高中数学北师大版必修2 1.4 教学设计 《空间图形基本关系的认识》(数学北师大必修二)
4.1空间图形基本关系的认识-北师大版必修2教案
4.1 空间图形基本关系的认识-北师大版必修2教案一、课时目标1.了解 3D 空间图形的基本概念和特点。
2.掌握空间图形常见的细分法。
3.学会如何通过图像来描述球面、圆锥面和圆柱面等空间图形。
二、课堂导入空间图形，在我们的生活中到处可见，例如建筑物、飞船、汽车等。
在开展此课程的时候，老师可以先引导学生们想象身边的物品，来提高他们对于空间图形的认知。
然后，老师可以以一个球体为例子，介绍球体这种空间图形的特点和一些基本概念，比如半径、直径、球心等，来引出本节课的主题。
三、教学内容1. 3D 空间图形的基本概念和特点3D 空间图形指的是三维立体空间中的图形，在此，我们以球体为例说明。
球体是一种最常见的球面几何体，具有以下几个特点：•独立性：球体内任意一点与外界没有直接连接，极大地增加了其独立性。
•球心：球体内任意一点到球心的距离都是相等的，球心是球体中心点的名词统称。
•半径：球体中心点到球体表面上某一点的距离，通常用字母 r 表示，我们也可以通过半径来确定一个球体的大小和表面积。
•直径：穿过球心，线段两端恰好在球面上的直线段，直径长度等于 2r。
•球面：球体表面。
•球缺：截取球体的一个样本后，保留的部分形成的空间图形。
2. 空间图形常见的细分法为了更好的理解和分析空间图形，我们通常可以采用以下两种细分方法:1) 沿截面分离将一些图形按截平面，如水平面、垂直面等截断，然后分离能识别的简单几何图形，如：圆、矩形等。
2) 穿切法穿切一个图形可以使其表面展开，让三维形状变成二维图形，如纸片穿过一个球体后展开为圆形。
3. 如何通过图像来描述球面、圆锥面和圆柱面等空间图形我们可以使用二维平面的图形来描述空间中的球体、圆锥面和圆柱面等图形。
其中，球体可以使用等高线图来描述，圆锥面和圆柱面则可以使用矩形来进行表达。
同样以球体为例，我们可以使用等高线图来描绘它的模样。
具体来说，我们可以使用颜色的深浅区分球体表面上不同的高度区间。
【数学】1.4.1 空间图形基本关系的认识 课件 (北师大版必修2)
4.1 空间图形基本关系的认识
构成空间图形的基本元素
• 点是构成空间图形的最基本的元素
• 线可看作是具有某一特点的点的集合， 也是构成空间图形的元素 • 面也可视为无数点的集合，同时也是构 成空间图形的元素 • 它们之间有什么关系呢？
阅读课本实验分析
• • • • • 试思考以下问题 1、点和直线有什么关系？ 2、点和平面有什么关系？ 3、直线与直线有哪些关系？ 4、平面与平面有什么关系？
异面直线：不在任何一个平面内的两条直线， 作图时为了表示异面直线不共面的特点通 常用一个或两个平面来衬托
例 如图是一个正方体的展开图，如果将它还 原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条 线段所在的直线是异面直线的有 __________对，分别是______________？
解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
空间直线与平面的位置关 系
空间平面与平面的位置关 系
• 空间平面与平面的位置关系：平行；相 交
ห้องสมุดไป่ตู้
空间点与线的关系
• 空间点与直线的位置关系有两种：
点 P 在直线 上：
点 P 在直线 外： ；
空间点与平面的关系
• 空间点与平面的位置关系有两种：
空间直线与直线的位置关 系
平行直线：在同一平面内但没有公共点的两条直线， 记作：a∥b 相交直线：在同一平面内有且只有一个公共点的两 条直线，记作a∩b=P
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
公理等多以文字语言叙述.
(3)图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、 公理、定理的本质及相互关系，在抽象的数学思维面前起 着具体化和加深理解的作用.
【例1】依据下列数学符号语言画出图形：
(1)α∩β=l， m α ，n β ， m∥l， n∥l；
(2)α∩β=l，直线PO
α，直线PO∩直线l=O，直线
【例3】如图，空间四边形ABCD中，
E、H分别是AB、AD的中点，F、G分
CF CG 2 . 别是BC、CD上的点，且 CB CD 3
求证：三条直线EF、GH、AC交于一 点. 【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点，可先 证直线EF与GH交于一点P，然后再证该交点P在直线AC上.
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空 间图形的公理(公理1、2、3)》课件
文字语言、图形语言、符号语 言的相互转化 文字语言、图形语言、符号语言的特点及相互关系 (1)符号语言简洁，层次感强，应用方便. (2)文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的 含义更加明白地叙述出来，因此教科书中的概念、定理、
【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一 个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内.因为 B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在 平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面. (2)如果B、C、D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、
C、D、E五点一定共面.若A，E有且只有一个在l上，则A、
【解析】(1)α∩β=m，n∩α=A，n∩β=B，A m，B (2)α∩β=l，a α，b β，a∩l=P，b∩l=P.
m.
