高等工程数学--矩阵的广义逆
第4章 矩阵的广义逆
定义 3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在， 使（ 1 ）成立，即 AGA A ，则称 G 为 A 的一个 {1}-广义逆，记为
G A{1} 或 G A{1} ，也称 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 G A ， 即有 AA A A ． （5）
A为列满秩
7
推论 设 A C mn , 则
(1) A左可逆的充要条件是 N ( A) {0};
( 2) A右可逆的充要条件是 R( A) C m .
证 充分性：N ( A) {0}
rank ( A) n
必要性： A左可逆
Ax 0只有零解
A为列满秩
1 ALபைடு நூலகம்A En
x N ( A)
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方 便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之， 按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆 矩阵共有 15 类，即
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
使得
AGb b ( b R( A))
m n
则称G为A的广义逆矩阵 , 记为G A .
定理1设 A C
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在 G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C
m n
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
nm
充要条件是存在 G C
15
由AGA A可得： AGAx0 Ax0 b 即，AGb b, 说明x Gb是方程 Ax b 的解. G是A的减号逆 , G A . m n nm 设 A C , 且 A C 是A的一个广义 推论 1 逆矩阵A , 则
广义逆矩阵
广义逆矩阵
广义逆矩阵是指一个非奇异的复矩阵的逆矩阵，这种逆矩阵可以使得不同的矩阵进行运算。
广义逆矩阵可以分为两类：一类是经典矩阵，即特定的正交矩阵；另一类是非正交矩阵，即一般矩阵。
经典矩阵的广义逆矩阵可以用某种特殊的正交矩阵表示，这种正交矩阵是矩阵的逆，可以使任意矩阵进行运算。
此外，经典矩阵的广义逆矩阵也满足下列几个性质：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。
非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些和经典矩阵相似的特点：（1）它是一个对称矩阵；（2）它是一个非奇异矩阵；（3）它的转置是它的逆；（4）它的乘法是广义乘法的结果；（5）它的乘积满足基本乘法定理。
然而，经典矩阵和非正交矩阵的广义逆矩阵也有一些不同之处。
例如，非正交矩阵的广义逆矩阵可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，而经典矩阵的广义逆矩阵不能实现这一点。
此外，非正交矩阵的广义逆矩阵还具有长时间计算性质，而经典矩阵的广义逆矩阵则不具备这种性质。
上述介绍了广义逆矩阵的定义和特性。
可以看出，广义逆矩阵是一种可以使任意矩阵进行运算的矩阵，它具有很多性质，特别是可以使不可逆的矩阵变成可逆的矩阵，并具有长时间计算性质，所以广义逆矩阵在矩阵数学的应用中非常重要。
总的来说，广义逆矩阵是一种重要的矩阵，它可以使任何类型的矩阵进行计算，具有非常重要的应用价值。
如果我们能够更好地理解它的性质，也许我们就能更好地利用它来解决数学问题。
第八章 矩阵的广义逆
第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
⎞
⎛−101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
−
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。
矩阵的广义逆及其应用.ppt
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A
1
1
1
2
(3)(1)3
0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2
0 4 8
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A
0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0
工程矩阵理论矩阵的广义逆讲课文档
R[AH(AH)+] = R[(A+A)H] = R(A+A).
第十七页，共37页。
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
(5) [R(A)] = R(IAA+) = K(AA+) = K(AH)
= K(A+) = K(AAH);
证明: 对(3)中的每一项取正交补得 [R(A)] = [R(AA+)] = K(AA+)
0, X K(A);
证明: X R(AH) Y s s.t. X = AHY A+AX = A+AAHY = (A+A)HAHY = (AA+A)HY = AHY = X.
X K(A) AX = 0 A+AX = 0.
第十三页，共37页。
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
(3) R(A) = R(AA+) = R(AAH) = K(IAA+);
(2) GAG = G; (3) (AG)H = AG; Penrose方程
(4) (GA)H = GA, 则称G为A的广义逆 (或Moore-Penrose逆, 简称MP-逆).
第三页，共37页。
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
二. 存在性与唯一性
定理
设A sn, 则A有唯一的广义逆.
