高考数学总复习 高考达标检测(八)对数函数的2类考查点图象、性质 理
对数函数考点与题型归纳
对数函数考点与题型归纳一、基础知识1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y＝log a x的3个特征(1)底数a>0，且a≠1；(2)自变量x>0；(3)函数值域为R.2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．考点一 对数函数的图象及应用[典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1，lg (1－x )，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知14<log a 14， 所以⎩⎨⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫116，1 [变透练清]1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x ) ＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.考点二 对数函数的性质及应用考法(一) 比较对数值的大小[典例] (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b .所以c ＞a ＞b . [答案] D考法(二) 解简单对数不等式[典例] 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，12.[答案] ⎝⎛⎭⎫13，12考法(三) 对数型函数性质的综合问题[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．[题组训练]1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C 0<a ＝2-13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23>1，∴c >a >b .2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A ∵－1<x <0，∴0<x ＋1<1.又∵f (x )>0，∴0<2a <1，∴0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3(2x －1)≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．(2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．(2018·惠州调研)若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >bD ．a >b >c解析：选D 依题意，得a >1,0<b ＝log π3<log ππ＝1，而由0<sin 2π5<1,2>1，得c <0，故a >b >c .6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 128．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________． 解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．答案：(5，＋∞)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a ).解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．解：显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 级1．已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)满足f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，则f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3a 且f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，即0<a <1，结合对数函数的图象与性质可由f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，得0<1－1x<1，所以x >1，故选C. 2．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。
高中数学对数函数题型归纳
高中数学对数函数题型归纳一、引言高中数学中的对数函数是数学学习中的一个重要内容，它不仅在解决实际问题中有着广泛的应用，也是高考中的重要考点。
本文将针对对数函数的定义、性质、图像以及常见题型进行归纳总结，以期帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
二、对数函数的定义与性质对数函数是以幂的形式进行运算的函数，其定义域为(0,正无穷)，值域为(负无穷，正无穷)。
对数函数具有以下性质：1.对数函数恒过定点（1，0），即f(x)=logax,(a>0且a≠1)时，x=1。
2.对数的单调性：当a>1时，函数在定义域上为增函数；当0<a<1时，函数在定义域上为减函数。
3.对数函数的底数与真数之间具有换底公式：log·(x)=logac+logc(x)lg。
三、对数函数的图像与运用在掌握对数函数性质的基础上，通过图像能够更好地理解和掌握这一知识点。
常用的对数函数图像包括f(x)=logax,f(x)=2logax等。
图像的应用包括但不限于：通过图像观察函数的单调性、极值、最值；分析图像与坐标轴的交点；以及通过图像理解函数与其他函数的关系等。
四、题型归纳与解析1.直接求对数函数解析式：此类题型主要考察同学们对方程思想的理解和应用。
对于形如f(x)=logax(或其变形形式)的方程，可利用换元法求出对数函数的解析式。
2.对数函数的性质应用：根据对数函数的性质，可以解决一些求最值的问题。
例如，当a>1时，利用函数的单调性可以求出函数在定义域内的最大值或最小值；当0<a<1时，则需考虑在何处取值最合适。
3.对数函数的图像应用：通过对数函数的图像与坐标轴的交点，可以解决一些涉及方程的题目。
例如，已知对数函数的图像与坐标轴交于两点，求这两点的坐标。
4.对数式与代数式的转换：对数式的运算是基于底数的运算进行的，因此，熟练掌握底数的运算规则是解决此类题目的关键。
常见的题型包括：已知部分对数值求整体对数值；将部分对数式转换为代数式；以及对数的加减乘除运算等。
2023年高考数学总复习：对数函数(附答案解析)
2023年高考数学总复习：对数函数一．选择题（共11小题）1．（2021秋•成都期中）函数log (1)(0a y x a =+>，且1)a ≠与函数221y x ax =-+在同一直角坐标系中的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．（2021秋•成都期中）已知函数()log 2(0,1)a f x x a a =+>≠在区间1[2，4]上的最大值为4，则a 的值为( ) A ．12B ．2C ．22D ．2或223．（2021秋•仙桃月考）已知集合2{|20}M x x x =+-<，{|(2)0}N x lg x =+>，则(MN =)A ．(2,)-+∞B ．(1,1)-C ．(,1)-∞D ．(1,)-+∞4．（2021秋•河北月考）函数1(1)y ln x =+的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．5．计算72log 22341277log 2225(64lne lg lg ⨯-+--= ) A ．20B ．21C ．9D ．116．计算3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是( ) A ．1B ．32C ．2D ．37．（2021春•昌江区校级期末）已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．3e e π< B ．3log log e e π>C ．2233e e ππ--⋅<⋅D ．3log 3log e e ππ>8．（2021春•烟台期末）某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的23．若该物质的剩余质量变为原来的14，则经过的时间大约为( )(20.301lg ≈，30.477)lg ≈A ．2.74年B ．3.42年C ．3.76年D ．4.56年9．（2021秋•西城区校级期中）已知2log 3a =，则44a a -+的值为( ) A ．52B ．103C ．376D ．82910．（2021秋•10月份月考）方程24log log (23)x x =+的解为( ) A ．1- B ．1C ．3D ．1-或311．1223(0.25)(log 3)(log 4)-+⋅的值为( )A ．52B ．2C ．3D ．4二．填空题（共7小题）12．（2021秋•裕安区校级月考）已知函数()log (2)a f x x a =-在区间12[,]33上恒有()0f x >，则实数a 的取值范围为 ．13．（2020秋•赣榆区校级月考）已知函数()log ()a f x x m n =-+的图象恒过定点(3,5)，则lgm lgn +的值是 ．14．（2021春•南开区期末）计算：23192log 3log 8⋅= ．15．（2021春•温州期末）若2log 3a =，3log 4b =，则4a = ；22log log a b += ． 16．（2021春•金山区校级期末）方程22log 13x +=的解x = ．17．（2021春•杭州期末）已知2lg a =，3lg b =，则2log 12= （用a ，b 表示）． 18．（2021•梁园区校级模拟）已知0.12a -=，2log 3b =，4log 10c =，则a ，b ，c 的大小关系为 （按从大到小顺序排列）．2023年高考数学总复习：对数函数参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2021秋•成都期中）函数log (1)(0a y x a =+>，且1)a ≠与函数221y x ax =-+在同一直角坐标系中的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换；对数函数的图象与性质 【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象【分析】由函数log (1)a y x =+与函数221y x ax =-+的图象特征，结合选项直接得解． 【解答】解：函数221y x ax =-+的对称轴为x a =，且恒过定点(0,1)，观察选项可知，选项C 可能符合，若选C ，则由图象可知，此时01a <<，函数log (1)a y x =+单调递减，且恒过定点(0,0)，符合题意． 故选：C ．【点评】本题主要考查二次函数与对数函数的图象，考查数形结合思想，属于基础题． 2．（2021秋•成都期中）已知函数()log 2(0,1)a f x x a a =+>≠在区间1[2，4]上的最大值为4，则a 的值为( )A ．12B ．2CD ．2 【答案】D【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质 【专题】分类讨论；数学运算【分析】对数函数的底数的范围不确定时，要分类讨论．【解答】\解：当1a >时，()max f x f =（4）log 424a =+=，所以2a =．当01a <<时，11()()log 2422max a f x f ==+=，所以a ．故选：D ．【点评】利用对数函数的单调性解最值．3．（2021秋•仙桃月考）已知集合2{|20}M x x x =+-<，{|(2)0}N x lg x =+>，则(MN =)A ．(2,)-+∞B ．(1,1)-C ．(,1)-∞D ．(1,)-+∞【答案】A【考点】并集及其运算；对数函数的图象与性质 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算 【分析】求出集合M ，N ，利用并集定义能求出MN ．【解答】解：集合2{|20}(2,1)M x x x =+-<=-，{|(2)0}(1N x lg x =+>=-，)+∞， 则(2,)MN =-+∞，故选：A ．【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2021秋•河北月考）函数1(1)y ln x =+的大致图象为( )A．B．C．D．【答案】A【考点】对数函数的图象与性质【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】由12x=-时，0y<，排除B，D，再取12x=时，0y>，故排除C，即可得到答案．【解答】解：由题意可得10(1)0xln x+>⎧⎨+≠⎩，解得定义域{|1x x>-且0}x≠，当12x =-时，1110112(1)22y ln ln ln ===-<-+，∴排除B ，D ； 当12x =时，11013(1)22y ln ln ==>+，故排除C ， 故选：A ．【点评】本题考查了对函数图象，通过对函数性质的探究，排除不合题意的选项，可得出正确结果，属于基础题． 5．