2012考研必备 概率统计 假期复习金典
考研概率统计重点内容及常见题型
考研概率统计重点内容及常见题型考研概率统计是理工类研究生考试中的一门重要科目，概率统计是数学的一个分支，它主要研究随机现象的规律性和规律性中所含有的随机性问题。
在考研中，概率统计主要涉及概率论和数理统计两个方面的内容，下面将详细介绍一下考研概率统计的重点内容以及一些常见题型。
一、概率论1. 随机事件及其概率概率论的核心内容之一就是随机事件及其概率的研究。
在考研中，随机事件及其概率是一个非常基础也是非常重要的内容。
常见的题型包括计算概率，判断事件的独立性和互斥性等。
2. 随机变量及其分布随机变量是指在随机试验中，对每个可能结果都赋予一个实数值的变量。
考研中会涉及到常见的随机变量及其分布，比如离散型随机变量和连续型随机变量，以及它们的分布律和密度函数等。
常见的题型包括计算期望、方差，判断随机变量的类型等。
3. 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要定理，它们在统计学中有着重要的应用。
在考研中，通常会涉及这两个定理的表述和应用，考察学生对定理的理解和运用能力。
二、数理统计1. 参数估计参数估计是统计学中的一个重要内容，它主要研究如何根据观测数据估计总体分布中的未知参数。
在考研中，通常会涉及到点估计和区间估计，以及它们的性质和方法等。
2. 假设检验假设检验是统计学中的另一个重要内容，它主要研究如何根据观测数据对总体分布的某些假设进行推断。
在考研中，通常会涉及到假设检验的基本原理、步骤和若干常见分布的假设检验等。
3. 方差分析方差分析是统计学中的一种常用方法，它主要用于比较两个或多个总体的均值是否相等。
在考研中，通常会涉及到单因素方差分析和双因素方差分析的基本原理、步骤和应用等。
以上就是考研概率统计的一些重点内容及常见题型，通过对这些内容的学习和掌握，可以帮助考生在考试中取得更好的成绩。
建议考生在备考过程中多做一些相关的习题和模拟题，这样可以更好地巩固所学的知识，提高解题能力。
希望考生们都可以在考研概率统计这一科目中取得好成绩，顺利通过考试。
概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数). 2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x ex f -∞<x<∞, σ>0. 特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(zα)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y ,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y ,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j= p i ··p ·j( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X(x)f Y(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2 6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E {[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p (x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.文 - 汉语汉字 编辑词条文，wen ，从玄从爻。
考研概率统计必须掌握核心知识点
考研概率统计必须掌握核心知识点●离散分布●二项分布●E(X)=np●D(X)=np(1-p)●泊松分布●E(X)=\lambda●D(X)=\lambda●几何分布●E(X)=\frac{1}{p}●D(X)=\frac{1-p}{p^2}●超几何分布●E(X)=\frac{nM}{N}●连续分布●均匀分布●E(X)=\cfrac{b+a}{2}●D(X)=\cfrac{(b-a)^2}{12}●指数分布●E(X)=\cfrac{1}{\lambda}●D(X)=\cfrac{1}{\lambda ^2}●正态分布●E(X)=\mu●D(X)=\sigma ^2●二维●联合分布函数●边缘分布函数●条件分布函数●随机变量函数分布●公式法（绝对单调）●分布函数法●数字特征●期望的性质●E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx 绝对收敛●E(c)=c●E(cX)=cE(X)●E(X+Y)=E(X)+E(Y)●若XY独立，E(XY)=E(X)E(Y)●方差的性质●D(X)=E(X^2)-E^2(X)●D(c)=0●D(cX)=c^2D(X)●D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)●若XY独立，D(XY)=D(X)D(Y)+D(X)E^2(Y)+D(Y)E^2(X) \geqslantD(X)D(Y)●若 D(X) 存在，D(X)=E[(X-E^2(X))^2] \leqslant E((X-c)^2)●协方差●Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)●Cov(X,X)=D(X)●Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)●Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)●XY独立时，协方差=0●Cov(X,c)=0●相关系数●\rho _{x,y} =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}●\rho _{x,y}=0 \iff Cov(X,Y)=0 ，XY不相关●规范性：| \rho _{x,y} | =1的充要条件为存在线性关系●Y=aX+b 且 a>0 ， \rho _{x,y} =1●Y=aX+b 且 a<0 ， \rho _{x,y} =-1●独立与不相关●XY独立，则一定不相关：反之，不成立●XY的联合分布是二维正态分布，XY独立的充要条件是XY不相关●XY都服从0-1分布，XY独立的充要条件是XY不相关●XY不相关 \iff Cov(X,Y)=0 \iff E(XY)=E(X)E(Y) \iff D(X\pmY)=D(X)+D(Y)●大数定律●切比雪夫不等式●P\{ | X - \mu |\geqslant \epsilon \} \leqslant\ \frac{\sigma ^2}{\epsilon^2}●P\{ | X - \mu | < \epsilon \} \leqslant\ 1-\frac{\sigma ^2}{\epsilon ^2}●伯努利大数定律n_A是n重伯努力实验中A事件的发生次数，P(A)=p●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \frac{n_A}{n}-p| < \epsilon \} =1●切比雪夫大数定律独立，存在期望和方差，且方差有界●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}X_k-\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}E(X_k)| < \epsilon \} =1●辛勤大数定律独立且同分布，期望存在E(X_i)=\mu●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}X_k-\mu| < \epsilon \} =1●中心极限定律●列维-林德伯格中心极限定理独立，同分布，期望方差存在●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt{n} \sigma} \leqslant x \} = \phi(x)●棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为其极限分布定理）Y_n \sim B(n,p)●\lim\limits_{n \to \infty} P\{ \frac{Y_n-np}{\sqrt{npq} } \leqslant x \} =\phi(x)●抽样分布●卡方分布●\chi^2 = X_1^2+X_2^2+……+X_n^2服从自由度为n●可加性：●\chi_1^2 \sim \chi^2(n_1)，\chi_2^2 \sim \chi^2(n_2)，相互独立●\chi_1^2 + \chi_2^2 \sim \chi^2(n_1+n_2)●E(\chi^2)=n，D(\chi^2)=2n●t分布●X \sim N(0,1) ，Y\sim\chi^2(n)，独立●t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}服从自由度为n的t分布●X \sim t(n)，f(x) 为偶函数●X \sim t(n) ，n充分大时，X近似服从N(0,1)●X \sim t(n)，E(X)=0，D(X)=\frac{n}{n-2}●F分布●U\sim\chi^2(m),V\sim\chi^2(n)且UV独立●F=\frac{U/m}{V/n} ，F \sim F(m,n)●X \sim F(m,n) ，\frac{1}{X} \sim F(n,m)●X\sim t(n)， X^2 \sim F(1,n)●●参数估计●点估计●矩估计法●E(X)=\overline{X}●最大似然估\sum\limits_{i=1}^{n}●写似然函数L( \theta ) = \prod\limits _{i=1}^{n}f(x_i;\theta)●取对数●求导●最大似然估计量用大写，最大似然估计值用小写●无偏性 E(\hat{\theta})= \theta●有效性 D(\theta_1)<D(\theta_2)●一致性 \lim\limits_{n \to \infty} P\{ | \hat{\theta}-\theta | \leqslant\epsilon \} = 1●区间估计●\mu构造统计量●\sigma^2 未知，Z=\cfrac {\overline{X}-\mu}{\sigma/ \sqrt{n}} \simN(0,1）●\sigma^2已知，Z=\cfrac {\overline{X}-\mu}{S/ \sqrt{n}} \sim t(n-1)@\sigma^@Z=\cfrac {\overline{X}-\mu}{S/ \sqrt{n}} \sim t(n-1)●\sigma^2构造统计量●\mu未知，\cfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)●\mu已知，\cfrac{1}{\sigma^2} \sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\sim \chi^2(n)●置信区间●假设检验●过程●提出假设H_0和备择假设H_1●构建检验统计量●写出拒绝域●双边检验●单边检验●判断●= 必须在H_0中●双正态总体均值之差的检验●\sigma_1^2,\sigma_2^2已知●Z=\cfrac{ \overline{X} -\overline{Y} }{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)●未知，但相等●t=\cfrac{ \overline{X} - \overline{Y} }{S_W\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2)●S_W=\sqrt{\cfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
2012年下期概率统计复习提纲
考试题型：填空题（5*4’=20’）选择题（5*4’=20’）计算题（6*10’=60’）第一章概率论的基本概念知识点：事件的概率计算，古典概型，全概率公式，贝叶斯公式题型：填空题1-2个，选择题1-2个，计算题1个习题册：P3 3,4；P5一、2，4；P48 三、1教材：P28 4、5、13；第二章随机变量知识点：分布函数的性质，常用分布的分布律、概率密度，随机变量的函数的分布题型：填空题1-2个，选择题1-2个，计算题1个习题册：P8 1；P9 2、3；P10一、2；P44 一、3，三；P,47一、4 教材：P5715；P60 44；P61 45；第三章随机向量知识点：二维随机向量的分布律、概率密度及概率的计算，随机变量的独立性题型：计算题1个习题册：P12 3、4；教材：P832；第四章随机向量的数字特征知识点：数学期望、方差的性质和计算，常用分布的数学期望、方差题型：填空题1个，选择题1个，计算题1个习题册：P21一、1，2；P40二、2 ；P48 三、4教材：P111 7，9；P 11431；第五章大数定律与中心极限定理知识点：利用中心极限定理估算概率题型：计算题1个习题册：P20 3；教材：P121 例5.4；P123 例5.7；第六章数理统计的基本概念知识点：统计量，常用统计量的分布，正态总体的样本均值、样本方差的分布题型：填空题1个，选择题1个习题册：P23 一、1；P24 1；教材：P136 6,8；P40二、4第七章参数估计知识点：点估计，估计量的评价标准题型：选择题1个，计算题1个习题册：P42 6；教材：P145 例7.9；P153 11；第八章假设检验知识点：单个正态总体的数学期望的假设检验题型：填空题1个习题册：P29 3；P,47一、5教材：P160 例8.2.。
概率统计公式大全(复习重点)
概率统计公式大全(复习重点)概率统计公式大全（复习重点）在学习概率统计的过程中，熟练掌握相关的公式是非常关键的。
本文将为大家详细介绍一些常用的概率统计公式，并对其进行简要的说明和应用举例，以便复习和巩固知识。
一、基本概率公式1. 事件的概率计算公式P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A中有利的结果数；n(S)表示样本空间S中的全部结果数。
例如：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
解：样本空间S中共有52张牌，红心牌有13张，所以 P(红心牌) = 13 / 52 = 1 / 4。
2. 条件概率计算公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
例如：某班级男女生分别有30人和40人，从中随机选择一名学生，求选到女生并且是优等生的概率。
