第19章一元二次方程复习练习2011.3.9
人教版九年级数学上册 一元二次方程单元复习练习(Word版 含答案)
32
6
线上
【解析】
【分析】
（1）由四边形 PFCE 是平行四边形，可得 PF∥CE, 由 PD QC 得四边形 CDPQ 为平行
四边形，即 PD CQ ，列式8 t 2t ，计算可解.
（2）由 PE ∥ AC ，得
DP
DE
，代入时间 t
，得 8 t
DE
解得 DE
6
3 t
，
DA DC
86
4
CE 3 t 4
即
3 4
t
2
(2t)2
(8
t)2
6
3t 4
2
解得 t1 5
73 6
25
， t2
5
73 25 （舍） 6
所以当 t 5 73 25 时，点 E 在线段 PQ 的垂直平分线上． 6
【点睛】 本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方 程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.
再通过
S
S
梯形
CDPQ
S△PDE
S△CEQ
构建联系，可列函数式
S
9 8
t2
9t(0
t
8)
.
（3）由 PQE 的面积为矩形 ABCD面积的 9 得 S 9 t2 9t 9 8 6 ，可解
32
8Leabharlann 32当 t 2s 或 6s 时， PQE 的面积为矩形 ABCD 面积的 9 ． 32
（4）当点 E 在线段 PQ 的垂直平分线上时， EQ PE ，得 EQ2 PE2 ，由 Rt CEQ 与
（2）∵ AP＝t，PQ＝2AP，
∴ PQ＝2t，
一元二次方程单元测试题及答案
一元二次方程单元测试题及答案一、选择题1. 一元二次方程的一般形式是：A. ax^2 + bx + c = 0B. ax^2 + bx = 0C. ax^2 + c = 0D. ax + b = 0答案：A2. 下列哪个方程不是一元二次方程？A. x^2 - 3x + 2 = 0B. x^2 - 5 = 0C. 2x + 5 = 0D. 3x^2 - 7x = 0答案：C3. 一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的判别式是：A. b^2 - 4acB. b^2 + 4acC. a^2 - 4bcD. a^2 + 4bc答案：A二、填空题4. 解一元二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0，其判别式为 _______ 。
答案：15. 如果一元二次方程的根是 x1 = 2 和 x2 = 3，那么这个方程可以写成 _______ 。
答案：x^2 - 5x + 6 = 0三、解答题6. 解一元二次方程 2x^2 - 7x + 3 = 0。
解：首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25。
由于Δ > 0，方程有两个不相等的实数根。
根据求根公式 x = (-b ± √Δ) / (2a)，我们得到：x1 = (7 + √25) / 4 = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3，x2 = (7 - √25) / 4 = (7 - 5) / 4 = 2 / 4 = 0.5。
7. 已知方程 x^2 + 4x + k = 0 的一个根是 x = -2，求 k 的值。
解：将 x = -2 代入方程，得到 (-2)^2 + 4 * (-2) + k = 0。
简化得 4 - 8 + k = 0，解得 k = 4。
四、应用题8. 一个长方形的长是宽的两倍，面积是 24 平方米，求这个长方形的长和宽。
解：设宽为 x 米，长为 2x 米。
第19章一元二次方程复习练习
1 .解下列方程2.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法•请从以下 一元二次方程中任选一个.，并选择你认为适当的方法解这个方程. ① x 2-3x 1=0 ；②（x-1）2=3 ；③ X 2-3X = 0 ；④ X 2-2X = 4 .3. 一元二次方程 x 2 -2x • 1 =0的解是 ___________________________ .4. 方程X 2二4x 的解是 A . x=4B . x=2C. x=4 或 x = 0D . x = 05 .方程x(x -1) =x 的解是 __________________________ .第19章元二次方程(1) (2x + 3)2- 25= 0.(直接开平方法)(2) 2x 2 - 7x - 2 = 0 (配方法)2(3) x 2 =3x 2 (因式分解法)2(4) 2x ■ x - 6 = 0 (公式法)6. 一元二次方程（x 6）2 =5可转化为两个一次方程， 其中一个一次方程是 x ,5 ,则另一个一 次方程是 _________________________________ .27. 用配方法解方程x -4x ・2=0，下列配方正确的是 A . (x-2)2=2B.(X 2)2 =2C.(X-2)2 工「28. 下列方程中，有两个不相等实数根的是9 .一元二次方程x 2 -4x • 4 = 0的根的情况是210 •已知一元二次方程 x px 0的一个根为-3，则p =x 2 -mx - 2m =0的一个根为1,则方程的另一根为212. 已知x =1是方程x ax ^0的一个根，则方程的另一个根为 A . -2B . 2C. -3D . 3213. 三角形的每条边的长都是方程 x -6x ，8=0的根，则三角形的周长是 ______________ 14. 某商品原价100元，连续两次涨价 x%后售价为120元，下面所列方程正确的是则根据题意列方程为D .(X -2)2 =62 2A. x 4=0B. 4x —4x 仁0 2D. x 2x — 1= 0A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根 C.有一个实数根D.没有实数根11.关于x 的一元二次方程A . 100(1-x%2 =120.100(1+ x%2 =120 C. 100(1+2x%2 =120 .100(1 + x 2%2 =12015. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的 48.6元，则平均每次降价的百分率16.某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 81%,则平均每次降价A. 10%B. 19%C. 9.5%D. 20%17.某商场第一季度的利润是82.75万元, 其中一月份的利润是 25万元，若利润平均月增长率为 x ,A . 25 1 x 2 二 82.75.25 50x =82.75 C. 25 75x =82.75.2511 x ］亠 x2 -82.7518. 已知一元二次方程有一个根是 2，那么这个方程可以是 ________________________________ 。
