空间向量第四课时学案
高中数学空间向量的教案
高中数学空间向量的教案
教学目标：
1. 理解空间向量的概念和性质。
2. 掌握空间向量的加法、减法、数量积和向量积的计算方法。
3. 能够解决空间向量相关的实际问题。
教学重点：
1. 空间向量的概念和性质。
2. 空间向量的加法、减法、数量积和向量积的计算方法。
教学难点：
1. 空间向量的数量积和向量积的计算方法。
2. 解决空间向量相关的实际问题。
教学准备：
1. 讲义、PPT等教学材料。
2. 黑板、彩色粉笔。
3. 实物或图片展示空间向量的应用场景。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过展示实物或图片，引入空间向量的概念，提出问题：“在三维空间中，我们如何表示和计算向量呢？”
二、讲解（15分钟）
1. 空间向量的概念和性质。
2. 空间向量的加法、减法的计算方法。
3. 空间向量的数量积和向量积的定义和计算方法。
三、练习（20分钟）
1. 向学生提供一些简单的空间向量计算题目，让学生独立或分组完成。
2. 指导学生解决一些较难的空间向量实际问题，引导学生思考向量在现实生活中的应用。
四、总结（5分钟）
通过与学生讨论和解答疑问，总结本节课的重点和难点，强化学生对空间向量的理解和掌握。
五、作业布置（5分钟）
布置相关的空间向量的练习题目，鼓励学生在课后继续复习和巩固所学知识。
六、反馈评估（10分钟）
收集学生在课堂上的表现和作业答案，及时对学生的理解和掌握情况进行评估和反馈，为下一节课的教学做好准备。
高三数学下册《空间向量》教案、教学设计
接着，展示一个地球仪，提出另一个问题：“地球上的物体受到的重力可以看作是一个向量，那么如何用空间向量表示这个重力呢？”让学生在思考中感受到空间向量的重要性。在此基础上，正式引入本节课的主题——空间向量。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.空间向量的基本概念及其坐标表示。
2.空间向量的线性运算、点积和叉积运算。
3.空间向量在解决空间几何问题中的应用。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）教学难点
1.空间向量与平面向量的区别和联系，帮助学生建立起空间向量的概念。
2.空间向量的坐标表示方法，特别是向量的线性运算在坐标形式下的表达。
3.学生对空间向量运算规律的掌握，尤其是点积和叉积的应用。
4.将空间向量应用于实际问题，提高学生学以致用的能力。
（三）教学设想
1.采用情境导入法，通过实际生活中的例子引入空间向量的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2.利用多媒体教学资源，如几何画板、实物模型等，帮助学生直观地理解空间向量的性质和运算。
3.设计具有梯度的问题和练习题，由浅入深地引导学生掌握空间向量的知识和方法，突破教学难点。
1.空间向量与平面向量的联系和区别是什么？
2.如何利用坐标表示空间向量，并进行线性运算？
3.点积和叉积在空间几何中有哪些应用？
讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，每组选取一名代表汇报讨论成果，分享小组的智慧。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
空间向量高中数学教案
空间向量高中数学教案
一、教学目标：
1.认识空间向量的基本概念和性质；
2.掌握空间向量的表示方法和运算规律；
3.能够应用空间向量解决实际问题。
二、教学重点：
1.空间向量的定义和表示方法；
2.空间向量的加法和减法；
3.空间向量的数量积和夹角公式。
三、教学内容：
1.空间向量的概念和表示方法：
（1）空间向量的定义；
（2）空间向量的表示方法：坐标表示、分量表示；
2.空间向量的加法和减法：
（1）向量的加法和减法规律；
（2）向量相等的条件；
3.空间向量的数量积和夹角公式：
（1）向量的数量积定义和性质；
（2）向量夹角的余弦公式。
四、教学过程：
1.导入：通过一个实际问题引入空间向量的概念；
2.讲解：讲解空间向量的定义、表示方法、运算规律和性质；
3.练习：让学生进行一些空间向量的计算练习；
4.拓展：引导学生应用空间向量解决实际问题；
5.总结：对本节课所学内容进行总结回顾。
五、课后作业：
1.完成课上未完成的练习题；
2.阅读相关教材知识，做一些拓展练习；
3.思考并总结今天所学内容，准备下节课的复习。
六、教学反思：
通过本节课的教学设计，学生能够掌握空间向量的基本概念和运算方法，锻炼学生的空间思维能力，提高解决问题的能力。
在教学过程中要注重引导学生主动思考和探究，激发学生学习的兴趣和积极性。
北师大版高中数学选修空间向量的运算学案
空间向量及运算一.知识回顾:1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB+=+=b a OB OA BA-=-=)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP +=a．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 5．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的 6．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ① ①式叫做平面MAB 的向量表达式7空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个 有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++ 8空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.9．向量的模： 设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . 10．向量的数量积： a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅． 11．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅． 12．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．二.基本训练:1.（2002上海春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是（ D ）A.（a +b ）+c =a +（b +c ）B.（a +b ）·c =a ·c +b ·cC.m （a +b ）=m a +m bD.（a ·b ）c =a （b ·c ）2.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OB OA ⋅等于（ B ）A.43 B.－43 C.3 D.－33.（2001上海）如图5—1，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ A ）A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c 4.(2000江西、山西、天津理，4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ·c ）a －（c ·a ）b 不与c 垂直④（3a +2b ）（3a －2b ）=9|a |2－4|b |2中，是真命题的有（ D ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④5.（2002上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）·a =__13___.6.（2001上海春，8）若非零向量α、β满足|α+β|=|α－β|，则α与β所成角的大小为___90°__.三.例题讲解:例1．已知在正三棱锥ABC P -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点， 求证：BC PG ⊥GNABCPM例2．已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点， （1）用向量法证明H G F E ,,,四点共面；（2）用向量法证明：BD //平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有1()4OM OA OB OC OD =+++例3．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 长为b ，且 1111120AA B AA D ∠=∠=︒，求（1）1AC 的长；（2）直线1BD 与AC 所成角的余弦值。
人教课标版高中数学选修2-1：《立体几何中的向量方法(第4课时)》教案-新版
3.2.4 利用向量知识求空间角一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，掌握利用空间向量求空间角的方法． （二）学习目标1.利用直线方向向量求空间中的异面直线所成的角；2.利用直线方向向量和平面的法向量求空间中的线面角；3.利用平面的法向量求出二面角． （三）学习重点1.利用直线方向向量求空间中的异面直线所成的角2.利用直线方向向量和平面的法向量求空间中的线面角3.利用平面的法向量求出二面角 （四）学习难点1．对向量法求空间角的理解． 2．对各种证明方法的熟练掌握． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）填空：1．两条异面直线的夹角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，在直线a 上任取一点作直线a ′∥b ，则a ′与a 的夹角叫做a 与b 的夹角．(2)范围：两异面直线夹角θ的取值范围是(0,]2．(3)向量求法：设直线a ，b 的方向向量为和，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|＝a b a b2．直线与平面的夹角(1)定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．(2)范围：直线和平面夹角θ的取值范围是 [0,]2π．(3)向量求法：设直线l 的方向向量为，平面的法向量为n ，直线与平面所成的角为θ，a 与n 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ. 3．二面角(1)二面角的取值范围是[0,]π． (2)二面角的向量求法：①若AB 、CD 分别是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD →的夹角(如图①)．②设12,n n 分别是二面角α—l —β的两个面α，β的法向量，则向量1n 与2,n 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 2．预习自测1．