高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列习题课课件 新人教B版必修5
2.3.1.1《等比数列的概念》课件(人教B版必修5)
∴c9=a9+b9=1×28+8×(-1)=248. 答案：248
4.（15分）有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等 差数列，首末两项的和为21,中间两项的和为18，求这四个
数.
【解题提示】由题意可借助等比数列、等差数列的定义 及等差中项和等比中项设出相应变量进行求解，但需注意设 法不同可能运算量会不同，注意方法的选择 .
2.对任意两个数是否一定都有等比中项?若有,是否唯一? 提示：不一定.只有当两数同号,即两数之积大于零时,此二 数才有等比中项,且有两个等比中项,它们互为相反数.
典型例题精析
知能巩固提升
一、选择题（每题5分，共15分）
1 1.（2010·福州高二检测）在等比数列{an}中，a1= 2 1 q= 1 ,an= ，则项数n为（ ） 64 2
3.（5分）若数列{an}是等比数列,{bn}为等差数列,且b1=0, cn=an+bn,当数列{cn}中的前三项分别为1,1,2时,c9=_____.
【解析】设{an}的首项为a1,公比为q,{bn}的公差为d,则
a 1 0 1 a1q d 1 解得 2 a1q 2d 2 a 1 1 q 2 d 1
∴4a2=4a1+a3， 即4·a1·q=4a1+a1·q2. ∴q2-4q+4=0.∴(q-2)2=0,∴q=2. 故a2+a3+a4=a1·(q+q2+q3)=14.
3.(2010·岳阳高二检测)一个各项均为正数的等比数列，其 任何项都是它后面两项的和，则其公比是（ ）
【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q，且q>0，则 an=an+1+an+2, ∴qn-1=qn+qn+1,即q2+q-1=0, ∴q= 1 5 ,又q>0,∴q=
2014-2015学年高一数学(人教B版必修5)课件2-3-1《等比数列的概念及通项公式》
A．90
B．100
C．145
D．190
[解析] 设公差为d，由题意得a22＝a1·a5， ∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d， ∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2， ∴S10＝10×1＋10×2 9×2＝100，故选B.
[答案] B
等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项， 则aa21＋＋aa43＋＋aa190＝________.
此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.
易错疑难辨析
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝ 42，求a5、a7的等比中项．
[错解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1， ∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得
a1＋a1q＋a1q2＝168 a1q－a1q4＝42
，
∴aa11q1＋1－q＋q3q＝2＝42168② ①
[解析] ∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)， ∴Sn＝2Sn－1＋n＋4(n≥2)， 两式相减，得an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝2(n≥2)．
∵S2＝2S1＋6＝2a1＋6＝16， ∴a1＋a2＝16，∴a2＝16－a1＝11. ∴a2＋1＝12＝2(a1＋1)． ∴aan＋n＋1＋11＝2(n∈N*)． 又a1＋1＝6， 即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.
4．等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则a6＝________.
[答案] 32
[解析] 设公比为q，则a4＝a1q3， ∴q3＝aa14＝81＝8，∴q＝2. ∴a6＝a1q5＝25＝32.
课堂典例讲练
8，求an.
等比数列的通项公式 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.3习题课——等比数列习题课
D典例透析 S随堂演练
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题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
2
1
(2)解:由(1)知 -1= · -1 =
1
即
1
=
2
1
+1,则
设 Tn= +
2
3
=
1
22
2
2
2
2
1
+
2
2
+…+
3
=
2
1
1-
2
1
12
1
=1-
2
−
−
2
1
2
1
2
22
,
+n.
2
+
2 +1
1
,②
−
+…+
2
2 +1
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
1 (1- )
所以数列{bn}的前 n 项和公式 Sn=
1-
=4(1-3n).