一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案)
一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：建立一元二次方程此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题，[课时作业]的第6、7题。
１．一元二次方程的概念此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。
2.一元二次方程的解的含义利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。
点击一：一元二次方程的定义答案：（5）针对练习。
答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。
故m≠－3点击二：一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式.其中，尤其注意a≠0的条件，有了a≠0的条件，就能说明ax2+bx+c＝0是一元二次方程.若不能确定a≠0，并且b≠0，则需分类讨论：当a≠0时，它是一元二次方程；当a＝0时，它是一元一次方程.针对练习3:答案：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).点击三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.针对练习答案： m 3+2m 2+2009＝m 3+ m 2+m 2+2009＝m （m 2+ m ）+ m 2+2009＝m+ m 2+2009＝1+2009＝2010.类型之一：一元二次方程的定义例1.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？ 【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.【解答】由mx 2－3x=x 2－mx+2得到（m －1）x 2+（m －3）x －2=0,所以m －1≠0，即m≠1.所以关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足m≠1.【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.类型之二：考查一元二次方程一般形式一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是已知数，a≠0），其中a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数c 叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。
九年级一元二次方程实数根专项训练题
一、引言在初中数学教学中，一元二次方程是一个重要的内容。
九年级学生通常在学完一元一次方程后，会接触到一元二次方程的内容。
其中，实数根是一元二次方程中的重要概念，也是学生较为薄弱的部分。
为了帮助学生更好地掌握一元二次方程实数根的相关知识，特进行专项训练，以便提升他们的学习兴趣和能力。
二、一元二次方程实数根相关知识1. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
2. 一元二次方程实数根的判别式一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根存在条件是Δ=b²-4ac≥0。
其中，Δ称为判别式。
三、专项训练题以下是一些九年级一元二次方程实数根专项训练题，希望同学们认真思考，勇敢解答。
1. 解下列方程：（1）3x²-4x-1=0（2）x²-5x+6=0（3）2x²-7x+3=02. 某一元二次方程的判别式为16，求此方程的系数a、b、c的取值范围。
3. 如果一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，求证：4ac<b²。
4. 若一元二次方程x²+px+q=0 有两个不相等的实数根，则p²-4q>0。
5. 某一元二次方程的实数根之和为7，实数根之积为10，求此方程的一元二次方程。
6. 解下列一元二次方程：（1）x²-3x-10=0（2）2x²+5x-3=0（3）3x²-4x+1=07. 某一元二次方程实数根之和为9，实数根之积为20，求此方程。
8. 某一元二次方程的判别式为0，求证此方程有两个相等的实数根。
四、总结通过以上专项训练题的训练，相信同学们对一元二次方程实数根的相关知识有了更深入的理解。
掌握一元二次方程相关知识，不仅有助于提高数学成绩，也有助于锻炼逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
希望同学们能在学习中保持耐心和毅力，不断提升自己的数学水平。
《一元二次方程》全章复习和巩固—巩固练习(提高).doc