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90° 答案：C解析：【知识点】利用法向量求二面角 【解题过程】2cos ,2m n m n m n<>== 点拨：利用向量的夹角公式求二面角的平面角，注意此时求出的是二面角的余弦值的绝对值. 2．若直线l 1，l 2的方向向量分别为()()2,4,4,6,9,6a b =-=-则( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确 答案：B解析：【知识点】利用法向量求二面角 【解题过程】cos ,0m n m n m n<>==点拨：二面角为90°时即是两平面垂直3．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．以上均错 答案：C解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角【解题过程】利用向量法求直线和平面所成角的定义,如图所示点拨：注意平面的法向量和直线的方向向量的方向，线面角只能是锐角. (二)课堂设计 1．知识回顾（1）两向量数量积的定义：||||cos ,a b a b a b ⋅=<> （2）两向量夹角公式：cos ,||||a ba b a b ⋅<>=（3）平面的法向量：与平面垂直的向量 2．问题探究探究一 结合实例，认识空间角中的线线角和线面角★●活动 归纳提炼概念我们知道在直线和直线，直线和平面，平面和平面有两种位置关系——平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况，而对于一般的相交，我们用角来表示它们的位置关系．其包括：直线和直线所成的角（线线角），直线和平面所成的角（线面角），平面和平面所成的角（二面角）． 知识点1：异面直线所成的角（范围：]2,0(πθ∈）（1）定义：过空间任意一点O 分别作异面直线a 与b 的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b ，问题1：当a 与b 的夹角不大于90°时，异面直线a 、b 所成的角θ与a 和b 的夹角的关系？,a b θ=<>问题 2：与的夹角大于90°时，，异面直线a 、b 所成的角θ与 和的夹角的关系？,a b θπ=-<>结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为||cos |cos ,|||||a b a b a b θ⋅=<>= 知识点2、直线与平面所成的角（范围：]2,0[πθ∈）（1）定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角． （2）思考：设平面α的法向量为n ，则,n BA <>与θ的关系？sin |cos ,|n AB θ=<>据图分析可得：结论：1知识点3：二面角（范围：],0[πθ∈）思考：对于一般的两个平面，它们两个的法向量的夹角和二面角有什么关系呢？请同学们讨论并在下图中标出．那么：如何利用向量求二面角呢?（可抢答）可以分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．设平面α和β的法向量分别为1n 和2n ，二面角l αβ--的平面角大小为θ，则 1.当两法向量1n ，2n ，一个指向二面角内，一个指向二面角外时，12,n n θ=<>． 2.当两法向量1n ，2n ，都指向二面角内或二面角外时，12,n n θπ=-<> 【设计意图】通过图形和定义，让学生了解用向量法解决空间角的相关公式． 探究二 用向量法求异面直线所成的角例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角.αβlθ,n n <>,n n =<>解析：【知识点】利用方向向量求异面直线所成的角 【解题过程】如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A --∴)2,21,23(1a a a AC -=，)2,21,23(1a a a CB = 即21323||||,cos 22111111==>=<aaCB AC CB AC ∴1AC 和1CB 所成的角为3π点拨：1.写出异面直线的方向向量的坐标． 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角． 【答案】3π. 类题训练：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( ) A.1010 B.3010 C.21510 D.31010xy答案：B解析：【知识点】利用方向向量求异面直线所成的角【解题过程】解析：建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)． BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)， cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 点拨：1.写出异面直线的方向向量的坐标． 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角．【设计意图】通过实例，让学生学会利用向量法求异面直线所成的角． ●活动② 利用向量求直线和平面所成的角例2．如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB ;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的正弦． 【知识点】利用方向向量求直线与平面所成的角 【解题过程】x以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz . 设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）． 又设(),,S x y z 则0,0,0x y z >>>（I ）()()()2,2,,,2,,1,,AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-， 由AS BS =得=故1x =.由1DS =得221y z +=又由2BS =得()22224x y z +-+=即22410y z y +-+=，故1,2y z ==于是13331,,1,,,1,222S AS BS ⎛⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎝⎝⎝， 13(0,,),0,0.2DS DS AS DS BS =⋅=⋅=故,DS AS DS BS ⊥⊥,又AS BS S =所以SD ⊥平面SAB ．（II ）设平面SBC 的法向量(),,a m n p =， 则,,0,0a BS a CB a BS a CB ⊥⊥==又()331,,,0,2,02BS CB ⎛⎫=-= ⎪ ⎝故30220m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩取2p =得()3,0,2a =-又()2,0,0AB =-．cos ,||||AB a AB a AB a ⋅==⋅ 故AB 与平面SBC 点拨：直线与平面所成的角步骤： 1.求出平面的法向量 2.求出直线的方向向量3.求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角 【答案】（I ）略；（II ）【设计意图】通过实例，让学生学会利用向量法求直线和平面所成的角． ●活动③利用法向量求二面角例3如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD于点H ．将DEF ∆沿EF折到'D EF ∆位置，OD '=（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值． 【知识点】利用方向向量求直线与平面所成的角 【解题过程】解:（Ⅰ）证明：∵54AE CF ==，∴AE CFAD CD=，∴//EF AC ．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴'EF D H ⊥． ∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AEOH OD AD==， ∴'3DH D H ==， ∴222''OD OH D H =+， ∴'D H OH ⊥． 又∵OHEF H =，∴'D H ⊥面ABCD ．（Ⅱ）建立如图坐标系H xyz -．()()()()()()()5,0,01,3,0'0,0,31,3,04,3,0'1,3,30,6,0B C D A AB AD AC -==-=、、、、、、， 设(,,)n x y z =为平面'ABD 的法向量.由'00n AB n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得430,330,x y x y z ì+=ïí-++=ïî取5z =得()3,4,5n =-.同理可得面'AD C 的法向量()3,0,1m =， ∴75cos ,25m n m nm n<>==， ∴sin θ=． 小结：求二面角步骤： 1.求出两平面的法向量2.求出两个法向量所成的角3.确定二面角的大小:法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.【答案】（I ）略；（II） 同类训练：如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =， 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠=︒A C（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的余弦值．解：分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则2,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C S ． （I ）设(0,,)(0,0)M a b a b >>，则(0,2,0),(2,2,),(0,,2)BA BM a b SM a b =-=--=-，(0,2,2)SC =-，由题得1cos ,2//BA BM SM SC⎧<>=⎪⎨⎪⎩，即1222(2)a b=-=-⎩解这个方程组得1,1a b==即(0,1,1)M所以M是侧棱SC的中点．（II）由（I ）得(0,1,1),(2,1,1)M MA =--，又(2,0,2),(0,2,0)AS AB=-=，设()()11112222,,,,,n x y z n x y z==分别是平面,SAM MAB的法向量，则11n MAn AS⎧=⎪⎨=⎪⎩且22n MAn AB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111120y zz--=+=⎪⎩且222220y zy--==⎪⎩分别令12x x==得11221,0,2z y y z====，即()()122,1,1,2,0,2n n==，∴126cos,n n<>=观察图形二面角S AM B--的平面角为钝角，故所求二面角的余弦值为小结：求二面角步骤：1.求出两平面的法向量2.求出两个法向量所成的角3.