高等工程数学--矩阵的广义逆

则称G为A的Moore-Penrose广义逆，
简称为M-P广义逆，或加号逆， 记为 A.
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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一、广义逆的定义与性质
例 1 若A是可逆，则有A A1. 例 2 1) 若 F 是列满秩的，则有
1 F FL (F HF ) 1 F H
二、广义逆的求解
所以 A 的广义逆是
A G F
1 0 1 1 1 0 2 2 0 5 0 5 0 5 0 5
1 0 2 1 2 0 4 25 0 25 0
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2)若 G rn 是行满秩的，则 G 有右逆:
1 GR G H (GG H ) 1
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一、广义逆的定义与性质
对一般矩阵 A mn ，有满秩分解: A FG 能否定义 A 的 “逆”为:
1 1 GR FL
1 0 1 0 1 1 0 1 1 H H 1 2 0 G GR G (GG ) 2 0 5 0 5 5 0 1 0 5
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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第一篇：矩阵理论 第 18 讲：矩阵的广义逆及其应用 主讲：国防科技大学 杨文强 副教授
第18讲 矩阵的广义逆及其应用
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内容提纲
1. 广义逆的定义与性质
2. 广义逆的求解
3. 广义逆在最小二乘问题中的应用
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AAAH
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二、广义逆的求解 广义逆求解方法之一:满秩分解法
1) 先求出 A 的满秩分解: A FG； 2) 再计算 F 的左逆及 G 的右逆:
wenku.baidu.comF F (F F ) F
H

1 L
1
H
1 G GR GH (GGH )1
这里的“逆”如何定义?
与线性代数中方阵的逆有什么联系和区别?
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一、广义逆的定义与性质
定义1(广义逆) 设 A mn ，若存在矩阵 G nm ，使得
1) AGA A； 2) GAG G； 3) (AG)H AG； 4) (GA)H GA.
FL1FFL1 ( F H F )1 F H FFL1 FL1
因为 ( F F ) 是Hermite矩阵，所以有
( FFL1 )H [F ( F H F )1 F H ]H F ( F H F )1 F H
( FL1F )H I FL1F
1 + 1 F F F 所以有 ，即 L 是 F 的加号逆. L
H H H H 1 1
AA FGG F
FGG (GG ) ( F F ) F
H H H 1 1 H
F ( F H F )1 F H
所以有
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( AA )H AA
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一、广义逆的定义与性质
A A G F FG
所以
F (F H F )1 F H 1 0
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二、广义逆的求解
1 1 G G (GG ) 2 1
H H 1
由此得到
1 1 0 1 1 A G F 1 0 2 1 0 2 1
1 2 0 1 2 0 (3) (2)2 A 0 0 1 0 0 1 2 4 0 0 0 0
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二、广义逆的求解
所以 A 的满秩分解是
1 2 0 1 0 1 2 0 A 0 0 1 0 1 FG 0 0 1 2 4 0 2 0 1 0 1 0 2 5 0 H F F 0 1 0 1 0 0 1 2 0
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一、广义逆的定义与性质 定理2(广义逆的性质) 设 A mn ，则有
1) (A) A；
2) (A)H
H) ； ( A 3) AH AH A A A AAH ；
4) (A) A/， 0； 5) A (AH A) AH AH (A AH)
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1 1 0 (F F ) 5 0 5
H 1
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二、广义逆的求解
1 0 1 2 0 5 0 H GG 2 0 0 0 1 0 1 0 1
H
1
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一、广义逆的定义与性质
例 3 对任意矩阵 A 则有
A G F G H (GG H )1 ( F H F )1 F H
m n
，设A的满秩分解为: A FG，
证明 即需验证 A 满足定义中的4个条件
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一、广义逆的定义与性质 证明 3) AH AH A A A AAH ；
由广义逆的定义有
AH (A
AA)H AH (A AA)H
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AH (A A)
H
AH A A AH
)H H H H ( A A (A A) A
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一、广义逆的定义与性质
m n 设 ，则 A的加号逆 A存在且唯 定理1 A
证明
一 由例 3 知，对任意矩阵 A 都存在广义逆A . 下证唯一性. 假设 F 与 G 都是 A的广义逆，则由广义逆的定义有:
F FAF F(AF)H FFHAH
FFH(AGA)H
1 Σ O H A V U O O
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二、广义逆的求解
1 1 1 0 ， B，(AB) . 例 6 设A ， ，试求 A B 0 0 0 0
解
因为
1 1 1 A 1 1 FG 0 0 0
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二、广义逆的求解 广义逆求解方法之二:奇异值分解法
设A 的奇异值分解:
Σ O H A U V O O
1 (Σ ) r
其中 1，2，…，n 是 A 的正奇异值. 则由广义逆的性质有
下证G就是A的广义逆
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二、广义逆的求解
因为
1 1 11 1 r r1 AG 0 0 0 0 0 0
AA A FGG F FG
FGG H (GGH )1 ( F H F )1 F H FG
FG A
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一、广义逆的定义与性质
A AA G F FGG F
GH (GG H )1 ( F H F )1 F H FGG H (GG H )1 ( F H F )1 F H G (GG ) ( F F ) F A
一、广义逆的定义与性质
一个方阵不一定可逆，长方矩阵更没有逆.
能否推广矩阵逆的概念，使得任何矩阵在某种意义
下都可逆?
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一、广义逆的定义与性质
回 顾: 1)若 F
mr
是列满秩的，则 F 有左逆:
1 FL ( F HF )1F H
1 1 0 (GG ) 5 0 5
H 1
由此得到 F 的左逆及 G 的右逆:
1 1 0 1 0 2 1 1 0 2 F F (F F ) F 5 0 5 0 1 0 5 0 5 0
1 L H 1 H
GH (GG H )1 ( F H F )1 F H FG G H (GG H )1G
所以有
( A A)H A A
由加号逆的定义有
A G F G (GG ) ( F F ) F
H H H 1 1 H
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；
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一、广义逆的定义与性质
6) 若F 列满秩，G行满秩，则有 (FG) GF ； 7) 若U 和 V 是酉矩阵，则有(UAV) VHAUH ； 8) rank A rank A rank AA rank AA ； 9) mrank(Im AA) nrank(In AA) rank A
Ir O GA O O
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二、广义逆的求解
Ir O AG GA O O
所以有 1) AGA A；
2) GAG G；
3) (AG)H AG； 4) (GA)H GA. 即G是A的广义逆
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二、广义逆的求解
例 5 设
1 r A 0 0
其中1，2，…，r 是非零实数，
试求A的广义逆.
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二、广义逆的求解
解 令
11 r1 G 0 0
HAHGHAH FF F(AF) H(AG)H FAFAG FAG
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一、广义逆的定义与性质
G GAG (GA)HG AHGHG AHFHAHGHG (FA)H(GA) HG
FAGAG FAG 所以有 F G ，唯一性得证.
2) 若 G 是行满秩的，则有
1 G + GR GH (GG H ) 1
证明 1) 即需验证 F 满足定义中的4个条件
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一、广义逆的定义与性质
FF F F ( F F ) F F F
H H 1 L 1
3) 由此得到 A 的广义逆:
1 1 A+ GR FL G F
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二、广义逆的求解
1 2 0 例 4 设 A 0 0 1 ，试求A的广义逆. 2 4 0
解
首先求出 A 的Hermite标准形: