学的成绩的第3和第4均小于90，所以甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数. 故选项C 正确；因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D 错误. 故选:AC10．如图，已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面边长分别为2，22，其顶点都在同一球面上，且该球的表面积为20π，则侧棱长为（）A 2B ．2C 6D 10【答案】AD【分析】根据球的表面积公式可求得球的半径R ；作出截面11BDD B ，设外接球球心为O ，棱台底面的中心分别为1,G G ，分别讨论O 在四边形11BDD B 内和O 在四边形11BDD B 外两种情况，结合勾股定理可求得棱台的高1GG ，进而可得侧棱长.【详解】正四棱台的外接球表面积2420S R ππ==，解得：5R =，即球的半径为5；884BD =+=，11222B D =+=，作出截面11BDD B ，设外接球球心为O ，棱台底面的中心分别为1,G G ，若O 在四边形11BDD B 内，如下图所示，22111512OG R B G ∴=-=-=，22541OG R BG =-=-=， 113GG OG OG ∴=+=， ()2211111910BB BG B G GG ∴=-+=+=，即棱台侧棱长为10；若O 在四边形11BDD B 外，如下图所示，22111512OG R B G ∴=-=-=，22541OG R BG =--=， 111GG OG OG ∴=-=，1BB ∴==；故选：AD.11．设圆O 22:4x y +=，直线:250l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆O 的两条切线P A ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法中正确的是（） A ．直线l 与圆O 相交B ．直线AB 恒过定点84,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．当P 的坐标为()21--，时，APB ∠最大 D ．当||PO AB ⋅最小时，直线AB 的方程为240x y ++= 【答案】BCD【分析】求出圆心O 到直线l 的距离d =对于A ：由dr 直接判断；对于B ：设(),25P m m --.求出以OP 为直径的圆D 的方程，得到直线AB ：()2540m x y y -+++=.证明直线AB 恒过定点84,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭.对于C ：先判断出要使APB ∠最大，只需OPA ∠最大.在直角OPA 中，由2sin OPA OP∠=.求出OP 最小时P ()21--，，即可判断；对于D ：利用面积相等得到要使||PO AB ⋅最小，只需PO 最小，即OP l ⊥时，得到P的坐标为()21--，，求出直线AB . 【详解】圆O 22:4x y +=的半径2r =.设圆心O 到直线:250l x y ++=的距离为d ，则d对于A ：因为5d r =，所以直线l 与圆O 相离.故A 错误；对于B ：P 为:250l x y ++=上的动点，可设(),25P m m --. 因为P A ，PB 为过点P 作圆O 的两条切线，所以,PA OA PB OB ⊥⊥. 所以,,,O A P B 四点共圆，其中OP 为直径.设OP 的中点为25,22m m D +⎛⎫- ⎪⎝⎭,则222522m m OD +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以圆D 为222225252222m m m m x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()22520x mx y m y -+++=.所以直线AB 为圆D 和圆O 的相交弦，两圆方程相减得：()5240mx m y -+++=. 即直线AB ：()2540m x y y -+++=.由20540x y y +=⎧⎨+=⎩解得：8545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线AB 恒过定点84,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故B 正确；对于C ：因为OPA 和OPB △为直角三角形，且,OP OP OA OB ==,所以OPA OPB ≅，所以OPA OPB ∠=∠，所以2APB OPA ∠=∠. 要使APB ∠最大，只需OPA ∠最大. 在直角OPA 中，2sin OA OPA OP OP∠==. 要使OPA ∠最大,只需OP 最小，所以当OP l ⊥时，5OP d ==此时1OP l k k ⋅=-，所以12OP k =，所以直线1:2OP y x =.由12250y xx y ⎧=⎪⎨⎪++=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=-⎩，即当P 的坐标为()21--，时，APB ∠最大.故C 正确；对于D ：因为直线AB 为圆D 和圆O 的相交弦，所以AB OP ⊥，且AB 被OP 平分. 所以四边形OAPB 的面积为||12PO B S A ⋅=. 而四边形OAPB 的面积还可以表示为2222212|2|2||2OPAPA OA OP OA O S A OP =⨯==⋅-⋅-⋅所以22||2212PO AB OP S =-=⋅⋅.要使||PO AB ⋅最小，只需PO 最小，即OP l ⊥时，得到P 的坐标为()21--，. 所以圆22:20D x x y y +++=,两圆相减得到直线AB ：240x y ++=.故D 正确. 故选：BCD.12．给定两个不共线的空间向量a 与b ，定义叉乘运算：a b ⨯．规定：①a b ⨯为同时与a ，b 垂直的向量；②a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；③ ||||||sin a b a b a b ⨯=〈〉，．如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，124AB AD AA ===，，则下列结论正确的是（） A ．1AB AD AA ⨯= B ．AB AD AD AB ⨯=⨯C ．111()AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ D ．11111()ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅【答案】ACD【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项即可. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =AD =2，14AA =，A ：1AA 同时与AB AD ，垂直，sin =22sin 904AB AD AB AD AB AD ︒⨯=⨯⨯=，，又因为1=4AA ，所以AB AD ⨯=1AA ，且AB AD ，，1AA 构成右手系，故1=AB AD AA ⨯成立，故A 正确；B ：根据a b a b ⨯，，三个向量构成右手系，可知1=AB AD AA ⨯，1=-AD AB AA ⨯，则AB AD ⨯≠AD AB ⨯，故B 错误；C ：11()224sin 90AB AD AA AC AA ︒+⨯=⨯==1AC AA ⨯与DB 同向共线，124sin 908AB AA ︒⨯=⨯=，且1AB AA ⨯与DA 同向共线，又124sin 908AD AA ︒⨯=⨯=，且1AD AA ⨯与AB 同向共线，即1AD AA ⨯与DC 同向共线，所以1182AB AA AD AA ⨯+⨯=11AB AA AD AA ⨯+⨯与DB 同向共线，所以1()AB AD AA +⨯=11AB AA AD AA ⨯+⨯，故C 正确； D ：长方体1111ABCD A B C D -的体积22416V ，2111()416AB AD CC AA CC ⨯⋅=⋅==，所以1111ABCD A B C D V -=1()AB AD CC ⨯⋅，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．双曲线22143x y -=的渐近线方程是_________________.【答案】y = 【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线.【详解】双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a =±，所以双曲线22143x y -=的渐近线方程是y =.故答案为y = 【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.14．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ===∠=∠=∠=°，则1AC =___________．【分析】利用空间向量基本定理，得到11AC AB AD AA =++，即可求出16AC =【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AC AB BC CC =++. 因为11,AD BC AA CC ==，所以11AC AB AD AA =++. 所以11AC AB AD AA =++()21AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++++⋅+⋅+⋅=15．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________. 【答案】512【分析】两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解.【详解】解：设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,12,B B 分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得 ()()212313392,448416P A P A ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭()()212214242,33939P B P B ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭设A =“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则1221A A B A B =,且12A B 与21A B 互斥,1A 与2B ,2A 与1B 分别相互独立,所以()()()1221P A P A B P A B =+()()()()1221P A P B P A P B =+349458916912=⨯+⨯=因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512. 故答案为：51216．矩形ABCD 中，AB =1BC =，现将ACD 沿对角线AC 向上翻折，设二面角D AC B --的平面角为θ，当θ在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，BD 的范围为______.【答案】71022⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，根据DB DE EF FB =++，计算275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到答案.【详解】如图1，分别过点B ，D 作BF AC DE AC ⊥⊥，，垂足分别为F ，E ，则在四面体ABCD 中也满足BF AC DE AC ⊥⊥，．因为3AB =，1BC =，所以2AC =，13322DE BF ⨯===，则12AE CF ==，1EF =．在四面体ABCD 中，DB DE EF FB =++，因为二面角D AC B --的平面角为θ，且BF AC DE AC ⊥⊥，，所以DE 和FB 的夹角为πθ-，所以()222222DB DE EF FBDE EF FB DE FB =++=+++⋅()2233335312cos πcos 22θθ=+++-=-⎝⎭⎝⎭因为ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以275,42DB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则7102DB ⎡∈⎢⎣⎦．故答案为：710⎡⎢⎣⎦，四、解答题17．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 3cos 0b C c B +⋅=.(1)求角B 的大小；(2)若7b =，8a c +=，求△ABC 的面积. 【答案】(1)23π (2)1534【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）由正弦定理可得sin sin 3sin cos 0B C C B +⋅=，又()0,C π∈，所以sin 0C ≠，因此tan 3B =-，又()0,B π∈，所以23B π=；（2）由余弦定理，得()()2222222cos 22cos3b ac ac B a c ac ac a c ac π=+-=+--=+-，所以()22644915ac a c b =+-=-=，所以△ABC 的面积113153sin 152224S ac B ==⨯⨯=. 18．第19届亚运会将在杭州举行．某高校承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a ，b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的众数、平均数和第60百分位数（精确到0.1）；(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率．【答案】(1)0.0050.025a b ==，；(2)众数：70，平均数等于695，第60百分位数等于71.7；(3)35.【分析】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，求出a ；利用频率和为1，求出b ；（2）由频率分布表进行数据分析，分别求出众数，平均数和第60百分位数；（3）先判断出从在第四、五两组志愿者中分别抽取了4人和1人，利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以100.650.7a +=，解得0.005a =. 由频率和为1，即()20.0050.065101b ⨯++⨯=，解得：0.025b =. （2）由频率分布表进行数据分析可得：众数为70；平均数等于500.05600.25700.45800.2900.05695⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，第60百分位数等于0.60.3645651071.70.750.39-+⨯=≈-：（3）可知从在第四、五两组志愿者中分别抽取了4人和1人．故选出的两人来自同一组的概率为2425C 3C 5=． 19．已知圆C 经过点M （0，-2）和N （3，1），圆心C 在直线210x y ++=上．直线l 的方程为()()21160m x m y m ++--=(1)求圆C 的标准方程；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最大值和最小值．【答案】(1)()()22329x y -++= (2)最长等于6；最短等于【分析】（1）利用待定系数法求出圆C 的标准方程；（2）先判断出直线l 过定点P （2，-2），得到最长弦为直径，利用垂径定理求出最短弦.【详解】（1）因为圆心C 在直线210x y ++=上，所以可设()12,C n n -- 由圆C 经过点M （0，-2）和N （3，1）=解得：2n =-，即圆心坐标为()3,2-，所以半径3r =.所以圆C 的标准方程()()22329x y -++=.（2）将直线l 的方程()()21160m x m y m ++--=整理为()()260x y m x y ++--=，令0260x y x y +=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩，故直线l 过定点P （2，-2）.又点P 在圆C 内，故当直线l 与直线PC 重合时，弦长最长，等于直径长为6；当直线l 与直线PC 垂直时，弦长最短，此时圆心到l 的距离为()()2232221d =-+-+=，由垂径定理得，弦长为22229142r d -=-=．20．如图，在棱长为2 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱CD ， 11A B 的中点．(1)求直线1C F 与直线AE 间的距离： (2)求直线1DD 与平面1AED 所成角的正弦值．【答案】(1)直线1C F 与直线AE 230(2)直线1DD 与平面1AED 6【分析】（1）根据题意可知四边形1AEC F 是菱形，运用勾股定理、菱形面积公式即可解得直线1C F 与直线AE 间的距离.（2）建立空间直角坐标系，直接按照线面角的向量求法求解即可．【详解】（1）解：在棱长为2 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱CD ， 11A B 的中点．由题意可知：1//AE C F ，A 、E 、1C 、F 四点共面，根据勾股定理可得： 115AE AF FC C E ====， ∴四边形1AEC F 是菱形， ∴22EF =，123AC =，∴111262AEC FSEF AC =⨯⨯= ， ∴12623055AEC FSd AE=== ， ∴直线1C F 与直线AE 间的距离为：2305.（2）以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以 DC 所在的直线为y 轴，1DD 所在的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()10,2,2C ，()2,1,2F ，()2,0,0A ，()0,1,0E ，()0,0,0D ，()10,0,2D ， ∴ ()10,0,2DD =，()=2,1,0AE -，()1=2,0,2AD -，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则100n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x y x z -=⎧⎨-+=⎩ ，故令1x =，则2y =，1z =， ∴ 平面1AED 的法向量为：()1,2,1n =，111·26cos ,26n DD n DD n DD ∴==，设直线1DD 与平面1AED 所成角为θ ，则1sin cos ,n DD θ=，6sin θ=∴直线1DD 与平面1AED 621．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，,2FA FC AB ==，且60DAB DBF ∠=∠=．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ：(2)若M 为线段DE 上的一点，满足直线AM 与平面ABF 230求线段DM 的长．【答案】(1)证明见解析 31-【分析】（1）先做辅助线，再利用线面垂直判定定理判定定理证明.（2）建立直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再通过直线与平面所成角的正弦值计算公式求解即可得到答案.【详解】（1）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ． ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥ O 为AC 中点，FA FC =， ∴AC FO ⊥．又FO BD O ⋂=，BD ⊂平面BDEF ，FO ⊂平面BDEF ∴AC ⊥平面BDEF ．（2）连接DF∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=， ∴BDF 为等边三角形． ∵O 为BD 的中点， ∴FO BD ⊥又0AC FO AC BD ⊥⋂=，，BD ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴FO ⊥平面ABCD ． ∴OA 、OB 、OF 两两互相垂直如图，以O 为坐标原点，OA 、OB 、OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．∵四边形ABCD 为菱形，260AB BAD =∠= ∴222,3BD OA AB OB ==-= ∵△BDF 为等边三角形， ∴3OF =设DM x =,则()()()133,0,0,0,1,0,0,0,3,0,1,22AB F M x x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭13(3,1,0),(0,1,3),(3,1,)22AB BF AM x x ∴=-=-=---设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则3030AB n x y BF n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则3,1y z ==，故(1,3,1)n = 则2||23230|cos ,|15||||54AM n AM n AM n x x ⋅===++，解得312x -=，即线段DM 的长为312-. 故答案为312-. 22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为63．点P 是椭圆E 上的一个动点，且P 在第一象限．记12PF F △的面积为S ，当212PF F F ⊥时，263S =．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如图，1PF ，2PF 的延长线分别交椭圆于点M ，N ，记12MF F △和12NF F △的面积分别为1S 和2S ．求证：存在常数λ，使得1211S S Sλ+=成立．【答案】(1)22162x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由题得关于,,a b c 的方程组，解方程组即得解；（2）设00(,)P x y ，00(0,0)x y >>，1122(,),(,)M x y N x y ，解方程组求出12,y y 的值，再求出12,,S S S 即得证.【详解】（1）由题得222221,x y b y a b a x c⎧+=⎪∴=±⎨⎪=⎩. 所以当212PF F F ⊥时，22||b PF a =.由已知得c a2122b c a ⋅⋅=222a b c =+，所以22b =，从而2264a c ==，，所以椭圆E 的方程为22162x y +=. （2）根据椭圆的对称性，可设00(,)P x y ，0000x y >>（，），1122(,),(,)M x y N x y ，则2200162x y +=即220036x y +=，因为12(2,0),(2,0)F F -，直线PM 与直线PN 的斜率均不为零，所以设直线PM 的方程为2x my =-（其中002x m y +=），直线PN 的方程为2x ny =+（其中002x n y -=），联立222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420m y my +--=，所以01223y y m =-+，所以220001222000000223442523y y y y x y x x x y =-=-=-++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以01025y y x =-+，由222162x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420n y ny ++-=，所以02223y y n =-+，所以220002222000000223445223y y y y x y x x x y =-=-=-+-+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以02052y y x =--，第 21 页共 21 页所以12001121121222111222222S F F y y S F F y y S F F y y =⋅⋅==⋅⋅=-=⋅⋅=-，，，所以00121200052521111101022222x x S S y y y y y S ⎛⎫+-+=-+=+== ⎪⎝⎭ 即存在常数10λ=，使得1211S S Sλ+=成立．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

浙江省余姚中学高二上学期期中试题(数学)实验班缺答案.doc

浙江省余姚中学高二上学期期中试题（数学）实验班一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 ”可用于（）A 、输出、赋值a=10 C 、判断a=10 D 、输入a=102、下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是（）A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =xe D ()ln(1)f x x =+ 3、设,,a b c r r r为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a r 与b r 不共线，a r ⊥c r ，∣a r ∣=∣c r ∣,则∣b r •c r∣的值一定等于（） A ．以a r ，b r 为两边的三角形面积 B 以b r ，c r为两边的三角形面积C ．以a r ，b r 为邻边的平行四边形的面积D 以b r ，c r为邻边的平行四边形的面积4、如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是（）Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面 C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.PD ABC ︒直线与平面所成的角为455、.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是（）A.0B.12C.1D.526、已知一组数据为0、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（）A 、中位数 >平均数 >众数B 、众数 >中位数 >平均数C 、众数 >平均数 >中位数D 、平均数 >众数 >中位数7、某班有60名学生，学号为1~60号，现从中抽出5位学生参加一项活动，用系统抽样的方法确定的抽样号码可能为 ( )A ．5，10，15，5B ．5，12，31，39，57C ．5，15，25，35，45D ．5，17，29，41，53 8、如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（）A 、12π B 、1－3π C 、1－6π D 、1－12π 9.nn n n nnCC C C 1321393-++++Λ等于（）开始 1i =n 整除a ?是输入m n ，结束 a m i =⨯输出a i ，1i i =+14题否A ．n4 B 。

浙江省余姚市高二数学上学期期中试题理(无答案) 新人教A版

用心爱心专心1第一学期一．选择题（共10题，每小题5分）：1．圆()1122=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（） A ．21Ｂ．23 Ｃ．１Ｄ．3２．两条直线0,0222111=++=++C y B x A C y B x A 垂直的充要条件是（） A ．02121=+B B A A Ｂ．02121=-B B A A Ｃ．121-=A AＤ．121=BB ３．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积（单位2cm ）为（）A ．21248+Ｂ．22448+ Ｃ．21236+ Ｄ．22436+４．在棱长为２的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，F E 、分别是AD CC 、1的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值为（）A ．510 Ｂ．515 Ｃ．54 Ｄ．32５．对于平面α和共面的直线n m 、，下列命题中为真命题的是（） A ．若α⊥m ，n m ⊥，则α//n Ｂ．若α//m ，α//n ，则n m //（第3题图）6666ABCDA 1B 1C 1D 1OFE（第4题图）用心爱心专心 2Ｃ．若α⊂m ，α//n ，则n m // Ｄ．若n m 、与α所成角相等，则n m // ６．平面内到两定点的距离之比为１:２的动点的轨迹是（） A ．线段Ｂ．直线Ｃ．圆Ｄ．椭圆７．已知直线l 方程为()0,=y x f ，点),(111y x P 、),(222y x P 分别在l 上和l 外，则方程()()()0,,,2211=--y x f y x f y x f 表示（）A ．过点1P 且与l 垂直的直线Ｂ．与l 重合的直线Ｃ．过点2P 且与l 平行的直线Ｄ．不过点2P ，但与l 平行的直线 8．多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，AB EF //,23=EF ,EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（）A ．29 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．2159．若直线1=+by a x 与圆122=+y x 有公共点，则（）A ．122≤+b a Ｂ．122≥+b a Ｃ．11122≤+b a Ｄ．11122≥+b a10．给出命题：①设l 、m 位直线，α为平面，若直线m l //，且α⊂m ，则α//l ； ②若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补； ③设n m 、是一对异面直线，则存在平面α，使α⊂m 且α//n ； ④若一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，则这两个二面角的平面角相等或互补．上述命题中真命题的个数为（） A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 二．填空题（共7题，每小题4分）：11．已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若1222=+B F A F ，则=AB _________．12．正方体1111D C B A ABCD -中，直线B A 1与平面CD B A 11所成的角为_________． 13．已知集合{}0103|2≤--=x x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，若B 是A 的充分条件，则m 的取值范围是_________．14．已知球O 的面上四点D C B A 、、、，⊥DA 平面ABC ，ABCD(第14题图)ABCDE F(第8题图)用心爱心专心 3BC AB ⊥，3===BC AB DA ，则球O 的体积为_________．15．直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是_________． 16．正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长和侧棱长都为2，过底面上一边AB 作平面α，使α与底面ABC 成︒60的二面角，则正三棱柱被平面α截得的截面面积为_________． 17．过点()3,2P 作圆122=+y x 的两条切线PB PA 、，B A 、为切点，则直线AB 的方程为_________．三．解答题（共5大题，共72分）：18．（14分）在△ABC 中，已知()2,5-A ，()3,7B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上．求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线MN 的方程．19．（14分）已知0>c ，设P ：函数xc y =在R 上单调递减；Q ：不等式12>-+c x x 的解集为R ．若P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．20．（14分）某几何体的一棱长为7，它在正视图中的射影长为6，它在侧视图、俯视图中的投影分别为a 、b ．联想长方体…… （1）求22b a +的值；（2）求b a +的最大值． 21．（15分）在四棱锥ABCD P -中，△PBC 为正三角形，⊥AB 平面PBC ，CD AB //，DC AB 21=，BC DC 3=，E 为PD 中点．（1）求证：直线//AE 平面PBC ；（2）求证：平面⊥APD 平面PDC ；（3）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小． 22．（15分）设二次函数()m x x x f ++=22的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．（1）求实数m 的取值范围；（2）求圆C 的方程．问圆C 是否经过定点？若有，求出定点的坐标，并证明你的结论．A DB CEP(第21题图)。

余姚高二上期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. f(x) = √(x-1)B. f(x) = 1/xC. f(x) = |x|D. f(x) = log2(x)2. 函数y = x^2 - 4x + 3的图像与x轴的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 03. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 5，则f(3)的值为（）A. 8B. 9C. 10D. 114. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > -1B. |x| < 1C. |x| ≤ 1D. |x| ≥ 15. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 实轴C. 单位圆D. 双曲线6. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则a^3 > b^3C. 若a > b，则a/b > b/aD. 若a > b，则a/b < b/a7. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a3 + a5 = 18，则a2 + a4 + a6 =（）A. 18B. 24C. 30D. 368. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16, ...B. 1, 3, 9, 27, 81, ...C. 1, 4, 16, 64, 256, ...D. 1, 2, 6, 18, 54, ...9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在区间[0, 2]上存在极值，则该极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = 210. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 9，a4 + a5 +a6 = 27，则该等差数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(x)的图像关于点(1, 0)对称，则函数f(x)的图像还可能关于哪一点对称？12. 已知复数z满足|z - 1| = |z + 1|，求复数z的实部。

浙江省余姚中学10-11学年高二数学上学期限时训练文(1)(无答案)

