高二下学期数学
高二下数学第一单元知识点
高二下数学第一单元知识点在高二下学期的数学课程中，第一单元是非常重要的，它包含了许多基础的数学知识点。
在本文中，我们将介绍这些知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握数学。
以下是本单元的知识点：一、函数与方程1. 函数定义与性质- 函数的定义域与值域- 一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的性质2. 方程- 一次方程与二次方程的解法- 根的性质与判别式- 方程组的解法与应用二、数列与数列极限1. 等差数列与等比数列- 数列的概念与通项公式- 等差数列与等比数列的性质和应用2. 数列极限- 数列极限的概念与性质- 数列极限的计算方法- 应用题解析与归纳三、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义与性质- 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义与性质- 三角函数的基本关系式2. 解三角形- 解直角三角形的方法与步骤- 解一般三角形的方法与步骤- 角的平分线与中线的性质与应用四、平面向量与坐标系1. 平面向量的定义与运算- 平面向量的加法、减法、数量积、向量积- 平面向量与直线的关系与应用2. 坐标系与平面图形- 平面直角坐标系- 点、直线、圆的坐标表示方法和性质- 二次曲线方程与图像的性质五、导数与微分1. 导数的概念与计算方法- 函数的导数定义与性质- 基本初等函数的导数计算与性质2. 微分与应用题- 微分的概念与计算方法- 在几何问题、物理问题中的应用以上是高二下数学第一单元的主要知识点。
通过深入学习与练习，相信同学们能够掌握这些知识，为接下来的学习打下坚实的基础。
祝愿大家在学习数学的过程中取得优异的成绩！。
云南省2023-2024学年高二下学期期末普通高中学业水平考试数学试卷
云南省2023-2024学年高二下学期期末普通高中学业水平考试数学试卷一、单选题1．已知集合S =｛1，2｝集合T =｛1，2，3｝则S T I 等于（ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}1,2,32．已知i 为虚数单位，设复数121i,3i z z =-=+，则12z z +=（ ） A ．1B ．4C ．iD ．4i3．已知,,a b c 都是实数.若a b >，则（ ） A ．c c a b > B ．ac bc > C ．a b c c> D ．a c b c ->-4．函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π25．已知函数()f x x =，则()2f x =（ ） A ．2xB ．xC ．2D ．16．函数2x y =的最小值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．下列函数中，在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．2y x =-B ．1y x=C ．3x y =D ．1,11,1x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩8．不等式()60x x -…的解集为（ ）A ．{0}x x <∣B ．{6}x x >∣C ．{0xx ∣…或6}x … D ．{}06xx ∣剟 9．PM MN +=u u u u r u u u u r（ ）A ．0rB ．NP u u u rC ．NM u u u u rD ．PN u u u r10．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若2,3,4a b c ===，则cos B =（ ）A ．1116B ．712 C ．25-D ．59-11．已知i 为虚数单位，则复数26i z =--在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若111,sin ,sin 63a A B ===，则b =（ ）A ．6B ．4C ．3D ．213．已知平面向量()()1,2,2,a b x ==r r .若a b r r ∥，则实数x 的值是（ ）A ．4B ．1C ．1-D ．4-14．下列函数中，是偶函数的为（ ）A ．()ln f x x =B ．()3f x x =C ．()sin f x x =D ．()e e x xf x -=+15．已知sin 5cos αα=，则tan α=（ ）A ．3B ．5C ．7D ．916．cos cos sin sin αβαβ+=（ ）A ．()cos αβ-B ．()cos αβ+C ．()sin αβ-D ．()sin αβ+17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BC 与11B D 所成的角等于（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π218．设1cos sin 2αα-=，则sin2α=（ ）A ．38B ．34C ．12D ．1819．某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工（ ）A ．10人B ．12人C ．13人D ．15人20．已知0,0a b >>.若1ab =，则lg lg a b +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．321．某同学通过摸球的方式选择参加学校组织的社会实践活动.摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有10个大小质地完全相同的球，其中2个红球，8个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，则参加社区植树；若摸出的球是黄球，则参加社区卫生大扫除.该同学参加社区植树的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．1222．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度二、填空题23．已知()1,2P 是角α终边上的一点，则角α的正切值是.24．一商场门口有个球形装饰品.若该球的半径为1米，则该球的表面积为平方米. 25．已知0a >，则9a a+的最小值是. 26．某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是[]2,12，数据分组为[)[)[)[)[]2,4,4,6,6,8,8,10,10,12.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为人.三、解答题27．甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中.28．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，,PD DA PD AB ⊥⊥.(1)证明：PD BD ⊥；(2)若π2,3AD DAP ∠==，三棱锥D PBC -PA 与平面PBD 所成角的正弦值.29．已知常数,,a b c 满足a b c >>，且()20,a b c f x ax bx c ++==++.(1)证明：0a >且ca是()f x 的一个零点；(2)若(),m ∞∞∃∈-+，使得()f m a =-，记()1136c T f f m a ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，下列结论：0,0,0T T T <=>，你认为哪个正确？请说明理由.。
高二下数学知识点
高二下数学知识点
高二下数学主要涵盖以下几个知识点：
1. 三角函数：三角函数是描述角度和边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们在几何中的应用广泛，例如用于求解三角形的边长和角度。
2. 导数与微分：导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化速率。
微分是导数的几何意义，表示函数在某一点的切线斜率。
导数与微分在数学和物理等领域中有广泛的应用，例如求解函数的最值、描述曲线的形状等。
3. 不等式与函数的图像：不等式是描述数值关系的一种表达形式，函数的图像是函数在坐标系中的可视化表示。
学习不等式和函数的图像可以帮助我们理解函数的性质及其在数学和实际问题中的应用。
4. 数列与数列的求和：数列是按照一定规律排列的一组数，求和是将数列中的元素相加得到一个结果。
数列与求和在数学和实际问题中都有广泛的应用，例如在金融领域中用于计算投资的复利、在计算机科学中用于算法和数据结构等。
5. 二次函数与二次方程：二次函数是一个二次多项式函数，二次方程则是一个二次多项式的等式。
学习二次函数和二次方程可以帮助我们理解曲线的形状、解决实际问题以及解决数学中的各种方程和不等式。
以上是高二下学期数学的主要知识点，希望对您有所帮助。
如果您还有其他问题，请随时提出。
高二下学期数学教案5篇
高二下学期数学教案5篇高二下学期数学教案（精选篇1）目的要求：1．复习巩固求曲线的方程的基本步骤；2．通过教学，逐步提高学生求贡线的方程的能力，敏捷把握解法步骤；3．渗透“等价转化”、“数形结合”、“整体”思想，培养学生全面分析问题的能力，训练思维的深刻性、宽阔性及严密性。
教学重点、难点：方程的求法教学方法：讲练结合、讨论法教学过程：一、学点聚集：1．曲线C的方程是f(x,y)=0（或方程f(x,y)=0的曲线是C）实质是①曲线C上任一点的坐标都是方程f(x,y)=0的解②以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点2．求曲线方程的基本步骤①建系设点；②寻等列式；③代换（坐标化）；④化简；⑤证明（若第四步为恒等变形，则这一步骤可省略）二、基础训练题：221．方程x-y=0的曲线是（）A．一条直线和一条双曲线B．两个点C．两条直线D．以上都不对2．如图，曲线的方程是（）A．x?y?0 B．x?y?0 C．xy?1 D．x?1 y3．到原点距离为6的点的轨迹方程是。
4．到x轴的距离与其到y轴的距离之比为2的点的轨迹方程是。
三、例题讲解：例1：已知一条曲线在y轴右方，它上面的每一点到A?2,0?的距离减去它到y轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。