确定二面角的大小:法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.【答案】（I）略；（II）【设计意图】通过实例，让学生学会利用向量法求二面角．3.课堂总结知识梳理（1）过空间任意一点O分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角. 异面直线所成的角：cos|cos,|a bθ=<>（2）直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．直线和平面所成的角：|,cos |sin ><=θ（3）平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角． 二面角：><-=><=2121,cos cos ,cos cos n n n n θθ或重难点归纳（1）异面直线所成的角和直线和平面所成的角的范围；（2）二面角的范围；（3）两平面的法向量所成的角不一定是二面角的平面角，还要判断方向，法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.（三）课后作业基础型 自主突破1．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为( ) A.32 B.1010C.35D.25答案：D ．解析：【知识点】利用向量法求异面直线所成的角．【解题过程】解析：以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，M (1，12，1)，C (0,1,0)，N (1,1，12)．所以AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)． 故AM →·CN →＝0×1＋12×0＋1×12＝12，20AM =21CN = 所以cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1252×52＝25. 点拨：建系求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式求出异面直线的角2．如图，三棱锥A －BCD 的棱长全相等，E 为AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.36B.32C.336D.12答案：A解析：【知识点】利用向量法求异面直线所成的角．【解题过程】．解析：设AB ＝1，则CE →·BD →＝(AE →－AC →)·(AD→－AB →)＝12AD →2－12AD →·AB →－AC →·AD →＋AC →·AB →＝12－12cos 60°－cos 60°＋cos 60°＝14.∴cos 〈CE →，BD →〉＝CE →·BD →|CE →||BD →|＝1432＝36.选A. 点拨：建系求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式求出异面直线的角．3．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( )A.64B.104C.22D.32答案：A解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角．【解题过程】解析：如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，O (0,0,0)、B (3，0,0)、A (0，－1,0)、B 1(3,0,2)，则AB 1→＝(3,1,2)，则BO →＝(－3,0,0)为侧面ACC 1A 1的法向量，由 sin θ＝|AB 1→·BO →||AB 1→||BO →|＝64. 点拨：建系求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出直线和平面的角．4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线DE 与平面A 1BC 1的夹角的正弦值为_______.答案：155解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角．【解题过程】解析：设正方体的棱长为2，直线DE 与平面A 1BC 1的夹角为α，建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0)、E (0,2,1)、B 1(2,2,2)，∵DB 1⊥平面A 1BC 1，连结DB 1，∴DB 1→＝(2,2,2)是平面A 1BC 1的法向量，∵DE →＝(0,2,1)，∴sin α＝cos 〈DB 1→，DE →〉＝4＋24＋4＋4·5＝155. 点拨：建系求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出直线和平面所成的角．5．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB ＝PA ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为________．答案：45°解析：【知识点】利用向量法求二面角．【解题过程】建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝PA ＝1，知A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)由题意得，AD ⊥平面ABP ，设E 为PD 的中点，连结AE ，则AE ⊥PD ，又∵CD ⊥平面PAD ，∴AE ⊥CD ，又PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面CDP .∴AD →＝(0,1,0)和AE →＝(0，12，12)分别是平面ABP 和平面CDP 的法向量，而〈AD →，AE →〉＝45°， ∴平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为45°.点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角．6．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________． 答案：23解析：【知识点】利用向量法求二面角．【解题过程】．延长FE ，CB 相交于点G ，连结AG ，设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于点H ，连结EH ，则∠EHB 为所求二面角的平面角．∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EB BH ＝23.点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角．能力型 师生共研7、如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.答案：（I ）见解析；（II ）8525解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角．【解题过程】．(Ⅰ)由已知得AM ＝23AD ＝2取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BCTN ＝12BC ＝2又AD ∥BC ，故TN ∥＝AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT∵AT ⊂平面P AB ，MN ⊂/平面P AB ，∴MN ∥平面P AB(Ⅱ)取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－(BC2)2＝ 5以A 为坐标原点，−→AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，由题意知：P (0，0，4)， M (0，2，0)，C (5，2，0)，N (52，1，2)−→PM ＝(0，2，－4)， −→PN ＝(52，1，－2)， −→AN ＝(52，1，2)设→n ＝(x ，y ，z )为平面PNM 的法向量，则00n PM n PN ⎧=⎪⎨=⎪⎩即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝052x ＋y －2z ＝0可取→n ＝(0，2，1)所以|cos<→n ，−→AN >|＝|→n •−→AN ||→n ||−→AN |＝8525 点拨：建系求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出直线和平面所成的角．8如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C.(1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A －A 1B 1－C 1的余弦值．答案：见解析解析：【知识点】利用向量法求二面角．【解题过程】(1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO .因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点．又AB ⊥B 1C ，AB ∩BO ＝B ，所以B 1C ⊥平面ABO .由于AO ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AO .又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1.(2)解：因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，所以AO ＝CO .又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌△BOC ，故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB →、OB 1→、OA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|OB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又AB ＝BC ，OC ＝OA ，则A (0,0，33)、B (1,0,0)、B 1(0，33，0)、C (0，－33，0)、AB 1→＝(0，33，－33)、A 1B 1→＝AB →＝(1,0，－33)、B 1C 1→＝BC →＝(－1，－33，0)． 设(,,)n x y z =为平面11AA B 的法向量.由11100n AB n A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,y z x z ìï-=ïíï-=ïïî取1x =得(1,3,n =. 设(,,)m x y z =为平面111A B C 的法向量.由111100n B C n A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(1,m =. 