共面问题
1.证明共面问题的依据
《 空间图形基本关系的认识》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《空间图形基本关系的认识》教学设计本节课为北师大版《必修2》第一章4。
2节的第一课时，是在学习了简单几何体、直观图、三视图和空间图形基本关系的基础上，来进一步学习对空间图形基本关系的认识。
【知识与能力目标】学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念；【过程与方法目标】培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法； 【情感态度价值观目标】培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度。
【教学重点】掌握点、线、面之间的关系的符号语言表示。
【教学难点】三种数学语言的转换与翻译。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习导入部分观察：长方体模型认识空间图形基本元素导入新课◆ 教材分析◆ 教学目标◆ 教学重难点◆ 课前准备◆ 教学过程GF HE二、探究新知：空间图形的基本关系阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系图形表示符号表示点与线的位置关系点A不在直线a上A∉a点B在直线a上B∈a 点与面的位置关系点A在平面α内A∈α点B在平面α外B∉α直线与直线的位置关系平行a∥b相交a∩b＝O异面a与b异面(不同在任何一个平面内的两条直线。
)直线与平面的位置关系线在面内aα线面相交a∩α＝A 线面平行a∥α平面与平面的位置关系面面平行α∥β面面相交α∩β＝a自测训练：(1)不平行的两条直线的位置关系为相交。
( )(2)两个平面的交线可以是一条线段。
( )(3)直线l在平面α内，可以表示为“lα”。
( )(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线。
( )【解析】(1)不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错。
(2)两个平面的交线是直线，故(2)错。
(3)正确。
(4)可能相交或平行，故(4)错。
【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×三、例题解析例1如图，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系。
1.4.1 空间图形基本关系的认识学案(北师大版必修2)
§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识自主学习1．学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念．2．重点是：点、线、面之间的位置关系的分类及其有关概念．3．难点是：对异面直线的理解．1．空间点与直线的位置关系有两种：____________________________________．2．空间点与平面的位置关系有两种：________________________________．3．空间两条直线的位置关系有三种(1)__________直线——在同一平面内，没有公共点；(2)__________直线——在同一平面内，只有一个公共点；(3)________直线——不同在任何一个平面内．4．空间直线与平面的位置关系有三种(1)直线在平面内——直线和平面有无数个公共点；(2)直线和平面相交——直线和平面只有一个公共点；(3)直线和平面平行——直线和平面没有公共点．5．空间平面与平面的位置关系(1)两个平面平行——两个平面没有公共点；(2)两个平面相交——两平面不重合且有公共点．对点讲练空间图形基本关系及语言转换例1用符号表示下列语句，并作出图形．(1)直线l经过平面α内两点A、B；(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；(3)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．点评文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，我们教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述．图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用．符号语言是立体几何特有的表示法，要和集合对照起来学习，符号语言比较简洁、严谨，有利于推理和计算，因此要学会正确地使用点、线、面之间的关系的符号语言．变式训练1将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB α，AC β．直线与直线位置关系的判定例2如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系．(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________________________________________________________________________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________________________________________________________________________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________________________________________________________________________．变式训练2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，指出与AB异面的棱．直线与平面的位置关系例3下面命题中正确的个数是()①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α；⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α．A．0B．2C．1D．3点评解决此类问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．变式训练3已知下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b α，则a∥α；④若直线a∥b，b α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4正方体(或长方体)既是立体几何中的一个重要的，又是最基本的模型，而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．课时作业一、选择题1．α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是()A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β2．两平面α、β平行，a α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内4．下列命题中正确的是()A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D．若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点二、填空题5．平面外有两个点，那么这两点的连线与平面的关系是__________________．6．如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF、GH 在原正方体中相互异面的有______对．7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是C1D1、BC、AB的中点，试判断以下各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与DD1：________________________________________________________________________；(2)A1G与BC：________________________________________________________________________；(3)A1G与C1F：________________________________________________________________________；(4)A1G与CE：________________________________________________________________________．三、解答题8．根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB．9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？10．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．(1)如图1，直线a在平面α内．(2)如图2，直线a和平面α相交．(3)如图3，直线a和平面α平行．§4 空间图形的基本关系与公理4．1 空间图形基本关系的认识答案自学导引1．点在直线上和点在直线外2．点在平面内和点在平面外3．(1)平行(2)相交(3)异面对点讲练例1解(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l(2)l α，P∈l，P∈α．(3)α∩β＝l，m α，m∥l．变式训练1解文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，AB、AC分别在α、β内．图形语言表示为如图所示．例2(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析本题是考查对直线位置关系定义的理解，首先看两直线是否有交点，判断是否相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在同一个平面内，如果不在，那么两直线异面．