例2：已知P(1,3)过P作两条互相垂直的直线l1、l2，它们分别和x轴、y轴交于B、C两点，求线段BC的中点的轨迹方程。
2例3：已知曲线y=x+1和定点A(3,1)，B为曲线上任一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当点B在曲线上运动时，求点P 的轨迹方程。
巩固练习：1．长为4的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点M的轨迹方程。
22．已知△ABC中，B(-2,0)，C(2,0)顶点A在抛物线y=x+1移动，求△ABC的重心G的轨迹方程。
思考题：已知B(-3,0)，C(3,0)且三角形ABC中BC边上的高为3，求三角形ABC的垂心H的轨迹方程。
高二下数学学哪些知识点
高二下数学学哪些知识点在高二下学期的数学课程中，学生将继续深入学习数学的各个分支，建立更为扎实的数学基础，并为高三的学习打下坚实的基础。
在这一学期，学生将接触到以下几个重要的数学知识点。
一、平面向量与立体几何1. 平面向量的定义与运算：包括向量的表示、平移、数量积、向量积等基本概念和运算法则。
2. 平面向量的应用：如力的合成与分解、平面几何问题的解决等。
3. 空间几何基础：三维空间中的平行、垂直、共面等概念及其性质。
二、三角函数1. 弧度制和角度制的相互转换及其应用。
2. 三角函数的概念与性质：正弦、余弦、正切等函数的定义、性质及图像。
3. 三角函数的基本关系式与恒等变换。
三、导数与微分1. 导数的概念与性质：包括导数的几何意义、导数与函数的关系。
2. 常见函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数求法。
3. 高阶导数与导数的应用：如函数的凹凸性、极值、最值等问题的解决。
四、数列与数学归纳法1. 数列基础概念：如公差、通项、等差数列、等比数列等。
2. 数列的求和与递推公式：通项公式、求和公式的推导与应用。
3. 数学归纳法：数学归纳法的原理与使用方法，以及归纳法解决问题的思路与步骤。
五、概率与统计1. 概率的基本概念与性质：包括概率的定义、加法定理、乘法定理等。
2. 随机事件与概率模型：样本空间、随机事件的概念与性质，概率模型的建立及其应用。
3. 统计基础：数据的收集和整理、频率与频率分布、均值、方差和标准差等统计概念。
总结：高二下学期的数学学习内容较为广泛，主要涉及平面向量与立体几何、三角函数、导数与微分、数列与数学归纳法，以及概率与统计等知识点。
通过学习这些知识，学生将进一步提高数学思维能力，培养解决实际问题的能力，并为高三的数学学习打下扎实的基础。
高二数学上下册知识点总结
高二数学上下册知识点总结高二是学习数学的重要阶段，上下学期的内容涵盖了多个数学知识点，包括函数、三角函数、平面向量、立体几何等。
下面是对高二数学上下册的知识点进行总结。
一、函数函数是高中数学的基础，也是高二数学的核心内容之一。
高二上学期主要涉及函数的定义、性质以及常见函数的图像与性态。
下学期进一步深入学习了函数的极限与连续性、导数与微分以及反函数等内容。
二、三角函数三角函数是高中数学的重要分支之一，高二数学上学期主要学习了正弦函数、余弦函数和正切函数的性质与图像。
下学期进一步学习了三角函数的诱导公式、三角函数的和差化积与积化和差等内容，并结合应用题进行练习。
三、平面向量平面向量是高中数学的重要工具，高二数学上学期主要学习了平面向量的定义、性质以及平面向量的数量积、向量积等基本运算。
下学期进一步学习了平面向量的坐标表示、几何运算以及向量的夹角等内容，并应用于平面几何问题。
四、立体几何立体几何是高中数学的一大难点，高二数学上学期主要学习了空间几何体的性质、相交关系以及立体几何的投影等内容。
下学期进一步学习了直线与平面、平面与平面的位置关系以及空间几何体的相似性等内容，并进行了相关题型的练习。
五、概率与统计概率与统计是高中数学的必修内容，高二数学上学期主要学习了概率与事件、随机变量以及概率分布等内容。
下学期进一步学习了统计量的性质与计算、参数估计以及假设检验等内容，并结合实际问题进行应用分析。
六、解析几何解析几何是高中数学的一大重点，高二数学上学期主要学习了平面直角坐标系与直线的方程、圆与二次函数的方程以及椭圆与双曲线的方程等内容。
下学期进一步学习了空间直角坐标系与立体几何体的方程、球的方程以及曲线的方程等内容，并进行了应用题的练习。
综上所述，高二数学上下册的知识点包括函数、三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计以及解析几何等。
掌握这些基础知识，并能够灵活运用于解题过程中，将有助于提高数学学科的综合素养，更好地适应高中数学的学习要求。
高二数学下学期教学计划(8篇)
高二数学下学期教学计划(8篇)高二数学下学期教学计划1一、指导思想以培养创新型人材为目标，以联合办学为契机，深入钻研教材，靠集体智慧处理教研、教改资源及多媒体信息，根据我校实际，合理运用现代教学手段、技术，提高课堂效率。
二、目标要求1.深入钻练教材，在借鉴她校课件基础上，结合所教学生实际，确定好每节课所教内容，及所采用的教学手段、方法。
2.本期还要帮助学生搞好《数学》必修内容的复习，一是为学生学业水平检测作准备，二是为高三复习打基础。
3.本期的专题选讲务求实效。
4.继续培养学生的学习兴趣，帮助学生解决好学习教学中的困难，提高学生的数学素养和综合能力。
5.本期重点培养和提升学生的抽象思维、概括、归纳、整理、类比、相互转化、数形结合等能力，提高学生解题能力。
三、教学措施：一、认真落实，搞好集体备课。
每周至少进行一次集体备课，每位老师都要提前一周进行单元式的备课，集体备课时，由一名老师作主要发言人，对下一周的教材内容作分析，然后大家研究讨论其中的重点、难点、教学方法等。
在星期一的集合备课中，主要是对上周备课中的情况作补充。
每次备课都要用一定的时间交流一下前一段的教学情况，进度、学生掌握情况等。
二、详细计划，保证练习质量。
教学中用配备资料是《高中数学新新学案》，要求学生按教学进度完成相应的`习题，老师要给予检查和必要的讲评，老师要提前向学生指出不做的题，以免影响学生的学习。
每周以内容滚动式编一份练习试卷，星期五发给学生带回家完成，星期一交，老师要进行批改，存在的普遍性问题最好安排时间讲评。
试题量控制为10道选择题(4旧6新)、4道填空题(1旧3新)、4道解答题。
三、抓好第二课堂，稳定数学优生，培养数学能力兴趣。
本学期第二课堂与数学竞赛准备班继续分开进行辅导。
平常意义上的第二课堂辅导学生，主要是以兴趣班的形式，以复习巩固课堂教学的同步内容为主，一般只选用常规题为例题和练习，难度低于高考接近高考，用专题讲授为主要形式开展辅导工作。
高二文科数学下学期知识点
高二文科数学下学期知识点高二文科数学下学期的知识点主要包括以下几个方面：概率与统计、三角函数与向量、导数与微积分、平面向量与曲线及椭圆、双曲线与抛物线、数列、排列与组合。
下面将逐一介绍这些知识点。
一、概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支，它主要研究随机事件的发生规律及其数值特征。
在高二文科数学下学期里，我们将学习以下几个内容：1. 随机事件概率的计算方法：包括频率定义、古典概型、几何概型等。
2. 条件概率与独立性：介绍条件概率的概念和计算方法，同时学习独立事件的性质与计算。
3. 随机变量与概率分布：引入随机变量的概念，学习离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布。
4. 数理统计：介绍样本及其抽样方法，学习样本均值、样本方差等统计量的计算以及统计推断的概念。
二、三角函数与向量三角函数与向量是高中数学的重要内容之一，在高二下学期的文科数学中将重点学习以下几个知识点：1. 三角函数的性质与图像：学习正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、性质及其图像特征。
2. 三角函数的基本关系式：学习正弦函数、余弦函数和正切函数之间的基本关系式，如诱导公式、和差化积等。
3. 平面向量的基本概念：引入平面向量的概念和表示方法，学习向量的加法、减法、数量积和向量积等运算。
4. 向量的数量积与几何应用：学习向量的数量积的定义、性质及其在几何问题中的应用，如向量的夹角、向量垂直平分等。
三、导数与微积分导数与微积分是高中数学中一门重要的数学工具，它们广泛应用于其他学科中。
在高二下学期的文科数学中，我们将学习以下内容：1. 函数与极限：学习函数的概念、函数的极限概念及其计算方法，了解函数的连续性。
2. 导数与导数的计算：介绍导数的概念和计算方法，学习常见函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数等。
3. 导数的应用：学习导数在函数图像的绘制、函数的最值问题、函数的单调性及极值等问题中的应用。
四、平面向量与曲线在高二下学期的文科数学中，我们将进一步学习关于平面向量与曲线的知识：1. 平面向量的叉积与混合积：学习向量的叉积和混合积的定义、性质及其在几何问题中的应用。
高二数学下学期教学工作总结(6篇)
高二数学下学期教学工作总结这学期我任高二两个班的数学课，总体来看，这两个班的基础不太好，学习习惯也不太好，两极分化严重，文科生对数学不太感兴趣，特别是我对教材不熟悉，导致我在这学期的备课、上课、备学生等方面很吃力。
虽然是这样，通过我的努力，依据学期初制定的教学计划，已经圆满完成了这学期的教学任务，下面我对这学期的工作进行一下总结。
(一)在备课方面，我认真钻研教材，注意了解学生，潜心研究教法这学期的教学内容包括，简单几何体，排列、组合、二项式定理，概率，导数。
针对学生基础普遍较差，接受比较慢的实际情况，我采取了低起点，小步子的教学方法，根据教材的内容设计课的类型，并对教学过程的程序及时安排，认真写好每一篇教案。
每一节课都做到有备而来，每堂课都在课前做好充分准备，课后及时对课上出现的情况进行总结，并认真搜集每节课的知识要点，归纳在一起。
在准备课堂练习时，由于我的教学经验不足，备课时需查阅大量的资料，给学生高质量的习题，使每个题都有针对性。
由于我是今年才接四班，对于四班的情况不了解，一年以来，我注重和他们的沟通，多和他们谈心，了解他们的学习情况，由于学生对我不太适应，所以在期中考试时成绩不太理想，他们对我的评价不太好，虽然我没有看到最近的学生评价教师的结果，但是我知道他们已经接受了我，并且我也真正的了解了他们。
(二)增强上课的技能，提高教学质量在讲课时，尽量使讲解清晰化，使课堂教学的内容条理化，做到课堂结构清晰，重点、难点突出。
在课堂上，特别注意调动学生的主观能动性，加强师生交流，充分体现学生的主体作用和老师的主导作用。
