2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)5-2同角三角函数基本关系与诱导公式

课时作业(二十二)
一、选择题
1．(2012年四川广元模拟)sin 2 012°＝() A．sin 32°B．－sin 32°
C．sin 58°D．－sin 58°
解析：sin 2 012°＝sin(5×360°＋212°)
＝sin 212°＝sin(180°＋32°)＝－sin 32°.故选B.
答案：B
2．(2012年山东济南一模)等差数列{a n}中，a1＋a3＋a5＝π，则cos a3＝()
A.
3
2 B.
2
2
C．－1
2 D.
1
2
解析：由等差数列的性质知，3a3＝π，所以a3＝π
3，cos
π
3＝
1
2.故选D.
答案：D
3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是() A．sin θ<0，cos θ>0 B．sin θ>0，cos θ<0
C．sin θ>0，cos θ>0 D．sin θ<0，cos θ<0
解析：sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0.
∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，∴cos θ<0.
答案：B
4．(2012年东北三校4月模拟)已知sin θ＋cos θ＝4
3(0<θ<
π
4)，则sin θ－cos θ
的值为()
A.
2
3B．－
2
3
C.1
3D．－
1
3
解析：∵sin θ＋cos θ＝4
3，∴(sin θ＋cos θ)
2＝1＋sin 2θ＝
16
9，∴sin 2θ＝
7
9，
又0<θ<π
4，∴sin θ<cos θ.
∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－2
3. 答案：B
5．(2012年福建厦门月考)已知1＋sin αcos α＝－12，则cos α
sin α－1的值是
( )
A.12 B ．－12 C ．2
D ．－2
解析：由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1
＝1
2.
答案：A
6．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝
( )
A.1－k 2
k B ．－1－k 2
k C.k 1－k 2
D ．－k
1－k 2
解析：法一：∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k . ∴sin 80°＝1－k 2.
∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k . 法二：由cos(－80°)＝k ，得－cos 80°＝k >0，∴0<k <1. 又sin 280°＋cos 280°＝1，两边同除以cos 280°得 ∴tan 280°＋1＝1cos 280°.
∴tan 2
80°＝1k 2－1＝1－k 2k 2，∴tan 80°＝1－k 2k .
∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k . 答案：B
二、填空题
7．(2011年上海春招)在△ABC 中，tan A ＝2
3，则sin A ＝______. 解析：由tan A ＝sin A cos A ＝23，sin 2A ＋cos 2
A ＝1且sin A >0，得sin A ＝2211. 答案：22
11
8．(2012年安徽合肥一模)已知sin(π3－x )＝35，则cos(5π
6－x )＝________. 解析：cos(
5π6－x )＝cos[π2＋(π
3
－x )] ＝－sin(π3－x )＝－3
5. 答案：－3
5
9．(2012年海南万宁二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2cos π3x ，x ≤2 000，x －12，x >2 000，则f [f (2
012)]＝________.
解析：∵2 012>2 000，∴f [f (2 012)]＝f (2 000)． ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 2π3＝2cos(π－π
3)＝－1.
答案：－1 三、解答题
10．(2012年山东聊城一模)如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，它与y 轴正半轴交于点A ，与钝角α的终边交于点B (x B ，y B )．
(1)求x B －y B 的最小值；
(2)设∠BAO ＝β，当sin β＝4
5时，求点B (x B ，y B )的坐标． 解：(1)由三角函数的定义知 x B －y B ＝cos α－sin α＝2cos(α＋π
4)． 因为π2<α<π，所以3π4<α＋π4<5π4，
所以cos(α＋π4)∈[－1，－2
2]． 故x B －y B 的最小值为－ 2. (2)由题图知，∠ABO ＝∠BAO ＝β.
在△AOB 中，2β＋α－π2＝π，所以α＝3π
2－2β. 因为0<β<π2，所以cos β＝3
5.
x B ＝cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2－2β＝－sin 2β＝－2sin βcos β＝－2425. y B ＝sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2－2β＝－cos 2β＝2sin 2β－1＝725.
所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－2425，725.
11．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根． (1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋θ的值； (2)求tan(π－θ)－1
tan θ的值． 解：由已知原方程判别式Δ≥0， 即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0. 又⎩⎨⎧
sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0. ∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)． ∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.
(1)cos(π2－θ)＋sin(π
2＋θ)＝sin θ＋cos θ＝1－ 2.
(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin θcos θ＋cos θsin θ
＝－1
sin θcos θ＝－
1
1－2
＝2＋1.
12．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件， 则⎩⎨⎧ sin α＝2sin β3cos α＝2cos β
①②
.
由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±2
2. ∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2，∴α＝±
π4. 当α＝π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π
6；
当α＝－π4时，cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π
6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π
6满足条件． [热点预测]
13．(1)(2012年江西临川5月模拟)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π2＝
( )
A ．－10
4 B ．－6
4 C.64
D.104
(2)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π3的
值为________．
解析：(1)根据题意得cos α＝x 5＋x
2＝2
4x ， 解得x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.
即cos α＝－64，sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64，故选B.
(2)由已知，tan θ＝
cos 34π
sin 34
π
＝－1 则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π3＝
tan θ＋tan π3
1－tan θ·tan π3
＝3－1
3＋1
＝2－ 3. 答案：(1)B (2)2－ 3。