2019-微分方程与差分方程稳定性课件-PPT文档资料-文档资料
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第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件
x
C2
例3.求解微分方程
y
y2 ，y(0) 1，y(0) 1. y
解: 设
y
p( y) ，则
y
p
dp dy
代入方程得
p dp p2 ， dy y
p(
dp dy
p y
)
0
p0
27
第27页
（三）不显含自变量 x 二阶微分方程
2
第2页
第一节 微分方程普通概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动物体在 t 时刻
下落距离, 则有
d 2s dt 2 g
s(t) g
s g
ds dt
g
ds dt
gt
C1
s(0) 0
s(0)
0
ds gdt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C1 )dt
ds (gt C1 )dt
于价格P线性函数: QS a bP ， QD c dP ，
且 a, b, c, d 都是已知正常数. 当 QS = QD 时, 得
均衡价格 P
ac .
当 QS
> QD 时, 价格将下降,
bd
当 QS < QD 时, 价格将上涨,故价格是时间t 函数.
假设在时刻t价格P(t)改变率与这时过剩需求量
x
因
P(
x)dx
1 x
dx
ln
x
ln
1 x
，
Q(
x)e
P
(
x )dx
dx
1
x 2eln x dx
xdx x2 ，
2
故 y ( x2 C )e(ln x) ( x2 C ) x Cx x3 .
第九章--微分方程与差分方程简介
19
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
差分方程稳定性PPT课件
则称 a是差分方程(1-1)的平衡点.
又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定
的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞),
则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且 仅当|a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
讨论 x* 的稳定
性
SUCCESS
THANK YOU
2020/9/29
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性
(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的
根 (1)的近似线性方 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 程
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
y
yk 1
yk
ryk (1
k
N
)
(1)
变量 代换
xk
r (r 1)N
yk
yk 1
(r
1) yk
又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定
的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞),
则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且 仅当|a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
讨论 x* 的稳定
性
SUCCESS
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2020/9/29
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性
(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的
根 (1)的近似线性方 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 程
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
y
yk 1
yk
ryk (1
k
N
)
(1)
变量 代换
xk
r (r 1)N
yk
yk 1
(r
1) yk
2019-2.4_差分方程的相容性、收敛性和稳定性-文档资料
于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。
•
关于差分方程相容性需要作以下说明：
① 相容性是对求解区域内任意一点差分方程逼近于微分方程的
程度，相容性是有限差分算法（包括有限体积算法）首先必
须满足的有效性条件。
② 相容性要求对于求解区域内任意点 x j , tn ，在 t , x 同时趋近于0，
差分方程解为
u
n j
，则离散化误差为 enj u unj ，把差分方
程和微分方程相减可得离散化误差方程：
e n j 1 (1 r)e n j re n j 1 O ( x , t)
(b)
由（b）式可以看出离散化误差方程在形式上和差分方程是完全 相同的，由此可以得到：
en1 j
m a jxen j m a jxen j1O ( x, t) … m a jxe1 j m a jxe0 j O (x,t)
差分方程收敛性有两种证明方法，直接证明法和数值试验法。
一、直接证明法
对流方程 u au 0 的FTBS差分格式为： t x
u n j 1 (1 r)u n j ru n j 1 ,u 0 j(x j) (a)
设求解区域内任意一点 x p ，t p ，它的微分方程精确解为u，
趋近于0时，差分方程截断误差 R
n j
对于每一点 x j , tn 都趋近于
0，则该差分方程
L
u
n j
0
逼近微分方程 Lu 0，即差分方程与
微分方程是相容的。
• 差分方程相容性可以通过Taylor展开方法来证明。例如，扩散方
程的FTCS差分格式为：
un j1 tun j un j1 2u xn 2 j un j10
差分方程ppt
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(4)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知
y1 = ay0, y2 = a2y0,
yx = axy0,
令y0 = C, 则得齐次差分方程的通解为
yx = Cax.