尽量让学生学得容易，学得轻松愉快;注意习题的数量和质量，精讲精练，在课堂上老师尽量讲的少，学生思考和练习的多。
同时在每一堂课上都充分考虑每个层次的学生的学习需求和学习能力，让每个层次的学生都得到提高。
组织好课堂教学，关注全体学生，注意信息反馈，调动学生的有意注意，使其保持相对稳定性，同时，激发学生的情感，使他们产生愉悦的心境，创造良好的课堂气氛，课堂语言简洁明了，克服了以前重复的毛病，课堂提问面向全体学生，注意引发学生学数学的兴趣，课堂上讲练结合，布置适量的课下作业。
浙江杭州学军中学2024年高二下学期6月月考数学试题(解析版)
2023学年第二学期高二数学学科测试卷（五）1.已知集合一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分(){}{}2ln 1,11M y y x N x x ==−=−<<，则（）A.M N =B.[]1,0M N ∩=−C.()1,0M N =− D.()()1,RM N =−+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.【详解】由题意可得()22110ln 10x x≥−>⇒−≤，即(],0M =−∞，所以M N ≠，(]1,0M N ∩=−，()()R 1,M N ∞∪=−+ ，即A 、B 、C 三选项错误，D 正确.故选：D2.已知角α的终边上一点()4,3A ，且()tan 2αβ+=，则()tan 3πβ−=（ ）A.12B.12−C.52D.52−【答案】B 【解析】【分析】先通过三角函数的定义求出tan α，代入()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=−求出tan β，继而求出()tan 3πβ−的值.【详解】 角α的终边上一点()4,3A ∴3tan 4α=()3tan tan tan 4tan 231tan tan 1tan 4βαβαβαββ+++===−−，解得1tan 2β=.∴()1tan 3tan 2πββ−=−=−.故选：B.3. 函数()2ln 23y x x =−−+的单调递减区间为（ ） A. (),1∞−− B. ()1,∞−+ C. ()1,1− D. ()1,∞+【答案】C 【解析】【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间. 【详解】令2230x x −−+>得31x −<<， 故()2ln 23y x x =−−+的定义域为()3,1−，ln y t =在()0,t ∞∈+上单调递增，由复合函数单调性满足同增异减可得，只需求出223t x x =−−+在()3,1−上的单调递减区间，()222314t x x x =−−+=−++在()1,1−上单调递减，故数()2ln 23y x x =−−+的单调递减区间为()1,1−.故选：C4. 下列图像中，不可能成为函数()3mx x x=−的图像的是（ ）．A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】因为()3m f x x x =−，{}|0x x ≠，所以()223mf x x x′=+ 当0m =时()30mf x x x=−=，{}|0x x ≠无解，且()2230m f x x x ′=+>此时()f x 在(),0∞−，()0,∞+单调递增，D 选项符合此种情况.当0m >时()430m x m f x x x x−=−==有两个解，且()2230m f x x x ′=+>此时()f x 在(),0∞−，()0,∞+单调递增，B 选项符合此种情况.当0m <时()43m x mf x x x x−=−=当0x <时易知()0f x <，0x >时()0f x >所以函数图像不可能是C. 故选：C5. 已知向量a ，b 满足1a = ，()1,1b = ，a b +=a 在b 上的投影向量的坐标为（ ） A. 11,22B.C. ()1,1D. 【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可.【详解】因为(1,1)=b ，所以222||112b =+= ，又||1,a =把||a b +两边平方得22||||25a b a b ++⋅= ，即125a b +⋅= ，解得1a b ⋅= ，所以a 在b 的投影向量坐标为2111(1,1),222||a b b b ⋅⋅==， 故选：A.6. “欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数()4sin 0,2y x πωϕωϕ=+><的图象上，且图象过点,224π，相邻最大值与最小值之间的水平距离为2π，则是函数的单调递增区间的是（ ）A. ,34ππ−−B. 75,2424ππ−C. 53,248ππD. 53,84ππ【答案】B 【解析】【分析】由题意求出最小正周期，从而求出ω，再利用特殊点求出ϕ的值，从而得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解单调增区间，即可得到结果． 【详解】因为函数图象相邻最大值与最小值之间的水平距离为2π，所以函数的周期为22ππ×=，所以22πωπ==，又图象过点(224)π，，所以4sin 2224πϕ×+＝，可得1sin 122πϕ += ，则有2126k ππϕπ+=+或52,126k k Z ππϕπ+=+∈， 即212k πϕπ=+或32,4k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，所以12πϕ=，所以4sin 212yx π+，令2222122k x k πππππ−+≤+≤+，解得75,2424k x k k Z ππππ−+≤≤+∈， 所以函数的单调区间为75,,2424k k k Z ππππ−++∈，当0k =时，函数的单调递增区间为75,2424ππ−，故选项B 正确． 故选：B ．7. 已知函数()2ln 1212x x x f x mx mx x +>= −+≤，，，若()()g x f x m =−有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 71,4B. (]1,2C. 41,3D. []1,3【答案】C 【解析】【分析】由题可知1x >时，函数()()g x f x m =−至多有一个零点，进而可得1x ≤时，要使得()()222mg x f x m x mx =−=−−有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】当1x >时，()ln f x x x =+单调递增且()ln 1f x x x =+>，此时()()g x f x m =−至多有一个零点，若()()g x f x m =−有三个零点，则1x ≤时，函数有两个零点；当1x >时，()ln 1f x x x =+>，故1m >； 当1x ≤时，要使()()222mg x f x m x mx =−=−−有两个零点， 则2Δ80214202m m mm m =−−><−−≥， 所以403m <≤，又1m >， 所以实数m 的取值范围是41,3.故选：C.8. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形ABCD中，AB BD ==， 将ABD △沿BD 进行翻折，使得AC =． 按张衡的结论， 三棱锥A BCD −外接球的表面积约为（ ） A. 72B.C.D. 【答案】B 【解析】【分析】由球的性质确定三棱锥A BCD −外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积. 【详解】如图1，取BD 的中点M ，连接AM CM ，．由AB AD BD ===ABD △为正三角形，且3AM CM ===，所以1cos 3AMC ∠=−，则sin AMC ∠==， 以M 为原点，MC 为x 轴，MD 为y 轴，过点M 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图2，则(3,0,0)C ， (10A −，．设O 为三棱锥A BCD −的外接球球心，则O 在平面BCD 的投影必为BCD △的外心，则设(10)O h ，，．由222||||R OA OC ==可得22222220)20h h ++−=++，解得h =，所以22||6R OC ==．由张衡的结论，2π5168≈，所以π≈则三棱锥A BCD −的外接球表面积为24πR ≈ 故选：B ．二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. ABC 中，D 为边AC 上的一点，且满足12AD DC =，若P 为边BD 上的一点，且满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则下列结论正确的是（ ）A. 21m n +=B. mn 的最大值为112C.41m n+的最小值为6+ D. 229m n +的最小值为12【答案】BD 【解析】【分析】根据平面向量共线定理可知A 错误；根据()133mnm n =⋅，利用基本不等式可求得最大值，知B 正确； 由()41413m n m n m n+=++，利用基本不等式可求得最小值，知C 错误； 利用基本不等式可得()222392m n m n++≥，知D 正确.【详解】对于A ，3AP mAB nAC mAB nAD =+=+，,,B P D 三点共线，31m n ∴+=，A 错误；对于B ，31m n += ，()21131333212m n mn m n + ∴=⋅≤×=（当且仅当3m n =时取等号），B 正确；对于C ，(414112777n m m n m n m n m n +=++=++≥+=+ （当且仅当12n m m n =，即m =时取等号），C 错误； 对于D ，()22231922m n m n ++≥=（当且仅当3m n =时取等号），D 正确. 故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 是无界的.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（ ）A. 若1n a n=，则数列{}n a 是无界的B. 若1sin 2nn a n =，则数列{}n S 是有界的 C. 若()1nn a =−，则数列{}n S 是有界的D. 