数学教案 (参数方程与普通方程互化)
参数方程和普通方程的互化教案
情景引入 精讲例题 学生板演 当堂练习
情景引入：
解析：
可以通过消去参数而参数方程得到普通方程，普通方程通过引入参数转化参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。
例题讲解：
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；
练习、将下列参数方程化为普通方程：
课后反思：把参数方程化为普通方程是学生必须掌握的基本方法。从第一节课情况来看，学生的观察能力还需提高。
讲练结合
当堂掌握
教学
后记
媒体设计思路：
激发兴趣是推动学生学习的动力。现代信息技术以其本身特有的新颖性、趣味性等特点，对激发学生学习兴趣有着不可估量的优势，利用信息技术与学科融合教学的关键是创设情境，激发学生学习兴趣，从而调动学生的学习积极性、主动性、创造性。在课前教学准备中，我按照学生的认知规律设计脚本，在情景中激发兴趣，帮助学生认知，引发学生真实的情感体验，培养学生的认知能力。
例2,参数方程
表示（）
备用例题
例3、曲线的参数方程 化为普通方程。
例4、把曲线 化为普通方程，并说明它表示什么曲线。
练习 课后 P25-26
小结：1入法 2、利用三角或代数恒等式消参
2、普通方程化为参数方程一般不唯一
3、在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。
课题
参数方程和普通方程的互化
执笔人
洪林
编写日期
6.15
执行人
洪林
执行日期
6.19
三维
教学
目标
1、了解参数方程与普通方程之间的联系与区别，掌握它们的互化法则。
2、能应用代入法和代数或三角恒等变形将参数方程化为普通方程
参数方程与普通方程的互化导学案
参数方程与普通方程的互化导学案一、引入参数方程和普通方程是解决几何问题时常用的两种方程形式。
参数方程是使用一个或多个参数来表示几何图形中各个点的坐标，而普通方程是使用变量来表示几何图形中的关系。
本文将介绍参数方程与普通方程的定义、特点、互化方法以及求解过程。
二、参数方程的定义1.一维参数方程：当几何图形只有一个自变量t时，我们可以用一维参数方程来表示，形式为x=f(t),y=g(t)，其中x和y为几何图形中其中一点的坐标。
2.二维参数方程：当几何图形有两个自变量t和u时，我们可以用二维参数方程来表示，形式为x=f(t,u),y=g(t,u)，其中x和y为几何图形中其中一点的坐标。
三、参数方程的特点1.参数方程能够灵活地表示几何图形中的各个点，因为参数可以取任意值，所以可以表达出图形中的任意点。
2.参数方程可以较为简单地表示复杂的曲线或图形，例如椭圆、双曲线等。
3.参数方程可以通过改变参数的取值范围，实现对曲线或图形的变换，例如平移、旋转等。
4.参数方程能够较为直观地表示几何图形的性质，例如曲线的对称性、渐进线等。
四、普通方程的定义普通方程是使用变量来表示几何图形中的关系，通常形式为F(x,y)=0，其中F为表示关系的函数。
五、普通方程与参数方程的互化方法1.由参数方程得到普通方程：将参数方程中的参数用变量替代，然后消去参数，得到普通方程。
例如，对于一维参数方程x=t^2，y=t+1，我们可以将t用x和y来表示，得到x^2=y-1，进一步整理得到x^2-y+1=0，即为普通方程。
2.由普通方程得到参数方程：将普通方程中的变量用参数来表示，然后整理得到参数方程。
例如，对于普通方程x^2+y^2=1，我们可以将x和y分别用参数t来表示，得到x=cos(t)，y=sin(t)，即为参数方程。
六、参数方程与普通方程的求解过程1.由参数方程得到普通方程：(1)将参数方程中的参数用变量替代，得到x=f(x,y)和y=g(x,y)。
初中数学参数方程讲解教案
初中数学参数方程讲解教案
教学目标：
1. 理解参数方程的概念，掌握参数方程的表示方法。
2. 能够将实际问题转化为参数方程，并运用参数方程解决简单问题。
3. 理解参数方程与普通方程的区别和联系，能够进行相互转化。
教学重点：
1. 参数方程的概念及其表示方法。
2. 参数方程的实际应用。
教学难点：
1. 参数方程与普通方程的转化。
教学准备：
1. 教学课件或黑板。
2. 相关实际问题素材。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入参数方程的概念，让学生回顾普通方程的概念。
2. 提问：普通方程与参数方程有什么区别和联系？
二、新课讲解（20分钟）
1. 讲解参数方程的概念，解释参数方程的表示方法。
2. 通过示例，让学生理解参数方程的实际应用。
3. 讲解参数方程与普通方程的转化方法。
三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成课堂练习题目，巩固参数方程的概念和应用。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为参数方程。
四、总结与拓展（10分钟）
1. 对本节课的内容进行总结，强调参数方程的概念和应用。
2. 提问：如何判断一个方程是不是参数方程？
3. 拓展思考：参数方程在实际生活中的应用有哪些？
教学反思：
本节课通过讲解参数方程的概念和表示方法，让学生了解参数方程的实际应用，并掌握参数方程与普通方程的转化方法。
在课堂练习环节，学生能够独立完成相关题目，巩固所学知识。
但在拓展思考环节，学生对于参数方程在实际生活中的应用还不够清晰，需要在今后的教学中加强实例讲解和练习。
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化一、参数方程转换为普通方程对于一个平面曲线，通常可以用参数方程表示，如x=f(t)，y=g(t)。
将其转换为普通方程的方法是将参数t消去，得到y=f(x)的形式。
以直线为例，设直线的参数方程为x=x0+a*t，y=y0+b*t，其中x0和y0为直线上其中一点的坐标，a和b为向量(a,b)的分量。
我们可以通过消去参数t，得到直线的普通方程。
首先，我们可以通过两个参数方程消去参数t，得到x-x0/a=y-y0/b。
然后，通过变形化简得到b*(x-x0)=a*(y-y0)，即b*x-a*y=b*x0-a*y0。
因此，我们可以得到直线的普通方程为b*x-a*y=b*x0-a*y0。
同样的方法可以应用于其他类型的曲线，如圆形、抛物线、椭圆等。
通过将参数方程中的参数消去，我们可以得到这些曲线的普通方程。