计算72log 22341277log 2225(64lne lg lg ⨯-+--= ) A ．20 B ．21 C ．9 D ．11【答案】B【考点】对数的运算性质【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算；计算题 【分析】利用有理数指数幂和对数的运算性质求解． 【解答】解：原式233343242222592322(25)1832221log lg lg lg lg ⨯-=⨯-+--=⨯++-+=++-=．故选：B ．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，是基础题． 6．计算3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是( ) A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C【考点】对数的运算性质【专题】转化思想；转化法；计算题；函数的性质及应用；数学运算 【分析】利用对数的运算法则及换底公式求解即可． 【解答】解：3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅ 24589932323458333lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg =⋅⋅⋅====． 故选：C ．【点评】本题考查了对数运算法则及换底公式的运用，属于基础题．7．（2021春•昌江区校级期末）已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．3e e π< B ．3log log e e π>C ．2233e e ππ--⋅<⋅D ．3log 3log e e ππ>【答案】D【考点】对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据幂函数的单调性即可判断A 错误；根据对数的换底公式和对数函数的单调性即可判断B 错误；根据幂函数的单调性即可判断C 错误；根据不等式的性质即可判断D 正确．【解答】解：A ．3π>，0e >，3e e π∴>，A ∴错误； 311.,3B log e log e ln ln ππ==，且30ln ln π>>， ∴113ln ln π<， 3log log e e π∴<，B ∴错误；C ．30e -<，333e e π--∴>， 212133e e ππ----∴⋅>⋅， 2233e e ππ--∴⋅>⋅，C ∴错误；D．330log e log e ππ>⎧⎨>>⎩， 3log 3log e e ππ∴>，D ∴正确．故选：D ．【点评】本题考查了幂函数和对数函数的单调性，不等式的性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．8．（2021春•烟台期末）某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的23．若该物质的剩余质量变为原来的14，则经过的时间大约为( )(20.301lg ≈，30.477)lg ≈A ．2.74年B ．3.42年C ．3.76年D ．4.56年【答案】B【考点】对数的运算性质【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】该物质的剩余质量变为原来的14，设经过的时间大约为n 年，设该种放射性物质原来质量为a ，列出方程，再由对数的运算能求出结果． 【解答】解：该物质的剩余质量变为原来的14，设经过的时间大约为n 年， 设该种放射性物质原来质量为a ， 则21()34n a a ⋅=⋅，23112220.3014 3.4224230.3010.4773lglg n log lg lg lg --⨯∴===≈≈--（年)．故选：B ．【点评】本题考查对数在生产生活中的应用，考查对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（2021秋•西城区校级期中）已知2log 3a =，则44a a -+的值为( ) A ．52B ．103C ．376D ．829【答案】D【考点】对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】利用对数的运算性质求解．【解答】解：2log 3a =，222223393282444422939log log log log a a ----∴+=+=+=+=， 故选：D ．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．10．（2021秋•10月份月考）方程24log log (23)x x =+的解为( ) A ．1- B ．1 C ．3 D ．1-或3【答案】C【考点】对数的运算性质【专题】计算题；方程思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据对数的运算性质解方程即可．【解答】解：24log log (23)x x =+，即为221log log (23)2x x =+，即222log log (23)x x =+，则2023x x x >⎧⎨=+⎩，解得3x =，故选：C ．【点评】本题考查了对数的运算方程，考查了运算求解能力，属于基础题． 11．1223(0.25)(log 3)(log 4)-+⋅的值为( )A ．52B ．2C ．3D ．4【答案】D【考点】对数的运算性质【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】根据对数的运算性质计算即可． 【解答】解：1223(0.25)(log 3)(log 4)-+⋅12()23220.522423lg lg lg lg ⨯-=+⋅=+=， 故选：D ．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题． 二．填空题（共7小题）12．（2021秋•裕安区校级月考）已知函数()log (2)a f x x a =-在区间12[,]33上恒有()0f x >，则实数a 的取值范围为 1(3，2)3 ．【答案】1(3，2)3．【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，函数的恒成立问题，求得实数a 的取值范围．【解答】解：函数()log (2)a f x x a =-在区间12[,]33上恒有()0f x >，即当1a >时，21x a ->，或当01a <<时，021x a <-<．∴11213a a >⎧⎪⎨⨯->⎪⎩①，或011021320213a a a ⎧⎪<<⎪⎪<⨯-<⎨⎪⎪<⨯-<⎪⎩②．由①求得a ∈∅，由②求得1233a <<．综合可得实数a 的取值范围为1(3，2)3，故答案为：1(3，2)3．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，函数的恒成立问题，属于中档题． 13．（2020秋•赣榆区校级月考）已知函数()log ()a f x x m n =-+的图象恒过定点(3,5)，则lgm lgn +的值是 1 ．【答案】1．【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】先利用对数函数恒过的定点，由函数的图象变换，即可求出m ，n 的值，再利用对数的运算性质求解即可．【解答】解：因为函数log a y x =的图象恒过定点(1,0)，又函数log a y x =的图象向右平移m 个单位，向上平移n 的个单位，即可得到函数()log ()a f x x m n =-+的图象，则函数()log ()a f x x m n =-+的图象恒过定点(1,)m n + 又函数()log ()a f x x m n =-+的图象恒过定点(3,5)， 故13m +=，5n =， 即2m =，5n =，所以25101lgm lgn lg lg lg +=+==． 故答案为：1．【点评】本题考查了对数函数图象和性质的应用，函数图象变换的应用，对数运算性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．14．（2021春•南开区期末）计算：23192log 3log 8⋅= 1- ．【答案】1-．【考点】对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】根据对数的换底公式和对数的运算性质运算即可． 【解答】解：原式2923log 3log 4log 3log 21=-⋅=-⋅=-． 故答案为：1-．【点评】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 15．（2021春•温州期末）若2log 3a =，3log 4b =，则4a = 9 ；22log log a b += ． 【答案】9，1． 【考点】对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】根据2log 3a =可得出23a =，进而得出4a 的值，可得出223b log =，从而可求出ab 的值，进而得出22log log a b +的值． 【解答】解：2log 3a =， 23a ∴=，24(2)9a a ∴==， 又3log 4b =，∴2224323log ab log log =⋅=， 2222log log log log 21a b ab ∴+===．故答案为：9，1．【点评】本题考查了对数的定义，对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．16．（2021春•金山区校级期末）方程22log 13x +=的解x = 2 ． 【答案】2．【考点】对数的运算性质【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】根据已知条件，运用对数的运算公式，即可求解． 【解答】解：22log 13x +=， 2log 1x ∴=，即2x =．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 17．（2021春•杭州期末）已知2lg a =，3lg b =，则2log 12= 2a ba+ （用a ，b 表示）． 【答案】2a ba+． 【考点】对数的运算性质【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】利用对数的运算法则知212223log 1222lg lg lg lg lg +==，由此能求出结果． 【解答】解：2lg a =，3lg b =， 2122232log 1222lg lg lg a blg lg a ++∴===． 故答案为：2a ba+． 【点评】本题考查对数的运算，考查对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（2021•梁园区校级模拟）已知0.12a -=，2log 3b =，4log 10c =，则a ，b ，c 的大小关系为 c b a >> （按从大到小顺序排列）． 【答案】c b a >>． 【考点】对数值大小的比较【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】利用指数函数的性质、对数函数的性质与特殊值0和1进行比较，即可得到答案．【解答】解：因为0.10221a -=<=，422log 10log log 21c b ==>>=， 所以a ，b ，c 的大小关系为c b a >>． 故答案为：c b a >>．【点评】本题考查了对数值、指数值大小的比较，解题的关键是掌握指数函数的性质、对数函数的性质的应用，与特殊值0和1进行比较，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．。
高三数学(理)复习学案： 对数与对数函数(含答案)
例2
解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题 型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数
的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公 式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则 可利用中间量进行比较． 解 (1)①∵log3<log31＝0， 而log5>log51＝0，∴log3<log5. ②方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log0.71.1>log0.71.2. ∴<， 由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.
(满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋ ∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于 ( ) A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)
则
探究点一 对数式的化简与求值
例1
计算：(1)； (2)lg－lg＋lg；
(3)已知2lg＝lg x＋lg y，求.
变式迁移1 计算： (1)log2＋log212－log242－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.