若212n a n =+，则数列{}n S 是有界的 【答案】BC 【解析】【分析】利用有界数列与无界数列的定义，结合放缩法与等比数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】对于A ，111n a n n==≤ 恒成立， ∴存在正数1M =，使得n a M ≤恒成立， ∴数列{}n a 是有界的，A 错误；对于B ，1sin 1n −≤≤ ，111sin 222n n nn a n∴−≤=⋅≤，212111221111111222212nn nn n S a a a− ∴=+++<+++==−<− ， 2121111112222n nn n S a a a=+++>−+++=−+>−，所以存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴则数列{}n S 是有界的，B 正确；对于C ，因为()1nn a =−，所以当n 为偶数时，0n S =；当n 为奇数时，1n S =−；1n S ∴≤，∴存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴数列{}n S 是有界的，C 正确；对于D ，()()22144114421212121n n n n n n =<=− −+−+，2221111111121241233352121nS n n n n n ∴=++++⋅⋅⋅≤+−+−+⋅⋅⋅+− −+182241222212121n n n n n n n=+−=+=−++++； 221y x x =−+ 在()0,∞+上单调递增，21,213n n∴−∈+∞ +， ∴不存在正数M ，使得n S M ≤恒成立， ∴数列{}n S 是无界的，D 错误.故选：BC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =−≠，且对任意x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y f x f y ′′+=+，则（ ）A. ()112f ′=B. ()90f =C.()2011k f k ==∑D.()2011k f k =′=−∑【答案】BD 【解析】【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】令1xy ==，得()()()2211f f f =′，因为()()210f f =−≠， 所以()112f ′=−，所以A 错误； 令1y =，得()()()()()111f x f x f f x f +=′′+①，所以()()()()()111f x f x f f x f −=′−′−+， 因为()f x 是奇函数，所以()f x ′是偶函数，所以()()()()()111f x f x f f x f −′′=−+②，由①②， 得()()()()()()12111f x f x f f x f x f x +==−−′+−−， 即()()()21f x f x f x +=−+−， 所以()()()()()()()32111f x f x f x f x f x f x f x +=−+−+=++−+=， 所以()f x ，()f x ′是周期为3的函数，所以()()900f f ==，()()()()()()2011236120k f k f f f f f = =++×++= ∑，所以B 正确，C 错误； 因为()()()12112f f f =−=′=−′′，在①中令0x =得()()()()()10101f f f f f ′=+′，所以()01f ′=，()()()()()()2011236121k f k f f f f f =′ =++×++′=− ′′′′∑，所以D 正确． 故选：BD ．【点睛】对于可导函数()f x 有： 奇函数的导数为偶函数 偶函数的导数为奇函数若定义在R 上的函数()f x 是可导函数，且周期为T ，则其导函数()f x ′是周期函数，且周期也为T三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 满足()()12i 1i z =++（其中i 为虚数单位），则z =_____________.【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数z ，即可求得答案. 【详解】由题意得()()12i 1i 13i z =++=−+，故z =，13. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【答案】：35【解析】【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32332A A ×，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A = ，三门文化课中相邻排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，由此求得所求事件的概率．【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有33A 种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32133272A A A =， ②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A = ， ③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体， 然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为7221614437205++=，故答案为：35． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．14. 已知()221:21O x y +−= ，()()222:369O x y −+−= ，过x 轴上一点P 分别作两圆切线，切点分别是M ，N ，求PM PN +的最小值为_____________.【解析】【分析】根据圆的切线的几何性质可推出PM PN +=可看作点(0)Pt,到((0,,A B 的距离的和，结合几何意义即可求得答案. 【详解】由题意知()221:21O x y +−= 的圆心为(0,2)，半径11r =，()()222:369O x y −+−= 的圆心为(36),，半径23r =，的设(0)P t,，则||PM =，PN ===则PM PN +==，设((0,,A B ，则||||||||||PM PNPA PB AB +≥=+， 当且仅当,,P A B 三点共线时取等号，此时PM PN +的最小值为AB ==，四. 解答题：本题共577分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，且sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+，（1）求角A ;（2）若AD 平分BAC ∠交线段BC 于点D ，且2,2AD BD CD ==，求ABC 的周长. 【答案】（1）23A π=（2）9+ 【解析】【分析】（1）先利用余弦定理化简cos cos c B b C +，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A ，（2）由ABCBAD CAD S S S =+ 结合AD 平分BAC ∠，23A π=可得22bc b c =+，作AE BC ⊥于E ，则由ABD ACD S S 结合已知条件可得2c b=，解方程组可求得,b c ，再利用余弦定理可求出a ，从而可求出三角形的周长.【小问1详解】由余弦定理得222222cos cos 22a c b a b c c B b C c b a ac ab+−+−+=×+×=所以sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+可化为sin sin sin sin a A c B c C b B −=+ 再由正弦定理，得222a cb c b −=+，得222c b a bc +−=−，所以2221cos 22b c a A bc +−==−. 因(0,)A π∈， 所以23A π= 【小问2详解】因为AD 平分BAC ∠，所以3BAD CAD π∠=∠=. 由1211sin sin sin 232323ABC BAD CAD S S S b c c AD b AD πππ=+⇒⋅=⋅+⋅ ， 得22bc b c =+. 作AE BC ⊥于E ，则1sin2321sin 23ABD ACD c AD S c BD S b DC b AD ππ⋅==⇒==⋅ .由222bc b c c b =+= ，解得6,3,c b == 由余弦定理，得2222cos 63a b c bc A =+-=，所以a =故ABC的周长为9+16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E .F 分别是棱1DD ，11A D 的中点.为（1）证明：1B E ⊥平面ACF . （2）求二面角B AF C −−的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，得到10AF EB ⋅= ，10AC EB ⋅=，所以1AF EB ⊥，1AC EB ⊥，证明出线面垂直；法二：作出辅助线，先由线面垂直得到1AC EB ⊥，再根据三角形全等得到1AF A E ⊥，进而得到AF ⊥平面11A B E ，得到1AF EB ⊥，从而证明出1B E ⊥平面ACF ； （2）利用空间向量求解二面角余弦值. 【小问1详解】法一：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,0,2F ，()0,0,1E ，()12,2,2B . ()1,0,2AF =−，()2,2,0AC =−，()12,2,1EB =.因为10AF EB ⋅=，10AC EB ⋅=，所以1AF EB ⊥，1AC EB ⊥. 【的因为AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACF ，所以1B E ⊥平面ACF . 法二：连接1A E ，BD ，11B D .在正方体1111ABCD A B C D −中，1B B ⊥平面ABCD ，所以1B B AC ⊥.因为BD AC ⊥，1B B BD B ∩=，1,B B BD ⊂平面11B BDD ，所以AC ⊥平面11B BDD . 因为1EB ⊂平面11B BDD ，所以1AC EB ⊥.因为11A B ⊥平面11ADD A ，AF ⊂平面11ADD A ，所以11A B AF ⊥.