D典例透析 S随堂演练
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IANLITOUXI
1
2
3
UITANGLIANXI
4
1等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为
题型四
等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比
数学：2.3.1《等比数列》例题解析(新人教B版必修5)
等比数列·例题解析【例1】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．[ ]A ．是等比数列B ．当p ≠0时是等比数列C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列D ．不是等比数列分析 由S n ＝p n (n ∈N*)，有a 1=S 1＝p ，并且当n ≥2时， a n =S n －S n-1＝p n －p n-1＝(p －1)p n-1故－，因此数列成等比数列≠－≠a =(p 1)p {a }p 0p 10(p 1)p 2n n 1⇔--=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪--()()p pp p p n 212但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D ．说明 数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n ∈N*)，还要注意对任∈，≥，都为同一常数是其定义规定的准确含义．n *n 2N a a nn -1【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)=q2n(1+2n)2==+q n n n ()212【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公12式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解 (1)a =a q q =5252-∴－12∴＝＝－＝∵·＝··＝a a q 4()()(2)a a a a a a a =8n 2n 2n 2n 4354234543----1212∴a 4＝2又＝＝∴a a a a a a a a a a =a =322635423456452【例4】 已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求证…＜．x x x a bn n 122+ 证明 设这n ＋2个数所成数列的公比为q ，则b=aq n+1∴∴……＜q b ax x x aqaq aq aqab a bn n n nn n ++====+1122122【例5】 设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列∴a b b c c d== ∴b 2＝ac ，c 2＝bd ，ad ＝bc∴左边=b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2＋d 2－2bd ＋b 2 =2(b 2－ac)＋2(c 2－bd)＋(a 2－2bc ＋d 2) ＝a 2－2ad ＋d 2 ＝(a －d)2＝右边证毕．证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为q ，则： b ＝aq ，c ＝aq 2，d=aq 3∴左边＝(aq －aq 2)2＋(aq 2－a)2＋(aq 3－aq)2＝a 2－2a 2q 3＋a 2q 6 =(a －aq 3)2 ＝(a －d)2=右边证毕．说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b 、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b 、c 的路子．证法二则是把a 、b 、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a 、q 去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性． 【例6】 求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 1234122242213422321234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．证 ∵a 1、a 2、a 3、a 4均为不为零的实数∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．(a a )x 2a (a a )x a a =0(a a )a 2a (a a )a a a =0a 122222132232122242213422324∴上述方程的判别式Δ≥0，即[2a (a a )]4(a a )(a a )=4(a a a )0(a a a )02132122222322213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤又∵a 1、a 2、a 3为实数∴－≥必有－即(a a a )0a a a =0a =a a 2213222132213因而a 1、a 2、a 3成等比数列又∵a =2a 42()()()a a a a a a a a a a a a 1312222131213212++=++= ∴a 4即为等比数列a 1、a 2、a 3的公比．【例8】 若a 、b 、c 成等差数列，且a ＋1、b 、c 与a 、b 、c ＋2都成等比数列，求b 的值．解 设a 、b 、c 分别为b －d 、b 、b ＋d ，由已知b －d ＋1、b 、b ＋d 与b －d 、b 、b ＋d ＋2都成等比数列，有b =(b d 1)(b d)b =(b d)(b d 2)22－＋＋①－＋＋②⎧⎨⎪⎩⎪整理，得b =b d b db =b d 2b 2d 222222－＋＋－＋－⎧⎨⎪⎩⎪ ∴b ＋d=2b －2d 即b=3d 代入①，得9d 2=(3d －d ＋1)(3d ＋d) 9d 2=(2d ＋1)·4d 解之，得d=4或d=0(舍) ∴b=12【例9】 已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d ，又知d ≠1，且a 4=b 4，a 10=b 10：(1)求a 1与d 的值；(2)b 16是不是{a n }中的项？ 思路：运用通项公式列方程解 (1)a =b a =b 3d =a da 9d =a da (1d )=3d a (1d )=9d4410101131191319由＋＋－－－－⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎩⎪a⇒⇒==-=-==-d d 2=063＋－舍或∴d d a d d 1231331222()(2)∵b 16=b 1·d 15=－32b 1且＋·－－∴a =a 3d =22=b b =b d =2b =22b =a =2413441313113- ∴b 16=－32b 1=－32a 1，如果b 16是{a n }中的第k 项，则 －32a 1=a 1＋(k －1)d ∴(k －1)d=－33a 1=33d∴k=34即b 16是{a n }中的第34项．