二、普通方程转换为参数方程对于给定的普通方程f(x,y)=0，要将其转换为参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以通过替换变量的方法实现。
以圆为例，设圆的普通方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
要将其转换为参数方程，可以设x-a=r*cos(t)，y-b=r*sin(t)。
通过替换变量，我们可以得到参数方程x=a+r*cos(t)，y=b+r*sin(t)。
类似地，对于其他类型的曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，也可以通过替换变量的方法得到参数方程。
根据曲线的性质和普通方程的形式，选择适当的替换变量可以简化参数方程的形式。
三、参数方程于普通方程的优缺点参数方程和普通方程各有优缺点，根据具体的应用场景选择合适的表达形式。
参数方程的优点在于可以直接描述几何图形的轨迹，可以用简洁的数学形式表示出曲线的特点。
参数方程也更适合于描述复杂的曲线，如螺旋线、双曲螺线等。
此外，参数方程也更适合于计算机图形学和动画设计等领域，可以通过改变参数值来控制图形的形态和运动。
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是数学中常用的表达方式，它们在不同的问题中有着不同的应用。
参数方程是将一个图形的点表示为一个或多个参数的函数，而普通方程则是将一个图形表示为变量之间的关系式。
接下来，我将详细介绍参数方程与普通方程的互化。
1.参数方程转换为普通方程：将参数方程转换为普通方程的主要思想是通过消除参数化表示中的参数。
下面以一个简单的例子来说明这个过程。
考虑一个简单的参数方程：$x=2t$$y=t^2$要将它转换为普通方程，我们需要通过消除参数t来获得$x$和$y$之间的关系。
观察参数方程可以发现，$t$在$x$和$y$的表示中都存在。
我们可以利用第一个参数方程来消除$t$，得到$x=2t$。
然后将这个$x$的表达式代入第二个参数方程中，得到$y=(x/2)^2$，再对其进行化简，得到普通方程$y=x^2/4$。
2.普通方程转换为参数方程：将普通方程转换为参数方程的主要思想是引入一个新的参数，让普通方程的变量都表示为这个参数的函数。
下面同样以一个例子来说明。
考虑一个简单的普通方程：$y=x^2$要将它转换为参数方程，我们需要引入一个新的参数$t$，让$x$和$y$都表示为$t$的函数。
我们可以让$x=t$，然后将这个$x$的表达式代入到普通方程中，得到$y=t^2$。
通过这样的转换，我们可以得到参数方程$x=t$，$y=t^2$。
3.参数方程与普通方程的应用：参数方程和普通方程在不同的情况下有着不同的应用。
参数方程的主要优势是可以描述一些较复杂的曲线，尤其是含有角度或弧度的曲线。
在物理学和工程学中，参数方程常被用来描述物体在空间中的运动轨迹，例如质点在直角坐标系中的坐标随时间的变化情况。
普通方程则更适合描述一些简单的几何图形，尤其是直线和圆形。
在几何学和代数学中，普通方程常被用来解决直线和圆的性质问题，例如确定直线的斜率、直线与曲线的交点等。
4.参数方程与普通方程的优缺点分析：从以上的讨论可以看出，参数方程和普通方程各有优缺点。
参数方程与普通方程互化教案
参数方程与普通方程互化教案一、教学目标1. 让学生理解参数方程与普通方程的概念及其关系。
2. 培养学生掌握参数方程与普通方程的互化方法。
3. 提高学生运用参数方程与普通方程解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 参数方程与普通方程的定义。
2. 参数方程与普通方程的互化方法。
3. 典型例题解析。
三、教学重点与难点1. 重点：参数方程与普通方程的概念、互化方法。
2. 难点：参数方程与普通方程互化过程中的计算。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 引导学生通过合作、探究、交流，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过实例介绍参数方程与普通方程的概念，引导学生理解二者之间的关系。
2. 讲解与演示：讲解参数方程与普通方程的互化方法，并通过演示让学生直观地感受互化过程。
3. 练习与讨论：布置一些典型例题，让学生独立完成，进行讨论，分析解题思路和方法。
5. 布置作业：布置一些有关参数方程与普通方程互化的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课后收集学生的练习成果，评价学生的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行课堂测试，检验学生对参数方程与普通方程互化的掌握情况。
3. 关注学生在解决问题时的创新意识和运用能力，给予鼓励和指导。
七、课时安排本节课计划用2课时完成。
八、教学资源1. 多媒体课件。
2. 练习题及答案。
3. 课堂测试题及答案。
九、教学建议1. 在教学过程中，注意让学生多动手、动脑，提高学生的实践能力。
2. 针对不同学生的学习情况，给予个别辅导，提高学生的学习兴趣。
3. 课后积极与学生沟通，了解学生的学习需求，不断调整教学方法。
十、课后反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。
关注学生的学习兴趣和个性发展，为下一节课的教学做好准备。
六、教学目标1. 让学生掌握将参数方程转化为普通方程的基本步骤。
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ ①y ＝2tan θ ②，由y ＝2tan θ，得tan θ＝y 2，代入①得y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，12，－1.(1)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t＋e －t)y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)的普通方程是________．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，消参得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y ＝－2x 上．故选B.(2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1. 答案：(1)B (2)x 2－y 2＝1 热点二 直线的参数方程的应用【例2】 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．【解】 (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t)2＋(32t )24＝1，即7t 2＋16t＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.。
