苏教版高中数学高二选修1-1练习2.2.1椭圆的标准方程(一)
2018版高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 2.2.1 椭圆的标准方程 Word版含答案
2.2.1椭圆的标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a、b、c的关系c2＝a2－b2c2＝a2－b2[思考](1)椭圆定义中，将“大于F121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．(2)a，b的值及焦点所在的位置．题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. 反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程． 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，。
苏教版数学选修1-1(2)椭圆
====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集第2章 圆锥曲线与方程 （1）椭圆1．椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数 （21PF PF +=2a （a 为常数）2a ＞21F F ）的点的轨迹叫做椭圆． ⑴若2a ＞21F F ，则动点P 的轨迹是椭圆 ⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是线段F 1F 2 ⑶若2a ＜21F F ，则动点P 无轨迹2．椭圆的标准方程：焦点在x 轴上时，方程为)0(12222>>=+b a b y a x 焦点)0,(1c F -)0,(2c F焦点在y 轴上时，方程为)0(12222>>=+b a bx a y 焦点),0(1c F -),0(2c F注:222b a c -=椭圆的一般方程：),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+3．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的性质：(1)范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-(2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称 (3)顶点坐标、焦点坐标是)0(，c ±(4)长轴长2a 、短轴长2b 、焦距2c 、长半轴a 、短半轴b 、半焦距c(5)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的，准线方程是c a x 2±=，准线到中心的距离为2a c .通径的长是a b 22，通径的一半(半通径)：2b a，焦准距（焦点到对应准线的距离）c b 2．(6)离心率O F B ab ac a c e 222222cos 1∠=-===，离心率越大，椭圆越扁 (7)焦半径：若点),(00y x P 是椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦点，焦半径的长：0201)(ex a c a x e PF +=+=和0202)(ex a ca x e PF -=-=． 4．椭圆的的内外部：（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部220022x y a b ⇔+< （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部220022x y a b⇔+> 5．椭圆系方程：与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆系方程可设为：是12222=+++λλb y a x （02>+λb ）．与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为：λ=+2222b y a x 或λ=+2222bx a y ．。
高中数学(苏教版)选修1-1讲学案：第二章2.2 椭圆
2．2椭__圆2．2.1 椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足P A ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得 (x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝6， 化简得x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得 x 2＋(y －2)2＋x 2＋(y ＋2)2＝6， 化简得y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 焦点坐标 (±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以()－52a 2＋(3)2b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过两点P ⎝⎛⎭⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎫0，－12. 解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5. b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B )由已知得，⎩⎨⎧19A ＋19B ＝1，14B ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝4，A ＝5，故所求椭圆方程为y 214＋x 215＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎨⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)．(1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π.即α的取值范围是⎝⎛⎭⎫3π4，2π. (2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4.即α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，3π4. [一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6.解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)4．已知方程x 2k －5＋y 23－k＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．解：方程x 2k －5＋y 23－k ＝－1可化为x 25－k ＋y 2k －3＝1，由椭圆的标准方程可得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1， F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中， 由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2cos 120°， 即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.①由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是3 35.[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2， 即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3. ∴椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝16．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________．解析：由x 29＋y 24＝1，得a ＝3，b ＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝ 5.∴F 1F 2＝2 5.由⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1＋PF 2＝6，PF 1∶PF 2＝2∶1，得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝4，PF 2＝2. ∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22.∴△F 1PF 2为直角三角形． ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝4.答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？ (2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)． 由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c 2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±320. 答案：⎝⎛⎭⎫0，±320 3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1.由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆x 225＋4y 275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°， 即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.①由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34.答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2＝a 2－c 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.(2)法一：由9x 2＋5y 2＝45， 得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)． 设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ， 即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43， 所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8， 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)， 则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )， 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y . ∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25.即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ， 则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ， ∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.2．2.2 椭圆的几何性质建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质． 以方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x ，y 有限制的范围吗？ 提示：由y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，得－a ≤x ≤a .同理－b ≤y ≤b .问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b 顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率e＝ca∈(0,1)1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e<1，e越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1] 求椭圆81x 2＋y 2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率． [思路点拨] 本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a ，b ，c ，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析] 椭圆的方程可化为 x 2＋y 281＝1，∴a ＝9，b ＝1， ∴c ＝81－1＝80＝4 5， ∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2. ∵椭圆的焦点在y 轴上，故其焦点坐标为F 1(0，－4 5)，F 2(0,4 5)， 顶点坐标为A 1(0，－9)，A 2(0,9)， B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝c a ＝4 59.[一点通] 求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a ，b 的值，进而求出c ，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为13，则m 的值为________．解析：当m >4时，由c 2＝a 2－b 2＝m －4， 得m －4m＝13.解得m ＝92. 当m <4时，由c 2＝a 2－b 2＝4－m ， 得4－m 2＝13，解得m ＝329. 答案：92或3292．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53.由椭圆的几何性质求标准方程[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为20，离心率等于45；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a 、b 、c ，得到椭圆的标准方程．[精解详析] (1)∵2a ＝20，e ＝c a ＝45，∴a ＝10，c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝36.由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 236＝1或y 2100＋x 236＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知a ＝2b ，①且椭圆过点(2，－6)，从而有 22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1.② 由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.[一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝14．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)离心率为513，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13， 又e ＝c a ＝513，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.与椭圆离心率有关的问题[例3] 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的任一点，且PF 1·PF 2的最大值的取值范围为⎣⎡⎦⎤12c 2，3c 2，其中c 2＝a 2－b 2，求椭圆的离心率的取值范围．[思路点拨] 由P 是椭圆上一点，知PF 1＋PF 2＝2a ，进而设法求出PF 1·PF 2的最大值，再由已知的范围求出离心率e 的范围．[精解详析] ∵P 是椭圆上一点， ∴PF 1＋PF 2＝2a ，∴2a ＝PF 1＋PF 2≥2 PF 1·PF 2， 即PF 1·PF 2≤a 2，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． ∴12c 2≤a 2≤3c 2，∴13≤c 2a 2≤2， ∴13≤e 2≤2，∴33≤e ≤ 2. ∵0<e <1，∴33≤e <1， ∴椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.[一点通](1)椭圆的离心率的求法：①直接求a ，c 后求e ，或利用e ＝1－b 2a 2，求出ba后求e . ②将条件转化为关于a ，b ，c 的关系式，利用b 2＝a 2－c 2消去b .等式两边同除以a 2或a 4构造关于ca(e )的方程求e .(2)求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 解析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则由已知得2a ＋2c ＝4b . 即a ＋c ＝2b ， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝54b ，c ＝34b ，e ＝35.答案：356．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且1PF ·2PF 的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．解析：设P (x ，y )、F 1(－c,0)、F 2(c,0)， 则1PF ＝(－c －x ，－y )，2PF ＝(c －x ，－y )，1PF ·2PF ＝x 2＋y 2－c 2，又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方， 所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，(1PF ·2PF )max ＝b 2， 所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.答案：⎣⎡⎦⎤12，22与椭圆相关的应用问题[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是115R 、13R ，求此宇宙飞船运行的轨道方程．[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x 轴建立坐标系，且令地心F 2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，不妨设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则地心F 2的坐标为(c,0)，其中a 2＝b 2＋c 2，则⎩⎨⎧a －c ＝R ＋R 15，a ＋c ＝R ＋R3，解得⎩⎨⎧a ＝65R ，c ＝215R .∴b 2＝a 2－c 2＝⎝⎛⎭⎫65R 2－⎝⎛⎭⎫215R 2＝6445R 2. ∴此宇宙飞船运行的轨道方程为 x 23625R 2＋y 26445R 2＝1. [一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a ，b ，c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：①椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；②最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200， ∴a ＝2 750.又a ＋2c ＝1 700＋1 800，∴c ＝375. ∴e ＝c a ＝3752 750＝322.答案：3228．已知某荒漠上F 1、F 2两点相距2 km ，现准备在荒漠上开垦出一片以F 1、F 2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F 1F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P (x ，y )，Q (x ′，y ′)，则由已知得PF 1＋PF 2＝4.由椭圆定义知点P 在以F 1、F 2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a ＝2，c ＝1，则b ＝ 3.∴P 点的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)，同理Q 点轨迹方程同上．(2)S ▱PF 1QF 2＝F 1F 2·|y P |≤2c ·b ＝23(km 2)，所以当P 为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 3 km 2.1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y 轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)]1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：332．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是__________________．解析：依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x 24＋y 23＝13．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4. 故两条曲线有相同的焦距． 答案：焦距4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2.所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－135．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．解析：设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c .在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a2－c ＝c .∴e ＝c a ＝34.答案：346．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32，－2)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则754a 2＋4b 2＝1.① 由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2＝1625a 2.②把②代入①，得754a 2＋4×2516a 2＝1，解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为x 225＋y 216＝1. 7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3.∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．解：令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a. 设P (－c ，b 2a )，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－ba，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.。
2021年高中苏教版数学选修1-1名师导学：第2章 第2课时 椭圆的标准方程(1)
