2018年高考数学黄金100题系列第33题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性理

第 33题 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性例2．（求函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间．【解析】设[]2,2A ππ=-，函数()1sin 23y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间为B ．由1222232k x k πππππ-≤+≤+，得()5544,4,43333k x k B k k k Z ππππππππ⎡⎤-≤≤+∴=-+∈⎢⎥⎣⎦．易知5,33AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．【试题来源】人教版A 版必修4第39页例5．【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求()sin y A x B ωϕ=++()0,A x R >∈的单调区间，再与已知区间求交集即可．II ．考场精彩·真题回放例．（2017课标3理6）设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π，π)单调递减 【答案】D 【解析】试题分析：函数的最小正周期为221T ππ== ，则函数的周期为()2T k k Z π=∈ ，取1k =- ，可得函数【命题意图】本题考查两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性．考查学生分析问题解决问题能力、转化与化归能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等． 【难点中心】解答此类问题的关键是能综合运用三角公式化为形式()sin y A x B ωϕ=++，再进一步()f x 的一个周期为2π- ，选项A 正确；函数的对称轴为()3x k k Z ππ+=∈ ，即：()3x k k Z ππ=-∈ ，取3k = 可得y =f (x )的图像关于直线x =83π对称，选项B 正确；()cos cos 33f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()32x k k Z πππ+=+∈ ，即()6x k k Z ππ=+∈ ，取0k = 可得f (x +π)的一个零点为x =6π，选项C 正确； 当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ，函数在该区间内不单调，选项D 错误．故选D ． 例例．（2017天津，理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，∴2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，∴01ω<<，∴23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故讨论相关性质．(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b的形式． (2)求f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．选A ．例．（2017浙江）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –sin x cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求)32(πf 的值． （Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间． 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数概念32cos 32sin 3232cos 32sin )32(22πππππ--=f ，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ，结合ωπ2=T 可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．试题解析：（Ⅰ）由2332sin=π，2132cos -=π，)21(2332)21()23()32(22-⨯⨯---=πf 得2)32(=πf （Ⅱ）由xx x 22sin cos 2cos -=与xx x cos sin 22sin =得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f∴)(x f 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ∴)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]32,6[ππππ． 例3．（2016高考北京文数）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）1ω=；（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 【分析】（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对)(x f 化简整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根据函数x y sin =的单调递增区间对应求解即可．【解析】（I ）∵()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+sin 2cos 2x x ωω=+24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22ππωωT ==．依题意，ππω=，解得1ω=．（II ）由（I ）知()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+． ∴()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 例4．（2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B【解析】试题分析：21cos 2cos 2()sin sin sin sin 22-=++=++=-++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．例5．（2016高考山东理数】函数f （x ）=xx ）（cos x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π 【答案】B 【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故最小正周期22T ππ==，故选B ． III ．理论基础·解题原理考点一 三角函数的单调性xy sin =在)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ上单调递增，在)(223,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ上单调递减，当Z k k x ∈+=,22ππ时，1m a x =y ；当Z k k x ∈+-=,22ππ时，1min -=y ；x y cos =在[])(2,2Z k k k ∈+-πππ上单调递增，在[])(2,2Z k k k ∈+πππ上单调递减，当Z k k x ∈=,2π时，1m a x =y ；当Z k k x ∈+=,2ππ时，1min -=y ；x y tan =在)(2,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ上单调递增．考点二 三角函数的周期性函数sin ,cos y x y x ==的最小正周期为2π，tan y x =的最小正周期为π． 考点三 三角函数的奇偶性对于函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是奇函数，当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是偶函数；对于函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>，当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是奇函数，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是偶函数．考点四 三角函数的对称性sin y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()ππ2x k k =+∈Z ，其对称中心是()()π,0k k ∈Z ；cos y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()πx k k =∈Z ，其对称中心是()ππ,02k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；tan y x =的图像不是轴对称图形，是中心对称图形，其对称中心是()π,02k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等． 【技能方法】（1）讨论()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的单调性可用整体思想：把()0x ωϕω+>视为一个整体，()00A A ><所列不等式的方向与sin ,cos ,tan y x y x y x ===的单调区间对应的不等式方向相同（反）．