在正方形11ADD A ，E ，F 分别是边1DD ，11A D 的中点，可得111A AF D A E ≌△△，所以111A AF D A E ∠∠=，1111190EA A A AF EA A D A E ∠∠∠∠+=+=，所以1AF A E ⊥.因为1111A B A E A = ，111,A B A E ⊂平面11A B E ，所以AF ⊥平面11A B E . 因为1EB ⊂平面11A B E ，所以1AF EB ⊥.因为AC AF A ∩=，,AF AC ⊂平面ACF ，所以1B E ⊥平面ACF . 【小问2详解】结合（1）可得1EB为平面ACF 的一个法向量.()0,2,0AB =.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z = ，则()()()()0,2,0,,201,0,2,,20AB n x y z y AF n x y z x z ⋅=⋅== ⋅=−⋅=−+=， 解得0y =，令2x =，得1z =，所以()2,0,1n =，111cos ,E nB n EB n EB ⋅==⋅. 由图可知二面角B AF C−−为锐角，故二面角BAF C −−.17. 已知某系统由一个电源和并联的,,A B C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.（1）电源电压X （单位：V ）服从正态分布()404N ，，且X 的累积分布函数为()()F x P X x =≤，求()()4438F F −.（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量T （单位：天）表示某元件的使用寿命，T 服从指数分布，其累积分布函数为()()001104tt G t P T t t <=≤= −≥ ，，.（ⅰ）设120t t >>，证明：()()1212P T t T t P T t t >>=>−；（ⅱ）若第n 天只有元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行条件概率. 附：若随机变量Y 服从正态分布()2N µσ，，则()0.6827P Y −µ<σ=，()20.9545P Y −µ<σ=，()30.9973P Y −µ<σ=.【答案】（1）0.8186 （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）716【解析】【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解;（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()Fx P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.．【小问1详解】由题设得()738420.682P X =<<，()536440.954P X =<<，所以()()()()()()4438443840443840F F F X F X F X F X −=≤−≤=≤≤+≤≤1(0.68270.9545)0.81862=+= 【小问2详解】（ⅰ）由题设得：120t t >>的()[]12111122222()()()1()1()()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >∩>>−≤−>>====>>−≤−112122111(1)444111(1)44t t t t t t −=−−==−−， ()()2112121211()4t t P T t t P T t t G t t −>−=−≤−=−−=,所以()()1212P T t T t P T t t >>=>−． （ⅱ）由（ⅰ）得()()1111(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=−≤=−=，所以第1n +天元件,B C 正常工作的概率均为14． 为使第1n +天系统仍正常工作，元件,B C 必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为2171(1)416−−=.18. 已知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的实轴长为2O 的方程为222x y +=，过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线Γ的方程； （2）求证：π2AOB ∠=； （3）若直线l 与双曲线的两条渐近线的交点为C ，D ，且AB CD λ=，求实数λ的范围.【答案】（1）2212y x −=（2）证明见解析 （3）λ∈【解析】【分析】（1）由题意列式求出212a ,c===，即可得答案；（2）分类讨论，求出00y =和00x =时，结论成立；当000x y ≠时，利用圆222x y +=在()00,P x y 处的切线方程为002x x y y +=，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，计算OA OB ⋅的值，即可证明结论； （3）求出弦长AB 以及CD的表达式，可得λ=. 【小问1详解】由题意知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的实轴长为2故22222a c a c ab == =+，解得212a ,c===，故双曲线Γ的方程为2212y x −=；【小问2详解】证明：设()00,P x y ，则22002x y +=，当00y =时，不妨取)P ，此时不妨取,AB，则0OA OB ⋅= ，即π2AOB ∠=； 同理可证当00x =时，有π2AOB ∠=； 当000x y ≠时，圆222x y +=在()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y −=−−， 即002x x y y +=； 由2200122y x x x y y −= += 可得()222000344820x x x x x −−+−=， 因为切线l 交双曲线于A ，B 两点，故2002x <<，()()22220000340,Δ16434820x x x x −≠=−−−>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则20012122200482,3434x x x x x x x x −+=⋅=−−，故()()121212*********OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+−−⋅ ()212012012201422x x x x x x x x x =+−++ − ()22220000222200082828143423434x x x x x x x x −− =+−+−−−−22002200828203434x x x x −−=−=−−， 故OA OB ⊥，综合上述可知π2AOB ∠=； 【小问3详解】由（2）可得当000x y ≠时，2002x <<，AB ==2212y x −=的渐近线方程为y =，联立002y x x y y=+=，得C，同理可得C ，则CD =022*******234|y ||y ||x y ||x |=−−，由于AB CD λ=，故234AB CDx λ==−由于2002x<<，则λ； 当00y =时，不妨取)P ，则4|AB ||=，此时λ=； 当00x =时，不妨取(P ，则2|AB ||=，此时λ=综合上述可知λ∈. 19. 给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++−+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =−−，求2a 及3a ； （2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈−≥，； （3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由. 【答案】见解析 【解析】【详解】（1）因为0c >，1(2)a c =−+，故2111()242a f a a c a c ==++−+=，3122()2410a f a a c a c c ==++−+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()24f x x c x c x c x c ≥+⇔++−+≥+即只需证明24+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有24+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则24+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立第21页/共21页综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n ∈N ，1n n a a c +−≥ （3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +++−+++即8d c =+ 故21111()248a f a a c a c a c ==++−+=++， 即111248a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11448a c a c ++=⇒=−−， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=−+ 也满足题意； 综上，满足题意的1a 的取值范围是{}[,)8c c −+∞∪−−．【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题．。
天津数学高二下学期知识点