【例10】 {a }b =(12)b b b =218b b b =18n n a n 123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1＋(n －1)d∴·b =(12)b b =(12)(12)=(12)b n a 13a a +2d 2(a +d)221111+-()n d1由，解得，解得，代入已知条件整理得＋b b b =18b =18b =12b b b =18b b =14b b =1781232321231313b b b 123218++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解这个方程组，得b =2b =18b =18b =21313，或， ∴a 1=－1，d=2或a 1=3，d=－2∴当a 1=－1，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=2n －3 当a 1=3，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=5－2n【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列 即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，a q 2＋32成等比数列 即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)⇒aq 2=4a ＋②①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509解法二 按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列 即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)⇒8b d =162－①b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509解法三 任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列得：①a =a a 2213a 1，a 2＋4，a 3成等差数列 得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列 得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪ 说明 将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq简化计算过程的作用．【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．分析 本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数由已知条件可推得：()a d a+2方法二 设后三个数为b ，bq ，bq 2，则第一个数由已知条件推得为2b －bq ． 方法三 设第一个数与第二个数分别为x ，y ，则第三、第四个数依次为12－y ，16－x ．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一 a d a a d 设前三个数为－，，＋，则第四个数为．()a d a+2依题意，有－＋＋＋a d =16a (a d)=12()a d a+⎧⎨⎪⎩⎪2解方程组得：或－a =4d =4a =9d =61122⎧⎨⎩⎧⎨⎩所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法二 设后三个数为：b ，bq ，bq 2，则第一个数为：2b －bq依题意有：－＋＋2b bq bq =16b bq =122⎧⎨⎩解方程组得：或b =4q =2 b =9q =131122⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法三 设四个数依次为x ，y ，12－y ，16－x ．依题意有＋－·－－x (12y)=2yy (16x)=(12y)2⎧⎨⎩ 解方程组得：或x =0y =4x =15y =91122⎧⎨⎩⎧⎨⎩ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．解 设成等差数列的三个数为b －d ，b ，b ＋d ，由已知，b －d ＋b ＋b ＋d=126 ∴b=42这三个数可写成42－d ，42，42＋d ．再设另三个数为a ，aq ，aq 2．由题设，得a 42d =85ap 42=76aq 42d =842＋－＋＋＋⎧⎨⎪⎩⎪ 整理，得－①②＋③a d =43aq =34aq d =422⎧⎨⎪⎩⎪ 解这个方程组，得 a 1=17或a 2=68当a=17时，q =2，d=－26当时，，a =68q =12d =25 从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67． 【例14】 已知在数列{a n }中，a 1、a 2、a 3成等差数列，a 2、a 3、a 4成等比数列，a 3、a 4、a 5的倒数成等差数列，证明：a 1、a 3、a 5成等比数列．证明 由已知，有 2a 2=a 1＋a 3①a =a a 3224·②③211435a a a =+由③，得·由①，得代入②，得··a =2a a a +a a =a +a 2a =a +a 243535213321323535a a a a +整理，得a =a (a +a )a +a 351235即 a 3(a 3＋a 5)=a 5(a 1＋a 3)a a a =a a a a a =a a 323515353215＋＋∴·所以a 1、a 3、a 5成等比数列．【例15】已知(b－c)log m x＋(c－a)log m y＋(a－b)log m z=0．(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．证明(1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0∴b－c=a－b=－d，c－a=2d代入已知条件，得：－d(log m x－2log m y＋log m z)=0∴log m x＋log m z=2log m y∴y2=xz∵x，y，z均为正数∴x，y，z成等比数列(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：(b－c)log m x＋(c－a)log m xq＋(a－b)log m xq2=0变形、整理得：(c＋a－2b)log m q=0∵q≠1 ∴log m q≠0∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c即a，b，c成等差数列。
高中数学 第一部分 第二章 2.3 第三课时 等比数列的前n项和课件 苏教版必修5
(1)列方程组求出a1和q即可．
(2)bn可以转化为两个等比数列的通项公式和一个
常数数列通项公式相加，求和时重新组合即可．
[精解详析]
(1)设等比数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1，
1 1 a1＋a1q＝2a1＋a1q， 由已知 a1q2＋a1q3＋a1q4＝64 1 2＋ 1 3＋ 1 4， a1q a1q a1q
①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
x1－xn ＋ ＝ －nxn 1， 1－ x x ∴ Sn＝ [nxn＋1－(n＋1)xn＋1]， 2· 1－x nn＋1 2 ∴Sn＝0 x＝0 x n＋1 [ nx －n＋1xn＋1] 2 1－x x＝1
1 1 2 2 2 2 2n－1 ①－②得：2Sn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－ n＋1 2
2n－1 1 1 1 1 ＝2＋2＋22＋…＋ n－1－ n＋1 2 2 1 1 1 － n－1· 2 2 2 2n－1 3 2n－1 1 1 ＝2＋ 1 － 2n＋1 ＝2－2n－1－ 2n＋1 1－ 2 3 2n＋3 ＝2－ n＋1 ， 2 2n＋3 ∴Sn＝3－ 2n .
