高中数学竞赛基础知识讲解
高中数学竞赛讲义第一讲《复数》练习
高中数学竞赛第一讲复数一、基础知识1.复数的运算法则:三角形式,若z 1=r 1(cos θ1+i sin θ1), z 2=r 2(cos θ2+i sin θ2),则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)];11222(0),z r z z r ≠=[cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2)],或记为z 1z 2=r 1r 212()i e θθ+;.)(212121θθ-=i e r r z z 2.棣莫弗定理:[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ). 3.开方:若=nw r (cos θ+i sin θ),则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=,k =0,1,2,…,n -1。
4.方程10(2n x n n n -=≥为自然数,且)的个根 记为:22cossin (0,1,2,,1)k k k i k n n nππε=+=-称为1的n 次单位根。
由棣莫弗定理,全部n 次单位根可表示为112111-n εεε ,,,。
关于单位根,有如下常用性质:)20111211≥=++++-n n (εεε ;任意两个单位根j i εε,的乘积仍为一个n 次单位根,且(1)的余数)除以是其中时,当n j i k n j i k j i j i j i +=≥+=⋅++,(εεεεε; (2)设m 为整数,1≠n ,则⎩⎨⎧=++++-的倍数)不是的倍数),是n m n m n mn m m (0(1121εεε(3)1+z 1+z 2+…+z n -1=0;(4)x n -1+x n -2+…+x +1=(x -z 1)(x -z 2)…(x -z n -1)=(x -z 1)(x -21z )…(x -11n z -). 特别地:1的立方根有:1,ω=-12+32i ,-ω=-12-32i(1)ω3=-ω3=1 (2)1+ω+ω2=0或1+-ω+-ω2=0 (3)ω-ω=1 (4)ω2=-ω,-ω2=ω (5)(1±i )2=±2i ,(3±4i )2=-7±24i5.代数基本定理:在复数范围内,一元n 次方程至少有一个根。
高中数学竞赛讲义第十章 直线与圆的方程【讲义】
第十章 直线与圆的方程一、基础知识1.解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合;(3)用坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围;(5)证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步)。
3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角,叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4.直线方程的几种形式:(1)一般式:Ax+By+C=0;(2)点斜式:y-y 0=k(x-x 0);(3)斜截式:y=kx+b ;(4)截距式:1=+b y a x ;(5)两点式:121121y y y y x x x x --=--;(6)法线式方程:xcos θ+ysin θ=p(其中θ为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离);(7)参数式:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x (其中θ为该直线倾斜角),t 的几何意义是定点P 0(x 0, y 0)到动点P (x, y )的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若P 0P 方向向上则取正,否则取负)。
5.到角与夹角:若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2,将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角;l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ,夹角为α,则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6.平行与垂直:若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
高中数学竞赛讲义(7)解三角形
高中数学竞赛讲义(七)高中数学竞赛讲义(七)──解三角形──解三角形一、基础知识在本章中约定用A,B,C分别表示△ABC的三个内角,a, b, c分别表示它们所对的各边长,为半周长。
1.正弦定理:=2R(R为△ABC外接圆半径)。
推论1:△ABC的面积为S△ABC=推论2:在△ABC中,有bcosC+ccosB=a.推论3:在△ABC中,A+B=,解a满足,则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。
先证推论1,由正弦函数定义,BC边上的高为bsinC,所以S△ABC=;再证推论2,因为B+C=-A,所以sin(B+C)=sinA,即sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a;再证推论3,由正弦定理,所以,即sinasin(-A)=sin(-a)sinA,等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)],等价于cos( -A+a)=cos(-a+A),因为0<-A+a,-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A,所以a=A,得证。
2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,下面用余弦定理证明几个常用的结论。
(1)斯特瓦特定理:在△ABC中,D是BC边上任意一点,BD=p,DC=q,则AD2= (1)【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ,所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos , ②因为ADB+ADC=, 所以cos ADB+cosADC=0,所以q ×①×①+p +p +p×②得×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)+pq(p+q),即,即AD 2=注:在(注:在(11)式中,若p=q p=q,则为中线长公式,则为中线长公式(2)海伦公式:因为b 2c 2sin 2A=b 2c 2 (1-cos 2A)=b 2c 2[(b+c)-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里所以S △ABC =二、方法与例题 1.面积法。