(5)
例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解. 解 这里 a = 2, 由公式(5)得, 通解为
yx B0 B1x Bm xm (1 a b 0),
yx (B0 B1x Bm xm )x (1 a b 0且a 2 0) yx (B0 B1x Bm xm )x2 (1 a b a 2 0).
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解.
包权
人书友圈7.三端同步
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,
微分方程3——稳定性分析
使得离散自治系统
x1 f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
x
2
f 2 ( x1 , x2 ,...,
xn ) 0
......
xn f n ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
成立的点x0=(x10, x20, ... ,xn0)称为其平衡点。
如果 lim x(n) x0，则称其为稳定平衡点，否则称为 n
,
N2 (1 2 1 1 2
)
,
P4(0,0)
仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义
x1 (t)
r1x11
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1 2
x1 N1
x2 N2
模型分析
平衡点及其稳定性
由
A
f x1 g x1
fx2 gx2
r1
1
2 x1 N1
更一般的，对线性离散自治系统
x ( n 1) Ax ( n ) b A x ( n ) A 1b
若A的所有特征值λ都有|λ|<1,那么A-1b是它稳定的平衡点。
对线性自治系统
x Ax b
若A的所有特征值λ都有λ<0, 那么A-1b是它稳定的平衡点。 反之，不是稳定平衡点。
2
微分方程的稳定性
1x2
N2
r2 2 x2
N1
r11x1
N2
r2
1
2 x1
N1
2x2 N2
和
p ( f x1 g x2 )
,pi
q det A
,
pi
i 1,2,3,4
得
平衡点 Pi 稳定条件： p > 0 且 q > 0
线性微分方程及差分方程
u x
du dx
u
1 u
2
2
即： x
2
du dx
1 u 1 8) (9
当 1 u 0时 ， 分 离 变 量 得 ： du 1 u
2
dx x
16
两边积分： arcsin u ln x C
再将：u arcsin y x
y x
2
二、微分方程的阶 微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数 定义2 称为微分方程的阶 三、微分方程的解
定义3
如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称 此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含 独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为 微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微 分方程的特解
一 线性方程
(Linear differential equation)
二 伯努利方程
(Bernoulli differential equation)
三 小结 思考判断题
25
一
线性方程(Linear differential equation)
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
当 Q ( x ) 0,
3
4
§9.2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
1 .形 如 M ( x ) d x N ( y ) d y 0 1 3) (9 的方程称为变量已分离的微分方程
将 (9 1 3) 式 两 边 同 时 积 分 ， 得
M ( x )dx N ( y )dy C (9-14)
11
解：这是一个可分离变量的初值问题，分离变量德 dx adt ( xm x ) x
2019-高等数学上72可分离变量的微分方程-文档资料
由初始条件 y x e ，可得： C 0 2
因此特解为： ln y tan x ． 2
P301-2 例 2 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正 比, 已知 M t0 M0 ,求衰变过程中铀含量 M(t)随时间t 变化的规律.
解 衰变速d度 M, 由题设条件
dt
dM M dt
解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
QdV 0.62S2gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
s1cm2
h
d V 0 .62 2 g d ,h t( 1 ) h
hdh r
设在微小的时间间隔 [t, td]t, o
dV r2d,h
r12 0 ( 1 0 0 h ) 2 02h 0 h 2 ,0
d V ( 2 h 0 h 2 ) d 0 , h ( 2 )
比较(1)和(2)得: (20h 0h2)dh 0.622gd h,t
(20h 0h2)dh 0.622gd h,t
例:求解 y＝2x , 两边积分，有： y x2 C
例: 求微分方程 y 6xy 的通解。
分析:
变形
d d
y x
6xy
.分离变量有：
dy y
6x d
x
,
两端积分：
dy y
6xd x ,
可得： ln
y
3x2 C1
通解为： y Ce3x2 （其中 C eC1 为任意常数）．
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos x sin
ydy
cos y sin xdx
,y x0
因此特解为： ln y tan x ． 2
P301-2 例 2 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正 比, 已知 M t0 M0 ,求衰变过程中铀含量 M(t)随时间t 变化的规律.