工程矩阵理论矩阵的广义逆
第一页，共37页。
第六章 矩阵的广义逆
第一节 广义逆及其性质 第二节 A+的求法 第三节 广义逆的一个
应用
第二页，共37页。
第六章 矩阵的广义逆
§6.1 广义逆及其性质
§6.1 广义逆及其性质
矩阵分析第8章课件
减号逆的充要条件
定理8.1.1: XCnm是ACmn的减号逆,当且仅当 AXA=A (2) 证:必要性 若X=A-,则对任意bR(A)都有 AXb=b. 令 A=(1,…,n),则 Aei=iR(A),ei=Xi, AXi=i,i=1,…,n, 因此 AX(1,…,n)=(1,…,n),得证 AXA=A. 充分性 若X满足(2)和x为Ax=b的解,则 b=Ax=AXAx=AXb, 因此,Ax=b的解可表为:x=Xb,从而得证X是A的一 个减号逆.
我们知道:用行,列初等变换可以把任意矩阵 ACrmn 化为标准形 diag(Er,0).令 PCmmm,QCnnn分别表示其中所用行,列初等变 换的乘积,则 PAQ=diag(Er,0). 求P,Q的方法示意如下: B ① 经行变换 (A | Em) -- 0
B E n
第八章 矩阵的广义逆序言
矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆)是可逆方阵的 逆矩阵概念的推广.推广后的广义逆矩阵不仅 仍然适用于可逆方阵,更适用于奇异方阵,甚 至适用于行列数不相等的长方阵. 广义逆矩阵除了上述理论意义之外,还有更大的 应用价值.广义逆矩阵是计算许多实际问题的 有效工具,特别在数值分析中十分有用. 本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆, 自反广义逆和加号逆(伪逆矩阵)等五种广义 逆.
1 2 1/ 2 5 / 2 | 0 1/ 2 0 1 0 11/ 2 5 / 2 | 2 1 / 2 0 1 3 0 | 1 0 0 0 1 3 0 | 1 0 0 0 0 0 | 3 2 1 0 0 0 0 | 3 2
注:求矩阵Q较为容易,先适当交换列顺序把B的前 r列变为Er,再把所有别的元全化为0.这样一来,Q 的非对角元恰好是B的对应元反号.
求矩阵的广义逆例题简单
求矩阵的广义逆例题简单
假设我们有一个2x2的矩阵A：
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]
我们可以计算出这个矩阵的行列式：
\[
\det(A) = |A| = 1(1) - 1(1) = 0
\]
因为行列式为0，所以矩阵A不可逆。
我们称这样的矩阵为奇异矩阵。
那么，矩阵A的广义逆是什么呢？广义逆是一个与方阵的逆相对应的概念，可以应用于任何一个矩阵。
在这个例子中，矩阵A的广义逆可以通过计算伪逆来获得：
\[
A^+ = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)
\]
其中，\(\text{adj}(A)\)表示矩阵A的伴随矩阵。
对于我们的例子，\(\text{adj}(A)\)可以计算如下：
\[
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]
然后，我们可以计算广义逆：
\[
A^+ = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{0} \cdot \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} = \text{undefined}
\]
由于行列式为0，我们的广义逆的计算结果是未定义的。
这也是为什么奇异矩阵没有逆矩阵或者广义逆的原因。
工程矩阵理论(第6章-矩阵的广义逆)
矩阵的广义逆可以用于求解线性方程组，特别是当系数矩阵奇异或接近奇异时，广义逆提供了有效的 解决方案。
最小二乘解
在最小二乘问题中，广义逆可以找到使得残差平方和最小的解，这在数据分析和统计中非常有用。
在控制论中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，广义逆可以用于分析 系统的稳定性，通过计算系统的极点 来评估系统的动态行为。
04
矩阵的广义逆的存在性条件
存在性条件
矩阵A的秩为n
矩阵A的秩必须等于其维数n，即 $rank(A) = n$，以保证存在一个广义逆 矩阵。
VS
线性方程组有解
矩阵A所对应的线性方程组必须有解，即 系数矩阵A的行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$。
唯一性条件
要点一
矩阵A为非奇异矩阵
矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$，以保证广义逆矩阵的唯一性。
程实际需求。
工程实例三：最优化问题求解
总结词