天津数学高二下学期知识点一、函数与方程1. 函数的概念与性质函数的定义、定义域和值域、奇偶性、周期性等性质2. 一次函数与二次函数一次函数的图像与性质、斜率与截距、线性规划等二次函数的图像与性质、平移、对称轴、顶点等3. 指数函数与对数函数指数函数的性质、图像、指数方程、指数不等式等对数函数的性质、图像、对数方程、对数不等式等4. 三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数的概念、性质及图像三角函数的基本关系式、和差化积、积化和差等公式5. 二次方程与不等式二次方程的求根公式、韦达定理、判别式等二次不等式的求解、区间表示法等二、向量与立体几何1. 向量的概念与运算向量的定义、性质、共线与共面、数量积与向量积等2. 空间几何与平面几何直线与平面的方程、两直线的位置关系、两平面的位置关系等点、直线、平面的投影、距离、角度等概念与计算3. 空间图形的性质与计算球的方程、球的投影、球面的切线、相交线等圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等空间图形的性质与计算4. 空间向量与立体几何空间向量的坐标表示、共线与共面、平行、垂直等概念与判定点、线、面的位置关系、距离计算、二面角、球面角等三、概率论与数理统计1. 随机事件与概率随机事件的概念、基本性质、概率的计算、条件概率等事件的独立性、贝叶斯公式等概率相关的概念与问题2. 概率分布与随机变量离散型随机变量与概率分布函数、数学期望、方差、伯努利实验等连续型随机变量与概率密度函数、概率分布、正态分布等3. 抽样与统计推断简单随机抽样与样本均值、样本比例、估计与假设检验等统计图表的应用与解读、误差分析与统计推断的应用等四、数学建模与实际问题1. 建模的基本思路与方法实际问题的数学描述、变量定义与关系建立、模型求解等2. 函数建模与优化问题实际问题的函数描述、约束条件建立、优化问题的求解等3. 排队论模型与运筹学问题实际问题中的排队系统、排队模型的建立与优化求解等4. 数据拟合与预测分析实际问题的数据处理、拟合模型的建立与分析、预测与决策等以上是天津数学高二下学期的主要知识点，通过系统的学习与理解，将帮助学生全面提高数学水平，为高考打下坚实的基础。
辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷一、单选题1．已知全集U =R ，集合2{|60}A x x x =--≤，4{|0}1xB x x -=≥+，那么集合A B ⋂=（ ） A ．[)2,4-B ．(]1,3-C ．[]2,1--D ．[]1,3-2．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是A ．[)3,-+∞B ．(],3-∞-C ．(],5-∞D ．[)3,+∞3．已知,a b ∈R ，则“0a b ==”是“0a b +=”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．等差数列{}n a 前n 项和为7,4n S a =，则13S =（ ） A ．44B ．48C ．52D ．565．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间()–,0∞上是减函数，()10f =，则不等式()2log 0f x >的解集为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．()1,12,2⎛⎫⎪⎭⋃ ⎝+∞D ．()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭6．设,1x y ≥，1a >，1b >.若3x y a b ==，a b +=11x y +最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．127．若命题“[]1,3a ∃∈,()2220ax a x +-->”是假命题，则x 不能等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．238．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()()()22,11,31f x f y f x y f x y f f -=+-==-，则下列结论错误的是（ ）A ．()20f =B ．()42f =C ．()f x 是奇函数D ．()()4f x f x +=二、多选题9．下列选项中正确的是（ ） A ．33log 1.1log 1.2< B ．()()331.1 1.2-<- C ． 1.1 1.20.990.99<D ．30.990.993<10．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n 行白心圈的个数为n a ，黑心圈的个数为n b ，则下列说法正确的是（ ）A ．35a =B ．32b =C ．数列{}n n a b -为等比数列D ．图②中第2023行的黑心圈的个数是2022312-11．已知函数()24,0,31,0,x x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩其中()()()f a f b f c λ===，且a b c <<，则（ ）A ．()232f f -=-⎡⎤⎣⎦B ．函数()()()g x f x f λ=-有2个零点C ．314log ,45a b c ⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭D ．()34log 5,0abc ∈-三、填空题12．已知函数()21ax bf x x +=+是奇函数，且()225f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 13．函数()y f x =的图象与e x y =的图象关于y 轴对称，再把()y f x =的图象向右平移1个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则()g x =.14．某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则至少经过次过滤才能达到市场要求．（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈）四、解答题15．若函数3()4=-+f x ax bx ，当2x =时，函数()f x 有极值43-.(1)求函数的极值；(2)若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围. 16．已知等比数列{}n a 的公比0q >，且3156a a a +=，616a =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3n n n b a λ=⋅-，且{}n b 是严格增数列，求实数λ的取值范围．17．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()31f =，且1x >时，()0f x >. (1)求()1f ；(2)判断()f x 在()0,∞+上的单调性并证明； (3)若()()82f x f x +-≤，求x 的取值范围.18．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()2()log 21,()()2xf x kxg x f x x =+-=+.(1)求()f x 的解析式；(2)若不等式()421(15)x xg a g -⋅+>-恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设2()25h x x mx =-+，若存在1[0,2]x ∈，对任意的2[1,4]x ∈，都有()()12g x h x …，求实数m 的取值范围.19．已知函数()2ln f x ax x =-． (1)当1a =时，求函数()f x 的最小值；(2)试讨论函数()f x 的单调性；(3)当1x >时，不等式()(2)ln 21f x x x x a <-++-恒成立，求整数a 的最大值．。
高二下期数学学哪些知识点
高二下期数学学哪些知识点高二下学期是数学学科的重要阶段，学生将继续深入学习数学的各个领域和知识点。
在这个学期里，学生们将会接触到许多重要而有趣的数学概念和技巧。
本文将介绍高二下期数学需要学习的主要知识点，帮助学生们规划学习进度和集中精力。
一、函数和方程1.1 二次函数与二次方程学习二次函数和二次方程的性质，如顶点坐标、对称轴、零点等。
理解二次函数与二次方程之间的相互关系，并能够运用相关知识解决实际问题。
1.2 一次函数与一次方程巩固对一次函数和一次方程的理解，学习一次函数的斜率、截距等概念，并能够求解一次方程。
灵活应用所学知识解决实际问题。
1.3 无理方程学习无理方程的基本概念和解法，包括平方根、立方根等。
通过练习巩固技巧，提高解无理方程的能力。
二、三角函数2.1 三角函数的概念学习正弦、余弦、正切等三角函数的概念和性质，掌握它们在单位圆上的几何意义。
能够进行基本的函数变换和图像绘制。
2.2 三角函数的基本关系与恒等变换学习三角函数的基本关系和恒等变换，包括和差化积、倍角公式等。
能够熟练运用这些关系和变换简化复杂的三角函数表达式。
三、数列与数学归纳法3.1 等差数列学习等差数列的概念和性质，包括通项公式、和的计算等。
能够应用等差数列解决实际问题。
3.2 等比数列学习等比数列的概念和性质，包括通项公式、和的计算等。
能够应用等比数列解决实际问题。
3.3 数学归纳法掌握数学归纳法的基本思想和运用方法。
能够运用数学归纳法证明数学命题，并应用数学归纳法解决实际问题。
四、解析几何4.1 二维坐标系复习和巩固二维坐标系的基本概念和性质，包括点、直线、距离、斜率等。
能够熟练应用二维坐标系解决几何问题。
4.2 直线与圆的方程学习直线和圆的方程表示，并能够根据特定条件确定直线和圆的方程。
4.3 斜率与角度学习斜率和角度的概念及其相互之间的关系。
能够应用斜率和角度求解几何问题。
五、概率与统计5.1 随机事件与概率学习随机事件和概率的基本概念，掌握概率计算的方法和技巧。
高二下学期期末考试数学试题(图片版)
，则 .………………………………………10分
故函数在 和 上单调递增…………………………………………11分
在 上单调递减.………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由A∩B＝{3,7}得 2＋4 ＋2＝7，解得 ＝1或 ＝－5.………………4分
所以 ， 在 上单调递减，……………………………………10分
.………………………………………………………………………11分
所以 最小值为 .…………………………………………………………………12分
所以至少一种产品研发成功的概率为 .………………………………………5分
(2)依题意, ,……………………6分
由独立试验同时发生的பைடு நூலகம்率计算公式可得:
;………………………………………………7分
;…………………………………………………8分
;……………………………………………………9分
;…………………………………………………………10分
所以 的分布列如下:
………………………………………………………………………………………11分
则数学期望 .