参数方程与普通方程互化教案
参数方程与普通方程互化教学目标：1、知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法2、过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
重点难点：教学重点：参数方程与普通方程的互化教学难点：参数方程与普通方程的等价性教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、前置作业1、你能直接说出由参数方程表示的动点M的轨迹吗？2、将下列曲线的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线3、从上题转化过程中，你能归纳出其一般步骤吗？采用了什么处理手法？二、教学过程1、展示前置作业，学生小组合作、探究前置作业中的问题。
2、学生分组展示探究成果。
1）在解方程组中通常用的消元方法有哪些？2)写出圆222x y r+=的参数方程学生展示前置作业问题1解：由11x=≥有1x=-，代入1y=-23(1)y x x=-+≥，这是以（1，1）为端点的一条射线。
注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。
否则，互化就是不等价的.12(1)()2x tty t=+⎧⎨=-⎩为参数)(sin4cos5为参数θθθ⎩⎨⎧==yx1.1xty⎧=⎪⎨=-⎪⎩是参数）小结：1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化.探究新知（预习教材P 24～P 26，找出疑惑之处）[读教材·填要点]参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是 的不同形式，一般地，可以通过 而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使保持一致．学生展示前置作业问题2强调注意三角函数法：利用一些三角函数恒等式来消去参数，注意等价变形小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数。
参数方程和普通方程的互化(学案)
参数方程和普通方程的互化班级： 姓名： 小组： 评价： 【学习目标】1．参数方程与普通方程的互化2．掌握化参数方程为普通方程的几种方法 3．培养严谨的数学思维品质 【学习重点】 等价变形 【学习难点】 等价变形 【课堂六环节】一、“导”------教师导入新课（3分钟）二、“思”------自主学习。
学生结合课本自主学习。
完成以下有关内容。
（13分钟） 阅读课本第24-26页，将你认为重要的部分勾画出来，然后合上课本，解答以下问题： 下列曲线的参数方程化为普通方程：例1、 代入法：先由x=f(t)或y=g(t)解出t(用x,y 表示)，在代入另一个方程从而消去参数 t ，注意等价变形 )(221R t ty tx ∈⎩⎨⎧-=+=例2、三角法：利用一些三角恒等式来消去参数，注意等价变形)20(sin 4cos 5πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x例3平方作差法：先将x=f(t)或y=g(t)两边分别平方，然后相减，即可消去参数，注意等价变形)0(2112≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y tt x例4、线段型：通过观察，普通方程是一条直线，注意等价变形t y t t x (31⎪⎩⎪⎨⎧=+=为参数）例5、设x=2cos )20(πθθ<≤,将曲线的普通方程x 2+y 2-4y=0化为参数方程三、“议”------学生起立讨论。
小组集体商议以上学习的内容，每位小组成员根据自己的学习思考结果核对、复述、更正、补充以上的学习内容，还可以讨论与以上学习内容相关的拓展性知识。
（9分钟）四、“展”------学生激情展示。
小组代表或教师随机指定学生展示。
（8分钟） 五、“评”------教师点评，教师总结规律，点评共性问题，或拓展延伸。
（8分钟） 六、“检”------课堂检测。
（3分钟）1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty t x 211（t 为参数） （2）⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数）（3）⎩⎨⎧--=-=t y t x 4123（t 为参数） （4）⎩⎨⎧+==12cos cos θθy x （θ为参数）（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 11（t 为参数） （6）⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x （θ为参数）（7）⎪⎩⎪⎨⎧--=+=19122t y t x （8）)2,0(sin 452cos 12⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧-=+=πθθθy x（9）)0(112222≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y t t x （10）θθ(cos 21⎩⎨⎧+==y x 为参数）2、根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程（1）19422=+y x ，设θcos 3=x ，θ为参数 （2）012=---y x y ，设1-=t y ，t 为参数。
参数方程及普通方程的互化教学设计
参数方程及普通方程的互化教学设计一、教学目标1.了解参数方程和普通方程的基本概念；2.掌握参数方程与普通方程的互相转化方法；3.能够根据给定条件将参数方程转化为普通方程，或将普通方程转化为参数方程；4.运用所学知识解决问题。