解：女生优等生有20人，所以 P(女生且是优等生) = 20 / （30+ 40）= 1 / 7。
二、常用离散型随机变量的数学期望与方差1. 随机变量的数学期望计算公式E(X) = ∑[x * P(X=x)]其中，E(X)表示随机变量X的数学期望；x表示随机变量X的取值；P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的数学期望。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
2. 随机变量的方差计算公式Var(X) = E((X - E(X))²)其中，Var(X)表示随机变量X的方差；E(X)表示随机变量X的数学期望。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的方差。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
概率论各章节复习口诀集锦
概率论各章节复习口诀集锦
为了同学们在考研道路中顺利通过，下面由小编给大家带来“概率论各章节复习口诀”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！
概率论各章节复习口诀集锦
今日，小编带来的干货是考研数学概率论各章节复习口诀，熟记这些口诀能避免在做题当中犯细小的错误，并且有助于在复习过程中对知识点的记忆和巩固，希望同学们能牢记
第一章随机事件
互斥对立加减功，条件独立乘除清；
全概逆概百分比，二项分布是核心；
必然事件随便用，选择先试不可能。
第二、三章一维、二维随机变量
1）离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵
2）连续必分段，草图仔细看，积分是关键，密度微分算
3）离散先列表，连续后求导；分布要分段，积分画图算
第五、六章数理统计、参数估计
正态方和卡方出，卡方相除变F，
若想得到t分布，一正n卡再相除。
样本总体相互换，矩法估计很方便；
似然函数分开算，对数求导得零蛋；
区间估计有点难，样本函数选在前；
分位维数惹人嫌，导出置信U方甜。
第七章假设检验
检验均值用U-T，分位对称别大意；
方差检验有卡方，左窄右宽不稀奇；
不论卡方或U-T，维数减一要牢记；
代入比较临界值，拒绝必在否定域！。
考研数学概率论重点公式速记
考研数学概率论重点公式速记概率论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
对于考研数学概率论的学习来说，熟悉并掌握相关的重点公式是非常必要的。
本文将为大家提供一些概率论中的重点公式，帮助大家更好地进行复习和备考。
一、基本概念1. 概率的加法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)2. 概率的乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)，其中P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
3. 全概率公式：若{B1, B2, ..., Bn}为样本空间的一个划分，即满足Bi与Bj互不相容且它们的并集为样本空间，同时假设P(Bi) > 0，那么对于任意一个事件A，有：P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + ... + P(A∩Bn) = P(B1)P(A|B1) +P(B2)P(A|B2) + ... + P(Bn)P(A|Bn)二、常用概率分布1. 二项分布：设试验成功的概率为p，则n次试验中成功次数的概率为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中C(n,k)为组合数，表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
2. 泊松分布：设单位时间（或单位面积）内某事件发生的次数的平均值为λ，则单位时间（或单位面积）内某事件发生k次的概率为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中e为自然对数的底数（约等于2.71828）。
3. 正态分布：对于服从正态分布N(μ,σ^2)的随机变量X，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))三、常用性质1. 期望：对于离散随机变量X，其期望值E(X)为：E(X) = Σ(x * P(X=x))对于连续随机变量X，其期望值E(X)为：E(X) = ∫(x * f(x)) dx，其中f(x)为概率密度函数。
考研统计与概率知识点归纳
考研统计与概率知识点归纳统计学是研究数据收集、处理、分析和解释的科学，而概率论是研究随机现象的数学分支。
在考研中，统计与概率是数学科目的重要组成部分，以下是对这两部分知识点的归纳：统计学的基本概念：- 总体与样本：总体是指研究对象的全体，样本是总体中所抽取的一部分。
- 变量：可以量化的属性或特征。
- 描述统计：包括数据的收集、整理、描述和展示。
- 推断统计：从样本数据推断总体特征。
概率论的基本概念：- 随机事件：在相同条件下，可能出现也可能不出现的结果。
- 概率：随机事件发生的可能性大小。
- 条件概率：在已知某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
统计学的主要方法：- 描述性统计：包括频率分布、直方图、箱线图等。
- 参数估计：点估计和区间估计，用于估计总体参数。
- 假设检验：用于检验关于总体参数的假设是否成立。
概率论的主要理论：- 概率空间：由样本空间、事件域和概率测度组成。
- 随机变量：可以将随机试验的结果量化为数值的变量。
- 概率分布：描述随机变量取值的概率规律。
- 大数定律和中心极限定理：描述随机变量的长期行为。
统计学的应用：- 回归分析：研究变量之间的依赖关系。
- 方差分析：用于分析多个样本均值的差异。
- 时间序列分析：研究时间序列数据的趋势和周期性。
概率论的应用：- 随机过程：研究随时间变化的随机现象。
- 马尔可夫链：具有无记忆性质的随机过程。
- 泊松过程：描述在一定时间或空间内随机事件发生的次数。
结束语：考研统计与概率知识点的归纳不仅涵盖了基础概念，还包含了方法论和应用领域。
掌握这些知识点对于理解和解决实际问题至关重要。
希望以上的归纳能够帮助考生更好地复习和准备考研。
考研数学掌握概率统计的基础知识
考研数学掌握概率统计的基础知识考研数学：概率统计的基础知识掌握在考研数学中，概率统计是一个非常重要的考点。
掌握概率统计的基础知识对于考研数学的学习以及解题至关重要。
本文将从概率与随机变量、统计与抽样以及假设检验等三个方面，介绍考研数学中概率统计的基础知识。
一、概率与随机变量概率是概率论的基本概念，也是数学中的一门重要分支。
它描述的是事物发生的可能性大小。
在考研数学中，我们需要了解概率的定义、性质以及常用的计算方法。
1. 概率的定义及性质概率的定义是指事件发生的可能性大小，它的取值范围在0与1之间。
概率的性质包括互斥事件与对立事件、加法原理、乘法原理等。
对于考研数学来说，我们需要掌握这些基本性质，以便于解答概率相关的题目。
2. 随机变量随机变量是概率论中一个重要的概念，它是一种带有随机性的变量。