高二数学限时训练一（时间：90分钟总分：150分）一．选择题（每小题5分，共10小题，共50分） 1．设集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,则( ). N M A =)( N M B ⊆)( N M C ⊇)( ∅=N M D )(2．某中学从已编号()60~1的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是( ). A 、6，16，26，36，46，56 B 、3，10，17，24，31，38 C 、4，11，18，25，32，39 D 、5，14，23，32，41，50 3．函数tan sin tan sin y x x x x =---在区间3(,)22ππ内的图象是( ).4．设2a =,b ,c 是单位向量，且a 与b 的夹角为60︒,那么()(2)a c b c ++的最大值为( ).（A）3 （B ）7 （C）23 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，给定下列四个命题:①m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭, ② a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭, ③ //m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭,④ ////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭.其中为真命题的是( ).A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④6．已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为( ). A ．22(1)(1)2x y ++-= B ．22(1)(1)2x y -++=AB-CD-C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=7．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人的成绩的标准差为( ).A 、3B 、5C 、3D 、58．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是( ). A ． 51- B ． 61- C ． 71- D ． 81-9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( ).A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π312510．设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax bya b =+>>的最大值为12，则23a b +的最小值为 ( ). .A 625 .B 38 .C 311.D 4二．填空题（每小题5分，共7小题，共35分） 11．右图是一组数据的频率直方图，则这组数据的中位数为______________，平均数为______________。