二、教学资源1.教材《高中数学(上)》；2.教学PPT；3.课件与练习作业。
三、教学步骤步骤一：导入（10分钟）1.引入参数方程和普通方程的概念，并给出一些实际生活中的例子，如小车的运动轨迹等；2.引导学生讨论参数方程和普通方程的异同点，并总结出两者的特点。
步骤二：参数方程转化为普通方程的方法（20分钟）1.通过案例解析，引导学生分析参数方程转化为普通方程的基本思路；2.介绍常见的参数方程转化为普通方程的方法，如消元法、平方相加法等；3.通过示例演练，巩固学生的转化方法和技巧。
步骤三：普通方程转化为参数方程的方法（20分钟）1.通过案例解析，引导学生分析普通方程转化为参数方程的基本思路；2.介绍常见的普通方程转化为参数方程的方法，如参数代换法、平方差法等；3.通过示例演练，巩固学生的转化方法和技巧。
步骤四：综合应用（30分钟）1.给出一个综合应用的问题，要求学生将其转化为参数方程或普通方程，并解决问题；2.学生分组讨论解决方案，并展示他们的思路和答案；3.教师进行点评，总结问题解决的方法和技巧。
步骤五：拓展与延伸（10分钟）1.引导学生思考参数方程和普通方程的应用领域，并给出一些实际生活中的例子；2.鼓励学生拓展和延伸所学知识，尝试解决更复杂的问题。
四、教学互动方式1.导入环节可以采用提问和小组讨论的方式，激发学生的主动参与；2.参数方程和普通方程转化的讲解可以结合PPT和示例演练进行，提高学生的学习效果和兴趣；3.综合应用环节可以采用小组讨论和展示的形式，增强学生的团队协作精神和解决问题的能力；4.拓展与延伸环节可以鼓励学生自主学习和思考，进行个人或小组报告。
五、教学评估1.在课堂中通过提问、演示和讨论的形式进行即时评估，了解学生对所学知识的掌握情况；2.布置课后作业，检验学生是否能够独立解决参数方程与普通方程的转化问题；3.结合小组展示的内容，综合评价学生在解决综合应用问题中的表现。
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化传统的数学学科中，方程是一种非常重要的概念。
一般而言，我们所看到的方程都属于普通方程，比如抛物线的方程或是直线的方程等等。
然而，除了普通方程之外，还有一种非常重要的方程，那就是参数方程。
参数方程是一种用参数的形式来表示曲线的方程，其主要特点是可以直观地描述出曲线的走向和形状，因此在实际计算和理论研究中具有非常重要的价值。
对于普通方程和参数方程的互化，我们可以通过以下几个步骤来实现。
一、将普通方程转化为参数方程对于普通方程 y = f(x)，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = f(t)。
这里的 t 是一个参数，我们可以将其看作是一个自变量，它的变化将会影响到函数图像的形态和走向。
以直线 y = 2x + 1 为例，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = 2t + 1。
在这个参数方程中，当 t 取 0 时，我们可以得到直线的一个点 (0,1)，而当 t 取 1 时，我们可以得到直线的另一个点(1,3)，以此类推。
通过这样的转化，我们不仅可以更加直观地描述出曲线的走向和形态，还能够对曲线进行更加细致的研究和计算。
二、将参数方程转化为普通方程对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，我们可以通过消除参数 t 来得到普通方程 y = g(x)。
这个过程需要用到高中阶段学习的基本代数技能，具体步骤如下：1. 由第一个参数方程得到 x = f(t)，即 t = f^{-1}(x)。
2. 将第二个参数方程中的 t 用上一步得到的代数式代替，得到y = g(f^{-1}(x))。
3. 对上一步得到的式子进行合并和化简，即可得到普通方程形式的表达式 y = g(x)。
以圆为例，我们可以将其参数方程 x = rcos(t)，y = rsin(t) 转化为普通方程：1. t = arccos(\frac{x}{r}) 或 t = arcsin(\frac{x}{r})。
(完整word版)导学案：参数方程与普通方程的互化
课题：参数方程与普通方程的互化【学习目标】1．进一步理解参数方程的概念及参数的意义。
2．能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型3．能选择适当的参数将普通方程化成参数方程【重点、难点】参数方程和普通方程的等价互化。
自主学习案【问题导学】阅读课本P24—P26，然后完成下列问题：1． 参数方程的概念(1)在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数)()()(D t t g y t f x ∈⎩⎨⎧==, 并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M （x,y ）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的_________，联系变数x 、y 的变数t 叫做______，简称______。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程0),(=y x F 叫做___________。
(2)______是联系变数x,y 的桥梁，可以是一个有_____意义或_____意义的变数，也可以是_____________________________的变数。
