(2011高考备战冲刺指导)高考新课标数学选修4-5柯西不等式教学题库大全[1]
选修4-5 第三节 柯西不等式与算术—几何平均不等式2
5、2009年浙江省样卷
二、高考考题解析 1 1 1．(2010· 辽宁沈阳)已知实数 x，y 满足 2＋ 2＝1， x y 求 x2＋2y2 的最小值．
1 1 1 2．已知 a，b，c 为正实数，求a3＋b3＋c3＋abc 的最小值．
解：因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ≥3 ··， a3 b3 c3 a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3＋ 3＋ c 3 ≥abc. a b 1 1 1 3 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥abc＋abc. a b c
2 2 解：∵2x＋ ＝2(x－a)＋ ＋2a≥4＋2a， x－a x－a ∴7≤4＋2a 3 3 ∴a≥2，∴amin＝2
4. 实数x,y满足xy>0,且x2y=4,求xy+x2的最小值.
解 : xy 0, x y 4,
2
4 y 2 0, x 0. x 4 4 2 2 xy x x 2 x x 2 x x
选修4—5 不等式选讲第三讲（两课时）
柯西不等式与算术—几何平均不等式 1.能利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式， 解决最——几何平均不等 式证明一些简单不等式，解决最大（小）值的 问题，了解基本不等式的推广形式（n个正数 的形式）.
[基础知识]
1 1 1 法二：左边＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]( ＋ ＋ ) a＋b b＋c c＋a a＋b a＋b b＋c b＋c c＋a c＋a ＝3＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b c＋a a＋b b＋c ≥3＋2 a＋b b＋c · ＋2 b＋c a＋b a＋b c＋a · ＋ c＋a a＋b
高二数学选修4-5：第二章 2.1 柯西不等式
又 a，b，c 为正实数，∴a＋b＋c>0.
∴ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
利用柯西不等式求最值
[例 3] 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6 的最大值．
[思路点拨] 本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题 需要利用好特定条件，设法去掉根号．
[精解详析] 根据柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥(1× 2x＋1＋1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2， 故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30.
2．设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明：∵ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)
＝
a 2＋ b
b 2＋ c
ca2·[(
b)2＋(
c)2＋(
a)2]
≥
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a2＝(a＋b＋c)2，
即ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
8．已知 x，y，z 均为正实数，且 x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值 为________．
解析：利用柯西不等式．
由于(x＋y＋z)1x＋4y＋9z ≥
x·1x＋
y·2y＋
z·3z2＝36，
所以1x＋4y＋9z≥36.
当且仅当 x2＝14y2＝19z2，即 x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．∴
≥a1＋a2＋…＋an，
∴ a12＋a22＋…＋a2n· n≥a1＋a2＋…＋an.
即得
a21＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an，∴P≥Q.
答案：B
二、填空题 5．设 a，b，c，d，m，n 都是正实数，P＝ ab＋ cd，Q＝
北师大版数学高二-选修4-5 柯西不等式练习3)
选修4-5 柯西不等式练习3)221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . ..63625B C D3.______y =函数 224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是6、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.10、若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
13、解方程()()()22221111211x x x x x x +⋅++=+++参考答案:例1 例2 例3例4 {222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为练习1．A 2、B 3．3 4．11 5．2526．分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：31102y x x =-+-→ 推广：,(,,,,,)y a bx c d e fx a b c d e f R +=++-∈7．（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 8．分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：222211111111()()[()()][()()]22x y x y x y x y x y+=++=++≥… 9．要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法10、要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 11、设点()111,x y P 是直线l 上的任意一点， 则110x x C A +B += （1） 点01,P P 两点间的距离: ()()22010101p p x x y y =-+- （2）01p p 的最小值就是点0p 到直线l 的距离， ∵ ()()()()222201010101x x y y x x y y A +B-+-≥A -+B -()0011x y C x y C =A +B +-A +B + 由（1）（2）得： 221200p p x y C A +B≥A +B + 即001222x y C p p A +B +≥A +B（3）当且仅当 ()()0101:y y x x B --=A12p p l ⊥ （3）式取等号 即点到直线的距离公式即001222x y C p p A +B +=A +B12. 证明：由柯西不等式，得()[]()[]11111222222=-+-+≤-+-b b a a a b b a当且仅当a b ab2211-=-时，上式取等号， ,1122b a ab -•-=∴ ()(),112222b ab a --= 于是 122=+b a。
【最新!决胜高考精品高中数学课件-教师版】人教版数学选修4-5--柯西不等式
柯西不等式知识集结知识元柯西不等式知识讲解1．二维形式的柯西不等式【知识点的认识】柯西不等式的二维形式1．柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则（a12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2（当且仅当a1b2＝a2b1时，等号成立）．2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α•β|．3．二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么+≥．【关键要点点拨】柯西不等式的形式特点从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”．2．一般形式的柯西不等式【知识点的认识】柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，a n，b1，b2，…b n为实数，则（++…+）•（++…+）≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2．基本不等式的一般形式≥．（a1，a2，…，a n∈R+）例题精讲柯西不等式例1.（2019∙香坊区校级三模）关于x的不等式|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为3（m为整数）．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．【答案】详见解析【解析】题干解析:（1）由关于x的不等式|2x-m|≤1，可得，∵关于x的不等式|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为3，则，即5<m<7，又m为整数，则m=6。
（2）由4a4+4b4+4c4=6有，由柯西不等式有，当且仅当时，等号成立，所以a2+b2+c2的最大值为．例2.（2018∙南京一模）已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．【答案】详见解析【解析】题干解析:由柯西不等式，得[x2+（）2][12+（）2]≥（x∙1+）2，即≥（x+y）2。
而x2+3y2=1，所以（x+y）2，所以-，…（5分）由，得，所以当且仅当x=，y=时，（x+y）max=．所以当x+y取最大值时x值为．…（10分）当堂练习单选题练习1.（2018春∙重庆期末）若正实数a、b、c满足ab+bc+ac=2-a2，则2a+b+c的最小值为（）A．2 B．1 C．D．2【解析】题干解析:正实数a、b、c满足ab+bc+ac=2-a2，则：a2+ab+bc+ac=（a+b）（a+c）=2，所以：2a+b+c=（a+b）+（a+c）=2。
高中数学 柯西不等式教学题库 新人教版选修4-5
新课标数学选修4-5柯西不等式教学题库大全一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαββαβαk k =≤借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法（1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ （3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a，则b a ⋅之最小值为________；此时________。
答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a∴1818≤⋅≤-b ab a⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b 【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2= 16，则a b 的最大值为 。
高考数学(理)一轮复习文档 选修4-5 不等式选讲 第3讲 柯西不等式与排序不等式 Word版含答案
第3讲柯西不等式与排序不等式)1．二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）22．柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．3．排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，则有：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．柯西不等式的证明若a，b，c，d都是实数，求证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc 时，等号成立．【证明】因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd＝a2d2＋b2c2－2adbc＝(ad－bc)2≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立．即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ，所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．如下：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．由|CA|＋|CB|≥|BA|与两点间的距离公式得（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.当且仅当点C位于线段BA上时取等号．设a 1，a 2，b 1，b 2为实数，求证：a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2. (a 21＋a 22＋b 21＋b 22)2＝a 21＋a 22＋2a 21＋a 22b 21＋b 22＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22＋2|a 1b 1＋a 2b 2|＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22－2(a 1b 1＋a 2b 2)＋b 21＋b 22 ＝(a 21－2a 1b 1＋b 21)＋(a 22－2a 2b 2＋b 22) ＝(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2，所以a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2.利用柯西不等式求最值已知正实数u ，v ，w 满足u 2＋v 2＋w 2＝8，求u 49＋v 416＋w 425的最小值．【解】 因为u 2＋v 2＋w 2＝8.所以82＝(u 2＋v 2＋w 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 23·3＋v 24·4＋w 25·52≤⎝ ⎛⎭⎪⎫u 49＋v 416＋w 425(9＋16＋25)，所以u 49＋v 416＋w 425≥6450＝3225.当且仅当u 23÷3＝v 24÷4＝w 25÷5，即u ＝65，v ＝85，w ＝2时取到“＝”，所以当u ＝65，v＝85，w ＝2时u 49＋v 416＋w 425的最小值为3225.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．1．设x ，y ，z ∈R ，2x －y －2z ＝6，试求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 考虑以下两组向量u ＝(2，－1，－2)，v ＝(x ，y ，z )，根据柯西不等式(u ·v )2≤|u |2·|v |2，得2≤(x 2＋y 2＋z 2)，即(2x －y －2z )2≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 将2x －y －2z ＝6代入其中， 得36≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 即x 2＋y 2＋z 2≥4， 故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.2．