直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以(1)应该填“平行”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”；点A1，B，B1在同一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，所以直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以(2)(4)应该填异面．变式训练2 解如图所示．擦去与AB平行的棱CD，A1B1，C1D1以及与AB相交的棱A1A，B1B，AD，BC，所以与AB异面的棱为棱A1D1，棱B1C1，棱D1D，棱C1C．例3C[如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC 平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设α与b相交，∵a∥b，∴a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；AA′显然与平面A′B中和B′B平行的无数条直线平行，但AA′ 平面A′B，故⑤不正确．]变式训练3A[①错．因为l可能在平面α内．②错．因为直线a在平面α外有两种情形：a∥α和a与α相交．③错．因为a可能在平面α内．④正确．无论a在平面α内或a∥α，在α内都有无数条直线与a平行．]课时作业1．D[A、B都不能保证α、β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α、β一定无公共点．]2．B[(1)中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；(2)正确；(3)中直线a与β内的无数条直线垂直；(4)根据定义α与β无公共点，正确．]3．B4．D[当直线l与平面α相交时，l上也有无数个点不在平面α内，故A错；若直线l 与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线可能平行，也可能异面，故B错；两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条可能与这个平面平行，也可能在这个平面内，故C 错；由线面平行的定义可知选项D正确．]5．平行或相交解析平面外有两个点则说明了直线与平面不可能是直线在平面内．由于这两点的位置关系不确定，所以这两点的连线与平面的关系是平行或相交．6．3解析将正方体恢复后，由图观察即可得．即为EF，GH；CD，AB；AB，GH．7．(1)异面直线(2)异面直线(3)相交直线(4)平行直线8．解如图所示：9．解∵B1∈平面A1C1，D1∈平面A1C1，∴B1D1 平面A1C1．∵B1∈平面BC1，D1∉平面BC1，∴直线B1D1∩平面BC1＝B1．∴直线B1D1与平面BC1相交．同理直线B1D1与平面AB1、平面AD1、平面CD1都相交．在平行四边形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1与BD无公共点，∴B1D1与平面AC无公共点，∴B1D1∥平面AC．10．解(1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：(1)直线a在平面α内：(2)直线a与平面α相交：(3)直线a与平面α平行：。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 4.1空间图形基本关系的认识》0
空间图形的基本关系一教学内容：空间图形的基本关系与公理二学习目标：1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。
三、知识要点（一）空间位置关系：I、空间点与线的关系空间点与直线的位置关系有两种：①点P在直线上：；②点P在直线外：；II、空间点与平面的关系空间点与平面的位置关系有两种：①点P在平面上：②点P在平面外：；III、空间直线与直线的位置关系：IV、空间直线与平面的位置关系：V、空间平面与平面的位置关系：①平行；②相交说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。
（二）异面直线的判定1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。
【典型例题】考点一空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论，平行公理、等角定理等相关结论。
例1下列命题：①空间不同的三点可以确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必定重合；空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面；④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。
其中正确的命题是。
解：⑥。
例2空间中三条直线可以确定几个平面？试画出示意图说明。
解：0个、1个、2个或3个。
分别如图（图中所画平面为辅助平面）：考点二异面直线的判断：主要依据是异面直线的定义及判定定理。
例3如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________？解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
北师大版高中数学必修2课件1.4空间图形基本关系的认识课件(北师大版)
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于 点A，且点A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。
课堂小结
1.空间基本图形的关系及符号语言的描述 2.熟练用图形语言表示空间点线面之间的关系
作业
课本28页习题1-4A组4题
解：
例2 如图，在正方体 ABCD A' B'C ' D' 中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，
A′D′所在的直线与直线BC′是异面
直线。
变式训练
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)α ，B∉ α ；(2)l α ，m∩α ＝A，A∉ l；(3)P∈l，P∉ α ；Q∈l，Q∈α
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
空间图形基本关系的认识
新课导入
观察：长方体模型认识空间图形基本元素。
探索新知
空间图形的基本关系
阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系 点A不在直线a上 点B在直线a上
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
A∉a B∈a
点A 在平面α 内 点与面的位置关系 点B 在平面α 外 平行 直线与直线的位置关系 相交 异面
(3)直线l 在平面α 内，可以表示为“l
)
α ”( ) )
(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线 (
【答案】
(1)× (2)×
(3)√
(4)×
空间图形的基本关系教学设计
《空间图形的基本关系》教学设计本节选自普通高中北师大版必修2第一章第四节第一课时【教材分析】空间图形的基本关系与公理是学习平行关系与垂直关系的基础。
教材依托长方体，表述了空间点、线、面间的基本位置关系。
教材先引导学生对“实例分析”中的长方体进行仔细的观察，然后讨论长方体的顶点、棱、面之间的关系。
在此基础上，在进入“抽象概括”，总结出空间点、线、面的五类位置关系。
这样处理的目的是让学生通过长方体这个具体模型对位置关系有直观地认识。
注意三种语言即文字语言、符号语言、图形语言的互译，让学生熟练掌握点、线、面的符号表示，及“∈”和“≠⊂”符号的正确使用。
【三维目标】1.知识与技能（1）了解构成空间图形的基本元素：点、直线、平面。
（2）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上抽象出点、线、面的位置关系的定义。
（3）正确使用用图形语言、符号语言进行表述点、线、面的位置关系。
2.过程与方法学生在“立体几何初步”起始课中从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体到局部，从具体到抽象的原则，认识空间中点、线、面之间的位置关系。
3.情感、态度与价值观通过对空间图形的认识，使学生知道我们生活的三维空间是丰富多彩的，结合三种语言的互相转换，体会数学图形的直观美以及数学语言的简洁美。
【教学重点】在以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上进一步培养学生符号语言的运用能力。
【教学难点】异面直线的理解。
【教学问题诊断】在以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，学生在直观认识上很容易理解，但是对异面直线的理解上学生很可能存在很大的困难，对于这一问题本节课利用下面的思考交流让学生再一次体会异面直线的定义，教师从旁引导学生理解。
【教法特点】为了实现本节课的教学目标，突出重点，本节课将按照以学生为主体的原则促进学生的自主学习；并将通过教师适时引导使学生的认识由整体到局部、由具体到抽象，由直观感知到抽象概括的目标。
2018学年北师大版高中数学必修2课件：1.4 第一课时空间图形基本关系的认识及公理1、2、3 精品
4．用符号语言表示下列语句，并画成图形． (1)直线 l 经过平面 α 内两点 A、B； (2)直线 l 在平面 α 外，且过平面 α 内一点 P； (3)直线 l 在平面 α 内，又在平面 β 内； (4)直线 l 是平面 α 与 β 的交线，平面 α 内有一条直线 m 与 l 平行．
解析： (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l. (2)l α，P∈l，P∈α.
3．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，记 B1D 与平面 A1BCD1 交于 点 Q，证明：B，Q，D1 三点必共线．
证明：连接 B1D1，BD. ∵B1D1∥BD，∴B1D1，BD 确定平面 B1BDD1，交平面 A1BCD1 于 BD1. ∵Q∈B1D，∴Q∈平面 B1BDD1. 又∵Q∈平面 A1BCD1，而平面 A1BCD1∩平面 B1BDD1＝BD1， ∴点 Q 必在 BD1 上，∴B，Q，D1 三点必共线．
2．(1)下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 (2)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________．
[提示] 4个相交的，1个平行的．
1．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系． 2．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作 用． 3．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示． 4．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言 表示．
[规律方法] (1)证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点， 再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．
高中数学第一章立体几何初步141空间图形基本关系的认识课件北师大版必修2
复习课件
高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识课件北师大版 必修2
2021/4/17
高中数学第一章立体几何初步141空间图形基本关系的认
1
识课件北师大版必修2
【课标要求】 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间 的位置关系，并能用图形语言和符号语言表示. 2.理解空间图形的三个公理，并能用符号表示. 3.能应用公理进行简单的证明．
点在一个平面内，那 么这条直线在此平面
内(即直线在平面内)
图形语言
符号语言 若A、B、C三点不共 线，则存在唯一一个
平面α使A∈α， B∈α，C∈α
若A∈l，B∈l， A∈α，B∈α，则l α
如果两个不重合的平
公理3
面有一个公共点，那 么它们有且只有一条
过该点的公共直线
若A∈α，A∈β，且α 与β不重合，则α∩β
跟踪训练 3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，记 B1D与平面A1BCD1交于点Q，证明：B，Q，D1三点必共线．
证明：连接B1D1，BD.
∵B1D1∥BD，∴B1D1，BD确定平面B1BDD1，交平面A1BCD1 于BD1.
∵Q∈B1D，∴Q∈平面B1BDD1. 又∵Q∈平面A1BCD1，而平面A1BCD1∩平面B1BDD1＝BD1， ∴点Q必在BD1上， ∴B，Q，D1三点必共线．
北师大版高中必修24空间图形的基本关系与公理课程设计
北师大版高中必修24空间图形的基本关系与公理课程设计一、课程设计背景高中数学是学生学习数学的重要阶段，也是全面了解数学知识的关键时期。
高中数学教学应该注重培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
而空间图形的基本关系与公理是高中数学中的一个重要内容。
本课程设计旨在通过北师大版本高中必修24的空间图形起点建设与拓展，系统介绍空间图形的基本关系与公理，旨在提高学生的数学思维和空间想象能力。
二、教学目标1.了解空间图形的基本概念和基本特征；2.熟悉空间图形实体间的基本关系及其性质；3.掌握空间图形中的公理并能运用公理求解与证明问题；4.培养学生的几何思维能力和创新精神。
三、教学内容第一章：空间图形的基本概念1.空间的基本概念2.空间图形的基本性质第二章：空间图形的基本关系1.点、直线、面的基本关系2.简单立体图形间的基本关系3.复杂立体图形间的基本关系第三章：空间图形公理1.空间图形公理的基本概念2.空间图形公理的性质3.空间图形公理的应用第四章：空间图形的实际应用1.空间图形与曲面的关系2.空间图形与立体几何的关系3.空间图形的实际应用举例四、教学方法在本次课程教学过程中，采用以下教学方法：1.讲授法。
让学生了解空间图形的基本概念、基本关系和公理等知识。
2.实践法。
通过各种实际问题，引导学生探究空间图形关系的性质与规律。
3.互动法。
通过互动和讨论，激发学生的兴趣和创造活力。
五、教学塑造通过引导和指导，帮助学生发挥自己的想象和创造能力，培养他们的创造观念和思维方式，同时加强学生对数学的感性认识和理论体系的建立。
六、教学评估通过教学过程中的课堂作业、小测验、课程论文等形式，对学生的学习程度进行全面考核和评估，及时发现学生的差距和问题，加强个性化教育，提高教学质量。
七、小结以上是本次北师大版高中必修24空间图形的基本关系与公理课程设计的主要内容，通过本课程的教学，希望能够加强学生对空间图形的学习和理解，提高数学学科的应用能力和创造能力，为学生的未来发展打下更加坚实的基础。
北师大版高中数学必修2课件1.4【教学设计】空间图形基本关系的认识课件(数学北师大必修二)
p
a
b
表示为直线 a b P
一、新课讲授： ⑷直线与直线的位置关系： ③异面:同在任何一个平面内的两条直线.
b
a
一、新课讲授： ⑸ 平面与平面的位置关系： ① 平行：没有公共点的两个平面.