第2课时椭圆的标准方程(1)教学过程一、问题情境汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的外形像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们到底是不是椭圆呢?是否是椭圆应当看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何争辩椭圆的性质呢?回忆解析几何争辩问题的基本方法,争辩椭圆,先建立椭圆的方程.二、数学建构回顾椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.特殊地:当MF1+MF2=F1F2时,动点M的轨迹是线段F1F2;当MF1+MF2<F1F2时,动点M的轨迹不存在.构建椭圆方程:设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离的和为2a(2a>2c).以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图1),则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).(图1)设P(x,y)为椭圆上任意一点,依据椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即+=2a.[2]将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,即a2-cx=a.两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).由于a2-c2>0,所以可设a2-c2=b2(b>0),于是得b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上.这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为F1(-c,0),F2(c,0).(图2)问题1假如将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为F1(0,-c),F2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗?解法一两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程+=1(a>b>0)中的x,y 互换即可得到方程+=1(a>b>0).解法二从定义动身,将+=2a 变换为+=2a.可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).设a2-c2=b2(b>0),于是得a2x2+b2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).所以,当焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为F1(0,-c),F2(0,c)的椭圆的方程为+=1(a>b>0).以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).问题2如何推断椭圆标准方程中焦点的位置?解看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上.。
高中数学苏教版选修1-1学案：2.2.1 椭圆的标准方程
2．2.1椭圆的标准方程学习目标1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是否是椭圆．知识点一椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这两个________叫做椭圆的焦点，________________叫做椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程思考1在椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？思考2怎样由椭圆的标准方程判断椭圆焦点所在的坐标轴？梳理椭圆的标准方程类型一椭圆的标准方程命题角度1求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B (12，3)；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点．反思与感悟求椭圆标准方程的方法 (1)定义法即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a ，b ，c 的等量关系；④求a ，b 的值，代入所设方程．特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)． 跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)．命题角度2由标准方程求参数(或其取值范围)例2若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是________．反思与感悟(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式． (2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2(1)已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为________．(2)若椭圆x 24＋y 2m ＝1的焦距为2，则m ＝________.类型二椭圆定义的应用命题角度1由椭圆的定义确定轨迹方程例3如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．反思与感悟用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a ，b ，c .跟踪训练3已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．命题角度2椭圆中的焦点三角形例4如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．引申探究在本例中，若图中的直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连结BF 2，其他条件不变，求△BPF 2的周长．反思与感悟(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于PF 1(或PF 2)的方程求得PF 1(或PF 2)；有时把PF 1·PF 2看成一个整体，运用公式PF 21＋PF 22＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2及余弦定理求出PF 1·PF 2，而无需单独求出，这样可以减少运算量．(2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练4设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1>PF 2，求PF 1PF 2的值．1．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是________． 2．在椭圆的标准方程中，a ＝6，b ＝35，则椭圆的标准方程是________________． 3．若△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为________________．4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的__________条件． 5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2的面积是________．1．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．2．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．提醒：完成作业第2章§2.22.2.1答案精析问题导学 知识点一常数(大于F 1F 2)定点F 1，F 2两焦点间的距离 知识点二思考1在椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间的距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距．a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2.思考2谁的分母大焦点在谁轴上． 梳理x 2a 2＋y 2b 2＝1x 2b 2＋y 2a 2＝1(－c,0)与(c,0)(0，－c )与(0，c )c 2＝a 2－b 2 题型探究例1解(1)方法一当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4b 2＝1，(12)2a 2＋(3)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去．当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，(3)2a 2＋(12)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.综上可知，椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.方法二设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝1，14m ＋3n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14， 故椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1.(2)方法一椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，由椭圆的定义，可得2a ＝(3＋4)2＋(15－0)2＋(3－4)2＋(15－0)2， ∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二由题意可设椭圆的标准方程为 x 225＋λ＋y 29＋λ＝1， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得 3225＋λ＋(15)29＋λ＝1， 解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.跟踪训练1解(1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋(－32)2＋(52－2)2＝210， 即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. ∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )． ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.例20<m <1跟踪训练2(1)(7,10)(2)3或5例3解∵直线AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ， ∴AQ ＝PQ .∴AQ ＋BQ ＝PQ ＋BQ ＝6＞AB ＝4， ∴点Q 的轨迹为以A 、B 为焦点的椭圆， 且2a ＝6,2c ＝4，∴a ＝3，c ＝2，即b 2＝a 2－c 2＝5， ∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.跟踪训练3解如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴PB ＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距为P A ＝10－r ， 即P A ＋PB ＝10(大于AB ＝6)，∴圆心P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝AB ＝6， ∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.例4解在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1.又∵P 在椭圆上， ∴PF 1＋PF 2＝2a ＝2 5.① 由余弦定理知，PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos30° ＝F 1F 22＝(2c )2＝4.②①式两边平方，得PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝20.③ ③－②，得(2＋3)PF 1·PF 2＝16， ∴PF 1·PF 2＝16(2－3)． ∴12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin30° ＝8－4 3. 引申探究解由椭圆的定义，可得△BPF 2的周长为PB ＋PF 2＋BF 2 ＝(PF 1＋PF 2)＋(BF 1＋BF 2) ＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.跟踪训练4解当∠PF 2F 1＝90°时， 由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝6，PF 21＝PF 22＋(2c )2，c 2＝5，得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72.当∠F 1PF 2＝90°时，同理求得PF 1＝4，PF 2＝2， ∴PF 1PF 2＝2. 综上，PF 1PF 2＝72或2.当堂训练1．22.x 236＋y 235＝1或x 235＋y 236＝13.x 225＋y 29＝1(y ≠0)4.充要5.6。
2019-2020学年度最新高中数学苏教版选修1-1课件：2.2.1椭圆的标准方程课件(17张)-优质PPT课件
O
X
F1
ax22
y2
b2
1
y
F1
o
P(x, y)
x
F2
x2 a2
y2 b2
1a b 0
y
F2 P(x, y) x
o
F1
y2 a2
x2 b2
1a b 0
a2 b2 c2
二、预学检测
1. 化简方程 (x-2)2+y2 + (x+2)2+y2 =6，使结果不含根式，则
注意：当 2a F1F2 时,轨迹是线___段___F_1__F_2___;
当 2a F1F2 时,轨迹__不___存__在________.
