七年级数学上册第二章几何图形的初步认识2.7角的和与差第2课时同步训练新版冀教版

第2课时互余、互补及其性质
知识点 1 互余、互补的概念
1．若∠α与∠β互为余角，则∠α＋∠β＝________；若∠α与∠β互为补角，则∠α＋
∠β＝________．
2．[xx·常德]若一个角为75°，则它的余角的度数为( )
A．285° B．105° C．75° D．15°
3．若∠A＝34°，则∠A的补角的度数为( )
A．56° B．146° C．156° D．166°
4．一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是________．
5．已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补．若∠1＝63°，则∠3＝________．
6．如图2－7－17，O是直线AE上的一点，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)图中互余的角有哪几对？
(2)图中互补的角有哪几对？
图2－7－17
知识点 2 互余、互补的性质
7．(1)若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则
∠2________∠3(填“>”“<”或“＝”)，理由：
________________________．
(2)若∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，且∠1＝∠2，则∠3________∠4(填“>”“<”或“＝”)，理由：________________________．
(3)若∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，则
∠2________∠3(填“>”“<”或“＝”)，理由：
________________________．
(4)若∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠4＝180°，且∠1＝∠2，则∠3________∠4(填“>”“<”或“＝”)，理由：________________________．
8．如图2－7－18，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°.
(1)求出∠AOB及其补角的度数；
(2)请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
图2－7－18
9．将一副三角尺按如图2－7－19所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是( )
图2－7－19
10．下列说法正确的是( )
A ．互补的两个角一个是锐角，一个是钝角
B ．180°的角是补角
C ．互余的两个角可能是等角
D ．只有锐角有补角
11．已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值等于( )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．180°
12．如果一个角和它的余角的比是1∶3，那么这个角的度数为________．
13．已知∠α与∠β互补，且∠α>∠β，试判断∠β与12
(∠α－∠β)的数量关系．
14.如图2－7－20，将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．
(1)若∠DCE ＝35°，求∠ACB 的度数；
(2)若∠ACB ＝140°，求∠DCE 的度数；
(3)写出∠ACB 与∠DCE 的数量关系，并说明理由．
图2－7－20
15．如图2－7－21，O为直线AB上的一点，∠AOE为直角，∠DOF＝90°，OB平分∠COD，则图中与∠DOE互余的角有哪些，与∠DOE互补的角有哪些？
图2－7－21
16．如图2－7－22，∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝2∶3∶4，射线OM，ON分别平分∠AOB与∠COD，已知∠MON＝90°，则∠AOB等于( )
图2－7－22
A．20° B．30° C．40° D．45°
17．如图2－7－23①，∠AOB，∠COD都是直角．
(1)试猜想，∠AOD和∠BOC在数量上是否存在相等、互余或互补的关系？你能说明你的
猜想的
正确性吗？
(2)当∠COD绕点O旋转到图2－7－23②所示的位置时，(1)中的猜想还成立吗？
图2－7－23
【详解详析】
1．90°180°
2．D [解析] 它的余角的度数为90°－75°＝15°.故选D.
3．B [解析] ∠A的补角的度数为180°－34°＝146°.故选B.
4．144°38′ [解析] 根据题意得这个角为90°－54°38′＝35°22′， 则这个角的补角为180°－35°22′＝144°38′.
5．153° [解析] 因为∠1是∠2的余角，∠3是∠2的补角，所以∠3－∠1＝90°，所以∠3＝90°＋63°＝153°.
6．解：(1)∠AOB 与∠DOE ，∠AOB 与∠COD ，∠COD 与∠BOC ，∠BOC 与∠DOE 都是互余的角．
(2)∠AOB 与∠BOE ，∠BOC 与∠BOE ，∠AOC 与∠COE ，∠COD 与∠AOD ，∠EOD 与∠AOD 都是互补的角．
7．(1)＝ 同角的余角相等 (2)＝ 等角的余角相等 (3)＝ 同角的补角相等 (4)＝ 等角的补角相等
8．解：(1)∠AOB ＝∠BOC ＋∠AOC ＝70°＋50°＝120°，
其补角为180°－∠AOB ＝180°－120°＝60°.
(2)∠DOC ＝12∠BOC ＝12
×70°＝35°， ∠AOE ＝12∠AOC ＝12
×50°＝25°. ∠DOE 与∠AOB 互补．
理由：因为∠DOE ＝∠DOC ＋∠COE ＝∠DOC ＋∠AOE ＝35°＋25°＝60°，
所以∠DOE ＋∠AOB ＝60°＋120°＝180°，
故∠DOE 与∠AOB 互补．
9．C
10．C.
11．C
12．[22.5°
[解析] 根据题意，知这个角的度数是90°×14
＝22.5°. 13．解：因为∠α与∠β互补，
所以∠α＋∠β＝180°，
所以∠β＝180°－∠α，
所以∠β的余角为90°－(180°－∠α)＝∠α－90°＝∠α－12(∠α＋∠β)＝12
∠α－
12∠β＝12
(∠α－∠β)， 所以∠β＋12
(∠α－∠β)＝90°. 14．解：(1)因为∠ECB ＝90°，∠DCE ＝35°，
所以∠DCB ＝90°－35°＝55°.
因为∠ACD ＝90°，
所以∠ACB ＝∠ACD ＋∠DCB ＝145°.
(2)因为∠ACB＝140°，∠ACD＝90°，
所以∠DCB＝140°－90°＝50°.
因为∠ECB＝90°，
所以∠DCE＝90°－50°＝40°.
(3)∠ACB＋∠DCE＝180°(或∠ACB与∠DCE互补)．
理由：因为∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，
所以∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，
∠DCE＝∠ECB－∠DCB＝90°－∠DCB，
所以∠ACB＋∠DCE＝180°.
15．[解析] 本题要根据余角、补角的定义，结合图形认真观察．
解：因为∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝180°－90°＝90°，
所以∠BOD＋∠DOE＝90°，
即∠DOE与∠BOD互余．
因为OB平分∠COD，
所以∠BOC＝∠BOD，
所以∠DOE与∠BOC互余．
因为∠DOF＝90°，
所以∠DOE＋∠EOF＝90°，
所以∠DOE与∠EOF互余．
即与∠DOE互余的角有∠BOD，∠BOC，∠EOF.
因为∠DOE＋∠BOF＝∠DOE＋∠EOF＋∠BOE＝∠DOF＋∠BOE＝180°，所以∠DOE与∠BOF互补．
因为∠DOE＋∠COE＝∠DOE＋∠COB＋∠BOE＝∠DOE＋∠BOD＋∠BOE＝∠BOE＋∠BOE＝180°，
所以∠DOE与∠COE互补，
即与∠DOE互补的角有∠BOF，∠COE.
16．B
17．解：(1)猜想：∠AOD与∠BOC互补．
因为∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝90°＋∠BOD，
∠BOD＝90°－∠BOC，
所以∠AOD＝90°＋90°－∠BOC，
所以∠AOD＋∠BOC＝180°，
即∠AOD与∠BOC互补．
(2)(1)中的猜想仍然成立．
因为∠AOB，∠COD都是直角，
所以∠AOB＋∠COD＝180°.
又因为∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOD＝ 360°，所以∠AOD＋∠BOC＝180°，
所以∠AOD与∠BOC互补．
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