2 a1q＝2， 化简得 2 6 a1q ＝64.
又 a1>0，故 q＝2，a1＝1. 所以 an＝2n－1.
1 2 1 1 2 n－1 (2)由(1)知 bn＝(an＋a ) ＝an＋a2 ＋2＝4 ＋ n－1＋2. 4 n n 因此 Tn＝(1＋4＋…＋4
n－1
1 1 )＋(1＋4＋…＋ n－1)＋2n 4
(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得
2 2 a ＋ a q ＝ 10 a 1 ＋ q ＝10 1 1 1 3 5 ，即 3 5 5 2 a q ＋a1q ＝4 a q 1＋q ＝4 1 1
「精品」高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第2课时 等比数列的性质同步课件 新人教B版必修5-精品资料
方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前
三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将
中间两个数设为
a q
，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也
较为方便．
(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第
二个数为
16 x
，则第一个数为
32 x
－x，最后一个数为
x3 16
[解析] ∵a7＝a3q4，∴q4＝aa73＝2， ∴a11＝a7·q4＝6×2＝12.
6．(2015·北京文，16)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10， a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的 第几项相等？
[解析] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d ＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝ 6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝ －6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)， ∴d＝0(舍去)． 综上可知此三数为－4,2,8.
易错疑难辨析
三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平 方和为91，则这三个数为________．
[错解] 1,3,9或－1,3，－9 设三数为aq，a，aq，则
aq·a·aq＝27
①
aq2＋a2＋a2q2＝91
②
由①得a＝3代入②中得q＝±3或q＝±13. ∴当q＝3时，三数为1,3,9；当q＝－3时，三数为－1，3， －9；当q＝13时三数为9,3,1；当q＝－13时，三数为－9,3，－1. 综上可知此三数为1,3,9或－1,3，－9.
2019-2020学年高中人教B版数学必修五同步课件：第2章 数列 2.3 2.3.1 第一课时
(2018·吉 林 延 边 月 考 )下 列 命 题 中 正确的是( )
A．若 a，b，c 是等差数列，则 log2a，log2b，log2c 是等比 数列
B．若 a，b，c 是等比数列，则 log2a，log2b，log2c 是等差 数列
C．若 a，b，c 是等差数列，则 2a,2b,2c 是等比数列 D．若 a，b，c 是等比数列，则 2a,2b,2c 是等差数列
【知识点拨】 判断一个数列是否是等比数列的常用方法 是：
(1)定义法 aan＋n 1＝q(q 为常数且不为零)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法 an2＋1＝anan＋2(n∈N*且 an≠0)⇔{an}为等比数列． (3)通项公式法 an＝a1qn－1(a1≠0 且 q≠0)⇔{an}为等比数列．
() A．2
B．3
C．4
D．5
解析：由 an＝a1·qn－1，得13＝98×23n－1，
∴23n－1＝233，
∴n＝4，故选 C. 答案：C
4．(2018·江西赣州信丰期中)等比数列{an}中，an>0，a1＋
a2＝6，a3＝8，则 a6＝( )
A．64
B．128
C．256
D．512
解析：由题可得aa11＋q2＝a1q8＝ ，②6，① ①
∴②整理得 3q2－4q－4＝0，
∴q＝－23，q＝2， 又 an>0，∴q＝2，∴a1＝2， ∴a6＝a1q5＝64，故选 A. 答案：A.
5．已知实数 a，b，c 成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4 成 等比数列，且 a＋b＋c＝15，求 a，b，c.
解：由题意得
a＋b＋c＝15，① a＋c＝2b，② a＋1c＋4＝b＋12，③ 由①②两式，解得 b＝5. 将 c＝10－a 代入③，整理得 a2－13a＋22＝0， 解得 a＝2 或 a＝11. 故 a＝2，b＝5，c＝8 或 a＝11，b＝5，c＝－1， 经验证，上述两组数都符合题意．
数学人教B版必修5课件：2.3.1 等比数列
于( )
A．3n
B．4n
C．3·4n－1
D．4·3n－1
【解析】an＝a1qn－1＝4×3n－1.