《一元二次方程》全章复习与巩固一巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 关于X 的一元二次方程（a-1） x 2+x+|a|-l =0的一个根是0,则实数a 的值为（）A. -1B. 0C. 1D.—1 或 12 12. 已知a 是方程x 2+x - 1=0的一个根，则 -------- z —的值为（）亠 *- aD. 1其中c 为整数，则c 的最小值为何？（）D. 61 4. 已知关于兀的方程（m-2）x 2 +2mx + m + 3 = 0有实根，则加的取值范围是（）A. /W H 2B. m <6 且加工2C. m < 6D. m < 65. 如果是a 、0是方程2X 2+3X = 4的两个根，则夕+02的值为（）A. 1B. 17C. 6.25D. 0.256. 在一幅长80 cm,宽50 cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm ；设金色纸边的宽为x cm,那么x 满足的方程是（）A. X 2+130X -1 400=0B. x 2+65x-350=0C. x 2-130x-l 400=0D. x 2-65x-350=07.方程x'+ax+l 二0和x 2-x-a=0有一个公共根，则a 的值是（）A. 0B. 1C. 2D ・ 3&若关于JV 的一元二次方程x 2 + fcr + 4V-3=0的两个实数根分别是 且满足x i + x 2=x i x 2.则k 的值为（ ）A.—1或」B. -1C. 2D.不存在44二、填空题9 .关于x 的方程<7（x+m ）2 +/? = 0的解是%i= — 2 , &二1 （日，/〃，b 均为常数，曰工0）,则方程 a （x +加+ 2尸+/? = 0的解是 ______________ .C. - 1 3.若方程式（3x ・c ） 2・60二0的两根均为正数, A. 1 B. 8 C. 1610.已矢口关于x的方程X2+2 （a+1） x+ （3a"+4ab+4b"+2） =0有实根，则a> b的值分别为 _______ ・11.己知a、B是一元二次方程X2-4X-3= 0的两实数根，贝lJ（a-3）（p-3）=12.当m _______ 时，关于x的方程(^-3)x Mi-7-x = 5是一元二次方程；当m _______________ 时，此方程是一元一次方程.13.把一元二次方程3X2-2X-3=0化成3 (x+m)2=n的形式是____________ ；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a二 _______ .14.已知(/+b+l)(/+b — R = 5,则产+b的值等于________________________ .15.已知?-3x4-2 = 0,那么代数式护二严+1的值为x-116.当x二 _______ 时，J/ +3兀与J77T?既是最简二次根式,被开方数又相同.三、解答题17.设m为整数，且4Vm<40,方程X2 - 2(2m- 3)x +4m2 -}4m+3 = 0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根.fl18.设(a, b)是一次幣数y =(k-2)x+m与反比例幣数y =—的图象的交点，且a、b是关于x的一元二次x方程尬2+2伙一3)兀+伙-3) = 0的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m、n为常数.(1)求k的值；(2)求一次函数与反比例函数的解析式.19.长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望.为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给了以下两种优惠方案以供选择：①打9. 8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？20.已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.【答案与解析】 一、选择题1. 【答案】A ；【解析】先把x=0代入方程求出a 的值，然后根据二次项系数不能为0,把a=l 舍去.2. 【答案】D ；2 1【解析】先化简 -------- —,由a 是方程x 2+x - 1=0的一个根，得a 2+a - 1-0,则a 2+a=l,cr — 1 CT _ a再整体代入即可.解：原式二 2Q —S + 1)二_1_ ,G (G + 1)(G -1) d (Q + l)Va 是方程x 2+x - 1=0的一个根， /.a 2+a - 1=0, 即 a 2+a=l,•I 原式二 -- -- =1・d(d + l)故选D.3. 【答案】B ；【解析】利用平方根观念求出x,再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c 的最小值即可.解：(3x - c) 2 - 60=0(3x - c) 2=60 3x - c=±V60 3x=c±760 x 二"±扌又两根均为正数，且V60>7. 所以整数c 的最小值为8 故选B.4. 【答案】D ；【解析】△$()得m<6f 方程有实根可能是一元二次方程有实根，也可能是一元一次方程有实根. 5. 【答案】C ；【解析】/+02= (a+0)J2妙=6.256. 【答案】B ；【解析】上、下两条金色纸边的面积一样，左、右两条金色纸边的面积一样,・・・2(80+x) • x+2(50+x)・ x+80X50=5 400.整理得 x 2+65x-350=0.【答案】C ；【解析】提示：先求公共根m=-l,再把这个公共根呼-1代入原来任意一个方程可求出a 二2.【答案】C ；【解析】由题意，得：当k = —\时，不符合k = -\舍去，故"色・ 1 或二 544二. 填空题7. 8.9.【答案】XL - 4, x2= - 1.【解析】解：T关于x的方程a (x+m) 2+Z F O的解是乂二-2,应二1,(臼，刃，方均为常数，臼H0), 则方程a (x+〃什2) ?+工0 的解是x{- - 2 - 2= - 4,曲二1 ~ 2= - 1.故答案为：Xi= - 4, x2= - 1.10.