泛函分析报告习题
泛函分析习题
泛函分析习题泛函分析练习题⼀名词解释：1.范数与线性赋范空间2.⽆处稠密⼦集与第⼀纲集3.紧集与相对紧集4.开映射5.共轭算⼦6. 内点、内部：7. 线性算⼦、线性范函：8. ⾃然嵌⼊算⼦9. 共轭算⼦10. 内积与内积空间：11. 弱有界集：12. 紧算⼦：13. 凸集14. 有界集15. 距离16. 可分17. Cauchy 列18.⾃反空间⼆、定理叙述1、压缩映射原理2. 共鸣定理3.逆算⼦定理4. 闭图像定理5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理6、Baire 纲定理7、开映射定理8、Riesz 表现定理三证明题：1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ=+也使X 成为度量空间。
证明：,,x y z X ?∈显然有（1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。
（2）(,)(,)d x y d y x =（3）由1()111t f t t t ==-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,)x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++(,)(,)1(,)1(,)x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+故d 也是X 上的度量。
2，设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。
证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?-已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。
故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→即 (,)(,)n n x y x y →。
3.考虑[,]C a b 上的⾮线性积分⽅程()(,,())()ba x t k t s x s ds t λ?-=?其中[,],(,,)C a b k t s ?ω∈是[,][,]a b a b R ??上的连续函数，满⾜1212|(,,)(,,)|||k t s k t s b ωωωω-≤-证明当||λ⾜够⼩时，此⽅程存在唯⼀解0[,]x C a b ∈。
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
泛函分析习题及参考答案
泛函分析习题及参考答案一、在2R 中定义如下三种距离：21212(,),(,)x x x y y y R ==∈，1(,)d x y =21122(,)max{,}d x y x y x y =−−，31122(,)d x y x y x y =−+−，试证：212d d ≤≤3132d d d ≤≤，2322d d d ≤≤，从而这三种距离诱导出的极限是等价的。
二、设),(y x d 为空间X 上的距离，试证：),(1),(),(~x y d x y d x y d +=也是X 上的距离。
证明：显然,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =⇔=⇔=0),(0),(~。
再者，),(~),(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=；最后，由tt t +−=+1111的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 ),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++++=+++≤+= ),(~),(~),(1),(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤。
三、设1p ≥，1()()(,,,)i n n pn x l ξξ=∈ ， ,2,1=n ，1(,,,)pi x l ξξ=∈ ，则n →∞时，1()1(,)0ppn n i i i d x x ξξ∞=⎛⎞=−→⎜⎟⎝⎠∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2,i = ；)2(0ε∀>，存在0N >，使得()1pn p ii N ξε∞=+<∑对任何自然数n 成立。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
泛函分析习题测验解答
,
再由平行四边形法则
;
.
因此
.
进而,令 可以得到
,
这里利用了 .因为 是任意的,故可将 换为
,即可得到
.
对照上述二式,即有
= .(**)
至于 时的情形,注意到从形式上看
,
利用上述已经证明了的等式(**)不难得到
= .
(iii)首先考虑 时的情形,对于 和任意实数 ,由已经证明的(**)式有
及 .
则 是 中的列紧集的充分必要条件是
(i) 在 中有界;
(ii) 是 中的有界集;
(iii) 是 中等度连续的集合.
[充分性]设 满足条件(i), (ii)和(iii).
根据 中范数的定义:对于 ,
,
容易看出,
且
因此只需证明 和 分别是 中的列紧集即可, 根据Arzela-Ascoli定理, 这也只需证明 和 分别在 中有界且等度连续即可. 事实上, 在 中有界性和等度连续已由所给条件得到保证(即(i)和(iii)).还需证明 在 中的有界性和等度连续性. 记 在 中的一个界为 , 作为 中的有界集, 一个界纪为 .对于任意的 , 利用中值定理, 有
，
则（1） 是 的连续函数.
（2） 若 是 中的点列, 使 , 是否为Cauchy列? 为什么?