表示为直线 ∥
一、新课讲授： ⑸ 平面与平面的位置关系： ② 相交：有公共点且不重合的两个平面.
l
表示为直线 l
⑵ 点与面的位置关系：
·B
·A
α
① 点在线上: 表示为 点 A 平面 .
② 点在线外: 表示为 点 B 平面 .
一、新课讲授： ⑶ 线与面的位置关系： ① 直线在平面内：直线与平面有无数个公共点.又叫平面经过直线.
a
表示为直线 a 平面 .
一、新课讲授： ⑶ 线与面的位置关系： ② 直线在平面外：直线与平面只有一个公共点.
b
B
表示为直线 b =B .
一、新课讲授： ⑶ 线与面的位置关系： ③直线与平面平行：直线与平面没有公共点.
c
表示为直线 c ∥ .
一、新课讲授： ⑷直线与直线的位置关系： ① 平行：同一平面内没有公共点的两条直线.
ab
表示为直线 a ∥ b
一、新课讲授： ⑷直线与直线的位置关系： ② 相交：只有一个公共点的两条直线.
限延展的.
⑵ 平面的画法及字母表示：
D
C
α
A
B
表示为：平面 ABCD 、平面 AC 、平面 等.
一、新课讲授： 2. 点、线、面间的位置关系及表示：
⑴ 点与线的位置关系：
B
A
·
· l
① 点在线上: 表示为 点 Al . ② 点在线外: 表示为 点 B l .
【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：1.4-空间图形的基本关系与公理(含答案)
第1课时 空间图形基本关系的认识与公理1～3[核心必知]1．空间图形的基本位置关系点⎩⎨⎧点与直线⎩⎪⎨⎪⎧ 点在直线上点在直线外点与平面⎩⎪⎨⎪⎧点在平面内点在平面外2．空间图形的3条公理文字语言图形语言符号语言公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A 、B 、C 三点不共线，则存在唯一一个平面α使A∈α，B ∈α，C ∈α续表文字语言图形语言 符号语言公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B∈α，则公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A ∈α，A ∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l ，且A ∈l[问题思考]1．三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面．2．三条两两相交的直线，可以确定几个平面？提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面．讲一讲1．如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．[尝试解答]证明：∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα.即aα，∴a，b，c三线共面．证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．练一练1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，如图．∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理2可知：lα.∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知lβ.∴平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴直线a，b，c和l共面.讲一讲2.已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R三点共线．[尝试解答]证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∴B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上．练一练2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.讲一讲3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．[尝试解答]证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．练一练3．已知在正方体ABCDA′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P.证明：由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．因为E，F不与A′，B重合，所以EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形．设D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P.已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解]∵A，B，C，D共面，∴点A在点B，C，D所确定的平面内．∵点B，C，D，E四点共面，∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面．[错因]在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础．[正解]A，B，C，D，E五点不一定共面．(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A ∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．1．下列图形中不一定是平面图形的是( ) A ．三角形 B ．菱形C ．梯形D ．四边相等的四边形解析：选D 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 2．(重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是 ( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：选A 如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a >0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，显然A 、B 、E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2. ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ②两条直线可以确定一个平面 ③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A 两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，①错；两条直线异面时不能确定一个平面，②错；空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，④错．∴只有③对．4．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与D1C的位置关系是__________；(2)直线A1B与B1C的位置关系是__________；(3)直线D1D与D1C的位置关系是__________；(4)直线AB与B1C的位置关系是__________．答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．答案：平行、相交或异面6．证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．证明：设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1，l2，l3，且l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C(如图所示)．∵l1与l2相交，∴l1与l2确定一平面α.