【全程复习方略】(福建专用)版高中数学 6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题训练 理

"【全程复习方略】（福建专用）2013版高中数学 6.3二元一次不等式（组）与
简单的线性规划问题训练 理 新人教A 版 "
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.不等式2x-y ≥0表示的平面区域是
( )
2.某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名,x 和y 需满足约束条件2x y 5x y 2,x 6x N,y N
-≥⎧⎪-≤⎪
⎨≤⎪⎪∈∈⎩则该校招聘的教师最
多为( )
(A)10名 (B)11名 (C)12名 (D)13名 3.给出平面区域如图阴影部分所示,其中A （5,3）, B （1,1）,C （1,5）,若使目标函数z=ax+y(a ＞0)取得 最大值的最优解有无穷多个,则a 的值是( )
(A)23 (B)12
(C)2 (D)32
4．若实数x 、y 满足x y 10
x 0y 2
-+≤⎧⎪
⎨⎪≤⎩
＞，则y x 的取值范围是( )
（A ）（0,2） （B ）（0,2］ （C ）(2,+∞)
（D ）［2,+∞）
5.（2012·三明模拟）在平面直角坐标系中，不等式组x y 0
x y 40x a +>⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
(a 为常数），表示的平面区域的面
积为9,那么实数a 的值为（ ）
(
)(
)()()A 2B 2C 5D 1 - -
6.（易错题）设二元一次不等式组
x2y190
x y80
2x y140
+-≥
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+-≤
⎩
所表示的平面区域为M,使函数y=a x(a＞0,a≠1)的图象
过区域M的a的取值范围是( )
(A)[1,3]
]
(C)[2,9]
,9]
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.（预测题）（2012·兰州模拟）若M为不等式组
x0
y0
y x2
≤
⎧
⎪
≥
⎨
⎪-≤
⎩
，表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1
时，动直线x+y=a扫过M中的那部分区域的面积为_______.
8.（2012·湛江模拟）已知点（x,y）满足
x0
y0,
x y1
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+≤
⎩
则u=y-x的取值范围是________.
9.（2012·连云港模拟）设x,y满足约束条件
x y50
x y0,
x3
-+≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
则x2+y2的最大值为____.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.（2012·厦门模拟）如果直线l1:2x-y+2=0,l2:8x-y-4=0与x轴正半轴，y轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点为（x,y).
（1）写出封闭区域（含边界）中的点（x,y)满足的约束条件，并画出其可行域.
（2）若封闭区域（含边界）中的点（x,y)使函数z=(a+b)x+y(a>0,b>0)取得的最大值为5，求11
a b
+的最
小值.
11.某公司计划2013年在A、B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.A、B两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定A、B两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在两个电视台做广告的时间,才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？
【探究创新】
（16分）已知实数x,y满足
x2y1
x0,
y0
+≤
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥
⎩
求
4x2y16
x3
+-
ω=
-
的取值范围.
答案解析
1.【解析】选A.取测试点（1,0）排除B 、D,又边界应为实线,故排除C.
2.【解题指南】本题写出目标函数为z=x+y,求z 的最大值即可.
【解析】选D.设z=x+y,作出可行域如图阴影中的整点部分，可知当直线z=x+y 过A 点时z 最大, 由x 6x 6
,2x y 5y 7
==⎧⎧⎨
⎨-==⎩⎩得故z 最大值为7+6＝13.
3.【解题指南】由y=-ax+z 可知直线斜率小于0,故有无穷个最优解时,目标函数对应的直线必与直线AC 重合.
【解析】选B.k AC =12-
,∴-a=12-,即a=12
. 4．【解析】选D.由题得y ≥x+1，所以y 1
1x x
≥+，
又0＜x ≤y-1≤1，因此y
x
≥2.
5.【解析】选D.不等式组x y 0x y 40x a +>⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域如图阴影部分.
()()11S BC a 2)2a 4a 29.22
+=++=＝｜｜（
又a>-2,故a=1.
6.【解题指南】作出可行域，分析a 的取值大于1还是大于0小于1后，确定a 的范围. 【解析】选C.作出平面区域M 如图阴影部分所示. 求得A （2,10）,C （3,8）,B （1,9）.
