常微分方程教案2
数学教案引导学生理解数学中的常微分方程
数学教案引导学生理解数学中的常微分方程一、引言在数学学科中，微分方程是一类重要的数学模型，广泛应用于物理、工程、经济等各个领域。
本教案旨在通过引导学生理解数学中的常微分方程，培养学生解决实际问题的能力，提高数学思维和计算能力。
二、教学目标1. 了解常微分方程的基本概念和分类；2. 掌握一阶常微分方程的解法；3. 能够应用常微分方程解决实际问题。
三、教学内容1. 常微分方程的概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述未知函数和它的导数关系的方程。
它涉及到未知函数、自变量和导数三个变量。
常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
2. 一阶常微分方程的解法（这里省略数学公式和推导过程，侧重介绍解法方法）（1）可分离变量法（2）齐次方程法（3）线性方程法（4）常系数线性方程法（5）恰当方程法四、教学过程1. 概念解释与例题讲解介绍常微分方程的定义和性质，并通过实例讲解一阶常微分方程的解法。
2. 练习与讨论让学生通过练习题巩固所学的解法方法，并进行讨论分析，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
3. 拓展运用引导学生通过实际问题的分析和变量建模，将问题转化为常微分方程，并运用所学的解法方法得出结果。
五、教学评价1. 课堂表现评价通过学生在课堂上的主动参与、解题能力的表现以及对常微分方程理解的深度进行评价。
2. 作业评价布置与课堂内容相关的作业题目，评价学生对解法方法的理解和运用能力。
3. 实际问题解决评价评价学生能否将实际问题转化为常微分方程，并正确运用解法方法得出准确结果。
六、教学反思通过本教案的实施，学生在数学中的常微分方程问题方面的理解将有所提升。
但教学中还需注重培养学生的实际问题解决能力，加强综合运用能力的训练，进一步提高教学质量。
七、结语在现代科学和技术的发展中，常微分方程扮演着重要的角色。
通过本教案的学习和实践，相信学生能够更好地理解数学中的常微分方程，并能够在实际问题中运用所学的知识解决现实难题。
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)1. 引言本教案旨在介绍微分方程和常微分方程的基本概念和解法方法，帮助学生理解和掌握微分方程的应用。
微分方程作为数学中重要的研究领域之一，具有广泛的应用背景，在物理、经济、工程等领域中都有着重要的作用。
通过本教案的研究，学生将能够理解微分方程的意义和解题方法，为进一步研究高级数学和应用数学打下坚实的基础。
2. 微分方程的概念与分类2.1 微分方程的定义微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
它可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
2.2 常微分方程的分类常微分方程是指只包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类，其中一阶常微分方程包括可分离变量方程、线性方程和恰当方程等；高阶常微分方程包括二阶和以上阶数的常微分方程。
3. 常见的微分方程解法3.1 可分离变量方程的解法可分离变量方程是一类形如 $M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x)$、$N(y)$、$P(x)$、$Q(y)$ 是关于$x$ 或 $y$ 的函数。
可分离变量方程可以通过对方程进行变形和变量分离的方法求解。
3.2 线性方程的解法线性方程是一类形如 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的一阶常微分方程，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是关于 $x$ 的函数。
线性方程可以通过求解定积分和应用特解的方法求解。
3.3 恰当方程的解法恰当方程是一类形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x,y)$、$N(x,y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数，并且满足 $\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}$。
恰当方程可以通过利用积分因子的方法求解。
4. 实际应用案例分析本节将通过介绍一些实际应用案例，展示微分方程在物理、经济和工程等领域的应用。
高等数学教案 第18课 常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程
定义 4 用来确定任意常数的条件称为初始条件或初值条 件．
求一阶微分方程 y f (x ，y) 满足初始条件 y |xx0 y0 的特解 的问题，称为一阶微分方程的初值问题，记作
y f (x ，y) ，y来自|x x0y0
．
（5-7）
微分方程特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线， 通解的图形是一族相互平行的曲线（有无数多条），称为积 分曲线族，如图 5-2 所示．
18 常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程 第
课
课题 课时
教学目标
教学重难点 教学方法 教学用具 教学设计
教学过程
常微分方程的基本概念、可分离变量微分方程
2 课时（90 min）
知识技能目标： （1）掌握函数微分方程的基本概念。 （2）掌握可分离变量微分方程的解法。
思政育人目标：
由具体问题引出微分的定义，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象 产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的 良好习惯；培 养 学 生 的 逻 辑 思 维 、 辩 证 思 维 和 创 新 思 维 能 力 ；树 立 学 生 实 事 求 是 、 一 丝 不 苟 的 科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到 学以致用的目的。
教学重点：函数微分方程的基本概念
教学难点：可分离变量微分方程的解法
讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
第 1 节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第 2 节课：知识讲解（30 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）
其中 C 为任意常数．又因为曲线通过点 (0，1) ，代入上式，解 出C 1．
常微分方程教案
常微分方程教案一、引言常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本教案旨在介绍常微分方程的基本概念、解法以及应用，帮助学生掌握解常微分方程的方法，并了解其在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 常微分方程的定义常微分方程是指只依赖于一个独立变量的函数的导数与该函数本身构成的方程。
常微分方程通常以形如 dy/dx = f(x,y) 的形式表示，其中 f(x,y) 是已知函数。
2. 常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中最高阶导数的阶数。
一阶方程仅涉及一阶导数，二阶方程涉及到一阶和二阶导数，依此类推。
3. 常微分方程的解常微分方程的解是指满足方程的函数或函数组。
解可以由解析法得到，也可以通过数值方法进行近似求解。
三、解常微分方程的方法1. 可分离变量法可分离变量法适用于能够将方程表示为 dy/dx = g(x)h(y) 的情况。
通过分离变量并积分得到解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于能够将方程表示为 dy/dx = f(y/x) 的情况。
通过变量代换和分离变量的方法求解。
3. 线性方程法线性方程法适用于能够将方程表示为 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的情况。
通过使用积分因子和积分求解。
4. 恰当方程法恰当方程法适用于能够将方程表示为 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的情况。
通过使用判别式和积分求解。
5. 变量替换法变量替换法适用于通过变量替换将高阶微分方程转化为一阶方程的情况。
通过适当选择替换变量，将高阶方程转化为一阶常微分方程。
四、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
例如，运动学中的运动方程、电路中的电流方程、振动系统中的运动方程等都可以用常微分方程进行建模和求解。
2. 工程学中的应用常微分方程在工程学中也有着重要的应用。
例如，电力系统中的电压和电流的变化、控制系统中的系统稳定性分析等都可以通过常微分方程进行建模和分析。
微积分全套教案
微积分全套教案标题：微积分全套教案教案目标：1. 帮助学生理解微积分的基本概念和原理。
2. 培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
3. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
教案内容：1. 单元一：导数与微分a. 概念引入：引导学生了解导数的概念和意义，以及微分的基本概念。
b. 导数的计算方法：介绍导数的计算方法，包括基本函数的导数、求导法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解导数在实际中的应用，如速度、加速度等概念。
2. 单元二：微分方程a. 概念引入：介绍微分方程的基本概念和分类。
b. 常微分方程的解法：讲解一阶和二阶常微分方程的解法，包括分离变量法、变量代换法等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生学会将实际问题转化为微分方程，并解决问题。
3. 单元三：积分与定积分a. 概念引入：引导学生了解积分的概念和意义，以及定积分的基本概念。
b. 积分的计算方法：介绍积分的计算方法，包括不定积分、定积分的计算法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解积分在实际中的应用，如面积、曲线长度等概念。
4. 单元四：微积分应用a. 最值与最优化问题：教授最值与最优化问题的求解方法，包括极值点判别法、拉格朗日乘数法等。