【答案】3=1, b = —•2【解析】判别式△ = [2 (a+1)] -4 (3a2+4ab+4b2+2)=4 (a2+2a+l) -仃2a2+16ab+16b2+8)=-8 a2-16ab-16b2+8a-4=-4 (2a2+4ab+4b2-2a+l)=-4 [ (a2+4ab+4b2) + (a2~2a+1)].=-4[(a+2b)2+(a-l)2].因为原方程有实根,所以-4 [ (a+2b)2+ (a-1)2] NO,(a+2b)2+(a-l)2^0,又・・・(a+2b)空0, (a-l)空0,・•・ a-l= 0 且a+2b = 0,, 1•: a=l, b = ------------ .211.【答案】-6；【解析】•・• u、B是一元二次方程X2-4X-3= 0的两实数根，.・・ a + B =4, a p =-3.・・・(Q_3)(0_3)= Q0_3(Q +0)+9=_3_3X4+9=_6.12.【答案】-3； ±2血或3或±=厅・(1V io13.【答案】3 x-- = —； 2或6.I 3丿3【解析】即(~)2=2a-3.a=2或6.214.【答案】4；【解析】原方程化简为：(x2+y2)2-2(x2+y2)-8=0,解得x2+y2=-2或4, -2不符题意舍去.15.【答案】-2；【解析】原方程化为：'A 厅—以：V㈠_ $ = (x_ 1尸_ (x十1) = / _ 3x = _2 . x-116.【答案】-5；【解析】由X2+3X=X+15解岀x=-5或x=3,当x二3时，+3x与Jx + 15不是最简二次根式,x二3舍去•故x=-5.三、解答题17.【答案与解析】解方程 / - 2(2叨一3)x + 4m2一14叨+ 8 = 0 ,2(2血一3) 土J[—2(2诙一3)『一4 x 1 x (4沪-14^ + 8)=(2m - 3) ± J2血 + 1 »・・•原方程有两个不相等的整数根，・・・2m+l为完全平方数，又Tm为整数，且4Vm<40,r.m=12 或24.・••当m二12 时，x = 24 — 3±j2xl2 + l = 21±5, ^I =26,X2 = 16；当m二24 时，x —±j2x24 + l =45±7,心=52,花= 38.18.【答案与解析】(1)因为关于x的方程尬"+2伙一3)兀+伙一3) = 0有两个不相等的实数根，所以｛ A . 2 解得k<3且kHO,[A=/?2 - 4ac = 4伙一3)2一4R伙一3) > 0,又因为一次函数y =(k-2)x+n)存在，且k为非负整数，所以k=l.(2)因为k=l,所以原方程可变形为X2-4X-2=0,于是由根与系数的关系知a+b=4, ab=-2, 又当k = l吋，一次函数)，=一兀+加过点(a, b),所以a+b=m,于是m=4,同理可得n = -2, 故所求的一次幣数与反比例幣数的解析式分别为y = -兀+ 4与y = -—.x19.【答案与解析】(1)设平均每次下调的百分率是x.依题意得5000(1-X)，=4050.19解得xi = 10%, X2=—(不合题意，舍去).10答：平均每次下调的百分率为10%.(2)方案①优惠：4050XI00X (1-0. 98)=8100(元)；方案②优惠：1.5X100X 12X2 = 3600(元)・・・8100>3600. 选方案①更优惠.20.【答案与解析】(1)设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要(2x-10)天.根据题意，有丄+ —-—=—,x 2 兀一10 12解得XL3, X2二20.经检验均是原方程的根，XL3不符题意舍去.故x=20.・・・乙队单独完成需要2x-10=30(天).答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天.(2)设甲队每天的费用为y元，则由题意有12y+12(y-150)=138 000,解得y二650 .・•・选甲队时需工程费用650X20=13 000,选乙队时需工程费用500X30=15 000.・・• 13 000 <15 000,•••从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.。
一元二次方程练习题及答案
一元二次方程练习题及答案一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在实际生活和数学解题中都有着广泛的应用。
下面为大家准备了一些一元二次方程的练习题，并附上详细的答案解析，希望能帮助大家更好地掌握这部分知识。
一、选择题1、方程$x^2 4 ＝ 0$的解是（）A ＄x ＝ 2$B ＄x ＝－2$C ＄x_1 ＝ 2$，＄x_2 ＝－2$D ＄x_1＝＼sqrt{2}＄，＄x_2 ＝＼sqrt{2}＄答案：C解析：＄x^2 4 ＝ 0$，则$x^2 ＝ 4$，所以$x ＝ ± 2$，即$x_1 ＝ 2$，＄x_2 ＝－2$。
2、方程$x^2 2x 3 ＝ 0$的根的情况是（）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法判断答案：A解析：在方程$x^2 2x 3 ＝ 0$中，＄a ＝ 1$，＄b ＝－2$，＄c ＝－3$，判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac ＝（－2)＾2 4×1×（－3) ＝ 16 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
3、用配方法解方程$x^2 6x ＋ 4 ＝ 0$，下列配方正确的是（）A ＄（x 3)＾2 ＝ 5$B ＄（x 3)＾2 ＝－5$C ＄（x 3)＾2 ＝13$ D ＄（x ＋ 3)＾2 ＝ 5$答案：A解析：＄x^2 6x ＋ 4 ＝ 0$，＄x^2 6x ＝－4$，＄x^2 6x ＋ 9 ＝－4 ＋ 9$，＄（x 3)＾2 ＝ 5$。
二、填空题1、一元二次方程$x^2 ＋ 3x ＝ 0$的解是________。
答案：＄x_1 ＝ 0$，＄x_2 ＝－3$解析：＄x(x ＋ 3) ＝ 0$，则$x ＝ 0$或$x ＋ 3 ＝ 0$，所以$x_1 ＝0$，＄x_2 ＝－3$。