在考研数学中，我们需要了解随机变量的定义、分类以及常用的分布类型。
二、统计与抽样统计是概率统计中的另一个核心概念，它是指通过采集和分析数据来进行推断、预测以及决策。
统计的基础知识包括样本与总体、统计量以及抽样方法等。
1. 样本与总体在统计学中，样本是指从总体中选取的一部分个体或者观测值。
而总体则是所有个体或观测值的集合。
了解样本与总体的概念以及它们之间的关系，对于进行统计分析是非常重要的。
2. 统计量统计量是通过样本数据计算出来的数值，用以描述总体特征的度量。
在考研数学中，我们需要了解常见的统计量，如均值、方差、标准差等，并掌握它们的计算方法。
3. 抽样方法抽样方法是指从总体中选择样本的方法。
常见的抽样方法包括随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
了解不同的抽样方法及其特点，对于进行科学合理的抽样具有重要意义。
三、假设检验假设检验是统计学中的重要方法之一，用于检验关于总体参数的假设。
它主要分为参数检验和非参数检验两种。
1. 参数检验参数检验是指根据样本数据对总体参数进行推断的方法。
常见的参数检验方法包括单样本均值检验、两样本均值检验、方差检验等。
概率论与数理统计复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用） 第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
概率统计公式大全复习重点
概率统计公式大全复习重点在学习概率统计这门学科时，掌握各种公式是至关重要的。
这些公式不仅是解决问题的工具，更是理解概率统计概念的关键。
本文将为您梳理概率统计中的重点公式，帮助您更好地复习和掌握这部分知识。
一、随机事件与概率1、古典概型概率公式如果一个随机试验所包含的基本事件总数为 n，事件 A 所包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ m ／ n2、几何概型概率公式设样本空间为几何区域Ω，事件 A 对应的区域为ω，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ω 的测度／Ω 的测度3、条件概率公式设 A、B 是两个事件，且 P(B) ＞ 0，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B)4、乘法公式P(AB) ＝ P(A|B)P(B) 或 P(AB) ＝ P(B|A)P(A)5、全概率公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，则有：P(A) ＝∑ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)（i从 1 到 n）6、贝叶斯公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，在事件 A 已经发生的条件下，事件 Bᵢ发生的概率为：P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) ／∑ P(Bₙ)P(A|Bₙ) （i从 1 到 n，k 从 1 到 n）二、随机变量及其分布1、离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量 X 的可能取值为 x₁, x₂,， xₙ，对应的概率为p₁, p₂,， pₙ，则概率分布为：P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2,， n），且∑pᵢ＝ 12、二项分布如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （k ＝ 0, 1, 2,， n）3、泊松分布如果随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，记为 X ～P(λ)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝（e^（λ) λ^k) ／ k! （k ＝ 0, 1, 2,）4、连续型随机变量的概率密度函数设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则分布函数为：F(x)＝∫∞， x f(t) dt5、正态分布如果随机变量 X 服从参数为μ 和σ² 的正态分布，记为 X ～N(μ, σ²)，则概率密度函数为：f(x) ＝（1 ／（σ√（2π)）） e^（（x μ)² ／（2σ²)）三、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∑ xᵢ pᵢ（i 从 1 到 n）连续型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∫∞，＋∞ x f(x) dx2、方差离散型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∑ （xᵢ E(X)）² pᵢ（i 从 1 到n）连续型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∫∞，＋∞ （x E(X)）² f(x) dx3、标准差随机变量 X 的标准差为：σ(X) ＝√D(X)4、协方差设随机变量 X 和 Y，其协方差为：Cov(X, Y) ＝ E(（X E(X)）（Y E(Y)））5、相关系数随机变量 X 和 Y 的相关系数为：ρ(X, Y) ＝ Cov(X, Y) ／（σ(X)σ(Y)）四、大数定律和中心极限定理1、大数定律当 n 足够大时，样本均值X依概率收敛于总体均值μ，即：P(｜Xμ| ＞ε) → 0 （n → ∞）2、中心极限定理设随机变量 X₁, X₂,， Xₙ 相互独立，且具有相同的分布和有限的数学期望μ 和方差σ²。
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随机事件和概率第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!n m m P n m-=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
)!(!!n m n m C nm -=(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
(4)一些常见排列①特殊排列 相邻 彼此隔开顺序一定和不可分辨②重复排列和非重复排列（有序）③对立事件④顺序问题2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（2）事件的关系与运算①关系：如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：BA ⊂如果同时有，，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B A ⊂A B ⊃B ：A=B 。
A 、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。
属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者，它表示A 发生而B 不发生的事件。