2.椭圆的标准方程
设 P(x,y) 为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知
PF1+PF2=2a，
即 (x+c)2+y2 (x-c)2+y2 2a
椭圆的定义及其标准方程
一、知识梳理
1．椭圆的定义:
和 ①在平面内与两个定点 F1、F2 的距离的
等于
常数 2 a ( 2a>Biblioteka 椭圆 F1F2)的点的轨迹叫作
.这
两定点叫作椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫作椭圆
的 焦距（2c.）
②定义的符号表示：_P_F__1+__P_F__2_=__2_a__(.>F1F2)
这样就得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程为
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
y
F1
o
P(x, y)
x
F2
焦点在y轴上的椭圆的标准方程
江苏省徐州苏教版高中数学选修1-1学案：2.1.1椭圆的标准方程(1)
探究1: 手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的12,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 在这个运动过程中，什么是不变的？探究2: 椭圆的标准方程是如何推导而得到的．探究3: 在椭圆的标准方程中分母的大小反映了焦点所在的坐标轴，并且222,,a b c 之间的关系是 ．例1． 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2) 两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25）例2． 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1) 焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2) 焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为(0,10)P -，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.例3． 已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程二、思维训练1.已知椭圆两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(-5，0). 则椭圆的标准方程为 ．2．椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一个焦点2F 的距离是 ．3．已知B A ,两点在椭圆2212516x y +=上，椭圆的左、右焦点分别为1F , 2F ,AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆半径为1，则△2ABF 的面积为 ．4. 已知两个圆()11:221=++y x C 和圆()161:222=+-y x C ，则与圆1C 外切且与圆2C 内切的动圆的圆心轨迹方程是 ．三、当堂检测1．判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出c b a ,,的值 ①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④369422=+x y ．2．椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ． 3．动点P 到两定点1(0,4)F -，2(0,4)F 的距离的和是10，则动点P 所产生的曲线方程为 ．4．椭圆192522=+y x 左右焦点分别为12,F F ，若PQ 为过左焦点1F 的弦，则2F PQ ∆的周长为 ．四、课后巩固1．方程11222=--m y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ． 2．椭圆的方程为18222=+m y x ，焦点在y 轴上，则其焦距为 （含m 的式子）． 3．椭圆2255x ky +=的一个焦点是（0，2），那么k 等于 ．4．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个边长为这个椭圆方程.5．点P 是椭圆22110064x y +=上一点，12,F F 是其焦点，若1260F PF ∠=，求12F PF ∆面积．6．(理)已知定圆055622=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P (-3，0)，求圆心M所产生轨迹的方程。
数学苏教版选修2-1椭圆的标准方程1
椭圆的标准方程教学目标：1、知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
2、过程与方法：让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题。
3、情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度。
教学重点：椭圆的标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导四、教学过程：1、问题情境：生活中存在着大量的椭圆，比如：餐桌问题1：汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状是椭圆，怎样设计才能精确地制造它们？问题2：把一个圆压扁了，像一个椭圆，它究竟是不是椭圆？问题3：电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的。
怎样才能准确地制造它们？学生回忆：椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做焦距．注：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？（1）平面内；若把平面内去掉，则轨迹是什么？（2）椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数；记为2a；两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即:F1F2＝2c.（3）常数212F F a >,若212F F a =，则轨迹是什么？若212F F a <呢？ 2建构数学：（1）回顾求圆的标准方程的基本步骤建立坐标系、设点、找等量关系、代入坐标、化简 ⑵如何建立适当的坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线 作为坐标轴。
) ①建立适当的直角坐标系：以直线21F F 为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的坐标系。
②设点：设P ),(y x 是椭圆上的任意一点， ∵c F F 221=，则)0,(1c F -，)0,(2c F③根据条件a PF PF 221=+得a y c x y c x 2)()(2222=+-+++（1④化简：（方法一：两边平方） )()(22222222c a a y a x c a -=+- 问①能否美化结论的形象？∵0>>c a ，∴022>-c a ，令222b c a =- 则：222222b a x a x b =+问②由直线方程的截距式是否可以得到启发？∴椭圆方程为：12222=+by a x思考：怎样推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？问题1:椭圆标准方程的特点是什么? 问题2: 如何判断椭圆焦点位置?一、基础训练1、求适合下列条件的椭圆方程 （1）a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上； （2）b=1，15=c ，焦点在y 轴上2、已知椭圆的方程为11003622=+y x ，则=a ，=b ，=c ，焦点坐标为： ，焦距为 如果曲线上一点P 到焦点1F 的距离为8，则点P 到另一个焦点2F 的距离等于 。