解 衰变速d度 M, 由题设条件
dt
dM M dt
解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
QdV 0.62S2gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
s1cm2
h
d V 0 .62 2 g d ,h t( 1 ) h
hdh r
设在微小的时间间隔 [t, td]t, o
dV r2d,h
r12 0 ( 1 0 0 h ) 2 02h 0 h 2 ,0
d V ( 2 h 0 h 2 ) d 0 , h ( 2 )
比较(1)和(2)得: (20h 0h2)dh 0.622gd h,t
(20h 0h2)dh 0.622gd h,t
例:求解 y＝2x , 两边积分，有： y x2 C
例: 求微分方程 y 6xy 的通解。
分析:
变形
d d
y x
6xy
.分离变量有：
dy y
6x d
x
,
两端积分：
dy y
6xd x ,
可得： ln
y
3x2 C1
通解为： y Ce3x2 （其中 C eC1 为任意常数）．
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos x sin
ydy
cos y sin xdx
,y x0
微分方程与差分方程稳定性课件
微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、 鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的取值决定， 下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义 （8）式得下面关于稳定性的结论。
表1
由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性 平衡点类型
稳定定
鞍点
稳定退化结点 不稳定退化结 点 稳定焦点 不稳定焦点 中心
不稳定
稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定
对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡点作 一次Taylor展开，得常系数的近似线性 方程来讨论.
非线性方程
dx1 (t ) 0 0 0 f x1 ( x10 , x2 )( x1 x10 ) f x2 ( x10 , x2 )( x2 x2 ) dt dx2 (t ) g ( x 0 , x 0 )( x x 0 ) g ( x 0 , x 0 )( x x 0 ) x1 1 2 1 1 x2 1 2 2 2 dt
对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn ) 其平衡点x*由代数方程 x = f (x) 解给出. 为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近 似为一阶常系数线性差分方程 xn1 f ( x*)(xn x*) f ( x*), 当 | f ( x*) | 1 时,上述近似线性差分方程与原 非线性差分方程的稳定性相同. 因此 当 | f ( x*) | 1 时, x*是稳定的； 当 | f ( x*) | 1 时, x*是不稳定的.
p ( a1 b2 ) . q det A
(13)
将特征根记作1, 2，则 1 1 , 2 ( p p 2 4q ). 2
(14)
方程(9)的一般解具有形式
微分方程和差分方程简介
y f (x, y)
常用的解法：分离变量法
形如
dy f (x)g( y) dx
P (x)P ( y)dx Q (x)Q (x) 0
1
2
1
2
的方程均为可分离变量的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解
g( y)dy f (x)dx C
其中C为任意常数。
例1 求微分方程 y 3x2 y的通解。
特征方程 r2 pr q 0的根 两个相异实根 r1 r2 两个相等实根 r r1 r2 一对共扼复根 r1,2 i
齐次方程y py qy 0的通解
y C1er1x C2er2 x y (C1 C2 x )erx
y (C1 cos x C2 sin x)ex
二阶非齐次常系数微分方程
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等
表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指
定或由系统规则选定为确省.
例如，微分方程
1、用差商代替导数
若步长h较小，则有
y'(x) y(x h) y(x) h
常用的解法：分离变量法
形如
dy f (x)g( y) dx
P (x)P ( y)dx Q (x)Q (x) 0
1
2
1
2
的方程均为可分离变量的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解
g( y)dy f (x)dx C
其中C为任意常数。
例1 求微分方程 y 3x2 y的通解。
特征方程 r2 pr q 0的根 两个相异实根 r1 r2 两个相等实根 r r1 r2 一对共扼复根 r1,2 i
齐次方程y py qy 0的通解
y C1er1x C2er2 x y (C1 C2 x )erx
y (C1 cos x C2 sin x)ex
二阶非齐次常系数微分方程
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等
表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指
定或由系统规则选定为确省.