B A A 、B 同时发生：A B ，或者AB 。
A B=Ø，则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。
它表示A 不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：∞=∞==11i ii i AA，B A B A =BA B A =3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P 常称为可列（完全）可加性。
考研概率统计重点内容及常见题型
考研概率统计重点内容及常见题型1. 引言1.1 考研概率统计重点内容及常见题型概率统计是考研数学中的一个重要组成部分，涉及许多重要的知识点和常见题型。
在考研数学中，概率统计部分占据着很大的比重，掌握好这部分内容对于考生来说至关重要。
在概率统计的学习中，考生需要掌握的重点内容包括基本概念、随机变量与概率分布、大数定律与中心极限定理、参数估计与假设检验等。
这些知识点是概率统计的基础，也是考试中经常出现的题型。
在备战考研概率统计科目时，考生需要重点把握概率统计的基本概念和常见题型，灵活运用所掌握的知识解决问题。
在练习题目时要多做一些综合性的题目，举一反三，提高解题能力。
谨记考点，做到举一反三，可以更好地应对考试中的各种题型，取得理想的成绩。
2. 正文2.1 基本概念基本概念是概率统计学习的第一步，它是整个学科体系的基础。
我们需要了解什么是随机试验，随机试验是一个具有多种结果且每次实验结果不确定的实验。
接着，我们需要了解样本空间、样本点和事件的概念。
样本空间是所有可能结果的集合，样本点是实验结果的具体值，而事件是样本空间的子集，表示某种结果的集合。
接下来，我们需要了解概率的概念。
概率是描述事件发生可能性的数字表达，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的性质包括非负性、规范性和可列可加性。
而在概率的运算中，我们需要了解加法概率、条件概率和乘法概率等概念。
我们还需要了解随机变量的概念。
随机变量是样本空间到实数的映射，它描述了可能的结果和结果的数量。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量，分别对应着有限个和无限个可能结果的情况。
掌握了基本概念，我们才能够更好地理解概率统计学的内容，为后续学习奠定坚实的基础。
基本概念不仅在理论学习中有重要作用，在实际问题中也能够帮助我们更好地分析和解决问题。
加强对基本概念的理解和掌握是非常重要的。
2.2 随机变量与概率分布随机变量与概率分布是概率统计中非常重要的基础概念，对于考研考试来说也是必备的知识点。
概率论与统计原理复习资料全
《概率论与统计原理》复习资料一、填空题1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。
参考答案：B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，CB+BA+CA，AB C+AC B+A BC，ABA+CBCA+CB考核知识点：事件的关系及运算2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。
参考答案：0.04，0.02，0.1考核知识点：古典型概率3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。
参考答案：1/8，3/8考核知识点：古典型概率4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。
参考答案：0.6考核知识点：古典型概率5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。
参考答案：0.2，0.4考核知识点：概率的性质6、设袋中有6个球，其中4白2黑。
用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。
参考答案：0.4，7/15，14/15考核知识点：古典型概率和概率的性质7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= 0.6，P（B）= 0.3，则P （A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（BA）= 。
参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1考核知识点：概率的性质8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。
《概率论与数理统计》总复习资料
《概率论与数理统计》总复习资料概率论部分1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。
例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数：915C n ==5005事件B 包含的样本点：563514C C C r ==240，则P (B )=240/5005=0.048例2：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数}。
若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有39A 种选法；从而共有539A =2520个。
其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有28A 种选法；从而共有428A =224个。
因此410283945)(A A A B P -==2296/5040=0.4562．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。
例1：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A B )解：P (AB )=P (A )P (B )=0.3，P (A －B )=P (A )－P (AB )=0.2，P (A B )=P (A )＋P (B )－P (AB )=0.8例2：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求：P (A －B )，P (A B )，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P 解：P (A －B )=0.1，P (A B )=0.8，)|(B A P =)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -==2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。
概率论复习资料大全
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
称r.v X服从参数为n和p的二项分布，记作 X ~ b(n,p)
9
4.泊松分布
定义：设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P( X k) e k , k0,1,2,,
称的钟形曲线.