最优化问题求解是矩阵广义逆的一个重要应用方向。
详细描述
在工程领域中，经常需要解决各种最优化问题，如线 性规划、二次规划、非线性规划等。这些问题的数学 模型通常可以转化为矩阵形式。通过利用矩阵的广义 逆，可以高效地求解这些最优化问题，为工程实践提 供更好的解决方案。
最小二乘法的优点是简单易行，适用于大规模数据的计算。 但是，它只能找到一个近似解，而不是精确解。
迭代法
迭代法是一种通过不断迭代来逼近解的方法。在矩阵的广 义逆中，迭代法可以用来求解线性方程组的迭代解。通过 不断迭代更新解向量，最终逼近方程组的解。
迭代法的优点是适用于大规模数据的计算，且可以找到精 确解。但是，迭代法的收敛速度较慢，需要多次迭代才能 得到满意的结果。
第8章广义逆矩阵及其应用
同理可证（2）．
这里要特别指出的是，对于行或列满秩的矩阵 A ， AR1 与 AL1 是不可能同时存在的，当且仅当 A 为满秩矩阵时 AR1 与 AL1 才同时存在，并且都等于逆矩阵 A1 ，另外，由右逆与左逆的定
义不难看出右逆与左逆满足 M-P 方程（8.1.1），（8.1.2），从而有 下面结论．
( AG) H AG ，
（8.1.4）
4 个方程的全部或一部分，则称 G 为 A 的一个广义逆矩阵，并把上
面 4 个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果 G 满足
M-P 的 4 个方程式，则称 G 为 A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为
G A{1,2,3,4} ，一般地，如果 G 满足 4 个 M-P 方程式中的第
在，使（8.1.1）与（8.1.2）都成立，即
AGA A GAG G
则称 G 为 A 的一个{1,2}-广义逆，记为 G A{1, 2} 或 G A{1,2} ，也称 G
为 A 的一个自反减号广义逆，记为 G Ar ，即有
AAr A A ， Ar AAr Ar ．
（8.1.10）
显 然 ， 自 反 减 号 逆 Ar 是 一 种 特 殊 的 减 号 逆 A ， 它 满 足 自 反 性
P C mm , Q C nn 使得
PA
Q
Er 0
00 ，
则 A 的减号逆矩阵存在，且可表示为
（8.1.7）
A
Q
Er G21
G12 G22
P
，
（8.1.8）
其中 G12,G21,G22 分别是 r (m r) ，(n r) r ，(n r) (m r) 的任意
矩阵．
广义逆矩阵
1 0 0
10 0
1 0
0
0 1
0 1 0
0 0
0 1
把 y1 0,0,1,0T , y2 0,0,0,1T 扩充为R4 的一组标准正交基得：
y3 1,0,0,0T , y4 0,1,0,0T 再令 U y1, y2 , y3, y4 ,
设r 0,由满秩分解定理知，存在B Crmr ,C Crrn , 使得A BC
令X C H (CC H )1(BH B)1 BH
可以验证X满足广义逆矩阵方程
对于矩阵方程
几类弱逆
AXA A
(P1)
XAX X
AX H AX
(P2 ) ( P3 )
XAH XA (P4 )
则有唯一解 x A1b; 但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解
不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。
2）如果方程组相容，且其解有无穷多个，可求出具有极小范数的
解，即 min x , 其中 为欧氏范数，可以证明满足此条件 Axb
的解是唯一的，称为极小范数解。
3）若方程组不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际 问题中，需要求出这样的解：
Al --最小二乘广义逆
A{1,4},它的形式记为
Am 最小范数广义逆
广义逆A-
A{1}是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若
AA-1A=A, 则记 A A{1}
说明： 1)利用初等行变换，可以求得A-
2）A的减号逆A-不唯一。
例：设
A
1 1
0 0,
1 0
第七章 广义逆矩阵
广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切 联系。给定一个线性方程组 Ax=b，当矩阵A可逆时，线性 方程组的解可表示为x=A-1 b
毕业论文-矩阵的广义逆及其应用模板
矩阵的广义逆及其应用摘要：矩阵的广义逆，即Moore-Penrose逆，在众多理论与应用科学领域，例如微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、系统理论、测量学等，都扮演着不可或缺的重要角色。