2、若关于$x$的一元二次方程$（k 1)x^2 ＋ 2x 2 ＝ 0$有实数根，则$k$的取值范围是________。
答案：＄k ≥ ＼frac{1}｛2}＄且$k ≠ 1$解析：因为是一元二次方程，所以$k 1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$。
九年级一元二次方程单元复习练习(Word版 含答案)
解：（1）设运动时间为 t 秒时，如图，过点 P 作 PE⊥BC 于 E， 由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t， ∵ 点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm， ∴ 62+（16﹣5t）2＝100，
解得 t1= 8 ，t2= 24 ， 55
∴ t＝ 8 s 或 24 s . 55
2
2
解得 t＝18＞8（不符合题意舍弃），
综上所述，经过 4 s 或 6 s 时，△ POQ 的面积为 12 cm2．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的 应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．
2．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均 每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可 增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？ （2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？ 【答案】（1）每千克茶叶应降价 30 元或 80 元；（2）该店应按原售价的 8 折出售． 【解析】 【分析】 （1）设每千克茶叶应降价 x 元，利用销售量×每件利润=41600 元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价 80 元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】 （1）设每千克茶叶应降价 x 元．根据题意，得：
（400﹣x﹣240）（200+ x ×40）=41600． 10
化简，得：x2﹣10x+240=0．
解得：x1=30，x2=80．
一元二次方程单元复习练习(Word版 含答案)
∴S△ACO＝ × ＝1 ，S△ODB＝ ×3＝ ．∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠AOC＋∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD．
又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB．
∴ ＝ ＝ ，∴ ＝± （舍负取正），即 ＝ ．
（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；
②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x千克，则
∴在Rt△AOB中，tan∠OBA＝ ＝ ．
4．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根．
求k的取值范围；
设方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求k的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
根据方程有实数根得出 ，解之可得．
利用根与系数的关系可用k表示出 和 的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
2009年底汽车数量为14.4×90%+y，
2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，
∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，
∴y≤2．
答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．
考点：一元二次方程—增长率的问题
2．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习
《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是考试中经常考察的内容之一、为了巩固和提高对一元二次方程的理解和运用能力，下面给出一套巩固练习题，希望通过这些题目的训练，能够加深对一元二次方程的理解和掌握程度。
1.求解以下方程：（1）$x^2-7x+10=0$（2）$2x^2+3x-2=0$（3）$4x^2+4x+1=0$（4）$x^2-\sqrt{3}x-\frac{1}{2}=0$（5）$x^2-3\sqrt{2}x+9=0$2.解以下方程组：（1）$\begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases}$（2）$\begin{cases} x^2+y^2=13\\ x-y=2 \end{cases}$（3）$\begin{cases} y=x^2+3x-2\\ y=2x-1 \end{cases}$3.求下列函数图象与$x$轴的交点：（1）$y=3x^2-5x+2$（2）$y=x^2-4x+4$（3）$y=2x^2-4x+2$（4）$y=x^2+2x+1$（5）$y=4x^2+4x+1$4.求以下条件的一元二次方程：（1）方程的解为$x=-1,3$（2）方程的解为$x=2,-2$（3）方程的一个解为$x=1$，另一个解为$x=2$（4）当$x=1$时，方程的解为$y=5$，当$x=3$时，方程的解为$y=13$（5）当$x=2$时，方程的解为$y=0$，当$x=4$时，方程的解为$y=12$ 5.求以下方程的解集：（1）$，x^2-4，=5$（2）$，x-3，-，x+1，=2$（3）$，3x+1，=2x+3$（4）$，x+1，+2，x-2，=，x+2，+，x-1，$（5）$，x-1，+，x-2，+，x-3，+\cdots+，x-2024，=2024$以上是一元二次方程的巩固练习题，希望通过这些题目的练习，能够加深对一元二次方程的理解和掌握程度。
