苏教版高中数学高二选修1-1练习2.2.1椭圆的标准方程(一)
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§2.2 椭 圆 2．2.1 椭圆的标准方程(一) 一、基础过关
1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________．
2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 2
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＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为________． 3．“1 3－m ＝1表示椭圆”的______________条件． 4．已知F 1，F 2是椭圆x 224＋y 2 49 ＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1∶PF 2＝4∶3，则三角形PF 1F 2的面积等于________． 5．焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为________________． 6．方程x 22m －y 2 m －1 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． 7.已知如图椭圆两焦点为F 1、F 2，且方程为49 x 2＋y 2＝1，过F 1作 直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为______． 8．求经过两点P 1⎝⎛⎭⎫13，13，P 2⎝ ⎛⎭⎫0，－12的椭圆的标准方程． 二、能力提升 9．已知两椭圆ax 2＋y 2＝8与9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则a 的值为________． 10．已知椭圆x 225＋y 2 9 ＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________． 11．已知椭圆y 2a 2＋x 2 b 2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程； (2)设点P 在这个椭圆上，且PF 1－PF 2＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． 12.如图，已知椭圆的方程为x 24＋y 2 3 ＝1，P 点是椭圆上的一点，且∠F 1PF 2 ＝60°，求△PF 1F 2的面积． 三、探究与拓展 13．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22 ，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持PA ＋PB 的值不变，求曲线E 的方程． 答案 1．线段 2．18 3．必要不充分 4．24 5.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213 ＝1 6．0 7．6 8．解 方法一 ①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)， 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1， ⎝⎛⎭⎫－122 b 2＝1，⇒⎩⎨⎧ a 2＝15，b 2＝14. ∵a 2＝15<14＝b 2，∴方程无解． ②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2 ＝1 (a >b >0)， 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1， ⎝⎛⎭⎫－122 a 2＝1，⇒⎩⎨⎧ a 2＝14， b 2＝15. 故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215 ＝1. 方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0)． 依题意，得⎩⎨⎧ A ⎝⎛⎭⎫132＋B ⎝⎛⎭⎫132＝1，B ⎝⎛⎭⎫－122＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝5， B ＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 214 ＝1. 9．9或917 10．4 11．解 (1)依题意知c ＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2， 所以a 2－34a 2＝1，即14 a 2＝1. 所以a 2＝4. 因此b 2＝3. 从而椭圆方程为y 24＋x 23 ＝1. (2)由于点P 在椭圆上， 所以PF 1＋PF 2＝2a ＝2×2＝4， 又PF 1－PF 2＝1， 所以PF 1＝52，PF 2＝32 ， 又F 1F 2＝2c ＝2，所以由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222·PF 1·PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35 . 即∠F 1PF 2的余弦值等于35 . 12．解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1， ∴F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中， F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1· PF 2·cos 60°， ∴4＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2－2PF 1·PF 2·cos 60°， ∴4＝16－3PF 1·PF 2， ∴PF 1·PF 2＝4， ∴S △PF 1F 2＝12 PF 1·PF 2·sin 60° ＝12×4×32 ＝ 3. 13．解 如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴， 建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中， BC ＝AC 2＋AB 2＝322 ， ∵PA ＋PB ＝CA ＋CB ＝ 22＋322 ＝22， 且PA ＋PB >AB ， ∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1. ∴所求曲线E 的方程为x 22 ＋y 2＝1.