数学中考总复习30讲(一轮复习)第2讲 实数
中考总复习：实数--知识讲解(基础)
中考总复习：实数—知识讲解 （基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如n m （m ，n 是整数n ≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数⇔a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 可用式子表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0．要点诠释： 若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离.3.倒数（1)实数(0)a a ≠的倒数是a1；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ⇔⋅=.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作a ±．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作a ．5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ， 若a-b>0⇔a>b ；a-b=0⇔a=b ；a-b<0⇔a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2⇔a>b b a >⇔； 或利用倒数转化：如比较417-与154-.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数011(0)(0).p p a a aa a-==≠，≠ 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10n （其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释： （1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】 类型一、实数的有关概念1．（1）a 的相反数是15-，则a 的倒数是_______．（2）实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简2()a b ＋=______．0a b（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【答案】（1）5 ； （2）-a-b ； （3）1.02×107亩.【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：20 0 |||| 0 ()||().a b a b a b a b a b a b a b ><<∴+<+=+=-+=--，，，，（3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．举一反三：【变式】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ）A ．8.55×106B ．8.55×107C ．8.55×108D ．8.55×109【答案】C.类型二、实数的分类与计算2．下列实数227、sin60°、3π、()02、3.14159、-9、()27--、8中无理数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C.【解析】无理数有sin60°、3π、8. 【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【变式】在,30cos ,2π,)23(,4,8,14.30 --,45tan ,712,1010010001.0 ,51-13.0%,3 中，哪些是有理数? 哪些是无理数?【答案】03.14,4,(32),-,45tan ,712,51-13.0%,3 都是有理数； π8,,cos30,2-0.1010010001,都是无理数. 3．计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0． 【答案与解析】解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．举一反三：【变式1】计算：计算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3． 【变式2】计算：12004200320022001+⨯⨯⨯【答案】设n=2001，则原式=1)3)(2)(1(++++n n n n1)23)(3(22++++=n n n n （把n 2+3n 看作一个整体）=1)3(2)3(222++++n n n n=n 2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005. 类型三、实数大小的比较4．比较下列每组数的大小：（1）417-与154- （2）a 与a 1（a ≠0） 【答案与解析】（11740174=>+，4150415=>+，174+与415+1744150>+>， 174415-<-（2）当a<-1或O<a<1时，a<a1； 当-1<a<0或a>1时，a>a1； 【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把a1的值看成是关于a 的反比例函数，把a 的值看成是关于a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.举一反三：【变式】比较下列每组数的大小： （1）817-和511- （2）52+和23+【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小， 1785840= ，1188540=， 171185<， 所以171185->-. （2）()2257210740+=+=+，()232743748+=+=+，因为4048<，所以2532+<+.类型四、平方根的应用5．已知：x ，y 是实数，234690x y y ++-+=，若axy-3x=y ，则实数a 的值是_______.【答案】14. 【解析】234690x y y ++-+=，即234(3)0x y ++-=两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0，∴340x +=，(y-3)2=0， ∴ x=43-， y=3 又∵axy-3x=y ， ∴ a=43()33134433x y xy ⨯-++==-⨯. 