由图可知,欲满足条件必有a ＞1且图象在过B 、 C 两点的图象之间.
当图象过B 点时,a=9,过C 点时,a 3
=8,得a=2, 故a 的取值范围是[2,9]. 7.【解析】作出可行域如图.
a 从-2到1连续变化时扫过的区域如图阴影部分ABOC.
由1x y x 22
x y 13y 2
⎧=-
⎪-=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=
⎪⎩得
∴S 四边形ABOC =S △DOC -S △ABD =11117
22122
2
2
44
⨯⨯-⨯⨯=-=. 答案：
7
4
8.【解析】作出可行域如图,
作出y-x=0,由A （1,0）,B （0,1）, 故过B 时u 最大，u max =1, 过A 点时u 最小，u min =-1. 答案：[-1,1]
9.【解析】作出可行域如图. 由图可知A 点到原点的距离最大, 而由x 3
x y 50
=⎧⎨
-+=⎩得A （3,8）,
故x 2
+y 2
的最大值为32
+82
＝73. 答案：73
【变式备选】实数x,y 满足不等式组y 0x y 0
,2x y 20≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≥⎩
则ω=
y 1x 1
-+的取值范围是_____.
【解析】作出可行域如图所示
,
而ω=
y 1
x 1
-+其几何意义是可行域内的点与P （-1,1）点连线的斜率的取值范围. 由y 0x 1
,2x y 20y 0
==⎧⎧⎨
⎨--==⎩⎩得
即B 点坐标为（1,0）
,
∴PB 1k ,2=-数形结合易知ω的取值范围为[1
2
-
,1). 答案：[1
2
-,1)
10.【解析】（1）设P(x,y)为封闭区域中的任意点， 则P （x,y)满足约束条件
2x y 208x y 40x 0,y 0-+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
可行域如图阴影部分所示. （2）由2x y 20
8x y 40
-+=⎧⎨
--=⎩得B （1，4），
由图可知目标函数z=(a+b)x+y(a>0,b>0)的最优解为B （1,4)，
依题意将B （1，4）代入z ＝(a+b)x+y(a>0,b>0)得最大值5，解得a+b=1,
1111b a b a
()a b)2()22 4.a b a b a b a b
+=++=++≥+=（ (当且仅当a=b=12时，等号成立）,故11a b +的
最小值为4.
11.【解题指南】设公司在A 和B 做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟,由题意列出x,y 的约束条件和目标
函数,然后利用线性规划的知识求解.
【解析】设公司在A 和B 做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟,总收益为z 元,
由题意得x y 300500x 200y 90 000.x 0,y 0+≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩
目标函数z=3 000x+2 000y.
二元一次不等式组等价于x y 3005x 2y 900.x 0,y 0+≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.
作直线l :3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0,
平移直线l ,从图中可知,当直线l 过M 点时,目标函数取得最大值. 联立x y 300
,5x 2y 900
+=⎧⎨
+=⎩
解得x 100
.y 200=⎧⎨
=⎩
∴点M 的坐标为(100,200),
∴z max =3 000×100+2 000×200=700 000.
即该公司在A 电视台做100分钟广告,在B 电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元. 【方法技巧】常见的线性规划应用题的类型
（1）给定一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大, 收益最大；
（2）给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小. 【探究创新】
【解题指南】将ω的关系式化简为ω=4+2·y 2x 3--，先求得y 2
x 3
--的范围，再求ω的范围. 【解析】作出可行域如图：
由ω=
()()4x 32y 24x 2y 16y 2
42,x 3x 3x 3
-+-+--==+---
故问题转化为求z=
y 2
x 3
--的范围问题, 即可行域内的点与P （3,2）点连线的斜率范围问题,
由P(3,2),A （1,0）,B （0,
1
2）, 得PA PB 122012k 1,k 31302--===
=--, ∴z max =1,z min =1
2
,
∴ω的最大值为2×1+4=6,ω的最小值为2×1
2
+4=5, 故ω的取值范围是[5,6].。