证：(1)任意取定 ,对于任意的 根据三角不等式,有
, .
对两端关于 取下确界,可以得到
, .
即
,
.
由此可得
.
由此容易证明 是 上的连续函数,实际上, 还满足Lipschitz常数等于1的Lipschitz条件.
.
又已经知道与
仅相差一个常数因子的三角函数系
泛函分析习题
第七章 度量空间和赋范线性空间复习题：1。
设(,)X d 为一度量空间，令0000(,){|,(,)},(,){|,(,)},U x x x X d x x S x x x X d x x εεεε=∈<=∈≤问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε?2.设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数的全体，定义()()()()01|()()|(,)max.21|()()|r r r r r a t b r f t g t d f g f t g t ∞≤≤=-=+-∑ 证明[,]C a b ∞按(,)d f g 成度量空间.3。
设B 是度量空间X 中闭集,证明必有一列开集12,,,,n O O O 包含B ,而且1.n n O B ∞==4.设(,)d x y 为空间X 上的距离，证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+也是X 上的距离.5。
证明点列{}n f 按题2中距离收敛于[,]f C a b ∞∈的充要条件为n f 的各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f的各阶导数.6.设[,]B a b ⊂,证明度量空间[,]C a b 中的集 {|t , (t)=0}fB f ∈当时为[,]C a b 中的闭集，而集 {||()|}(0)A ft B f t a a =∈<>当时,为开集的充要条件是B 为闭集。
7。
设E 及F 是度量空间中两个集，如果(,)0d E F >，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。
8.设[,]B a b 表示[,]a b 上实有界函数全体，对[,]B a b 中任意两元素,[,]f g B a b ∈，规定距离为(,)sup |()()|.a t bd f g f t g t ≤≤=-证明[,]B a b 不是可分区间.9.设X 是可分距离空间，f 为X 的一个开覆盖，即f 是一族开集，使得对每个x X∈，有f 中开集O ，使x O ∈，证明必可从f 中选出可数个集组成X 的一个覆盖. 10。
泛函分析作业(一)
泛函分析作业（一）BY0807112 吴耀第一题(0,1)和[0，1]是如何对应的。
解答：(构造一) 设(0,1)区间的全体有理数集合为Q ，全体无理数集合为R ，则有：(0,1),Q R Q R ==Φ [0,1]{0}{1}Q R =Q 为可列集，可以表示为11{,,...,...}n Q m m m =，可作映射:[0,1](0,1)f −−→如下：11201(),1,2,...n n m x m x f x m x m n xx R +=⎧⎪=⎪=⎨==⎪⎪∈⎩ 可见，以上映射为一一映射，故(0,1)和[0，1]对等。
(构造二) 记集合1110,1,,,...,,...,[0,1]23M N M n ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭,做如下映射:[0,1](0,1)f → 1/2,0()1/(2),1/,1,2,...,x f x n x n n x x N =⎧⎪=+==⎨⎪∈⎩可见，以上映射为一一映射，故(0,1)和[0，1]对等。
第二题证明Cantor 集K 是完备的。
证明：在 Cantor 中任取一点0x ,根据定义，0,,N n N δ∀>∃∈> 时01(,)3n nd x x δ≤< 即对任何0δ>，0(,)B x δ包含点(0)n x n ≠，即0x 为K 的极限点（聚点），因此K 是完备的。
第三题举两个非连续可测函数的例子，至少有一个不是几乎处处为0的函数 解答：1、考虑Dirichlet 函数1,()[0,1]0,x D x x x ⎧=∈⎨⎩为有理数为无理数设1212,E E E E E = 为[0,1]上的有理数，为[0,1]上的无理数，显然12E E φ= ， 由于1E 是可列点集，所以1()0m E =，即有()0,..D x a e E =于。
显然这个函数可测，且非连续。
2、考虑定义在E=[0,1]上的函数，以及[0,1]子集{|}2S x r ==为[0,4]上的有理数,因为S 与[0,4]上的有理数对等，由有理数集可列可知S 是可列集，可定义函数如下：0,()[0,1]1,x S f x x x S∈⎧=∈⎨∉⎩显然()0m S =，即有()1,..f x a e E =于。