【点评】此题考查的是非负数的性质.类型五、实数运算中的规律探索6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题21222312,213,214,2SSS+==+==+==1A2AA（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，()2,112nSnn n=+=+（2）因为OA1=1，OA2=2，OA3=3…，所以OA10=10（3）S12+ S22+ S32+…+ S102=2222)210()23()22()21(++++=)10321(41++++=455.【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.举一反三：【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【答案】29（512）.。
(新课标)2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习 第2讲 实数的运算及实数的大小比较课件 华东师大版
第2讲┃ 归类示例
(1)互为相反数所表示的点关于原点对称； (2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等； (3)实数与数轴上的点一一对应，故而常将实数及表 示实数的字母在数轴上表示出来，然后结合相反 数、绝对值及数轴上数的符号特征等相关知识来解 决实数的有关问题．
第2讲┃ 归类示例 ► 类型之四 探索实数中的规律
两个实数的大小比较方法有： (1)正数大于零，负数小于零； (2)利用数轴； (3)差值比较法； (4)商值比较法； (5)倒数法； (6)取特殊值法； (7)计算器比较法等．
第2讲┃ 归类示例 ► 类型之三 实数与数轴
命题角度： 1．实数与数轴上的点一一对应关系； 2．数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合； 3．数轴与实数大小比较、实数运算结合； 4．利用数轴进行代数式的化简．
第2讲┃ 实数的运算及实数的大小比较
第2讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 实数的运算
内容 运算 法则 运算 性质 运 算 顺 序 在实数范围内，加、减、乘、除 (除数不为零 )、乘方都可 以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进 行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方 有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要 先算括号内的，若没有括号，在同一级运算中，要从左 至右依次进行运算 提醒 (1)零指数、负整数指 数的意义． 防止以下 1 错误：① 3－ 2＝－ ；② 9 1 2a－ 2＝ 2； (2)遇到绝 2a 对值一般要先去掉绝对 值符号，再进行计算； (3)无论何种运算，都 要注意先定符号后运算
第2讲┃ 回归教材
3．[2013· 大理] 写出一个大于 2 且小于 4 的无理数： 答案不唯一，比如 5，π 等 ． ________________________
数学中考一轮复习专题01 实数(课件)
6．实数的比较大小： （1）性质比较法：
①正数>0>负数； ②两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而 小 ； ③若一组数据中有正数，0，负数，求最大的数时在正数中找，求最小的数时在负数
中找． （2）数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数 大 ．
（3）差值比较法：对于任意实数a，b：a-b>0⇔ a>b ；a-b=0⇔ a=b ；a-b<0⇔
的关键．
知识点1 ：实数的有关概念
典型例题
【例5】（3分）（2021•通辽1/26）| -2 |的倒数是（ ）
A．2
B．1
C．-2
D． 1
2
2
【考点】绝对值；倒数
1
【解答】解：| -2 |的倒数是 ．
2
故选：B．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的
倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，
我们就称这两个数互为倒数．
知识点1 ：实数的有关概念
典型例题
【例6】（3分）（2021•天津6/25）估计 17 的值在（ ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小 【分析】本题需先根据 17 的整数部分是多少，即可求出它的范围． 【解答】解：∵ 17 4.12 ， ∴ 17 的值在4和5之间． 故选：C． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即可 解决问题．
3 非负数
掌握非负数的性质，能求某 非负数性质的运用． 些特殊等式中字母的值． 常以选择题、填空题的形式命题．
中考命题说明
中考数学一轮复习课件 实 数
数轴比较法:数轴上表示的两个实数,右边的点表示的数较大 类别比较法:正数⑦ 大于 0,负数⑧ 小于 0,正数⑨ 大于 负数 实数大小的比较 绝对值比较法:两个负数,绝对值大的反而⑩ 小
其他方法:求差法、求商法、平方法等
加、减、乘、除、乘方
实数的运算
负整数指数幂:a－p＝
1 ap
(a≠0,p
是正整数),a－1＝
无理数
正实数
按正负性分:实数 0
负实数
三要素:原点、正方向、单位长度 数轴
性质:实数与数轴上的点③ 一一对应
相反数:实数 a 的相反数是④ －a
实数的相关概念
a (a＞0)
绝对值:|a|＝ 0 (a＝0)
－a (a＜0)
1 0 倒数:乘积为⑤
的两个数互为倒数;⑥
没有倒数
科学记数法:表示形式 a×10n,其中 1≤|a|＜10,n 是整数
考向2 结合数轴比较大小 3.若实数a,b,c,d在数轴上对应点的位置如图所示,则这四个数 中最大的是( D )
A.a B.b C.c D.d 【解析】根据数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的 数大,可知最大的数是d.
利用数轴比较实数的大小时,关键是看表示实数的点在数 轴上的位置,数轴上,右边的点表示的数较大.