探究点二 含对数式的大小比较
例2
(1)比较下列各组数的大小． ①log3与log5； ②log1.10.7与log1.20.7. (2)已知logb<loga<logc，比较2b,2a,2c的大小关系．
③logaMn＝__________(n∈R)； ④＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图 象
(1)定义域：______ (2)值域：______ (3)过点______，即x＝____时，y＝____ 性 质 (4)当x>1时，______ 当0<x<1时，______ (6)是(0，＋∞)上的______函数 (5)当x>1时， ______当0<x<1 时，______ (7)是(0，＋∞) 上的______函数
2019届一轮复习高考数学(理)：高考达标检测(8) 对数函数的2类考查点——图象、性质
高考达标检测（八） 对数函数的2类考查点——图象、性质一、选择题1．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，且a ≠1，b ＞0，且b ≠1)，则函数f(x)＝a x 与g(x)＝－log b x 的图象可能是( )解析：选B 因为lg a ＋lg b ＝0， 所以lg ab ＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a ，故g(x)＝－logb x ＝－log 1ax ＝log a x ，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 正确．故选B.2．(2017·西安二模)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．[0,3) C ．(0,3]D ．[0,3]解析：选B 由题意知mx 2－2mx ＋3>0恒成立．当m ＝0时，3>0，符合题意；当m ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝－2m 2－12m<0，解得0<m<3.综上0≤m<3，故选B.3．若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，a ＝f(log 23)，b ＝f(log 45)，c ＝f(232)，则a ，b ，c 满足( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<a<bD ．c<b<a解析：选B 由偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，得f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又232>2>log 23>log 45>0，所以b<a<c.4.(2018·张家界模拟)已知函数f(x)＝log a (2x ＋b －1)(a>0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b<1B ．0<b<a －1<1C ．0<b －1<a<1D ．0<a －1<b －1<1解析：选A 令g(x)＝2x ＋b －1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)＝log a (g(x))是单调递增的，所以必有a>1.又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1<f(0)<0，所以－1<log a b<0，故a －1<b<1，因此0<a －1<b<1.故选A.5．(2018·济宁质检)设函数f(x)＝log a |x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a ＋1)与f(2)的大小关系是( ) A ．f(a ＋1)>f(2) B ．f(a ＋1)<f(2) C ．f(a ＋1)＝f(2)D ．不能确定解析：选A 因为f(x)＝log a |x|在(－∞，0)上单调递增，所以0<a<1，所以1<a ＋1<2，而f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以有f(a ＋1)>f(2)．6．已知a>b>0，a ＋b ＝1，x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a b ，y ＝log ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，z ＝log b 1a ，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x< z <yB ．x<y<zC ．z <y<xD ．x ＝y< z解析：选B 因为a>b>0，a ＋b ＝1，所以1>a>b>0， 所以1a >1,0<ab<14，1a ＋1b ＝1ab>4，所以x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a b <－1，y ＝log ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝－1，z ＝log b 1a ∈(－1,0)，所以x<y< z.7．(2017·深圳二模)已知函数f(x)＝|lg x|.若0<a<b ，且f(a)＝f(b)，则a ＋2b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C f(x)＝|lg x|的图象如图所示，由题知f(a)＝f(b)，则有0<a<1<b ，∴f(a)＝|lg a|＝－lg a ，f(b)＝|lg b|＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，则a ＝1b ，∴a ＋2b ＝2b ＋1b .令g(b)＝2b ＋1b，g ′(b)＝2－1b 2，显然当b ∈(1，＋∞)时，g ′(b)>0，∴g(b)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(b)＝2b ＋1b >3，故选C.8．设a ，b ，c ∈R 且c ≠0，若上表中的对数值恰有两个是错误的，则a 的值为( )A ．lg 221B.12lg 314C.12lg 37D ．lg 67解析：选B 由题意可得lg 3＝a ＋b ，lg 9＝2(a ＋b)，lg 27＝3(a ＋b)正确， lg 5＝a －c ＋1⇒lg 2＝c －a ， lg 6＝b ＋c ⇒lg 2＝c －a ，lg 8＝3(c －a)⇒lg 2＝c －a ，故这三个都正确；此时，lg 1.5＝lg 3－lg 2＝2a ＋b －c ≠2a ＋b ，所以表中lg 1.5错误； lg 7＝a ＋2b ＋c ＝(a ＋b)＋(b ＋c)＝lg 3＋lg 6＝lg 18，显然错误； 故表中lg 14＝b －a 是正确的．综上，lg 2＝c －a ，lg 3＝a ＋b ，lg 14＝b －a ， 所以a ＝12(lg 3－lg 14)＝12lg 314.二、填空题9．若log 2x ＝－log 2(2y)，则x ＋2y 的最小值是________．解析：由log 2x ＝－log 2(2y)，可得2xy ＝1，且x ，y 均为正数，则x ＋2y ≥2x ·2y ＝2，当且仅当x＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立，故x ＋2y 的最小值是2.答案：210．(2017·湛江一模)已知函数f(x)＝log a 2m －1－mxx ＋1(a>0，且a ≠1)是奇函数，则函数f(x)的定义域为________．解析：因为f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0， 即log a 2m －1－mx x ＋1＋log a 2m －1＋mx－x ＋1＝0，化简得(m 2－1)x 2＝4m(m －1)对定义域上的每一个x 都成立， 所以m ＝1，此时f(x)＝log a 1－x1＋x .由1－x 1＋x >0，解得－1<x<1. 答案：(－1,1)11．(2018·武汉模拟)若函数f(x)＝log a (x 2－ax ＋5)(a>0，且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f(x 2)－f(x 1)<0，则实数a 的取值范围为________．解析：当x 1<x 2≤a2时，f(x 2)－f(x 1)<0，即函数f(x)在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上为减函数，设g(x)＝x 2－ax ＋5，则⎩⎪⎨⎪⎧a>1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0，解得1<a<2 5.答案：(1,25)12．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝lg 2x2x ＋1，若对任意实数t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f(t ＋a)－f(t －1)≥0恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：设u ＝2x2x ＋1＝1－12x ＋1，其在(0，＋∞)上是增函数，则f(u)＝lg u 在(0，＋∞)上是增函数，所以复合函数f(x)＝lg2x2x ＋1在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(t ＋a)－f(t －1)≥0等价于f(t ＋a)≥f(t －1)，即|t ＋a|≥|t －1|，对任意实数t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，两边平方化简可得2(a ＋1)t ＋a 2－1≥0恒成立，令g(t)＝2(a ＋1)t ＋a 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋a 2≥0，g 2＝a 2＋4a ＋3≥0，解得a ≤－3或a ≥0.答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞) 三、解答题13．(2018·枣庄模拟)设x ∈[2,8]时，函数f(x)＝12log a (ax)·log a (a 2x)(a>0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求实数a 的值．解：f(x)＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12[(log a x)2＋3log a x ＋2]＝12⎝⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f(x)取最小值－18时，log a x ＝－32.∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f(x)是关于log a x 的二次函数，∴f(x)的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得．若12⎝⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝23-1，此时f(x)取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫23-1-32＝2∉[2,8]，舍去；若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f(x)取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12-32＝22∈[2,8]，符合题意．∴a ＝12.14．已知f(log 2x)＝ax 2－2x ＋1－a ，a ∈R. (1)求f(x)；(2)解关于x 的方程f(x)＝(a －1)·4x ；(3)设h(x)＝2－x f(x)，a ≥12时，对任意x 1，x 2∈[－1,1]总有|h(x 1)－h(x 2)|≤a ＋12成立，求实数a 的取值范围．解：(1)令log 2x ＝t ，即x ＝2t ， 则f(t)＝a ·(2t )2－2·2t ＋1－a ， 即f(x)＝a ·22x －2·2x ＋1－a.(2)由f(x)＝(a －1)·4x ，化简得22x －2·2x ＋1－a ＝0，即(2x －1)2＝a ， 当a<0时，方程无解， 当a ≥0时，解得2x ＝1±a ， 若0≤a<1，则x ＝log 2(1±a)，若a ≥1，则x ＝log 2(1＋a)．(3)对任意x 1，x 2∈[－1,1]总有|h(x 1)－h(x 2)|≤a ＋12成立，等价于当x ∈[－1,1]时，h max －h min ≤a ＋12，由已知得，h(x)＝a ·2x ＋1－a2x－2，令2x ＝t ，则y ＝at ＋1－at －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，令g(t)＝at ＋1－at －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，①当a ≥1时，g(t)＝at ＋1－at －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2单调递增，此时g(t)max ＝g(2)＝3a －12，g(t)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3a2，g(t)max －g(t)min ＝6a －32≤a ＋12，解得a ≤45(舍去)．②当45≤a<1时，g(t)＝at ＋1－at －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2单调递增，此时g(t)max ＝g(2)＝3a －12，g(t)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3a2，g(t)max －g(t)min ＝6a －32≤a ＋12，解得a ≤45，∴a ＝45.③当12≤a<45时，g(t)＝at ＋1－at －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12， 1a －1上单调递减，在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a －1，2上单调递增，且g(2)≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴g(t)max ＝g(2)＝3a －12，g(t)min ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1a －1＝2a 1－a －2，∴g(t)max －g(t)min ＝3a －12－(2a1－a －2)≤a ＋12即a ≤45，∴12≤a<45.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，45.1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，x ∈[0，π，log 2 017xπ，x ∈[π，＋，若存在三个不同的实数a ，b ，c ，使得f(a)＝f(b)＝f(c)，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：当x ∈[0，π)时，f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x ，∴f(x)在(0，π)上关于x ＝π2对称，且f(x)max ＝1；又当x ∈[π，＋∞)时，f(x)＝log 2 017 xπ是增函数， 作出y ＝f(x)的函数图象如图所示．令log 2 017 xπ＝1得x ＝2 017π，∵f(a)＝f(b)＝f(c)， ∴a ＋b ＝π，c ∈(π，2 017π)， ∴a ＋b ＋c ＝π＋c ∈(2π，2 018π)． 答案：(2π，2 018π)2．(2017·江苏高考)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝n －1n，n ∈N *，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是________． 解析：由于f(x)∈[0,1)，因此只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝nm，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质，因此10nm ＝qp ，则10n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x)′＝1xln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程f(x)－lg x ＝0的解的个数为8.答案：8。
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对数函数及其性质题型总结1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征Error!判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x是对数函数，则实数a ＝__________．(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }∈(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x＜1时，y ＞0性质(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域．例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)．y =在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．题型二:对数值域问题对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．221log 1(4y ax ax R a =++数的定义域为，变式求实数的围。
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对数函数及其性质题型总结1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征⎩⎪⎨⎪⎧ log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．(1)性质（性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域．例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)y =．在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．题型二:对数值域问题对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．221log 1()4y ax ax R a =++数的定义域为，变式求实数的围。
高考数学一轮复习专题训练—对数与对数函数