（2）利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，若不属于，可先化至同一单调区间内；若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较、与1比较等）求解．（3）函数()()sin ,cos y A x B y A x B ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2πω，()tan y A x B ωϕ=++的最小正周期为πω． （4）三角函数中奇函数一般可化为sin y A x ω=或tan y A x ω=，而偶函数一般可化为cos y A x B ω=+的形式．（5）()()()sin 0f x A x A ωϕω=+≠的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，()f x 图像关于直线0x x =对称的充要条件是()0f x A =±，()f x 图像关于点0(,0)x 对称的充要条件是()00f x =．【易错指导】（1）对于三角函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>求其单调区间，要注意ω的正负，若ω为负，则需先化正，化为()sin y A x ωϕ=---的形式，若求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的单调减区间内；若求其单调递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的单调增区间内．（2）解答时不要遗漏“k Z ∈”，另外三角函数存在多个单调区间时不能用“”联结．（3）必须先将解析式化为()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的形式，再分别利用公式2,T T ππωω==求周期，注意ω一定要加绝对值． V ．举一反三·触类旁通考向1 三角函数的单调性（单调区间）例1．（2018河南名校联考）已知，，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】，小于1的数越平方越小，，故选D ．例2．函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为 ．【答案】)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．例3．函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 【答案】5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】∵)62sin(2π--=x y ，∴只要求函数)62sin(2π-=x y 的减区间即可．解2326222πππππ+≤-≤+k x k 可得61022322ππππ+≤≤+k x k ，即353ππππ+≤≤+k x k ，∴653ππ≤≤x ，故答案为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景，考查的是三角函数中形如)sin()(ϕω+=x A x f 的正弦函数的图象和性质．解答时先从题设中的条件增函数入手，对函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭进行变形，将其变形为一般式)62sin(2π--=x y ，将其转化为求函数)62sin(2π-=x y 的减区间．最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法．通过解不等式使得本题获解．例4．（2018河北石家庄）已知()2sin sin cos 2sin cos 44f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅰ）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（Ⅱ）若函数()f x 的图象向右平移8π个单位后，所得图象恰与函数()g x 的图象关于直线6x π=，求函数()g x 的单调递增区间．【答案】(1) ⎡⎢⎣⎦；(2) ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．试题解析：（Ⅰ）()2sin sin cos 2sin cos 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1cos2111sin2sin 2sin2cos2cos222222x x x x x x π-⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭()111sin2cos2222242x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5521244x πππ≤+≤，∴()sin 21,04x f x π⎛⎫≤+≤≤≤⎪⎝⎭即()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）函数()f x 的图象向右平移8π个单位后得到()h x 的图象，则()182h x f x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， 设点(),P x y 是()g x 图象上任意一点， 则点P 关于直线6x π=对称的点,3Q x y π⎛⎫-⎪⎝⎭在()h x 的图象上，∴()2123232g x h x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∴当()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈时， ()g x 单调递增，∴()g x 的单调递增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等．例5．（2017吉林模拟）已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin B C A B C +-=（1） 求角A 的大小；（2）已知函数()()sin ,0f x x A ωω=+>的最小正周期为π，求()f x 的单调减区间． 【答案】(1) A=3π；（2）[k π+ 12π，k π+712π]（k ∈Z ）试题解析： (1)可得：A=3π（2）由题意，ω= 2，∴f （x ）=sin （2x+3π），∴由2k π+2π ≤2x+3π≤2k π+32π，（k ∈Z ），可得：k π+12π ≤x≤k π+ 712π，（k ∈Z ）， ∴f （x ）的减区间为：[k π+ 12π，k π+712π]（k ∈Z ）考向2 三角函数的奇偶性 例6．（2018浙江温州）已知函数，则下列命题错误的是（ ）A ．函数是奇函数，且在上是减函数B ．函数是奇函数，且在上是增函数C ．函数是偶函数，且在上是减函数D ．函数是偶函数，且在上是增函数【答案】A例7．已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．【命题意图】考查三角函数的图像和性质及数形结合的思想，以及分析问题解决问题的能力．【答案】0．【解析】由题设可知，函数)(x f y =的图像关于直线4π=x 对称，借助对称性及演绎推理的思想可知)2()0(πf f =，即b a =．∴02222)4(=+-=-b a f π． 考向3 三角函数的周期性例8．（2018辽宁鞍山）函数()2sin cos f x x x x =的周期为（ ） A ．2T π= B ．2T π= C ．T π= D ．4T π=【答案】C【解析】由()2sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，∴函数的周期22T ππ==，故选C ． 例9．（2018湖北武汉起点调研）函数的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C例10．（2018江苏淮安）已知()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则函数()f x 的周期为________． 【答案】π 【解析】∵函数()c o s 24fx x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由周期公式可得函数()f x 的周期为22T ππ== ，故答案为π． 例11．（2018上海模拟）设函数()()2sin ,f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=__________．【答案】12π 【解析】 由()f x 的最小正周期大于2π，得42T π>， 又5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得11534884T πππ=-=，∴3T π=，则2233w w ππ=⇒=， ∴()()22sin 2sin 3f x x x ωϕφ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 由52552sin 2sin 183812f πππφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=⇒+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴52,122k k Z ππφπ+=+∈， 取0k =，得12πφπ=<，∴2,312w πφ==． 例12．（2017淮北一中后一卷）设函数()sin sin 2f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）若12ω=，求()f x 的最大值及相应的x 的取值范围； （2）若8x π=是()f x 的一个零点，且010ω<<，求ω的值和()f x 的最小正周期．【答案】（1）()f x x 的取值集合为3{|4,}2x x k k Z ππ=+∈；（2）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期是π．