…………………………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数 …………………………………………………1分
所以 ………………………………………………………………3分
当 ＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；……………………………………………………5分
当 ＝－5时，因为2- =7，集合B中元素重复．…………………………………6分
完整版)高二下学期数学教学进度安排
完整版)高二下学期数学教学进度安排高二第二学期数学教学进度表周次。
教学内容。
周课时第1周。
合情推理与演绎推理。
5直接证明与间接证明第2周。
数学归纳法。
5第3周。
数系的扩充与复数的概念。
5第4周。
复数代数形式的四则运算。
5第5周。
变化率与导数。
5第6周。
导数的计算。
5第7周。
生活中的优化问题举例。
5第8周。
定积分的概念。
5第9周。
微积分基本定理。
5第10周。
定积分的简单应用。
5第11周。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
5 排列与组合第12周。
二项式定理。
5第13周。
离散型随机变量及其分布列。
5第14周。
二项分布及其应用。
5第15周。
离散型随机变量的均值与方差。
5正态分布第16周。
回归分析的基本思想及其初步应用。
5独立性检验的基本思想及其初步应用选修4-4《坐标系与参数方程》。
平面直角坐标系。
5 极坐标系简单曲线的极坐标方程柱坐标系与球坐标系简介选修4-5《不等式选讲》。
不等式。
5绝对值不等式第17周。
比较法。
5综合法与分析法反证法与放缩法第18周。
二维形式的柯西不等式。
5 一般形式的柯西不等式排序不等式第19周。
数学归纳法。
5用数学归纳法证明不等式。
高二下数学知识点二项式
高二下数学知识点二项式高二下数学知识点：二项式在高二下学期的数学学习中，二项式是一个重要的知识点。
二项式的概念是数学中的基础，掌握了二项式的性质和运算法则，可以帮助我们解决各种与二项式相关的问题。
本文将详细介绍二项式的定义、展开和理解以及与其相关的一些常用公式和应用。
一、二项式的定义在数学中，二项式是指形如(a + b)^n 的表达式，其中 a 和 b 是实数或者变量，n 是一个非负整数。
这个表达式可以通过二项式定理展开成一个多项式。
二、二项式的展开利用二项式定理，我们可以将二项式展开为多项式。
二项式定理的一般形式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1)* a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示在 n 个元素中选取 k 个元素的组合数，也称为二项式系数。
三、二项式的性质和运算法则1. 二项式展开后，系数之和等于 2^n，即 C(n,0) + C(n,1) +C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n。
2. 二项式展开后，每一项的次数之和等于 n，即 n = 0 * C(n,0) + 1 * C(n,1) + 2 * C(n,2) + ... + n * C(n,n)。
3. 二项式展开后，a 的次数从 n 递减至 0，b 的次数从 0 递增至n。
4. 二项式的系数对称，即 C(n,k) = C(n,n-k)。
5. 二项式展开后的每一项都是一个数列，相邻项的系数之比等于 a:b，即 C(n,k)/C(n,k+1) = a:b。
四、与二项式相关的常用公式和应用1. 二项式系数的性质：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
2. 杨辉三角形：杨辉三角形中的数值就是二项式系数，利用杨辉三角形可以快速求解二项式系数。
高二下数学
高二下数学
Math in Grade 11 (Sophomore Year)
高二下数学
As we delve deeper into the subject, the complexity of mathematical concepts increases significantly.
随着我们深入这门学科，数学概念的复杂性显著增加。
Topics such as trigonometry, vectors, and complex numbers become integral parts of our learning.
三角学、向量和复数等主题成为我们学习的重要组成部分。
The application of these concepts in real-world scenarios broadens our understanding.
将这些概念应用于现实场景中，拓宽了我们的理解。
Problem-solving skills are honed through solving complex mathematical equations.
通过解决复杂的数学方程，我们磨练了问题解决能力。
Collaborative learning is encouraged, fostering a community of mathematicians in the making.
鼓励合作学习，培养了一个正在形成的数学家社区。
With each passing day, our appreciation for the beauty and utility of mathematics grows.
随着时间的推移，我们对数学之美和实用性的欣赏日益增长。
高二数学下学期内容
高二数学下学期内容一、直线与圆：1、直线的倾斜角的范围是在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。
当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0;2、斜率：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα.过两点x1,y1,x2,y2的直线的斜率k= y2-y1/x2-x1，另外切线的斜率用求导的方法。
3、直线方程：⑴点斜式：直线过点斜率为，则直线方程为 ,⑵斜截式：直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为4、，,① ∥ , ; ② .直线与直线的位置关系：1平行 A1/A2=B1/B2 注意检验2垂直 A1A2+B1B2=05、点到直线的距离公式 ;两条平行线与的距离是6、圆的标准方程：.⑵圆的一般方程：注意能将标准方程化为一般方程7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.8、直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.① 相离② 相切③ 相交9、解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形直线与圆相交所得弦长二、圆锥曲线方程：1、椭圆：①方程 a>b>0注意还有一个;②定义: |PF1|+|PF2|=2a>2c; ③ e= ④长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c; a2=b2+c2 ;2、双曲线：①方程 a,b>0 注意还有一个;②定义: ||PF1|-|PF2||=2a<2c; ③e= ;④实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c;渐进线或 c2=a2+b23、抛物线：①方程y2=2px注意还有三个，能区别开口方向; ②定义:|PF|=d焦点F ,0,准线x=- ;③焦半径 ; 焦点弦=x1+x2+p;4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式：5、注意解析几何与向量结合问题：1、 , . 1 ;2 .2、数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即3、模的计算：|a|= . 算模可以先算向量的平方4、向量的运算过程中完全平方公式等照样适用：三、直线、平面、简单几何体：1、学会三视图的分析：2、斜二测画法应注意的地方：1在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。
高二数学下学期知识点梳理
高二数学下学期知识点梳理1.高二数学下学期知识点梳理篇一1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.2.高二数学下学期知识点梳理篇二(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件;(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件;(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件;(5)频数与频率：在相同的.条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例fn(A)=nnA为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率。
(6)频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值nnA，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。