八年级数学下册：第19章一元二次方程同步测试八年级下试题
第19章一元二次方程测试题一、制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。
二、填空题：〔每一小题3分，一共30分〕；1、方程x x 3122=-的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ； 2、22___)(_____6+=++x x x ； 22____)(_____3-=+-x x x3、方程0162=-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ;4、假如二次三项式16)122++-x m x （是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.5、假如一元二方程043)222=-++-m x x m （有一个根为0，那么m= ;6、方程032=+-mx x 的两个相等实根，那么=m ；7、方程)34(342-=x x 中，⊿= ，根的情况是 ；8、假设方程02=++q px x 的两个根是2-和3，那么q p ,的值分别为9、方程0132=+-x x 的两根是21,x x ；那么：=+2221x x ，=+2111x x 。
10、方程022=-+kx x 的一个根是1，那么另一个根是 ，k 的值是 。
三、选择题：〔每一小题3分，一共24分〕1、以下方程是关于x 的一元二次方程的是〔 〕；A 、02=++c bx axB 、2112=+x x C 、1222-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 2、方程()()24330x x x -+-=的根为〔 〕；〔A 〕3x = 〔B 〕125x = 〔C 〕12123,5x x =-= 〔D 〕12123,5x x == 3、解下面方程：〔1〕()225x -=〔2〕2320x x --=〔3〕260x x +-=，较适当的方法分别为〔 〕〔A 〕〔1〕直接法方〔2〕因式分解法〔3〕配方法〔B 〕〔1〕因式分解法〔2〕公式法〔3〕直接方法〔C 〕〔1〕公式法〔2〕直接方法〔3〕因式分解法〔D 〕〔1〕直接方法〔2〕公式法〔3〕因式分解法4、方程5)3)(1(=-+x x 的解是 〔 〕；A. 3,121-==x xB. 2,421-==x xC. 3,121=-=x xD. 2,421=-=x x5、方程0322=-+x x 的两根的情况是〔 〕；A 、没有实数根；B 、有两个不相等的实数根C 、有两个一样的实数根D 、不能确定6、一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，那么m 等于 〔 〕A. 6-B. 1C. 6-或者1D. 27、以3和1-为两根的一元二次方程是 〔 〕；〔A 〕0322=-+x x 〔B 〕0322=++x x 〔C 〕0322=--x x 〔D 〕0322=+-x x8、某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量到达为720吨。
九年级数学一元二次方程单元复习练习(Word版 含答案)
∴12= 1 6 n 9 3 n
2
2
1
情况一：当 n＜6 是，则原式化简为：12=
2
6 n
9
3 2
n
解得：n=2 或 n=10(舍)
情况二：当 n≥6 时，则原式化简为：12= 1 2
n 6
3 2
n
9
解得：n=2(舍)或 n=10
综上得：n=2 或 n=10．
【点睛】
本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是
用含 n 的算式表示出 PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．
3．已知二次函数 y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当 b＝﹣3 时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求 a 的值； ②求当 a≤x≤b 时，一次函数 y＝ax+b 的最大值及最小值； 【答案】①a 的值是﹣2 或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9 【解析】 【分析】 ①根据题意解一元二次方程即可得到 a 的值； ②根据 a≤x≤b，b＝﹣3 求得 a=-4，由此得到一次函数为 y＝﹣4x﹣3，根据函数的性质当 x＝﹣4 时，函数取得最大值，x＝﹣3 时，函数取得最小值，分别计算即可. 【详解】 解：①∵y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当 b＝﹣3 时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3， 解得，a1＝﹣2，a2＝﹣4， ∴a 的值是﹣2 或﹣4； ②∵a≤x≤b，b＝﹣3 ∴a＝﹣2 舍去， ∴a＝﹣4， ∴﹣4≤x≤﹣3， ∴一次函数 y＝﹣4x﹣3， ∵一次函数 y＝﹣4x﹣3 为单调递减函数， ∴当 x＝﹣4 时，函数取得最大值，y＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13 x＝﹣3 时，函数取得最小值，y＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9. 【点睛】 此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解 a、b 的关系得到函 数解析式是解题的关键.