则1cos ,7m nm n m n <>== 所以二面角A －A 1B 1－C 1的余弦值为17.点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角． 探究型 多维突破9、在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径， FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G 、H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =12AC=，AB =B C.求二面角F BC A --的余弦值. 【知识点】利用向量法求二面角．【解题过程】(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结,GM HM ，因为//GM EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内，所以//GM 上底面，所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ，BC ⊂平面ABC ，MH ⊄平面ABC ，所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ，由GH ⊂平面GHM ，所以//GH 平面ABC ．(Ⅱ)连结OB ，AB BC OA OB =∴⊥以为O 原点，分别以,,'OA OB OO 为z y,x,轴，建立空间直角坐标系BC AB ,32AC 21FB EF ==== ， 3)(22=--='FO BO BF O O ，于是有，，，，可得平面FBC中的向量()0,BF =，(CB =,于是得平面FBC的一个法向量为1(n →=，又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)n =，设二面角F BC A --为θ，则7771cos =θ． 二面角F BC A --的余弦值为77． 点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角．10、如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明：B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角．【解题过程】(1)证明：如图，以点A 为原点，分别以AD 、AA 1、AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)、B (0,0,2)、C (1,0,1)、B 1(0,2,2)、C 1(1,2,1)、E (0,1,0)．易得B 1C 1→＝(1,0,－1)，CE →＝(－1,1,－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)解：B 1C →＝(1,－2,－1)．设(,,)n x y z =为平面1B CE 的法向量.由100n B C n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩得20,0,x y z x y z ì--=ïí-+-=ïî取1z =得()3,2,1n =--. 由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量． 于是111111cos ,B C nn B C B C n <>=＝－414×2＝－277，从而11sin ,n B C <>＝217， 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.(3)解：AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)，设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1， 有AM→＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)． 可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝λ3λ2＋2λ＋1， 于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)， 所以AM .点拨：直线与平面所成的角步骤：1.求出平面的法向量2.求出直线的方向向量3.求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角答案：(1)略；(2)217；(3)自助餐1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( )A.12B.21015C.23D.1115答案：B解析：【知识点】利用向量法求异面直线所成的角．【解题过程】．以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知DB 1→＝(1,1,1)，CM →＝1(1,,0)2， 故cos<DB 1→，CM →>＝DB 1→·CM →|DB 1→||CM →|＝1515，从而sin<DB 1→，CM →>＝21015点拨：建系求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式求出异面直线的角．2．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为（ ） A.1010 B.3010 C.21510D.31010 【知识点】利用向量法求异面直线所成的角．【解题过程】建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)， cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.点拨：建系求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式求出异面直线的角．答案：B3．P 是二面角α—AB —β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM 、PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α—AB —β的大小为( )A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°答案：D解析：【知识点】利用向量法求二面角．【解题过程】不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ，如图：∵∠EPM ＝∠FPN ＝45°，∴PE ＝22a ，PF ＝22b ，∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN→－PF →) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF→ ＝ab cos 60°－a ×22b cos 45°－22ab cos 45°＋22a ×22b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab 2＝0，∴EM →⊥FN →，∴二面角α—AB —β的大小为90°.点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角．4．已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________． 答案：255解析：【知识点】利用向量法求二面角．【解题过程】 2，则PB ＝2，OB ＝1，OP ＝1.∴B (1,0,0)、D (－1,0,0)、A (0,1,0)、P (0,0,1)、M 11(,0,)22、N 11(,0,)22-、 AM →＝11(,1,)22-，22设(,,)n x y z =为平面AMN 的法向量.由00n AM nAN ⎧=⎪⎨=⎪⎩得110,22110,22x y z x y z ì-+=ïïíï--+=ïî取2z =得()0,1,2n =. 平面ABCD 的法向量m ＝(0,0,1)， 则25cos ,5m nm n m n <>== 点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角．5．如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为________．答案：45解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角．【解题过程】不妨设正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,－1,0)，B 1(3,1,2)，D 1,2)2-. 则CD →＝1,2)2-，设(,,)n x y z =为平面1B DC 的法向量.由100n CD n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()3,1,1n =-.又∵DA →＝1,2)2--， ∴sin θ＝|cos 〈DA →，n 〉|＝45. 点拨：建系求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出直线和平面的角．6．如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC所成角的正切值等于________．解析：【知识点】利用向量法求异面直线所成的角．【解题过程】．解析：PB →＝PA →＋AB →，故PB →·AC →＝(PA →＋AB →)·AC →＝PA →·AC →＋AB →·AC →＝0＋a ×2a ×cos 45°＝a 2. 又|PB →|＝3a ，|AC →|＝a . ∴cos 〈PB →，AC →〉＝33，sin 〈PB →，AC →〉＝63， ∴tan 〈PB→，AC →〉＝ 2. 点拨：建系求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式求出异面直线的角．7.如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥A D.求直线BD与EF 所成的角的余弦值．10解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角【解题过程】以O 为原点，CB 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则O (0,0,0)，A (0，-，0)，B (，0,0)，D (0，-，8)，E (0,0,8)，F (0, 0)， ∴BD→＝(－32，－32，8)， EF →＝(0,32,－8)．cos 〈BD →，EF →〉＝BD →·EF →|BD →||EF →|＝0－18－64100×82＝－8210. 设异面直线BD 与EF 所成角为α，则cos α＝|cos 〈BD →，EF →〉|＝8210. 即直线BD 与EF 所成的角的余弦值为8210.