对数与对数函数考纲要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知识梳理 1.对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a(a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log am b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错误.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若0<b <1<a ，则当x ＞1时，log a x ＞log b x ，故(4)错误.2.log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.6答案 D解析 原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25)＝4＋log 525＝4＋2＝6. 3.函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________. 答案 (2，2)解析 当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).4.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116B.19C.18D.16答案 B解析 法一 因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.故选B.法二 因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49 ＝4log 49－1＝9－1＝19.故选B.5.(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b答案 A解析 显然c ＝0.30.2∈(0，1).因为log 33<log 38<log 39，所以1<b <2.因为log 27>log 24＝2，所以a >2.故c <b <a .6.(2021·陕西名校联考)若log 2x ＋log 4y ＝1，则( ) A.x 2y ＝2 B.x 2y ＝4 C.xy 2＝2 D.xy 2＝4答案 B解析 log 2x ＋log 4y ＝log 2x ＋12log 2y ＝log 2x ＋log 2y 12＝log 2(xy 12)＝1，所以xy 12＝2，两边平方得x 2y ＝4.考点一 对数的运算1.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10B.10C.20D.100 答案 A解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 因此m 2＝10，m ＝10.2.(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1C.lg 10.1D.10－10.1答案 A解析 依题意，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得52lg E 1E 2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lgE 1E 2＝25.25×25＝10.1，即E 1E 2＝1010.1. 3.计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1解析 原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4.已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析 设log b a ＝t ，则t >1， 因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ， 所以b 2b ＝bb 2，即2b ＝b 2， 又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4.感悟升华 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二 对数函数的图象及应用【例1】 (1)在同一直角坐标系中，函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 答案 (1)D (2)(1，＋∞)解析 (1)若a >1，则y ＝1a x 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12过定点⎝⎛⎭⎫12，0，C 项不符合， 因此0<a <1.当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12的图象过定点⎝⎛⎭⎫12，0，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递减.因此， 选项D 中的两个图象符合.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点.感悟升华 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【训练1】 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)(2021·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且e －x 1＝ln x 1，e－x 2＝ln(x 2＋1)，e－x 3＝lg x 3，则( )A.x 1<x 2<x 3B.x 1<x 3<x 2C.x 2<x 3<x 1D.x 2<x 1<x 3答案 (1)D (2)D解析 (1)由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.(2)画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示：由图象直观性，知x 2<x 1<x 3.考点三 解决与对数函数性质有关的问题角度1 比较对数值大小【例2】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)(2021·衡水中学检测)已知a ＝⎝⎛⎭⎫120.2，b ＝log 120.2，c ＝a b，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.c <a <b C.a <c <b D.b <c <a答案 (1)A (2)B解析 (1)∵3log 32＝log 38<2，∴log 32<23，即a <c .∵3log 53＝log 527>2，∴log 53>23，即b >c .∴a <c <b .故选A.(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与y ＝log 12x 的图象关于直线y ＝x 对称，则0<⎝⎛⎭⎫120.2<1<log 120.2，∴a <b . 又c ＝a b ＝⎝⎛⎭⎫120.2log 120.2＝⎝⎛⎭⎫12log 120.20.2＝0.20.2<⎝⎛⎭⎫120.2＝a ，所以b >a >c .角度2 解简单的对数不等式【例3】 已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( ) A.(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，22∪(2，＋∞) D.(2，＋∞)答案 B解析 因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数. 又f (1)＝2，所以不等式f (log 2x )>2＝f (1)，即|log 2x |>1，解得0<x <12或x >2.角度3 对数型函数性质的综合应用【例4】 (2020·合肥调研)已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫12x ＋a . (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围. 解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0， ∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数. 所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a >0恒成立.即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝⎛⎭⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝⎛⎭⎫12＋a ≥2， 则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2).∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2>0，解得－12<a ≤－13.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，－13. 感悟升华 1.比较对数值的大小与解形如log a f (x )>log a g (x )的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a 的取值不确定，需要分a >1与0<a <1两种情况讨论.2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.【训练2】 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＝b <cB.a ＝b >cC.a <b <cD.a >b >c(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎝⎛⎭⎫1，83 解析 (1)因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.所以a ＝b >c .(2)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1， 即8－2a >a ，且8－2a >0， 解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅. 综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.A 级 基础巩固一、选择题1.设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A.a ＋b <ab <0B.ab <a ＋b <0C.a ＋b <0<abD.ab <0<a ＋b 答案 B解析 由题设，得1a ＝log 0.30.2>0，1b＝log 0.32<0. ∴0<1a ＋1b ＝log 0.30.4<1，即0<a ＋b ab<1. 又a >0，b <0，故ab <a ＋b <0.2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫3x ＋43x ＋m 的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]答案 D解析 由题意可知3x ＋43x ＋m 能取遍所有正实数. 又3x ＋43x ＋m ≥m ＋4，所以m ＋4≤0，即m ≤－4. ∴实数m 的取值范围为(－∞，－4].3.已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a －x 与函数g (x )＝log b x 的图象可能是( )答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝0，得ab ＝1.∴f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1b －x ＝b x ， 因此f (x )＝b x 与g (x )＝log b x 单调性相同.A ，B ，D 中的函数单调性相反，只有C 的函数单调性相同.4.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝( ) A.2B.4C.6D.8答案 A解析 由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |.又lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5. 所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.5.已知a ＝log 3 72，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b 答案 D解析 log 13 15＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， 所以log 35>log 3 72>log 33＝1，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 在R 上为减函数，所以⎝⎛⎭⎫1413<⎝⎛⎭⎫140＝1，故c >a >b . 6.若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，恒有f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因为M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).二、填空题7.若log 43＝m log 23，则log2m ＝________.答案 －2解析 ∵log 43＝12log 23，∴m ＝12，∴log 2m ＝－2. 8.(2021·济南一中检测)已知函数y ＝log a (2x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则b ＝________.答案 －7解析 令2x －3＝1，得x ＝2，∴定点为A (2，2)，将定点A 的坐标代入函数f (x )中，得2＝32＋b ，解得b ＝－7.9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________. 答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1. 综上可知，x ≥0.三、解答题10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围.解 (1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0. (2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a<log a 2<log a a . ①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a <2，a >2，解得a >2； ②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a >2，a <2，解得0<a <12. 综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞). 11.已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)因为函数f (x )＝log 21＋ax x －1是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以log 21－ax －x －1＝－log 21＋ax x －1， 即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax， 所以a ＝1，f (x )＝log 21＋x x －1， 令1＋x x －1>0，解得x <－1或x >1， 所以函数的定义域为{x |x <－1或x >1}.(2)f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )，当x >1时，x ＋1>2，所以log 2(1＋x )>log 22＝1.因为x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，所以m ≤1，所以m 的取值范围是(－∞，1].B 级 能力提升12.(2021·西安调研)设函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调增函数；②存在[m ，n ]⊆D (n >m )，使得f (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，那么就称y ＝f (x )是定义域为D 的“成功函数”.若函数g (x )＝log a (a 2x ＋t )(a >0且a ≠1)是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－∞，14 D.⎝⎛⎭⎫14，＋∞答案 A解析 因为g (x )＝log a (a 2x ＋t )是定义在R 上的“成功函数”，所以g (x )为增函数，且g (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，故g (m )＝m ，g (n )＝n ， 即g (x )＝x 有两个不相同的实数根.又log a (a 2x ＋t )＝x ，即a 2x －a x ＋t ＝0.令s ＝a x ，s >0，即s 2－s ＋t ＝0有两个不同的正数根，可得⎩⎪⎨⎪⎧t >0，Δ＝1－4t >0. 解得0<t <14. 13.已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________.答案 2解析 易知函数f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上单调，所以f (x )在[1，2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝log a 2＋6.因此a 2＋log a 2＋a ＋log a 1＝6＋log a 2，∴a 2＋a －6＝0，解之得a ＝2或a ＝－3(舍).14.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )log 2x ＝2－2(log 2x －1)2.因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h (x )的值域为[0，2].(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立，①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0，2]时，k <（3－4t ）（3－t ）t恒成立， 即k <4t ＋9t－15， 因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号， 所以4t ＋9t－15的最小值为－3. 所以k <－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3).。
根据对数函数知识点及题型归纳总结
根据对数函数知识点及题型归纳总结一、对数函数的基本概念- 对数函数是指以某个正数为底数的幂运算与常用对数的函数关系。
- 常用对数是以10为底的对数，通常用符号log表示。
- 自然对数是以常数e（约等于2.718）为底的对数，通常用符号ln表示。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域：- 对数函数的定义域为正实数集合。
- 对数函数的值域为实数集合。
2. 对数函数的图像特点：- 对数函数的图像是一条平滑的曲线，且过点(1, 0)。
- 对数函数的图像在(0, +∞)上是递增的。
- 自然对数函数ln(x)的图像在(0, +∞)上是上凸的。
3. 对数函数的性质和运算法则：- 对数函数中，底数为1的对数函数恒等于0。
- 对数函数的乘法法则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
- 对数函数的除法法则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
- 对数函数的幂运算法则：loga(m^k) = k·loga(m)。
三、对数函数的常见题型1. 简单计算题型：- 计算给定底数和真数的对数值。
- 根据对数值计算给定底数和真数。
2. 方程求解题型：- 将对数方程转化为指数方程求解。
- 求解含对数的复合方程。
3. 不等式求解题型：- 将对数不等式转化为指数不等式求解。
- 求解含对数的复合不等式。
4. 图像应用题型：- 根据对数函数的图像特点作图。
- 根据图像解决实际问题。
总结：对数函数是数学中常用的函数之一，掌握对数函数的基本概念、性质和运算法则，能够灵活运用对数函数解决各种题型和实际问题。
希望通过这份文档，能够帮助大家系统地研究和掌握对数函数相关知识。
高考数学-对数函数图像和性质及经典例题
高考数学-对数函数图像和性质及经典例题对数函数图像和性质及经典例题第一部分：回顾基础知识点对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．对数函数的图象和性质○1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（1）x y 2log = （2） x y 21log =（3） x y 3log = （4） x y 31log =○2 对数函数的性质如下：图象特征函数性质1a >1a 0<< 1a > 1a 0<<函数图象都在y 轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数向y 轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，1）11=α自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a0log ,10><<="" p="" x="">第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00log ,10<<<="" p="" x="">0log ,1<>x x a○3 底数a 是如何影响函数x y alog =的．规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．第二部分：对数函数图像及性质应用例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 21log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1).(1)设?ABC 的面积为S 。
求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值.解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1，则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .)441(log )2(4log 232231t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1S ??=59,1log 3在u 上是增函数，所以复合函数S=f (t ) [)+∞++=,1)441(log 23在tt 上是减函数（3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 259log 33-== 例2．已知函数f(x 2-3)=lg 622-x x ,(1)f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求)3(φ的值。
2024年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数真题分类8对数与对数函数
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
01 掌握对数函数图象的特征，底数大小决定了图象的高低，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)
图象中“底大图高”，而对数函数 y＝logax 图象中“底大图低”．具体见下图(图 1 中 a>b>1>c>d>0，图 2 中 b>a>1>d>c>0).