∵B∈l2，C∈l1，∴B∈α，C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α，即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行解析：选B若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作()A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．A b，bβD．A b，b∈β解析：选B∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A∈b，bβ.3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR解析：选C∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4 C．5 D．6解析：选C与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上解析：选A因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE 是异面直线；④DN与BM是异面直线．解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．第2课时空间图形的公理4及等角定理[核心必知]1．公理4平行于同一条直线的两条直线平行．2．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形．4．异面直线所成的角(1)过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．(2)当异面直线a与b所成的角为直角时，a与b互相垂直．[问题思考]1．公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．2．两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定．只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．讲一讲1.如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为线段A1B，B1D1，A1B1上的点，若B1NB1D1＝BMBA1＝13，且PN∥A1D1.求证：PM∥AA1.[尝试解答]证明：∵PN∥A1D1，B1NB1D1＝13，得B1PB1A1＝13，又BMBA1＝13，∴PM∥BB1.而BB1∥AA1，∴PM∥AA1.空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行．(2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行．练一练1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD与C′D′的位置重合，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．证明：在梯形ABCD 中，EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )．在梯形ABC ′D ′中，G ，H 分别是AD ′，BC ′的中点， ∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)．又CD ＝C ′D ′，∴EFGH ，∴四边形EFGH 为平行四边形.讲一讲2.如图所示，已知E ，E 1分别是正方体AC 1的棱AD ，A 1D 1的中点， 求证：∠C 1E 1B 1＝∠CEB .[尝试解答] 证明：连接EE 1，∵E ，E 1分别是AD ，A 1D 1的中点， ∴A 1E 1AE ，∴四边形A 1E 1EA 为平行四边形， ∴A 1A E 1E . 又A 1AB 1B ，由基本性质4知B 1BE 1E ，∴四边形E 1EBB 1为平行四边形， ∴E 1B 1∥EB . 同理E 1C 1∥EC .又∠C 1E 1B 1与∠CEB 的对应边方向相同， ∴∠C 1E 1B 1＝∠CEB .1．证明两角相等的方法①等角定理；②三角形全等；③三角形相似．2．利用等角定理证明两角相等，关键是证明角的两边分别平行，另外要注意角的方向性．练一练2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：(1)EF E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF12BD.同理，E1F112B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD B1D1，又EF 12BD，E1F112B1D1，所以EF E1F1.(2)分别取A1B1、A1D1的中点M、N，连接BM、DN、MF1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，由题意，MF1BC，A1M BE，∴四边形BCF1M，四边形A1EBM是平行四边形，∴A1E∥BM∥CF1.同理可证A1F∥DN∥CE1.又A1E、A1F、CF1、CE1，分别为∠EA1F、∠E1CF1的对应两边，且方向相反，∴∠EA1F ＝∠E1CF1.在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD是异面直线C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[错解]如图，∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD.故选A.[错因]错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内．[正解]构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(1))；(2)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(2))；(3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，使∠ABC＝∠BCD.由(1)知AB∥CD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线．[答案]D1．下列结论正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.A．0 B．1 C．2 D．3解析：选B①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确．可能平行，可能相交也可能异面．3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．4．如图，夹在两平行平面间的两条线段AB，CD交于点O，已知AO＝4，BO＝2，CD ＝9.则线段CO，DO的长分别为________，________.解析：∵AB，CD相交于O点，∴AC，BD共面．又AC与BD不相交，∴AC∥BD.∴CODO＝AOBO，又DC＝9，AO＝4，BO＝2.∴CO＝6，DO＝3.答案：635．已知E，F，G，H为空间中的四个点，且E，F，G，H不共面，则直线EF和GH 的位置关系是________．解析：假设共面，则E，F，G，H共面，与已知矛盾，∴EF与GH不共面，即异面．答案：异面6．如图所示，不共面的三条射线OA ，OB ，OC ，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC .证明：在△OAB 中，∵OA 1OA ＝OB 1OB ，∴A 1B 1∥AB .同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .∴∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC .∴△A 1B 1C 1∽△ABC .一、选择题1．若直线a ∥b ，b ∩c ＝A ，则a 与c 的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面或相交解析：选D a 与c 不可能平行，若a ∥c ，又因为a ∥b ，所以b ∥c ，这与b ∩c ＝A 矛盾，而a 与c 异面、相交都有可能．2．