点拨：建系求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式可以求出直线和平面的角．8．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；(2)设二面角C －AF －E 的大小为θ，求tan θ的最小值．3解析：【知识点】利用向量法求二面角．【解题过程】(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)、B (23，2,0)、C (0,4,0)、A 1(0,0,4)、E (3,3,0)、F (0,4,1)．于是CA 1→＝(0,－4,4)， EF→＝(－3,1,1)． 则CA 1→·EF →＝(0,－4,4)·(－3,1,1)＝0－4＋4＝0， 故EF ⊥A 1C.(2)解：设CF ＝λ(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则由(1)得F (0,4，λ)．AE→＝(3,3,0)，AF →＝(0,4,λ)， 于是由m ⊥AE →，m⊥AF →可得 00m AE m AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即⎩⎨⎧3x ＋3y ＝0，4y ＋λz ＝0.取m ＝(3λ,－λ,4)． 又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是由θ的锐角可得cos m n m n θ=＝3λ2λ2＋4，sin θ＝λ2＋162λ2＋4，所以tan θ＝λ2＋163λ＝13＋163λ2.由0<λ≤4，得1λ≥14，即tan θ≥13＋13＝63.故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值63.点拨：建系求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角．。
苏教版高中数学必修四向量的概念及表示教案(4)
第 1 课时：§2.1 向量的概念及表示【三维目标】：一、知识与技能1.了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念4.通过教师指导发现知识，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、过程与方法1.通过实例，引导学生了解向量的实际背景，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；2.通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质。
3.通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.三、情感、态度与价值观1. 通过向量（包含大小、方向）概念的学习，感知数学美；2.向量的方向包含正反两个方面，正反关系的对照培养学生辩证唯物主义思维.【教学重点与难点】：重点：向量、相等向量、共线向量的概念难点：向量概念的理解及向量的几何表示.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.2.教法：采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。
3.教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【问题1】：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。
高中数学精编空间向量教案
高中数学精编空间向量教案一、教学目标：1. 理解空间向量的定义和性质；2. 掌握向量的加法、减法和数乘运算；3. 能够使用向量的线性组合、共线性和共面性等性质解决实际问题；4. 熟练运用向量相关理论证明和计算。
二、教学内容：1. 空间向量的定义和性质；2. 向量的加法、减法和数乘运算；3. 向量的线性组合、共线性和共面性；4. 向量的坐标表示和点积、向量积的计算。
三、教学步骤：1. 导入：通过引入几何问题或实际生活中的例子，让学生感受到向量的重要性和应用场景；2. 概念讲解：介绍空间向量的定义和性质，引导学生理解向量的概念和基本运算规则；3. 练习演练：给学生提供一些简单的向量加减法、数乘的练习题目，帮助学生掌握向量的计算方法；4. 深化拓展：引导学生思考向量的线性组合、共线性和共面性等性质，通过相关题目加深对向量概念的理解；5. 应用实践：设计一些综合性的问题，让学生运用所学知识解决实际问题，提升解决问题的能力；6. 总结反思：对本节课所学内容进行总结，强化学生对空间向量相关知识的理解和记忆。
四、教学方式：1. 教师讲授搭配学生讨论：教师介绍知识点的同时，与学生互动讨论，激发学生思考和学习兴趣；2. 小组合作探究：设计一些小组活动，让学生合作探索讨论，提升学生团队合作和问题解决能力；3. 案例分析：结合实际案例，让学生分析和解决问题，提高学生的问题解决能力和应用能力。
五、教学评价：1. 课堂表现评价：通过学生课堂积极参与和表现情况，评价学生的学习态度和表达能力；2. 练习题目评价：通过给学生布置一定量的练习题目，评价学生对知识点的掌握程度和运用能力；3. 知识应用评价：通过设计一些综合性实际问题，评价学生对所学知识点的应用能力和解决问题的能力。
高中高三数学《空间向量》教案、教学设计
3.运用案例教学法，结合实际生活中的空间几何问题，激发学生学习兴趣，提高学生运用空间向量解决实际问题的能力。
4.引导学生运用数形结合思想，将空间向量与空间几何图形相结合，培养学生直观想象和逻辑思维能力。
5.设计丰富的课堂练习，让学生在实际操作中掌握空间向量的运算方法和技巧。
-已知空间向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$和$\vec{b} = (4, 5, 6)$，求向量$\vec{a} + \vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$和$3\vec{a} - 2\vec{b}$的坐标表示。
-设点A(2, 3, 4)和点B(5, 6, 7)，向量$\vec{v} = (x, y, z)$，若$\vec{v}$与向量$\vec{AB}$垂直，求$\vec{v}$的坐标。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生探索空间几何问题的热情。
2.培养学生严谨求实的科学态度，让学生在解决问题的过程中，体验数学的简洁美和逻辑美。
3.培养学生勇于挑战困难、克服挫折的精神，增强自信心。
4.引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活中的重要应用，增强学生的社会责任感和使命感。
（二）教学设想
1.针对教学重点和难点，采用以下教学策略：
-通过引入生动的实际案例，激发学生学习兴趣，引导学生从二维空间向三维空间过渡；
-采用多媒体教学手段，如动画、模型等，帮助学生建立空间想象力，降低学习难度；
-设计层次分明的教学活动，逐步引导学生掌握空间向量的性质、运算和应用；
-加强课堂练习，及时反馈，针对学生的错误进行有针对性的指导。
2.教学过程设想：
空间向量教学案
空间向量教学案教学案：空间向量一、教学目标1. 理解空间向量的定义和性质；2. 掌握空间向量的表示方法和运算法则；3. 能够解决空间向量相关的几何问题；4. 培养学生的空间想象力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念和性质；2. 空间向量的表示方法；3. 空间向量的运算法则；4. 空间向量的坐标表示与几何意义；5. 空间向量的共线与共面判定；6. 空间向量与平面的关系。
三、教学过程及学习重点1. 空间向量的概念和性质- 概念：空间向量是具有大小和方向的量，在空间中表示位移或力的作用效果。
- 性质：相等向量、零向量、相反向量、单位向量、平行向量、共线向量、共面向量等。
- 重点：理解空间向量的定义与性质。
2. 空间向量的表示方法- 坐标表示法：用坐标系表示向量的坐标分量。
- 方向向量法：用有向线段表示向量的方向和长度。
- 重点：掌握空间向量的表示方法。
3. 空间向量的运算法则- 向量的加法：按三个力的合成法则进行运算。
- 数量乘法：将向量的模长与一个实数相乘。
- 内积与外积：表示两个向量之间的关系。
- 重点：掌握空间向量的运算法则。
4. 空间向量的坐标表示与几何意义- 坐标表示：向量的坐标分量分别为x、y、z轴上的分量。
- 几何意义：向量从起点到终点的位移。
- 重点：理解向量的坐标表示及其几何意义。
5. 空间向量的共线与共面判定- 共线判定：若两个向量共线，它们可以表示为等比例关系。
- 共面判定：若三个向量共面，其混合积为0。
- 重点：熟练判定向量共线与共面的条件。
6. 空间向量与平面的关系- 平面向量：平面内的向量可以通过平面内两个位置点之间的有向线段表示。
- 平面方程：向量垂直于平面的法向量满足平面方程的条件。
- 重点：理解向量与平面的关系及其应用。
四、教学反思通过本教学案的设计和实施，学生可以系统地学习和掌握空间向量的基本概念、表示方法和运算法则，加深对空间向量的理解和认识。
通过丰富的教学内容和实例分析，培养学生的空间想象力和解决问题的能力。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算教案内容：一、教学目标1. 了解空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示。
2. 掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用空间向量的运算解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其几何表示。
2. 空间向量的坐标表示及其运算。
3. 空间向量的应用问题。
三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量的图形和运算过程。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用向量知识解决。
四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、几何图形等，引导学生思考向量的概念和作用。
2. 讲解：向学生介绍空间向量的概念，讲解向量的几何表示和坐标表示。
通过示例和图形，让学生理解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 练习：让学生通过练习题的方式，巩固对向量运算的理解和掌握。
可以提供一些选择题和填空题，以及一些应用问题。
4. 应用：引导学生将向量知识应用到实际问题中，如物体运动、几何图形等。
可以让学生分组讨论和展示解题过程。
5. 总结：对本节课的主要内容和知识点进行总结，强调重点和难点。
五、作业布置1. 完成课后练习题，包括选择题、填空题和应用问题。
2. 准备下一节课的预习内容，了解空间向量的线性组合和叉乘。
六、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和掌握情况。
根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以便更好地进行后续教学。