泛函分析课后习题答案
___ ___ ___
1 n
d ( x, y ) 1 d ( x, y )
t 在 [o, ) 上是单增函数， 1 t
___ d ( x, y ) d ( x, z ) d ( y , z ) d ( x, y ) 1 d ( x, y ) 1 d ( x, z ) d ( y , z )
1 n
x1 B ，使 d ( x0 , x1 )
1 1 。设 d ( x0 , x1 ) 0, 则易验证 U ( x0 , ) on ，这就 n n
证明了 on 是 开集 显然 n on B 。若 x on 则对每一个 n，有 xn B 使 d ( x , x1 ) ，因 1 n 1 此 xn x(n ) 。因 B 是闭集，必有 x B ，所以 on B 。证毕 n 1 4 设 d（x，y）为空间 X 上的距离，证明 d ( x, y ) 是 X 上的距离 证明 （1）若 d ( x, y ) 0 则 d ( x, y ) 0 ，必有 x=y （2）因 d ( x, y ) d ( x, z ) d ( y, z ) 而 于是 d ( x, y ) =
___
因此 f o (t ) A 由于 A 是开集，必有 0 ，当 f C[a，b]且 d ( f , f 0 ) 时， f A 定义，n=1，2。 。 。 。 。则 d ( f n , f 0 ) | t n t0 | 0(n ) 因此当 | t n t0 | 时， f n A 。 但是 f n (t n ) a | t t0 | | t n t0 | a ，此与 f n A 的必要条件：对 任意
t B ，有 f n (t ) a 矛盾
泛函分析答案
泛函分析答案：1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。
子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。
3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。
4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。
5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x)（3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }Td 2(x,y)=(21||niii x y=-∑)1/2d 1(x,y)=1||ni i i x y =-∑d p (x,y) = (1||np iii x y=-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i nx y ≤≤-6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)→0(n →∞)，这时记作0lim nn xx -->∞=，或简单地记作x n →x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。
泛函分析部分课后习题答案
T : R n E ，对于 1 , 2 n R n ， 。
下证 T 为同构映射。 显 然 T 为 单 射 ， 容 易 证 T 也 为 满 射 。 事 实 上 ， 对 于 x E ， 令
n
ci x, ei R, i 1, 2, n ，必有 T c1 , c2 cn ci ei x 。
f x 为
n
Cauchy 列 ， 则 f n x , f n1 x 0 n ， 由
f ni x f ni1 x f n , f n 1 0 n 知 f ni x 也为 Cauchy 列。由 Cauchy
由于时间和能力有限，只完成了部分习题，仅供参考，有错误的请指出，大家共同进步！——陈建军
习题 1 1、解： C a,b 按 是非完备的。
n1
令函数列 Pn x
i 0
b
xi ，显然 Pn C a,b ，且有 2i
b
Pn , Pn1 Pn1 Pn dx
T x1 , x2 , xn 0, x1 , x2 , xn 1 , S x1 , x2 , xn 0, x2 , xn 。易证 T，S 为线性算
子。取点 1,0, 0 R n ，显然有 TS 1, 0, 0 T 0,0, 0 0, 0, 0 ，
n k 1
fi x f ek ，显然 f X 且 fi i 1 为 X 的基。令 T : X X ，使得
f f e1 , f e2 , f en ，易证 T 为双射。命题得证。