设x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值． 根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y ＋2z )2≤9×25， 所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.利用柯西不等式证明不等式设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003.【证明】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13(12＋12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋（a ＋b ＋c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥13×(1＋9)2＝1003， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，所以所求证的不等式成立．利用柯西不等式证明的关键是恰当构造变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．注意等号成立的条件．1．已知a ，b 为正数，求证1a ＋4b ≥9a ＋b .因为a >0，b >0，所以由柯西不等式，得(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·4b 2＝9，当且仅当a ＝12b 时取等号，所以1a ＋4b ≥9a ＋b . 2．设a ，b >0，且a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.利用排序不等式求最值设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．【证明】 不妨设a ≥b ≥c ， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b，由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.求最小(大)值时，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当的一个或两个乱序和，从而求出其最小(大)值．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值．令S ＝1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ），则S ＝（abc ）2a 3（b ＋c ）＋（abc ）2b 3（a ＋c ）＋（abc ）2c 3（a ＋b ）＝bc a （b ＋c ）·bc ＋ac b （a ＋c ）·ac ＋abc （a ＋b ）·ab .由已知可得：1a （b ＋c ）≥1b （a ＋c ）≥1c （a ＋b ），ab ≤ac ≤bc .所以S ≥bc a （b ＋c ）·ac ＋ac b （a ＋c ）·ab ＋abc （a ＋b ）·bc＝c a （b ＋c ）＋a b （a ＋c ）＋bc （a ＋b ）.又S ≥bc a （b ＋c ）·ab ＋ac b （a ＋c ）·bc ＋abc （a ＋b ）·ac＝b a （b ＋c ）＋c b （a ＋c ）＋ac （a ＋b ），两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥331abc＝3.所以S ≥32，即1a 3（b ＋c ）＋1b 3（a ＋c ）＋1c 3（a ＋b ）的最小值为32.1．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c的最小值．因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝·⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a＋b ·2b＋c ·2c 2＝18.所以2a ＋2b ＋2c≥2.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 所以2a ＋2b ＋2c的最小值为2.2．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n (n ≥2，n ∈N *)的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n. 设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n－1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1， 则1c 1 >1c 2>…>1c n －1，且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n. 故原不等式成立．3．已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32.由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·≥(x ＋y ＋z )2＝27. 又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183，所以x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32，当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．4．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求x ＋y ＋z 的值． 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2， 即(x ＋2y ＋3z )2≤14， 因此x ＋2y ＋3z ≤14. 因为x ＋2y ＋3z ＝14， 所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414， 于是x ＋y ＋z ＝3147.5．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值． 由柯西不等式得 (4＋4＋1)×≥2， 所以9≥(2a ＋2b ＋c －1)2. 因为2a ＋2b ＋c ＝8，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，所以(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.6．已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.。
高中数学选修4-5柯西不等式与排序不等式第3讲3人教版
①
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
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再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 ＋ ＋ ≤ ＋ ＋ ， a b c b c c
11 11 11 a b c 即 a10＋b10＋c10≤ ＋ ＋ . b c a
[ 思路点拨]
由于题目中已明确 a≥b≥c， 所以解答本题时
可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
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[ 解题过程]
1 1 ∵a≥b>0，于是 ≤ ， a b
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 同理 ≥ ， ca ab 1 1 1 从而 ≥ ≥ . bc ca ab
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1．顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1， c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝
a1b1＋a2b2＋…＋anbn 1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和____________________ a1c1＋a2c2＋…＋ancn 为乱序和，称相反顺序 为顺序和，称_____________________
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字母的大小顺序已确定的不等式的证明
数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案
数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知a，b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为（）A.18B.9C.3√2D.2√32. 已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[−1, 1]的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知正实数a，b，c，若a2+b2+4c2=1，则ab+2ac+3√2bc的最大值为（）A.1B.√22C.√2D.2√24. 设变量x，y满足|x−2|+|y−2|≤1，则y−xx+1的最大值为（）A.1 3B.12C.−14D.−135. 若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab−3bc+2c2的最大值为（）A.1B.2C.3D.46. 已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则√x+√+√3z的最大值是（）A.2B.2√2C.2√3D.37. 已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2+y2+z2=10，a2+b2+c2=90，ax+by+cz=30，a+b+c=k(x+y+z)，则k=()A.19B.13C.3D.98. 设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A.209B.115C.65D.1169. 实数a i(i=1, 2, 3, 4, 5, 6)满足(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2=1则(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为（）A.3B.2√2C.√6D.110. 若2x+3y+5z=29，则函数μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6的最大值为（）A.√5B.2√15C.2√30D.√3011. 若x、y为非零实数，代数式x2y2+y2x2−8(xy+yx)+15的取值范围是________．12. 请用柯西不等式求解．已知a、b、x、y都是正实数，且ax +by=1，则x+y的最小值为________．13. 已知a，b，c都是正数，且2a+b+c=6，则a2+ab+ac+bc的最大值为________．14. 已知a，b，c，d都是正数，a2+b2+c2=d2，a+b+c=dx，则x的取值范围是________．15. 若p，q，r为正实数，且1p +1q+1r=1，则p+q+r的最小值是________．16. 函数f(x)=√x−5+√24−3x的最大值为________．17. 已知a+b+c=0，则ab+bc+ca的值________0．（选填“>，<，≥，≤”）．18. （不等式选讲选做题）已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，则a的取值范围为________．19. 已知θ∈(5π4, 3π2)，若存在实数x，y同时满足cosθx=sinθy，sin2θx2+cos2θy2=52(x2+y2)，则tanθ的值为________．20. 已知实数x，y，z满足x+y+z=0，x2+y2+z2=1，则x的最大值不小于________．21. 已知关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立（1）求m的取值范围；（2）在（1）的条件下求函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值．22. 已知x2+y2+z2=1，求xy+yz最大值．23. 己知a，b，c为正实数，且a+b+c=2．（1）求证：ab+bc+ac≤43；（2）若a，b，c都小于1，求a2+b2+c2的取值范围．24. 已知函数f(x)=√t+2|x+1|−|x−3|的定义域为R．(1)求实数t的取值范围；(2)设实数m为t的最小值，若实数a，b，c满足a2+b2+c2=m2，求1a2+1+1b2+2+1c2+3的最小值．25. 在空间直角坐标系O−xyz中，坐标原点为O，P点坐标为(x, y, z)．（1）若点P在x轴上，且坐标满足|2x−5|≤3，求点P到原点O的距离的最小值；（2）若点P到坐标原点O的距离为2√3，求x+y+z的最大值．26. 设a，b，c，d∈R，a2+b2=c2+d2=1，求abcd的最大值．27. 已知(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2=1，求(a6+ a5)−(a1+a4)的最大值．28. 已知3x2+2y2≤6，求2x+y的最大值．29. 已知|x−2y|=5，求证：x2+y2≥5．30. 已知x，y，z满足x−1=y+12=z−23，试求当x，y，z分别为何值时，x2+y2+z2有最小值，最小值为多少．31. 若M≥|ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)|a2+b2+c2对一切实数a、b、c都成立，求最小的实数M．32. 已知a+b=1，求证：a3+b3+3ab=1．33. 已知a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2．求y max=？34. 设x，y，z∈R，且(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24=1，求x+y+z最大值与最小值．35. 若存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立，求常数a的取值范围．36. 已知a+b+c=1．a2+b2+c2=1，求a+b的取值范围．37. 已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值．38. 正数a，b，c，A，B，C满足条件a+A=b+B=c+C=k，证明：aB+bC+ cA<k2．39. 已知a12+a22+...+a n2=1，x12+x22+...+x n2=1，求证：a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．40. 已知a，b，c∈N+，满足abc(a+b+c)=1．（1）求S=(a+c)(b+c)的最小值；（2）当S取最小值时，求c的最大值．参考答案与试题解析数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】利用柯西不等式，即可求出√a +1+√b +3的最大值． 【解答】解：由题意，(√a +1+√b +3)2≤(1+1)(a +1+b +3)=18， ∴ √a +1+√b +3的最大值为3√2， 故选：C ． 2.