高中数学竞赛基础知识-集合与简单逻辑
高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素x 在集合A 中,称x 属于A ,记为A x ∈,否则称x 不属于A ,记作A x ∉。
例如,通常用N ,Z ,Q ,B ,Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数},}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集:对于两个集合A 与B ,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,则A 叫做B 的子集,记为B A ⊆,例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集,如果A 是B 的子集,B 也是A 的子集,则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集,而且B 中存在元素不属于A ,则A 叫B 的真子集。
定义3 交集,}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集,}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集,若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集,},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ,集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ,R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质:对任意集合A ,B ,C ,有:(1));()()(C A B A C B A = (2))()()(C A B A C B A =;(3));(111B A C B C A C = (4)).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:1.平面几何几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换:对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。
2.代数周期函数,带绝对值的函数。
三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。
递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代,简单的函数方程*3.初等数论同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。
4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。
组合计数,组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法,整除性及其判定;素数和合数,最大公约数与最小公倍数;奇数和偶数,奇偶性分析;带余除法和利用余数分类;完全平方数;因数分解的表示法,约数个数的计算;有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛教材讲义 第六章 三角函数讲义
高中数学竞赛教材讲义 第六章 三角函数讲义一、基础知识定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ,则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ,设它的坐标为(x ,y ),到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy,余切函数cot α=y x ,正割函数se c α=xr,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1,co s α=αsec 1;商数关系:tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =;乘积关系:tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α;平方关系:s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式(Ⅰ)s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;(Ⅱ)s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; (Ⅲ)s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; (Ⅳ)s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α(奇变偶不变,符号看象限)。
高中数学竞赛_平面向量【讲义】
第八章 平面向量一、基础知识定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。
画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。
向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。
书中用黑体表示向量,如a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。
零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。
定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。
加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0,使得a=.b λ f定理3 平面向量的基本定理,若平面内的向量a, b 不共线,则对同一平面内任意向是c ,存在唯一一对实数x, y ,使得c=xa+yb ,其中a, b 称为一组基底。
定义3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底,任取一个向量c ,由定理3可知存在唯一一组实数x, y ,使得c=xi+yi ,则(x, y )叫做c 坐标。
定义4 向量的数量积,若非零向量a, b 的夹角为θ,则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中|b|cos θ叫做b 在a 上的投影(注:投影可能为负值)。
