2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题3.1 导数概念及其运算(讲).doc

【最新考纲解读】
【考点深度剖析】
【课前检测训练】 [判一判]
(1)y ′＝f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值就是函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数值.( ) 解析 正确.
(2)求f ′(x 0)时，可先求f(x0)再求f ′(x 0).( ) 解析 错误.若先求f(x 0)再求f ′(x 0)，则它的值为0. (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( ) 解析 正确.
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
解析 错误.直线与曲线可能相交.
(5)若f(x)＝f′(a)x 2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋1
x .( )
解析 正确.由对数运算法则可知. [练一练]
1．函数y ＝xcos x －sin x 的导数为_______
解析 y ′＝x ′cos x ＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x －xsin x －cos x ＝－xsin x. 答案 －xsin x
2．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3
t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬
时速度为_______
解析 根据导数的物理意义，s′(2)表示机器人在t ＝2时的瞬时速度，∵s′(t)＝2t －3t －
2，∴s′(2)
＝4－34＝134，
答案
134
3．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1
x (x>0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为
________.
答案 (1,1)
4．直线y ＝1
2
x ＋b 是曲线y ＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b ＝________.
解析 y′＝1x ，令1x ＝12，得x ＝2，因此切点为(2，ln 2)，代入直线方程y ＝1
2x ＋b 得b ＝ln 2
－1.
【经典例题精析】 考点1 导数的运算 【1-1】求下列函数的导数．
(1)y ＝x 2
sin x ；(2)y ＝e x ＋1
e x －1
；(3)y ＝ln(2x －5)．
【答案】(1) 2x sin x ＋x 2
cos x . (2) －2e x e x －1 2.(3) 2
2x －5
.
【1-2】已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π2＝________. 【答案】0
【解析】f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，
f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，
又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，
∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＋f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＝0. 【基础知识】
1．基本初等函数的导数公式
(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，(a x )′＝a x ln a ，(e x )′＝e x ，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1
x .
2．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝f ′ x g x －f x g ′ x
[g x ]2
(g (x )≠0)． 3．复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【思想方法】 1．
求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然
后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． 2．
复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，
确定复合过程，然后求导．
【温馨提醒】区别“积的导数”与“复合函数的导数”的差异 考点2 导数的几何意义 【2-1】
已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′⎝⎛⎭⎫
π4，f ′(x )是f (x )的导函数，
则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为________.
【答案】3x －y －2＝0.
【解析】由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝f ′⎝⎛⎭⎫π4＝3－2sin π
2＋2cos π
2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.
又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.
【2-2】已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7
2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且
与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于________. 【答案】－2
【基础知识】
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 【思想方法】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；
(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1 －f x 0 x 1－x 0
求解．
【温馨提醒】在解决曲线的切线问题时要注意辨别是求“曲线上某点(一定在曲线上)处的切线方程”，还是求“过某点(可能在曲线上、也可能不在曲线上)的切线方程，前者只有一条，而后者包括了前者，后者可能不止一条 【易错题型大揭秘】
1、知曲线的切线求参数问题，一定要注意所给的点是否是切点． 如：若存在过点()1,0的直线与曲线3y x =和215
94
y ax x =+
-都相切，则a = ．
【易错点】在解题中，未对()1,0的位置进行判断，误认为()1,0是切点．
2、函数的求导问题，一定要先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
如：若()13
2y x =，则y '= ．
【分析】()
1
13
3
2y x ==，所以23
y x -'==
． 【易错点】容易出现()()12
331223
x x -'⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦的错误．。