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下学期数学期末测试题（120分钟，150分）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）若32420=++++n n n n n C C C C ，则n 等于（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．10 （2）两条异面直线所成角为θ，则θ的取值范围是（ ）． A ．[0，2π] B ．[0，)2π C ．（0，]2π D ．（0，2π） （3）设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体； 丙：直四棱柱是直平行六面体． 以上命题中，真命题的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3（4）两位投球手投篮的命中率均为21，两人各投一次，恰有一人投中的概率是（ ）． A ．21 B ．31 C ．41 D ．43（5）已知436mm C A =，则m 等于（ ）． A ．6 B ．7 C ．B D ． 9（6）如果三棱锥ABC S -的底面不是等边三角形，侧面与底面所成二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的（ ）．A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心（7）已知三个球的半径之比为1∶2∶3，则最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）． A ．1倍 B ．2倍 C ．541倍 D ．431倍 （8）棱长都等于2的直平行六面体1111D C B A ABCD -中，∠BAD ＝60°，则对角线C A 1与侧面11D DCC 所成角的正弦值为（ ）． A ．21 B ．22 C ．23 D ．43（9）计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）．A ．5544A A ⋅种B ．554433A A A ⋅⋅种C ．554413A A C ⋅⋅种 D ．554422A A A ⋅⋅种（10）对于直线m 、n 和平面α、β，βα⊥的一个充分条件是（ ）．A ．n m ⊥，α//m ，β//nB ．n m ⊥，m =βα ，≠⊂αnC ．n m //，α⊥m ，β⊥nD ．n m //，β⊥n ，≠⊂αm （11）以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ）． A ．6个 B ．12个 C ．18个 D ．30个（12）设6622106)21(x a x a x a a x ++++=- ，则||||||610a a a +++ 的值为（ ）．A ．1B ．64C ．243D ．729二、填空题（每小题4分，共16分）（13）5个不同的小球放入4个不同的盒子中，每盒中至少放一个球，共有________种不同的放法（用数字作答）． （14）一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长是15，则其体积为________．（15）一名射手击中目标的概率为54，他射击3次，恰有1次未击中目标的概率为________． （16）在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角C AD B --'，则AC B '∠cos 等于________．三、解答题 （17）（10分）一袋中有8个白球，4个红球，另一袋中有9个白球，3个红球，从每袋中任取一球，求取得颜色相同的球的概率是多少？（18）（12分），在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 是对角线D A 1和11D B 的公垂线，求证：1//AC EF ．（19）（12分）已知n a a)3(3-展开式的各项系数之和等于53)514(b b -的展开式中的常数项，求na a)3(3-展开式中1-a 项的二项式系数．（20）（12分）如图，二面角D BC A --为60°，13==AC AB ，20==CD BD ，24=BC ．求AD 的长．（21）（14分）如图，已知ABC C B A -111是正三棱柱，D 是AC 中点．（Ⅰ）证明：//1AB 平面1DBC ；（Ⅱ）假设11BC AB ⊥，2=BC ，求线段1AB 在侧面11BCC B 上的射影长．（22）（14分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．（Ⅰ）证明：F D AD 1⊥； （Ⅱ）求AE 与F D 1所成的角； （Ⅲ）证明：平面⊥AED 平面11FD A ；（Ⅳ）设21=AA ，求三棱锥F AA E 1-的体积F AA E V 1-．参考答案一、选择题（1）C ．514202322===++++-n nn n n n C C C C ，51=-n ．（2）C ．当异面直线垂直时，2π=θ． （3）B ．甲是真命题．（4）A ．2121)211()211(21=-+-=⋅P ． （5）B ．1234)3)(2)(1(6)2)(1(⋅⋅⋅⋅---=--m m m m m m m ，7=m ．（6）D ．在底面ABC 内作AB OD ⊥，BC OE ⊥，CA OF ⊥，连结SD 、SE 、SF ．由三垂线定理得AB SD ⊥，BC SE ⊥，CA SF ⊥，∠SDO 、∠SEO 、∠SFO 是各侧面与底面所成的二面角．因为三个角相等，则OF OE OD ==，∴ O 是△ABC 的内心．（7）C ．设三个球的半径分别为r ，2r ，3r ，最大球的表面积22π36)3(π4r r S ==大，两个小球的表面积之和22222π20π16π4)2(π4π4r r r r r S =+=+=．（8）D ．在平面1111D C B A 上作111C D E A ⊥，连结EC ．因为平面⊥11D DCC 平面1111D C B A ，则⊥AE 平面11D DCC ，故CE A 1∠为C A 1与平面11D DCC 所成的角．在11ΔED A 中，211=D A ，=∠E D A 1160°，则3=AE ，连结AC ，32=AC ，42211=+=AC AA C A ，43sin 11==∠C A AE CE A ．（9）D ．4幅油画全排列有44A 种方法，国画全排列，有55A 种方法，将这两类画看作两张画，排列在水彩画的左右位置，有22A 种方法，根据分步计数原理可得554422A A A ⋅⋅．（10）C ．由n m //，（11）B ．12346=-C ．（12）D ．令1-=x ，则729)21(66543210=+=+-+-+-a a a a a a a ．0)2(1161<-=C a ，0)2(3363<-=C a ，0)2(5565<-=C a ，同理00>a ，02>a ，04>a ，06>a ，729||||||6210610=+-+-=+++a a a a a a a ．二、填空题（13）240．将5个球中的任意两个球看作一个球，有25C 种方法，将这4个“球”投入到4个不同盒子中，有44A 种方法，故共有2404425=⋅A C 种方法．（14）9．底面边长为6，外接圆半径3262332==⋅⋅r ，由侧棱长为15，得棱锥的高31215=-=h ，体积93)643(312=⨯⨯=⋅V ． （15）12548．所求概率12548)541()54(223=-=⋅C P ． （16）87．设△ABC 边长为2，由已知DC B '∠＝60°，1===DC D B C B ''，2=AB ，2=AC ，87222122cos 222=-+=∠⋅⋅AC B '．三、解答题（17）从第一个袋中取出一个红球的概率为31124=，取出白球的概率为32128=；从第二个袋中取出一个红球的概率为41123=，取出白球的概率为43129=．从中各取出一球，得颜色相同的球的概率为12743324131=⨯+⨯． （18）连结BD 、B A 1．由三垂线定理有BD AC ⊥1，D A AC 11⊥，则⊥1AC 平面DB A 1．∵ 11D B EF ⊥，BD D B //11，∴ BD EF ⊥．∵ D A EF 1⊥，∴ ⊥EF 平面BD A 1．∴ 1//AC EF ． （19）对于53)514(bb -展开式中，r r rr r r C bb C T )1()51)4(55351-=(-=-+r -⋅54 651025r rb--⋅．令06510=-r ，则2=r ．得常数项为7132253254)1(=-=-⋅⋅C T ．令1=a ，则n a a)3(3-展开式各项系数之和为n 2，依题意722=n ，∴ 7=n ．于是对73)3(a a-展开式中62157737713)1()()3(---+⋅-=-=r r r rr r r r aC a aC T ．令16215-=-r ，得3=r ．∴ 73)3(a a-的展开式中1-a 项的二项式系数为3537=C ．（20）取BC 中点E ，连结AE 、DE ．∴ AC AB =，∴ BC AE ⊥．同理BC DE ⊥， ∴ ∠AED 为二面角D BC A --的平面角，∴ ∠AED ＝60°，在Rt ΔABE 中，∵ 13=AB ，12=BE ，∴ 5=AE ．在Rt ΔDEC 中，∵ 12=EC ，20=DC ， ∴16=DE ．在ΔADE 中，∵ 5=AE ，16=DE ，=∠AED 60°，∴ cos 1652165222⨯⨯⨯-+=AD 60°＝201，∴ 201=AD ．（21）（Ⅰ）∵ ABC C B A -111是正三棱柱，∴ 四边形11BCC B 是矩形，连结C B 1交1BC 于E ，则EC E B =1．连结DE ．在△C AB 1中，∵ DC AD =．∴ 1//AB DE ，∵ ⊄1AB 平面1DBC ，≠⊂DC 平面1DBC ，∴ //1AB 平面1DBC ．（Ⅱ）作BC AF ⊥，垂足为F ．∵ 面⊥ABC 面11BCC B ．∴ ⊥AF 平面11BCC B ，连结F B 1，则F B 1是1AB 在平面11BCC B 内的射影．∵ 11AB BC ⊥，∴ F B BC 11⊥，∵ 四边形11BCC B 是矩形，∴11BCC BF B ∠=∠＝90°，又BC C B FB 11∠=∠，∴ BF B 1∆∽1BCC ∆．∴BB BFCC F B BC B B 1111==．又F 是正三角形ABC 的BC 边的中点，∴ 22121=⨯==⋅BC BF B B ，于是322121=+=BF B B F B ，∴ 31=F B ．（22）（Ⅰ）∵ 1111D C B A ABCD -是正方体，∴ ⊥AD 面1DC ．∴ ≠⊂F D 1面1DC ，∴F D AD 1⊥．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结G A 1、FG ．易证11A GFD 是平行四边形．F D G A 11//．设G A 1与AE 相交于点H ，1AHA ∠是AE 与F D 1所成的角．∵ E 是1BB 的中点，∴ Rt △AG A1≌Rt △ABE ，GAH A GA ∠=∠1，∴ =∠1AHA 90°，即AE 与F D 1所成的角为直角．（Ⅲ）由（Ⅰ）知F D AD 1⊥，由（Ⅱ）得F D AE 1⊥，∵ A AE AD = ，∴ ⊥F D 1面AED ．∵≠⊂F D 1面11FD A ，∴ 面⊥AED 面11FD A ．（Ⅳ）∵ 体积E AA F F AA E V V 11--=，又⊥FG 面11A ABB ，三棱锥E AA F 1-的高21==AA FG ，面积2221212Δ111=⨯==A ABB E AA S S 正方形． ∴ 3422313111Δ=⨯⨯=⨯⨯=-FG S V E AA F AA E ．。