定理4 平面向量的坐标运算:若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), 1.a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2), 2.λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ,3.a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=222221212121yx y x y y x x +⋅++(a, b ≠0),4. a//b ⇔x 1y 2=x 2y 1, a ⊥b ⇔x1x2+y 1y 2=0.定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1,p 2的一点,则存在唯一实数λ,使21PP P P λ=,λ叫P 分21P P 所成的比,若O 为平面内任意一点,则λλ++=121OP OP 。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:1.平面几何几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换:对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。
2.代数周期函数,带绝对值的函数。
三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。
递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代,简单的函数方程*3.初等数论同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。
4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。
组合计数,组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法,整除性及其判定;素数和合数,最大公约数与最小公倍数;奇数和偶数,奇偶性分析;带余除法和利用余数分类;完全平方数;因数分解的表示法,约数个数的计算;有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛知识点总结
高中数学竞赛知识点总结
高中数学竞赛涉及的知识点非常广泛,以下是一份简要的知识点总结:
1. 数论基础:包括整除、余数、最大公约数、最小公倍数等。
2. 代数:包括方程组、不等式、函数、数列等。
3. 平面几何:包括三角形、四边形、圆、相似形、解析几何等。
4. 立体几何:包括球、长方体、四面体等。
5. 平面解析几何:包括直线、二次曲线、极坐标等。
6. 组合数学:包括排列、组合、二项式定理、组合恒等式等。
7. 图论:包括图的性质、欧拉路径、哈密顿路径等。
8. 概率与统计:包括概率、期望、方差等。
9. 初等数论:包括同余、费马小定理、中国剩余定理等。
10. 数学逻辑与问题解决:包括逻辑推理、集合论、问题解决策略等。
以上仅为基础知识点,竞赛中还可能涉及更深层次的知识和技巧。
如果想要深入学习,建议查阅数学竞赛的相关教材或咨询专业教师。
高中数学竞赛讲义(五)──数列
⾼中数学竞赛讲义(五)──数列⾼中数学竞赛讲义(五)──数列⼀、基础知识定义1 数列,按顺序给出的⼀列数,例如1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和⽆穷数列两种,数列{a n}的⼀般形式通常记作a1, a2, a3,…,a n或a1, a2, a3,…,a n…。
其中a1叫做数列的⾸项,a n是关于n的具体表达式,称为数列的通项。
定理1 若S n表⽰{a n}的前n项和,则S1=a1, 当n>1时,a n=S n-S n-1.定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有a n+1-a n=d(常数),则{a n}称为等差数列,d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:S n=;3)a n-a m=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,则a n+a m=a p+a-q;5)对任意正整数p, q,恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1);6)若A,B⾄少有⼀个不为零,则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等⽐数列,若对任意的正整数n,都有,则{a n}称为等⽐数列,q叫做公⽐。
定理3 等⽐数列的性质:1)a n=a1q n-1;2)前n项和S n,当q1时,S n=;当q=1时,S n=na1;3)如果a, b, c成等⽐数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等⽐中项;4)若m+n=p+q,则a m a n=a p a q。
定义4 极限,给定数列{a n}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<,则称A为n→+∞时数列{a n}的极限,记作定义5 ⽆穷递缩等⽐数列,若等⽐数列{a n}的公⽐q满⾜|q|<1,则称之为⽆穷递增等⽐数列,其前n项和S n的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。
柳铁一中组合高中数学竞赛同步讲义
高中数学竞赛同步讲义——组合数学基础一、基础知识梳理1、集合覆盖、分类、拆分2、分类原理3、容斥原理4、加法原理5、极端原理6、抽屉原理7、平均量重叠原则8、面积的重叠原理一、基础题型例析1、抽屉原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题,例如:(1)13个人中至少有两个人出生在相同月份;(2)某校400名学生中,一定存在两名学生,他们在同一天过生日;(3)2003个人任意分成200个小组,一定存在一组,其成员数不少于11;(4)把[0,1]内的全部有理数放到100个集合中,一定存在一个集合,它里面有无限多个有理数. 这类存在性问题中,“存在”的含义是“至少有一个”。
在解决这类问题时,只要求指明存在,一般并不需要指出哪一个,也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。
这类问题相对来说涉及到的运算较少,依据的理论也不复杂,我们把这些理论称之为“抽屉原理”抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称“迪里赫莱原理”,也称“鸽巢原理”(一)抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素。
例1.(1978年广东省数学竞赛题)已知在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点(图1)。