① 无限不循环 小数叫做无理数
无理数 三种形式:(1)开方开不尽的数,如 2,3 9等;(2)与 π 有关的数,如 π 等;(3)构造型:如 0.1010010001…(每相邻两个 1 之间依次多一个 0) 2
有理数和无理数统称为实数
整数
按定义分:实数 有理数 分数:有限小数或无限② 循环 小数
实数的分类
考点二实数的有关概念[10 年 6 考]
中考数学一轮优化复习 第一部分 教材同步复习 第一章 数与式 第2讲 实数的大小比较与运算课件
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2．实数的四则运算法则 (1)加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值⑳____相_加_____；绝对值不 相等的异号两数相加，取○21 ____绝_对__值_____较大的加数的符号，并用较大数的绝对值 减去较小数的○22 __绝__对__值______；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍
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得这个数． (2)减法：减去一个数，等于加上这个数的○23 __相__反__数______，即 a－b＝a＋(－b)．
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(3)乘法：两数相乘，同号得○24 ____正____，异号得○25 ____负____，并把绝对值相乘； |a|·|b|a，b同号，
第一(dìyī)部 分
教材同步(tóngbù)复习
第一章 数与式
第2讲 实数的大小比较与运算
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知识要点·归纳
知识点一 实数的大小比较
直接比较法 正数>0>负数 数轴法 在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大 两个正数比较大小，绝对值大的数比较大；两个负数比较大小， 绝对值法 绝对值大的数反而小，即 a<0，b<0，若|a|>|b|，则 a<b 平方 对任意正实数 a， b，有：a2>b⇔a> b(适用于含有根式的数的 比较法 大小比较或二次根式的估值)
【正解】原式＝－9＋1－－1122＋4 ＝－9＋1－4＋4 ＝－8.
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2．(2018·张家界)计算：( 3－1)0＋(－1)－2－4sin60°＋ 12.
备战九年级中考数学一轮复习第2课整式(含因式分解)(全国通用)
13.(202X·哈尔滨)把多项式m2n＋6mn＋9n分解因式的结果 是_____n_(m__＋__3_)2_____.
14.(202X·重庆)已知a＋b＝4，则代数式1＋ a ＋b 的值 22
为( A )
A.3
B．1
C．0
D．－1
考点3 求代数式的值
15.【例3】(202X·广东)已知x＝5－y，xy＝2，计算代数式 3x＋3y－4xy＝____7____.
第2课 整式(含因式分解)
1．(1)单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单 独一个数或者一个字母也是单项式． (2)多项式：几个单项式的和叫做多项式． (3)整式：单项式与多项式统称为整式.
1．(1)单项式－3xy2的系数是__－__3____，次数是____3____； (2)多项式2x－5xy3－1是____4____次____三____项式，其中 一次项为____2_x___，一次项系数为____2____．
23．(202X·天水)分解因式：m3n－mn＝ mn(m＋1)(m－1) .
24．(海南中考)某工厂去年的产值是a万元，今年比去年 增加10%，今年的产值是__1_._1_a___万元．
25．(广东中考)下列计算正确的是( C )
A．b6＋b3＝b2
B．b3·b3＝b9
C．a2＋a2＝2a2
C．2kk
D．k2＋k
31.(202X·苏州)若单项式2xm－1y2与单项式1 x2yn＋1是同类项， 3
则m＋n＝___4_____.
32．(202X·枣庄)若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab＝___1_____.
C组 33．(202X·聊城)因式分解：x(x－2)－x＋2＝ (x－1)(x－2) .