六、教学评价1. 评价方式：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对空间向量的概念理解和运算掌握程度。
2. 评价标准：学生能准确地描述空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示；能熟练地进行向量的加法、减法、数乘和点乘运算；能将向量知识应用到实际问题中，解决问题。
七、拓展与延伸1. 向量的线性组合：向学生介绍空间向量的线性组合概念，讲解线性组合的性质和运算规律。
2. 向量的叉乘：向学生介绍空间向量的叉乘概念，讲解叉乘的性质和运算规律。
《立体几何中的向量方法》示范教案(第4课时)
第4课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量应用于物理知识的基本原理；2．会用空间向量解决一些简单的物理问题．过程与方法1．培养学生的空间想象能力、几何直观能力和解决实际问题的能力；2．培养学生的化归能力与类比能力．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．重点难点教学重点：利用空间向量解决物理中的力、速度、功等简单问题．教学难点：把物理问题转化为几何问题，把几何问题转化为向量问题．教学过程引入新课既然平面向量与空间向量的定义是可以类比的，所以空间向量的性质与应用就可以利用类比的方式得到解决．请同学们回顾：如何利用平面向量解决力、速度、合力、功等物理问题？活动设计：学生先独立回忆，必要时可以相互讨论、看书，也可以求助同学．活动结果：(板书)力与速度等矢量可以用平面向量表达；合力实际上是平面向量的合向量；功就是力与位移的数量积．提出问题：在平面向量中我们是如何求解力与速度的合成与分解的？活动设计：学生先独立思考，允许小组合作．活动成果：平行四边形法则、三角形法则．设计意图：虽然空间向量与平面向量有不同之处，但是其运算的本质是相同的．在物理中的矢量实际上就是向量．探究新知提出问题1：如何利用空间向量解决空间状态下的力、速度、合力、功等物理问题？活动设计：学生独立解决，也可以小组讨论．活动成果：空间状态下的力与速度等矢量可以用空间向量表达；空间状态下的合力实际上是空间向量的加法；空间状态下的功就是空间向量的数量积问题．设计意图：帮助学生完成由平面向量的物理应用到空间向量的物理应用的过程，回忆并引申出将要使用的一些性质．提出问题2：在空间向量中，我们是如何求解合力与位移的合成的？活动设计：学生先独立思考，允许小组合作．活动成果：平行四边形法则．设计意图：虽然平行四边形法则是在平面向量中学习的，但是空间的任意两个向量必然共面，所以对于两个空间向量来说，平行四边形法则也是成立的．提出问题3：(1)向量的物理意义是什么？(2)向量加法的物理意义是什么？(3)向量数量积的物理意义是什么？活动设计：学生自由发言，以分组讨论的形式给出结论．活动成果：向量的物理意义是矢量，向量加法的物理意义是矢量和(比如合力)，向量数量积的物理意义是功．设计意图：通过类比平面向量的物理意义，引出空间向量在物理中的应用，增强同学们的应用意识．在讲解的过程中应当按照顺序进行：向量—加法—数量积．理解新知提出问题：多个力作用在同一物体上，使得物体由A 点平移到B 点，合力做功为多少？怎样求？活动设计：学生自主探讨，分组形成结论．活动成果：利用向量的加法求合力，将合力与向量AB →做数量积即可．设计意图：利用简单的空间向量知识解决有关物理问题，引出空间向量应用于物理的有关知识点．运用新知典型示例类型一：空间向量解决力的问题1一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500 kg ，在它的顶点处分别受力F 1，F 2，F 3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？思路分析1：钢板所受重力的大小为500 kg ，垂直向下作用在三角形的中心O.如果能将各顶点处所受的力F 1，F 2，F 3用向量形式表示，求出其合力，就能判断钢板的运动状态．解法1：如图所示，以点A 为原点，平面ABC 为xAy 坐标平面，AB →方向为y 轴正方向，|AB →|为y 轴的单位长度，建立空间直角坐标系A —xyz ，则正三角形的顶点坐标分别为A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(－32，12，0)． 设力F 1方向上的单位向量坐标为(x ，y ，z)，由于F 1与AB →，AC →的夹角均为60°，利用向量的数量积运算，得cos60°＝12＝(x ，y ，z)·(0,1,0)，① cos60°＝12＝(x ，y ，z)·(－32，12，0)，② 由①②解得x ＝－112，y ＝12. 又因为向量(x ，y ，z)是单位向量，所以x 2＋y 2＋z 2＝1，得z ＝23.于是F 1＝200(－112，12，23)． 同理可得F 2＝200(－112，－12，23)，F 3＝200(13，0，23)． 所以它们的合力为F 1＋F 2＋F 3＝200(0,0，6)． 这说明作用在钢板上的合力方向向上，大小为200 6 kg ，作用点为O. 由于2006<500，所以钢板仍静止不动．要提起这块钢板，设|F 1|，|F 2|，|F 3|均为x ，则需满足条件6x>500，解得x>5006. 因此要提起这块钢板，|F 1|，|F 2|，|F 3|均要大于5006kg. 另解：思路分析2：由问题中钢板形状以及各分力的大小、方向的共同特征，可知合力的方向向上，作用点在钢板的重心，即等边三角形的中心处，因此只要计算各分力的向上的分力，然后求和即可．解法2：如图，将F 1分解为一个向上的分力F 11和一个指向钢板重心的分力F 12，这两个分力互相垂直．图中|F |＝|F 1|cos60°＝12|F 1|， 所以|F 12 | ＝ |F |cos30° ＝ 13|F 1|，|F 11| ＝ F 21 － F 212 ＝ 23|F 1|. 同理，F 2，F 3的向上的分力分别为|F 21|＝23|F 2|，|F 31|＝23|F 3|. 因此合力为3×23|F 3|＝2006(kg)． 由于2006<500，所以钢板仍静止不动．要提起这块钢板，设|F 1|，|F 2|，|F 3|均为x ，则需满足条件 3×23x>500， 解得x>5006. 因此要提起这块钢板，|F 1|，|F 2|，|F 3|均要大于5006kg. 点评：由于力可以表示为向量，所以本题的第1种解法可以转化为关于向量加法的问题．建立合适的坐标系，选择恰当的单位向量，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算，是本例的基本解题思路．第2种解法说明，空间向量解决立体几何问题的主要方式有两种，一是不用建立坐标系的纯向量方法，二是建立空间直角坐标系的向量坐标方法．后者常用，前者不常用，然而若是不能建立适当的空间直角坐标系，一般就用几何方法，而不是采用向量方法了．巩固练习一块均匀的正三角形面的钢板，在它的三个顶点处分别受力F 1，F 2，F 3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝200 kg.这块钢板在这些力的作用下向上运动，则这块钢板的质量最大为多少？解：方法与例1相似，由例1的解题过程不难发现，这块钢板的质量最大为200 6 kg. 类型二：空间向量解决功的问题2已知F 1＝i ＋2j ＋3k ，F 2＝－2i ＋3j －k ，F 3＝3i －4j ＋5k ，若F 1，F 2，F 3共同作用于同一物体上，使物体从点M 1(1，－2,1)移到点M 2(3,1,2)，求物体合力做的功．思路分析：数量积的物理意义就是功，所以只要求出合力与位移，做数量积即可． 解：合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝2i ＋j ＋7k ＝(2,1,7)，位移M 1M 2→＝(2,3,1)，W ＝F·s ＝(F 1＋F 2＋F 3)·M 1M 2→＝14.变式练习已知一物体在共点力F 1＝(2,2,0)，F 2＝(3,1,0)的作用下产生位移s ＝(12，32，－52)，则共点力对物体所做的功为( )A ．4B ．3C ．7D ．2解析：对于合力F ＝(5,3,0)，其所做的功为W ＝F ·s ＝52＋92＝7.因此选C. 变练演编提出问题：请解答下列问题：1．一块均匀的正三角形面的钢板质量为500 kg ，在它的三个顶点处分别受力F 1，F 2，F 3，力F 1，F 2与同它相邻的三角形的两边之间的角都是90°，F 3与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且|F 1|＝|F 2|＝|F 3|＝200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会向________________运动．2．若三个力为F 1＝i ＋2j ＋3k ，F 2＝－2i ＋3j －k ，F 3＝3i －4j ＋5k 作用在同一物体上，当合力做的功为14时，则物体从点M 1(1，－2,1)可以平移到点__________．请将你能想到的答案列举一下，看看它们有什么规律．解：1.与例1的解法相似，可得三个力的合力大小为400＋20063>500， 所以钢板将会向上运动．2．合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝2i ＋j ＋7k ＝(2,1,7)，设M 2(x ，y ，z)，由题意M 1M 2→＝(x －1，y＋2，z －1)，所以功为2(x －1)＋(y ＋2)＋7(z －1)＝14，即2x ＋y ＋7z －21＝0.所以只要满足此式的点皆可．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题，最终实现学生喜爱数学、爱学数学、学好数学的目的．达标检测1．已知作用在A(1,1，－1)点的三个力F 1＝(3,4，－2)，F 2＝(2，－5,0)，F 3＝(3,1,2)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是( )A ．(9,1，－1)B ．(1,9，－1)C ．(9,0,1)D ．(9,1,1)2．如下图所示，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1，求：(1)|F 1|，|F 2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F 1|≤2|G |时，θ角的取值范围．1．解析：对于力的合成问题用坐标法，实际是向量的加法问题，因此F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是合力的坐标与起点A 的坐标的和．因此选A.2．解：(1)由三角形法则得|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ.因此θ从0°至90°时，|F 1|，|F 2|随角θ的增大而增大．(2)对于|F 1|＝|G |cos θ≤2|G |，∴cos θ≥12.因此0°≤θ≤60°. 课堂小结1．知识收获：利用向量可以解决物理中的力、速度、功等问题，合力的求法即是向量的加法，功的求法即是向量的数量积．2．方法收获：类比方法、数形结合方法．3．