2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高二上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．直线1y x =+的倾斜角为（）A ．0B ．4πC ．2πD ．34π【正确答案】B【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】设直线1y x =+的倾斜角为(0π)αα≤≤，由题意可知：tan 1α=，所以π4α=，故选.B2．已知(1,2,5),(2,1,)a b x x ==- ，若ab，则x =（）A ．2-B ．12C ．52D ．72【正确答案】C【分析】根据空间向量共线定理列方程求x .【详解】因为ab，所以可设b a λ= ，又(1,2,5),(2,1,)a b x x ==-，所以2,12,5x x λλλ-===，所以51,22x λ==.故选：C.3．曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．10x y +-=D ．10x y --=【正确答案】D【分析】先求函数在1x =处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.【详解】函数()ln x f x x =的定义域为()0+∞，，其导函数()21ln xf x x -'=，所以()11f '=，所以曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，又()10f =，故曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y --=.故选：D.4．已知F 是椭圆221167x y +=的左焦点，P 为椭圆上任意一点，点Q 的坐标为(2,1)-，则||||PQ PF +的最小值为（）A ．1B ．8C ．3D【正确答案】B【分析】将||||PQ PF +转化到8PQ PF '+－，当三点共线且P 在射线F Q '的延长线上时，取得最小值.【详解】椭圆221167x y +=的43a b c ===，，点Q 在椭圆内部，如图，设椭圆的右焦点为()3,0F '，则28PF PF a '+==；8PQ PF PQ PF '∴+=+－8PQ PF '=+－；由图形知，当P 在直线QF '上时，PQ PF QF ''==－，当P 不在直线'QF 上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，PQ PF QF ''<=－，∴当P 在射线F Q '的延长线上时，'PQ PF －取得最小值PQ PF ∴+的最小值为8．故选：B5．在四面体ABCD 中，ABC 为正三角形，DB ⊥平面ABC ，且AB BD =，若3AE AB =，2C F C D= ，则异面直线DE 和BF 所成角的余弦值等于（）A．13B．13C．39D．39-【正确答案】A【分析】由条件建立空间直角坐标系，求异面直线DE 和BF 的方向向量，利用向量夹角公式求其夹角可得结论.【详解】因为DB ⊥平面ABC ，ABC 为正三角形，故以B 为原点，以,BC BD为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设6AB =，则()()()()0,0,6,0,6,0,,0,0,0D C A B ，由3AE AB =，2C F C D =，可得()()2,0,0,3,3E F ，所以()()2,6,0,3,3DE BF =-=，所以cos ,13DE BF DE BF DE BF ⋅==-，所以异面直线DE 和BF故选：A.6．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{}n a ，在数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入3k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ．按新数列{}n b 的各项依次派遣支教学生．记50S 为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则50S 的值为（）A ．198B ．200C ．240D ．242【正确答案】B【分析】由已知确定数列{}n a 的通项公式，再确定数列{}n b 的项的取值规律，再求其前50项的和.【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．所以数列{}n a 为等差数列，且118a =，数列{}n a 的公差6d =，所以612n a n =+,数列{}n b 为数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入3k 个2所得，所以数列{}n b 满足条件，118b =，当24n ≤≤时，2n b =，524b =，当614n ≤≤时，2n b =，1530b =，当1642n ≤≤时，2n b =，4336b =，当4450n ≤≤时，2n b =，所以数列{}n b 的前50项的和为18243036462200++++⨯=，故选：B.7．已知圆22:1C x y +=，椭圆22:143x y Γ+=，过C 上任意一点P 作圆C 的切线l ，交Γ于A ，B 两点，过A ，B 分别作椭圆Γ的切线，两切线交于点Q ，则||OQ （O 为坐标原点）的最大值为（）A ．16B ．8C ．4D ．2【正确答案】C【分析】先得到椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，考虑切线l 的斜率不存在和存在两种情况，得到椭圆两切线方程，联立后得到点Q 的坐标，求出当切线斜率不存在时，||4OQ =，当切线l 斜率存在时，设为y kx b =+，由l 与圆相切得到221b k =+，求出椭圆两切线方程，得到43,Q Q k x y b b =-=，求出4OQ <，求出||OQ 的最大值.【详解】当P 点坐标为()1,0±时，此时切线l 的斜率不存在，不妨设:1l x =，此时22:143x y Γ+=中令1x =得：32y =±，所以不妨令331,,1,22A B⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，下面证明椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，理由如下：当切线的斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，代入椭圆方程得：()22222222220a k b x a kmx a m a b +++-=，由()()()222222222240a km a k b a m a b ∆=-+-=，化简得：22220a k m b -+=，所以()22022222a km a kx m a k b --===+，把20a k x m -=代入00y kx m =+，得：20b y m =，于是2200022200mx x b x b k a a y a y =-=-⋅=-则椭圆的切线斜率为2020b x a y -，所以椭圆的切线方程为()200020b x y y x x a y -=--，整理得：222222220000a y y b x x b x a y a b +=+=，方程两边同除以22a b ，得到00221x x y ya b+=，当切线斜率不存在时，即此时(),0P a ，故切线方程为x a =，00221x x y ya b+=中令00,0x a y ==，可得x a =，故当切线斜率不存在，切线也满足00221x x y ya b+=，综上：椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，故过331,,1,22A B⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭的两切线分别为142x y +=和142x y -=，联立可得：()4,0Q ，此时4OQ =，同理可得:1l x =-时，4OQ =，当切线l 的斜率存在时，设为y kx b =+，因为y kx b =+与22:1C x y +=1=，即221b k =+，y kx b =+与223412x y +=联立得：()2223484120k xkbx b +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则过()()1122,,,A x y B x y 的椭圆的切线方程为11143x x y y +=和22143x x y y+=，联立得：()()()()212112*********Q y y kx b kx b kx x y x y x kx b x kx bb-+--===--+-+，()()()()212121122112333Q x x x x y x y x y x kx b x kx b b--===-+-+，则4OQ ==<=，综上：OQ 的最大值为4.故选：C过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=，过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为.()()()()200x a x a y b y b r--+--=过椭圆22221x y a b+=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，过双曲线22221x y a b-=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b -=8．已知抛物线2:4C x y =，焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，过B 作l 的垂线交l 于点D ，若BDF V的面积为||||AF BF =（）A ．3B ．13C ．2D ．12【正确答案】B【分析】联立直线与抛物线的方程，结合焦半径可得111AF BF+=，根据BDF V 的面积可解得23y =，进而得214BF BD y ==+=，即可求解43AF =.【详解】焦点()0,1F ,设直线AB 的方程为1y kx =+,联立直线与抛物线的方程得2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,4x x k x x +==-，所以()22212121212242,116x x y y k x x k y y +=++=+==，故()()212212121111114211111111421y y k AF BF y y y y k +++++++=+===+++++++，()()()(22222221111422BDFS BD x y x y y ==+=+=V ，化简得()()22222351603y y y y -++=⇒=，所以214BFBD y ==+=，由111AF BF +=，所以43AF =,故||1||3AF BF =，故选：B二、多选题9．关于x ，y 的方程221(R)1x y m m m +=∈-表示的曲线可以是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【正确答案】BC【分析】先得到0m ≠且1m ≠，再结合方程特点，分1m >，01m <<和0m <三种情况求出答案.【详解】显然0m ≠且1m ≠，若010m m >⎧⎨->⎩，即1m >时，此时2211x y m m +=-表示椭圆；若()10m m -<，即01m <<时，此时2211x y m m +=-表示双曲线；若0m <，此时2211x y m m +=-无解，综上：方程221(R)1x y m m m +=∈-表示的曲线可以是椭圆，也可以是双曲线.故选：BC10．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若91580,1a S a ><-，则下列结论正确的是（）A ．98a a >B ．使0n S >的n 的最大值为16C ．公差0d <D ．当8n =时n S 最大【正确答案】ACD【分析】根据条件可得80a >，890a a +<，可判断A 正确，98820d a a a =-<-< 可判断C 正确，再根据15160,0S S ><可判断B 错误，又因为8,0,9,0n n n a n a ≤>≥<可判断D 正确.【详解】等差数列{}n a ，115815815()05,201S a a a a +=∴=>>，又99889810,0a a a a a a <-∴<-+<<，98a a ∴>，A 正确.98820d a a a =-<-< ,C 正确.89161168916160()()022a a S a a a a +<∴=+=+< ,150,S >使0n S >的n 的最大值为15.B 错误.890,0a a ><∴ 当8,0,9,0n n n a n a ≤>≥<,所以当8n =时n S 最大.D 正确.故选：ACD11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若ABC 满足AC BC =，顶点(0,1)A ，(2,1)B -，且其“欧拉线”与圆222:(4)M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（）A ．题中的“欧拉线”为方程：10x y --=B ．圆M 上的点到直线0x y -=C ．若圆M 与圆22()8xy a +-=有公共点，则[4,4]a ∈-D ．若点(,)x y 在圆M 上，则1y x +的最大值是41【正确答案】ABD【分析】A 选项，分析得到其欧拉线过线段AB 的中点()1,0，且与直线AB 垂直，从而求出ABC 的欧拉线方程；B 选项，根据ABC 的欧拉线与222:(4)M x y r -+=相切，列出方程，求出r ，得到圆M 上的点到直线0x y -=的最小值为圆心M 到直线0x y -=的距离减去半径，求出答案；C 选项，根据两圆有公共点，列出不等式组，求出22a -≤≤；D 选项，1yx +的几何意义为点(),x y 与()1,0-两点的斜率，数形结合得到当过()1,0-的直线l 与M相切，且斜率为正时，1yx +取得最大值，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】线段AB 的中点坐标为0211,22+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,0，直线AB 的斜率为()11102--=--，因为AC BC =，所以ABC 为等腰三角形，三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点()1,0，且与直线AB 垂直，故ABC 的欧拉线斜率为1，则方程为1y x =-，即10x y --=，A 正确；ABC 的欧拉线与222:(4)M x y r -+=相切，故2r ==，圆心()4,0M 到直线0x y -=的距离为d ==则圆M 上的点到直线0x y -=的最小距离为d r -==B 正确；若圆229:(4)2M x y -+=与圆22()8x y a +-=有公共点，则3222≤，解得：a ≤C 错误；1yx +为点(),x y 与()1,0-两点的斜率，当过()1,0-的直线l 与229:(4)2M x y -+=相切，且直线l 的斜率为正时，1y x +取得最大值，设直线():1l y k x =+2=，解得：41k =，故1y x +的最大值是41，D 正确.故选：ABD12．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，1PA PB PC PD AB =====，E ，F 分别为线段,PB BC （含端点）上动点，则（）A ．存在无数个点对E ，F ，使得平面AEF ⊥平面ABCDB ．存在唯一点对E ，F ，使得平面AEF ⊥平面PBCC ．若EF BC ⊥，则四面体P AEF -的体积最大值为96D ．若//EF 平面PCD ，则四面体A BEF -【正确答案】ACD【分析】连接,AC BD ，记其交点为O ，在线段PB 上任取一点E ，过点E ，作//EH PO ，证明EH ⊥平面ABCD ，连接AH ，并延长交BC 于点F ，证明平面AEF ⊥平面ABCD ，判断A ，将四棱锥补形为长方体，过点A 确定平面PBC 的垂线，结合面面垂直的判断定理判断B ，根据条件确定EF 的位置特征，结合锥体体积公式求四面体P AEF -，A BEF -的体积最大值，由此判断CD.【详解】因为1PA PB PC PD AB =====，底面ABCD 为正方形，所以四棱锥P ABCD -为正四棱锥，由已知可得AC =连接,AC BD ，记其交点为O ，由正四棱锥性质可得PO ⊥平面ABCD ，因为1PA =，2AO =，所以2PO =，对于A ，在线段PB 上任取一点E ，过点E ，作//EH PO ，EH 交BD 与H ，则EH ⊥平面ABCD ，连接连接AH ，并延长交BC 于点F ，因为EH ⊂平面AEF ，EH ⊥平面ABCD ，所以平面AEF ⊥平面ABCD ，故A 正确；对于B ，将正四棱锥补形为长方体1111ABCD A B C D -，过点P 作11//NM B C ，连接,BN MC ，又11//BC B C ，又11MN B C BC ==，所以四边形BCMN 为平行四边形，过点A 作AQ BN ⊥，垂足为Q ，因为BC ⊥平面11ABB A ，AQ ⊂平面11ABB A ，所以AQ BC ⊥，BC BN B = ，,BC BN ⊂平面PBC ，所以AQ ⊥平面PBC ，在线段BC 上任取一点F ，连接QF 交BC 于点E ，因为AQ ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ，B 错误；对于C ，因为四面体P AEF -的体积等于四面体A PEF -的体积，因为AQ ⊥平面PEF ，所以四面体A PEF -的高为AQ ，因为1121,2AB AA BB PO ====，所以32NA NB ==，因为1221224ABN S =⨯1224AQ BN ⨯=，所以63AQ =，作侧面PBC ，连接点P 和BC 的中点S ，则PS BC ⊥，因为EF BC ⊥，所以//EF PS ，设BF x =，则102x <≤，13,2EF SF x ==-，所以)211333222432PEF S x x x x ⎛⎫=⨯-=-≤ ⎪⎝⎭又四面体P AEF -的体积13P AEF A PEF PEF V V S AQ--==⋅所以四面体P AEF -的体积最大值为1362332396⨯=，C 正确；对于D ，因为//EF 平面PCD ，EF ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面PCD PC =，所以//EF PC ，设BF x =，则01x <≤，BE x =，π3EBF ∠=，所以2BEF S =≤F 和点C 重合，点E 和点P 重合时取等号，又AQ ⊥平面BEF，AQ =，所以四面体A BEF -的体积最大值为1312=，D 正确；故选：ACD.本题是立体几何综合问题，主要考查面面垂直和线面垂直的关系，线面平行性质定理和锥体的体积计算，对学生的素质要求较高.三、填空题13．已知(1,2,1),(1,0,0)a b == ，则a 在b 方向上的投影向量为________________．【正确答案】()1,0,0b = 【分析】根据投影向量的定义即可由数量积求解.【详解】由于1b = ，故a 在b 方向上的投影向量为()cos ,1,0,0a b a b b b b b⋅=== ，故()1,0,0b = 14．设函数()ln 2f x x mx =-（m 为实数），若()f x 在[1,)+∞上单调递减，则实数m 的取值范围_____________．【正确答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到[)1,x ∞∈+，()0f x '≤，再根据1y x=的单调性即可得到答案.【详解】()12f x m x'=-，因为函数()ln 2f x x mx =-在区间[)1,+∞上单调递减，所以[)1,x ∞∈+，120m x-≤恒成立，即[)1,x ∞∈+，max12m x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.又1y x =在[)1,+∞上单调递减，所以max11x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故21m ≥，即12m ≥，所以m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+，则n a =___________．【正确答案】1321n n -⋅--.【分析】由递推关系证明数列{}1n a n ++为等比数列，结合等比数列通项公式求其通项，由此可得n a .【详解】因为12n n a a n +=+，所以()1221n n a n a n +++=++，又11a =，所以123a +=，故数列{}1n a n ++为等比数列，首项为3，公比为2，所以1132n n a n -++=⋅，故1321n n a n -=⋅--，故答案为.1321n n -⋅--16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过左焦点F 作直线交C 于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点）并延长交椭圆于点D ，若0,||4||AB DF DF BF ⋅== ，则椭圆的离心率为_____________．【分析】根据椭圆的焦点三角形满足的边关系，结合勾股定理即可求解.【详解】设右焦点为E ,连接,AE BE ,由0,AB DF ⋅= 故AB DF ⊥ ，由,OF OE OA OD ==,所以四边形AFDE 为平行四边形，由于AB DF ⊥ ，进而可得四边形AFDE 为矩形，设BF x =，则4DF x =，因此4,24,22AE x AF a x BE a BF a x ==-=-=-，在直角三角形ABE 中，222AE AB BE +=,即()()22216232x a x a x +-=-，解得3a x =，所以42,24,233AE a AF a x a EF c ==-==，故222164499c a a =+，故2295c a =，即3e =，故53四、解答题17．已知空间三点(1,0,2),(0,1,2),(3,0,4)A B C --，设,AB a AC b ==．(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka b + 与- a kb 互相垂直，求k 的值．【正确答案】(1)12-(2)3132【分析】(1)先求出向量,a b ，再利用空间向量的夹角公式求解即可；(2)利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出k 的值.【详解】（1）因为(1,1,0)a AB OB OA ==-= ，(2,0,2)b AC ==- ，所以空间向量的夹角公式，可得1cos 21144a b a bθ==-+⨯+ ，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为12-.（2）由（1）可知(1,1,0)a = ，(2,0,2)b =- .因为向量ka b + 与- a kb 互相垂直，所以()()0ka b a kb +⋅-= ，所以222(1)0k a k b k a b -+-= ，所以2282(1)0k k k ---=，所以2310k k --=，解得3132k ±=.18．在①22n S n n =+；②3267,18a a a =+=；③153,35a S ==这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知等差数列{},n n a S 为其前n 项和，若______________．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()12N n n n b n a a *+=∈，求证：数列{}n b 的前n 项和13n T <．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)21n a n =+(2)证明见解析.【分析】（1）选①由n a 与n S 的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由（1）可得112123n b n n =-++，利用裂项相消法证明即可.【详解】（1）若选①：在等差数列{}n a 中，113a S ==，当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，1a 也符合，∴21n a n =+；若选②：在等差数列{}n a 中，326718a a a =⎧⎨+=⎩ ，11272618a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+；若选③：在等差数列{}n a 中，1513545352a S a =⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+；（2）证明：由（1）得211(21)(23)2123n b n n n n ==-++++，所以111111111.355721233233n T n n n =-+-+-=-<+++L 19．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=，直线:(1)(21)53l m x m y m +++=+．(1)判断并证明直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若点A ，B 分圆周得两段弧长之比为1:2，求直线l 的方程．【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交，证明见解析；(2)直线l 的方程为2y =或1x =.【分析】（1）由题可得()2530m x y x y +-++-=，由25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得直线l 恒过定点，再由定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系；（2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解.【详解】（1）因为直线l 的方程为(1)(21)53m x m y m +++=+，所以()2530m x y x y +-++-=，由25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得，12x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(1,2)P ，因为22(12)(23)4-+-<，所以点(1,2)P 在圆内，故直线l 与圆C 相交；（2）因为圆C 的方程为22(2)(3)4-+-=x y ，所以点C 的坐标为()2,3，半径为2，因为点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，故120ACB ∠= ,所以30CAB ∠= ，故圆心到直线的距离12r d ==，直线斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，因为点()2,3C 到直线1x =的距离为1，所以直线1x =满足条件，即直线l 的方程可能为1x =，当直线斜率存在时，设直线方程为2(1)y k x -=-，1=，解得0k =，所以直线l 的方程为2y =，故直线l 的方程为2y =或1x =.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S．若11,2n a a ==2n ≥且N n *∈）．(1)求证：数列为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若22n n n b a +=⋅，求{}n b 前n 项和n T ．【正确答案】(1)1,121,24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；(2)()12124n n T n +=-+.【分析】（1）由1n n n a S S -=-，结合已知递推关系进行转化，然后结合等差数列的通项公式及递推关系可求；（2）由已知先求n b ，根据错位相减即可求和．【详解】（1）由题意得：当2n ≥时，22122()2(2(2(n n n a S S -=-=-=，因为0n a >，0>，12=，1=，所以数列是以1为首项，以12为公差的等差数列，111(1)22n n ++-=，所以21(2n n S +=，当2n ≥时，221121()()224n n n n n n a S S -++=-=-=，由于11a =不适合上式，故1,121,24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；（2）当1n =时，18b =，当2n ≥时，()22121224n n n b n n ++=+=⋅，所以18T =，当2n ≥时，()2438527292212n n T n =+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，()4153216527292212n n T n +=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，相减得()()()()()322311142128522222212122212122412n nn n n n T n n n -+++--=-+⨯+⨯++⋅⋅⋅+-+=+⨯-+=---，故()12124n n T n +=-+，此时18T =也适合，故()12124n n T n +=-+．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面π,,,3ABCD AD AB AB DC ABC ⊥∠=∥，,2AB BC PA ==．点A 在平面PBC 内的投影恰好为PBC 的重心E ，连接PE 并延长交BC 于F．(1)求证：AF BC ⊥；(2)求平面ACE 与平面ABCD 所成夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)平面ACE 与平面ABCD【分析】(1)方法一：由条件根据线面垂直判定定理证明BC ⊥平面AEF ，由此证明AF BC ⊥.方法二：由已知证明F 为BC 的中点，结合等腰三角形性质证明AF BC ⊥；(2)建立空间直角坐标系，求平面ACE 与平面ABCD 的法向量，再由向量夹角公式求其夹角余弦，由此可得结论.【详解】（1）方法一：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为AE ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE BC ⊥，又,PE PA ⊂平面PAE ，PE PA P = ，所以BC ⊥平面PAF ，又AF ⊂平面PAF ，所以AF BC⊥方法二：因为点E 为PBC 的重心，点F 为PE 的延长线与BC 的交点，所以点F 为线段BC 的中点，因为AB BC =，π3ABC ∠=，所以ABC 为等边三角形，所以AF BC ⊥；（2）因为PA ⊥底面ABCD ，,AB AD ⊂底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AD AB ⊥，如图以点A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AB t =，则()()(),,0,0,,0,0,0,2,0,0,022t C B t P A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为点E 为PBC的重心，所以2,,623t E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2,23t AE ⎫=⎪⎪⎝⎭，()0,,2PB t =- ，由已知⊥AE 平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AE PB ⊥，即0AE PB ⋅= 所以214023t -=，所以t =所以C ⎫⎪⎪⎭，23E ⎫⎪⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0320333y x y z +=++=⎩，取1x =可得，y z ==所以(1,n = 为平面ACE 的一个法向量，又()0,0,1m = 为平面ABCD的一个法向量，cos ,3m n m n m n ⋅== ，所以平面ACE 与平面ABCD22．已知双曲线22:(0)C x y λλ-=>，焦点F(1)求λ；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点(2,1)A -，直线,AM AN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，AQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得||QT 为定值．【正确答案】(1)3λ=；(2)证明见解析.【分析】(1)由双曲线方程求其渐近线方程，由点到直线距离公式列方程求λ；(2)证明当MN 斜率不存在时不合题意，设直线MN 方程与双曲线C 的方程联立，根据直线,AM AN 与y 轴的两交点关于原点对称结合韦达定理即可求解.【详解】（1）由已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，因为焦点F=所以3λ=，（2）当直线MN 的斜率k 不存在时，此时,M N 两点关于x 轴对称，若直线,AM AN 与y 轴的两交点关于原点对称，则A 在x 轴上，与题意矛盾，因此直线MN 的斜率存在.设直线MN 的方程为y kx m =+，联立223y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，整理得()2221230k x kmx m ----=，由已知210k -≠，且()()222244130k m k m ∆=--+>，所以1k ≠±，且2233k m -<，设()11,M x y ，()22,N x y ，12221km x x k +=-，212231m x x k --=-.直线,AM AN 分别与y 轴相交的两点为1M ，1N ，∴直线AM 方程为()111212y y x x +=---，令0x =，则111120,2x y M x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，同理221220,2x y N x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，可得11221222022x y x y x x +++=--，∴()()11221222022x kx m x kx m x x +++++=--，即()()()()1221212221220k x m x k x m x ⎡⎤⎡⎤++-+++-=⎣⎦⎣⎦，∴()()1212422(42)80k m x x k x x m +-+-++=，∴()()22223422428011km m k m k m k k ---+⋅-++=--，∴()()()()22212213410k m km k m m k -+⋅++++-=，∴22222422263440k m km km km k m m mk -++++++-=，∴()224630m k m k ++++=，()()3210m m k +++=，当210m k ++=时，21m k =--，此时直线MN 方程为()21y k x =--恒过定点()2,1A -，与已知矛盾，∴3m =-，直线MN 方程为3y kx =-，恒过定点()0,3E -∵AQ MN ⊥，设AE 中点为T ，∴()1,2T -，∴12QT AE ==为定值，∴存在()1,2T -使QT .方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