2024年九年级中考数学一轮复习大纲课件
指数与对数的运算
学习指数与对数的定 义及其运算规则，掌 握它们在代数式中的
应用。
函数与关系的建立
了解函数与关系的概 念，学会建立函数关 系式并进行相关运算。
代数式的综合应用
综合运用所学知识， 解决复杂的代数式问 题，提高解决问题的
能力。
一元一次方程与不等式
反比例函数
反比例函数的图像与性质
反比例函数基础
详解反比例函数的定义、性质和图像特征
反比例函数应用
阐述反比例函数在实际问题中的应用和解题技巧
反比例函数综合
探讨反比例函数的综合问题和解题策略
函数图像的识别与应用
函数图像的特点和应用场景
函数图像的基本性质
图像变换、对称性、单调性、最值问题
函数图像的识别
• 学习如何用区间表示一元一次方程和 一元一次不等式的解集。
二元一次方程与不等式
二元一次方程和不等式的解法与应用
二元一次方程基本概念
01
介绍二元一次方程的定义、组成及解法
解二元一次方程组
02
解析二元一次方程组的解法及应用
不等式基本概念
03
阐述不等式的定义、性质及解集表示
解二元一次不等式组
04
讲解二元一次不等式组的解法及应用
中考数学一轮复习
全面提高数学素养，备战中考
目录 1.实数与函数 2.几何 3.代数 4.统计与概率 5.综合应用题 6.数学思想与方法
实数与函数
实数与函数的基础知识和应用
实数概念及运算
实数的定义、分类和运算规则
实数的分类与表 示
实数分为有理数和无理数， 有理数可以表示为分数或 整数，无理数不能表示为
中考数学复习资料 数学聚焦实数学习要点
初二数学聚焦实数学习要点一、实数的分类观:1、统称观有理数和无理数统称实数。
根据这个定义，我们可以把实数作如下的分类：在这里，同学们要注意，与前面知识的不同。
也就是说，有理数是借助小数来下的定义。
2、正负观根据有理数可以分成正有理数、0、负有理数的正负观，我们可以推广到实数。
也就是说实数可以分成正实数、0、负实数。
当然，我们可以作更细的分类。
具体如下：二、实数背景下的几个重要概念1、相反数：在实数范围内，相反数的定义与在有理数的范围内的定义是相同的。
仍然是：只有符号不同的两个数，称互为相反数。
如：3与-3互为相反数，3+1与-3-1互为相反数。
也就是说，对任意实数a，它的相反数为-a。
只要把一个实数，乘以-1，就变成这个数的相反数了。
2、绝对值对任意实数a，它的绝对值定义如下：正实数的绝对值，是这个数本身；0的绝对值，是0；负实数的绝对值，是这个数的相反数。
不提倡，同学们说成“负实数的绝对值，是正数”的说法。
这不利于绝对值的化简。
3、倒数如果两个非0实数的积为1，就称这两个数互为倒数。
这里的条件非0实数，是很重要的。
如果实数a≠0，那么，实数a的倒数为1/a。
4、算术平方根只有正实数和0有算术平方根，负实数没有算术平方根。
三、实数范围内的大小比较观借助数轴比较两个实数的大小。
在数轴上，实数对应的点的位置，越靠右，数就越大。
如图所示，点A所表示的实数为a，点B所表示的实数为b，因为，点A在点B的右边，所以，点A所表示的实数a，比点B所表示的实数b要大，即a＞b。
利用数轴，同学们只要辨析出，所比较的两个数左右位置，就可以确定这两个数的大小了。
这种比较方法是比较实用的。
同学们一定要熟练掌握。
四、实数与数轴上面的作图，就说明了，数轴上的点不仅表示有理数，而且表示无理数。
即数轴上的点与实数是一一对应的。
这一点，同学们一定要清楚。
五、实数背景下的运算观在有理数的各类运算，都可以推伸的实数范围。
六、常见题型6.1判断题例1、判断下列说法是否正确：⑴无限小数都是无理数。
专题一 实数(助考课件)——2023届中考数学一轮复习学考全掌握
2.( a )2 a(a 0)
3.
a2
a
a(a a(a
0) 0)
5. a a (a 0,b 0) bb
知识梳理
三、二次根式的运算法则
类别
法则
乘法
a b ab(a 0,b 0)
除法 加减法
a a (a 0,b 0) bb
①化简成最简二次根式 ②合并同类二次根式举例3 Nhomakorabea5 15
24 2 2 3
( C)
A. x 1
B. x 1
C. x 1且 x 0
D. x 1且x 0
【解析】 x 1 0， x 0，x 1且 x 0，故选 C.
典型例题 12.（2022.山东济宁）已知a 2 5 ，b 2 5 ，求代数式a2b ab2的值.
【解析】
a2b ab2 ab(a b)
A. 4 9 2 3
B. 4 9 2 3
C. 94 32
典型例题 D. 49 0.7
【解析】
4 9 13； 49 22 32 23；
94 92 2 92； 4.9 49 7 10 . 10 10
典型例题
11.（2022.黑龙江绥化）若式子 x 1 x2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
A.103.57 103.6(精确到个位)
B.2.708 2.71(精确到十分位)
C.0.054 0.1(精确到 0.1)
D.0.0136 0.013(精确到 0.001)
【解析】
A.103.57 104；B.2.708 2.7；D.0.0136 0.014，只有选项 C 正确.故选 C.
b
知识梳理
三、实数的乘方
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂a a a an
实数及其运算知识点讲练(课件)中考数学一轮大单元复习(全国通用)
（2）（2022·山东济南·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ D ）
A． > 0
B． + > 0
C． <
解：根据图形可以得到：
−பைடு நூலகம் < < −2 < 0，0 < < 1，
∴ < 0，故A项错误， + < 0，故B项错误，
值符号
－1 的奇偶次幂
法则
a－b，（a＞b）
|a－b|＝0，（a＝b）
b－a.（a＜b）
－1 的奇数次幂为－1，－1 的偶数次幂为 1.