泛函分析答案(完整版)
1.}{ .1的极限是唯一的中的收敛列证明距离空间n x X *.** 0*)**,( )( 0*)*,(*),(*)**,(0)( *** x x x x n x x x x x x n x x x x n n n n ==∞→→+≤≤∞→→→，即所以，则，设ρρρρ第七章距离空间、赋范线性空间2.* }{* }{ .2x x X x x X n n 的任一子列收敛于收敛于中的序列试证距离空间⇔∈.* 0*),( 0*),(}{}{)( *x x x x x x x x n x x kkk n n n n n n →→→∞→→，所以，故的任一子列，依条件，是，设ρρ.*}{.*}{*),( }{}{*),(0*}{*}{000x x x x x x x x x x N n N x x x x n n n n n n n n k k k收敛于此与假设矛盾，故不收敛于显然使的一个子列，于是可选取，使，都存在，使对任意的自然数则必存在，不收敛于，如果的任一子列收敛于反之，设ερερε≥≥>>3),(),(|),(),(| )ii (),(|),(),(| )i ( .3w z y x w y z x y x z y z x X w z y x ρρρρρρρ+≤−≤−：中的任意四个点，证明是距离空间、、、设),(|),(),(|)2()1()2( ),(),(),( ),(),(),()1( ),(),(),( ),(),(),( )i (y x z y z x y x z x z y z x x y z y y x z y z x z y y x z x ρρρρρρρρρρρρρρρ≤−≤−+≤≤−+≤即得：、结合得再由得由),(),(|),(),(|)4()3()4( ),(),(),(),( ),(),(),(),()3( ),(),(),(),( ),(),(),(),(),(),( )ii (w z y x w y z x w z y x z x w y w z z x x y w y w z y x w y z x z w w y y x z y y x z x ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ+≤−+≤−++≤+≤−++≤+≤即得：、结合得再由得由4距离吗？是定义在实数集合上的2)(),( .4y x y x −=ρ.,24120),(),(),(),(.)(),(2上式就不成立时，，，比如取满足、、不能对所有的因为的距离不是定义在实数集合上>===+≤⋅⋅−=z y x y z z x y x z y x y x y x ρρρρρ.),( }{}{ .5收敛中的基本列，证明是距离空间、设n n n n n y x X y x ρα=.Cauchy }{),(),( |),(),(|||),( 0),( ),( 0),(数列，故收敛是即知再由依条件：n m n m n m m n n m n m n m n y y x x y x y x m n y y m n x x αρρρρααρρ+≤−=−∞→→∞→→5的闭包是闭集。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的公理之一？A. 封闭性B. 加法结合律C. 交换律D. 分配律答案：A2. 一个线性泛函在定义域内是连续的，那么它在定义域内也是：A. 有界的B. 无界的C. 可微的D. 可导的答案：A3. 紧算子一定是：A. 有界算子B. 单射算子C. 满射算子D. 可逆算子答案：A4. 希尔伯特空间中，下列哪个性质不是正交性的定义？A. 正交向量的长度不为零B. 正交向量的内积为零C. 正交向量的数量可以是无限的D. 正交向量在同一个空间中答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是巴拿赫空间，并给出一个例子。
答案：巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，即在该空间中，任何柯西序列都收敛于该空间中的一个点。
一个典型的例子是所有连续函数构成的空间，赋予最大范数。
2. 什么是紧算子？请解释其性质。
答案：紧算子是定义在巴拿赫空间上的有界线性算子，其值域是原空间的一个闭子空间，并且是可分的。
紧算子的一个重要性质是它们将单位球面映射到一个相对紧集。
三、计算题（每题20分，共40分）1. 设线性算子A在希尔伯特空间H上定义，且满足A^*A = I，证明A是单射的。
答案：设x, y属于H，且Ax = Ay，那么A^*(Ax) = A^*(Ay)，即x = y。
因此，A是单射的。
2. 给定线性泛函f在希尔伯特空间H上定义，且满足f(x) = <x, y>，其中y是H中的一个固定向量。