思维收获：类比思想、转化思想、空间想象能力与化归能力．作业布置、补充练习基础练习判断命题的真假：1．向量就是力，力就是向量．( )2．因为用向量求合力时，将力所对应的向量求和，所以在物理中求合力也是直接将几个分力求和．( )3．利用向量可以求解速度的合成等问题．( )4．利用向量可以求解物理中功的有关问题，所以功是矢量．( )答案：假命题 假命题 真命题 假命题拓展练习设炮弹被以初速v 0和仰角α抛出(空气阻力忽略不计)．当初速度v 0的大小一定时，发射角α多大时，炮弹飞行的距离最远？解：将v 0分解为水平方向和竖直方向两个分速度v 1和v 2，则|v 1|＝|v 0|cos α， |v 2|＝|v 0|sin α，由物理学知识可知，炮弹在水平方向飞行的距离s ＝|v 1|·t＝|v 0|cos α·t(t 是飞行时间)，①炮弹在垂直方向的位移是0＝|v 2|·t－12gt 2(g 是重力加速度)，②由②得t ＝2|v 0|sin αg ③，代入①得s ＝2|v 0|2sin αcos αg ＝ v 20sin2αg. 由于|v 0|一定，所以当α＝45°时，s 有最大值．故发射角α＝45°时，炮弹飞行的距离最远．设计说明设计思想让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新，增强了学生的应用意识．设计意图：学生虽然对向量解决物理问题有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关．本节课从实例出发，设计了利用向量解决物理问题的几类题目，突出了数学与其他学科的联系．设计特点在教材处理上，大胆创新，结合学生的认知能力和思维习惯，直接给出常见的几类能用向量解决的物理问题，并不是生硬地过渡，而是通过将实际问题转化为数学中的几何问题．再将几何问题转化为向量问题来解决．例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，照顾到各个层次的学生，目的是强化基本技能训练和基本知识的灵活运用．备课资料向量在物理方面的五类应用向量在物理中的应用范围非常广泛，运用好向量既可解决物理问题，也是向量联系实际的具体体现．当然向量在物理中的应用要与其他的数学工具结合起来，如函数的思想；也要与物理知识有机结合，如力的合成方面等等．向量与物理的结合在数学看来是一种学科间知识的交汇，是一种综合，是一种实际应用．通过向量这一工具一般可解决物理学中的“力的合成、功的求解、速度合成、船的航行、物体稳定”等五类问题，下面就向量在这五个方面的应用进行举例分析．一、力的合成问题1两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们间的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 N D.10 N分析：力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则求出新的合力．解析：对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，这两个力的大小都是10 2 N ，当它们的夹角为120°时，由三角形法则，合力的大小为10 2 N ．答案为B.点评：力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是|F 1|＝10 N ，这样就会错选选项D.二、功的求解问题2一个物体受到三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动8 m ，其中，|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为东偏北30°，|F 3|＝6 N ，方向为西偏北60°，则合力所做的功是________．分析：这是一个物理中的功的求解问题，对于功的求解一般是用向量的点积，但点积的运算有向量法和坐标法两种，对于易建立坐标系的情况还是用坐标法求解为好．解析：根据题意建立直角坐标如图所示，根据图示求出各处力的向量坐标可得：F 1＝(1，3)，F 2＝(23，2)，F 3＝(－3，33)，因此合力F ＝(23－2,2＋43)，而s ＝(42，42)，这样其所做的功为W ＝f ·s ＝42×(63)＝24 6 J ，即合力所做的功为24 6 J.点评：对于功的求解要注意力用坐标，位移也可用坐标表示，然后用坐标法求向量的点积，然后求出合力所做的功．三、速度合成问题3人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.|v 1||v 2|分析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理．本题的向量方向相反，大小就相减．解析：对于逆风行驶，其速度大小为|v 1|－|v 2|，因此应选C.点评：速度的合成主要是根据向量的三角形法则或平行四边形法则进行求解，因此对于逆风或顺风问题速度的大小可通过相减或相加得到．四、船的航行问题4一艘船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水流速为2 km/h ，求船实际航行的速度的大小与方向．分析：这是一个船行问题，处理的方法和原则是三角形法则或平行四边形法则，当然要注意船的实际航速和航向，船在静水中的航速和航向．解析：如图所示，由向量的三角形法则知，对于|v 水|＝2 km/h ，|v 船|＝2 3 km/h ，得|v 船实际|＝4＋12＝4 km/h ，方向为顺水流与水流成60°夹角．点评：对于船的航行问题关键是要注意运用向量的合成法则进行，当然要特别注意“船的实际航速和航向”和“船在静水中的航速和航向”．五、物体稳定问题5如图所示，对于同一高度(足够高)的两个定滑轮，用一条(足够长)绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg 和2 kg 的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子上悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应在什么范围内？(忽略滑轮半径、绳子的重量)分析：对于物体的平衡关键是上下、左右的平衡，因此可从重力和向上的合力相等、从向左的拉力和向右的拉力相等列方程求解．当然有关参数的求解需要有较高的函数最值的求解技巧．解：如图，可从重力与向上的拉力、向左与向右的拉力相等出发列方程，即有2sin θ1＝4sin θ2,2cos θ1＋4cos θ2＝m.这样化去θ2得4sin 2θ1＝16sin 2θ2,16cos 2θ2＝(m －2cos θ1)2，这样就有16＝4＋m 2－4mcos θ1.∴m 2－4mcos θ1－12＝0.对于Δ＝16cos 2θ1＋48>0，因此有0<cos θ1＝m 2－124m <1,23<m<6.因此物体的质量范围是(23，6)． 点评：这类问题的求解首选是列方程，关键是求参数，而求参数的过程是有两种方案的，如果消去θ1，用θ2的变量求解则显得困难重重，因此要注意选择合适的参数作为变量．其中的分离系数求变量的方法更是值得注意的好方法，当然要注意的是参数的范围．。
高中数学 3.1.4空间向量及其运算第4课时教案 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学教案
§空间向量的正交分解及坐标表示[学情分析]：本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的X围已由平面扩大到空间学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。
[教学目标]：〔1〕知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面〔2〕过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理〔3〕情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解[教学重点]：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用[教学难点]：空间向量的分解[课前准备]：课件p ，存在一个唯一的有序实数组，使y a x p +=由此定理， 假设三向量那么空间的任一向量都可由p ，存在一个),,z y x ，使),z y是不共面的四点，OP xOA yOB zOC =++例1． 如图，空间四边形OABC 线,OB AC ，,M N 分别是对边中点，点G 在线段MN 上，且MG ,,OA OB OC 表示向量OG解：OG OM MG =+2312()231211[()]2322111()233111633OM MNOA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+=+-=++-=++-=++ ∴111633OG OA OB OC =++四．练习巩固1、如图，在正方体///B D CA OADB -中，，点E 是AB 与OD 的交点,M 是OD /与CE 的交点，试分别用向量OC OB OA ,,表示OD 和OM解：OC OB OA OD ++=/OC OB OA OM 313131++=课本P102 练习1、2、3五．拓展与提高1．设A 、B 、C 、D 是空间任意四个点，令u＝AD BC +，v ＝AB CD +，w ＝充分认识基底的特征，即线性无关的三个向量就可以构成空间的一个基底。
「空间向量第四课时学案」
9.5空间向量及其运算（第四课时）【学习目标】1.了解向量夹角的概念及夹角的范围２.理解向量的垂直，向量的长度及正射影等有关概念。
3．掌握向量数量积的定义及向量数量积的性质。
【自主学习】（温馨提示:阅读课本36-37页内容后，请完成下列各题）1.夹角：已知两个 向量a 、,在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则角∠AOB叫做向量a 与的 ,记作 ,其取值范围为 ，当,2a b 时，则称 ,并记作 。
2．若OAa ，则有向线段OA 的长度叫做向量的 ,并记作 。
3．向量的数量积: 叫做向量a 、的数量积,记作＿＿ ＿，即=_＿＿ ＿。
4.已知向量,AB a =和轴l ,e 是l 上与l 同方向的单位向量，点A 在l 上的射影为'A ,点B 在l 上的射影为'B ,则''A B 叫做，简称 ,并且''||A B = 。
５．空间向量的数量积的性质 : (１）a e = ;（2）a b ⊥⇔ ；（3)2||a =。
６．空间向量的数量积运算律： (1)()a b λ= ；(２）a b = （交换律）;(3) (分配律)。
【合作探究】例1. 已知空间四边形A ＢCD 的每条边和对角线长都等于a ,点E 、F 、G 分别是AB 、A Ｄ、DC 的中点,求下列向量的数量积：(１)AD BD •；(２);GFAC (３）EF BC 。
例2、如图１,已知:,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B,且,l m l n ⊥⊥。
求证:l α⊥。
【课堂巩固】1.已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋３ｃ｜＝ 。