浙江省余姚中学高二上学期期中试题数学(实验班)缺答案.pdf

* * * * * * * * * * * * * * * 分析北方和南方自然差异的主导因素。

植被类型北方：南方：主要原因为什么不同？为什么不同？河流流量为什么不同？为什么不同？北方：南方：主要原因共同的影响因素针叶林、落叶阔叶林常绿阔叶林气温河流流量小河流流量大降水气候继续探讨黄土地和黑土地的自然差异。

黄土地与黑土地黄土高原黄土地黑土地地形区植被温度带干湿区水文特征黄土地与黑土地的自然差异华北平原、黄土高原东北平原落叶阔叶林针叶林暖温带中温带、寒温带半湿润和半干旱湿润和半湿润水量小，结冰期短，含沙量大。

水量大，结冰期长，含沙量小。

长江中下游平原水稻土四川盆地的紫色土 1．关于秦岭--淮河一线的说法，不正确的是（? ） A．是我国水田与旱地的大致界限 B．是我国湿润地区与干旱地区的分界线C．是我国南方地区与北方地区的分界线 D．是我国暖温带与亚热带的分界线 2．下列关于我国北方地形的叙述，正确的是（） A．位于我国地势的第三级阶梯 B．有世界上最大的黄土分布区 C．有我国最大的平原——华北平原 D．山脉主要有长白山、秦岭、大兴安岭 3．北方地区主要的气候类型为（? ? ） A．温带季风气候 B．亚热带季风气候 C．温带大陆性气候 D．热带季风气候 B B A 4．我国最早建立的重工业基地位于下列哪个地区（） A．西北地区 B．北方地区 C．南方地区 D．青藏地区 5．下列地形区都位于南方地区的是（? ） A．华北平原、云贵高原 B．黄土高原、东南丘陵 C．长江中下游平原、东北平原D．四川盆地、东南丘陵 6．下列语句中，描写南方地区景观的是（? ） A．千里冰封，万里雪飘 B.早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜 C．枯藤老树昏鸦，小桥流水人家 D．远看是山，近看成川 B D C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 北国风光，千里冰封，万里雪飘。

浙江省余姚中学高二数学上学期期中试题(实验班,无答案)新人教A版

余姚中学高二实验班数学期中试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中的相应位置上) 1.设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（）①若α⊥l ，则l 与α相交 ②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l ③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n ④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||nA ．1B ．2C ．3D ．42. 若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( ))(A 50<<k )(B 05<<-k )(C 130<<k )(D 50<<k3．方程2212sin 6sin 2x y θθ+=+-所表示的曲线为( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线4.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（）正视图侧视图俯视图A ．B ．C ．D ． 5.已知圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=41(0,0),a b a b>>+对称则的最小值是（）A ．4B ．6C ． 8D ．96．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 ⑴BM 与ED 平行 ⑵CN 与BE 是异面直线 ⑶CN 与BM 成60︒ ⑷DN 与FN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（） A.⑴⑵⑶ B.⑵⑷ C.⑶⑷ D.⑵⑶⑷7．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的渐近线上任意一点P 到两个焦点的距离之差的绝对值与2a 的大小关系为（）A ．恒等于2aB ．恒大于2aC ．恒小于2aD ．不确定8.一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点1A 的正上方有一个光源A ，1AA 与球相切，16,AA =球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（）A ．12 B．2 C．3 D．29.椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12y y -值为（） A ．103B ．53C ．203 D．310．已知双曲线200822=-y x 的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且 21214A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于（）A ．12πB ．36πC ．18π D 无法确定二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在答题卷中的相应位置上) 11.在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 12将直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位长度，则所得到的直线方程为。

浙江省余姚中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

浙江省余姚中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学
试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、解答题
17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，
将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)
40,50，[)
50,60，…，[]
90,100得到如图所示的频率分布直方图．
所以90PAB Ð=°，即AB PA ^；
又因为AB AD ^，
在平面PAD 中，PA Ì面PAD ，AD Ì面PAD ，PA AD A Ç=，
所以AB ^平面PAD ；
（2）因为平面PAB ^平面ABCD ，
平面PAB Ç平面ABCD AB =，AB AD
^AD Ì平面ABCD ，
所以AD ^平面PAB ，所以AD PA ^，
由（1）已证AB PA ^，且已知AB AD ^，
故以A 为原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，
则()2,0,0D ，()0,0,3P ，()3,2,0C ，
所以()0,0,3AP =uuu r ，()2,0,0=uuu r AD ，
()3,2,0AC =uuu r ，()
3,2,3CP =--uuu r 因为E 为PD 中点，。

浙江省余姚中学高三上学期限时训练试卷数学试题(10日)+Word版缺答案【高考】

2018学年余姚中学高三(上)数学限时考试2018.11.10 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知R U =，},082|{},1|{2>-+=≥=x x x N x x M 则=M N C U I )(（）A. }4|{-<x xB. }14|{≤≤-x xC. }21|{≤≤x xD. }41|{≤≤x x 2.已知双曲线1916:22=-x y C ，则双曲线C 的焦点坐标为（） A. )0,5(± B.)0,7(± C.)5,0(± D.)7,0(±3.如图，某几何体三视图（单位：cm ）为三个直角三角形，则该几何体的体积为（）A. 331cm B. 332cm C.31cm D.32cm 4.已知复数z 满足i z i +=-2)1(，则z 的共轭复数为（）A.i 2323+ B. i 2321- C.i 2323- D. i 2321+ 5.函数x x y cos -=的图像可能是（）A. B. C. D.6.已知m 为一条直线，βα,为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若,//,//βααm 则β//mB.若,,βαα⊥⊥m 则β//mC.若,//,βαα⊥m 则β⊥mD.若,,//βαα⊥m 则β⊥m7.抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球（2个红色，3个黄色，其余为白色），抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖.有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是（）A.4.0,6B. 4.1418，C. 10,30D. 20,308.正四面体ABCD ，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成角不可能是（）A. 0B.6π C. 3π D. 2π9.已知b a ,是不共线的两个向量，b a ·的最小值为34，若对任意R n m ∈,，||b m a +的最小值为1,||a n b +的最小值为2，则||b 的最小值为（）A. 2B. 4C. 32D. 3410.已知数列}{n a 的通项)1()12)(1(+++=nx x x nx a n Λ，*N n ∈，若12018321<++++a a a a Λ，则实数x 可以等于（）A. 32-B. 125-C. 4813-D. 6011- 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.若2log ,323==b a ，则=ab ________,=+-b b 33________12.已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥+-,02,,05x y a y y x 表示的平面区域D 上运动，若区域D 表示一个三角形，则a 的取值范围是_______，若,2=a 则y x z 2-=的最大值是________.13.已知函数x x x f 2sin )tan 1()(+=，则)(x f 的定义域为_____ ,)(x f 的最大值为___.14.已知5522105)1()1()1()1(x a x a x a a x -+-+-+=+Λ，则3a =_________.15.已知抛物线x y 42=的焦点F ，过点F 作直线l 交抛物线于B A ,两点，则=+||1||1BF AF _________,2||||16BF AF -的最大值为________. 16.4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人参加的不同的分组共有_________种.17.若2|3|||2≤+-+a a x x 对]1,1[-∈x 恒成立，则实数a 的取值范围为_______.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，S 为其面积，若2224b c a S -+=.(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，6,3==BD AD ，求C cos 的值.19.（本题满分15分）如图，将矩形ABCD 沿AE 折成二面角B AE D --1，其中E 为CD 的中点，已知1,2==BC AB .11CD BD =，F 为B D 1的中点。

浙江省宁波市余姚中学2023-2024学年高二上学期第一次质量检测数学试题

浙江省宁波市余姚中学2023-2024学年高二上学期第一次
质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A ．这组数据的平均数是8B ．这组数据的极差是4C ．这组数据的中位数是8.5D ．这组数据的方差是2
10．已知事件A ，B ，且()0.5P A =，()0.2P B =，则下列结论正确的是（）
16．()()
,30,-¥-È+¥【分析】设切点为()2000
,4A x x ax +，根据导数的几何意义求出切线方程()1,1的切线有两条，从而可得关于0x 的方程有两个不同的根，由此即【详解】设切点为()2000
,4A x x ax +，直线AP 的斜率为k ，又()4f x =¢则()0042k f x ax ¢==+，所以切线方程为()()(2000442y x ax ax x -+=+-将()1,1代入化简得200
230ax ax --=，所以方程200
230ax ax --=有两个不同的实数解，。

浙江省余姚中学高二数学上学期第一次质检试题理(无答

余姚中学高二数学第一次质量检测（理科实验班）满分150分时间120分钟一、选择题:（本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.1. 对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观 ( ) 图，其直观图面积是原三角形面积的 A. 2倍2倍2倍 D. 12倍 2.圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是 ( )A ．(1,－1)B ．(12,－1) C.(－1,2)D ．(－12,－1).3.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为21则该几何体的俯视图可以是（）4、已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（）A ．222+ B ．5212+ C ．5222- D ．5212- 5、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若()12OE OF OP =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率为（）A 10B 10C 10D 21A B C DA B C D6、P 是双曲线116922=-y x 的右支上一点，点N M ,分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的动点，则PN PM -的最小值为 ( )A ． 1B ． 2C ． 3D ．47.已知异面直线错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