苏教版数学高二 选修1-1测评2.2.1 椭圆的标准方程
学业分层测评(六) 椭圆的标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.圆x225＋y216＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为________.【解析】设椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令MF1＝4，由MF1＋MF2＝2a＝10，得MF2＝10－MF1＝10－4＝6. 【答案】 62.若a＝6，b＝35，则椭圆的标准方程是________.【解析】椭圆的焦点在x轴上时，方程为x236＋y235＝1，在y轴上时，方程为y2 36＋x235＝1.【答案】x236＋y235＝1或y236＋x235＝13.(2016·汉中高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项.该椭圆的方程是________.【解析】∵PF1＋PF2＝2F1F2＝2×4＝8，∴2a＝8，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，∴椭圆方程是x216＋y212＝1.【答案】x216＋y212＝14.过(－3,2)点且与x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆方程为________.【解析】与x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆可设为x29－k＋y24－k＝1且k＜4，将(－3,2)代入得：k＝－6.【答案】 x 215＋y 210＝15.把椭圆x 216＋y 29＝1的每个点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标缩短到原来的13，则所得曲线方程为________.【导学号：24830028】【解析】 原方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1，所得曲线为x 2＋y 2＝1.【答案】 x 2＋y 2＝16.椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是________.【解析】 椭圆化为标准形式为x 214＋y 219＝1，∴a 2＝14，b 2＝19，∴c 2＝a 2－b 2＝14－19＝536，且焦点在x 轴上，故为⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，0.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，07.方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________.【解析】将方程化为x 22m ＋y 21－m＝1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m >0，1－m >0，2m >1－m ，解之得13<m <1.【答案】 13<m <18.椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1→·PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积为________.【解析】 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22且PF 1＋PF 2＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧PF 21＋PF 22＝64 ①PF 1＋PF 2＝10 ②②2－①，得2PF 1·PF 2＝102－64，∴PF 1·PF 2＝18，∴△F 1PF 2的面积为9. 【答案】 9 二、解答题9.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.10.已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程.【解】 (1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.[能力提升]1.(2016·绵阳高二检测)设P 是椭圆x 216＋y 29 ＝1上的点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则PF 1·PF 2的最大值是________.【解析】 由题意知：PF 1＋PF 2＝2a ＝8，所以PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16，当且仅当PF 1＝PF 2时取“＝”号，故PF 1·PF 2的最大值是16.【答案】 162.已知椭圆的两个焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ ＝PF 2，那么动点Q 的轨迹是________.【解析】 如图所示，因为P 是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF 1＋PF 2＝2a 为常数.又因为PQ ＝PF 2，所以PF 1＋PQ ＝2a ，即QF 1＝2a 为常数.即动点Q 到定点F 1的距离为定值，所以动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，以2a 为半径的圆.故Q 的轨迹为圆.【答案】 圆3.(2016·长沙高二检测)若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________.【解析】 如图所示， F 1F 2＝22，AF 1＋AF 2＝6，由AF 1＋AF 2＝6，得AF 21＋AF 22＋2AF 1·AF 2＝36.又在△AF 1F 2中， AF 21＋AF 22－F 1F 22＝2AF 1·AF 2cos 45°， 所以36－2AF 1·AF 2－8＝2AF 1·AF 2， 所以AF 1·AF 2＝282＋2＝14(2－2)，所以S △AF 1F 2＝12AF 1·AF 2 sin 45°＝12×14(2－2)×22＝7(2－1). 【答案】 7(2－1)4.已知点P (6,8)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，若PF 1→·PF 2→＝0.试求(1)椭圆的方程. (2)求sin ∠PF 1F 2的值.【解】 (1)因为PF 1→·PF 2→＝0，所以－(c ＋6)(c －6)＋64＝0，所以c ＝10， 所以F 1(－10,0)，F 2(10,0)，所以2a ＝PF 1＋PF 2＝(6＋10)2＋82＋(6－10)2＋82＝125，所以a ＝65，b 2＝80.所以椭圆方程为x 2180＋y 280＝1.(2)因为PF 1⊥PF 2，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12F 1F 2·y P ＝80，所以PF 1·PF 2＝160，又PF 1＋PF 2＝125，所以PF 2＝45，所以sin ∠PF 1F 2＝PF 2F 1F2＝4520＝55.。
2021年高中数学 2.2.1椭圆的标准方程同步练习(含解析)苏教版选修1-1