例如，微分方程
1、用差商代替导数
若步长h较小，则有
y'(x) y(x h) y(x) h
高等数学B微分方程与差分方程差分与差分方程的概念……19页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
高等数学B微分方程与差分方程差分 与差分方程的概念……
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢！
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微分与差分方程的稳定性专题38页PPT
16、云无心以出岫，鸟倦飞而知还。 17、童孺纵行歌，斑白欢游诣。 18、福不虚至，祸不易来。 19、久在樊笼里，复得返自然。 20、羁鸟恋旧林，池鱼思故渊。
微分与差分方程的稳定性专题
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❖已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
微分方程稳定性(优秀)PPT资料
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一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程 x(t)f(x)
(1)
方程右端不显含自变量 t ，称为自治方程。代数方程
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f (x) 0
(2)
是稳定的〔渐进稳定);否那么称
的实根 x x (3) 在讨论平衡点稳定性时，对初始点的要求是存在一个邻域，这是局部稳定的定义。
(9)
系数矩阵记为
Aab11
a2 b2ຫໍສະໝຸດ (10)为 研 究 方 程 （ 9 ) 的 唯 一 平 衡 点 P 0 ( 0 , 0 ) 的 稳 定 性 ， 假 定 A 的 行 列 式
d e tA 0
( 1 1 )
P 0 ( 0 ,0 ) 的 稳 定 性 由 ( 9 ) 的 特 征 方 程
d e t ( A I ) 0
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判断平衡点是否稳定通常有两种方法。利用定义即〔3〕 式称间接法。不求方程〔1〕的解，即不利用〔3〕式的方 法称直接法。下面介绍直接法 将 f(x )在 x 0 点 作 T a y lo r展 开 ， 只取一次项，方程〔1〕近似为
x ( t ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) （ 4 ）
〔4〕称为(1)的近似线性方程，x0也 是 (4)的 平 衡 点 ，
关 于 x0 点 稳 定 性 结 论 如 下 ： 若 f ( x 0 ) 0 ， 则 x 0 对 于 ( 4 ) 和 ( 1 ) 都 是 稳 定 的 。
若 f ( x 0 ) > 0 ， 则 x 0 对 于 ( 4 ) 和 ( 1 ) 都 是 不 稳 定 的 。
微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点，中
心等类型，完全由特征根 或相应的p、q取值决定。列 表如下
一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程 x(t)f(x)
(1)
方程右端不显含自变量 t ，称为自治方程。代数方程
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f (x) 0
(2)
是稳定的〔渐进稳定);否那么称
的实根 x x (3) 在讨论平衡点稳定性时，对初始点的要求是存在一个邻域，这是局部稳定的定义。
(9)
系数矩阵记为
Aab11
a2 b2ຫໍສະໝຸດ (10)为 研 究 方 程 （ 9 ) 的 唯 一 平 衡 点 P 0 ( 0 , 0 ) 的 稳 定 性 ， 假 定 A 的 行 列 式
d e tA 0
( 1 1 )
P 0 ( 0 ,0 ) 的 稳 定 性 由 ( 9 ) 的 特 征 方 程
d e t ( A I ) 0
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判断平衡点是否稳定通常有两种方法。利用定义即〔3〕 式称间接法。不求方程〔1〕的解，即不利用〔3〕式的方 法称直接法。下面介绍直接法 将 f(x )在 x 0 点 作 T a y lo r展 开 ， 只取一次项，方程〔1〕近似为
x ( t ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) （ 4 ）
〔4〕称为(1)的近似线性方程，x0也 是 (4)的 平 衡 点 ，
关 于 x0 点 稳 定 性 结 论 如 下 ： 若 f ( x 0 ) 0 ， 则 x 0 对 于 ( 4 ) 和 ( 1 ) 都 是 稳 定 的 。
若 f ( x 0 ) > 0 ， 则 x 0 对 于 ( 4 ) 和 ( 1 ) 都 是 不 稳 定 的 。
微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点，中
心等类型，完全由特征根 或相应的p、q取值决定。列 表如下
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如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t) 从这个邻域内的某个x(0)出发，满足
lt i mx(t)x0,
(3)
则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进 稳定); 否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定).