b. 曲线的图像与分析：引导学生学会通过微积分方法分析曲线的图像特征，如拐点、渐近线等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生将微积分应用于实际问题的求解，如经济学、物理学等领域。
教学方法与策略：1. 提倡启发式教学：通过引导学生思考和发现，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
2. 实践性教学：注重将微积分的概念与实际问题相结合，让学生能够将所学知识应用于实际情境中。
3. 多元化评价：采用多种评价方式，如课堂小测、作业、项目等，全面评估学生的学习情况和能力发展。
教案评估：1. 学生的学习成绩：通过考试、测验等方式评估学生对微积分知识的掌握情况。
2. 学生的解决问题能力：观察学生在应用实例中的表现，评估他们解决实际问题的能力。
常微分方程教案设计
常微分方程教案设计。
对于大多数学生来说，学习常微分方程是一项具有挑战性的任务，而教师的教学能力和教案设计对于学生的学习效果有着至关重要的影响。
在本文中，我们将讨论常微分方程教案设计的重要性以及如何构建一个富有创意和实用性的教学计划。
我们需要明确一个真理，那就是好的教学计划是成功的关键。
常微分方程是一门基础性课程，因此，好的教学计划不仅要包括课程的核心内容，还要把握学生的基础知识。
教师应当精心设计课程大纲、课堂讲义以及配套的练习题，以便于学生们深入理解和掌握所授知识。
在设计教学计划的过程中，教师应当坚定自己的教学立场，充分发挥自身专业特长，用大量的实际例子和其他应用领域中的案例帮助学生掌握和应用微分方程的方法和技巧。
同时，教师也应该时刻关注学生的学习进程，以便及时调整教学方向，保证学生的学习效率。
在设计教学计划的时候，教师需要考虑学生们的学习兴趣。
为了吸引学生，我们可以通过提问、讨论和演示各种微分方程的物理、生物、化学及其他应用领域中的问题来激发学生的兴趣，并使他们对所学知识更加投入。
此外，我们还需要为学生们提供充分的资源进行自我研究和学习，这样能够加强学生的自主学习能力。
教师可以通过引导学生使用学习笔记、索引以及其他可用的学习资源来有效地增强学生的记忆能力和知识应用技巧。
教师和学生之间的互动和互动活动也是教学活动中最重要的部分。
教师应当以友好而专业的方式与学生沟通，并鼓励学生积极参加课堂讨论和其他学习活动。
这种交流不仅有利于学生更深入地理解所学知识，还可以增进教师与学生之间的互信与合作关系。
常微分方程教案设计是一项挑战性的任务，要求教师具有扎实的教育基础和深厚的专业知识。
在教案设计过程中，教师需要充分考虑课程大纲、课堂讲义以及配套的练习题等各个方面，并注重教学立场和学生的学习兴趣。
此外，为了有效增强学生的自主学习能力，教师还需要为学生提供充足的资源和互动活动。
只有这样，我们才能为学生打造一个富有效果的教学环境，让学生们真正地深入掌握常微分方程知识，并用所学知识在实践中获得成功。
高中数学备课教案解常微分方程的方法总结
高中数学备课教案解常微分方程的方法总结高中数学备课教案：解常微分方程的方法总结一、前言在高中数学备课中，解常微分方程是一个重要的教学内容。
本文将总结常微分方程的解法，并提供相关的教学建议，以帮助教师在备课过程中更好地应对这一内容。
二、常微分方程基础知识回顾在解常微分方程之前，我们首先需要回顾常微分方程的基础知识。
1. 定义：常微分方程是指含有未知函数及其导数的方程。
2. 一阶常微分方程：常微分方程中最低阶导数为一阶导数的方程。
3. 解的存在唯一性定理：满足一定条件的初值问题常微分方程存在唯一解。
三、解常微分方程的方法总结解常微分方程的方法主要包括以下几种：1. 分离变量法分离变量法是解常微分方程中最常用的方法之一。
其基本思想是将方程中的未知函数和导数分离到等式的两边，再对两边进行积分，得到方程的通解。
2. 齐次方程法对于齐次方程，我们可以进行变量替换，将未知函数转化为新的函数，从而简化方程的形式。
这样一来，我们可以使用分离变量法来求解。
3. 恰当方程法对于一些特殊形式的常微分方程，如果可以找到一个函数，使得方程左右两边乘以这个函数后，变成一个全微分形式，那么我们就可以使用恰当方程法来解。
4. 变量替换法有时候，我们可以通过合理的变量替换，将原方程转化为一些已知的常微分方程，从而方便我们求解。
5. Bernoulli方程法对于一些形如y' + P(x) * y = Q(x) * y^n的方程，我们可以通过变量替换，将其转化为一阶线性方程，进而求解。
6. 常系数线性方程法对于一些形如y'' + ay' + by = f(x)的常系数线性方程，我们可以使用特征方程法求解。
7. 参数化方程法对于一些高阶常微分方程，我们可以通过参数化的方法将其转化为一组一阶常微分方程，从而求解。
四、教师备课建议在备课过程中，教师应注意以下几点：1. 基础知识的梳理：备课前，教师应对相关的基础知识进行复习和总结，确保自己对常微分方程的概念和解法有清晰的理解。
清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程二教案资料
2020/6/18
15
设 f(x) M
x(t)x0
tea(ts)f(s)ds
0
x0 M
tea(ts)ds
0
x0
M a
2020/6/18
16
二、伯努利(Bernoulli)方程
Bernoulli 方程
dyp(x)yq(x)yn dx
方程两端同除yn
yndyp(x)y1nq(x) dx
令z y1n
例如 xd ydx d(x)y
xdxyd yd(x2y2) 2
xdx y2ydxd(x y)
ydxy2xdyd(xy)
2020/6/18
22