常见的开方
3
3
4＝2， 9＝3， 16＝4， 25＝5， 8＝2， －27＝－3.
2.四则运算法则
(1)加法：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
1 −1
2
．
（1）解：sin2 30° + 2sin60° + tan45° − tan60° + cos 2 30°
2
1
3
=
+2×
+1− 3+
2
2
1
3
= + 3+1− 3+
4
4
= 2；
3
2
2
（2）解： 8 − 2sin45° + 2cos60° + 1 − 2 +
2
1
1
+2× + 2−1+
1
2
2
2
简单数学工作室
简单数学工作室
一、知识点
1、实数的分类
中考数学一轮复习考点专练实数的相关概念课件
C．带根号的数都是无理数
D．实数包括正实数、负实数
2．(202X·乐山)如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元
记作＋2元，支出5元记作(
)
A．5元 B．－5元
C．－3元 D．7元
3．(202X·潜江)下列实数中是无理数的是(
)
A．3.14
B. 9 C. 3
D. 1
7
4．向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用 负数表示，“体重减少1.5kg”换一种说法可以叙述为“体重增 加 _－__1_._5_kg”．
为( )
A．0.10909×105
B．1.0909×104
C．10.909×103
D．109.0报网，中国科学技术大学的潘建伟、陆
朝阳等人构建了一台76个光子100个模式的量子计算机“九章”．它
处理“高斯玻色取样”的速度比目前最快的超级计算机“富岳”快一
百万亿倍．也就是说，超级计算机需要一亿年完成的任务，“九
18．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我 国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵 式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用
横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：
6728,6708)，
则
表示的数是 _9_1_6_7_．
1.对于含有计数单位或计量单位并需转换单位的科学记数法，可 以利用1亿＝108，1万＝104，1mm＝10－3m，1μm＝10－6m，1nm＝ 10－9m等来表示，能提高解题的效率． 2．用科学记数法表示数时，要注意已知数据是否与表达数据单位 一致．
8.(202X·兴安盟)用四舍五入法把某数取近似值为5.2×10－2，
中考数学第一轮复习教案(实数、整式、分式、根式)
中考总习1 实数1、平方根定义1：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。
即a x =。
规定：0的算术平方根是0。
定义2：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根。
即a x ±=。
定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
因为一个非零实数的平分肯定是正数，所以，正数有两个平方根，它们互为相反数；例如：4的平分根为±2，是互为相反数的；0的平方根是0；负数没有平方根。
2、立方根定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
即如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根，记作3a 。
即3a x =。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。
3、无理数无限不循环小数又叫做无理数。
初中常见的无理数有：带有根号开不出来的式子，例如：、、等等；带有的式子，例如： ，等等；无限不循环小数，例如：1.325…，-0.2587…等等4、实数有理数和无理数统称实数。
即实数包括有理数和无理数。
备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
例如：3-的相反数为3，倒数为3331-=-，3-的绝对值为。
5、实数的分类分法一：负有理数 0 无理数 实数有理数正有理数负无理数 正无理数 有限小数或 无限循环小数无限不循环小数 知识要点分法二：实数 0由上可知，一个数要是分数，前提必须是有理数，所以，不是所有的a/b 这样的数，都是分数。
例如:不是分数，是无理数。
6、实数的比较大小有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
中考数学第一轮复习之实数(2)课件华东师大版
5 6 7 14
10
11 12 13 22
17 18 19 20 21
… … … … …
23
(2009成都) 1 已知an ( n 1, 2, 3, ),记b1 2(1 a1 ), 2 ( n 1) b2 2(1 a1 )(1 a2 ), , bn 2(1 a1 )(1 a2 ) (1 an ), 则通过计算推测出bn的表达式为bn ______ .
b b b b 8、 (1)一组按规律排列的式子： - , 2 , 3 , 4 , a a a a (ab 0), 其中第7个式子是 ___, 第n个式子是 ___ .