第19章一元二次方程复习练习
第19章 一元二次方程1．解下列方程（1）(2x ＋3)2－25＝0.（直接开平方法） （2） 02722=--x x （配方法）（3）()()2322+=+x x （因式分解法） （4）2260x x +-=（公式法）2.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①2310x x -+=； ②2(1)3x -=； ③230x x -=； ④224x x -=．3.一元二次方程2210x x -+=的解是 ．4.方程24x x =的解是 A ．4x = B ．2x = C ．4x =或0x = D ．0x =5．方程(1)x x x -=的解是 ．6.一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=则另一个一次方程是 ．7.用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -= 8.下列方程中，有两个不相等实数根的是Ａ．240x += Ｂ．24410x x -+= Ｃ．230x x ++=Ｄ．2210x x +-= 9．一元二次方程0442=+-x x 的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根10．已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ．11.关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 。
12.已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为A ．2-B ．2C ．3-D ．3 13.三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．14.某商品原价100元，连续两次涨价x %后售价为120元，下面所列方程正确的是A ．2100(1)120x -=%B ．2100(1)120x +=%C ．2100(12)120x +=%D ．22100(1)120x +=%15.一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ．16.某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价A.10%B.19%C.9.5%D.20%17.某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x ，则根据题意列方程为A ．()75.821252=+x B ．75.825025=+x C ．75.827525=+x D ．()()[]75.82111252=++++x x18.已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 。
一元二次方程复习+练习+答案
九年级一元二次方程复习+练习+答案一、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 二、一元二次方程的解法：1、配方法（直接开平方法）形如x 2=p （p ≥0），那么可直接开平方x=， 可化为左边是含有x 的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=（方程左边配方成a 2+2ab+b 2=（a+b ）2） 例如：714394716444b ab 2a b a 047442078212222222222-=-=-±=±=+-=+++=+=-++⨯+=++x x x x x x x x x 、）（）（）随后需减去形式加）（为配方成（2、公式法:aacb b x 242-±-=（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）时，方程无实数根当实数根时，方程有两个相等的当实数根时，方程有两个不等的当00042〈∆=∆〉∆-=∆acb3、因式分解法：把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）（1）提公因式例如：3x x 20x 6x 22=+=+）（（2）十字相乘：（十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
）这个方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21a a 、的积，把常数项c 分解成两个因数21c c 、的积，并使1221c a c a +正好等于一次项的系数b 。
初中数学一元二次方程复习专题
初中数学一元二次方程复习专题2一元二次方程专题复习韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12bx xa+=-，12c x xa⋅=适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；12x x -=（3）①方程有两正根，则121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩； ②方程有两负根，则12120x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；④方程一根大于1，另一根小于1，则12(1)(1)0x x∆>⎧⎨--<⎩34中配方法很重要） ➢ 【课前热身】1. 当a =____________时，方程2310ax x ++=是一元二次方程. 2. 已知1x =是方程220xax ++=的一个根，则方程的另一根为__________. 3.一元二次方程(1)x x x-=的解是_____________.4. 若关于x 的一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠，且a b c ++=，则方程必有一根为____________. 5. 用配方法解方程2420x x -+=,则下列配方正确的是( ) A.2(2)2x -= B.2(2)2x += C.2(2)2x -=- D.2(2)6x -=➢ 【典型例题解析】1、关于x 的一元二次方程2(1)(2)26ax ax xx --=-+中，求a 的取值范围.2、已知：关于x 的方程226350x x m m -+--=的一个根是1-，求方程的另一个根及m 的值。
九年级数学《一元二次方程》基础复习题
九年级数学《一元二次方程》复习题班级 姓名 学号一、选择题（每小题5分，共35分）1.下面关于x 的方程中是一元二次方程的是（ ）A ．02=++c bx axB ．0132=-xC ．221x x =+ D ．()()x x x x 2112+=-+ 2．方程092=-x 的解是（ ）A ．321==x xB ．921==x xC ．3,321-==x xD ．9,921-==x x3．已知方程0432=-+x x ，下列判断根的情况正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不确定4．若关于x 的二次方程052=+-mx mx 有相等的两个实数根，则实数m 为（ ）A ．0B ．20C ．21 D ．-5 5．用配方法解方程，012=--x x 变形为（ ） A ．43212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x B ．43212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．45212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x D ．10212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6．某商品两次价格上调后，单价从8.1元变为10元，则平均每次调价的百分率约是（ ）A ．9%B ．10%C ．11%D ．12%7．某杂技团70米长的幕布围成一个面积为300平方米的矩形临时场地，则矩形场地的长边为（ ）A ．20米B ．15米C ．25米D ．30米二、填空题（每空5分，共30分）8．方程x x 2432=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为______、______、_______。