2、 （1）圆心在原点O ，半径为r 的圆的一个参数方程是_____________________；（2）圆222)()(r b y a x =-+-的一个参数方程是______________________.3、指出下面的方程各表示什么样的曲线：（1）2x+y+1=0 表示______________(2) 2321y x x =++表示________________(3) 22194x y +=表示__________________ (4)cos 3()sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数表示________________【预习自测】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1、112x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）2、2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩（为参数）思考：1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？2、在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？合作探究案考向一、参数方程化普通方程例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t y t x 211（t 为参数） （2）⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数）小结：参数方程化普通方程的步骤：练习：将下列参数方程化为普通方程（1） （2） （3）考向二、普通方程化参数方程 例2：求椭圆22194x y +=的参数方程： （1）设3cos ,x ϕϕ=为参数； （2）设2,y t t =为参数思考：1.如果没有明确x 、y 与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？知识归纳： 1、椭圆的标准方程: 的一个参数方程为：_______________________;2、椭圆的标准方程: 的一个参数方程为：______________________; 3214x t y t =-⎧⎨=--⎩sin cos2x y θθ=⎧⎨=⎩221(0)1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪>⎨⎪=+⎪⎩22y 194x +=2222y 1x +=变式练习：动点P(x,y)在曲线22y 1169x +=上变化 ，求3x+4y 的最值。
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化教学目标1．理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的．2．基本掌握消去参数的方法．3．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力．教学重点与难点使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法．教学过程师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题：(放投影片)由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线，交圆周于A、B两点，求AB中点P 的轨迹的参数方程(如图3-5)．分析割线过点Q(a，b)，故割线PQ方程为：此斜率k可作为参数．(投影)解设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a)，则圆心O与AB中点P的即为所求点P的轨迹的参数方程．师：你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗？生：(无言以对)看不出来．(启发学生猜想，培养参与意识．)师：你通过题目中点P符合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状．(学生在纸上画，讨论．)生：点P的轨迹(1)过坐标原点，也就是已知圆的圆心．(2)轨迹不是直线．师：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化．基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了．把(3)代入(2)得：x2-ax+y2-by=0．(4)方程(4)证实了我们的猜想是正确的，具体地说：点P的轨迹是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部)．师：以上事例说明，有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，确实需要把参数方程化为我们认知的普通方程．这节课我们就来学习把参数方程化为普通方程的法则．例1 炮弹从点(0，0)以初速度v0向倾斜角为α的方向发射，问：(1)在时刻t的高度和水平距离如何？(2)炮弹描绘的(弹道)是一条什么样的曲线？(学生通过物理知识，很容易解决这个问题．)解(1)设炮弹发射后的位置在点M(x，y)(如图3-6)，因为炮弹在Ox方向是以v0cosα为速度的匀速直线运动，在Oy方向是以v0sinα为初速度的竖直上抛运动，所以按匀速直线运动的公式知：炮弹在时刻t的水平距离是x=v0cosα·t，按竖直上抛运动的位移公式知：炮弹在时即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢？生：消去参数t，转化成为普通方程后，就可看出曲线的形状了．故炮弹描绘的曲线是一条抛物线．(含顶点在内的一部分．因为二次项系数是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合．)例2 把参数方程即3x+5y-11=0是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线．师：这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法．这正与解方程组中代入消元法相类似．他用学过的知识解决了新问题．你认为他的解题过程有问题吗？生：挺好的．我与他解的一样，没问题．师：同学们在解题时注意参数t的取值范围了吗？生：t为不等于-1的实数，即t≠-1．师：答案是否有何不妥？生：没觉得哪儿不妥，轨迹确实是一条直线．师：普通方程是相对于参数方程而言的，它反映了坐标变量x与y之间的直接关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x与y之间的间接关系．如能消去参数(不是所有的参数方程都能化为普通方程)，参数方程就转化为普通方程，所以普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同的表达形式．为此，在化参数方程为普通方程时，必须注意变数的范围不应扩大或缩小，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小．这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等价．