【答案】 A【考点】柯西不等式的几何意义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用柯西不等式2a 2+3b 2+6c 2=1，推出−1≤a +b +c ≤1，通过−1≤a +b +c ≤1利用特例否定2a 2+3b 2+6c 2=1，利用充要条件的判断方法推出结果． 【解答】解：由柯西不等式得：|a +b +c|≤|a|+|b|+|c| =√2⋅√2|a|+√3√3|b|√6⋅√6|c|≤√(√2)2+(√3)2+(√6)2⋅√(√2|a|)2+(√3|b|)2+(√6|c|)2=1，(2a 2+3b 2+6c 2=1)所以−1≤a +b +c ≤1，反之，当−1≤a +b +c ≤1时，不妨令a =0.9，b =0，c =0.1；2a 2+3b 2+6c 2=1.68>1，所以2a 2+3b 2+6c 2=1是a +b +c ∈[−1, 1]的充分不必要条件． 故选A ． 3.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】a 2+b 2+4c 2=(12a 2+12a 2)+(14b 2+34b 2)+(c 2+3c 2)，调整，利用基本不等式，即可得出结论．解：设a 2+b 2+4c 2=(12a 2+12a 2)+(14b 2+34b 2)+(c 2+3c 2)=(12a 2+14b 2)+(12a 2+c 2)+(34b 2+3c 2) ≥2+√2ac +3bc .∴ ab +2ac +3√2bc ≤√2， 当且仅当a =√55，b =2c =√105时，等号成立． ∴ ab +2ac +3√2bc 的最大值为√2． 故选C ． 4.【答案】 B【考点】柯西不等式的几何意义 【解析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案． 【解答】解：如图即为满足不等|x −2|+|y −2|≤1的可行域，是一个正方形， 得A(1, 2)，B(2, 1)，C(3, 2)，D(2, 3)． 当x =1，y =2时，则y−x x+1=12，当x =2，y =1时，则y−xx+1=−13， 当x =3，y =2时，则y−xx+1=−14， 当x =2，y =3时，则y−xx+1=13， 则y−xx+1有最大值12．故选B ．5.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式不妨考虑c，当c=0时，运用重要不等式a2+b2≥2ab，求得最大值；再由当c≠0时，3ab−3bc+2c2=3ab−3bc+2c2a2+b2+c2，分子分母同除以c2，设x=ac，y=bc，再整理成二次方程，由于x为实数，运用判别式大于等于0，再由y为实数，判别式小于等于0，即可解得所求的范围，进而得到最大值．【解答】解：不妨考虑c，当c=0时，有3ab−3bc+2c2=3ab≤3(a2+b2)2=32，当c≠0时，3ab−3bc+2c2=3ab−3bc+2c2a2+b2+c2=(ac)2+(bc)2+1˙，设x=ac ，y=bc，则可令M=3ab−3bc+2c2=3xy−3y+2x2+y2+1，即有Mx2−3xy+My2+M+3y−2=0，由于x为实数，则有判别式△1=9y2−4M(My2+M+3y−2)≥0，即有(9−4M2)y2−12My−4M(M−2)≥0，由于y为实数，则△2=144M2+16M(9−4M2)(M−2)≤0，即有M(M−3)(2M2+2M−3)≤0，由于求M的最大值，则M>0，则M≤3．故选：C．6.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，可得(1+2+3)(x+y+z)≥(√x+√2y+√3z)2，结合x+y+z= 2，即可求出√x+√2y+√3z的最大值．【解答】解：∵x、y、z是正数，∴(1+2+3)(x+y+z)≥(√x+√2y+√3z)2，∵x+y+z=2，∴√x+√2y+√3z≤√6⋅2=2√3，∴√x+√2y+√3z的最大值是2√3．故选：C．7.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：因为x2+y2+z2=10，a2+b2+c2=90，ax+by+cz=30，所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2，又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2等号成立，当且仅当ax =by=cz=k，则a=kx，b=ky，c=kz，代入a2+b2+c2=90，得k2(x2+y2+z2)=90，于是k=3，故选：C．8.【答案】A【考点】二维形式的柯西不等式【解析】运用柯西不等式：(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2，当且仅当ad =be=cf等号成立．【解答】解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴(22+22+12)(x2+4y2+9z2)=9×4≥(2x+4y+3z)2=36，∴可设2x =22y=13z=k，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=32，∴x+y+z=2k +1k+13k=209．故选A．9.【答案】B【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2，结合条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2，故选B．10.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤(2x+1+3y+4+ 5z+6)(12+12+12)，利用条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤(2x+1+3y+ 4+5z+6)(12+12+12)∵2x+3y+5z=29，∴(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤120，∴μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6≤2√30，∴μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6的最大值为2√30．故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】[−3, +∞)【考点】二维形式的柯西不等式【解析】令xy +yx=t，运用基本不等式，求出t的范围，将原式化为二次函数，配方，分别求出范围，再求并集．【解答】解：令xy +yx=t，则若xy>0，则t≥2，若xy<0，则t≤−2，∴原式=t2−2−8t+15=t2−8t+13=(t−4)2−3，当t≥2时，t=4时，原式取最小值为−3，无最大值，当t≤−2时，原式取最小值，且为33，∴原式的取值范围是[−3, +∞)．故答案为：[−3, +∞)．12.【答案】a+b+2√ab【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据二维形式的柯西不等式的代数形式，即可求解．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，可得(ax +by)(x+y)≥(√ax⋅√x+√by⋅√y)2，∵ax +by=1，∴x+y≥(√a+√b)2=a+b+2√ab，∴x+y的最小值为a+b+2√ab，故答案为：a+b+2√ab．13.【答案】9【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用基本不等式，a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)≤√a+b+a+c2，即可得出结论．【解答】解：∵a，b，c都是正数，∴a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)≤(a+b+a+c2)2，∴2a+b+c=6，∴a2+ab+ac+bc≤9，∴a2+ab+ac+bc的最大值为9，故答案为：9．14.【答案】(1, √3]【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据题意，得(ad )2+(bd)2+(cd)2=1，x=ad+bd+cd；利用换元法，设ad=m，bd=n，cd=p，(m>0, n>0, p>0)，则m2+n2+p2=1，求x=m+n+p的取值范围即可；再利用柯西不等式以及放缩法即可求出m+n+p的取值范围．【解答】解：∵a，b，c，d都是正数，a2+b2+c2=d2，∴(ad )2+(bd)2+(cd)2=1；又∵a+b+c=dx，∴x=ad +bd+cd；设ad =m，bd=n，cd=p，且m>0，n>0，p>0，则m2+n2+p2=1，x=m+n+p；由柯西不等式得：3=(12+12+12)•(m2+n2+p2)≥(1⋅m+1⋅n+1⋅p)2，∴−√3≤m+n+p≤√3，当且仅当{m=n=pm2+n2+p2=1，即m=n=p=√33时，取得最大值√3；又∵m>0，n>0，p>0，∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np>m2+n2+p2=1，∴m+n+p>1；综上，1<m+n+p≤√3，即x的取值范围是(1, √3]．故答案为：(1,√3]．15.【答案】9【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由题意可得p+q+r=(p+q+r)(1p +1q+1r)=3+pq+pr+qp+qr+rp+rq，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：若p，q，r为正实数，且1p +1q+1r=1，则p+q+r=(p+q+r)(1p +1q+1r)=3+pq+pr+qp+qr+rp+rq≥3+6=9，当且仅当q=q=r=3时，等号成立，故p+q+r的最小值是9，故答案为：9．16.【答案】2√3【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅当bc=ad取得等号，即可得到最大值．【解答】解：函数f(x)=√x−5+√24−3x=√x−5+√3⋅√8−x≤√(1+3)(x−5+8−x)=2√3，当√8−x=√3⋅√x−5，即为x=234，则有f(x)的最大值为2√3．故答案为：2√3．17.【答案】≤【考点】二维形式的柯西不等式【解析】先把a+b+c=0两边分别平方，得：(a+b+c)2=0，然后展开移项即可得到答案．【解答】解：因为a+b+c=0，所以(a+b+c)2=0．展开得ab+bc+ca=−a 2+b2+c22，所以ab +bc +ca ≤0． 故答案为：≤． 18. 【答案】[211, 2] 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 由4−a 2=(2b 2+3c 2)×1=65(2b 2+3c 2)(12+13)≥(b +c)2⋅65=(a −2)2⋅65．得到关于a 的不等关系：20−5a 2≥6(a 2−4a +4)解之即得a 的取值范围． 【解答】解：由4−a 2=(2b 2+3c 2)×1=65(2b 2+3c 2)(12+13)≥(b +c)2⋅65=(a −2)2⋅65． ∴ 20−5a 2≥6(a 2−4a +4) ∴ 11a 2−24a +4≤0， ∴ 211≤a ≤2．则a 的取值范围为[211, 2]． 故答案为：[211, 2]． 19. 【答案】√2【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 设cos θx =sin θy=t ，求出sin θ、cos θ的值，代人另一式化简，再由sin 2θ+cos 2θ=1，求出y 2x 2+x 2y 2=52；利用tan θ=sin θcos θ=yx 得出方程tan 2θ+1tan 2θ=52，求出方程的解，再考虑θ∈(5π4, 3π2)，从而确定tan θ的值．【解答】 解：设cos θx=sin θy=t ，则sin θ=ty ，cos θ=tx ， 所以sin 2θx +cos 2θy =52(x +y )可化为：(ty)2x 2+(tx)2y 2=52(x 2+y 2)①；又sin 2θ+cos 2θ=t 2x 2+t 2y 2=1，得t2=1x2+y2②；把②代入①，化简得y 2x2+x2y2=52③；又tanθ=sinθcosθ=yx，所以③式化为tan2θ+1tan2θ=52，解得tan2θ=2或tan2θ=12；所以tanθ=±√2或tanθ=±√22；又θ∈(5π4, 3π2)，所以tanθ>1，所以取tanθ=√2．故答案为：√2．20.【答案】√22【考点】二维形式的柯西不等式【解析】设x2最大，然后根据条件可得2x2=1+2yz，可确定x与y异号，x与z异号则yz≥0，所以2x2≥1，从而求出所求．【解答】解：设x2最大因为x+y+z=0且x2+y2+z2=1所以2x2=1+2yz因为x+y+z=0，x2≥y2，x2≥z2所以x与y异号，x与z异号∴yz≥0∴2x2≥1，x2≥12．x≥√22，或x≤−√22．∴x的最大值不小于√22．故答案为：√22．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：（1）∵关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立，可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值．根据柯西不等式，有(√2−x+√x+1)2=(1⋅√2−x+1⋅√x+1)2≤[12+12]⋅[(√2−x)2+(√x+1)2]=6，所以√2−x+√x+1≤√6，当且仅当x=12时等号成立，故m>√6．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，∴f(m)≥3√12(m−2)⋅12(m−2)⋅1(m−2)23+2=32√23+2，当且仅当12(m−2)=1(m−2)2，即m=√23+2>√6时取等号，所以函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值为32√23+2．【考点】二维形式的柯西不等式函数恒成立问题【解析】（1）由题意可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值，再利用柯西不等式求得式子√2−x+√x+1的最大值，可得m的范围．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，再利用基本不等式，求得它的最小值．【解答】解：（1）∵关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立，可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值．根据柯西不等式，有(√2−x+√x+1)2=(1⋅√2−x+1⋅√x+1)2≤[12+12]⋅[(√2−x)2+(√x+1)2]=6，所以√2−x+√x+1≤√6，当且仅当x=12时等号成立，故m>√6．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，∴f(m)≥3√12(m−2)⋅12(m−2)⋅1(m−2)23+2=32√23+2，当且仅当12(m−2)=1(m−2)2，即m=√23+2>√6时取等号，所以函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值为32√23+2．22.【答案】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=√2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．【考点】柯西不等式的几何意义【解析】先将题中条件转化为1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)，再利用基本不等式即可求出xy+yz的最大值．【解答】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．23.