xxd2 yyy2dxd(arctxya)n
yxd2x x y2dyd(arctxya)n
2020/6/18
8
C (x )y 1 (x ) C (x )y 1 '(x ) p (x )C (x )y 1 (x ) q (x )
y1(x)是 （ 2） 的 解 ，
C (x )y 1 '(x ) p (x ) C (x )y 1 (x ) 0 化简得到 C (x)y1(x)q(x)
即 C(x)q(x)ep(x)dx
通解 xCyyey
2020/6/18
14
[例 3] 设 a0,f(x)在 [0, )连 续,证 有明 界 方程
dxaxf(t) (t0) dt
每个[0 解 , 在 )有.界
[证] 设xx(t)是 满 足 初x始 (0)条 x0 件 的 解 .
则 x (t) e a(tx 0 0 teafs (s)d)s(t0 )
2020/6/18
9
积分 C(x) q(x)ep(x)dxC
(完整word版)常微分方程教案2
河北民族师范学院课程教案
（章节、专题首页）
河北民族师范学院课程教案
（分页）
c c是任意常数
c
()
P x dx
c e⎰
c c
=,。
4)
c
c是任意的常数，整理后
10）
方程（2.9）如果（2.10）中允许
包含在（2.10）中
代回原来的变量，得到原方程的通解为
c c
1,
c c
=
c
c c 是任意的常数
()()dx P x dx P x dx
dx c ce e dx
-⎫
+⎪⎭⎰⎰+ 2.32)
这就是方程(2.28这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法。
实际上常数变易法也是一2.29）可将方程（）化为变量分离方程。
非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和1(1)x n x ++的通解
c
)c c是任意的常数
例2 求方程
解原方程改写为
c
-
c y
ln) c是任意的常数，另外也是方程的解.
特别的，初值问题
+
()
y Q x 的解为
0()x
x P d ce
ττ
⎰+）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程3）的非零解，而，其中c 为任意常数。
常微分方程教案(东北师大版)1_7高阶可降阶方程
第一章 初等积分法
§1.7 高阶可降阶方程
一、类型1
方程形式：
F (x, y(k), y(k+1), · · · , y(n)) = 0 (k ≥ 1)
解法：设y(k) = z，原方程化为
F (x, z, z′, · · · , z(n−k)) = 0
求解，得通解 z = z(x, C1, · · · , Cn−k)
P 49 1, 2, 4, 5, 7
通讯作者：席伟
5
email:teacherxi@
C2 2x + C1 √ y = C2 2x + C1 + C3
例：求解方程
(y − x)y′′ + y′2 − 2y′ = 1 − sin x
解：原方程化为
(yy′)′ − (xy′)′ − y′ = (x + cos x)′
通讯作者：席伟
4
email:teacherxi@
dx
y arcsin = b ± x
a
y = a sin(b ± x)
通讯作者：席伟
2
email:teacherxi@
沈阳化工学院
或 三、恰当导数方程
y = C1 sin x + C2 cos x
方程形式：
F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0
若存在ϕ，满足
解：设y′ = p，代入，得
pp′′ − p′2 = 2p′2
方程两端同乘
1 p2
，化简，得
( p′ )′ = 2( p′ )2
p
p
积分，得 积分，得 解得 即，有 积分， C1
1 ln|p| = − 2 ln|2x + C1| − ln|C2|
高中数学备课教案常微分方程
高中数学备课教案常微分方程高中数学备课教案：常微分方程第一部分：引言高中数学备课教案是教师备课的重要组成部分，其中备课教案的编写与准备对于一堂成功的课堂教学至关重要。
本文将为您介绍如何编写一份高中数学备课教案——常微分方程部分。
第二部分：教学目标1.了解常微分方程的基本概念和表达方式；2.能够解决一阶常微分方程并应用到实际问题中；3.培养学生对常微分方程的兴趣和探索精神。
第三部分：教学内容1.常微分方程的基本概念及分类；2.一阶常微分方程的解法；3.应用题：如何将常微分方程应用到实际问题中。
第四部分：教学过程1.导入环节：通过引入一个实际问题，激发学生对常微分方程的兴趣；2.知识讲解：简明扼要地介绍常微分方程的基本概念、分类及解法；3.示范演示：以具体例题为例，详细讲解一阶常微分方程的解法；4.学生训练：提供一系列练习题，让学生独立思考和解答；5.拓展应用：通过实际问题的应用，巩固学生的解题能力；6.课堂总结：梳理本节课的重点知识点和思考问题。
第五部分：教学评价为了及时了解学生的掌握情况和教学效果，可以采用以下几种教学评价方式：1.课堂练习：在课堂上布置一些问题，让学生积极参与解答；2.小组讨论：分成小组让学生讨论解题思路并撰写解题报告；3.个人作业：布置一些练习题作为课后作业，检验学生对常微分方程的理解和掌握程度；4.抽查问题：随机抽查部分学生回答问题，了解学生的掌握情况。
第六部分：教学反思教师应根据学生的实际情况和教学反馈，及时进行教学反思和调整。
在备课教案中，应注明教学过程中需要特别关注的问题，以及可能出现的困难和解决方法。
结语:通过编写一份高中数学备课教案——常微分方程部分，可以更好地梳理教学内容和思路，提高教学效果。