判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解
按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则：
若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; （12）
若 p < 0, 或 q < 0，则平衡点不稳定. （13）
微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、 鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的取值决定， 下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义 （8）式得下面关于稳定性的结论。
t
t 2tc
直接法
先看线性常系数方程
xx12((tt))ab11xx11
a2x2 b2x2
,
(9)
(x非2 =齐u次2+c方2)程化组为，齐可次用方平程移组的) 方法(x1= u1+c1, 系数矩阵记作
A
a1 b1
a2 b2
,
(10)
为 性研，究假方定程A的(9行)的列唯式一平衡点P0(0, 0)的稳定
detA 0 .
(11)
P0(0, 0)的稳定性由(9)的特征方程
det(A I) = 0
(12)
的根(特征根)决定. 方程(12)可以写成更加明晰
的形式
2 p q 0
p
(a1 b2 )
.
(13)
q det A
将特征根记作1, 2，则
1,21 2(p p24q).
微分方程与差分方程稳定性理论
在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之 间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式, 这就是微分方程.
在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口 数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操 作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.
不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到 其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得 到其解析解,尚有未知参数需要估计(这里可利用参数估 计方法).
x1(t), x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0), x2(0)) 出发，满足
lim
t
lim
t
x1 (t ) x2 (t)
x10 x20
,
(8)
则称平衡Hale Waihona Puke P0是稳定的(渐进稳定); 否则，
称P0是不稳定的(不渐进稳定).
例：求解微分方程组
dx
dt dy
dt
x(x2 y2 ) y( x 2 y2 )
xx12((tt))
f (x1, g(x1,
x2) x2)
,
(6)
右端不显含t，是自治方程. 代数方程组
f g
( x1 , ( x1 ,
x2 x2
) )
0 0
(7)
的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点 ，记作P0(x10, x20).
如果存在某个邻域，使方程(6)的解
的平衡点， 并讨论其稳定性。
解：很容易求得该微分方程组的唯一平衡点；
由已知微分方程组可以得到 d(x2y2)2(x2y2)2
dt
进而 x2y22t1c,(cx(0)2 1y(0)2)
对该微分方程组的任一解 (x(t),y(t)) 故也有
lim (x2y2)lim1 0
表1 由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性
1, 2
对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡点作 一次Taylor展开，得常系数的近似线性 方程来讨论.
非线性方程
dxd1t(t)fx1(x10,x20)(x1x10)fx2(x10,x20)(x2x20) dxd2t(t)gx1(x10,x20)(x1x10)gx2(x10,x20)(x2x20)
若f '(x0) > 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 不稳定的.
注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义 (3)证明：记f '(x0) = a，则(4)的一般解为
x(t) = ceat + x0
(5)
其中常数c由初始条件确定，显然，a < 0时
(3)式成立.
二阶方程的平衡点和稳定性
二阶方程可用两个一阶方程表示
差分方程模型
对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (20)
x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法. 下
面介绍直接法.
将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项， 方程(1)近似为
x (t)f(x0)x (x0),
(4)
(4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的 平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论：
若f '(x0) < 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 稳定的;
（17）
系数矩阵
A
fx1
gx1
f x2 P0 (x10 ,x20 )
g x2
（18）
q det A 特征方程系数 p(fx1g ) x2 P0(x10,x2 0)
（19）
结论：
若方程（17）的特征根不为零或实部不为零， 则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（17） 的稳定性相同。对于方程（6）的稳定性也由准则 （12）、（13）决定。
(14)
方程(9)的一般解具有形式
或
c1e1tc2e2t(12)
c1e1tc2te1t(12),
c1, c2为任意常数.
均 衡 时 2均为点P0不(负按 ;0,为而数照0)零当或稳是.均定不1,性有稳的负定2有定实平一部义衡个(时点8为)P.式0正在(可0数,条知或0件，)是有(当1稳正1)下定实1, 平部12,
而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.
7.7 微分方程稳定性理论简介
一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程
x(t)f(x),
(1)
右端不含字变量t，称为自治方程. 代数方程
f(x) = 0
(2)
的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它 也是(1)的解(奇解).