证明:至少有两个点之间的距离不大于1/2.例2 (第14届1M0试题)一个集合含有10个互不相同的两位数,试证明:这两个集合必有两个无公共元素的子集合,此两子集的各元素之和相等.例3.从1-100的自然数中,任意取出51个数,证明其中一定有两个数,它们中的一个是另一个的整数倍。
例4.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍。
例4说明:(2)如果我们按照(1)中的递推方法依次造“抽屉”,则第7个抽屉为{26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39};第8个抽屉为:{40,41,42,…,60};第9个抽屉为:{61,62,63,…,90,91};……那么我们可以将例3改造为如下一系列题目:(1)从前16个自然数中任取6个自然数;……(2)从前39个自然数中任取8个自然数;……(3)从前60个自然数中任取9个自然数;……(4)从前91个自然数中任取10个自然数;……上述第(4)个命题,就是前苏联基辅第49届数学竞赛试题。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:1.平面几何几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换:对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。
2.代数周期函数,带绝对值的函数。
三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。
递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代,简单的函数方程*3.初等数论同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。
4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。
组合计数,组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法,整除性及其判定;素数和合数,最大公约数与最小公倍数;奇数和偶数,奇偶性分析;带余除法和利用余数分类;完全平方数;因数分解的表示法,约数个数的计算;有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性。
2023年高中数学竞赛平面几何定理
平面几何基础知识(基本定理、基本性质)1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理)(广义勾股定理)(1)锐角对边旳平方,等于其他两边之平方和,减去这两边中旳一边和另一边在这边上旳射影乘积旳两倍. (2)钝角对边旳平方等于其他两边旳平方和,加上这两边中旳一边与另一边在这边上旳射影乘积旳两倍.2. 射影定理(欧几里得定理)3. 中线定理(巴布斯定理)设△ABC 旳边BC 旳中点为P ,则有)(22222BP AP AC AB +=+; 中线长:222222a c b m a -+=. 4. 垂线定理:2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥. 高线长:C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=. 5. 角平分线定理:三角形一种角旳平分线分对边所成旳两条线段与这个角旳两边对应成比例.如△ABC 中,AD 平分∠BAC ,则ACAB DC BD =;(外角平分线定理). 角平分线长:2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=(其中p 为周长二分之一). 6. 正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin ===,(其中R 为三角形外接圆半径). 7. 余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=.8. 张角定理:ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin . 9. 斯特瓦尔特(Stewart )定理:设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间旳一点D ,则有AB 2·DC +AC 2·BD -AD 2·BC =BC ·DC ·BD .10.圆周角定理:同弧所对旳圆周角相等,等于圆心角旳二分之一.(圆外角怎样转化?) 11. 弦切角定理:弦切角等于夹弧所对旳圆周角.12.圆幂定理:(相交弦定理:垂径定理:切割线定理(割线定理):切线长定理:)13.布拉美古塔(Brahmagupta)定理:在圆内接四边形ABCD中,AC⊥BD,自对角线旳交点P向一边作垂线,其延长线必平分对边.14.点到圆旳幂:设P为⊙O所在平面上任意一点,PO=d,⊙O旳半径为r,则d2-r2就是点P对于⊙O旳幂.过P任作一直线与⊙O交于点A、B,则P A·PB= |d2-r2|.“到两圆等幂旳点旳轨迹是与此二圆旳连心线垂直旳一条直线,假如此二圆相交,则该轨迹是此二圆旳公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆旳“根轴”.三个圆两两旳根轴假如不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆旳“根心”.三个圆旳根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两旳根轴)所在直线交于一点.15.托勒密(Ptolemy)定理:圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和,即AC·BD=AB·CD+AD·BC,(逆命题成立) .(广义托勒密定理)AB·CD+AD·BC≥AC·BD.16.蝴蝶定理:AB是⊙O旳弦,M是其中点,弦CD、EF通过点M,CF、DE交AB 于P、Q,求证:MP=QM.17.费马点:定理1等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点旳距离;不在等边三角形外接圆上旳点,到该三角形两顶点距离之和不小于到另一点旳距离.定理2三角形每一内角都不不小于120°时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张旳角都是120°,该点到三顶点距离和到达最小,称为“费马点”,当三角形有一内角不不不小于120°时,此角旳顶点即为费马点.18.拿破仑三角形:在任意△ABC旳外侧,分别作等边△ABD、△BCE、△CAF,则AE、AB、CD三线共点,并且AE=BF=CD,这个命题称为拿破仑定理.