本文首先介绍了广义逆的定义以及广义逆的性质，主要内容是矩阵广义逆的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，同时加以举例说明。
关键词：分块矩阵；广义逆；Moore—Penroce逆；Cramer法则.The generalized inverse matrix and its applicationAbstract: The generalized inverse of matrix, i.e. the inverse of Moore-Penrose, plays an indispensable role in many fields of theories and applied sciences, such as differential equation, numerical algebra, linear statistical inference, optimization, the analysis of electrical network, system theory and surveying, etc.The thesis introduces the definition and the property of the generalized inverse for the first place, and its primary content is the application of generalized inverse matrix including its all kinds of applications in the block matrix theory, its Cramer rule and its calculation. Besides, brief explanations are given to some theories with illustrations.Key words: block matrix; generalized inverse; inverse of Moore-Penrose; Cramer rule.1引言矩阵的广义逆概念是由美国学者E.H.Moore 首先提出的，但在此后的30多年里，矩阵的广义逆很少被人们所注意，直到1955年英国学者R.Penrose 利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后，广义逆矩阵的理论与应用才进入了迅速发展的时期。
广义逆矩阵
广义逆矩阵广义逆矩阵是研究线性代数和数值分析的非常重要的概念，它可以用来求解线性方程组和计算数值解。
本文介绍了广义逆矩阵的基本概念，具体的求解方法和一些相关的典型应用。
1.什么是广义逆矩阵广义逆矩阵（generalized inverse matrix）是一个矩阵的另一种特殊的逆矩阵，它被广泛应用于线性代数和数值分析中。
它是一种概念比较抽象的概念，定义如下：设A是一个n阶矩阵，它具有n个线性无关的列向量，若能够找到一个n阶矩阵G，使其能够满足： GA = AG = A则G称作A的广义逆矩阵。
2.广义逆矩阵的求解广义逆矩阵的求解方法有很多种，其中最常用的方法是Moore-Penrose伪逆矩阵法。
该法是采用矩阵分解的方法，将A分解为三个矩阵：A=L+D+U，其中L为下三角矩阵，D为对角矩阵，U为上三角矩阵，令P=L+D，Q=U+D，则G近似地可求得为：G = P-1Q-1；借助矩阵分解法，可将广义逆矩阵求解问题转化为求普通逆矩阵的问题，可大大简化求解步骤，成为一种非常有效的求解方法。
3.广义逆矩阵的应用广义逆矩阵的应用非常广泛，可以用来求解线性方程组，计算最小二乘法的数值解，解决数据压缩问题等。
（1）求解线性方程组广义逆矩阵可以用来求解线性方程组，若Ax=b，求x，则x=Gb，其中G是A的广义逆矩阵，这就是线性方程组的求解方法。
（2）计算最小二乘法的数值解对于最小二乘问题，若想求解精确的数值最优解，可以采用广义逆矩阵。
先将矩阵A进行矩阵分解，得G，然后将G代入，可以求出相应的数值最优解。
（3）数据压缩广义逆矩阵还可以应用在数据压缩中，可以采用广义逆矩阵加不完全正定矩阵取近似值来压缩数据，这样可以有效减少存储空间，提高计算效率。
综上所述，广义逆矩阵是研究线性代数和数值分析的一个重要概念，求解过程可以采用矩阵分解和不完全正定矩阵等方法，可以用来求解线性方程组，计算最小二乘法的数值解和进行数据压缩等。
矩阵理论课件-第三章 矩阵的广义逆
注2：由定理2知
A In
I
m
初等变换
PAQ Q
P
Ir 0 Q
0 0
P
1 0 -1 1
例：设A=
0
2
2
2 ，求A{1}.
-1 4 5 3
解：由
A I4
I3 0
初等变换
I2 0 Q
0 0
P ，这里
0
1 0 1 1
1 0
P=
0
1/ 2
1 2
0 0 1
,
这里只是给出了A{1}的一个构造性描述,在使用上并不直接， 因为还要求出一个A(1).