2021年高中数学 2.2.1椭圆的标准方程同步练习（含解析）苏教版选修1-1课时目标 1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念.3.能由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程．椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为______________ (a>b>0)，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)．注：(1)以上方程中a ，b 的大小为a>b>0，其中c 2＝__________；(2)在x 2a 2＋y 2b 2＝1和y 2a 2＋x2b2＝1两个方程中都有a>b>0的条件，要分清焦点的位置，只要看x 2和y 2的分母的大小即可．例如椭圆x 2m ＋y 2n＝1 (m>0，n>0，m≠n)，当m>n 时表示焦点在______轴上的椭圆；当m<n 时表示焦点在______轴上的椭圆．一、填空题1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________．2．椭圆x 216＋y27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．3．平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为________________________________________________________________________．4．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为________．5．方程x 22m －y2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．6．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．7．椭圆E ：x 216＋y24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________．8．椭圆x 29＋y22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若PF 1＝4，则PF 2＝______，∠F 1PF 2的大小为______． 二、解答题9．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.10.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且PM ＝PA ，求动点P 的轨迹方程．能力提升12.若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) 12.如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>F1F2时轨迹才是椭圆，如果2a＝F1F2，轨迹是线段F1F2，如果2a<F1F2，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1 (m，n为不相等的正数)．§2.2椭圆2．2.1 椭圆的标准方程知识梳理x2 a2＋y2b2＝1 F1(－c，0)，F2(c,0) 2cy2a2＋x2b2＝1(1)a2－b2(2)x y作业设计1．线段解析∵MF1＋MF2＝6＝F1F2，∴动点M的轨迹是线段．2．16解析由椭圆方程知2a＝8，由椭圆的定义知AF1＋AF2＝2a＝8，BF1＋BF2＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.3．椭圆或线段或无轨迹解析当2a>F1F2时，点M的轨迹是椭圆，当2a＝F1F2时，点M的轨迹是线段，当2a<F1F2时无轨迹.4.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2解析 因椭圆的焦点在x 轴上， 所以sin α>cos α>0，又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α<π2.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析 据题意⎩⎪⎨⎪⎧m －1<02m>0－m －1>2m ，解之得0<m<13.6．m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋Ra －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n.7．x ＋2y －4＝0解析 设弦的两个端点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 216＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k MN ＝－12，由点斜式可得弦所在直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.8．2 120° 解析∵PF 1＋PF 2＝2a ＝6， ∴PF 2＝6－PF 1＝2. 在△F 1PF 2中， cos ∠F 1PF 2＝ PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 9．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b 2＝1 (a>b>0)．由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a＝10.又∵c＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y 210＋x26＝1.10．解 ∵PM＝PA ，PM ＋PO 1＝4， ∴PO 1＋PA ＝4，又∵O 1A ＝23<4，∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c＝3，a ＝2，b ＝1，∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.11．6解析 由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x 0，y 0)， 则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203＝1.∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2， ∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值为6. 12.解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B(6,0)，C(－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，则BD ＋CE ＝30. 由重心性质可知GB ＋GC ＝23(BD ＋CE)＝20. ∵B、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． ∴2c＝BC ＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y264＝1 (x≠±10)．去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G(x′，y′)，A(x ，y)，则有x′2100＋y′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x 3，y′＝y3.故A 点轨迹方程为x 32100＋y 3264＝1.即x 2900＋y2576＝1 (x≠±30)．40691 9EF3 黳'Q{25679 644F 摏4^29697 7401 琁37119 90FF 郿X23531 5BEB 寫qN9。
【创新设计】2021-2021学年高中数学 2-2-1椭圆的标准方程标准训练 苏教版选修2-1(1)