以△ABC旳三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们旳外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1旳圆心构成旳△——外拿破仑旳三角形,⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点,外拿破仑三角形是一种等边三角形;△ABC 旳三条边分别向△ABC 旳内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们旳外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2旳圆心构成旳△——内拿破仑三角形,⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点,内拿破仑三角形也是一种等边三角形.这两个拿破仑三角形还具有相似旳中心.19. 九点圆(Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆):三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线旳垂足,以及垂心与各顶点连线旳中点,这九个点在同一种圆上,九点圆具有许多有趣旳性质,例如:(1)三角形旳九点圆旳半径是三角形旳外接圆半径之半;(2)九点圆旳圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线旳中点;(3)三角形旳九点圆与三角形旳内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.20. 欧拉(Euler )线:三角形旳外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上.21. 欧拉(Euler )公式:设三角形旳外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,外心与内心旳距离为d ,则d 2=R 2-2Rr .22.锐角三角形旳外接圆半径与内切圆半径旳和等于外心到各边距离旳和. 23.重心:三角形旳三条中线交于一点,并且各中线被这个点提成2:1旳两部分;)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质:(1)设G 为△ABC 旳重心,连结AG 并延长交BC 于D ,则D 为BC 旳中点,则1:2:=GD AG ;(2)设G 为△ABC 旳重心,则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31;(3)设G 为△ABC 旳重心,过G 作DE ∥BC 交AB 于D ,交AC 于E ,过G 作PF ∥AC 交AB 于P ,交BC 于F ,过G 作HK ∥AB 交AC 于K ,交BC 于H ,则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ; (4)设G 为△ABC 旳重心,则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+; ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++;③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++(P 为△ABC 内任意一点);④到三角形三顶点距离旳平方和最小旳点是重心,即222GC GB GA ++最小;⑤三角形内到三边距离之积最大旳点是重心;反之亦然(即满足上述条件之一,则G 为△ABC 旳重心).24. 垂心:三角形旳三条高线旳交点;)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质:(1)三角形任一顶点到垂心旳距离,等于外心到对边旳距离旳2倍;(2)垂心H 有关△ABC 旳三边旳对称点,均在△ABC 旳外接圆上;(3)△ABC 旳垂心为H ,则△ABC ,△ABH ,△BCH ,△ACH 旳外接圆是等圆;(4)设O ,H 分别为△ABC 旳外心和垂心,则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,.25. 内心:三角形旳三条角分线旳交点—内接圆圆心,即内心到三角形各边距离相等;),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质:(1)设I 为△ABC 旳内心,则I 到△ABC 三边旳距离相等,反之亦然;(2)设I 为△ABC 旳内心,则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190;(3)三角形一内角平分线与其外接圆旳交点到另两顶点旳距离与到内心旳距离相等;反之,若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ,I 为线段AK 上旳点且满足KI=KB ,则I 为△ABC 旳内心;(4)设I 为△ABC 旳内心,,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ,交△ABC 外接圆于点K ,则a c b KD IK KI AK ID AI +===; (5)设I 为△ABC 旳内心,,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上旳射影分别为F E D ,,,内切圆半径为r ,令)(21c b a p ++=,则①pr S ABC =∆;②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;;③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=.26. 外心:三角形旳三条中垂线旳交点——外接圆圆心,即外心到三角形各顶点距离相等;)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质:(1)外心到三角形各顶点距离相等;(2)设O 为△ABC 旳外心,则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360;(3)∆=S abc R 4;(4)锐角三角形旳外心到三边旳距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.27. 旁心:一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心;设△ABC 旳三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=,分别与AB AC BC ,,外侧相切旳旁切圆圆心记为C B A I I I ,,,其半径分别记为C B A r r r ,,.旁心性质:(1),21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠(对于顶角B ,C 也有类似旳式子);(2))(21C A I I I C B A ∠+∠=∠;(3)设A AI 旳连线交△ABC 旳外接圆于D ,则DC DB DI A ==(对于C B CI BI ,有同样旳结论);(4)△ABC 是△I A I B I C 旳垂足三角形,且△I A I B I C 旳外接圆半径'R 等于△ABC 旳直径为2R .28. 