2．已知向量,a b 的夹角为120,||1,||3a b ，则|5|a b 。
3.长为４的向量a 与单位向量e 的夹角为23π，则向量a 在向量e 方向上的投影为 。
b b b b a ⋅图14、已知空间四边形ＡBCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点Ｍ,Ｎ分别是边ＡB,ＣＤ的中点,求证MN ⊥A Ｂ，MN ⊥CD 。
人教A版高中数学选修天津武清区杨村第四空间向量应用学案
空间向量的应用知识点一：利用空间向量证明平行、垂直关系例1：如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,PB=4PM,PB 与平面ABCD 成30°的角.(1)求证:CM ∥平面PAD;(2)求证:平面PAB ⊥平面PAD.练习1：已知直四棱柱ABCD —A ’B ’C ’D ’,四边形ABCD 为正方形，AA ’=2AB=2，E 为棱CC ’的中点。
（1）求证：A ’E ⊥平面BDE ；（2）设F 为AD 中点，G 为棱BB ’上一点，且BG=41BB ’，求证：FG//平面BDE例2：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中的上底面上叠放三棱柱A 1D 1M-B 1C 1N ，该几何体的正视图与侧视图如图所示。
（1）若DB 1⊥A 1M ，求实数a 的值；（2）在（1）的基础上，求证：A 1C ⊥平面NB 1D 1练习2：已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上射影为O，（1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD（2）若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD？空间向量的应用二（11月22日）知识点二：利用空间向量求角例3：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值 (2)求证：AF⊥平面A1ED；（3）求A1A与面A1ED所成角的正弦值(4)求二面角A1－ED－F的正弦值.练习4：如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥(3)求二面角B－DE－C的大小.练习5：已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2.(1)求PC 与平面PBD 所成的角；(2)在线段PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由.空间向量的应用三（11月23日）知识点三:利用空间向量求距离例4：如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的余弦的大小；（Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．例5：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AB=4,BC=3,21=CC .(1)求证：平面111ACD //平面BC A ；（2）求（1）中两个平行平面间的距离。
高中数学 3.2.4立体几何中的向量方法第4课时教案1数学教案
§3.2.4 坐标法中解方程组求向量的有关问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一些问题。
我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。
【教学目标】：（1）知识与技能：能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量；对某个向量能用解方程组的方法求其坐标.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：解方程组求向量的的坐标.【教学难点】：解方程组求向量的的坐标..【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：建立坐标系，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算。
可以选择以三角形的一个顶点为原点、条轴、三角形所在平面为坐标平面的坐标系。
F 1F 3C O 500kg11(0,2n AD ==的法向量2(,,),SCD n x y z =的法向量22,,n CD n SD ⊥⊥由得：0202y x y z -=-=22y x y z ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩2(1,2,1)n =任取1212126cos ,3||||n n n n n n <>==63即所求二面角得余弦值是？时，才能提起这块钢板动？这三个力最小为多力的作用下将会怎样运这块钢板在这些，且角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三，在它的顶点处分别受角形面的钢板的如图，一块均匀的正三.200500321kg F F F kg ===23(),0,1,0(),0,0,0(,-C B A Axyz y AB y ABC A 坐标分别为则正三角形的顶点建立空间直角坐标系轴的单位长度为轴正方向，方向为为原点，平面解：如图，以点又M 不在平面AC 内，所以MN ∥平面AC 。
空间向量教案
空间向量教案空间向量教案引言：空间向量是线性代数中的重要概念之一，它在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本教案旨在通过清晰的讲解和实例演示，帮助学生理解和掌握空间向量的基本概念、性质和运算法则，为后续学习打下坚实的基础。
一、空间向量的定义和表示方法空间向量是指具有大小和方向的量，它可以用有序三元组表示。
例如，向量A可以表示为A=(a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
二、空间向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
即，对于任意向量A、B和C，有A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个分量与一个实数相乘。
例如，对于向量A=(a1, a2, a3)和实数k，kA=(ka1, ka2, ka3)。
3. 向量的点乘向量的点乘又称为数量积，表示为A·B。
点乘的结果是一个实数。
点乘满足交换律和分配律。
即，对于任意向量A、B和C，有A·B=B·A，A·(B+C)=A·B+A·C。
4. 向量的叉乘向量的叉乘又称为向量积，表示为A×B。
叉乘的结果是一个向量。
叉乘满足反交换律和分配律。
即，对于任意向量A、B和C，有A×B=-(B×A)，A×(B+C)=A×B+A×C。
三、空间向量的几何意义1. 向量的模长向量的模长表示向量的大小，可以通过勾股定理计算。
对于向量A=(a1, a2, a3)，其模长表示为|A|=√(a1²+a2²+a3²)。
2. 向量的方向角向量的方向角表示向量与坐标轴之间的夹角。
可以通过三角函数计算。
对于向量A=(a1, a2, a3)，其方向角表示为θ=cos⁻¹(a1/|A|)、φ=cos⁻¹(a2/|A|)和γ=cos⁻¹(a3/|A|)。
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9.5空间向量及其运算（第四课时）
【学习目标】
1.了解向量夹角的概念及夹角的范围
2.理解向量的垂直，向量的长度及正射影等有关概念。
3.掌握向量数量积的定义及向量数量积的性质。
【自主学习】（温馨提示：阅读课本36-37页内容后，请完成下列各题）
1．夹角：已知两个向量a 、，在空间任取一点O ，作,O A a O B b == ，则角∠AOB 叫做向量a 与的，记作，其取值范围为，当,2a b p <>=r r 时，则称，并记作。
2．若O A a =uur r
，则有向线段O A uur 的长度叫做向量的，并记作。
3．向量的数量积： 叫做向量a 、的数量积，记作＿＿ ＿，即=＿＿＿ ＿。
4．已知向量,A B a = 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，点A 在l 上的射影为'A ，点B 在l 上的射影为'B ，则''A B 叫做，简称，并且''||A B =。
5．空间向量的数量积的性质 ：
（1）a e = ；（2）a b ⊥⇔ ；（3）2||a = 。
6．空间向量的数量积运算律： （1）()a b λ=
；（2）a b = （交换律）；（3）（分配律）。
【合作探究】
例1. 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ,点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，求下列向量的数量 积：（1）AD BD ∙
；（2）;G F AC （3）EF BC 。
例2、如图1,已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥。
求证：l α⊥。
【课堂巩固】
1．已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |=。
2．已知向量,a b r r 的夹角为120,||1,||3a b ?=r r ，则|5|a b -=r r。
3．长为4的向量a r 与单位向量e 的夹角为23
π，则向量a r 在向量e 方向上的投影为。
4、已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点，求证MN ⊥AB ，MN ⊥CD 。
b b
b b a
⋅图1
【学习心得】。
【课后巩固与提高】
A 级 1． 已知0OA OC O
B O
C -=
，则直线OC 与AB 的位置关系是 （）
A ．平行
B ．垂直
C ．重合
D ．相交但不垂直
2．已知异面直线a 与b 所成的角为θ，向量m 和n
所在直线分别平行于a 和b ，则恒有（） A ．cos m n m n θ∙= B ．cos()m n m n πθ∙-= C ．cos m n m n θ∙= D ．cos m n m n
θ∙= 3．已知空间四边形A B C D 每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列各式中值为2a 的是 （） A.2BA AC ∙ B.2DA BD ∙ C.2FG AC ∙ D.2EF DB ∙
4．已知空间四边形ABCD 中，AB C D AC BD ⊥⊥，，求证：A D B C ⊥．
B 级 1．已知向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60 ，且||1,||2,||3a b c === ，试求：
（1）2()a b + ；（2）2(2)a b c +- ；（3）(32)(3)a b b c -⋅- ．
．
2．正方体1111ABC D A B C D -中，E F ，分别是111BB B D ，的中点．求A E 与1D A 所成角的余弦．。