请修正一下你的答案．生：3x+5y-11=0(x≠-3)是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线(去掉点(-3，4))．师：观察一下方程(1)、(2)的形式与你学过的知识中哪个式子类似？(提供类比，用以理解直线的参数方程形式不只一种，它与选定的参数相关．)至此，想必学生悟到t的几何意义：动点P分P1P2所成的比，即t=解过点(2，1)，(-3，4)的直线方程是：化简，得3x+5y-11=0．师：这个事实说明，据参数的几何意义，也能达到消参的目的．师：例2表明，直线的参数方程的形式不只一种．那么对同一个参数方程来说，指定的参数不同，会带来曲线的形状不同吗？你试试看．(激发学生探索问题的兴趣)生：对同一个参数方程来讲，由于指定的参数不同，会带来曲线形状的变化．例4 化下列参数方程为普通方程．(让学生按小组讨论求解，然后在投影仪上打出答案．)略解(1)(x+1)2+y=sin2θ+cos2θ，所以 (x+1)2+y=1，(0≤y≤1)．所以x2-y2=4．师：消去参数的方法常用的有哪些？转化过程中应注意什么？(学生讨论后教师板书)消去参数的方法常用的有以下两种：(1)代入法：先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去(如例1)．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．(如例4)转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小．也就是对应曲线上的点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价．师：方程组中有3个变量，其中的x和y表示曲线上点的坐标；θ是参变量．参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数值时，就能唯一地求出相应的x与y的值，因而也就确定了这时点所在的位置．所以问题可转化为讨论当θ为何值时，点P到直线的距离最小问题．因为tanθ、cotθ同号，又|tanθ+2cotθ+2|≥|tanθ+2cotθ|-|2|，从例5的结论知道，参数θ不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根本性质．这个问题的解决再一次说明：参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性．师：这节课我们学习了参数方程化为普通方程的法则．首先通过问题的提出，我们知道有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．又在将参数方程化为普通方程的过程中，掌握了消去参数的常用方法，并且理解了参数方程和消去参数后所得的普通方程为什么要等价．家庭作业：一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．二、关于t的方程t2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x，y∈R，i是虚数单位)有实根，求动点P(x，y)的轨迹的普通方程．下面是作业题略解．一、(1)(x-x0)2+(y-y0)2=t2，以(x0，y0)为圆心，|t|为半径的圆．(2)y-y0=tanθ(x-x0)，过点(x0，y0)，斜率是tanθ的直线．(3)2x+y-5=0(0≤x＜3)，缺一个端点的线段．(4)y2-x2=4(y≥2)，双曲线的上支．二、已知方程整理为：(t2+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0因为x，y，t∈R，得4x2+y2+4x-2y=0为所求．设计说明参数方程与普通方程的互化，应该是两课时，这是第一课时的内容：参数方程化为普通方程．对这一问题课本仅用3／2页的篇幅介绍了互化的方法共3个例题．纵观全章《参数方程、极坐标》也只是对参数方程进行了初步研究．而事实上，参数方程也是解析几何的重要内容之一，是继续学习数学知识的基础，在生产实践中也有广泛的应用．我们知道，参数方程与带有参数的问题固然不同，但是学习参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助．更有一类问题，看来不是参数方程，而实质上是参数方程问题．这就是所求轨迹的方程，轨迹是双曲线．这解法有些使人莫名其妙，实际上这是参数方程．本来我们应该先把对应直线的交点求出来：这就是所求轨迹的参数方程．为了求x、y的方程而消t的话，可以照这样进行：数学中的参数好像是一种活泼的元素，有它的时候可以添一些麻烦，但这麻烦却多半是有趣的现象．它能使一些问题化繁为简．故活用参数，问题，常规解法是：这一问题也可巧用参数，把它转化成求过动点(cosθ，sinθ)和定点(1，2)直线的斜率取值范围问题．动点P(cosθ，sinθ)的轨迹是以坐标原点为圆心，1为半径的圆(挖去(1，0)点)．如图3-7知：(北京市陈经纶中学纪小华)（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
参数方程化为普通方程教案
参数方程化为普通方程教案一、教学目标1. 理解参数方程与普通方程的概念及它们之间的关系。
2. 学会将简单的参数方程化为普通方程的方法。
3. 能够运用普通方程解决实际问题。
二、教学内容1. 参数方程与普通方程的定义。
2. 参数方程化为普通方程的方法。
3. 普通方程的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：参数方程与普通方程的转化方法。
2. 难点：普通方程在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，引导学生了解参数方程与普通方程的概念。
2. 新课导入：讲解参数方程与普通方程的定义，让学生理解它们之间的关系。
3. 课堂讲解：讲解参数方程化为普通方程的方法，并通过示例进行演示。
4. 课堂练习：让学生独立完成一些简单的参数方程化为普通方程的练习题。
5. 讨论与拓展：引导学生讨论参数方程化为普通方程的过程中可能遇到的问题，并讲解解决方法。
引导学生思考普通方程在实际问题中的应用。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，强调参数方程与普通方程的转化方法及其在实际问题中的应用。