9．已知1是方程032=+-kx x 的一个根，则k=_____________。
10.关于x 的方程()02312=+-+x x k 没有实数根，则k 的取值范围是 。
11．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程060162=+-x x 的一个实数根，则该三角形的周长是______________。
三．用适当方法解下列方程（每小题8分，共24分）12.（1）()432=-x （2）0642=-x x （3）01452=--x x四．列方程解应用题（11分）13．如图所示，某小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AB 垂直，其余部分种草，若草坪的面积都为884米2，求小路的宽度？D C13、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。
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第19章 一元二次方程
1．解下列方程
（1）(2x ＋3)2－25＝0.（直接开平方法） （2） 02722
=--x x （配方法）
（3）()()2322+=+x x （因式分解法） （4）2260x x +-=（公式法）
2.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．
，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①2310x x -+=； ②2(1)3x -=； ③230x x -=； ④2
24x x -=．
3.一元二次方程2
210x x -+=的解是 ．
4.方程24x x =的解是 A ．4x = B ．2x = C ．4x =或0x = D ．0x =
5．方程(1)x x x -=的解是 ．
6.一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=则另一个一次方程是 ．
7.用配方法解方程2
420x x -+=，下列配方正确的是
A ．2(2)2x -=
B ．2(2)2x +=
C ．2(2)2x -=-
D ．2(2)6x -= 8.下列方程中，有两个不相等实数根的是
Ａ．240x += Ｂ．24410x x -+= Ｃ．230x x ++=
Ｄ．2210x x +-= 9．一元二次方程0442=+-x x 的根的情况是
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个实数根
D ．没有实数根
10．已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ．
11.关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 。
12.已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为
A ．2-
B ．2
C ．3-
D ．3 13.三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．
14.某商品原价100元，连续两次涨价x %后售价为120元，下面所列方程正确的是
A ．2100(1)120x -=%
B ．2100(1)120x +=%
C ．2100(12)120x +=%
D ．22100(1)120x +=%
15.一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ．
16.某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价
A.10%
B.19%
C.9.5%
D.20%
17.某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x ，则根据题意列方程为
A ．()75.821252
=+x B ．75.825025=+x C ．75.827525=+x D ．()()[]
75.82111252=++++x x
18.已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 。
（填上一个符合条件的方程即可）
19.写出一个以—2和4为根的一元二次方程：_________________ _。
20. 已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式m m -2
的值等于
A 、１
B 、－１
C 、0
D 、2 21.关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
22.关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ．
23.如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角
线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长
方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．
24.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22b a b a -=*，根据这个规则，方程05)2(=*+x 为： ；
25．将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a
b
c d ，定义a
b
c d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111
x x x x +--+ 6=，则x = ． 26. a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()022
=++++b a cx x b a 的根的情况是 A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．有两个不相等的实数根
27.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是
A.甲
B.乙
C.丙
D. 乙或丙
28.阅读材料：
如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b c x x x x a a
+=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例12,x x 是方程
2630x x +-=的两根，求2212x x +的值.解法可以这样：
126,x x +=- 123,x x =-则
222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=.
请你根据以上解法解答下题：
已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求：
（1）12
11x x +的值； （2）212()x x -的值.
29.读诗词解题：（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。
）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
那位学子算得快，多少年华属周瑜。
30.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O 处．甲沿着喀什路以4m/s 的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s 的速度由南向北走．当乙走到O 点以北50m 处时，甲恰好到点
O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．。