备课教案的编写需要综合考虑教学目标、内容、过程和评价等各个方面，帮助教师准备充分并提高教学质量。
希望本文能对您的备课工作有所帮助。
常微分方程教案(王高雄)第二章
第二章目录内容提要及其它 (1)第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2)第一节变量分离方程与变量变换 (2)一、变量分离方程 (2)二、可化为变量分离方程的类型 (6)1、齐次方程 (6)2、可化为变量分离方程 (7)三、应用例题选讲 (10)第二节线性方程与常数变易法 (11)第三节恰当方程与积分因子 (15)一、恰当方程 (15)二、积分因子 (20)第四节一阶隐含方程与参数表示 (23)一、可以解出y（或x）的方程 (24)二、不显含y（或x）的方程 (25)本章小结及其它 (27)内容提要及其它授课题目（章、节）第二章：一阶微分方程的初等解法教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74主要参考书：[1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005，p1-70[2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20[3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004，p1-12[4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169[5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999，p15-158[6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124目的与要求：掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法．能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．教学内容与时间安排、教学方法、教学手段：教学内容：第1节变量分离方程与变量变换；第2节线性方程与常数变易法；第3节恰当方程与积分因子；第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或y x）的方程、不显含（或y x）的方程．时间安排：8学时教学方法：讲解方法教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。
常微分方程教学设计
常微分方程教学设计第一讲基本概念定义1如果在一个(或者一组m(有限个))方程中，未知的(unknown)量是一个(或一组m有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量(independentvariable)的导数或微分，则称这方程为常微分方程(ordinarydifferentialequation)(或者常微分方程组(ODE’s)),简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE’s))或方程(组).(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati 方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:定义2微分方程中实质上含有的未知函数x的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于x的阶.微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶(计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示)方程组的阶:例中的方程组是n阶方程组.注意：但是如果我们把例2中的方程组看成是一个矢量x的方程，而且其中关于x的每个分量的阶都是一阶的，因此也可称它(关于x是一阶的)．n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数F在其变量的某一区域(domain)中有定义，并且一定含有未知函数x对自变量t 的n阶导数.定义3假设有在区间I上有直到n阶的连续导数的函数：以是由隐式或参数形式决定的)在区间I上满足恒等式，(可我们就说该函数是在区间I上方程的解(solution)．称区间I是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式(explicit)解，隐式(implicit)解和参数形式解.(提示)n阶微分方程的解可由对方程逐次进行n 次积分得到：，其中是的n次累次积分．为n个任意独立的实常数，2例:一阶方程义区间是：当时为的通解可以写成；当时为，其中c是非零实常数．定．严格而言不能写成的形式，因为后者的定义域不是一个区间．但是可以写成在不同区间上的两个通解：，和和．如果把这些解写成形式．则称为隐式解，这种隐式解也称为方程的积分．定义4微分方程的解，或隐式解在t-x平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线(integralcurve).