【答案】D
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比 q＝(
)
A．－12
B．－2
C．2
D．12
【解析】∵a2＝a1q＝2，
①
a5＝a1q4＝14，
②
∴②÷①得 q3＝18，∴q＝12. 【答案】D
证明：∵b 是 a 和 c 的等比中项， ∴b2＝ac，且 a，b，c 均不为零． ∴(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2 ＝a3c＋2a2c2＋ac3，
又∵(a2＋b2)·(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2 ＝a3c＋a2c2＋a2c2＋ac3 ＝a3c＋2a2c2＋ac3， ∴(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)． 又∵a2＋b2≠0，b2＋c2≠0， ∴a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2 成等比数列.
如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一项的比 都等于 同一个常数 ，那么这个数列叫做等比数列，这个 常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母 q 表示.
知识点2：等比中项 问题导思：
如果在 x，y 中间插入一个数 G，使 x，G，y 成等比数列，
那么 G 与 x，y 之间有怎样的数量关系？ 答：G2＝xy.
类型1：等比数列的通项公式及运算
例 1：在等比数列{an}中， (1)若 a2＝4，a5＝－12，求 an； (2)若 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
解：设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q， a2＝a1q＝4，
(1)由题意知 a5＝a1q4＝－12， ∴q＝－12，a1＝－8， ∴an＝a1qn－1＝－8×(－12)n－1＝(－2)4－n.
人教版高中数学必修五-等比数列课件 (2)
为公比的等比数列，
4
an 1,
其通项公式为a
a n 1
4
3
1
4
4
3 ( 1 )n1 3( 1 )n .
44
4
第二章 数 列
【典例】(12分)等比数列{an}的前三项的和为168，a2-a5 =42，求a5，a7的等比中项.
【审题指导】题目中给出了等比数列前三项的和以及a2a =42，由此列出方程组解得公比 和首项a1，利用定义求a ，
第二章 数 列
4．若{an}为等比数列，且a1·a9＝64，a3＋a7＝20，求a11. 解析： ∵{an}为等比数列， ∴a1·a9＝a3·a7＝64，又∵a3＋a7＝20， ∴aa73＝＝146， 或aa73＝＝41.6， 当a3＝4，a7＝16时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20， ∴1＋q4＝5，∴q4＝4， 当a3＝16，a7＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20， ∴1＋q4＝54，∴q4＝14， ∴a11＝a1q10＝a3q8＝64或1.
正确说法的个数为（ ）
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
第二章 数 列
【解析】选C.其中正确的为③，④；①，②中不能保 证各项及公比不为0,所以错误.
第二章 数 列
2.等比数列{an}中，２a4＝a6-a5，则公比是( )
(A)0
(B)１或2
(C)-1或2
(D)－1或-2
【解析】选C.由已知得２＝ 2 ，所以 ＝-1或2.
第二章 数 列
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
第二章 数 列
1.下面有四个结论：
①由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定
高中数学必修五第二章数列
设等差数列
的前n项和为sn,已知a3=12,s12>0,s13<0,
（1）求公差d的取值范围
（2）指出s1,s2,s3……,s12中哪一个的值最大，并说明理由
2.4等比数列
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前 一项的比等于同意常数，那么这个数列叫做等比数列，这个 常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+……+【an-(n-1)d】 两式相加得 2sn=n(a1+an) 由此可得 sn=n(a1+an)/2 带入通项公式得 sn=na1+n(n-1)d/2
例题一
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通 知》。
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间在全 市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程 的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程 中的总投入是多少？
（1）求AB，BC，CD的长
（2）已AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第十项为边长的正方形 面积为多少？
AB C
D
2.3等差数列的前n项和
定义：一般的，我们称a1+a2+a3+……+an 为数列 表示，即sn=a1+a2+……+an
的前n项和，用Sn
推理过程： 因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……+【a1+(n-1)d】
高中数学人教B版必修5 2.3 素材 《2.3.1等比数列》等比数列的通项公式推导方法(人教B)
可得
a3 q a2
……
an 1 q an 2 an q an 1
an1 an2 d an an1 d
由此等差数列的通项公式可得：
由此等比数列的通项公式可得：
an a1 (n 1)d
an a1q
n 1
等比数列的通项公式
如果等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q,那么根 据等比数列的定义得到
等比数列的通项公式： 递推法:
等 差 数 列
a2 a1 d
a3 a1 2d 类比
a4 a1 3d ……
等 比 数 列
a3 2 q a3 a2 q a1q a2
a4 q a4 a3q a1q 3 a3
a2 q a2 a1q a1
由此归纳等差数列
等比数列的通项公式为
an a1 q
n 1
拓展： 等差数列 等比数列
an a1 (n 1)d
am a1 (m 1)d
类比
an a1q
am a1q
n 1
m1
an am (n m)d
可得
an amq nm
an am (n m)d
……
的通项公式可得：
由此归纳等比数列的通项公式可得：
an a1 (n 1)d
an a1q
n 1
等比数列的通项公式：
叠加法: 等 a2 a1 d 叠乘法：
差 数 列
a3 a2 d
a4 a3 d
类比
a
……
等 比 数 列
a2 q a1
a4 q a3
a5 q a4
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.2习题课——等差数列习题课
得 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.即
1
1
1
-1
−
1
+2=0,
∴ − =2.
