复习与例题(06) 166页

第四章 弯曲内力
§4–1 弯曲的概念和实例 §4–2 受弯杆件的简化 §4–3 剪力和弯矩 §4–4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图 §4–5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4–6 平面曲杆的内力图
弯曲内力 剪力FS 弯矩M
求内力——截面法
m
A
m
RAy
x
P
B RB
FS
A RAy
CM
P
FS
(4)
L1
L2 (4)补充方程:(4)代入(3)得:
L3
A1
FN1L1 FN3L3cos (5)
E1A1 E3A3
(5)由平衡方程(1)、(2)和补充方程(5)组成的方程组，得:
F N 1 F N 2 2 E 1 E A 1 1 A c 1 F 3 c o 2 o E s 3 A 3 s;F N 3 2 E 1 A 1 c E 3 A 3 o 3 F E s 3 A 3
(2)其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相
应的内力代替。
P4
P1
P3
P2
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
内力是分布力系，可以求出该
FR MO
P4
分布力系向形心简化的主矢和
主矩。
P1
应力的概念
当轴上作用有多个力偶时，进行分段计算，代数相加：
即：
Ti li G Ipi
刚度条件 单位长度扭转角 ： T
l GIp
(rad/m)
或：
T 180 (/m) GIp
刚度条件：
m axGTpI180 (/m)
[ ]称为许可单位长度扭转角，取0.15~0.30º/m。
内力、截面法
一、内力 内力——质点与质点之间的相互作用力 内力=固有内力+附加内力
外力 —— 附加内力 （强度、刚度、稳定性）
内力指由外力作用所引起的附加内力（分布力系）。
二、 截面法 (1)在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件分为两部分。
任取一部分作为研究对象，并弃去另部分。
P3
P4
P2
P1
(4)补充方程
EN cA1los(T lN E3lA )cos
第三章 扭 转
§3–1 扭转的概念和实例 §3–2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3–3 纯剪切 §3–4 圆轴扭转时的应力 §3–5 圆轴扭转时的变形 §3–7 非圆截面杆扭转的概念
扭转时的内力——扭矩 m
m
T x
m 构件受扭时，横截面上的内力为力偶，称为扭矩，记作“T”。
轴力及轴力图 m
F
F
FN FN——轴力
F
m m
FN
m m
F
m
取左段：Fx 0, FNF0, FN F
取右段：Fx 0, FNF0, FN F
6kN
10kN
8kN
4kN
N
(kN)
6
+
–
4
4
+
x
要求：上下对齐，标出大小，标出正负
横截面及斜截面上的应力
拉（压）杆横截面上的应力 m
FSRAqa
MDRA2a12qa2
RA a P
b
A
C
l
FS
b P
l
+
Pab
M
l
－ a P l
+
RB
B
内力图特征：
在集中力作用的地方，
剪力图有突变，P力向下 FS 图向下变，变化值=P x 值;弯矩图有折角。
x
RA a m
b
A
x1 C x2
l
FS +
M
a
m
l
+
－
b m
l

RB
B
内力图特征：
F N 1 co F N s 2 co F N s 3 F 0(2)
FN3
A
F FN1
FN2
A
F
B
D
C (2)几何方程——变形协调方程：
3
1 2
L1L3cos
(3)
(3)物理方程——弹性定律：
A
L1

FN1L1 E1 A1
L3

FN3L3 E3 A3
x
dFSxqx
dx
dMdx(x)FS(x)
dM2(x) dx2

q(x)
1、若q=0，则FS=常数，M是斜直线；
2、若q=常数，则FS是斜直线， M为二次抛物线；
3、M的极值发生在FS=0的截面上。
将微分关系转为积分关系：
MbMaabFS(x)dx
FSbFSaabq(x)dx
p C
p称为C点的应力。p是一个矢量。
（3）全应力的分解： 正应力（Normal Stress）和剪应力(Shearing Stress)
正应力垂直于截面；
p
剪应力位于截面内。


C
（4）应力的单位： 1Pa=1N/m2 1MPa=1×106N/m2 1GPa=1×109N/m2
10kg/cm2=1MPa
MbMaa区 b 间 FS的 上面积 FSbFSaa区 b 间 q的 上面积
P=3kN RA m=3.6kN·m
q=10kN/m
C
A
D
0.6m 0.6m
1.2m
RB B [例10]
RA 10kN RB 5kN
FS(kN)
7
3
–
M(kN·m)
–
1.8
7
+ –
x0=0.7m
2.4
+
–
1.2
FN2

（2）几何方程
L3
A1

L1
L2
A
( L 3)co s L 1
（3）物理方程
L1

FN1L1 E1 A1
,
L3

FN 3 L3 E3 A3
得补充方程:
FN1L1(FN3L3)cos
E1A1
E3A3
解得: FN1FN2(1E2Accoo3s2s)L
A
l1
1
B l1
l2 P
l2
vB
2
C B'
uB
拉(压)杆的超静定问题
一、超静定问题及其解法 1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。
2、静不定次数 静不定次数=未知力个数-静力学平衡方程数
3、超静定的解法：由平衡方程、变形协调方程和物理 方程相结合，进行求解。
F
m
F
σ
FN
A
F FN
（2-1）
低碳钢在拉伸时的力学性能

3
4
12
1、弹性阶段 2、屈服阶段 3、强化阶段 4、局部变形阶段
σ--ε曲线


b
由拉伸胡克定律
se
P
E
σ—ε 曲线

拉（压）杆的强度条件

m ax
FNm ax A
≤
拉（压）杆的强度条件
[]——许用应力；
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十三章 第十四章
绪论 拉伸、压缩与剪切 扭转 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形 应力状态分析 强度理论 组合变形 压杆稳定 动应力 交变应力 能量方法 超静定结构
第一章 绪 论
§1-1 材料力学的任务 §1-2 材料力学的基本假设 §1-3 材料力学的研究对象 §1-4 杆件变形的基本形式 §1-5 内力、截面法 §1-6 应力的概念
[例9] 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量 为：E1=E2=E、E3。求各杆的内力。
解:(1)平衡方程:
B
D
C Fx0, F N 1s in FN 2s in 0 (1)
3
1 2
Fy 0,
C
x yy
x
静矩（面积矩）
Sx Ay
S y Ax
（1）简单图形的形心和静矩：
Sy Ax Sx Ay
（2）组合图形的静矩和形心：
S x Ai yi
剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
扭转剪应力一般公式：



T
Ip
（实心截面）
（空心截面）
最大剪应力：
max

T Wt
Wt I p
d 2


max
Wt 称为抗扭截面系数，几何量，单位：mm3 或 m3。
极惯性矩和抗扭截面系数的计算： （1）实心圆截面：
材料力学的任务 研究构件在外力作用下变形和破坏的规 律；在保证构件满足强度、刚度、稳定性的 要求下，以最经济的代价，为构件确定合理 的形状和尺寸，选择适宜的材料；为设计构 件提供必要的理论基础和计算方法。
构件的承载能力： 强度——抵抗破坏的能力 刚度——抵抗变形的能力 稳定性——保持原有平衡状态的能力
FN3
2EAcos3 (12cos3)L
1
2

FN1 A
,

3

FN 3 A
1
2
E cos2 (12cos3)L
,
3