椭圆2.2.1椭圆的标准方程双基达标(限时15分钟)1．椭圆x2m＋y215＝1的焦距等于2，那么m的值为__________．解析由m－15＝±1得m＝16或14.答案16或142．假设△ABC的两个极点坐标为A(－4，0)、B(4，0)，△ABC的周长为18，那么极点C的轨迹方程为____________．解析CA＋CB＝10，故a＝5，c＝4，b＝3，结合C点不在x轴上可得．答案x225＋y29＝1(y≠0)3．方程x225－m＋y2m＋9＝1表示核心在y轴上的椭圆，那么m的取值范围为____________．解析由m＋9>0，25－m>0，m＋9>25－m得8<m<25.答案8<m<254．已知椭圆上一动点到两定点F1、F2的距离之和为20，F1F2＝16，那么此椭圆的方程为________________．解析由2a＝20，2c＝16，知a＝10，c＝8，b＝6，但核心位置不确信，故有两个方程．答案x2100＋y236＝1或x236＋y2100＝15．以F1(－6，0)、F2(6，0)为核心，且过点P(5，2)的椭圆标准方程为______．解析由椭圆概念，得2a＝PF1＋PF2＝112＋22＋12＋22＝65，因此a＝3 5.又c ＝6，因此b 2＝a 2－c 2＝9. 故所求椭圆的方程为x 245＋y 29＝1. 答案x 245＋y 29＝1 6．求过点(－3，2)且与x 29＋y 24＝1有相同核心的椭圆的方程．解x 29＋y 24＝1的核心坐标为(±5，0)．设所求方程为x 2a2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)将(－3，2)代入方程得：9a 2＋4b 2＝1 ① 又a 2－b 2＝5②由①②解得a 2＝15，b 2＝10 ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 综合提高限时30分钟7．椭圆x 29＋y 225＝1的核心为F 1，F 2，AB 是椭圆过核心F 1的弦，那么△ABF 2的周长是________．解析 由概念|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10.周长＝4a ＝20. 答案 208．椭圆2x 2＋3y 2＝12的两核心之间的距离是________． 解析 a 2＝6，b 2＝4，c 2＝2，∴c ＝2，2c ＝22.答案 229．已知椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个核心为(0，2)，那么m 的值为________．解析 方程变形为x 26＋y 22m＝1.∵核心在y 轴上，∴2m >6，解得m >3， 又c ＝2，∴2m －6＝22，∴m ＝5. 答案 510．椭圆x 29＋y 22＝1的核心为F 1、F 2，点P 在椭圆上，假设PF 1＝4，那么PF 2＝________；∠F 1PF 2的大小为________． 解析 依题知a ＝3，b ＝2，c ＝7.由椭圆概念得PF 1＋PF 2＝6，∵PF 1＝4，∴PF 2＝2.又F 1F 2＝27.在△F 1PF 2中由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 答案 2 120° 11．椭圆的右核心为F (3，0)，与两坐标轴正向的交点为A 、B ，且|AB |＝3，求椭圆的标准方程．解 由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，又a 2＋(a 2－3)＝32，∴a 2＝6，故椭圆方程为x 26＋y 23＝1.12．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且PM ＝PA ，求动点P 的轨迹方程．解 ∵PM ＝PA ，PM ＋PO 1＝4， ∴PO 1＋PA ＝4，又∵O 1A ＝23<4，∴点P 的轨迹是以A 、O 1为核心的椭圆， ∴c ＝3，a ＝2，b ＝1，∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.13．(创新拓展)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两核心的距离别离为453和253，过P 作x 轴的垂线恰好于椭圆的一个核心，求椭圆的方程．解 设椭圆的两个核心为F 1、F 2，PF 1＝453，PF 2＝253.由椭圆的概念，得2a ＝PF 1＋PF 2＝453＋253＝25，因此a ＝ 5.由PF 1>PF 2，知PF 2垂直于x 轴， 在Rt △PF 2F 1中，由勾股定理，得 4c 2＝PF 12－PF 22＝609，因此c ＝53， 从而b 2＝a 2－c 2＝103. 故所求椭圆的方程为x 25＋3y 210＝1.。
苏教版高中数学选修1-1：椭圆的标准方程_课件1(1)
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，
∴
设
所
求
椭
圆
的
标
准
方
程
为
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)．由椭圆定义知
2a ＝
－322＋52＋22
＋
－322＋52－22＝2 10， 即 a＝ 10.又 c＝2，∴b2＝a2－c2＝6，
∴所求椭圆的方程为1y02 ＋x62＝1.
即 62 ＝ |PF1|2 ＋ 2|PF1|·|PF2| ＋ |PF2|2 －
2|PF1|·|PF2|－ 3·|PF1|·|PF2|，
∴(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－ 36＝100－36＝64，
即|PF1|·|PF2|＝2＋64 3＝64×(2－ 3)，
∴
S
△
F1PF2
(4)得方程：解方程组，代入所设方程即
为所求．
知能优化训练
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解得ab22＝ ＝51，5.
因为 a<b，所以方程无解．
故所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝ 1(m>0，n>0)．依题意有
3m＋4n＝1， 12m＋n＝1，
解得m＝115， n＝15，
所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
例3
(本题满分
14
分)已知
P
为椭圆 x2 ＋ 25
47y52＝1 上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，
∠F1PF2＝60°，求△ F1PF2 的面积．
【思路点拨】 在△F1PF2中，结合椭圆的 定义利用余弦定理等解之．
(教师用书)高中数学 2.2.1 椭圆的标准方程配套课件 苏教版选修1-1
(2)由题意，知椭圆的焦点在 y 轴上，且 c＝4，故设椭圆 y2 x2 的方程是 2＋ 2 ＝1(a2－16＞0)．由于点( 5，－3 3)在椭 a a －16 27 5 圆上，则有 2 ＋ 2 ＝1，解得 a2＝36(a2＝12 舍去)， a a －16 所以 b2＝a2－16＝20. y2 x2 所以椭圆的标准方程是 ＋ ＝1. 36 20
椭圆的标准方程
【问题导思】 1．给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张硬纸板，你 能画出椭圆吗？
【提示】 固定两个图钉，将绳子两端固定在图钉上且
绳长大于图钉间的距离，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在纸板 上移动就可以画出一个椭圆．
2．求曲线的方程通常分为几步？ 【提示】 四步：建系、设点、列式、化简．
焦点在 x 轴上
采用贴近学生最近发展区的问题串让学生探索知识的产 生和发展，让学生提高自己的能力．构建自己的知识网络、 激发学生的学习兴趣和创新能力、帮助学生养成独立思考积 极探索的习惯．
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难 点) 2．会求椭圆的标准方程．(重点) 3．能运用椭圆的标准方程处理一些简 单的实际问题.