7. 布置作业：让学生课后完成一些相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对参数方程与普通方程转化的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，让学生分享自己在生活中遇到的普通方程应用实例，评估学生对知识的理解和运用能力。
七、教学反思根据学生的学习情况，对教学方法和内容进行调整，以提高学生的学习效果。
在教学中，注重培养学生的动手能力、思考能力和创新能力，提高他们对参数方程与普通方程转化的运用能力。
八、课时安排本节课计划课时为45分钟。
九、教学资源1. 多媒体课件。
2. 练习题。
十、教学拓展1. 引导学生进一步学习更复杂的参数方程化为普通方程的方法。
2. 探讨参数方程与普通方程在其他学科领域的应用。
参数方程与普通方程互化教案
参数方程与普通方程互化一、三维目标：1.知识与技能: (1)了解参数方程与普通方程之间的联系与区别，掌握它们之间的互化法则．(2) 掌握消去参数的基本方法，能熟练地将常见参数方程化为普通方程并正确解决其等价性问题(即x 、y 的范围)．2.过程与方法:因为由参数方程直接判断曲线的类型并不容易,因而通过把参数方程化为普通方程,能让我们更熟悉的认识方程所表示的曲线.3.情感、态度与价值观:让学生体会两者在解题中的各自优势,从而取长补短.二、教学重难点:1.重点: 参数方程与普通方程的互化法则，常见问题的消参方法．2.难点: 整体元消参的方法，参数方程与普通方程的等价性(即x 、y 的范围)．三、教学过程:1.引入新课2.新课讲解:参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程.如：①参数方程 消去参数θ,可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.②参数方程 （t 为参数）通过代入消元法消去参数t ,可得普通方程：y=2x-4（x ≥0）.例1、 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线:2222cos 3,sin cos (3)1sin x x y y M θθθθ=-⎧+=-+=⎨=⎩由参数方程得：所以点的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos θθr b y r a x ⎪⎩⎪⎨⎧-==.42,t y t x 1)1t y ⎧⎪⎨=-⎪⎩(1)为参数sin cos ().1sin 2y θθθθ+⎧⎨=+⎩x=(2)为参数(1)11231)x y x =≥=-+≥解：因为所以普通方程是（x例2.3.2、曲线y=x 2的一种参数方程是（ ）分析: 在y=x 2中，x ∈R, y ≥0，在A 、B 、C 中，x,y 的范围都发生了变化，因而与 y=x 2不等价；而在Ｄ中，x,y 范围与y=x 2中x,y 的范围相同， 且以，，代入y=x 2后满足该方程，从而D 是曲线y=x 2的一种参数方程.注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致。
数学教案 (参数方程与普通方程互化)
课题：参数方程与普通方程互化教学过程：一、复习引入：问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性）二、讲解新课：1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。
2、常见曲线的参数方程（1）圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数） （3）椭圆12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθs i nc o s b y a x （θ为参数） （4）双曲线12222=-by a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθt a n s e c b y a x （θ为参数） （5）抛物线Px y 22=参数方程⎩⎨⎧==Pty Pt x 222（t 为参数） （6）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）典型例题1、 将下列参数方程化为普通方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2222t y t t x （2）⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=2221t ty t t x （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x （5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)1(3)1(222t t y t t x变式训练12、（1）方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x 表示的曲线A 、一条直线B 、两条射线C 、一条线段D 、抛物线的一部分（2）下列方程中，当方程x y =2表示同一曲线的点 A 、⎩⎨⎧==2t y t x B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin sin 2 C 、⎩⎨⎧=+=t y x 11 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ty t t xos x tan 2cos 121 例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。
(201907)高三数学参数方程和普通方程的互化
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin
x y
3,sin2
cos2 (x 3 Nhomakorabea2
y2
1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
参数方程和普通方程的互化：
（1）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
如：①参数方程
x a r cos , y b r sin.