所成的角为错误!未找到引用源。

，P 为空间一定点，则过点P 且与直线a,b 所成角都是错误!未找到引用源。

的直线有且仅有几条（）A ．1B ．2C ．3D ．48、已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足1()2OR OP OQ =+u u u r u u u r u u u r，R在抛物线准线上的射影为S ，设αβ、是PQS ∆中的两个锐角，则下列四个式子中不一定．．．正确的是（） A ．tan tan 1αβ=B ．sin sin 2αβ+≤C ．cos cos 1αβ+>D ．|tan()|tan2αβαβ+->9.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为（） A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°10.已知圆O ：x 2+y 2=1，圆O 1：（x ﹣错误!未找到引用源。

2022-2022年高二上半期第一次质量检测数学(浙江省余姚中学)

2022-2022年高二上半期第一次质量检测数学（浙江省余姚中学）选择题过双曲线的左顶点作斜率为2的直线，若与双曲线的两条渐近线分别相交于点，且，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知A（﹣1，0）所以直线l的方程为y=2x+2∵双曲线M的方程为x2﹣=1，∴两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx由y=2x+2和y=﹣bx联解，得B的纵坐标为yB=，同理可得C 的横坐标为xC=。

∵，可得3yB=yC，即•3=，解之得b=4，（b=0舍去）因此，c=，可得双曲线的离心率e==．故选C．设分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．∵点P在双曲线上，且，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半，∴=2|=|=2．故选B．选择题设点是曲线上的点,，，则（）A. B.C. D. 与10的大小关系不确定【答案】A【解析】曲线可化为：，∴曲线围成的图形是一正方形，与坐标轴的交点分别为（±5，0），（0，±3），和已知椭圆是内接的关系，根据图形的对称性，当且仅当点P为（0，±3）时，|PF1|+|PF2|最大为10，又因为，故取不到最大值。

填空题若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的方程是______，若点是直线上一点，则到椭圆的两个焦点的距离之和的最小值等于______.【答案】【解析】设l斜率为k，椭圆的弦被点平分，由点差法得到，得到K=，代入已知的中点P的坐标得到直线方程为；设点, 则到椭圆的两个焦点距离，先找点关于的对称点为,连接，交直线于点M，此时距离之和最小，最小值为。

故答案为：(1) (2) 。

填空题若是双曲线的左，右焦点，点是双曲线上一点，若，则_____，的面积______.【答案】【解析】根据双曲线的概念得到若，则，因为，而当P点落在ｙ轴上时才会有，故舍掉。