2．2 2．2.1
椭
圆
椭圆的标准方程
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解椭圆的定义． (2)掌握椭圆的标准方程，同时在化简椭圆方程的过程中 提高学生的运算能力． 2．过程与方法 通过探究点的运动情况经历椭圆概念的形成过程，学习 在问题中发现数量关系，提炼数学概念的能力．
3．情感、态度与价值观 (1)发挥学生的主体地位，让学生在试验中通过观察、尝 试、思考、归纳、反思，改进最终形成概念增强学生的问题 意识． (2)重视学生的知识获得过程，知其然更知其所以然，让 他们在经历知识产生过程中找到学习数学的乐趣，激发学习 数学的热情．
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§2.2 椭 圆 2．2.1 椭圆的标准方程(一) 一、基础过关
1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________．
2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 2
9
＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为________． 3．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 2
3－m
＝1表示椭圆”的______________条件． 4．已知F 1，F 2是椭圆x 224＋y 2
49
＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1∶PF 2＝4∶3，则三角形PF 1F 2的面积等于________．
5．焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为________________．
6．方程x 22m －y 2
m －1
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． 7.已知如图椭圆两焦点为F 1、F 2，且方程为49
x 2＋y 2＝1，过F 1作 直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为______．
8．求经过两点P 1⎝⎛⎭⎫13，13，P 2⎝
⎛⎭⎫0，－12的椭圆的标准方程． 二、能力提升
9．已知两椭圆ax 2＋y 2＝8与9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则a 的值为________．
10．已知椭圆x 225＋y 2
9
＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．
11．已知椭圆y 2a 2＋x 2
b
2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；
(2)设点P 在这个椭圆上，且PF 1－PF 2＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．
12.如图，已知椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1，P 点是椭圆上的一点，且∠F 1PF 2 ＝60°，求△PF 1F 2的面积．
三、探究与拓展
13．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22
，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持PA ＋PB 的值不变，求曲线E 的方程．
答案
1．线段
2．18
3．必要不充分
4．24
5.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213
＝1 6．0<m <13
7．6
8．解 方法一 ①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)， 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，
⎝⎛⎭⎫－122
b 2＝1，⇒⎩⎨⎧ a 2＝15，b 2＝14. ∵a 2＝15<14＝b 2，∴方程无解． ②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2
＝1 (a >b >0)， 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，
⎝⎛⎭⎫－122
a 2＝1，⇒⎩⎨⎧ a 2＝14，
b 2＝15.
故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215
＝1. 方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0)．
依题意，得⎩⎨⎧ A ⎝⎛⎭⎫132＋B ⎝⎛⎭⎫132＝1，B ⎝⎛⎭⎫－122＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧
A ＝5，
B ＝4.
故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 214
＝1. 9．9或917
10．4
11．解 (1)依题意知c ＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，
所以a 2－34a 2＝1，即14
a 2＝1. 所以a 2＝4.
因此b 2＝3.
从而椭圆方程为y 24＋x 23
＝1. (2)由于点P 在椭圆上，
所以PF 1＋PF 2＝2a ＝2×2＝4，
又PF 1－PF 2＝1，
所以PF 1＝52，PF 2＝32
， 又F 1F 2＝2c ＝2，所以由余弦定理得
cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222·PF 1·PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35
. 即∠F 1PF 2的余弦值等于35
. 12．解 由已知得a ＝2，b ＝3，
所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，
∴F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，
F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·
PF 2·cos 60°， ∴4＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2－2PF 1·PF 2·cos 60°，
∴4＝16－3PF 1·PF 2，
∴PF 1·PF 2＝4，
∴S △PF 1F 2＝12
PF 1·PF 2·sin 60° ＝12×4×32
＝ 3. 13．解 如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，
建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中，
BC ＝AC 2＋AB 2＝322
， ∵PA ＋PB ＝CA ＋CB ＝
22＋322 ＝22，
且PA ＋PB >AB ，
∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1.
∴所求曲线E 的方程为x 22
＋y 2＝1.。