导数及其应用高二文科数学

《导数及其应用》测试题（高二文科数学）一. 选择题（每小题5分, 共50分） 1．设函数()y f x =可导，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-∆等于 （ ）A ．'(1)fB ．3'(1)fC ．1'(1)3f D ．以上都不对2. 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ）A. 7米/秒B. 6米/秒C. 5米/秒D. 8米/秒3. 32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于 （ ）A.319 B.316 C. 313 D. 3104. 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） 5. 曲线21xy x =-在点（1,1）处的切线方程为 （ ） A.B.C.D.6.()f x '是)(x f 的导函数，()f x '的图象如右图所示，则)(x f 的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）7.设R a ∈，若函数ax e y x+=，R x ∈有大于零的极值点，则 （ ） A ．1-<a B. 1->a C. e a 1-> D. ea 1-< 8.设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( )A ． (-3,0)∪(3,+∞)B ． (-3,0)∪(0, 3)C ． (-∞,- 3)∪(3,+∞)D ． (-∞,- 3)∪(0, 3)9. 已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 ( )A. 21>-<b b ，或B.21≥-≤b b ，或C. 21<<-bD.21≤≤-b10.设函数f(x)是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在处的切线的斜率为（ ）Ａ．15- Ｂ．0 Ｃ．15Ｄ．5 二. 填空题（每小题5分，共20分）11.已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= .12.函数f(x)= x 2-2lnx 的单调减区间是______________13.过点P(3,5)并与曲线2x y =相切的直线方程是_________14.曲线y=x 2上的点到直线2x+y+4=0的最短距离是________________三. 解答题（本大题共6小题，满分共80分） 15. （本题12分）求经过点(2,0)且与曲线1y x=相切的直线方程.17.（本小题14分）已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。

18．（本小题14分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．19. （本小题14分）已知)0(6)(23≠+-=a b x ax x f 在[1，2]上单调递增，且最大值为1. （1）求实数a 和b 的取值范围；（2）当a 取最小值时，试判断方程x x f 24)(=的根的个数。

20．（本小题满分14分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）当1=a 时, 求()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1()()2f xg x >+； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.一. 选择题（每小题5分, 共50分）二. 填空题（每小题5分，共20分）11. 25 12. _(0,1)_ 13. y=2x-1或y=10x-25三. 解答题（本大题共6小题，满分共80分） 15．解：∵点(2,0)不在曲线1y x=上，∴设切点为00(,)P x y ， ∵21'y x =-，∴0201'|x x y x ==-，∴所求切线方程为00201()y y x x x -=--． ∵点(2,0)在切线上，∴20002x y x =-（①），又00(,)P x y 在曲线1y x=上，∴001x y =（②）， 联立①、②解得01x =，01y =，故所求直线方程为20x y +-=．17．解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+ （2）'3()1090,0,f x x x x x =-><<>或 单调递增区间为()1010-+∞ 18解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-．（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >． 19. （本小题14分）已知)0(6)(23≠+-=a b x ax x f 在[1，2]上单调递增，且最大值为1. （1）求实数a 和b 的取值范围；（2）当a 取最小值时，试判断方程x x f 24)(=的根的个数.19．解：（1）因为b x ax x f +-=236)(，所以x ax x f 123)('2-=因为b x ax x f +-=236)(在[1，2]上单调递增， 所以x ax x f 123)('2-=≥0在[1，2]上恒成立可以化为a ≥x 4，而x4在区间[1，2]上的最大值为4，故只需a ≥4， 此时)(x f 在[1，2]上的最大值为)2(f =1248=+-b a ，7825-≤-=a b .故实数a 的取值范围为[),4+∞，实数b 的取值范围为]7,(--∞（2）由（1）可知，a 的最小值为4，此时b=-7， 则方程x x f 24)(=可化为07246423=---x x x令F （x ）=7246423---x x x ，则241212)('2--=x x x F .令0241212)('2=--=x x x F ，可得1-=x 或2=x ，其变化情况列表如下：且在x=-1处取得极大值7，在x=2处取得极小值-47，结合函数的图象可知，方程有3个不同的实数根。

20．（本小题满分14分）已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈（1）当1=a 时, 求()f x 的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，1()()2f xg x >+； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 20．（本小题满分14分）解：（1） x x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增 ∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分（2） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，21ln ()xh x x， 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴max min 1111()()1()222h x h e f x e ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+（3）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-xax 1-=① 当0≤a 时，(0,]x e ，所以()0f x ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去）， ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件.③ 当e a≥1时，(0,]x e ，所以()0f x ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去）， 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.。