2
5
8
11
(2)观察下列单项式： 0， 3 x ,8 x ,15 x , 24 x , , 按此规律，第n个单项式是 ______ .
7、已知数轴上两点A、B到原点的距离分别是 2和2，则AB ____ .
8、寻找规律的题
(09南宁)正整数按如图的规律排列．请写出 第20行，第21列的数字______.
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行
第二行 第三行 第四行 第五行 ……
1 4 9 16 25
2 3 8 15 24
(5)小说《达 芬奇密码》中的一个故事里出现了 一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小 到大的顺序排列为： 1， 1，，， 2 3 5， 8， ，则这列数的第 8个数是 ____ .
9、已知m 2, n 2，且m, n均为正整数，如果将
n
m 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述， 其中正确的是 ______ .
4
8 12 16 பைடு நூலகம்0 24 28 32 36 …
中考数学专题复习30讲第2讲实数.docx
【考点总汇】一、实数的有关概念及分类无理数: ________“「壬（1）所有实数都可以在数轴上表示出來，实数与数轴上的点 _____________2.性质2［（2）有理数中相反数、绝对值、倒数的意义同样适用于实数微拨炉： 1•不要误认为无限小数都是有理数，只有无限不循环小数才是无理数.2. 带根号的数不都是无理数，只有那些开方开不尽的数才是无理数。
3. 易误认为正无理数和负无理数之间应有零。
二、实数的运算•种类：实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、 __________（1） 可以进行开平方运算（2） 都可以进行开立方运算2. __________________________ 实数的运算顺序：先算 __________ ,再算 ,最后算 ，如果有括号，先算括号里面的3•冬次幕及负整数指数幕:6f° = __________ (GH O) , a~n — ____________ (aHO,是正整数)微拨炉： 1. 负整数指数幕理解岀错，如（-丄尸=丄。
2 22. 零指数幕理解错误,如（一2015）° =0。
高频考点1、平方根、算术平方根、立方根【范例】（1） 8的平方根是（2） 4的算术平方根是第2讲实数「分类：实数有理数｛ 整数1•实数的运算 开方运算 A.4B ・±4 c. 2V2 D.±2A /2A.-2B.21C.--1D.-得分要领：1. 一个正数的平方根有两个，不要丢掉其中的负平方根，算术平方根是其中的一个正平方根, 不要弄错了符号。
2. 若一个正数d 不能写成某个数的平方的形式，则直接说它的平方根为土丽。
3. 计算形如/和石的平方根，要先根据平方和算术平方根的定义得出化简后的结果，再根 据平方根的定义进行求解。
4.4的平方根是 ________ -高频考点2、相关概念及实数的分类【范例】下列各数：龙，V8 , cos60\ 0, V3 ,其中无理数的个数是（） 3A.1个B.2个C.3个D.4个得分要领:1. 在判断带根号的数是否为无理数时，要先看这些数能否根据平方根或立方根的定义化简, 能化简成整数或分数的是有理数，反之是无理数。
九年级一轮复习知识复习第二课：实数
实数1、如果一个正数x 的平方等于a ，即x ²= a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
2、如果一个数（不论正负）的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
如果x ²= a ，那么x 叫做a 的平方根。
3、如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果x ³= a ，那么x 叫做a 的立方根。
4、求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
5、正数a 的算术平方根，记作“a ”。
a(a≥0)的平方根记为为。
一个数a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数，3是根指数。
6、运算公式7、开方规律小结：①若a ≥0，则a 的平方根是，a 的算术平方根；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个又叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
②实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
③若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
④两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。
6、小数点移动规律：①平方根（如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位）；②立方根（开立方的小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位）。
7、实数的分类8、判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不a ±a 0,16π是无理数。
9、有理数与无理数的区别①有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；②所有的有理数都能写成分数的形式（分数：分子和分母都是整数），而无理数则不能写成分数形式。
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高频考点 1、平方根、算术平方根、立方根 【范例】 （1）8 的平方根是（ A. 4 B. 4 ） C. 2 2 ） C. D. 2 2
（2）4 的算术平方根是（ A. 2 B. 2
1 2
D.