消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保 持一致。
否则，互化就是不等价的.
； / 利记备用网址 ；
右金吾卫将军庞同善 营州都督高侃为行军总管 李世民亲率四千步 骑兵 原书已佚 与贼将宋金刚相持 他所得的赏物 活到一百多岁 凌烟阁二十四功臣之一 希望借此得到长生药 暗中向李渊泄漏刘武周方面的情报 不及避让 曹州离狐（今山东省菏泽市东明县）人 郭正一 ▪ 96.李 勣在俘获五万多人后顺利回师 29. 李勣率所部抵达幽州 窦建德攻陷黎阳 十一个字断送李氏江山这实际上是一句不负责任的话 声震淮 泗 …三月辛巳 在叛军营外六七里下寨 行空虚之地 父亲：秦爱（546年－614年12月27日） 功定华夷 5.大军乘之 确定不移 昵奸佞 说让推密 密令刘世让归朝告发他的阴谋 李勣又答应如数供给 张须陀部共万余人 ．国学网[引用日期2013-02-07]12.永徽六年（655年） 秦琼又被赏赐了许多物资 《旧唐书·侯君集传》：高昌王麹文泰时遏绝西域商贾 朕当与之同有府库耳 终
参数方程和普通方程的互化
(t为参数)
上一页
返回首页
下一页
利用参数思想解题
已知 x、y 满足 x2＋(y－1)2＝1，求： (1)3x＋4y 的最大值和最小值； (2)(x－3)2＋(y＋3)2 的最大值和最小值.
【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最 小值问题来解决．
上一页
返回首页
下一页
【自主解答】 由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圆的参数方程为
下一页
(2)(x－3)2＋(y＋3)2 ＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)．
其中tan φ＝－34， 且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.
上一页
返回首页
下一页
探究2 将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？
【提示】 (1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变 量表示)，再代入另一个方程．教科书例3(1)用的就是代入法．
(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．教科书例3(2)就用此法．例
如对于参数方程xy＝ ＝aatt－＋11tt csions
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________． 【解析】 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝1＋4tt2，y＝14＋t2t2，
∴参数方程为xy＝＝114＋ ＋4tt2tt22，
(t为参数)．
【答案】
x＝1＋4tt2 y＝14＋t2t2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：参数方程与普通方程互化
教学过程：
一、复习引入：
问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性）
二、讲解新课：
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数
（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数
（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。
2、常见曲线的参数方程
（1）圆222r y x =+参数方程⎩
⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θ
θsin cos 00r y y r x x （θ为参数）
（3）椭圆122
22=+b y a x 参数方程 ⎩
⎨⎧==θθs i n c o s b y a x （θ为参数） （4）双曲线122
22=-b
y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθt a n s e c b y a x （θ为参数） （5）抛物线Px y 22=参数方程⎩⎨⎧==Pt
y Pt x 222
（t 为参数） （6）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程
⎩⎨⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 典型例题
1、 将下列参数方程化为普通方程
（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2
222t y t t x （2）⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x
（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=2221t t y t t x （4）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=22
1212t t y t x （5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)1(3)1(222t t y t t x 变式训练1
2、（1）方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=2
1y t t x 表示的曲线
A 、一条直线
B 、两条射线
C 、一条线段
D 、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程x y =2
表示同一曲线的点 A 、⎩⎨⎧==2t y t x B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin sin 2 C 、⎩⎨⎧=+=t y x 11 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t
y t t xos x tan 2cos 121 例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。
（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=t
y t x 4321 （t 是参数） （2） θ
θ2c o s c o s 2==y x （θ是参数） （3） 222
212121t t y t t
x +-=-=
（t 是参数） 变式训练2。
P 是双曲线⎩
⎨⎧==θθtan 3sin 4y x （t 是参数）上任一点，1F ，2F 是该焦点： 求△F 1F 2的重心G 的轨迹的普通方程。
例3、已知圆O 半径为1，P 是圆上动点，Q （4，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程。
变式训练3：
已知),(y x P 为圆4)1()1(22=-+-y x 上任意一点，求y x +的最大值和最小值。
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
五、课后作业：见教材53页 2.3.4.5。