【答案】（1）证明：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca=8∴8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca≥6ab+6abc+6ac，当且仅当a=b=c 时取等号，∴ab+bc+ac≤43；（2）解：由（1）知，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴4≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3(a2+b2+c2)，当且仅当a= b=c时取等号，∴a2+b2+c2≥43，∵a−a2=a(1−a)，0<a<1，∴a>a2，同理b>b2，c>c2，∴a2+b2+c2<a+b+c=2，∴43≤a2+b2+c2<2，∴a2+b2+c2的取值范围为[43, 2)．【考点】基本不等式二维形式的柯西不等式【解析】（1）由a+b+c=2，得到8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca，利用基本不等式得以证明，（2）由（1）和基本不等式得到a2+b2+c2≥43，再根据a−a2=a(1−a)，0<a<1，得到a>a2，继而求出范围．【解答】（1）证明：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴ 2a 2+2b 2+2c 2+4ab +4bc +4ca =8∴ 8=2a 2+2b 2+2c 2+4ab +4bc +4ca ≥6ab +6abc +6ac ，当且仅当a =b =c 时取等号，∴ ab +bc +ac ≤43；（2）解：由（1）知，a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4，∴ 4≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+b 2+c 2+a 2+c 2=3(a 2+b 2+c 2)，当且仅当a =b =c 时取等号， ∴ a 2+b 2+c 2≥43，∵ a −a 2=a(1−a)，0<a <1，∴ a >a 2， 同理b >b 2，c >c 2，∴ a 2+b 2+c 2<a +b +c =2， ∴ 43≤a 2+b 2+c 2<2，∴ a 2+b 2+c 2的取值范围为[43, 2)． 24.【答案】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立， 所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16， 由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9， 所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922，当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922．【考点】绝对值不等式柯西不等式的几何意义【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立， 所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16， 由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9， 所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922，当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922．25.【答案】解：（1）由点P 在x 轴上，所以P(x, 0, 0)，又坐标满足|2x −5|≤3，所以−3≤2x −5≤3，… 解得1≤x ≤4，…所以点P 到原点O 的距离的最小值为1..…（2）由点P 到坐标原点O 的距离为2√3， 故x 2+y 2+z 2=12，…由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，… 即(x +y +z)2≤36，所以x +y +z 的最大值为6，当且仅当x =y =z =2时取最大．… 【考点】二维形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）利用绝对值不等式，求出x 的范围，即可求点P 到原点O 的距离的最小值； （2）点P 到坐标原点O 的距离为2√3，故x 2+y 2+z 2=12，由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，即可求x +y +z 的最大值． 【解答】 解：（1）由点P 在x 轴上，所以P(x, 0, 0)，又坐标满足|2x −5|≤3，所以−3≤2x −5≤3，… 解得1≤x ≤4，…所以点P 到原点O 的距离的最小值为1..…（2）由点P 到坐标原点O 的距离为2√3， 故x 2+y 2+z 2=12，…由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，… 即(x +y +z)2≤36，所以x +y +z 的最大值为6，当且仅当x =y =z =2时取最大．… 26. 【答案】解：根据基本不等式，1=a2+b2≥2|ab|，---------①1=c2+d2≥2|cd|，---------②将以上两式同向相乘得，1≥4|abcd|，所以，abcd∈[−14, 14 ]，故abcd的最大值为14．【考点】二维形式的柯西不等式基本不等式【解析】运用基本不等式，a2+b2≥2|ab|，c2+d2≥2|cd，再同向相乘即可求得最值．【解答】解：根据基本不等式，1=a2+b2≥2|ab|，---------①1=c2+d2≥2|cd|，---------②将以上两式同向相乘得，1≥4|abcd|，所以，abcd∈[−14, 14 ]，故abcd的最大值为14．27.【答案】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2，结合条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2．28. 【答案】解：令a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3，b 2=√22代入柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)得(2x +y)2≤(3x 2+2y 2)(43+12)≤6×116=11∴ −√11≤2x +y ≤√11∴ 2x +y 的最大值为√11． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】令柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)中的a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3b 2=√22代入即可得出 【解答】解：令a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3，b 2=√22代入柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)得(2x +y)2≤(3x 2+2y 2)(43+12)≤6×116=11∴ −√11≤2x +y ≤√11∴ 2x +y 的最大值为√11． 29.【答案】证明：由柯西不等式，得(x 2+y 2)[12+(−2)2]≥(x −2y)2 即5(x 2+y 2)≥(x −2y)2=|x −2y|2 ∵ |x −2y|=5，∴ 5(x 2+y 2)≥25，化简得x 2+y 2≥5．当且仅当2x =−y 时，即x =−1，y =2时，x 2+y 2的最小值为5 ∴ 不等式x 2+y 2≥5成立． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】根据柯西不等式，得5(x 2+y 2)≥|x −2y|2，结合已知等式|x −2y|=5，得x 2+y 2≥5，再利用不等式取等号的条件加以检验即可． 【解答】证明：由柯西不等式，得(x 2+y 2)[12+(−2)2]≥(x −2y)2 即5(x 2+y 2)≥(x −2y)2=|x −2y|2 ∵ |x −2y|=5，∴ 5(x 2+y 2)≥25，化简得x 2+y 2≥5．当且仅当2x =−y 时，即x =−1，y =2时，x 2+y 2的最小值为5 ∴ 不等式x 2+y 2≥5成立． 30. 【答案】解：∵ x ，y ，z 满足x −1=y+12=z−23，设x −1=y+12=z−23=k ，则有x =k +1、y =2k −1、z =3k +2，∴ x 2+y 2+z 2=(k +1)2+(2k −1)2+(3k +2)2=2(2k 2+5k +3)， 故当k =−54，即x =−14、y =−72、z =−74时，x 2+y 2+z 2取得最小值为−14．【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 设x −1=y+12=z−23=k ，则有x 2+y 2+z 2=2(2k 2+5k +3)，再利用二次函数的性质求得x 2+y 2+z 2最小值，以及此时x ，y ，z 的值． 【解答】解：∵ x ，y ，z 满足x −1=y+12=z−23，设x −1=y+12=z−23=k ，则有x =k +1、y =2k −1、z =3k +2，∴ x 2+y 2+z 2=(k +1)2+(2k −1)2+(3k +2)2=2(2k 2+5k +3)， 故当k =−54，即x =−14、y =−72、z =−74时，x 2+y 2+z 2取得最小值为−14． 31.【答案】解：由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得 当且仅当a =b =c 时，取得最值， ∴ M ≥0，∴ 最小的实数M 是0． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得结论． 【解答】解：由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得 当且仅当a =b =c 时，取得最值， ∴ M ≥0，∴ 最小的实数M 是0． 32.【答案】证明：∵ a +b =1，∴ b =1−a ．∴ a 3+b 3+3ab =a 3+(1−a)3+3a(1−a)=a 3+1−3a +3a 2−a 3+3a −3a 2=1即a 3+b 3+3ab =1． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】由a +b =1，可得b =1−a ，代入a 3+b 3+3ab ，化简即可得出结论． 【解答】证明：∵ a +b =1，∴ b =1−a ．∴ a 3+b 3+3ab =a 3+(1−a)3+3a(1−a)=a 3+1−3a +3a 2−a 3+3a −3a2=1即a3+b3+3ab=1．33.【答案】解：根据a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值y max=3⋅131+19=910【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据条件，可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值．【解答】解：根据a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值y max=3⋅131+19=91034.【答案】解：∵x+y+z=4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32+2，根据柯西不等式，(x1x2+y1y2+z1z2)2≤(x12+y12+z12)•(x22+y22+z22)得，(4⋅x−14+√5⋅√5+2⋅z−32)2≤(16+5+4)•[(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24]=25，所以，|4⋅x−14+√5⋅√52⋅z−32|≤5，即−5≤4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32≤5，因此，x+y+z∈[−3, 7]，故，x+y+z的最大值为7，最小值为−3．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】将式子x+y+z写成4⋅x−14+√5⋅√52⋅z−32+2的形式是解决本题的关键，再运用柯西不等式求该式的最大值和最小值．【解答】解：∵x+y+z=4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32+2，根据柯西不等式，(x1x2+y1y2+z1z2)2≤(x12+y12+z12)•(x22+y22+z22)得，(4⋅x−14+√5⋅√5+2⋅z−32)2≤(16+5+4)•[(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24]=25，所以，|4⋅x−14+√5⋅52⋅z−32|≤5，即−5≤4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32≤5，因此，x+y+z∈[−3, 7]，故，x+y+z的最大值为7，最小值为−3．35.【答案】解：由题意，由柯西不等式得(√3x+6+√14−x)2=(√3×√x+2+1×√14−x)2≤(3+1)(x+2+14−x)=64所以√3x+6+√14−x≤8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立∴a<8∴常数a的取值范围是(−∞, 8)．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，求出左边对应函数的最大值，即可确定常数a的取值范围．【解答】解：由题意，由柯西不等式得(√3x+6+√14−x)2=(√3×√x+2+1×√14−x)2≤(3+1)(x+2+14−x)=64所以√3x+6+√14−x≤8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立∴a<8∴常数a的取值范围是(−∞, 8)．36.【答案】解：∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴a+b=1−c，ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=c2−c，∵ab≤(a+b2)2，∴c2−c≤(1−c)24，∴−13≤c≤1，∴0≤1−c≤43，∴0≤a+b≤43，∴a+b的取值范围是[0, 43]．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用a+b+c=1，a2+b2+c2=1，可得a+b=1−c，ab=[(a+b)2−(a2+ b2)]=c2−c，结合基本不等式，求出c的范围，即可求出a+b的取值范围．【解答】解：∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴a+b=1−c，ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=c2−c，∵ab≤(a+b2)2，∴c2−c≤(1−c)24，∴−13≤c≤1，∴0≤1−c≤43，∴0≤a+b≤43，∴a+b的取值范围是[0, 43]．37.【答案】解：法1：∵2x+3y+4z=10，∴x=5−32y−2x．∴x2+y2+z2=(5−32y−2z)2+y2+z2=134y2+5z2+6zy−15y−20x+25=134y2+(6z−15)y+5z2−20z+25=134[y+2(6z−15)13]2+2913z2−8013z+10013=134(y+12z−3013)2+2913(z−4029)2+10029≥10029．法2：由柯西不等式可得，(2x+3y+4z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)，由条件可得，x2+y2+z2≥10029．