C5.对数函数的图象及性质
高考·数学
命题者说：(1)理解对数函数的图象的特点及性质，能应用其性质比较大小，解不等式，并能 处理简单的对数型复合函数问题．
第1题 第2题 第11题
第3题
第4题
第5题
第6题
第7题
第8题
第9题
第10题
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
Ⅰ.对数函数图象过定点问题 Ⅱ.对数函数图象的辨析
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
6．(2023·北京，11，5
分)已知函数
f(x)＝4x＋log2x，则
1 f(2
)＝____1____．
答案：1
函数
f(x)＝4x＋log2x，所以
1 f(2
1 )＝42
＋log212
＝2－1＝1.
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真题分类8 对数与对数函数
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
5．(2017·北京，8，5 分)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而 可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与MN 最接近的是(参考数据： lg3≈0.48)( )
2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 对数函数的2类考查点图象性质
高考达标检测（八） 对数函数的2类考查点——图象、性质一、选择题1．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，且a ≠1，b ＞0，且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )解析：选B 因为lg a ＋lg b ＝0， 所以lg ab ＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a ，故g (x )＝－logb x ＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 正确．故选B. 2．(2017·西安二模)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3]解析：选B 由题意知mx 2－2mx ＋3>0恒成立．当m ＝0时，3>0，符合题意；当m ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－2m )2－12m <0，解得0<m <3. 综上0≤m <3，故选B.3．若偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，a ＝f (log 23)，b ＝f (log 45)，c ＝f (232)，则a ，b ，c 满足( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B 由偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，得f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又232>2>log 23>log 45>0，所以b <a <c .4.(2018·张家界模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1解析：选A 令g (x )＝2x ＋b －1，这是一个增函数，而由图象可知函数f (x )＝log a (g (x ))是单调递增的，所以必有a >1.又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1<f (0)<0，所以－1<log a b <0，故a －1<b <1，因此0<a －1<b <1.故选A.5．(2018·济宁质检)设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 因为f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，所以1<a ＋1<2，而f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以有f (a ＋1)>f (2)．6．已知a >b >0，a ＋b ＝1，x ＝－⎝⎛⎭⎫1a b ，y ＝log ab ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，z ＝log b 1a ，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x < z <yB ．x <y <zC ．z <y <xD ．x ＝y < z解析：选B 因为a >b >0，a ＋b ＝1，所以1>a >b >0， 所以1a >1,0<ab <14，1a ＋1b ＝1ab>4，所以x ＝－⎝⎛⎭⎫1a b <－1，y ＝log ab ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝－1，z ＝log b 1a ∈(－1,0)， 所以x <y < z .7．(2017·深圳二模)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由题知f (a )＝f (b )，则有0<a <1<b ，∴f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，则a ＝1b ，∴a ＋2b ＝2b ＋1b .令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b 2，显然当b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )>0，∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (b )＝2b ＋1b >3，故选C. 8．设a ，b ，c ∈R 且c ≠0， x 1.5 3 5 6 7 8914 27 lg x2a ＋ba ＋ba －c ＋1b ＋ca ＋2b ＋c3(c －a ) 2(a ＋b )b －a3(a ＋b )A ．lg 221B.12lg 314C.12lg 37D ．lg 67解析：选B 由题意可得lg 3＝a ＋b ，lg 9＝2(a ＋b )，lg 27＝3(a ＋b )正确， lg 5＝a －c ＋1⇒lg 2＝c －a ， lg 6＝b ＋c ⇒lg 2＝c －a ，lg 8＝3(c －a )⇒lg 2＝c －a ，故这三个都正确；此时，lg 1.5＝lg 3－lg 2＝2a ＋b －c ≠2a ＋b ，所以表中lg 1.5错误； lg 7＝a ＋2b ＋c ＝(a ＋b )＋(b ＋c )＝lg 3＋lg 6＝lg 18，显然错误； 故表中lg 14＝b －a 是正确的．综上，lg 2＝c －a ，lg 3＝a ＋b ，lg 14＝b －a ， 所以a ＝12(lg 3－lg 14)＝12lg 314.二、填空题9．若log 2x ＝－log 2(2y )，则x ＋2y 的最小值是________．解析：由log 2x ＝－log 2(2y )，可得2xy ＝1，且x ，y 均为正数，则x ＋2y ≥2x ·2y ＝2，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立，故x ＋2y 的最小值是2.答案：210．(2017·湛江一模)已知函数f (x )＝log a 2m －1－mxx ＋1(a >0，且a ≠1)是奇函数，则函数f (x )的定义域为________．解析：因为f (x )为奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0， 即log a2m －1－mx x ＋1＋log a 2m －1＋mx－x ＋1＝0，化简得(m 2－1)x 2＝4m (m －1)对定义域上的每一个x 都成立， 所以m ＝1，此时f (x )＝log a 1－x1＋x. 由1－x1＋x>0，解得－1<x <1. 答案：(－1,1)11．(2018·武汉模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a >0，且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，则实数a 的取值范围为________．解析：当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上为减函数，设g (x )＝x 2－ax ＋5，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，g ⎝⎛⎭⎫a 2>0，解得1<a <2 5.答案：(1,25)12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝lg 2x2x ＋1，若对任意实数t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (t ＋a )－f (t －1)≥0恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：设u ＝2x 2x ＋1＝1－12x ＋1，其在(0，＋∞)上是增函数，则f (u )＝lg u 在(0，＋∞)上是增函数，所以复合函数f (x )＝lg 2x2x ＋1在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (t ＋a )－f (t －1)≥0等价于f (t ＋a )≥f (t －1)， 即|t ＋a |≥|t －1|，对任意实数t ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立， 两边平方化简可得2(a ＋1)t ＋a 2－1≥0恒成立，令g (t )＝2(a ＋1)t ＋a 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋a 2≥0，g (2)＝a 2＋4a ＋3≥0，解得a ≤－3或a ≥0.答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞) 三、解答题13．(2018·枣庄模拟)设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求实数a 的值．解：f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2] ＝12⎝⎛⎭⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得．若12⎝⎛⎭⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝23-1， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫23-1-32＝2∉[2,8]，舍去；若12⎝⎛⎭⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12-32＝22∈[2,8]，符合题意．∴a ＝12.14．已知f (log 2x )＝ax 2－2x ＋1－a ，a ∈R . (1)求f (x )；(2)解关于x 的方程f (x )＝(a －1)·4x ；(3)设h (x )＝2－x f (x )，a ≥12时，对任意x 1，x 2∈[－1,1]总有|h (x 1)－h (x 2)|≤a ＋12成立，求实数a 的取值范围．解：(1)令log 2x ＝t ，即x ＝2t ， 则f (t )＝a ·(2t )2－2·2t ＋1－a ， 即f (x )＝a ·22x －2·2x ＋1－a .(2)由f (x )＝(a －1)·4x ，化简得22x －2·2x ＋1－a ＝0，即(2x －1)2＝a ， 当a <0时，方程无解， 当a ≥0时，解得2x ＝1±a ， 若0≤a <1，则x ＝log 2(1±a )， 若a ≥1，则x ＝log 2(1＋a )．(3)对任意x 1，x 2∈[－1,1]总有|h (x 1)－h (x 2)|≤a ＋12成立， 等价于当x ∈[－1,1]时，h max －h mi n ≤a ＋12， 由已知得，h (x )＝a ·2x ＋1－a2x －2，令2x ＝t ，则y ＝at ＋1－a t－2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， 令g (t )＝at ＋1－a t－2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ①当a ≥1时，g (t )＝at ＋1－a t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2单调递增， 此时g (t )max ＝g (2)＝3(a －1)2，g (t )mi n ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝－3a2， g (t )max －g (t )mi n ＝6a －32≤a ＋12，解得a ≤45(舍去)． ②当45≤a <1时，g (t )＝at ＋1－a t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2单调递增， 此时g (t )max ＝g (2)＝3(a －1)2，g (t )mi n ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝－3a2， g (t )max －g (t )mi n ＝6a －32≤a ＋12，解得a ≤45，∴a ＝45. ③当12≤a <45时，g (t )＝at ＋1－a t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，在⎣⎡⎦⎤12， 1a －1上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a －1，2上单调递增，且g (2)≥g ⎝⎛⎭⎫12，∴g (t )max ＝g (2)＝3(a －1)2， g (t )mi n ＝g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝2a (1－a )－2， ∴g (t )max －g (t )mi n ＝3(a －1)2－(2a (1－a )－2)≤a ＋12即a ≤45，∴12≤a <45. 综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，45.1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，x ∈[0，π)，log2 017 xπ，x ∈[π，＋∞)，若存在三个不同的实数a ，b ，c ，使得f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：当x ∈[0，π)时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝si n x ， ∴f (x )在(0，π)上关于x ＝π2对称，且f (x )max ＝1；又当x ∈[π，＋∞)时，f (x )＝log 2 017 xπ是增函数，作出y ＝f (x )的函数图象如图所示．令log 2 017 xπ＝1得x ＝2 017π，∵f (a )＝f (b )＝f (c )，∴a ＋b ＝π，c ∈(π，2 017π)， ∴a ＋b ＋c ＝π＋c ∈(2π，2 018π)． 答案：(2π，2 018π)2．(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp ，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质． 若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝nm ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质， 因此10n m ＝q p ，则10n＝⎝⎛⎭⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D的部分，且x＝1处(lg x)′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x＝1附近仅有一个交点，因此方程f(x)－lg x＝0的解的个数为8. 答案：8。