推论2：方程组(1)相容的充要条件是AA(1)b b,且其通解为 x=A(1)b+(I-A(1)A) y, y Cn任意.
证明：定理1中，取D=b Cm,B=1即得.
注1:因为A+ A{1},故Ax=b相容时，通解为 x=A+b+(I-A+A) y, y Cn.
证明：由A的奇异值分解(r(A)=r),有A=V
Sr 0
0 0
U
H，其中
Sr diag{1, , r},i 0,U和V是酉阵.
令G=U
Sr1 0
AGA=V
Sr 0
0 0
VH
,
可以验证G满足方程1）-4）.如第1)3)方程
0 0
U
H
U
Sr1 0
0 0
VH
V
Sr 0
X=A(1) DB(1) +Y-A(1)AYBB(1).(2) 其中Y Cnq为任意.
证明：：若AA(1)DB(1)B D,令X=A(1)DB(1)则满足AXB=D. :若AXB=D有解,则D=AXB=AA(1) AXBB(1) B=AA(1) DB(1) B.
矩阵的直积的广义逆类
矩阵的直积的广义逆类
广义逆矩阵（generalized inverse matrix）是给定矩阵A的一种变体，它是一种可以满足类似于“A·A+ = A+ · A = A”的特殊的可逆矩阵。
例如，如果A是一个m x n的矩阵，它的广义逆可以被表示为：
A+ = (A'A)^-1 A'
其中A'表示A的转置，而(A'A)^-1是A'A的逆。
因此，A+是A的一个
m x m矩阵，并且它可以用来解决形式为： Ax = b 的方程，其中b是
一个m维列向量。
广义逆矩阵的直积是指矩阵A和A+的乘积。
由于A+是A的一个m x
m矩阵，因此A+A是一个m x n矩阵，而AA+是一个n x n矩阵。
矩
阵A+A和AA+都有它们自己的特殊性质：A+A和AA+都是“伪逆”矩阵，它们的所有特征值都为1，而AA+的特征向量是A的列向量，而
A+A的特征向量是A的行向量。
第八章矩阵的广义逆
第八章矩阵的广义逆
第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。
第六章广义逆矩阵
第六章广义逆矩阵§6.1 投影矩阵一、投影算子与投影矩阵v设L和M都是C n的子空间，且LÅM=C n．于是任意xÎC n都可唯一分解为x=y+z，yÎL，zÎM，称y是x沿着M到L的投影．v定义将任意xÎC n变为沿着M到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子，记为PL,M ，即PL,Mx=y。
v显然，R(P L,M)=L，N(P L,M)=M．v投影算子P L,M是一个线性算子。
v定义投影算子P L,M在C n的基e1,…,e n下的矩阵称为投影矩阵．记为P。
L,Mv幂等矩阵：A2=Av引理设AÎC n×n是幂等矩阵，则N(A)=R(I-A)。
证明：A2=AÞA(I-A)=OÞ对任意xÎR(I-A),存在yÎC n,x=(I-A)y，必有Ax=0。
故R(I-A)ÌN(A)Þdim R(I-A)£dim N(A)=n-dim R(A)即rank(I-A)£n-rank A。
考虑到I=A+(I-A)Þn£rank A+rank(I-A)有rank(I-A)=n-rank A，使得dim R(I-A)=n-dim R(A)=dim N(A)，即得N(A)=R(I-A)。
v定理：P为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵为投影矩阵，则对任意xÎC n有证明：设P=PL,MP2L,M x = P L,M (P L,M x) = P L,M y = y = P L,M x故P为幂等矩阵。
反之，设P为幂等矩阵n则对任意xÎC有x=x-Px+Px=(I-P)x+Px，其中(I-P)xÎN(P)，PxÎR(P)，使得C n=N(P)+R(P)。
设zÎN(P)∩R(P)，由于N(P)=R(I-P)故存在u，vÎC n使得z=Pu=P2u=P(I-P)v Þz=Pu=(I-P)v=0故N(P)∩R(P)={0}。
6 矩阵的广义逆
9. A AB A AC AB AC
16
例8
证明：若A是Hermite矩阵， 则A也是Hermite矩阵。
17
例9
设A是正规矩阵，证明： (A ) (A ) .