故最小值为10029．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】法1：本题可先利用三个变量x，y，z的关系消去一个变量，如消去x，得到两个变量y，z，再通过配方，利用完全平方非负，得到所求代数式的最小值．法2：利用柯西不等式进行求解．【解答】解：法1：∵2x+3y+4z=10，∴x=5−32y−2x．∴x2+y2+z2=(5−32y−2z)2+y2+z2=134y2+5z2+6zy−15y−20x+25=134y2+(6z−15)y+5z2−20z+25=134[y+2(6z−15)13]2+2913z2−8013z+10013=134(y+12z−3013)2+2913(z−4029)2+10029≥10029．法2：由柯西不等式可得，(2x+3y+4z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)，由条件可得，x2+y2+z2≥10029．故最小值为10029．38.【答案】证明：作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即12aB sin60∘+12bC sin60∘+12cA sin60∘<12k2sin60∘，∴aB+bC+cA<k2．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即可证明结论．【解答】证明：作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即12aB sin60∘+12bC sin60∘+12cA sin60∘<12k2sin60∘，∴aB+bC+cA<k2．39.【答案】证明：因为a2+b2≥2ab，所以2=a12+a22+...+a n2+x12+x22+...+x n2=(a12+ x12)+...+(a n2+x n2)≥2a1x1+...+2a n x n=2(a1x1+...+a n x n)，即a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用不等式的性质a2+b2≥2ab，即可证明．【解答】证明：因为a2+b2≥2ab，所以2=a12+a22+...+a n2+x12+x22+...+x n2=(a12+ x12)+...+(a n2+x n2)≥2a1x1+...+2a n x n=2(a1x1+...+a n x n)，即a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．40.【答案】解：（1）∵a，b，c∈N+，且abc(a+b+c)=1，∴c2+c(a+b)=1ab∴S=(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=ab+1ab ≥2√ab⋅1ab=2当且仅当ab=1ab，即ab=1时取等号∴S min=2；（2）由（1）知1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c∴c2+2c−1≤0∵c>0∴0<c≤√2−1∴c的最大值为√2−1．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】（1）由已知整理可得，c2+c(a+b)=1ab，然后利用基本不等式可求S的最小值及满足的条件：ab=1，（2）由1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c，从而可得关于c的不等式，解不等式可求c的范围，即可求出c的最大值．【解答】解：（1）∵a，b，c∈N+，且abc(a+b+c)=1，∴c2+c(a+b)=1ab∴S=(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=ab+1ab ≥2√ab⋅1ab=2当且仅当ab=1ab，即ab=1时取等号∴S min=2；（2）由（1）知1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c∴c2+2c−1≤0∵c>0∴0<c≤√2−1∴c的最大值为√2−1．。
选修4-5不等式选讲知识点详解+例题+习题含详细答案
选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a；(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数，则a1＋a2＋…＋a nn≥na1a2…a n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac ＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若a i，b i(i∈N*)为实数，则(∑i＝1na2i)(∑i＝1nb2i)≥(∑i＝1na ib i)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号打“√”或“×”)(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．()(2)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()(3)|ax＋b|≤c(c>0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.()(4)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为Ø.()(5)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)√2．不等式|2x－1|－x<1的解集是()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x<2}C．{x|0<x<1} D．{x|1<x<3}[解析]解法一：x＝1时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A.解法二：令f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－1，x≥12，1－3x，x<12，则f(x)<1的解集为{x|0<x<2}．[答案] A3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.[答案] B4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为() A．1 B． 2C. 3 D．2[解析](a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．∴(a＋b＋c)2≤3.故a＋b＋c的最大值为 3.故应选C.[答案] C5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值围是________．[解析]利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值围为－2≤a≤4.[答案]－2≤a≤4考点一含绝对值的不等式的解法解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，则a ＝________. [解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53<x <13，故a ＝－3. [答案] (1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值围为[－3,0]．考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值围是__________．[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174. 即实数a 的取值围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. (2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎨⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．[答案] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174 (2)(－∞，－3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .对点训练(2015·一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.(1)若当g (x )≤5时，恒有f (x )≤6，求a 的最大值；(2)若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值围．[解] (1)g (x )≤5⇔|2x －1|≤5⇔－5≤2x －1≤5⇔－2≤x ≤3；f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3.依题意有，a －3≤－2，a ≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值围是[2，＋∞)．考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c －d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤1 3；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤1 3.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析] |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案] (－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.[解析] ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－12时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－23，此时－23<x ≤－12.当－12<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，此时－12<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <23，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－23<x <0，即原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值围是__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案] (－∞，1)5．(2015·统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值围是________．[解析] |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案] (－∞，8]6．(2015·卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝⎩⎨⎧ －3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a <x ≤－1，3x ＋1－2a ，x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎨⎧ －3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >a ，f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a＝4.[答案] －6或4 7．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎨⎧ －2x ＋1(x ≤－1)，3 (－1<x <2)，2x －1 (x ≥2)，∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值围是__________．[解析] 若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以⎩⎨⎧ a －1>0，a ＋1>2x ，(舍去)或⎩⎨⎧ a －1<0，a ＋1<2x ，对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案] (－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c的最小值为__________． [解析] ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18，∴2a ＋2b ＋2c ≥2，∴2a ＋2b ＋2c 的最小值为2. [答案] 210．(2014·卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析] 由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2， 即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴m 2＋n 2的最小值为 5. [答案]511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________． [解析] ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3. [答案] 312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a ，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值围是________．[解析] 只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a 即可．由于||x ＋1|－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋4a 即可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，实数a 的取值围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案] (－∞，－4]∪[－1,0) 二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a . (1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值围． [解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2， 若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去； 若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4； 若x ≤3，则10－3x <2，∴83<x ≤3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪83<x <4.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝⎩⎨⎧3x －10，x ≥4，x －2，3<x <4，10－3x ，x ≤3.作出函数f (x )的图象，如图所示． 由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >12，即a 的取值围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值围为(2，＋∞)． 15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值围． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|， 不满足题设条件；若a <1，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2， ∴a 的取值围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．1 4a 2＋19b2＋c2的最小值为87.故。