1 2
1
得分要领： 1.一个正数的平方根有两个，不要丢掉其中的负平方根，算术平方根是其中的一个正平方根，不要弄错了 符号。 2.若一个正数 a 不能写成某个数的平方的形式，则直接说它的平方根为
0
1 2
2
2 sin 30 。
7
（2）计算：
1 3 5 2 cos 30 ( ) 1 (9 3 ) 0 4 。 3
12.（8 分）已知实数 a ， b 在数轴上的位置如图。
求代数式 a
2 + a 3 a b b 3 的值。
【培优训练】 13.（12 分）如图，一只蚂蚁从 A 点沿数轴向右直爬两个单位到达 B ，点 A 表示 数为 m 。
【限时小测】建议用时 40 分钟。总分 60 分 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1.0.49 的算术平方根的相反数是（ A. 0.7 B. 0.7 ） C. 0.7 D. 0
2.实数 3 27 ，0， ， 16 ， （ ） B.2 个
1 ， 0.101 001 000 1 （相邻两个 1 之间依次多一个 0） ，其中无理数有 3
D. 3 m 4
5.设边长为 3 的正方形的对角线长为 a ，下列关于 a 的四种说法：① a 是无理数；② a 可以用数轴上的一 个点来表示；③ 3 a 4 ；④ a 是 18 的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是（ A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④ ）
6.文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小 1，若 输入 7 ，则输出的结果为（ A.5 B.6 ） C.7 D.8
2 ，设点 B 所表示的
（1）求 m 的值。 （2）求 m 1 ( m 2015) 的值。
0
8
【限时小测】参考答案 1.B 7.-4 2.B 8.1 3.B 9.2 4.B 5.C 6.B
10. 2 3
32 3 4
3
n 2 n 的整数部分为 n
9
1 ， ， 3 8 ， cos 60 ，0， 3 ，其中无理数的个数是（ 3
C.3 个 D.4 个
）
B.2 个
22 ，0， ， 36 ，－1.414 中，有理数有（ 7 2
B.2 个 C.3 个 D.4 个
1 3
D. 3 ）
2
3.下列实数中，是无理数的为（ A. 1 B.
） C. 2 D. 3.14 。
x 2 mx ny 10 是二元一次方程组 的解，则 2m n 的算术平方根为 y 1 nx my 0
2014
12.计算： 1
1 9 ( 1) 0 ( ) 1 。 2
13.计算： ( )
1 2
2
(1) 2015 9 (3.14 ) 0 1 2 。
4
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边 【例题】计算： 2 ( ) 解： 2 ( )
2 2
1 2
1 2
2
22 2 8。
2
22 2 8。
4 4 (2 2 2 ) 2 2 ………………① 4 4 2 2 2 2 2 …………………② 2 4 2 …………………………………③
） D. 1
2.绝对值等于
A. 2
2 2
C.
2 2 或 2 2
） D. 2
D.
2
3.在实数 0， 3 ， A.
2 3
2 ， 2 中，最小的数是（ 3
C. 3 ）
B. 0
4.估计 7 2 6 的值在（ A.1 到 2 之间
B.2 到 3 之间
C.3 到 4 之间 ）
9.若在数轴上点 A 表示的实数是 3 ，线段 AB 的长为 2，则点 B 所表示的实数是 10.计算下面式子，根据你得到的规律作答。
11 2 111 22 2
11.若已知
； 1111 22
； 111 111 222
；
。(根号内有 2n 个 1， n 个 2) 。
D.4 到 5 之间
5.如图，实数 8 3 在数轴上表示的点的大致位置时（
Hale Waihona Puke A.点 A 6.计算： 2
1
B.点 B
C.点 C 。
D.点 D
( 2) (1) 2013
5
7. 16 的平方根是 8.函数 y
。 。 。
x 1 ( x 2) 0 中自变量 x 的取值范围是
10.先阅读理解，根据所学按规律填空。 ∵ 1 1 ∵ 2 2 ∵ 3 3
2 2 2
2 ，且 1 2 2 ，∴ 12 1 的整数部分为 1。 6 ，且 2 6 3 ，∴ 2 2 2 的整数部分为 2。
，且 ，∴ 3 3 的整数部分为 。
2
。
以此类推，把你发现的规律用 n 表示出来为： 三、解答题（共 30 分） 11.（10 分） （1）计算： (3.14 ) ( )
2.下列无理数中，在－2 与 1 之间的是（ A. 5 B. 3 ） B. 4 5 1 C. 3
3.下列计算错误的是（ A. 4 ( 2) 2
C. ( 2)
2
4
D. 2014 1
0
3
4.计算： 2 sin 30 ( 1) 2
2
2。
5.计算： ( )
2
a。
3.计算形如 a 和 a 的平方根，要先根据平方和算术平方根的定义得出化简后的结果，再根据平方根的定 义进行求解。 【考题回放】 1.－8 的立方根是（ A. 2 ） C. 2 ） C. 9 ） C. 1 。 D. 1 D. 9 D.