高考理数：对数函数的2类考查点图象、性质
高考达标检测（八） 对数函数的2类考查点——图象、性质一、选择题1．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，且a ≠1，b ＞0，且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )解析：选B 因为lg a ＋lg b ＝0， 所以lg ab ＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x ＝－log x ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 正确．故选B. 2．(2017·西安二模)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3]解析：选B 由题意知mx 2－2mx ＋3>0恒成立．当m ＝0时，3>0，符合题意；当m ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－2m )2－12m <0，解得0<m <3. 综上0≤m <3，故选B.3．若偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，a ＝f (log 23)，b ＝f (log 45)，c ＝f (2)，则a ，b ，c 满足( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B 由偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，得f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又2>2>log 23>log 45>0，所以b <a <c .4.(2018·张家界模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1解析：选A 令g (x )＝2x ＋b －1，这是一个增函数，而由图象可知函数f (x )＝log a (g (x ))是单调递增的，所以必有a >1.又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1<f (0)<0，所以－1<log a b <0，故a －1<b <1，因此0<a －1<b <1.故选A.5．(2018·济宁质检)设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 因为f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，所以1<a ＋1<2，而f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以有f (a ＋1)>f (2)．6．已知a >b >0，a ＋b ＝1，x ＝－⎝⎛⎭⎫1a b ，y ＝log ab⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，z ＝log b 1a ，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x < z <yB ．x <y <zC ．z <y <xD ．x ＝y < z解析：选B 因为a >b >0，a ＋b ＝1，所以1>a >b >0， 所以1a >1,0<ab <14，1a ＋1b ＝1ab >4，所以x ＝－⎝⎛⎭⎫1a b <－1，y ＝log ab ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝－1，z ＝log b 1a ∈(－1,0)， 所以x <y < z .7．(2017·深圳二模)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由题知f (a )＝f (b )，则有0<a <1<b ，∴f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，则a ＝1b ，∴a ＋2b ＝2b ＋1b .令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b2，显然当b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )>0，∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (b )＝2b ＋1b >3，故选C. 8．设a ，b ，c ∈R 且c ≠0，若上表中的对数值恰有两个是错误的，则a 的值为( ) A ．lg 221B.12lg 314C.12lg 37D ．lg 67解析：选B 由题意可得lg 3＝a ＋b ，lg 9＝2(a ＋b )，lg 27＝3(a ＋b )正确， lg 5＝a －c ＋1⇒lg 2＝c －a ， lg 6＝b ＋c ⇒lg 2＝c －a ，lg 8＝3(c －a )⇒lg 2＝c －a ，故这三个都正确；此时，lg 1.5＝lg 3－lg 2＝2a ＋b －c ≠2a ＋b ，所以表中lg 1.5错误； lg 7＝a ＋2b ＋c ＝(a ＋b )＋(b ＋c )＝lg 3＋lg 6＝lg 18，显然错误； 故表中lg 14＝b －a 是正确的．综上，lg 2＝c －a ，lg 3＝a ＋b ，lg 14＝b －a ， 所以a ＝12(lg 3－lg 14)＝12lg 314.二、填空题9．若log 2x ＝－log 2(2y )，则x ＋2y 的最小值是________．解析：由log 2x ＝－log 2(2y )，可得2xy ＝1，且x ，y 均为正数，则x ＋2y ≥2x ·2y ＝2，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立，故x ＋2y 的最小值是2.答案：210．(2017·湛江一模)已知函数f (x )＝log a 2m －1－mxx ＋1(a >0，且a ≠1)是奇函数，则函数f (x )的定义域为________．解析：因为f (x )为奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0， 即log a2m －1－mx x ＋1＋log a 2m －1＋mx－x ＋1＝0，化简得(m 2－1)x 2＝4m (m －1)对定义域上的每一个x 都成立， 所以m ＝1，此时f (x )＝log a 1－x1＋x. 由1－x1＋x>0，解得－1<x <1. 答案：(－1,1)11．(2018·武汉模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a >0，且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，则实数a 的取值范围为________．解析：当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上为减函数，设g (x )＝x 2－ax ＋5，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，g ⎝⎛⎭⎫a 2>0，解得1<a <2 5.答案：(1,25)12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝lg 2x2x ＋1，若对任意实数t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (t ＋a )－f (t －1)≥0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析：设u ＝2x 2x ＋1＝1－12x ＋1，其在(0，＋∞)上是增函数，则f (u )＝lg u 在(0，＋∞)上是增函数，所以复合函数f (x )＝lg 2x2x ＋1在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (t ＋a )－f (t －1)≥0等价于f (t ＋a )≥f (t －1)， 即|t ＋a |≥|t －1|，对任意实数t ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立， 两边平方化简可得2(a ＋1)t ＋a 2－1≥0恒成立，令g (t )＝2(a ＋1)t ＋a 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋a 2≥0，g (2)＝a 2＋4a ＋3≥0，解得a ≤－3或a ≥0.答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞) 三、解答题13．(2018·枣庄模拟)设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求实数a 的值．解：f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2] ＝12⎝⎛⎭⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得． 若12⎝⎛⎭⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫23-1＝2∉[2,8]，舍去；若12⎝⎛⎭⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12＝22∈[2,8]，符合题意．∴a ＝12. 14．已知f (log 2x )＝ax 2－2x ＋1－a ，a ∈R . (1)求f (x )；(2)解关于x 的方程f (x )＝(a －1)·4x ；(3)设h (x )＝2－x f (x )，a ≥12时，对任意x 1，x 2∈[－1,1]总有|h (x 1)－h (x 2)|≤a ＋12成立，求实数a 的取值范围．解：(1)令log 2x ＝t ，即x ＝2t ， 则f (t )＝a ·(2t )2－2·2t ＋1－a ， 即f (x )＝a ·22x －2·2x ＋1－a .(2)由f (x )＝(a －1)·4x ，化简得22x －2·2x ＋1－a ＝0，即(2x －1)2＝a ， 当a <0时，方程无解， 当a ≥0时，解得2x ＝1±a ， 若0≤a <1，则x ＝log 2(1±a )， 若a ≥1，则x ＝log 2(1＋a )．(3)对任意x 1，x 2∈[－1,1]总有|h (x 1)－h (x 2)|≤a ＋12成立， 等价于当x ∈[－1,1]时，h max －h mi n ≤a ＋12， 由已知得，h (x )＝a ·2x ＋1－a2x －2，令2x ＝t ，则y ＝at ＋1－a t－2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， 令g (t )＝at ＋1－a t－2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ①当a ≥1时，g (t )＝at ＋1－a t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2单调递增， 此时g (t )max ＝g (2)＝3(a －1)2，g (t )mi n ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝－3a2， g (t )max －g (t )mi n ＝6a －32≤a ＋12，解得a ≤45(舍去)． ②当45≤a <1时，g (t )＝at ＋1－a t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2单调递增， 此时g (t )max ＝g (2)＝3(a －1)2，g (t )mi n ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝－3a2， g (t )max －g (t )mi n ＝6a －32≤a ＋12，解得a ≤45，∴a ＝45.③当12≤a <45时，g (t )＝at ＋1－a t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， 在⎣⎡⎦⎤12， 1a －1上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a －1，2上单调递增，且g (2)≥g ⎝⎛⎭⎫12，∴g (t )max＝g (2)＝3(a －1)2， g (t )mi n ＝g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝2a (1－a )－2，∴g (t )max －g (t )mi n ＝3(a －1)2－(2a (1－a )－2)≤a ＋12即a ≤45，∴12≤a <45. 综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，45.1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，x ∈[0，π)，log 2 017xπ，x ∈[π，＋∞)，若存在三个不同的实数a ，b ，c ，使得f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：当x ∈[0，π)时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝si n x ， ∴f (x )在(0，π)上关于x ＝π2对称，且f (x )max ＝1；又当x ∈[π，＋∞)时，f (x )＝log 2 017 xπ是增函数，作出y ＝f (x )的函数图象如图所示．令log 2 017 xπ＝1得x ＝2 017π，∵f (a )＝f (b )＝f (c )，∴a ＋b ＝π，c ∈(π，2 017π)， ∴a ＋b ＋c ＝π＋c ∈(2π，2 018π)． 答案：(2π，2 018π)2．(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp ，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质． 若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝nm ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质，因此10nm＝qp，则10n＝⎝⎛⎭⎫q p m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x∉Q，故lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D的部分，且x＝1处(lg x)′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x＝1附近仅有一个交点，因此方程f(x)－lg x＝0的解的个数为8. 答案：8。