证明f是连续的。
答案：由于f(x) = <x, y>，根据内积的性质，|f(x)| ≤ ||x||||y||，其中||y||是y的范数。
因此，f在H上是连续的。
四、论述题（每题20分，共20分）1. 论述希尔伯特空间中正交投影算子的性质。
答案：希尔伯特空间中的正交投影算子P具有以下性质：- P是线性的。
- P是自伴的，即P^* = P。
泛函分析试题及解答
∞
一 (X, ρ)是完备的距离空间，Ωn ⊂ X 列紧，n = 1, 2,…，问 Ωn 是
n=1
否列紧？若不列紧，如何增加条件使之列紧？
设 xn = Cn · e + yn，要证 x = C · e + y，y ∈ X0。
d(xn, xm) = xn − xm = (Cn − Cm)e + (yn − ym)
=| Cn − Cm | ·
e
+
yn Cn
− −
ym Cm
d | Cn − Cm |
其中 d = d( e, X0) > 0。 所以 | Cn − Cm |−→ 0。Cn −→ C，yn −→ y ∈ X0（ X0 闭）。
要证明 E 中有界集是列紧集，由 Arzela-Ascoli 定理，只需要证明一
致有界和等度连续即可。只证等度连续：对于 ∀f (x) ∈ E, x, y ∈ [0, 1]，都
有
| f (x) − f (y) |=|
y x
f
(t)dt
|
y x
|
f
(t)
|
dt。那么只需证
f
(t)
有界即
可。
考虑等价范数 f C1[0,1]= f C[0,1] + f C[0,1]，由 (E , · C1 ) 和 (E , · C[0,1]) 的完备性，知 f (t) 有界。
f1 与 f2 结合为 f ，由 三 知 f 连续。
五 设 X 是 B 空 间 ，A, B ∈ L(X)， 若 AB = BA， 则 对 ∀λ，Eλ = ker(λI − B) 一定是 A 的不变子空间。
泛函分析试题二
泛函分析试题二
一、 叙述题(20分)
叙述内积空间的定义并验证: 在实n 维欧氏空间n R 中，对),,,(21n x x x x =∀, n
n R y y y y ∈=),,,(21 , 定义i n
i i y x y x ∑==1),(, 则n R 在),(⋅⋅下是内积空间. 二、 证明题(每小题15分，共60分)
1． 设X 是距离空间, ρ是其上的距离. 令)
,(1),(~y x y x ρρρ
+=，证明ρ~也是X 上的距离.
2． 证明: 准紧集为紧集的充要条件是它为闭的. 3．设X ,1X 是赋范线性空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 在某一点X
x ∈0连续的充要条件是T 在X 上连续的.
4．设H 是内积空间，H y x ∈,，则y x ⊥的充要条件是任何数α，有||||||||x y x ≥+α.
三、 问答题(20分)
设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子, 如果T 的零空间}|{)(θ==Tx x T N 是闭集, 问T 是否有界? 当T 是有界算子时, )(T N 是闭集吗?。
（完整word版）泛函分析习题标准答案
（完整word版）泛函分析习题标准答案第⼆章度量空间作业题答案提⽰ 1、试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-能定义度量吗？答：不能，因为三⾓不等式不成⽴。
如取则有(),4x y ρ=,⽽(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、试证明：（1）()12,x y x y ρ=-;(2)(),1x y x y x yρ-=+-在R 上都定义了度量。
证：（1）仅证明三⾓不等式。
注意到21122x y x z z y x z z y ??-≤-+-≤-+- ?故有111222x yx z z y-≤-+-（2）仅证明三⾓不等式易证函数()1xx x=+在R +上是单调增加的，所以有()()a b a b ??+≤+,从⽽有1111a b a b a b++≤≤+++++++令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y zy x z x y z---≤++-+-+-4.试证明在[]b a C ,1上，)12.3.2()()(),(?-=ba dt t y t x y x ρ定义了度量。
证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成⽴。