2 2
18
定理3
x, 若x R ( A) 1. AA x ; H , 若x K ( A )
5.AH AH AA A AAH ;
15
定理1（续）
6.( A A) A ( A ) ; ( AA ) ( A ) A ;
H H H H
7.A ( AH A) AH AH ( AAH ) ; 8.若U ,V是酉矩阵， 则(UAV) V A U ;
O , B B O
11
例6
A 3. A O
1 4.
O, A O
A n n 1 j , 若 j 0 其中， j 0，若 j 0
H
19
第三节 广义逆矩阵的应用
当线性方程组Ax b无解时， 如何求最好的近似解， 即求x使得 Ax - b 2 最小？
20
最小二乘解
定义：设A C
sn
, x0 C , 若
n
xC
b Ax 0 min b Ax n
则称x0是线性方程组Ax b的最小二乘解。
长度最小的最小二乘解称为极小最小二乘解。
21
定理4
是Ax b的最小二乘解 是A Ax A b的解。
H H
22
22 广义逆矩阵
§2 矩阵的广义逆一、广义逆矩阵的概念定义1 设任意一个矩阵n m R A ⨯∈，若存在矩阵m n R X ⨯∈，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )T =AX （3） (XA )T =XA （4） 这四个方程中的一个、两个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵。
由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中之多。
本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。
定义2 对矩阵n m R A ⨯∈，一切满足方程组A AXA =的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。
记为-A 。
例如，，都是的减号逆。
下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。
定理1(秩分解) 设A 为n m ⨯矩阵，()rank A r =，若， 或这里P ,Q 分别为n n m m ⨯⨯,的可逆阵，则12221121---⎪⎭⎫ ⎝⎛=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。
证明 设X 为A 的广义逆，则有Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔O O O I O O O I QXP O O O I r r r 若记则上式，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔00000011r I G r I G =⇔11 于是， 12221121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇔=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕.定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。
推论：若A 右逆，则；若A 左逆，则()1112n A Q I G P ---=。
例 1 设, 求-A 。
解 经过初等变换可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00100002100050110010210010010000010000011021001121032I I A 于是，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=---21121121121121212241251025110211001100210501t t t t t t t t t t t P G I Q A 其中21,t t 是任意数。
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FGG H (GGH )1 ( F H F )1 F H FG
FG A
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
一、广义逆的定义与性质
A AA G F FGG F
GH (GG H )1 ( F H F )1 F H FGG H (GG H )1 ( F H F )1 F H G (GG ) ( F F ) F A
Ir O GA O O
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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二、广义逆的求解
Ir O AG GA O O
所以有 1) AGA A；
2) GAG G；
3) (AG)H AG； 4) (GA)H GA. 即G是A的广义逆
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一、广义逆的定义与性质
m n 设 ，则 A的加号逆 A存在且唯 定理1 A
证明
一 由例 3 知，对任意矩阵 A 都存在广义逆A . 下证唯一性. 假设 F 与 G 都是 A的广义逆，则由广义逆的定义有:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F FAF F(AF)H FFHAH
FFH(AGA)H
H H H H 1 1
AA FGG F
FGG (GG ) ( F F ) F
H H H 1 1 H
F ( F H F )1 F H
所以有
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( AA )H AA
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一、广义逆的定义与性质
A A G F FG
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1 1 0 (F F ) 5 0 5
H 1
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二、广义逆的求解
1 0 1 2 0 5 0 H GG 2 0 0 0 1 0 1 0 1
则称G为A的Moore-Penrose广义逆，
简称为M-P广义逆，或加号逆， 记为 A.