B. 2
1 2
2. 81 的平方根是（ A. 3
第2讲
【考点总汇】 一、实数的有关概念及分类
实数
整数 有理数 1.分类： 实数 ________ ________ 无理数：
2. 性质
（ 1）所有实数都可以在数 轴上表示出来，实数与 数轴上的点 ________ （ 2）有理数中相反数、绝 对值、倒数的意义同样 适用于实数
2.实数的运算顺序：先算
0
，再算
，最后算
n
，如果有括号，先算括号里面的
3.零次幂及负整数指数幂： a ________ （a 0），a 微拨炉： 1.负整数指数幂理解出错，如 ( )
0
________ （a 0，是正整数）
1 2
1
1 。 2
2.零指数幂理解错误，如 ( 2015) 0 。
得分要领： 1.实数的大小比较也可以采用有理数大小比较的方法进行，但有时要考虑无理数的近似值。 2.实数的混合运算要综合运用绝对值、算术平方根、立方根、三角函数、零指数和负整数指数等知识，同 时要注意运算顺序。 3.实数的混合运算也可运用运算律或乘法公式。 4.零指数和负整数指数的底数不能为 0。 【考题回放】 1.估计 5 在（ A.在 0~1 之间 ） B.1~2 之间 C.2~3 之间 ） D. 5 D.3~4 之间
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分） 7.在实数 0 ， ， 3 ， 4 中，最小的数是 8.若一个正数的平方根为 3a 2 和 2a 3 ，则这个数为 9.已知 。 。 。
x 2 mx ny 7 是二元一次方程组 的解，则 m 3n 的立方根为 y 1 nx my 1
C.3 个 D.4 个
A.1 个
6
3.实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 a 2.5 （
）
A. a 2.5 4.如果 m A. 0 m 1
B. 2.5 a
C. a 2.5 ）
D. a 2.5
7 1 ，那么 m 的取值范围是（
B. 1 m 2
C. 2 m 3
微拨炉： 1.不要误认为无限小数都是无理数，只有无限不循环小数才是无理数。 2.带根号的数不都是无理数，只有那些开方开不尽的数才是无理数。 3.易误认为正无理数和负无理数之间应有零。 二、实数的运算
________ 种类：实数的运算包括 加、减、乘、除、乘方 、 1. 实数的运算 （ ________ 可以进行开平方运算 1） 开方运算（ ________ 都可以进行开立方运算 2）
2
B. 3
3. 3（－1 ） 的立方根是（ A. 1 4.4 的平方根是 B. 0
高频考点 2、相关概念及实数的分类 【范例】下列各数： A.1 个 得分要领： 1.在判断带根号的数是否为无理数时，要先看这些数能否根据平方根或立方根的定义化简，能化简成整数 或分数的是有理数，反之是无理数。 2.无理数常见的四种形式： （1）开不尽方的数（根号型） ； （2）圆周率 ； （3）类似 0.101 001 000 1…（每 两个 1 之间依次多 1 个 0）这样的小数； （4）三角函数中的一些数（三角函数型） 。 【考题回放】 1.下列实数中，属于无理数的是（ A. 3 2.在实数 5 ， A.1 个 B. 3.14 ） C.
1 2
4.如图，在正方形 ODBC 中，若 OC 1 ， OA OB ，则数轴上点 A 表示的数是
高频考点 3、实数的运算及其大小比较 【范例】 （1）若设 n 为正整数，且 n A.5 B.6 C.7