2024学年余姚市高二数学第一学期10月质检试卷附答案解析

2024学年余姚市高二数学第一学期10月质检试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线22y x =-的准线方程是（）A.12y =B.12y =-C.18y =D.18y =-2.直线()1:31210l a x ay ++-=和直线2:330l ax y -+=，则“53a =”是“12l l ⊥”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，ADb=，1AA c =，点P 在1AC 上，且13A P PC = ，则AP =（）A.331444a b c ++ B.311444++a b cC.133444++a b c D.111444a b c +-4.已知1F ，2F 是椭圆C ：22143x y +=的两个焦点，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的不同的两点，则12AF BF ⋅的取值范围为（）A.(]2,3 B.73,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.7,42⎛⎤⎥⎝⎦D.(]3,45.如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+=的点P 的个数为（）A.10B.8C.6D.46.已知抛物线2:12C y x =和圆22:4440M x y x y +--+=，点F 是抛物线C 的焦点，圆M 上的两点,A B 满足2AO AF =，2BO BF =，其中O 是坐标原点，动点P 在圆M 上运动，则点P 到直线AB 的最大距离为（）A.2B.C.4+D.7.如图，三棱柱111ABC A B C -满足棱长都相等且1AA ⊥平面ABC ，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（）A.先增大再减小B.减小C.增大D.先减小再增大8.如图，12(,0),(,0)F c F c -分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1:||:||2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为（）A.5B.5C.+D.+二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知直线l 的方向向量是a，两个平面,αβ的法向量分别是,m n ，则下列说法中正确的是（）A.若//a m，则l α⊥ B.若0a m ⋅=，则l α⊥C.若//m n，则αβ⊥ D.若0m n ⋅=r r，则αβ⊥10.已知直线:(0)l y kx k =≠交椭圆22221x y a b+=于A ，B 两点，1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，M ，N 为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与2F 关于直线l 的对称点为Q ，则（）A.若1k =，则椭圆的离心率为22B.若13MA MB k k =-，则椭圆的离心率为3C.1//l F QD.若直线BQ 平行于x 轴，则k =11.如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为1,,AB BC CC 的中点，点P 是正方形11DCC D 面内（包含边界）动点，则（）A.1D C 与EF 所成角为30oB.平面EFG 截正方体所得截面的面积为C.1//AD 平面EFGD.若APD FPC ∠∠=，则三棱锥P BCD -的体积最大值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线l ：()1R y kx k k =++∈，则直线l 过定点________；若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线l 有________条．13.已知圆22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，则PM AB ⋅的最小值为___________.14.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，P 是底面ABCD 内的一点（包含边界），且11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆C ：()()22344x y -+-=，点()5,1P ，点()1,2Q --．（1）过点P 作圆C 的切线l ，求出l 的方程；（2）设A 为圆C 上的动点，G 为三角形APQ 的重心，求动点G 的轨迹方程．16.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠= ，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =，点M 是线段EF 的中点．（1）求平面MAB 与平面EAD 所成锐二面角θ的余弦值；（2）求出直线CD 到平面MAB 的距离d ．17.已知平面内两个定点(2,0),(2,0)A B -，满足直线PA 与PB 的斜率之积为14的动点P 的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 交于不同两点,M N ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若直线AM 和AN 的斜率之积为112，试证明直线l 过定点，并求出这个定点坐标．18.图1是直角梯形ABCD ，//AB CD ，90D ∠= ，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =2.（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得1C 到平面PBE 的距离为2？若存在，求出二面角P BE A --的大小；若不存在，说明理由.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求C 的方程．（2）记1F 和2F 分别是椭圆C 的左、右焦点．设D 是椭圆C 上一个动点且纵坐标不为0．直线1DF 交椭圆C 于点A （异于D ），直线2DF 交椭圆C 于点B （异于D ）．若AB 的中点为M ，求三角形12F F M 面积的最大值．2024学年余姚市高二数学第一学期10月质检试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线22y x =-的准线方程是（）A.12y =B.12y =-C.18y =D.18y =-【答案】C 【解析】【分析】由抛物线方程结合准线定义计算即可得.【详解】由22y x =-可得212=-x y ，故14p =，且开口向下，故抛物线22y x =-的准线方程是18y =.故选：C.2.直线()1:31210l a x ay ++-=和直线2:330l ax y -+=，则“53a =”是“12l l ⊥”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由题意先求出12l l ⊥的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】由题设12l l ⊥()()31230a a a ⇔⨯++⨯-=，解得0a =或53a =.故1253a l l =⇒⊥，1253l l a ⊥⇒=/.所以“53a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件.故选：B.3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，ADb=，1AA c =，点P 在1AC 上，且13A P PC = ，则AP =（）A.331444a b c ++ B.311444++a b cC.133444++a b c D.111444a b c +-【答案】A 【解析】【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解.【详解】111134AP AA A P AA A C =+=+，()()11113344AA AC AA AA AB AD AA =+-=++- ，1331331444444AB AD AA a c =++=++.故选：A4.已知1F ，2F 是椭圆C ：22143x y +=的两个焦点，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的不同的两点，则12AF BF ⋅的取值范围为（）A.(]2,3 B.73,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.7,42⎛⎤⎥⎝⎦D.(]3,4【答案】D 【解析】【分析】设()(),,,A x y B x y -，由椭圆性质和已知条件得22x -<<，由两点间的距离公式得12AF BF ⋅=【详解】由题意，设()(),,,A x y B x y -，由于A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的不同的两点，所以22x -<<，又()()11,0,1,0F F -,12AF BF ⋅====令2t x =，因为22x -<<，所以04t ≤<，所以()()2211216161616f t t t t =-+=-，由于对称轴为16t =，所以()f t 在[)0,4单调递减，所以()()()40f f t f <≤，又()()()21016,4416916f f ==-=，即()916f t <≤，所以1234AF BF <⋅≤故选：D5.如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+=的点P 的个数为（）A.10B.8C.6D.4【答案】C 【解析】【分析】首先连接辅助线，结合给定条件确定动点的轨迹，再判断交点个数即可.【详解】如图，连接AC '，正方体的棱长为1，AC '∴=，2PA PC '+= ，∴点P 在以,A C '为焦点的椭圆绕AC '旋转得到的椭球上，P 在正方体的棱上，P ∴应是椭球与正方体的棱的交点，结合正方体的性质可知，在棱,,,,,B C C D CC AA AB AD ''''''上各有一点满足条件，故C 正确.故选：C6.已知抛物线2:12C y x =和圆22:4440M x y x y +--+=，点F 是抛物线C 的焦点，圆M 上的两点,A B 满足2AO AF =，2BO BF =，其中O 是坐标原点，动点P 在圆M 上运动，则点P 到直线AB 的最大距离为（）A.2B.4【答案】A 【解析】【分析】由条件可知,A B 满足到两定点,O F 距离比为常数2，设动点N 满足2NO NF =求解动点N 轨迹为圆，可知AB 为两圆相交弦，得直线AB 方程，再结合图形由点线距离公式得到圆M 上动点P 到直线的距离最大值.【详解】抛物线2:12C y x =的焦点(3,0)F ，圆()()22:224M x y -+-=，其圆心(2,2)M ，半径12r =．设点(,)N x y 是满足2NO NF =的任意一动点，(0,0)O ，则()222243x y x y ⎡⎤+=-+⎣⎦，化简得228120x y x +-+=，即()2244x y -+=.故动点N 的轨迹是以(4,0)D 为圆心，2为半径的圆.由已知2AO AF =，2BO BF =，则圆M 上的两点,A B 也在圆D 上.所以AB 是圆M 与圆D 的公共弦，将圆M 与圆D 的方程联立222244408120x y x y x y x ⎧+--+=⎨+-+=⎩，两式相减化简得直线AB 的方程为20x y --=，由动点P 在圆M 上运动，又圆心(2,2)M 到直线AB的距离d ==结合图形可知，点P 到直线AB的最大距离为12d r +=+.故选：A．7.如图，三棱柱111ABC A B C -满足棱长都相等且1AA ⊥平面ABC ，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（）A.先增大再减小B.减小C.增大D.先减小再增大【答案】D 【解析】【分析】以AC 中点O 为坐标原点，,OB OC 分别为,x y 轴，并垂直向上作z 轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2，则(0,2)x ∈，通过空间向量来求二面角的cos θ=，故cos θ在1(0,)2x ∈上单增，1(,2)2x ∈上单减，即随着x 增大先变大后变小，所以θ随着x 增大先变小后变大.即可得出结果.【详解】以AC 中点O 为坐标原点，,OB OC 分别为,x y 轴，并垂直向上作z 轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2，则(0,2)x ∈，(0,1,1)(0,1,)，，-B D E x,1,1)DB =--，(0,2,1)DE x =-- ，设平面BDE 法向量(,,)n a b c =,则002(1)0n DB b cn DE b c x ⎧⋅==+⇒⎨⋅=-+-=⎪⎩⎩，令c =有11)a x b x c =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故(1),n x x =+-.又平面ABC 的法向量(0,0,1)m =，故平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角θ的余弦值cos m nm nθ⋅===，又(0,2)x ∈，故cos θ在1(0,2x ∈上单增，1(,2)2x ∈上单减，即随着x 增大先变大后变小，所以θ随着x 增大先变小后变大.故选：D.【点睛】本题考查了用空间向量求二面角的余弦值，考查了解决问题能力和计算能力，属于中档题目.8.如图，12(,0),(,0)F c F c -分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1:||:||2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为（）A.5B.5C.+D.+【答案】B 【解析】【分析】连接2AF ，2BF ，设||BP x =则1||||2F A AB x ==，由题意可知2||22AF a x =+，2||42BF x a =-，即22222222||(42)(22)(3)(2)(5)PF x a x a x x c x =--=+-=-，即65x a =，则22535a c =，求解离心率即可.【详解】连接2AF ，2BF ，设||BP x =则1||||2F A AB x ==，即1||5PF x =，||3PA x =，根据双曲线定义可知，12||||2BF BF a -=即21||||242BF BF a x a =-=-21||||2AF F A a -=即21||2||22AF a F A a x=+=+直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ∴21PF PF ⊥在12Rt F PF ∆中22222222121||||||(2)(5)425PF F F PF c x c x =-=-=-①在2Rt APF ∆中222222222||||||(22)(3)458PF AF PA a x x a x ax =-=+-=-+②在2Rt BPF ∆中222222222|||B |||(42)()15416PF F PB x a x x a ax =-=--=+-③②③联立得222245815416a x ax x a ax -+=+-，即65x a =①②联立得2222425458c x a x ax -=-+即22244208c a x ax =++④将65x a =代入④，即222664420855c a a a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22535c a =即5c e a ===故选：B【点睛】本题考查双曲的离心率，解决本题的关键是根据双曲线的定义表示出2||AF 与2||BF ，本题属于中档题.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知直线l 的方向向量是a，两个平面,αβ的法向量分别是,m n ，则下列说法中正确的是（）A.若//a m，则l α⊥ B.若0a m ⋅=，则l α⊥C.若//m n，则αβ⊥ D.若0m n ⋅=r r，则αβ⊥【答案】AD 【解析】【分析】利用空间向量判断直线、平面间的位置关系.【详解】若a m∥，则l α⊥，故A 正确；若0a m ⋅=r u r，则l α∥或l 在α内，故B 错；若m n∥，则αβ∥，故C 错；若0m n ⋅=，则αβ⊥，故D 正确.故选：AD.10.已知直线:(0)l y kx k =≠交椭圆22221x y a b+=于A ，B 两点，1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，M ，N 为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与2F 关于直线l 的对称点为Q ，则（）A.若1k =B.若13MA MB k k =-，则椭圆的离心率为3C.1//l F QD.若直线BQ 平行于x 轴，则k =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，1k =则(0,)Q c ，故b c =，则利用222a b c =+与离心率公式即可得解；对于B ，设0,0，()00,B x y --，接着利用2200221x y a b+=和13MA MB k k =-结合离心率公式直接计算即可求解；对于C ，根据三角形中位线即可得解；对于D ，设()00,B x y ，则0k y x =，根据已知条件求出Q 和中点G ，再利用点关于直线对称的理论列式求出00,x y 即可得解.【详解】如图，直线l 与2QF 交于G ，对于A ，若1k =，则(0,)Q c ，所以b c =，所以2c e a ==，故A 正确；对于B ，设0,0，则()00,B x y --，且2200221x y a b +=即()2220202b a x y a-=，所以()2222220002222200001·3MA MBb a x y y yb a k k x a x a x ax a a --====-=-+-+--，所以2222222211133b ac c e e a a a -==-=-=⇒=，故B 错误；对于C ，由题意可知OG 是中位线，故1//l F Q ，故C 正确；对于D ，设点()00,B x y ，则直线0:y l y x x =，因为直线BQ 平行于x 轴，所以点()002,,Q x y F Q -的中点00,22c x y G -⎛⎫⎪⎝⎭，所以由点G 在直线l 上且21F G l k k =-得0000000·22·1y y c x x y y x c x -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪--⎩，解得012x c =，2034c y=即02y c =±，因此0212y k x c ===，故D 正确.故选：ACD ．【点睛】方法点睛：点关于直线对称的点的计算求解步骤：（1）设所求点坐标，（2）利用中点坐标公式求出中点坐标，（3）利用中点坐标在直线上和两点所在直线与已知直线垂直则斜率乘积为1-这两个条件建立关于所求点坐标的方程组，利用该方程组即可求解.（4）遇特殊直线如x m =或y n =一般直接得解.11.如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为1,,AB BC CC 的中点，点P 是正方形11DCC D 面内（包含边界）动点，则（）A.1D C 与EF 所成角为30oB.平面EFG截正方体所得截面的面积为C.1//AD 平面EFGD.若APD FPC ∠∠=，则三棱锥P BCD -的体积最大值是【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，如图建立以A 为原点的空间直角坐标系，利用空间向量可判断选项；做出截面求得截面面积可判断B ；利用线线平行可得线面平行判断C ，求得P 的轨迹方程可求得三棱锥P BCD -的体积最大值判断D.【详解】以A 为坐标原点，以1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(3,0,0)E ，(6,0,0)B ，(6,3,0)F ，(6,6,0)C ，1(0,6,6)D ，(6,6,3)G ，1(6,0,6)B ，∴1D C(6,0,6)=-，11B D (6,6,0)=-，(3,3,0),(3,6,3)EF EG == ，对A 选项，111cos ,||D C EF D C EF D C EF ⋅<>=⋅12==，则直线1D C 与EF 所成角为60o ，故A 错误；对B 选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行，取11C D 的中点11,N A D 的中点H ，1AA 的中点K ，连接,,,GN NH HK KE ，延长EF NG ，一定与C 交于一点M ，所以,,,E F G N 四点共面，同理可证,,,E F K H 四点共面，则过点,,E F G 作正方体的截面，截面为正六边形EFGNHK ，边长为则正六边形EFGNHK 的面积为16622EFG S =⨯⨯= B 正确.由正方体1111ABCD A B C D -，可得1AD 1//BC ，∵,F G 分别为1,BC CC 的中点，∴//FG 1BC ，∴1//,FG AD FG ⊂ 平面1,EFG AD ⊂/平面EFG ，∴1//AD 平面EFG ，故C 正确；如图，AD ⊥面11CDD C ，又PD ⊂面11CDD C ，故AD DP ⊥，同理FC CP ⊥，63tan ,tan ,AD FC APD FPC DP DP CP CP∠==∠== 又63,,2DP APD FPC DP CP CP∠=∠∴==，根据题意可得(0,6,0),(6,6,0)D C ，设(,6,)P x z ，又222,4DP DP CP CP=∴=，∴22224(6)x z x z+=-+，整理得22(8)16x z -+=，∴在正方形11CDD C 面内(包括边界)，P 是以(8,6,0)Q 为圆心，半径4r=的圆上的点，令6x =，可得||y =，∴当P 为圆Q 与线段1CC 的交点时，P 到底面ABCD 的距离最大，最大距离为，∴三棱锥P BCD -的体积最大值是11166332BCD S ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ，故D 正确.故选:BCD.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是建立空间直角坐标系，用向量的方法研究点线面的位置关系及数量计算.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线l ：()1R y kx k k =++∈，则直线l 过定点________；若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线l 有________条．【答案】①.−1,1②.3【解析】【分析】()1R y kx k k =++∈可化为()11y k x -=+，令1010x y +=⎧⎨-=⎩，解出即可得空一；计算出直线l 横纵截距后，结合面积公式计算即可得空二.【详解】由()1R y kx k k =++∈，得()11y k x -=+，令1010x y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点−1,1；当0k =时，1y =，此时直线l 与x 轴没有交点，所以0k ≠，在()1R y kx k k =++∈中，令0x =，得1y k =+，令0y =，得1k x k+=-，依题意得11122k k k++⋅-=，解得1k =或3k =-±，所以满足条件的直线l 有3条.故答案为：−1,1；3.13.已知圆22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，则PM AB ⋅的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】由圆的方程可确定圆心和半径；由PM AB ⊥可利用面积桥将PM AB ⋅转化为，当PM 最小时，PM 为圆心到直线的距离，由此可求得结果.【详解】由222220x y x y +---=得：()()22114x y -+-=，∴圆心()1,1M ，半径2r =.PA PB = ，MA MB =，∴PM 为线段AB 的垂直平分线，242PAM PAMB PM AB S S PA r ∴⋅===⋅= 四边形，∴若PM AB ⋅最小，则PM 最小，minPM== ，()min 4PM AB ∴⋅=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题考查切线长最小值的求解问题，解题关键是能够将所求的长度之积转化为四边形面积，进而转化为切线长最小值的求解问题.14.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，P 是底面ABCD 内的一点（包含边界），且11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的取值范围是______．【答案】,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点P 的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的取值范围.【详解】以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()14,4,4B ，()2,4,0E ，()10,0,4D 设()(),,004,04P x y x y ≤≤≤≤，则()14,4,4PB x y =--，()12,4,4ED =-- ，又11B P D E ⊥，所以110PB ED ⋅=，即()()2444440x y ---⨯-+⨯=，则240x y +-=．当0x =时，2y =，设()0,2,0F ，所以点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ，所以1B P =，02y ≤≤，=，当45y =时，1min 5B P = ，当2y =时，1max 6B P = ，所以线段1B P 的长度的取值范围是125,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：125,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆C ：()()22344x y -+-=，点()5,1P ，点()1,2Q --．（1）过点P 作圆C 的切线l ，求出l 的方程；（2）设A 为圆C 上的动点，G 为三角形APQ 的重心，求动点G 的轨迹方程．【答案】（1）5x =或512370x y +-=；（2）()2274139x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况求解即可；（2）设(),G x y ，(),A a b ，结合重心的性质可得3431a x b y =-⎧⎨=+⎩，进而结合A 为圆C 上的动点求解即可.【小问1详解】由C ：()()22344x y -+-=，则圆心()3,4C ，半径2r =，当切线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为5x =，符合题意；当切线l 的斜率存在时,则设切线l 的方程为()15y k x -=-，即510kx y k --+=，所以2=，解得512k =-，此时切线l 的方程为555101212x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即512370x y +-=.综上所述，切线l 的方程为5x =或512370x y +-=.【小问2详解】设(),G x y ，(),A a b ，因为()5,1P ，()1,2Q --，G 为三角形APQ 的重心，所以513123a xb y +-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，即3431a x b y =-⎧⎨=+⎩，由A 为圆C 上的动点，得()()22344a b -+-=，则()()223433144x y --++-=，整理得()2274139x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即动点G 的轨迹方程为()2274139x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．16.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠= ，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =，点M 是线段EF 的中点．（1）求平面MAB 与平面EAD 所成锐二面角θ的余弦值；（2）求出直线CD 到平面MAB 的距离d ．【答案】（1）21919（2）19【解析】【分析】（1）由面面垂直性质得线面垂直，利用垂直关系建立空间直角坐标系-C xyz ，分别求平面MAB 与平面EAD 的法向量，再求解夹角即可得；（2）由线面平行关系，将直线CD 到平面MAB 的距离转化为点D 到平面MAB 的距离，利用法向量求解可得.【小问1详解】因为在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠= ，如图，过C 作//CG AD 交AB 于G ，则四边形AGCD 是平行四边形.可得1DA CG CB GB ====，112AB AG GB DC GB =+=+=+=.在ABC V 中，由余弦定理得2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，所以2224AB AC BC ==+，得BC AC ⊥，又平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，⊂BC 平面ABCD ，所以⊥BC 平面ACFE ；因为四边形ACFE 为矩形，所以AC CF ⊥，又平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，CF ⊂平面ACFE ，所以CF ⊥平面ABCD ，CB ⊂平面ABCD ，则CF CB ⊥.如图，分别以,,CA CB CF uu r uu r uu u r所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系-C xyz ，则)A，(0,1,0)B，,0,12M ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，)E，1,022D ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以2AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()AB = ，()0,0,1EA =- ，31,,022AD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，设平面MAB 的法向量为()111,,x n y z =，则1111302n AM x z nAB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，取12x =，得(2,n = ，设平面EAD 的法向量为()222,,m x y z =，则22201022m EA z m AD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取22x =，得()2,m =- ，所以cos cos ,19n m n m n mθ⋅=== ．所以平面MAB 与平面EAD 所成锐二面角θ的余弦值为21919．【小问2详解】由//DC AB ，DC ⊄平面MAB ，AB ⊂平面MAB ，则//DC 平面MAB .则直线CD 到平面MAB 的距离即为点D 到平面MAB 的距离.由（1）知，1,,022DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，平面MAB的一个法向量(2,n =，则点D 到平面MAB的距离19DA n d n⋅== .故直线CD 到平面MAB 的距离d为19.17.已知平面内两个定点(2,0),(2,0)A B -，满足直线PA 与PB 的斜率之积为14的动点P 的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 交于不同两点,M N ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若直线AM 和AN 的斜率之积为112，试证明直线l 过定点，并求出这个定点坐标．【答案】（1）()22104x y y -=≠（2）证明见解析，定点为(1,0)【解析】【分析】（1）设出P 点坐标，根据条件建立方程，再化简求解即可.（2）联立方程组并利用韦达定理表示出122814kb x x k +=-，21224414b x x k--=-，再结合给定条件得到,k b 之间的关系，进而求出定点即可.【小问1详解】设(,),(2)P x y x ≠±，由题意得1224y y x x --⋅=---，化简得到2214x y -=，所以曲线C 的轨迹方程为()22104x y y -=≠．【小问2详解】因为直线AM 和AN 的斜率之积为112，所以直线l 的斜率存在,设:l y kx b =+，1,1，2,2，由2214x y y kx b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得到()22211484402k x kbx b k ⎛⎫----=≠± ⎪⎝⎭，则Δ=6422+442+41−42>0，122814kb x x k +=-，21224414b x x k--=-，而()()()12121212122224AM AN kx b kx b y yk k x x x x x x ++⋅=⋅=+++++，()22222222244841441641612k b k b b b k b kb k --++-==--++-，化简整理得到2220k kb b +-=，得到2b k =或b k =-，当2b k =时，()22y kx k k x =+=+，直线过定点(2,0)-与A 重合，不合题意，当b k =-时，()1y kx k k x =-=-，直线过定点(1,0)，所以直线l 过定点(1,0)．18.图1是直角梯形ABCD ，//AB CD ，90D ∠= ，2AB =，3DC=，AD =，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC =2.（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得1C 到平面PBE 的距离为62？若存在，求出二面角P BE A --的大小；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）4π【解析】【分析】（1）根据长度关系可证得1,C BE ABE 为等边三角形，取BE 中点G ，由等腰三角形三线合一和勾股定理可证得1C G BE ⊥、1C G AG ⊥，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；（2）以G 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在(),,P x y z 且()101DP DC λλ=≤≤，由共线向量可表示出P 点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得λ，进而由二面角的向量求法求得结果.【小问1详解】在图1中取CE 中点F ，连接BF ，AE ，2CE ED =，3CD =，2AB =，1CF ∴=，1EF =，2DF AB == ，//DF AB ，90D ∠= ，∴四边形ABFD 为矩形，BF CD ∴⊥，2BE BC ∴===，又2CE =，BCE ∴△为等边三角形；又2AE ==，ABE ∴ 为等边三角形；在图2中，取BE 中点G ，连接1,AG C G ，1,C BE ABE 为等边三角形，1C G BE ∴⊥，AG BE ⊥，1C G AG ∴==1AC =22211AG C G AC ∴+=，1C G AG ∴⊥，又AG BE G = ，,AG BE ⊂平面ABED ，1C G ∴⊥平面ABED ，1C G ⊂ 平面1BC E ，∴平面1BC E ⊥平面ABED .【小问2详解】以G 为坐标原点，1,,GA GB GC正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,1,0B ，()0,1,0E -，()3,0,0A ，(13C ，33,022D ⎫-⎪⎪⎝⎭，133,322DC ⎛∴=- ⎝ ，()0,2,0EB = ，(13EC = ，设棱1DC 上存在点(),,P x y z 且()101DP DC λλ=≤≤满足题意，即332233223x y z λλλ⎧-=-⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：332233223x y z λλλ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，即3333,32222P λλλ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则3331,32222EP λλλ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBE 的法向量(),,n a b c =，则333130222220EP n a b c EB n b λλλ⎧⎛⎫⎛⎫⋅=-+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎨⎝⎭⎪⋅==⎩ ，令2a =，则01b c λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩，12,0,n λλ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，1C ∴到平面PBE 的距离为12336214EC nd n λλλλ-⋅==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得：13λ=，()2,0,2n ∴=，又平面ABE 的一个法向量()0,0,1m =，cos,2m nm nm n⋅∴<>==⋅，又二面角P BE A--为锐二面角，∴二面角P BE A--的大小为4π.19.已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的焦距为2，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求C的方程．（2）记1F和2F分别是椭圆C的左、右焦点．设D是椭圆C上一个动点且纵坐标不为0．直线1DF交椭圆C于点A（异于D），直线2DF交椭圆C于点B（异于D）．若AB的中点为M，求三角形12F F M 面积的最大值．【答案】（1）22143x y+=（2）8【解析】【分析】（1）根据焦距和椭圆所过点可构造方程求得结果；（2）设直线1:1DF x ty=-，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可整理得到215425Myyx=-，结合三角形面积公式和基本不等式可求得最值.【小问1详解】椭圆C的焦距22c=，1c∴=；椭圆C过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，221914a b∴+=，又22221a b c b=+=+，234b∴=-（舍）或23b=，24a∴=，∴椭圆C的方程为：22143x y+=.【小问2详解】由（1）知：1−1,0，21,0，设()()000,0D x y y ≠，1,1，2,2，由题意可设直线1:1DF x ty =-，其中001x t y +=，2200143x y +=，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2243690t y ty +--=，()()22Δ4843148330t t =+-=+>，()()()()0000000122222200000066616164343112331143x y x y x y ty y t y x x x x y +++∴+===+++-++⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭()0002125y x x +=+；同理可得：()000202125y x y y x -+=-；()()()()()200000001020122000425212122525425y x y x y x y y y y y y y x x x -+-∴+++=++==+--，()20001202200225152425425M y x y y y y y x x -+∴==-=--，1200012222000001515451452716242516271693F F M M y y y S F F y y x y y y ∴=⋅====-++--538≤=（当且仅当002716yy =，即04y =±时取等号），12F F M ∴面积的最大值为8.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值的求解问题，解题关键是能够将三角形面积表示为关于某一变量的函数，从而利用函数最值的求法或基本不等式求得结果.。