高考达标检测(八) 对数函数的2类考查点——图象、性质学生版
高考达标检测（八） 对数函数的2类考查点——图象、性质学生版一、选择题1．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，且a ≠1，b ＞0，且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )2．(2017·西安二模)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3]3．若偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，a ＝f (log 23)，b ＝f (log 45)，c ＝f (232)，则a ，b ，c 满足( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a4.(2018·张家界模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<15．(2018·济宁质检)设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定6．已知a >b >0，a ＋b ＝1，x ＝－⎝⎛⎭⎫1a b ，y ＝log ab⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，z ＝log b 1a ，则x ，y ，z 的大小关系为( )A ．x < z <yB ．x <y <zC ．z <y <xD ．x ＝y < z7．(2017·深圳二模)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)8．设a ，b ，c ∈R 且c ≠0，若上表中的对数值恰有两个是错误的，则a 的值为( ) A ．lg 221B.12lg 314C.12lg 37 D ．lg 67二、填空题9．若log 2x ＝－log 2(2y )，则x ＋2y 的最小值是________．10．(2017·湛江一模)已知函数f (x )＝log a 2m －1－mxx ＋1(a >0，且a ≠1)是奇函数，则函数f (x )的定义域为________．11．(2018·武汉模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a >0，且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，则实数a 的取值范围为________．12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝lg 2x2x ＋1，若对任意实数t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (t ＋a )－f (t －1)≥0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题13．(2018·枣庄模拟)设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求实数a 的值．14．已知f (log 2x )＝ax 2－2x ＋1－a ，a ∈R . (1)求f (x )；(2)解关于x 的方程f (x )＝(a －1)·4x ；(3)设h (x )＝2－x f (x )，a ≥12时，对任意x 1，x 2∈[－1,1]总有|h (x 1)－h (x 2)|≤a ＋12成立，求实数a 的取值范围．1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，x ∈[0，π)，log2 017 xπ，x ∈[π，＋∞)，若存在三个不同的实数a ，b ，c ，使得f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．2．(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．。
高考数学基础知识专题提升训练99---对数函数的图象和性质
高考数学基础知识专题提升训练对数函数的图象和性质课程标准核心素养1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点．2．知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠0).通过对对数函数图象和性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学建模”及“数学运算”的核心素养.[对应学生用书P64]知识点1 对数函数的图象和性质0＜a＜1a＞1 图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0),即x＝1时，y＝0减函数增函数[对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降；当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．[微体验]1．思考辨析(1)对数函数的图象一定在y轴的右侧．( )(2)对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )(3)当a＞1时，若0＜x＜1，则log a x＜0.( )(4)函数y＝log1a x与y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)×2．函数y＝log a(x－5)＋2的图象恒过定点________．解析：无论a为何值时，log a1恒为零，故当x＝6时，y的值恒为2，故恒过定点(6,2)．答案(6,2)3．若函数f(x)＝log(a＋1)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为________．解析因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a＋1>1，即a>0.答案a>0知识点2 反函数一般地，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换．[对应学生用书P65]探究一 对数函数的图象(1)当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )(2)已知f (x )＝log a |x |，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象． (1) C [∵a >1，∴0<1a<1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数．](2)解因为f (－5)＝1，所以log a 5＝1，即a ＝5， 故f (x )＝log a |x |＝⎩⎨⎧log 5x ，x ＞0，log 5(－x )，x ＜0.所以函数y ＝log 5|x |的图象如图所示．[变式探究1] 把本例(1)的条件“a >1”去掉，函数“y ＝log a x ”改为“y ＝log a (－x )”，则函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )C [∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ；当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件. ][变式探究2] 若把本例(2)中的函数改为y ＝log 5|x ＋1|，请画出它的图象． 解 利用图象变换来解题，画出函数y ＝log 5|x |的图象，将函数y ＝log 5|x |的图象向左平移1个单位，即可得函数y ＝log 5|x ＋1|的图象，如图所示．[方法总结](1)作对数函数y ＝log a x 的图象时，应牢牢抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1. (2)对数函数图象与直线y ＝1的交点的横坐标越大，则对应的对数函数的底数越大． (3)对数函数图象性质的助记口诀：对数增减有思路，函数图象看底数，底数只能大于0，等于1来也不行，底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减，无论函数增和减，图象都过(1,0)点．[跟踪训练1]函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )A [f (－x )＝ln((－x )2＋1)＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以f (x )的图象关于y 轴对称．又x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，且过点(0,0)，所以A 图符合．]探究二 对数函数实际应用在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)满足e v ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m 2000(e 为自然对数的底)．(1)当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)； (2)当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8km/s.(结果精确到个位，数据：e≈2.718；e 4≈54.598，ln 3≈1.099)解(1)因为v ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m 2 000＝2 000 ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ，所以v ＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．所以当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.(2)因为Mm＝e v2000 －1，所以Mm＝e 80002000 －1＝e 4－1≈54.598－1≈54.所以当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的54倍时，火箭的最大速度可以达到8 km/s.[方法总结]解决对数应用题的四个步骤(1)审题：理解题意，弄清关键字词及字母表示的含义． (2)建模：根据已知条件，列出关系式． (3)解模：运用数学知识，解决此问题． (4)结论：还原实际问题，归纳得结论．[跟踪训练2]一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．解 设最初的质量是1.经过x 年，剩余量是y ，则经过1年，剩余量是y ＝0.84； 经过2年，剩余量是y ＝0.842； ……经过x 年，剩余量是y ＝0.84x .依题意得0.84x＝0.5，用科学计算器计算：x＝log0.840.5＝lg 0.5lg 0.84≈3.98≈4，即约经过4年，该物质的剩余量是原来的一半．[对应学生用书P66]1．根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．2．对数型函数图象恒过定点问题解决此类问题的根据是对任意的a>0且a≠1，都有log a1＝0.例如，解答函数y＝m ＋log a f(x)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．3．解决与对数函数的实际问题时注意用好对数的运算性质．课时作业(二十六) 对数函数的图象和性质[见课时作业(二十六)P168]1．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)等于( )A．log12x B．log2xC．12xD．x2A[由题意知f(x)＝log a x，又f(a)＝a，所以log a a＝a，所以a＝12，所以f(x)＝log12x.]2．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )C[函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D．]3．已知f(x)＝a－x，g(x)＝log a x，且f(2)·g(2)>0，则函数f(x)与g(x)的图象是( )D[因为f(2)·g(2)>0，所以a>1，所以f(x)＝a－x与g(x)＝log a x在其定义域上分别是减函数与增函数．]4．若函数f(x)＝2log a(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是________．解析令2－x＝1，得x＝1，y＝3，即图象过定点(1,3)．答案(1,3)5．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3从小到大的关系是________．解析分别作出三个函数的大致图象，如图所示．由图可知，x2＜x3＜x1.答案x2＜x3＜x16．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围.解(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．所以所求a的取值范围为0<a<2.1．若函数f(x)＝log a(x＋b)的图象如图所示：其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x ＋b的图象大致是( )D[由f(x)的图象可知0<a<1,0<b<1，∴g(x)的图象应为D．]2．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)B[法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D．]3．若log a2＜log b2＜0，则下列结论正确的是( )A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1 D．b＞a＞1B[∵log a2＜log b2＜0，如图所示，∴0＜b＜a＜1.]4．已知函数y ＝|log 12 x |的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， m ，值域为[0,1]，则m 的取值范围为________．解析 作出y ＝|log 12 x |的图象(如图)，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (2)＝1，由题意结合图象知：1≤m ≤2. 答案 [1,2]5．(拓广探索)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围． 解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点， 则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点． ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log ax ＋11－x≥m . 设F (x )＝log a1＋x 1－x ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－x ，x ∈[0,1)，由题意知，只要F(x)min≥m即可．∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．11 / 11。