∴数列
-1
1
是公差为 2 的等差数列.
1
1
2
1
又 S1=a1= ,∴ =2.
1
1
∴ =2+(n-1)×2=2n,Sn=2 ,
1
1
-1
∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 − 2(-1) = 2(-1).
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最大;
2
+-1
++1
2
2
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
,Sn 最大.
②若a1<0,且Sp=Sq(p≠q),则
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最小;
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
2
+-1
++1
2
2
,Sn 最小.
目标导航
题型一
4
(+2)
1
2
1
d=3n+
2
1
(-1)
1
1 1
2
1 1
-
2 4
1
1
-
4(+1)(+2)
.
+2
2
,
+…+
2 +1 +2
2+3
2(+1)(+2)
高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列(二)课件 新人教
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
a＝4， a＝9，
解得
或
d＝4
d＝－6.
2.3.1 等比数列(二)
12
预课当所习堂以导讲检，学义测当a＝4，d＝4时，所求栏四目个索数引为0,4,8,16； 挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功 CONTENTS PAGE
2.3.1 等比数列(二)
4
预课当[预习堂习导讲检学义测导引]
栏目索引
CONTENTS PAGE
1.等比数列的第二通项公式
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
等比数列的通项公式为：an＝ a1qn－1 ，推广形式为：an＝am·_q_n_－_m_
(n，m∈N＋).
2.等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有 am·an＝ak·al .
2.3.1 等比数列(二)
6
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
要点一 等比数列性质的应CON用TENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
例1 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； 解 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a23＋2a3a5＋a25＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断成等比数列的方法.
2.3.1 等比数列(二)
2
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
高二数学第二章《数列》第一节第一课时课件人教B版必修5
（5）通项公式：
如果数列的第n项an与项数n之间的关系可以用一 个函数式 an
f (n) 来表示
例如，
①数列1，2，3，4，5，6，…的通项公式是： an=n ②数列 4，5，6，7，8，9，10, · · · 的通项公式是： an=n+3 ③ 数列 2，4，6，8，· · · 的通项公式是：an=2n ④数列1，10，100，1000，· · · 的通项公式是： an=10n-1 ⑤数列9，99，999，9999，· · · 的通项公式是： an=10n-1 ⑥数列 1，4，7，10，· · · 的通项公式是：an=3n-2
共同点： 按照一定次序排列起来的数 三、新知： 按一定的次序排列的一列数叫做数列。 1.数列的定义： 说明：①数列的研究对象是数； ②数的排列次序。
2.相关概念：
（1）项：数列中的每一个数 （2）首项：数列中的第一个数
（各项依次叫做这个数列的第1项，第二项，· · · ， 第n项，· · · ）
（3）一般表示：a1 , a2 , a3 ,, an , 简记为： an 例如：
第一课时
一、引入：
一直以来，人们都在探索自然界的规律。对规
律的探索，需要我们具备观察、分析、归纳、猜 想的能力，这些能力在数学中我们是通过<数列> 这一章来培养的。 本节课先来学习数列及其相关概念。
二、问题： (观察以下几列数，讨论其共平面上画直线：2，4，7，11,· · · 3.操作计算器：1,cos1,cos(cos1),cos(cos(cos1))，· · · 4. 的不足近似值：3,3.1,3.14,3.141, · · ·
①数列 2，4，8，16，· · · ，（2n ）, · · ·