[]),(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dtt y t z dt t z t x dtt y t z dt t z t x dtt y t x y x bab ab aba ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明∑∑==≤??ni in i i x n x 1221证：∑∑∑∑=====?≤??ni in i n i i n i i x n x x 1212122118.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积21R R R ?=上定义了度量{}212/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三⾓不等式。
泛函分析高级习题
泛函分析高级习题1. 给定一个Hilbert空间H，证明：几何中心C(H)是一个凸集。
解答：要证明几何中心C(H)是一个凸集，需要证明对于任意的x,y∈C(H)和任意的t∈[0,1]，都有tx+(1-t)y∈C(H)。
对于任意的x,y∈C(H)，根据几何中心的定义，我们有∥x-t_m x\|^2 = \inf _{z∈H} ∥ z - tx\|^2，其中t_m表示x的几何中心。
同样地，我们有∥y-t_m y\|^2 = \inf _{z∈H} ∥ z - ty\|^2。
现在，我们来证明tx+(1-t)y也是一个几何中心。
对于tx+(1-t)y，我们有：∥tx+(1-t)y-t_m (tx+(1-t)y)\|^2 = \inf _{z∈H} ∥ z - (tx+(1-t)y)\|^2根据三角不等式，我们可以得到：∥tx+(1-t)y-t_m (tx+(1-t)y)\|^2 ≤ ∥tx-t_m tx\|^2 + ∥(1-t)y - t_m (1-t)y\|^2根据几何中心的定义，有：∥tx+(1-t)y-t_m (tx+(1-t)y)\|^2 ≤ ∥tx-t_m tx\|^2 + ∥(1-t)y - t_m (1-t)y\|^2 = 0由此可见，tx+(1-t)y的几何中心是它自身。
因此，tx+(1-t)y∈C(H)。
由此可见，几何中心C(H)是一个凸集。
2. 给定一个可分的Hilbert空间H，证明：存在一个可数的规范正交集。
解答：假设H中的可数稠密集为{u_n}，即对于任意的x∈H和ε>0，存在某个n使得∥x-u_n∥<ε。
我们定义一个新的集合{v_n}，其中v_n = u_n/∥u_n∥。
显然，{v_n}是一个可数集合。
现在我们来证明{v_n}是一个规范正交集。
首先，我们证明{v_n}是一个正交集。
对于不同的m和n，我们有：(v_m，v_n) = (u_m/∥u_m∥, u_n/∥u_n∥) = (u_m,u_n)/(∥u_m∥∥u_n∥)当m≠n时，u_m和u_n分别对应于H中的不同向量，因此它们的内积为0：(u_m, u_n) = 0因此，(v_m，v_n) = 0，即{v_n}是一个正交集。
泛函分析试题
1． 对于积分方程()()()1t s x t e x t ds y t λ--=⎰为一给定的函数，λ为常数，1λ<，求证存在唯一解()[]0,1x t ∈。
2．设s 为一切实（或复）数列组成的集合，在s 中定义距离为()11,21+k kkk k kx y ξηρξη=-=-∑，其中，()()11,,,=,,n n x y ξξηη=⋅⋅⋅⋅⋅⋅。
求证s 为一完备的距离空间。
3．在完备的度量空间(),x ρ中给定点列{}n x ，如果任意的0ε>，存在基本列{}n y ，使(),0n n x y ρ<。
求证{}n x 收敛。
4． 证明内积空间()(),,x 是严格凸的*B 空间5．为了()F C M ⊂使一个列紧集，必须且仅需F 是一致有界的且等度连续的函数族。
6． 设(),A x y ϕ∈，求证（1）.1sup x A AX≤=，（2）1sup x A AX<=。
7．设X 是一个Hilbert 空间，(),a x y 是X 上的共轭双线性函数，并存在0M>，使得(),a x y M x y≤，则存在唯一的()A x ϕ∈，使得()(),,a x y x Ay =且()(),0,0,supx y X Xx y a x y A x y∈⨯≠≠=。
8． 求证()2f L ∀∈Ω，方程()0u f u ∂Ω⎧-∆=Ω⎪⎨=⎪⎩在内若解存在唯一。
9．设X 是复线性空间，P 是X 上的半模，()00,0x X x ρ∀∈≠。
求证存在X 上的线性泛函f 满足()()01.1f x =，()()()()02.x f x x ρρ≤。
10． 叙述开映象定理并给出证明。
11． 叙述共鸣定理并给出证明。
泛函分析考试试卷.doc
泛函分析考试试卷选择题。