余姚高二期末数学试卷答案

一、选择题1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f'(1)的值为（）A. -2B. 0C. 2D. 3答案：B解析：f'(x) = 3x^2 - 3，代入x=1得f'(1) = 0。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 55，a1 = 1，则公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：由等差数列前n项和公式Sn = n/2 (a1 + an)，得S10 = 10/2 (1 + a10) = 55，即5 (1 + a10) = 55，解得a10 = 10。

又由等差数列通项公式an = a1 + (n - 1)d，得10 = 1 + 9d，解得d = 1。

3. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的取值范围为（）A. x ≥ 0B. x ≤ 0C. x > 0D. x < 0答案：B解析：设z = x + yi，代入|z - 1| = |z + 1|得|x + yi - 1| = |x + yi + 1|，即√((x - 1)^2 + y^2) = √((x + 1)^2 + y^2)，平方后化简得x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2，解得x = 0，即z的取值范围为x ≤ 0。

4. 若a、b、c、d为等差数列，且a + b + c + d = 0，则ab + bc + cd + da的值为（）A. 0B. 1C. -1D. -2答案：C解析：由等差数列的性质知，a + d = b + c = 0，所以ab + bc + cd + da = (a + d)(b + c) = 0 0 = 0。

5. 若向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则|a + b|^2的值为（）A. 25B. 50C. 100D. 200答案：A解析：a + b = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)，|a + b|^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52。

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余姚中学2018学年第一学期高二数学第二次限时考试卷
一．
选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直 2．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
3．将命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中真命题的个数记为f (p )．已知命题p ：若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0.那么f (p )等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4. 设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，
则p 是q 的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.13＋π
B.23＋π
C.13＋2π
D.2
3
＋2π
6.若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则a 2
＋b 2的最小值为( )
A.14
B.12
C.3
2
D ．2 7.设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面．其中使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( ) A ．③④ B ．①③ C ．②③ D ．①② 8.下列命题中真命题的个数是( ) （1）存在正实数,a b 使得
lg()lg lg a b a b
+=+ .
（2）若2,a b +≥ 则,a b 至少有一个不小于1的逆命题.
（3）若1,x > 则0x > 的否命题.
（4）ABC ∆ 中，若,A B < 则sin sinA B < 的逆否命题.
.0A .1B .2C .3D
9．如图三棱锥S -ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的
等腰直角三角形，给出以下结论：
(1)异面直线SB 与AC 所成的角为90°； (2)直线SB ⊥平面ABC ；
(3)平面SBC ⊥平面SAC ； (4)点C 到平面SAB 的距离是1
2
a .
其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．异面直线l 与m 成60°，异面直线l 与n 成45°，则异面直线m 与n 所成角的范围是( )
A ．[15°，90°]
B ．[60°，90°]
C ．[15°，30°]
D ．[15°，60°]
二．填空题：本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每小题4分，共36分。

11．原命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是____________。

原命题与它的逆命题否命题逆否命题四个命题中正确的命题个数是_______个。

12 .直线l 过点(－4,0)，且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A ，B 两点，如果|AB |最大时，那么直线l 的方程为____________如果|AB |最小时，那么直线l 的方程为____________
13命题()21
:1;:101
p q x a x a x <+-->- 。

若p ⌝ 是q ⌝ 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围________．若p ⌝ 是q ⌝
的必要不充分条件，则实数a 的取值范围
________．
14.已知命题:p 方程210x mx -+= 有实数解，命题2
:20q x x m -+> 对任意x 恒成立，若()q p q ∨∧ 为真，p ⌝
为真，则实数m 的取值范围________．若p q ∨ 为真，
则实数m 的取值范围_______
15.在三棱锥P -ABC 中，P A ＝BC ＝4，PB ＝AC ＝5，PC ＝AB ＝11，则三棱锥P -ABC 的
外接球的表面积为________．
16.点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列四个结论：
(1)三棱锥A -D 1PC 的体积不变； (2)A 1P ∥平面ACD 1；
(3)DP ⊥BC 1； (4)平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确结论的序号是________．
17.已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM
延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是_______
三．解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

18．（本大题共15分）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．
(1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．
19. （本大题共14分）设:p 实数x 满足22
430;:x ax a q -+< 实数x 满足31x -<
（1）若1a = 时，且p q ∧ 为真，求实数x 的取值范围。

（2）若0a > ，且p ⌝ 是q ⌝
的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。

20．（本大题共15分）已知圆C 经过M (3，－3)，N (－2，2)两点，且在y 轴上截得的线段长为4 3.
(1)求圆C 的方程；
(2)若直线l ∥MN ，l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．
21．（本大题共15分）如图在三棱台ABC - DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.
(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；
(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．
22.（本大题共15分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π
2，AB ＝BC ＝1，
AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，
如图2.
(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ； (2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．。