绝对值不等式及柯西不等式(选修4-5)
课时作业(三十九)绝对值不等式及柯西不等式(选修4－5)一、选择题1．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：|x－1|＜2⇔－1＜x＜3，x(x－3)＜0⇔0＜x＜3.则(0,3)(－1,3)．故应选B.2．设a，b为满足ab＜0的实数，那么( )A．|a＋b|＞|a－b| B．|a＋b|＜|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|＜|a|＋|b|答案：B解析：∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.3．设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为( )A．2 B．－3C．7 D．0答案：B解析：由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－3.4．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( )A．2 B．4C．6 D．8答案：A解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.5．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( ) A．3 B．4C．5 D．6答案：C解析：由题，得|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.6．不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,4)B ．(－1,4]C ．[－1,4]D ．[0,4]答案：C解析：由绝对值的几何意义易知|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.二、填空题7．(2015·青岛一模)不等式|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集是________． 答案：(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，－2x ＋1＋x －4＞2或⎩⎪⎨⎪⎧ －12＜x ≤4，2x ＋1＋x －4＞2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞4，2x ＋1－x －4＞2，解得x ∈(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 8．(2015·淄博模拟)当|a |≤1，|x |≤1时，关于x 的不等式|x 2－ax －a 2|≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 解析：|x 2－ax －a 2|＝|－x 2＋ax ＋a 2|≤|－x 2＋ax |＋|a 2|＝|－x 2＋ax |＋a 2，当且仅当－x 2＋ax 与a 2同号时取等号．故当－x 2＋ax ≥0时，有|x 2－ax －a 2|＝|－x 2＋ax |＋a 2＝－x 2＋ax ＋a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋54a 2，当x ＝a 2时，有最大值54a 2.而|a |≤1，|x |≤1，所以当a ＝1，x ＝12或a ＝－1，x ＝－12时，|x 2－ax －a 2|有最大值，且|x 2－ax －a 2|max ＝54，故m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞. 9．(2013·山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________．答案：13解析：当x ≤－1时，不等式|x ＋1|－|x －2|≥1，即－(x ＋1)＋(x －2)＝－3≥1，此时无解；当－1＜x ≤2时，不等式|x ＋1|－|x －2|≥1，即x ＋1＋x －2≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，不等式|x ＋1|－|x －2|≥1，即x ＋1－x ＋2＝3≥1，解得x ＞2.故在区间[－3,3]上不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为1≤x ≤3，故所求的概率为3－13－－3＝13. 10．(2015·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋2|x －a |(a ∈R )．不等式f (x )≥1在区间(－∞，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)解析：当a ＞2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋2a ，x ≤2，－x ＋2a －2，2＜x ＜a ，3x －2－2a ，x ≥a ； 当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋6，x ≤2，3x －6，x ＞2； 当a ＜2时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋2a ，x ≤a ，x －2a ＋2，a ＜x ＜2，3x －2－2a ，x ≥2. ∴f (x )的最小值为f (2)或f (a )，则⎩⎪⎨⎪⎧ f a ≥1，f 2≥1，解得a ≤1或a ≥3.故实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．三、解答题11．设不等式|2x －1|＜1的解集为M .(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M ，可知0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b .12．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，其图象如图所示．由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0，所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)∵a ＞－1，则－a 2＜12， ∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ＋1－a ，x ＜－a 2，a ＋1，－a 2≤x ＜12，4x ＋a －1，x ≥12.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12上恒成立．∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 13．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 解：(1)由题意得f (x ＋2)＝m －|x |，故m －|x |≥0的解集为[－1,1]，即|x |≤m 的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且1a ＋12b ＋13c＝m ＝1， ∴(a ＋2b ＋3c )＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋2b a ＋3c a ＋a 2b ＋3c 2b ＋a 3c ＋2b 3c≥3＋6＝9， 当且仅当2b a ＝3c a ＝3c 2b ＝a 2b ＝a 3c ＝2b 3c＝1时等号成立， ∴a ＋2b ＋3c ≥9.。
数学选修4-5一般形式的柯西不等式练习题含答案
分情况讨论去掉绝对值，再分别解不等式即可；
由于化简得到 ，与要证的结论能构成柯西不等式模型，故直接用柯西不等式证明即可.
【解答】
解：
或 或
解得： 无解，或 ，或 ，
综上可得：不等式 的解集为 .
， ， 均为正数，
∴ ，
即： ，
∴由柯西不等式可得： ，
∴ .
18.
【答案】
解：（1）由柯西不等式可得，
（2）根据对数函数的性质，然后再利用柯西不等式进行放缩，注意不等式取等号的条件进行证明；
【解答】
解：（1）由柯西不等式得，
得： ；
（2）∵ ，
由柯西不等式得： （ ），
由柯西不等式得： （ ）
所以， ，
．
∴ ．
∴ ．得
所以， 当且仅当 时，等号成立．
故所求的最小值是 ．
23.
【答案】
可化为直角坐标方程 ，即 ；
对于曲线 的参数方程为 （ 为参数），可化为普通方程 ．
（2）过圆心 点作直线 的垂线，此时切线长最小，
则由点到直线的距离公式可知， ，则切线长为 ．
因为 ，所以 ，所以 ， ．
又 的解集是 ，故 ．
（2）由（1）知 ， ， ， ，由柯西不等式得 ．
∴ 的最小值为 ．
21.
【解答】
解：∵
∴
故答案为：
10.
【答案】
【考点】
一般形式的柯西不等式
【解析】
直接利用柯西不等式 进行求解即可．
【解答】
解：由柯西不等式可知
（ ）
∴ 即
故答案为：
11.
【答案】
【考点】
一般形式的柯西不等式
【解析】
数学一轮复习选修4_5第二讲不等式的证明与柯西不等式学案含解析
第二讲不等式的证明与柯西不等式知识梳理·双基自测知识错误!错误!知识点一综合法从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法．知识点二分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．知识点三放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法称为放缩法．知识点四均值不等式定理1:设a、b∈R，则a2＋b2≥__2ab__．当且仅当a＝b时,等号成立．定理2：如果a、b为正数,则错误!≥__错误!__，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥__当且仅当a＝b＝c时,等号成立．定理4：（一般形式的算术－几何平均不等式）如果a1、a2、…、a n为n个正数，则错误!≥__错误!__，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时,等号成立．知识点五柯西不等式（1）设a、b、c、d均为实数,则(a2＋b2)(c2＋d2)≥（ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．（2）若a i、b i(i∈N＋）为实数，则（错误!a错误!)（错误!b错误!)≥(错误!a ib i）2，当且仅当错误!＝错误!＝…＝错误!（当a i＝0时，约定b i＝0，i＝1,2,…，n）时等号成立．（3)柯西不等式的向量形式：设α、β为平面上的两个向量，则｜α|｜β|≥｜α·β｜,当且仅当α，β共线时等号成立．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1）当a≥0,b≥0时,错误!≥错误!．（√)(2）用反证法证明命题“a,b,c全为0"的假设为“a,b,c全不为0"．(×）（3）若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y＞－2，则x＞0,y ＞0．(√)(4)若m＝a＋2b,n＝a＋b2＋1，则n≥m．（√）题组二走进教材2．（理)（P35例改编)(2020·宁夏银川一中月考）已知正数x、y满足x＋y＝1，则错误!＋错误!的最小值为（B）A．2 B．错误!C．错误!D．5（文）(P35例3）已知a，b∈R＋,a＋b＝2，则错误!＋错误!的最小值为（B)A．1 B．2C．4 D．8［解析]（理）∵x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2,则2错误!＝[x＋(1＋y）］错误!＝错误!＋错误!＋5≥2错误!＋5＝9，所以错误!＋错误!≥错误!，当且仅当错误!,即当错误!时，等号成立,故选B．（文）∵a，b∈R＋，且a＋b＝2，∴错误!＋错误!＝错误!（a＋b）错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝2．(当且仅当a＝b＝1时“＝"成立),∴错误!＋错误!的最小值为2，故选B．3．（P41习题3。
数学苏教版选修4-5同步测控：5.4.1柯西不等式含解析
同步测控我夯基，我达标1。
y=x x -+-625的最大值是（) A.3 B.5C.3D.5解析：y=1×5-x +2x -6≤2221+×5)6()5(22=-+-x x 。
答案:B2.若x 、y∈R +，x+y≤4,则下列不等式成立的是（ ） A 。
yx +1≤41B 。
yx11+≥1 C 。
xy ≥2D 。
xy1≥1解析：∵x+y≤4，x 、y∈R +， ∴yx +1≥41.A 不成立。
∵x+y≥2xy ，∴4≥2xy 。
∴xy ≤2。
∴C 不成立。
∴0<xy≤4,xy1≥41。
D 一定不成立。
而(x1+y1)(x+y)≥(x x•1+y y•1)2=4, ∵x+y>0,∴x1+y1≥yx +4。
∵x+y≤4,∴yx +1≥41.∴yx +4≥4×41=1。
∴x1+y1≥1成立,即B 成立.3.已知x 、y 、z∈R +,且x+y+z=1,则x 2+y 2+z 2的最小值是（ ） A.1 B 。
31 C 。
32 D 。
2解析：∵（x 2+y 2+z 2)（12+12+12)≥（x+y+z)2=1， ∴x 2+y 2+z 2≥31，当且仅当x=y=z=31时，取“=”。
答案:B4。
n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是（ ） A 。
1 B 。
n C 。
n 2 D.n1解析:设a i 〉0(i=1,2，…，n),则（a 1+a 2+…+a n )（11a +21a +…+na 1）≥(221111a a a a •+•+…+nn a a 1•）2=n 2.答案:C5。
已知a 12+a 22+…+a n 2=1,x 12+x 22+…+x n 2=1,则a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n 的最大值是（ )A 。
1 B.2 C.3 D 。
4 解析:由柯西不等式(a 12+a 22+…+a n 2)(x 12+x 22+…+x n 2） ≥(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )2， 得a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ≤1。
柯西不等式习题
一、二维形式的柯西不等式 二、二维形式的柯西不等式的变式 三、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法 （1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ （3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a，则b a ⋅之最小值为________；此时=b ________。