如果在积分曲线上函数积分(integral)定义5已就最高阶导数解出的微分方程等于常数，则也称为微分方程的一个常微分方程之例:若x 是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：3常微分方程组之例:记vector)，是自变量t 的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:，，?，，化为n个一阶方程的方程定义6若微分方程其导数中的函数关于未知函数及是一次有理整式，则称方程是线性的(linear)，称它是n阶线性(微分)方程．一般形式为：，，则称它是n阶线性齐次(homogeneous)方程；否则称为线性为线性方程的非齐次项.(提示)若其中非齐次(inhomogeneous)方程．这时称常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)4，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:，，?，，化为n个一阶方程的方程定义7不是线性的微分方程称为非线性(nonlinear)方程．(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：第1讲第2第3第4第5第6第7第8讲讲讲讲讲讲讲微分方程与解变量可分离方程齐次微分方程一阶线性微分方程全微分方程与积分因子一阶隐式微分方程几种可降阶的高阶方程应用举例第二章基本定理解的存在性与唯一性定理解的延展奇解与包络解对初值的连续依赖性第10讲第11讲第12讲第三章线性微分方程组第13讲一阶微分方程组及一阶线性微分方程组的一般概念第14讲线性齐次微分方程组的一般理论第15讲线性非齐次微分方程组的一般理论常系数线性微分方程组的解法(单实根）第16讲常系数线性微分方程组的解法(复、重根)第四章线性微分方程第17讲第18讲第19讲第20讲n阶线性微分方程的一般理论n阶常系数线性齐次方程的解法n阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性方程与振动现象第五章定性和稳定性理论简介第21讲稳定性概念及李雅普诺夫第二方法第22讲平面自治系统的基本概念平面定性理论简介(1)第23讲平面定性理论简介(2)第1讲微分方程与解微分方程什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.300多年前，由牛顿(Newto设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.解如图1-1建立坐标系，设为t.于是物体下落的速度为加速度为质量为m 的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F=ma(力=质量×加速度)可以列出方程其中k＞0为阻尼系数，g是重力加速度.(·=）()()式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程()，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程()可化为将上式对t积分两次得()其中和()是两个独立的任意常数，它是方程()的解.一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程(·=)(′=)在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为如果在()中能将y′解出，则得到方程或()称为一阶隐式方程,()称为一阶显式方程，()称为微分形式的一阶方程.n 阶隐式方程的一般形式为n阶显式方程的一般形式为()在方程()中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：显然，方程()是一阶线性方程；方程()是一阶非线性方程；方程()是二阶线性方程；方程()是二阶非线性方程.通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.定义1.１设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把代入方程()，得到在区间I上关于x的恒等式，则称为方程()在区间I上的一个解.1.函数y=x2＋Ｃ是方程()在区间(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常数.2.函数是方程()在区间上的解，其中C是任意常数.又方程()有两个明显的常数解y=±１，这两个解不包含在上述解中.3.函数立的任意常数.4.函数是方程(１.７)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的是方程()在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独任意常数.这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有所以在上有从而该函数是方程()的解.从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n阶常微分方程()的含有n个独立的任意常数C1，C2，…，Cn的解，称为该方程的通解，如果方程()的解不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分.