特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布表
15
9.连续型随机变量函数的分布
定理 设 r.v X具有概率密度 f(x), x , 又设g(x)处处可导，且恒有g(x) 0(或 g(x) 0) 则Y=g(X)是连续型r.v，其概率密度为
fY
(
y)
计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2
26
6.方差的性质
1. 设C是常数,则D(C)=0; 2. 若C是常数X是随机变量,则D(CX)=C2 D(X);
3. 设X与Y 是两个随机变量，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y) + 2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}. 特别，若X与Y 相互独立，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y)
p
B(n,p)
π()
P( X k) Cnk pk (1 p)nk k 0,1,2,,n
np
P( X k) ke
k!
k 0,1,2,
23
分布
概率密度
期望
区间(a,b)上的 均匀分布
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其它
概率论与数理统计复习资料
概率论与数理统计复习资料概率论与数理统计复习资料概率论与数理统计是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。
无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，概率论与数理统计都扮演着重要的角色。
为了更好地理解和应用这门学科，我们需要进行系统的复习和总结。
本文将为大家提供一些有关概率论与数理统计的复习资料，帮助大家更好地掌握这门学科。
一、概率论概率论是研究随机事件发生的可能性的数学学科。
它以概率为基础，通过建立数学模型来描述随机事件的规律性。
在概率论的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念：1. 随机事件：随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
例如，掷硬币的结果、骰子点数的出现等都属于随机事件。
2. 概率：概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
3. 随机变量：随机变量是指随机事件的结果所对应的数值。
它可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量的取值是有限或可数的，例如掷骰子的点数；连续型随机变量的取值是无限的，例如身高、体重等。
4. 概率分布：概率分布是随机变量所有可能取值及其对应的概率的分布规律。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述。
5. 期望：期望是随机变量取值的平均值，反映了随机变量的平均水平。
对于离散型随机变量，期望可以通过加权平均的方式计算；对于连续型随机变量，期望可以通过积分的方式计算。
二、数理统计数理统计是研究如何从样本中获取总体信息的学科。
它通过对样本数据进行分析和推断，来对总体进行估计和推断。
在数理统计的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念：1. 总体与样本：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
样本是对总体的一种观察和研究。
2. 统计量：统计量是样本数据的函数，用于对总体参数进行估计。
例如，样本均值、样本方差等都是统计量。
3. 抽样分布：抽样分布是指统计量的分布规律。
概率论的书
概率论的书
以下是一些经典的概率论书籍推荐：
1. 《概率论与数理统计教程》（杨乐、泸定红等著）
该书是一本非常经典的概率论教材，内容系统全面，介绍了概率论的基本概念、各种常见概率分布以及概率论的基本理论等。
2. 《概率论与数理统计》（陈希孺、张智峰等著）
这本书是概率论与数理统计的经典教材之一，内容深入浅出，方便入门。
书中介绍了概率论的基本概念和方法，以及各种概率分布等。
3. 《概率论导论》（普列谢特斯基等著）
这是一本经典的概率论导论教材，书中介绍了概率的基本概念、概率空间、随机变量和概率分布等内容，并且包含了一些常用的概率论定理和方法。
4. 《概率论与数理统计》（吴善军、李卫红等著）
该教材比较适合初学者学习，内容简洁明了，注重基本概念和方法的讲解，并包含了一些典型案例和习题，有助于学生加深对概率论的理解。
5. 《概率论基础》（巩俐著）
这是一本适合初级概率课程的教材，以实例为引导，讲解了概率论的基本概念、公式和方法，并且提供大量的练习题和习题解析，方便学生巩固所学知识。
以上是一些经典的概率论书籍推荐，适合不同程度的读者。
读者可以根据自己的需求和水平选择适合自己的教材进行学习。
概率复习资料
概率复习资料概率复习资料概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件发生的可能性。
在我们的日常生活中，概率无处不在，从天气预报到赌博，从股票市场到医学诊断，都离不开概率的应用。
因此，对于学习者来说，掌握概率理论和应用是非常重要的。
在复习概率的过程中，有一些资料可以帮助我们更好地理解和应用概率。
一、经典教材经典的教材是学习概率的重要资源。
这些教材通常由专业的数学学者编写，内容系统完整，涵盖了概率的基本原理和方法。
其中，最经典的教材之一是《概率论与数理统计》。
这本教材以其严谨的推导和深入浅出的讲解，成为了概率学习者的必备参考书。
此外，还有一些其他教材，如《概率论与数理统计教程》、《概率论与数理统计导论》等，也是非常优秀的概率学习资料。
二、习题集习题集是概率学习中不可或缺的资源。
通过解题，我们可以巩固理论知识，提高解题能力。