答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a∴1818≤⋅≤-b ab a⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b 【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2= 16，则a b 的最大值为 。
【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a ．b= x - 2z由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ Ans ：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。
(必考题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测题(答案解析)(3)
一、选择题1．已知实数,,x y z 满足236x y z ++=，则222x y z ++的最小值是( ) AB ．3C ．187D ．62．函数y =的最小值是（ ）AB1C．11+D．3．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数： ①1()(0)f x x x x=+>；②()ln (0)f x x x e =<<；③()cos f x x =；④2()1f x x =-．其中是“柯西函数”的为（ ） A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④4．函数y 的最大值是( )ABC ．3D ．55．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e +的最大值为（ ） ABC．D．6．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．37．若222x 4y 9z 4++=，则x y+3z +的最大值（ ） A ．9B ．3C ．1D ．278．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．409．若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2+y 2+3z 2 的最小值为( ) A ．1B ．6C ．11D ．61110．用数学归纳法证明：11112321nn ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ）．A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．21k +11．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47 12．用反证法证明：“”，应假设（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设,,a b c 为正数，241a b c ++=2a b c 的最大值是___________ 14．函数()25f x x x =-___________.15．已知238x y z ++=，则222x y z ++取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(,,)x y z =________.16．函数2910,122y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的最小值为________ 17．已知x ，y ，z R ∈，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为_______． 18．已知,,a b c ∈R,2229a b c ++=，23M a b c =++，则M 的最大值是___． 19．设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为________． 20．设向量(,)a b α=，(,)m n β=，其中,,,a b m n R ∈，由不等式αβαβ⋅≤⋅恒成立，可以证明（柯西）不等式()()22222()am bn a bmn +≤++（当且仅当α∥β，即an bm =时等号成立），已知,x y R +∈3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是____三、解答题21．证明：不等式()*11111123422n n n N -+++++>∈，恒成立. 22．（1）已知,,1a b R a b +∈+=，求证：114a b+≥. （2）已知2314x y z ++=222x y z ++的最小值. 23．已知函数()46f x x x =-+-． （1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）设()f x 的最小值为m ，且()114,,0m a b c a b c++=>，证明：8a b c ++≥． 24．已知a ，b ，c 为非负实数，函数()|2||2|f x x a x b c =-+++.（1）若2a =，6b =，1c =，求不等式()11f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：1499a b b c a c++≥+++. 25．已知,,a b c 为正实数，满足3a b c ++=，求149a b c++的最小值． 26．已知函数()212f x x x =-+-． （1）解不等式()4f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由柯西不等式得()()()222222212323xy z x y z ++++≥++， 即可算出答案.【详解】由柯西不等式得()()()222222212323x y z x y z ++++≥++，则2222(23)361814147x y z x y z ++++≥==，当且仅当“123x y z==”时取等号. 故222x y z ++的最小值是187. 故选：C 【点睛】本题考查的是利用柯西不等式求最值，解答的时候要注意写上等号成立的条件，属于基础题.2．B解析：B 【分析】将y =y =不等式求得2y 的最小值，从而可求出y 的最小值.【详解】y ==根据柯西不等式，得222(1)2(3)5y x x =-++-++22(1)2(3)52[(1)(3)x x x x ≥-++-++--2[(1)(3)]2511x x =-+-++++当且仅当13x x -=-，即x =时等号成立.此时，min 1y ==，故选：B. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.3．B解析：B 【分析】由柯西不等式，得到函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，进行逐项判定，即可求解． 【详解】由柯西不等式得，对任意实数11221212,,,,0x y x y x x y y +-≤恒成立，当且仅当1221x y x y =时取等号，若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +的最大值为0， 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线， 即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点． 对于①，方程1(0)kx x x x=+>，即2(1)1k x -=，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点(),1e 处，1y x e=与ln y x =相切，所以ln kx x =最多有1个正解；对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数． 【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中把函数的定义，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．B解析：B 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】 因为()()()222252656125y x x x x ⎡⎤=---+-+=⎢⎥⎣⎦65xx --=，即265x =时，取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．D解析：D 【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】 如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123F PF π∠=,则在△1212PF F 中,由余弦定理得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以222212134c c a a =+,即2212134e e +=,由柯西不等式得2222212121313(11(11)([()(]e e e e ⨯+≤++, 即12132422e e +≤⨯=当且仅当12113e =即12e =26e =时,等号成立.故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.6．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111x y z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。
人教B版高中数学选修4-5课时训练柯西不等式
课堂练习(八) 柯西不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ． 2D ．4[解析] ∵(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝2， ∴ax ＋by ≤ 2. [答案] C2．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( ) A ．3 B ．1 C ．33D ． 3[解析] ∵a ＋b ＋c ＝1·a ＋1·b ＋1·c ，且a ，b ，c 大于0.由柯西不等式得 (1·a ＋1·b ＋1·c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)， ∴a 2＋b 2＋c 2≥3.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立， ∴a 2＋b 2＋c 2的最小值为 3. [答案] D3．已知x ＋y ＝1，且x >0，y >0，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536D.3625[解析] 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65， 当且仅当2x ·13＝3y ·12，即x ＝35，y ＝25时等号成立，∴2x 2＋3y 2的最小值为65.[答案] B4．若a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[解析] ∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )， ≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4，故a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2.因此a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为2.[答案] C5．已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，t ＝ax ＋by ＋cz ，则t 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(－1,1) C ．(0，－1)D ．[－1,1][解析] 设α＝(a ，b ，c )，β＝(x ，y ，z )． ∵|α|＝a 2＋b 2＋c 2＝1，|β|＝x 2＋y 2＋z 2＝1， 由|α||β|≥|α·β|，得|t |≤1. ∴t 的取值范围是[－1,1]． [答案] D 二、填空题6．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． [解析] ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6，∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．[答案] 127．若a ＝(1,0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，若x 2＋y 2＋z 2＝16，则a ·b 的最大值为________． [解析] 由题知，a ·b ＝x －2z ，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋0－2z )2，当且仅当向量a 与b 共线时“＝”成立， ∴5×16≥(x －2z )2， ∴－45≤x －2z ≤45， 即－45≤a ·b ≤4 5. 故a ·b 的最大值为4 5. [答案] 4 58．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，则a 2＋b 2＝________. [解析] 由柯西不等式得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][(1－b 2)＋b 2]＝1， 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)， 于是a 2＋b 2＝1. [答案] 1 三、解答题9．已知θ为锐角，a ，b 均为正数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.[证明] 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ＝|m ·n |≤|m ||n |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2· 1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ， ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 10．在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形．[解] 如图所示，设内接长方形ABCD 的长为x ，宽为4R 2－x 2，于是 ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1×4R 2－x 2)． 由柯西不等式得l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12) 12＝22·2R ＝42R .当且仅当x1＝4R 2－x21，即x ＝2R 时等号成立．此时，宽＝4R 2－(2R )2＝2R ，即ABCD 为正方形， 故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .[能力提升练]1．函数y ＝x 2－2x ＋3＋x 2－6x ＋14的最小值是( ) A ．10B ．210C ．11＋210D ．10＋1[解析] y ＝(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5.根据柯西不等式，得y 2＝(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2[(x －1)2＋2][(3－x )2＋5] ≥(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2[(x －1)(3－x )＋10] ＝[(x －1)＋(3－x )]2＋2＋5＋210 ＝11＋210，当且仅当x －13－x ＝25，即x ＝210－13时等号成立．此时，y min ＝11＋210＝10＋1. [答案] D2．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.[解析] 由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，当且仅当a x ＝b y ＝c z＝k 时取“＝”． 由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56，所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝56.[答案] 56。