由上面的定义，不难看出，函数分别是方程()，()和()的通解，函数和是方程()的通积分，而函数y=±１是方程()的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件.初值问题例1中的函数()显然是方程()的通解，由于和是两个任意常数，这表明方程()有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示.图a图b而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程()所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解()所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即初始位置x(0)=H初始速度代入到通解中，推得于是，得到满足上述初值条件的特解为()它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.于是我们称()是初值问题的解.对于一个n阶方程，初值条件的一般提法是其中是自变量的某个取定值，而()是相应的未知函数及导数的给定值.方程()的初值问题常记为()，只要把初值条件。
常微分方程及其应用第二版教学设计
常微分方程及其应用第二版教学设计一、教学目标1.了解常微分方程在自然科学和工程技术中的重要作用。
2.理解常微分方程的概念、基本性质、基本解法和应用。
3.掌握一阶常微分方程解法中的分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程、常数变易法及应用。
4.掌握高阶线性常微分方程和泛函方程的解法及应用。
5.了解矩阵微分方程及其应用。
二、教学内容1. 常微分方程概述1.1 常微分方程定义 1.2 常微分方程的阶数 1.3 常微分方程的一般形式 1.4 常微分方程的初值问题 1.5 常微分方程的重要性2. 一阶常微分方程解法2.1 分离变量法 2.2 齐次方程法 2.3 一阶线性方程 2.4 常数变易法 2.5 应用：生物学问题、物理问题、化学问题、经济问题、工程问题等实际问题。
3. 高阶线性常微分方程解法3.1 齐次线性方程的通解 3.2 非齐次线性方程的通解 3.3 懒汉必备：常数变易法 3.4 应用：振动问题、热传导问题、杂质物扩散问题。
4. 泛函方程的解法4.1 常微分方程的基本理论：皮卡-极大原理、存在唯一性定理、连续依赖原理等。
4.2 变分法解微分方程 4.3 应用：微分方程的振动性质、最大值问题、最小值问题。
5. 矩阵微分方程及其应用5.1 线性矩阵微分方程的一般形式 5.2 常数系数的线性矩阵微分方程 5.3 非齐次线性矩阵微分方程的通解 5.4 应用：电路问题、控制问题、自动化问题。
三、教学方法3.1 前置听课法：先讲多元函数、极值、微分、积分等相关基础知识，使学生有良好的数学功底。
再介绍和讲解本课程的基本内容。
3.2 理论与实践相结合：在讲解理论内容的同时，重点培养学生的实际运用能力，引导学生做大量的例题、计算和求解。
3.3 多媒体教学法：运用各种多媒体工具进行教学，如视频讲解、课件、PPT 演示、动画演示等，提高学生的学习效果和兴趣。
四、教学评估课程结束后，学生需要完成一份期末考试并提交一个课程小项目，内容为任选一题，完成题目的分析、求解和推导，并给出相关的实际应用案例。
常微分方程教案
教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；常微分方程课程教案填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；复变函数与积分变换 课程教案221C z dz z z --⎰其中课本的几个定理作业和思考题：p77-78 3.7 3.8(2)(4) 3.11填表说明：1. 每项页面大小可自行添减；2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；。
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河北民族师范学院课程教案（章节、专题首页）
河北民族师范学院课程教案
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c c是任意常数
c
P x dx
()
c e⎰
c c
=，得到
()
P x
=
y ce⎰
）
.如果在（2.4
c
c是任意的常数，整理后，得到
）
此外，方程（2.9）还有解如果（2.10）中允许
）中，这就是说，方程（
代回原来的变量，得到原方程的通解为
c c
1,
c c =
c c 是任意的常数 ()()dx P x dx P x dx
dx c ce e dx
-⎫
+⎪⎭⎰⎰+ 2.32）
这就是方程（2.28这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法实际上常数变易法也是一种变量变换
c
)c c是任意的常数
例2 求方程
解原方程改写为
c ln )c y - c 是任意的常数特别的，初值问题()(P x y Q x y +=的解为
()x
x P d ce
ττ
⎰+2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（）的非零解，而为任意常数.
dt
t t )()(ϕψ'=⎰⎰'=dt
t t dy )()(ϕψc
dt t t y +'=⎰)()(ϕψ
⎪⎪⎩
⎪⎨+++=+c t t y t 233
3124131)()(。