（2）084ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而84k ωπππ-=， k Z ∈，由()0,10ω∈可得结论．试题解析：()4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）当12ω=时， ()124f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()f x x 的取值集合为3{|4,}2x x k k Z ππ=+∈．（2）∵0884f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得84k πππ-=，又010ω<<，∴0, 2.k ω== ()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期是π． 考向4 三角函数的对称性例13．（2018河南林州10月调研）将函数3sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．7,048π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7,012π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D例14．（2018河南漯河）若把函数的图象向右平移个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数的图象向右平移个单位后所得函数为图象关于坐标原点对称，则，-∴的最小值为，故选A ．例15．（2018辽宁凌源）将函数()2sin 43f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．最小正周期为πB ．初相为3πC ．图象关于直线12x π=对称 D ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】D例16．（2018四川成都）已知函数()()2cos 1(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=>><<＋＋的最大值为3， ()f x 的图像与y 轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()()1232017f f f f +++＋的值为（ ）A ．4030B ．4032C ．4033D ．4035 【答案】C 【解析】()()()21cos 22cos 1?1(0,0,0)22x f x A x A A ωϕπωϕωϕ++=++=+>><< 的最大值为3 ， 1322A A∴++= ，可求2A = ，∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2 ，可得函数的最小正周期为4 ，即242πω= ，∴解得4πω= ，又()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2 ，可得()cos 2112,cos20,22πϕϕϕ++=∴== ，解得4πϕ=，∴函数的解析式为()cos 22222f x x sin x πππ⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭ ，()()()23201712...2017...220172222f f f sin sin sin sinππππ⎛⎫∴+++=-+++++⨯ ⎪⎝⎭20175040sin403440332π=⨯++= ，故选C ． 例17．（2018江苏横林）若函数()()2cos f x x m ωθ=++对任意的实数f()99t t f t ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭都有且3,9f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则m =_______ ． 【答案】1- 或5-例18．（2018河南南阳）函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像为C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）．①图象C 关于直线1112x π=对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间15,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是增函数；④将sin2y x =的图象向右平移3π个单位可得到图像C ． 【答案】①②③【解析】对于()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令1112x π=，求得f (x )=−1，为函数的最小值，故它的图象C 关于直线1112x π=对称故①正确．令x =23π，求得f (x )=0，可得它的图象C 关于点(23π，0)对称，故②正确． 令51212xππ-剟，可得2232x πππ--剟，故函数f (x )在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是增函数，故③正确，由sin2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到22233y sin x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除④， 故答案为：①②③．考向5 已知三角函数的单调性求参数的值或范围例19．（2018安徽安庆模拟）若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且2536f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的一个可能值是（ ） A ．12 B ．35 C ．34 D ．32【答案】C例20．设函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数， 0,0A ω>>）．若()f x 在区间()1,3上具有单调性，且()()()135f f f =-=-，则ω=_______________．【答案】4π 【解析】()()13,f f =-∴一个对称中心横坐标为1322+=， ()()35,f f =∴一条对称轴方程为354,42224T x +==∴=-=， 28,4T ππωω===，故答案为4π． 考向6 已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值 例21．（2018四川成都）若函数()()sin 2fx x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A ．2-和0 B ．0 和1 C ．1± D ．2± 【答案】A点睛：求函数解析式()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：(1) max min max min,22y y y y A B -+==． (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ． （4）由 ()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 例22．（2018河北衡水）已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++（1ω>， 2πϕ≤），其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】令()()2sin 11f x x ωϕ=++=-，可得()sin 1x ωϕ+=-， ∵函数()()2sin 1f x x ωϕ=++（1ω>， 2πϕ≤）的图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，∴函数()()sin g x x ωϕ=+的图象与直线y 1=-相邻两个交点的距离为π， ∴函数()g x 的周期为π，故2ππω=，∴2ω=．∴()()2sin 21f x x ϕ=++．由题意得“()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立”等价于“()sin 20x ϕ+>对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立”．∵123x ππ-<<，∴2263x ππϕϕϕ-+<+<+， ∴()2,2,2,63k k k Z ππϕϕπππ⎛⎫-++⊆+∈ ⎪⎝⎭，∴22,63k k k Z πππϕπ+≤≤+∈．故结合所给选项可得C 正确．选C ．点睛：本题难度较大，解题时根据题意得2ω=，可将问题转化成“函数()y s i n 2xϕ=+ 0>对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立”，然后可根据2x ϕ+在,123ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的取值范围是()2,2,k k k Z πππ+∈的子集去处理，由此通过不等式可得ϕ的范围，结合选项得解．例23．（2017不同的实数,,a b c ，使得()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为______________．【答案】()2π,2018π21令2017log 1πx =得2017πx =， ()f a = ()f b = ()f c ，a b ∴+= π， ()π,2017πc ∈，a b c ∴++= ()π2π,2018πc +∈，故答案为()2π,2018π．，故选答案为()2π,2018π．【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解．。