在选择习题集时，我们可以根据自己的水平和需求来进行选择。
对于初学者来说，可以选择一些基础习题集，如《概率论习题集》、《概率论与数理统计习题集》等。
对于进阶学习者来说，可以选择一些难度较高的习题集，如《概率论习题精选》、《概率与统计习题解析》等。
通过不断地解题，我们可以提高自己的概率思维和问题解决能力。
三、在线课程随着互联网的快速发展，越来越多的在线课程涌现出来，为学习者提供了便利。
概率学习也不例外，有许多优质的在线课程可供选择。
这些课程通常由经验丰富的教师或学者讲授，内容丰富全面，结合实际案例进行讲解，使学习者更好地理解和应用概率。
一些知名的在线教育平台，如Coursera、edX等，提供了许多概率相关的课程，如《概率论与数理统计》、《概率论与随机过程》等。
通过参加这些在线课程，我们可以在家中随时随地学习概率知识。
四、实践应用概率是一门实践性很强的学科，只有通过实践应用，才能真正理解和掌握概率。
在复习概率的过程中，我们可以通过一些实践性的活动来加深对概率的理解。
比如，我们可以通过模拟随机实验，来验证概率理论的正确性。
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第一部分概率的基本概念（一）基本内容1.事件与其概率（1）概率论与数理统计都是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支学科。
（2）随机试验：对客观事物进行一次观察或一次实验，我们统称为一个实验。
如果这个实验满足条件：① 试验可以在相同条件下重复进行；② 每次试验的结果不止一个，且事先冷明确知道试验的所有可能结果；③ 在一次试验之前不能确定哪一个结果一定出现。
则称这个试验为随机试验，记为E。
（3）随机事件：在随机试验中，可能发生，也可能不发生的事件（或随机试验的结果）称为随机事件，简称事件。
记为A或B或C等。
①必然事件：在一次试验中必然发生的事件称为必然事件，记为。
Ω②不可能事件：在一次试验中一定不能发生的事件称为不可能事件，记为φ。
必然事件和不可能事件都是确定的，只是为了需要，我们把它归结为随机事件的两种特例。
③基本事件：随机试验的每一结果（不能再分的）称为基本事件。
④复合事件：由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。
（4）事件与点集关系：我们将事件定义为样本点的某个集合，即基本事件（样本点）可视为集合中的一个点ω；随机试验E的所有基本结果的全体称为样本空间（集合）仍为Ω（必然事件）；不包含任何点的集合称为空集（不可能事件），仍记为φ。
这样就能将集合论的知识全部用来解释事件及事件的运算。
（5）事件A 的概率，通俗的讲就是刻划事件A 发生的可能性的大小的度量。
2. 事件间的关系及其运算（1） 包含：如果事件A 发生，必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，或A 包含于B 记为B A ⊃或A B ⊂包含关系具有性质：① A A ⊂② 若A B ⊂，且则B C ⊂A C ⊂③ A Φ⊂⊂Ω（2） 相等：若A B ⊂，且B A ⊂则称A 与B 相等，记为A B =（3） 并（和）事件A 或B ，即两事件A 、B 至少有一个发生，称为事件A 与B 的并（和）。
记为或A B ∪A B + （4） 交（积）：事件A 且B ，即A 与B 同时发生，称为A 与B 的交（积），记为或A B ∩AB 。
（5） 差：事件A 发生，但B 不发生的事件称为事件A 与B 的差，记为A B −或AB（6） 互斥（互不相容）：若事件A 与B 满足AB φ=，则称A 与B 互斥。
（7） 对立：如果事件A 与B 满足条件,A B AB +=Ω=Φ，则称A 与B 互为对立事件，记为B A =或A B =，其中B 称为A 的逆事件。
对立事件具有性质,,A A φΩ==Ω=)（8） 完备事件组：若事件满足条件12,,,n A A A 12,(,,1,2,3,n i j A A A A A i j i j n φ++=Ω=≠= ，则称事件12,,,n A A A 为一完备事件组（或一个划分）。
说明：事件的和与积都可推广到有限个或可列个的情形。
3. 事件的运算规律① 交换律：,A B B A AB BA +=+=② 结合律：()(),()()A B C A B C AB C A BC ++=++=③ 分配律：(),()()()A B C AC BC AB C A C B C +=+=++④ 摩跟律：,A B A B AB A B +==∩∪（可推广到任意多个的情形）。
除上述基本运算规律还有：蕴涵律：,,,A B A A B B AB A AB B +⊃+⊃⊂⊂重迭律：,A A A AA A +==吸收律：,,,A A A A A A φφφ+Ω=Ω+=Ω== 对立律：,?A A AA φ+=Ω=4. 事件的频率与概率（1） 频率：若在n 次试验中，事件A 发生了µ次，则称()n F A n µ=为事件A 在n 次试验中出现的频率。
（2） 概率的统计定义：设在n 次试验中事件中，事件A 发生µ次，当n 很大时，如果其频率n µ稳定的在某一数值附近摆动，且随n 的增加，摆动幅度越来越小，则称为事件p p A 的概率，记为()P A p =（3） 概率的古典定义① 古典概型：若随机试验E 具有两个提点，即样本空间的基本事件个数为有限；每个基本事件发生的可能性相同（等概），则称此模型为古典概型。
② 概率的古典定义：在古典概型中，若基本事件个数为n ，而事件A 包含了m 个基本事件，则事件A 的概率为 ()m P A n=5.概率的基本性质（1） 非负性：()0P A ≥（2） 规范性：()1P Ω=（3） 有限可加性：若AB φ= ，则()()()P A B P A P B +=+推论：①()1P φ=②若1,2,,n A A A ) 满足 (i j A A i j φ=≠则11()(n n i i i i p A P A ===∑∑) ③对任何事件A 有(1()P A P A =−④若B A ⊂ 则有()()()P A B P A P B −=−⑤对任意事件A 与B 有()()()(P A B P A P B P AB )+=+−其中性质（3）和推论（5）就是通常所说的概率的加法公式。