1、下列说法不正确的是（）A、n维欧式空间疋是可分空间B、全体有理数集为疋的可数稠密了集C、严是不可分空间D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的答案：D2、设T是度量空间（X,d）到度量空间（Y, d~）的映射，那么T在xocx连续的充要条件是（）A、：1 2 3 4 51 x n—x° (n-co)时,B、当Xn—Xo (mcc)时,C、当x0—>x n (n—)时,D、当x n—Xg(n—0)时，答案:D必有TxnfTxo (n—xx) 必有Tx()—>Tx n(n—>oo)必有Txn—>Tx°(n—>oo)必有Txn- T XQ(n—0)答案：原像是X中的开集2设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y屮的线性算了，则T为有界算子的充要条件是T是X上的____ 匚答案：连续算子。
3若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是対一切xCX有 _________________________________________________________________________ 匚答案：（Tx, x）=04有界线性算子T的共馳算子尸也是有界线性算子，并且_『11。
答案：=5设仏｝是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果仏｝在X的每点X处有界，那么｛仏｝ _______________________________________________________________________ o_答案：一致有界B 、(A*)*=A** D 、(aA)*=aA* 3、在度量空间屮有（）A 、 柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B 、 柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案:C4、 关于巴拿赫空间叙述不正确的是（）A 、 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B 、 L p [a, b] （p>l ）是巴拿赫空间C 、 空间卩是巴拿赫空间D 、 赋范线性空间的共轨空间不是巴拿赫空间 答案：D5、 下列对共純算子性质描述错误的是（）A 、(A+B)*=A*+B*; C^ 当 X=Y 时,(AB)*=B*A* 答案：B 二、填空题1、度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中的任意开集M 为三、判断题1、 自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。
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一、任取内积空间X 中一点y ，对于任意x X ∈，令(),f x x y =<>，试证：()f x 为X 上有界线性泛函，并计算其范数f 。
二、设{}n x 是内积空间X 中点列，若x x n →)(∞→n ，并且对于一切X y ∈，有><y x n ,>→<y x ,)(∞→n ，试证：x x n →)(∞→n 。
三、设X 是n 维线性空间，{}n e e e ,,,21Λ是X 的一组基，试证：><y x ,成为X 上内积的充要条件是存在n 阶正定方阵()
ij a A =，使得 ∑∑∑===⋅⋅>=
⋅⋅<n j i j i ij n
j j j n i i i y x a e y e x 1,11,。
四、设X 为内积空间，12,,,n x x x X ∈L ，满足n j i x x ij j i ≤≤>=<,1,,δ，试证：n x x x ,,,21Λ线性无关。
五、设X 是Hilbert 空间，M X ⊂，M ≠∅，试证：()M ⊥⊥是X 中包含M 的最小闭子空间。
六、试证：数域K 上内积空间X 中向量y x ,垂直的充要条件是对一切数K ∈α，成立x y x ≥⋅+α。
七、设12,,,n e e e L 为内积空间X 中的规范正交系，试证：X 到12{,,,}n span e e e L 的投影算子P 为
1,n
i i i Px x e e ==<>∑，x X ∈。
八、设X 是可分的Hilbert 空间，试证：X 中任何规范正交系至多为可数集。
九、设T 是Hilbert 空间X 上的有界线性算子，1≤T ，试证：{}{}x x T x x Tx x ===•。
十、设21,T T 均为Hilbert 空间H 中的有界线性算子，若H y x ∈∀,，有>=<y x T ,1 ><y x T ,2，试证：21T T =。