如图所示，在三棱锥P ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对解析：选B 据异面直线的定义可知共有3对．AP 与BC ，CP 与AB ，BP 与AC . 3．如图所示，在长方体木块AC 1中，E ，F 分别是B 1O 和C 1O 的中点，则长方体的各棱中与EF 平行的有( )A ．3条B ．4条C．5条D．6条解析：选B由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是()A．5 B．10 C．12 D．不能确定解析：选B如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 12BD，FG12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是() A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线②直线AM与BN是平行直线③直线BN与MB1是异面直线④直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．解析：由异面直线的定义知③④正确．答案：③④三、解答题9．长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，∵A 1B 1C 1D 1，∴EMC 1D 1，∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MBC 1F ，∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点． 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ＝λ，故EHλBD .同理FGμBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交． 设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .。
高中数学必修二北师大版学案1.4 空间图形基本关系的认识(学生版)
课题：空间图形基本关系的认识☆学生版☆学习目标.借助长方体模型，能直观地认识空间点、线、面的位置关系；.会用图形语言、文字语言、符号语言描述点、线、面的位置关系.学习重点：空间的点、线、面的位置关系.学习难点：图形语言、文字语言、符号语言的转换.学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。
将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。
一、自主学习、平面：（）平面的两个特征：①；②.（）平面的画法：通常画来表示平面，当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的倍长.（）平面的表示：①一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；②表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面 .、分别用文字语言、符号语言和图形语言表述空间内点、线、面的位置关系（）点与直线的位置关系（）点与平面的位置关系（）间两条直线的位置关系（）线与平面的位置关系（）面与平面的位置关系二、我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，在课堂上与老师和同学们探究解决。
）三、合作探究★探究一、正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面、、分别记作、、.()，，，；(),, , ；()；()α∩β, ∩；α∩.★★探究二、说出长方体中下列各对线段所在的直线以及线段所在的直线与平面的位置关系：四、课堂检测、如图（），正方体—中，已知、、、是图中各棱的中点，试判断下列直线的位置关系：（）和是：（）和是；（）和是。
、如图中，平面, 平面平面,平面,平面∩平面, ∩.五、课堂小结。
北师大版数学高一必修2学案 1.4空间图形的基本关系与公理第1课时目标导学
4 空间图形的基本关系与公理第1课时目标导学问题导学1．公理1的应用活动与探究1如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是所在棱的中点，连接D′M，交C′B′的延长线于点E，连接C′N，交CB的延长线于点F.求证：直线EF平面BCC′B′.迁移与应用如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，试判断AC是否在平面α内．公理1的作用：(1)用直线检验平面；(2)判断直线是否在平面内，要证明直线在平面内，我们需要在直线上找到两个点，这两个点都在这个平面内，那么直线就在这个平面内．解决问题的关键就在于寻找这样的点．2．公理2的应用活动与探究2已知a∥b，a∩c＝A，b∩c＝B，求证：a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．经过同一直线上的三个点的平面()．A．有且只有一个B．有且只有三个C．有无数个D．不存在2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．公理2的作用：(1)确定一个平面；(2)证明点、线的共面问题；(3)判断一图形是否为平面图形．对于平面的确定问题，务必分清它们的条件，对于证明几点(或几条直线)共面问题，可先由其中几个点(或直线)确定一个平面后，再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．3．公理3的应用活动与探究3已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R三点(如图)，求证：P，Q，R三点共线．迁移与应用如图，在三棱锥S－ABC的边SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EF∩GH=P，求证：EF，GH，AC三条直线交于一点．1．公理3的作用：(1)判断两平面是否相交；(2)证明点在直线上；(3)证明共线问题；(4)证明共点问题．证明三点共线问题的常用方法有：方法一是首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．方法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．2．证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．当堂检测1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为()．A．P l，lαB．P∈l，l∈αC．P l，l∈αD．P∈l，lα2．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是()．3．下列说法正确的是()．A．线段AB在平面α内，直线AB不会在α内B．平面α和β有时只有一个公共点C．三点确定一个平面D．过一条直线可以作无数个平面4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BB1的中点，则D1E与CF的延长线交于一点，此点在直线()．A．AD上B．B1C1上C．A1D1上D．BC上5．如图，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C 和截面B1D1A的交点．求证：O1，M，A三点共线．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学预习导引1．(1)点在直线上点在直线外A∈l B l(2)点在平面内点在平面外(3)同一平面没有公共点a∥b只有一个公共点a∩b＝P不同在任何一个平面内(4)有无数个公共点只有一个公共点l∩α＝P没有公共点l∥α(5)没有公共点α∥β不重合但有公共点预习交流1提示：不能．如图所示，a在平面α内，b在平面β内，但是a与b平行．预习交流2提示：当两直线在同一平面内时，没有公共点就一定平行；在空间中，当两直线不同在任何一个平面内时，没有公共点，是异面直线．2．两点所有的点在平面内lα不在同一条直线上有且只有确定有且只有一个平面α有一个公共点有且只有α∩β＝l且A∈l预习交流3提示：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一．