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一、广义逆的定义与性质
例 1 若A是可逆，则有A A1. 例 2 1) 若 F 是列满秩的，则有
1 F FL (F HF ) 1 F H
图片
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第一篇：矩阵理论 第 18 讲：矩阵的广义逆及其应用 主讲：国防科技大学 杨文强 副教授
第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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内容提纲
1. 广义逆的定义与性质
2. 广义逆的求解
3. 广义逆在最小二乘问题中的应用
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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一、广义逆的定义与性质 证明 3) AH AH A A A AAH ；
由广义逆的定义有
AH (A
AA)H AH (A AA)H
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AH (A A)
H
AH A A AH
)H H H H ( A A (A A) A
3) 由此得到 A 的广义逆:
1 1 A+ GR FL G F
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二、广义逆的求解
1 2 0 例 4 设 A 0 0 1 ，试求A的广义逆. 2 4 0
解
首先求出 A 的Hermite标准形:
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一、广义逆的定义与性质 定理2(广义逆的性质) 设 A mn ，则有
1) (A) A；
2) (A)H
H) ； ( A 3) AH AH A A A AAH ；
4) (A) A/， 0； 5) A (AH A) AH AH (A AH)
2)若 G rn 是行满秩的，则 G 有右逆:
1 GR G H (GG H ) 1
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一、广义逆的定义与性质
对一般矩阵 A mn ，有满秩分解: A FG 能否定义 A 的 “逆”为:
1 1 GR FL
所以
F (F H F )1 F H 1 0
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二、广义逆的求解
1 1 G G (GG ) 2 1
H H 1
由此得到
1 1 0 1 1 A G F 1 0 2 1 0 2 1
1 2 0 1 2 0 (3) (2)2 A 0 0 1 0 0 1 2 4 0 0 0 0
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二、广义逆的求解
所以 A 的满秩分解是
1 2 0 1 0 1 2 0 A 0 0 1 0 1 FG 0 0 1 2 4 0 2 0 1 0 1 0 2 5 0 H F F 0 1 0 1 0 0 1 2 0
AAAH
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二、广义逆的求解 广义逆求解方法之一:满秩分解法
1) 先求出 A 的满秩分解: A FG； 2) 再计算 F 的左逆及 G 的右逆:
F F (F F ) F
H
1 L
1
H
1 G GR GH (GGH )1
二、广义逆的求解
所以 A 的广义逆是
A G F
1 0 1 1 1 0 2 2 0 5 0 5 0 5 0 5
1 0 2 1 2 0 4 25 0 25 0
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H
1
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一、广义逆的定义与性质
例 3 对任意矩阵 A 则有
A G F G H (GG H )1 ( F H F )1 F H
m n
，设A的满秩分解为: A FG，
证明 即需验证 A 满足定义中的4个条件
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二、广义逆的求解 广义逆求解方法之二:奇异值分解法
设A 的奇异值分解:
Σ O H A U V O O
1 (Σ ) r
其中 1，2，…，n 是 A 的正奇异值. 则由广义逆的性质有
FL1FFL1 ( F H F )1 F H FFL1 FL1
因为 ( F F ) 是Hermite矩阵，所以有
( FFL1 )H [F ( F H F )1 F H ]H F ( F H F )1 F H
( FL1F )H I FL1F
1 + 1 F F F 所以有 ，即 L 是 F 的加号逆. L
一、广义逆的定义与性质
一个方阵不一定可逆，长方矩阵更没有逆.
能否推广矩阵逆的概念，使得任何矩阵在某种意义
下都可逆?
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一、广义逆的定义与性质
回 顾: 1)若 F
mr
是列满秩的，则 F 有左逆:
1 FL ( F HF )1F H
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；
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一、广义逆的定义与性质
6) 若F 列满秩，G行满秩，则有 (FG) GF ； 7) 若U 和 V 是酉矩阵，则有(UAV) VHAUH ； 8) rank A rank A rank AA rank AA ； 9) mrank(Im AA) nrank(In AA) rank A
下证G就是A的广义逆
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二、广义逆的求解
因为
1 1 11 1 r r1 AG 0 0 0 0 0 0
1 Σ O H A V U O O
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二、广义逆的求解
1 1 1 0 ， B，(AB) . 例 6 设A ， ，试求 A B 0 0 0 0
解
因为
1 1 1 A 1 1 FG 0 0 0
2) 若 G 是行满秩的，则有
1 G + GR GH (GG H ) 1
证明 1) 即需验证 F 满足定义中的4个条件
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1 L
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一、广义逆的定义与性质
FF F F ( F F ) F F F