6.条件概率及乘法公式（1） 条件概率：设A 、B 为两个事件，当 是，称()0P B >((|)()P AB P A B P B =) 为在事件B 发生条件下A 发生的条件概率。
很明显在 或时，有()0P A >()0P B >()()(|)()(|P AB P A P B A P B P A B ==)（2）全概率公式：设事件12,,,n A A A 为样本空间 中的完备事件组（部分），且 ，对任意事件Ω()0(1,2,,)i P A i n >= B ，称 为全概率公式。
1()()(|)ni i P B P A P B A ==∑i )（3）贝叶斯公式：在全概率公式的所描述条件下，由立即可得贝叶斯公式：()()(|)()(|i i i i P A B P A P B A P B P A B == 1()(|)(|)()(|)i i i n i ii P A P B A P A B P A P B A ==∑（4）事件的独立性：对事件A 与 B 若有()()()P AB P A P B = 则称事件A 与 B 相互独立。
由独立性可得：①若 A 与B 独立， 有()0P A >(|)()P B A P B = ；②若A ，B 独立则,;,;,A B A B A B 也独立对三个事件,,A B C 如果满足以下等式()()()()P ABC P A P B P C = 且 则称()()(),()()())()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C ===,,A B C 相互独立。
注意：若,,A B C 相互独立，一定两两独立；但两两独立，不能保证三个相互独立。
（5）乘法公式：（可以推广）当,A B 相互独立是，有()()()P AB P A P B =当,A B 不独立时，有()()(|)()(|P AB P A P B A P B P A B )==7.独立重复试验贝努里概型（1）独立重复试验：如果每次试验都是在相同的条件下进行；各次试验相互独立。
如果试验进行了 次，则称为 重独立重复试验。
n n （2）在 重独立重复试验的前提下，若每次试验C 有两种结果n A 及 A 且(),(1P A p P A p ==− ，则称为 n 重贝努里试验，即贝努里概型。
（3）贝努里公式：若在一次试验中事件 A 发生的概率为，则在 重贝努里试验中事件恰好发生 次的概率为()(01)P A p p =<<n k ()(0,1,2,,;1)k k n k n n P k C p q k n q p −=== −（二）基本要求1. 理解随机现象的普遍性、随机现象在一次试验中的不确定性，在大量重复试验之下，又必然具有某种规律性。
2. 了解随机试验的概念并能据此分析试验的结果，从而搞清样本空间是由哪些样本点构成；搞清某一具体事件是由哪些试验结果组成。
3. 掌握事件间的关系及事件间的运算和运算规律4. 掌握事件间的频率的统计定义，知道概率的统计定义，掌握概率的古典定义。
5. 记住概率的基本性质及两个概率模型（古典概型和贝努里概型）。
6理解事件的独立性概念并搞清事件互斥、对立与独立三者之间的关系。
7. 牢记排列组合的计算公式，古典概型的概率公式、概率的加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式，并搞清这些公式的使用范围；熟练掌握上述公式在实际问题中的运用和计算。
（三） 典型例题问题一 事件及其运算例 1 在有编号为 1 的五张卡片中，任意取二张，记录编号的和，试写出随机试验所有可能的不同结果的全体,2,3,4,5Ω 。
解 容易看到，最小编号和为123+=，最大编号和为459+= ， 编号和还能取 与中的每个整数，记 39i ω表示“编号和为i ”，3,4,9i = 故 {}349,,,ωωωΩ=例 2 在管理系学生中任意选一名学生，令事件A = 选到的是男生， B =选到的是三年级学生 ，C = 选到的是运动员 。
试问： （1）事件 ABC 的含义是什么？（2）在什么条件下， ABC C =成立？解 （1）事件ABC 表示选到的是三年级的男生，但不是运动员。
（2） ABC 等价于 且 有 即全系的运动员都是三年级的男生。
C =ABC C ⊂C ABC ⊂C AB ⊂ 例 3 试用 Ω中的三个事件,,A B C 表示如下事件：（1）A 与B 都发生而 不发生；C （2） ,,A B C 中至少发生一个。
解（1）事件 A 与B 都发生而 不发生 可以表示为 C ABC 或 或AB C −AB ABC −（2）事件,,A B C 至少发生一个 可以表示为 或A B C ∪∪ 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ∪∪∪∪∪∪这里最后一个表达式中包含了,,A B C 三个事件“恰好发生一个”、“恰好发生两个”、“三个都发生”这三种情况。
注 事件的表达式并非唯一，在求事件的概率时，我们通常选择计算时简单的表达形式。
例 4 ,A B 为二事件，则A B ∪①AB ②AB ③AB ④A B ∪解 选②事件的运算规律类似集合的运算规律，它不同于代数中的运算，请读者特别注意加法对乘法的分配律：()()()A B C A B A C =∪∩∪∩∪与德莫根De-Morgan 律 11()n n i i i i A ===∪∩A 11n ni i i i A A ===∩∪另外，在没有括号的事件运算中，总是先作逆运算，其次作积运算，最后作和或差的运算。
例5 设,,A B C 表示三个事件，则 ABC 表示（）① ,,A B C 中有一个发生 ② ,,A B C 都不发生③,,A B C 中不多与一个发生 ④,,A B C 中恰有两个发生 解 选②例6 事件 ,A B 互为对立事件等价于（）①,A B 互不相容 ②,A B 相互独立 ③A B =Ω∪ ④ ,A B 构成对样本空间的一个部分解 选④样本空间Ω 中一组事件 1,2,,n A A A ) 若满足：（1） 两两互不相容，即i A (i j A A i j φ=≠；（2） ，则称1ni i A ==Ω∪1,2,,n A A A 为 Ω的一个部分。