苏教版高二数学选修4-5 柯西不等式 (1) 课时作业
柯西不等式一、单选题1．设a 、b 、c 、x 、y 、 是正数，且，，，则＝( )A. B. C. D.2．函数y =的最大值是( )A. B. C. D. 3．已知(),,0,1a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（ ）A.B. C. D. 4．设实数,,,,a b c d e 满足关系 8a b c d e ++++=， 2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ）A. 2B.165 C. 3 D. 255．函数()212(0)f x x x x=+>的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66．(选修4-5 不等式选讲）若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值.7．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47 8．设正实数x y z 、、满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最小值时，2x y z +-的最大值为（ ）A.0B. 2 C .98 D. 949．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当z xy 取得最大值时，zy x 212-+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．49D ．3A. B. C.﹣ D.二、解答题 11．已知函数.（Ⅰ）若不等式有解，求实数的最大值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数，满足，证明.12．[2018·湖北联考]已知函数．（1）求函数的最小值；（2）若正实数满足，求证 ．13．选修4-5 不等式选讲 已知，，，函数的最大值为10．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时，，的值．14．D. 选修4-5 选修4-5 不等式选讲已知是正实数，且，求证.15．选修4-5 不等式选讲已知实数,,a b c 满足0,0,0a b c >>>，且1abc =. （1）证明 ()()()1118a b c +++≥；（2）证明111a b c≤++.参考答案1．C【解析】由柯西不等式得,当且仅当时等号成立∵，，∴中等号成立，∴一定有 ，∴则故选C 2．D【解析】由柯西不等式可得y ==≤=故选D. 3．D【解析】【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥，利用柯西不等式公式求得()1111119,111a b c a b c ⎛⎫++-+-+-≥⎪---⎝⎭从而求得()1119111111a b c a b c ++≥≥=----+-+- 4．B【解析】解 根据柯西不等式可知 4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2， ∴4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2，∴5e 2-16e ≤0， ∴0≤e ≤165， 本题选择B 选项.点睛 根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式． 5．A【解析】 由题意得，因为0x >，则221123y x x x x x =+=++≥=， 当且仅当211x x x=⇒=时等号成立的，所以函数的最小值为3，故选A. 6．16【解析】试题分析 利用柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，从而有222x y z ++的最小值试题解析 解 由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，即2x y z ++≤， …………5分又因为21x y z ++=，所以61222≥++z y x ，当且仅当121x y z ==，即11,63x z y ===时取等号. 综上，()61min222=++z y x. …………10分考点 柯西不等式 7．C 【解析】试题分析 由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x 则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点 柯西不等式. 8．B【解析】试题分析 由已知得1342344322=-⨯≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，y x 2=时等号成立，代入已知得2y z =，则222=422(1)22x y z y y y +--=--+≤。
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一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当ββk k =≤借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法 （1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++（3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a⋅之最小值为________；此时=b ________。
答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a ∴1818≤⋅≤-b ab a ⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2= 16，则a b 的最大值为 。
【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a ．b= x - 2z由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2 ⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = (1)a b ⋅ 的最大值为多少？(2)此时b = ？Ans ：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。
Ans ：121 【5】. 设x ，y ，z ∈ R ，且满足x 2 + y 2 + z 2 = 5，则x + 2y + 3z 之最大值为 解(x + 2y + 3z)2 ≤ (x 2 + y 2 + z 2)(12 + 22 + 32) = 5．14 = 70∴ x + 2y + 3z 最大值为70【6】 设x ，y ，z ∈ R ，若x 2 + y 2 + z 2 = 4，则x - 2y + 2z 之最小值为 时，(x ，y ，z) = 解(x - 2y + 2z)2 ≤ (x 2 + y 2 + z 2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4．9 = 36 ∴ x - 2y + 2z 最小值为 - 6此时322)2(26221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，34-=z 【7】设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，试求22x y z -+的最大值M 与最小值m 。
Ans ：15;15-==m M【8】、设25 , , ,222=++∈z y x z y x R ，试求z y x 22+-的最大值与最小值。
答：根据柯西不等式)](2)2(1[)221(2222222z y x z y x +++-+≤⋅+⋅-⋅即259)22(2⨯≤+-z y x 而有152215≤+-≤-z y x 故z y x 22+-的最大值为15，最小值为–15。
【9】、设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，试求222z y x ++之最小值。
答案：考虑以下两组向量u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式222)(v u v u ⋅≤⋅，就有)]()2()1(2[])2()1(2[2222222z y x z y x ++-+-+≤-+-+即)(9)22(2222z y x z y x ++≤-- 将622=--z y x 代入其中，得 )(936222z y x ++≤ 而有 4222≥++z y x 故222z y x ++之最小值为4。
【10】设,,x y z R ∈，226x y z --=，求222x y z ++的最小值m ，并求此时x 、y 、z 之值。
Ans ：)34,32,34(),,(;4--==z y x m 【11】 设x ，y ，z ∈ R ，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为 解： 2x + 2y + z + 8 = 0 ⇒ 2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，考虑以下两组向量 u = ( , , ) ，v =( , , ) 222)(v u v u ⋅≤⋅[2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)]2 ≤ [(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2]．(22 + 22 + 12)⇒ (x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 ≥9)9(2-= 9【12】设x, y, z ∈R ，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为________，又此时=y ________。
解： 332=+-z y x ⇒ 2x - 3(y - 1) + z =( )，考虑以下两组向量 u = ( , , ) ，v=( , , )解析：1436])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222≥+-+++-≥+-++-+z y x z y x z y x ∴最小值7181, 233,2(2)3(31)3231x y zt x y z t t t -===-+=∴--++=- ∴73=t ∴72-=y【13】 设a ，b ，c 均为正数且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 解：考虑以下两组向量u = ( , , ) ，v=( , , )222)(v u v u ⋅≤⋅ 2)432(c cb b a a ⋅+⋅+⋅ ≤ (c b a 1694++)(a + b + c)⇒ (c b a 1694++)．9 ≥ (2 + 3 + 4)2 = 81⇒c b a 1694++≥981= 9 【14】、设a, b, c 均为正数，且232=++c b a ，则cb a 321++之最小值为________，此时=a ________。
解：考虑以下两组向量 u = ( , , ) ，v=( , , )222)(v u v u ⋅≤⋅ 2222222)321(])3()2()1][()3()2()[(++≥++++cb ac b a∴18)321(≥++cb a ，最小值为18 等号发生于 v u// 故 cc bb aa 33221==∴c b a == 又232=++c b a ∴31=a 【15】. 设空间向量a的方向为α，β，γ，0 < α，β，γ < π，csc 2α + 9 csc 2β + 25 csc 2γ 的最小值为 。
解∵ sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2由柯西不等式 ∴ (sin 2α + sin 2β + sin 2γ)[222)sin 5()sin 3()sin 1(γβα++] ≥ (1 + 3 + 5)2 2(csc 2α + 9csc 2β + 25csc 2γ) ≥ 81 ∴ csc 2α + 9csc 2β + 25csc 2γ ≥281 ∴ 故最小值为281【注】本题亦可求tan 2α + 9 tan 2β + 25tan 2γ 与cot 2α + 9cot 2β + 25cot 2γ 之最小值，请自行练习。
【16】. 空间中一向量a与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为α，β，γ（α，β，γ 均非象限角），求γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值。
解 : 由柯西不等式)sin sin ](sin )sin 3()sin 2()sin 1[(222222γβαγβα++++ ≥ 2)sin sin 3sin sin 2sin sin 1(γγββαα⋅+⋅+⋅ 2222222)321()sin sin )](sin sin 9()sin 4()sin 1(++≥++++⇒γβαγβα ∵ sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2 ∴36)sin 9sin 4sin 1(222≥++γβα18)sin 9sin 4sin 1(222≥++⇒γβα∴γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值 = 18【17】.空间中一向量a的方向角分别为,,αβγ，求22292516sin sin sin αβγ++的最小值。
答72利用柯西不等式解之【18】、设x, y, z ∈R ，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为何？又z y x 23--发生最小值时，=x ？ 答案：2222222)2233(])2()1(3][)2()1[(z y x z y x ----≥-+-++++-1425231425142523142)523()14(42+≤--≤-≤---≤----≥z y x z y x z y x 若142523-=--z y x 又t zy x =-=-+=-21231∴1425)2(2)2()13(3-=-----+t t t ∴714-=t ∴17143+-=x【19】 设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足x - 2y + z = 0及3x + y - 2z = 0，则❒ABC 之最大角是多少度？【解】⎩⎨⎧=-+=+-02302z y x z y x ⇒ x ：y ：z =2112--：3211-：1321-= 3：5：7设三边长为x = 3k ，y = 5k ，z = 7k 则最大角度之cos θ =)5)(3(2)7()5()3(222k k k k k -+= -21，∴θ = 120︒【20】. 设x ，y ，z ∈ R 且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，求x + y + z 之最大值，最小值。