高中数学第二章统计章末评估验收新人教必修3

章末评估验收(二)
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列数字特征一定是数据组中数据的是( )
A．众数B．中位数
C．标准差D．平均数
解析：众数一定是数据组中数据．
答案：A
2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是( )
A．长方体的体积与边长
B．大气压强与水的沸点
C．人们着装越鲜艳，经济越景气
D．球的半径与表面积
解析：A、B、D均为函数关系，C是相关关系．
答案：C
3．(2014·四川卷)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A．总体
B．个体
C．样本的容量
D．从总体中抽取的一个样本
解析：调查的目的是“了解某地5 000名居民某天的阅读时间”，所以“5 000名居民的阅读时间的全体”是调查的总体．
答案：A
4.(2015·陕西卷)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )
A．93 B．123
C．137 D．167
解析：初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137.
答案：C
5．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果人口最多的一个区抽出60人，那么这个样本的容量等于( )
A ．96
B ．120
C ．180
D ．240
解析：由题意3个区人口数之比为2∶3∶5，得第三个区所抽取的人口数最多，所占比例为50%.又因为此区抽取60人，所以三个区所抽取的总人口数为60÷50%＝120，即这个样本的容量等于120.
答案：B
6．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图(单位：分)，其中甲班学生成绩的众数是85分，乙班学生成绩的中位数是83分，则x ＋y 的值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：由茎叶图及甲班学生成绩的众数是85分，可知x ＝5，而乙班学生成绩的中位数是83分，所以y ＝3，所以x ＋y ＝5＋3＝8.
答案：B
7．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y ^
＝bx ＋a 近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )
A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25
B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83
C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87
D ．线性相关关系太弱，无研究价值
解析：依题意，注意到题中的相关的点均集中在某条直线的附近，且该直线的斜率小于1，结合各选项知，故选B.
答案：B
8．如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，则在区间[98，100)上的频数为( )
A ．0.100
B ．0.200
C ．20
D ．10
解析：区间[98，100)上小矩形的面积为0.100×2＝0.200，所以区间[98，100)上的频数为100×0.200＝20.
答案：C
9.甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x －甲、x －
乙表示，则下列结论正确的是( )
第9题图
A.x －
甲>x －
乙，且甲比乙成绩稳定 B.x －
甲>x －乙，且乙比甲成绩稳定 C.x －
甲<x －乙，且甲比乙成绩稳定 D.x －
甲<x －乙，且乙比甲成绩稳定
解析：x －甲＝90，x －乙＝88，所以x －甲>x －乙，甲的成绩的方差是1
5×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，
乙的成绩的方差是1
5
×(25＋0＋1＋1＋9)＝7.2，故甲成绩稳定．
答案：A
10．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于
其他10个小长方形面积和的1
4
，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )
A ．32
B ．0.2
C ．40
D ．0.25
解析：由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1，所以x ＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32.
答案：A
11．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：设这10个数为a 1，a 2，…，a 10，则有a 2
1＋a 2
2＋…＋a 2
10＝200，且a 1＋a 2＋…＋a 10
＝40，则这10个数的方差为
（a 1－4）2
＋（a 2－4）2
＋…＋（a 10－4）
2
10
＝a 21＋a 22＋…＋a 2
10－8（a 1＋a 2＋…＋a 10）＋160
10
＝
200－8×40＋160
10
＝4.
所以标准方差为4＝2. 答案：B
12．(2014·陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －
和s 2
，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.x －
，s 2＋1002
B.x －
＋100，s 2＋1002
C.x －
，s 2
D.x －
＋100，s 2
解析：x 1＋x 2＋…＋x 1010
＝x －
，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x －＋100，方差
不变，故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)
组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________．
解析：由题意知，1245＋15＝30120＋a ，解得a ＝30.
答案：30
14．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a ＝________，b ＝________．
解析：由于总体的中位数为10.5，则a ＋b ＝21， 所以该组数据平均值为x －
＝10，
又方差s 2
＝（a －10）2
＋（b －10）2
＋k
10
，其中k 为常数，
所以要使该总体的方差最小，可以取a ＝10.5，b ＝10.5. 答案：10.5 10.5
15．关于统计数据的分析，有以下几个结论： ①一组数不可能有两个众数；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；
③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；
④一组数据的方差一定是正数． 结论错误的是________．
解析：一组数中可以有两个众数，故①错误；根据方差的计算法可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差可以是零．
答案：①③④
16．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：( )
根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元．
解析：由题表可知，x －＝4.5，y －＝35，代入回归方程y ^＝7x ＋a ^，得a ^
＝3.5，所以回归方程为y ^＝7x ＋3.5，所以当x ＝10时，y ^
＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．
答案：73.5
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)有以下三个案例：
案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量； 案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况；
案例三：从某校1 000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．
(1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程？
解：(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样，案例三用系统抽样．
(2)抽样过程如下：①分层，将总体分为高级职称，中级职称、初级职称及其余人员四层；
②确定抽样比例k ＝40800＝1
20
；
③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人； ④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本．
18．(本小题满分12分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A 、B 两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm 的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm)．
数据
平均数 方差 完全符合要求的个数
A 20 0.026
2 B
20
s 2B
5
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些； (2)计算出s 2
B 的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
解：(1)因为A 、B 两位同学成绩的平均数相同，B 同学加工的零件中完全符合要求的个数较多，由此认为B 同学的成绩好些．
(2)因为s 2
B ＝
110
×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2
]＝0.008，且s 2
A ＝0.026，所以s 2
A >s 2
B 在平均数相同的情况下，B 同学的波动小，所以B 同学的成绩好些．
(3)从题干图中折线走势可知，尽管A 同学的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A 同学的潜力大，而B 同学比较稳定，潜力小，所以选派A 同学去参赛较合适．
19．(本小题满分12分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示.
天数 1 1 1 2 2 1 2 用水量/吨
22
38
40
41
44
50
95
(1)(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？
(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量？ 解：(1)x －＝1
10(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．
(2)中位数为41＋44
2
＝42.5(吨)．
(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．
20．(本小题满分12分)(2015·广东卷)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x 的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？
解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5，
所以直方图中x 的值为0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是220＋2402
＝230.
因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.
(3)月平均用电量在[220，240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为
1125＋15＋10＋5＝15，所以从月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×1
5
＝
5(户)．
21．(本小题满分12分)某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表所示：
商店名称 A
B
C
D
E
销售额x /千万元 3 5 6 7 9 利润额y /百万元
2
3
3
4
5
(1)(2)用最小二乘法计算利润额y 关于销售额x 的回归直线方程；
(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．
解：(1)散点图如图所示，两个变量有线性相关关系．
(2)设回归直线方程是y ^＝b ^x ＋a ^.
由题中的数据可知y －＝3.4，x －
＝6.所以
＝1020 ＝0.5. a ^
＝y －－b ^x －
＝3.4－0.5×6＝0.4.
所以利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为 y ^
＝0.5x ＋0.4.
(3)由(2)知，当x ＝4时，y ^
＝0.5×4＋0.4＝2.4，所以当销售额为4千万元时，可以估计该商场的利润额为2.4百万元．
22．(本小题满分12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．
第22题图
(1)求图中a 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．
分数段
[50，60) [60，70) [70，80) [80，90) x ∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；
0．02×10×100＝20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×12＝20；30×
4
3＝40；20×5
4
＝25.
故数学成绩在[50，90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.。