高中高三数学集训【精品】《4.4.2 对数函数的图像和性质(二)》同步检测
《对数函数的图像和性质（二）》同步检测1.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是().A.(-∞,7]B.(2,7]C.[7,+∞)D.(2,+∞)2.(多选题)若函数f(x)=log a|x-2|(a>0,且a≠1)在区间(0,2)上是增函数,则f(x)在区间(2,+∞)上().A.是增函数B.是减函数C.有最小值D.无最小值3.若函数f(x)=log2(ax2+4x+2)的值域为R,则实数a的取值范围是().A.[0,2]B.(0,2]C.[0,+∞)D.[2,+∞)4.若函数y=f(x)的反函数图象过点(1,5),则函数y=f(x)的图象必过点().A.(5,1)B.(1,5)C.(1,1)D.(5,5)5.若函数y=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是().A.(-∞,4]B.(0,4]C.(-4,4]D.[4,+∞)6.函数f(x)=log2(4-x2)的值域为,不等式f(x)>1的解集为.7.已知函数f(x)=ln(3+x)+ln(3-x).(1)求函数y=f(x)的定义域;(2)判断函数y=f(x)的奇偶性.8.(多选题)已知函数f(x)=log5(x2-2x-3),则下列结论正确的是().A.函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞)B.函数f(x)的值域是RC.函数f(x)的图象关于直线x=2对称D.不等式f(x)<1的解集是(-2,-1)∪(3,4)9.(多选题)已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+2,则().A.f(x)的定义城为(0,+∞)B.f(x)在(0,+∞)上是减函数C.当x>0时,f(x)∪(0,2])=4D.f(lg 3)+f(lg1310.已知函数y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=3x-1,设f(x)的反函数是y=g(x),则g(-8)=.11.已知函数f(x)=log2x+1+log2(x-1)+log2(p-x)(p>1).x-1(1)求函数f (x)的定义域;(2)求函数f (x)的值域.12.已知函数f(x)=log a(1+x),g(x)=log a(1-x),其中(a>0,且a≠1),设h(x)=f(x)-g(x).(1)求函数h(x)的定义域,判断h(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(3)=2,求使h(x)<0成立的x的集合.参考答案1.B2.BD3.A4.A5.C6.(-∞,2] (-√2,√2)7.【解析】(1)要使函数有意义,则{3+x >0,3-x >0,解得-3<x<3,故函数y=f(x)的定义域为(-3,3).(2)由(1)可知,函数y=f(x)的定义域为(-3,3),关于原点对称. ∪f(-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(x),∪由函数的奇偶性可知,函数y=f(x)为偶函数.8.BD 9.BD 10.-211.【解析】(1)由题意得{x+1x-1>0,x-1>0,p-x >0,解得1<x<p,∪函数f(x)的定义域为(1,p).(2)f(x)=log 2[x+1x-1·(x-1)(p-x)]=log 2[-x 2+(p-1)x+p],其中1<x<p, 令g(x)=-x 2+(p-1)x+p,其中1<x<p,则f(x)=log 2g(x).∪当{p-12≤1,p >1,即1<p≤3时,g(x)在(1,p)上单调递减,g(p)<g(x)<g(1),即0<g(x)<2p-2, ∪f(x)<1+log 2(p-1),即函数f(x)的值域为(-∞,1+log 2(p-1));∪当{1<p-12<p,p >1,即p>3时,g(x)在(1,p-12)上单调递增,在(p-12,p)上单调递减,∪g(x)max =g (p-12)=(p+1)24,又g(1)=2(p-1)>4,g(p)=0,∪0<g(x)≤(p+1)24,∪f(x)≤2log 2(p+1)-2,即函数f(x)的值域为(-∞,2log 2(p+1)-2); ∪当p-12≥p 时,p≤-1,与p>1矛盾,不符合题意.综上,当1<p≤3时,函数f(x)的值域为(-∞,1+log 2(p-1)); 当p>3时,函数f(x)的值域为(-∞,2log 2(p+1)-2).12.【解析】(1)∪f(x)=log a (1+x)的定义域为{x|x>-1}, g(x)=log a (1-x)的定义域为{x|x<1},∪h(x)=f(x)-g(x)的定义域为{x|x>-1}∩{x|x<1}={x|-1<x<1}. ∪h(x)=f(x)-g(x)=log a (1+x)-log a (1-x),∪h(-x)=log a (1-x)-log a (1+x)=-[log a (1+x)-log a (1-x)]=-h(x), ∪h(x)为奇函数.(2)∪f(3)=log a (1+3)=log a 4=2,∪a=2,∪h(x)=log 2(1+x)-log 2(1-x),∪h(x)<0等价于log 2(1+x)<log 2(1-x),∪{1+x <1-x,1+x >0,1-x >0,解得-1<x<0.故使h(x)<0成立的x 的集合为{x|-1<x<0}.。
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高考达标检测（八） 对数函数的2类考查点——图象、性质一、选择题1．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是()解析：选B 因为lg a ＋lg b ＝0， 所以lg ab ＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a ，故g (x )＝－log b x ＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 正确．故选B. 2．(2017·西安二模)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3]解析：选B 由题意知mx 2－2mx ＋3>0恒成立．当m ＝0时符合题意；当m ≠0时只需⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝－2m 2－12m <0，解得0<m <3.综上0≤m <3，故选B.3．(2017·洛阳二模)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a解析：选A 因为a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，b >0，所以b >c ，故a >b >c .4.(2017·张家界模拟)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1解析：选A 令g (x )＝2x＋b －1，这是一个增函数，而由图象可知函数f (x )＝log a (g (x ))是单调递增的，所以必有a >1.又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1<f (0)<0，所以－1<log a b <0，故a －1<b <1，因此0<a －1<b <1.故选A.5．(2017·济宁质检)设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 因为f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，所以1<a ＋1<2，而f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以有f (a ＋1)>f (2)．6．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0.当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0.综上可知，选D.7．(2017·湖南六校联考)已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lgx )>f (2)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫1100，100D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：选C 由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，且已知f (x )在[0，＋∞)上是减函数．故不等式f (lg x )>f (2)可化为|lg x |<2，即－2<lg x <2，解得1100<x <100，故选C.8．(2016·深圳二模)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由题知f (a )＝f (b )，则有0<a <1<b ，∴f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，则a ＝1b ，∴a ＋2b ＝2b ＋1b .令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b2，显然当b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )>0，∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (b )＝2b ＋1b>3，故选C.二、填空题9．(2017·东北三校联考)已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ·b 1－b ＝0， 从而a1－a ·b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<14，即ab ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 10．(2017·湛江一模)已知函数f (x )＝log a 2m －1－mxx ＋1(a >0，且a ≠1)是奇函数，则函数f (x )的定义域为________．解析：因为f (x )为奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0，即log a 2m －1－mx x ＋1＋log a2m －1＋mx－x ＋1＝0，化简得(m 2－1)x 2＝4m (m －1)对定义域上的每一个x 都成立，所以m ＝1，此时f (x )＝log a 1－x 1＋x .由1－x1＋x>0，解得－1<x <1. 答案：(－1,1)11．(2017·武汉外国语学校模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，则实数a 的取值范围为________．解析：当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上为减函数，设g (x )＝x 2－ax ＋5，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0，解得1<a <2 5.答案：(1,25)12．(2017·吉林长春三模)已知函数f(x)＝ln(x＋x2＋1)，g(x)＝f(x)＋2 017，下列命题：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；②f(x)是奇函数；③f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；④若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝1；⑤设函数g(x)在[－2 017,2 017]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝2 017.其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)解析：对于①，∵x2＋1>x2＝|x|≥－x，∴x2＋1＋x>0,∴f(x)的定义域为R，∴①正确．对于②，f(x)＋f(－x)＝ln(x＋x2＋1)＋ln(－x＋－x2＋1)＝ln[(x2＋1)－x2]＝ln 1＝0.∴f(x)是奇函数，∴②正确．对于③，令u(x)＝x＋x2＋1，则u(x)在[0，＋∞)上单调递增．当x∈(－∞，0]时，u(x)＝x＋x2＋1＝1x2＋1－x，而y＝x2＋1－x在(－∞，0]上单调递减，且x2＋1－x>0.∴u(x)＝1x2＋1－x在(－∞，0]上单调递增，又u(0)＝1，∴u(x)在R上单调递增，∴f(x)＝ln (x＋x2＋1)在R上单调递增，∴③正确．对于④，∵f(x)是奇函数，而f(a)＋f(b－1)＝0，∴a＋(b－1)＝0，∴a＋b＝1，∴④正确．对于⑤，f(x)＝g(x)－2 017是奇函数，当x∈[－2 017,2 017]时，f(x)max＝M－2 017，f(x)min＝m－2 017，∴(M－2 017)＋(m－2 017)＝0，∴M＋m＝4 034，∴⑤不正确．答案：①②③④三、解答题13．(2017·枣庄模拟)设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求实数a 的值．解：f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2] ＝12⎝⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13－32＝2∉[2,8]，舍去；若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意．∴a ＝12.14．(2017·江西师大附中诊断)已知函数f (x )＝log a x ＋m (a >0且a ≠1)的图象过点(8,2)，点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 在f (x )的图象上．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值．解：(1)点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 的坐标为(1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧f＝2，f ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－1＋log 2x .(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)]＝log 2x 2x －1－1(x >1)， ∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2 x －1x －1＋2＝4，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，“＝”成立，而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，则log2x2x－1－1≥log24－1＝1，故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.。