“有且只有”强调的是存在性和唯一性两个方面，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面．预习交流4提示：(1)能；(2)能；(3)能．课堂合作探究问题导学活动与探究1思路分析：要证明直线在平面内，只需证明直线上有两个点在这个平面内．证明：∵B∈平面BCC′B′，C∈平面BCC′B′，∴直线BC平面BCC′B′.又∵C′N∩CB＝F，∴F∈CB，∴F∈平面BCC′B′.同理可得E∈平面BCC′B′.∴直线EF平面BCC′B′.迁移与应用解：AC在平面α内，证明如下：∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内．∵BC在平面α内，∴C点一定在平面α内．∴A点、C点都在平面α内．∴直线AC 在平面α内．活动与探究2思路分析：依题意，可先证a与b确定一个平面，再证明c在这个平面内，从而可证a，b，c在同一平面内．证明：∵a∥b，∴a与b确定一个平面α，∵a∩c＝A，∴A∈a，从而A∈α；∵b∩c＝B，∴B∈b，从而B∈α.于是ABα，即cα，故a，b，c三条直线在同一平面内．迁移与应用1．C2．证明：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内即可．因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα.所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．活动与探究3思路分析：只需证明P，Q，R三点在平面ABC内，又在平面α内，再利用公理3推得结论．证明：方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.又B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．迁移与应用证明：∵E∈SA，SA平面SAC，F∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F∈平面SAC，∴EF平面SAC.同理可得GH平面ABC.又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC.∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC，即直线EF，GH，AC共点于P.当堂检测1．D2．D3．D4．B5．证明：因为上底面中A1C1∩B1D1＝O1，A1C1平面A1C1CA，B1D1平面AB1D1，所以，O1是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．又因为A1C∩平面AB1D1＝M，A1C平面A1C1CA，所以，M是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．又因为A∈平面AB1D1，A∈平面A1C1CA，所以，A是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．所以，O1，M，A都是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点，由公理3可知，O1，M，A 三点共线．。
空间图形基本关系的认识教学设计
课题：§4.1空间图形基本关系的认识一、教材分析：本节选自普通高中北师大版必修2第一章第四节第一课时，教材以长方体为载体，帮助学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，训练学生符号语言的运用，培养学生推理论证能力．空间图形基本关系的认识是学习平行关系与垂直关系的基础．二、学情分析：高一学生拥有一定的信息收集和筛选能力、观察能力、语言表达能力；具备一定的平面几何知识和研究几何的方法，本节课的学习，学生具备一定知识基础。
三、学习目标：1.了解点、线、面的位置关系，能用符号语言进行表述；2.正确理解异面直线的定义，能判断具体几何图形中点、线、面的位置关系；3.感受生活中空间图形的丰富多彩，体会图形语言的直观美和符号语言的简洁美.四、教学重点、难点：重点：点、线、面的位置关系的分类及有关概念；难点：异面直线的判定.五、教学方法：启发、引导.六、教具准备：多媒体辅助教学、长方体.七、教学过程：创设情境、引入课题观察校园中富有特色的建筑物，感受生活中空间图形的丰富多彩，提出问题：构成空间几何图形的基本图形是什么？（设计说明：可以拉近与学生之间的距离同时又引导学生将建筑物与空间几何图形联系起来，让学生观察构成空间几何体最基本的图形，激发学生的求知欲。
）知识探究（一）：空间点与直线的位置关系观察电视机没有信号时的图片（设计说明：使学生对点面、线面的关系有直观的的认识，然后分类对其讨论）1.点在直线上：如图：·A 记作：A∈a2.点在直线外：如图： ·B 记作：B b 知识探究（二）：空间点与平面的位置关系 1.点在平面内： 如图： 2.点在平面外： 如图：知识探究（三）：空间两条直线的位置关系 观察淮北市长山大桥图片，感受空间中直线的优美，提问：这些直线有哪些位置关系？ 1.相交直线：两条直线只有一个公共点.如图： 记作： 2.平行直线：在同一平面内，两条直线没有公共点.如图： 记作： 提问：“在同一个平面内”这个条件能否去掉？ （设计说明：使学生感受空间两条直线平行的概念与平面几何中的区别，并顺利的引出异面直线的概念）3.异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线. 如图：例1.在正方体ABCD-A'B'C'D'判断下列说法是否正确? （1）直线BD 与直线B'D'平行; （2）直线BD 与直线C'D'异面.（设计说明：在具体的几何图形中帮助学生理解平行与异面的概念，并能够判定或找出具体的两直线的位置关系.）思考：直线BD 还与图中那些直线异面？举例我们生活中的一些异面直线. 知识探究（四）：空间直线与平面的位置关系请同学们观察掷飞镖的游戏，思考飞镖所在的直线与标靶所在平面的位置关系 （设计说明：通过学生熟悉的游戏既可以调动课堂气氛，又可以通过飞镖与标靶的位置来讨论直线与平面的位置关系.）1.直线在平面内:直线与平面有无数个公共点.2.直线与平面相交:直线与平面只有一个公共点.3.直线与平面平行:直线与平面没有公共点例2 在正方体ABCD-A'B'C'D' 中判断下列说法是否正确（1）直线BD 平行平面A'B'C'D' （2) 直线C'D'平行平面AA'B'B 思考：直线C'D'还与图中那些平面平行？B 'C 'A BDCA ' D 'B 'ABD CA 'D '（设计意图：由特殊到一般,培养学生的归纳能力，加深学生对概念的理解。
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《空间图形基本关系的认识》教学设计
本课时编写：崇文门中学高巍巍
教材分析:
本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系.平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.
教学目标：
【知识与能力目标】
1.了解构成空间的基本元素，能用图形语言和符号语言表示它们之间的位置关
系.
2.对于给定的空间图形能指出有关点、直线、平面的位置关系.
3.自己能够用图形表示点、直线、平面之间的位置关系.
【过程与方法】
1.通过对长方体的观察，直观的了解点线面的位置关系，感受数学来源与生活，培养和发
展空间想象能力.
2.建立空间概念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃.
【情感态度与价值观】
1.了解三维空间图形的丰富多彩，但相互之间是普遍联系的，培养学生通过现象看本质的
意识.
2.结合三种语言的相互转换，体会数学图形的直观美和数学语言的简洁美.
教学重难点：
【教学重点】
文字叙述、图形语言和符号语言的相互转化，空间图形基本关系的认识.
【教学难点】
异面直线的理解以及画法.
课前准备：
课件、学案、实物模型.
教学过程：
一、课题引入：
先向学生展示水立方的图片，引导孩子找出立体几何中的基本问题.
问题1：请问水立方建筑是一个什么几何体？
问题2：那构成这个几何体的基本元素是什么呢？
问题3：什么实物给你平面的形象呢？那你人能给平面下个定义吗？
问题4：直线是两端无线延长的，那平面呢？
那我们今天就研究构成这些几何体间的基本元素的关系开始这节课的学习.。