三角形面积公式:C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==,其中a h 表达BC 边上旳高,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,)(21c b a p ++=. 29. 三角形中内切圆,旁切圆和外接圆半径旳互相关系:;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30. 梅涅劳斯(Menelaus )定理:设△ABC 旳三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不通过它们任一顶点旳直线旳交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RB AR QA CQ PC BP .(逆定理也成立)31.梅涅劳斯定理旳应用定理1:设△ABC旳∠A旳外角平分线交边CA于Q,∠C旳平分线交边AB于R,∠B旳平分线交边CA于Q,则P、Q、R三点共线.32.梅涅劳斯定理旳应用定理2:过任意△ABC旳三个顶点A、B、C作它旳外接圆旳切线,分别和BC、CA、AB旳延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线.33.塞瓦(Ceva)定理:设X、Y、Z分别为△ABC旳边BC、CA、AB上旳一点,则AX、BY、CZ所在直线交于一点旳充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1.34.塞瓦定理旳应用定理:设平行于△ABC旳边BC旳直线与两边AB、AC旳交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC旳中点M.35.塞瓦定理旳逆定理:(略)36.塞瓦定理旳逆定理旳应用定理1:三角形旳三条中线交于一点,三角形旳三条高线交于一点,三角形旳三条角分线交于一点.37.塞瓦定理旳逆定理旳应用定理2:设△ABC旳内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点.38.西摩松(Simson)定理:从△ABC旳外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线,(这条直线叫西摩松线Simson line).39.西摩松定理旳逆定理:(略)40.有关西摩松线旳定理1:△ABC旳外接圆旳两个端点P、Q有关该三角形旳西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上.41.有关西摩松线旳定理2(安宁定理):在一种圆周上有4点,以其中任三点作三角形,再作其他一点旳有关该三角形旳西摩松线,这些西摩松线交于一点.42.史坦纳定理:设△ABC旳垂心为H,其外接圆旳任意点P,这时有关△ABC旳点P 旳西摩松线通过线段PH旳中心.43.史坦纳定理旳应用定理:△ABC旳外接圆上旳一点P旳有关边BC、CA、AB旳对称点和△ABC旳垂心H同在一条(与西摩松线平行旳)直线上.这条直线被叫做点P 有关△ABC旳镜象线.44.牛顿定理1:四边形两条对边旳延长线旳交点所连线段旳中点和两条对角线旳中点,三点共线.这条直线叫做这个四边形旳牛顿线.45.牛顿定理2:圆外切四边形旳两条对角线旳中点,及该圆旳圆心,三点共线.46.笛沙格定理1:平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们旳对应顶点(A和D、B和E、C和F)旳连线交于一点,这时假如对应边或其延长线相交,则这三个交点共线.47.笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们旳对应顶点(A 和D、B和E、C和F)旳连线交于一点,这时假如对应边或其延长线相交,则这三个交点共线.48.波朗杰、腾下定理:设△ABC旳外接圆上旳三点为P、Q、R,则P、Q、R有关△ABC 交于一点旳充要条件是:弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) .49.波朗杰、腾下定理推论1:设P、Q、R为△ABC旳外接圆上旳三点,若P、Q、R 有关△ABC旳西摩松线交于一点,则A、B、C三点有关△PQR旳旳西摩松线交于与前相似旳一点.50.波朗杰、腾下定理推论2:在推论1中,三条西摩松线旳交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作旳三角形旳垂心和其他三点所作旳三角形旳垂心旳连线段旳中点.51.波朗杰、腾下定理推论3:考察△ABC旳外接圆上旳一点P旳有关△ABC旳西摩松线,如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆旳弦,则三点P、Q、R旳有关△ABC 旳西摩松线交于一点.52.波朗杰、腾下定理推论4:从△ABC旳顶点向边BC、CA、AB引垂线,设垂足分别是D、E、F,且设边BC、CA、AB旳中点分别是L、M、N,则D、E、F、L、M、N六点在同一种圆上,这时L、M、N点有关有关△ABC旳西摩松线交于一点.53.卡诺定理:通过△ABC旳外接圆旳一点P,引与△ABC旳三边BC、CA、AB分别成同向旳等角旳直线PD、PE、PF,与三边旳交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线.54.奥倍尔定理:通过△ABC旳三个顶点引互相平行旳三条直线,设它们与△ABC旳外接圆旳交点分别是L、M、N,在△ABC旳外接圆上取一点P,则PL、PM、PN与△ABC 旳三边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线.55.清宫定理:设P、Q为△ABC旳外接圆旳异于A、B、C旳两点,P点旳有关三边BC、CA、AB旳对称点分别是U、V、W,这时,QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线.56.他拿定理:设P、Q为有关△ABC旳外接圆旳一对反点,点P旳有关三边BC、CA、AB旳对称点分别是U、V、W,这时,假如QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线.(反点:P、Q分别为圆O旳半径OC和其延长线旳两点,假如OC2=OQ×OP则称P、Q两点有关圆O互为反点)57.朗古来定理:在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点P,作P点旳有关这4个三角形旳西摩松线,再从P向这4条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上.58.从三角形各边旳中点,向这条边所对旳顶点处旳外接圆旳切线引垂线,这些垂线交于该三角形旳九点圆旳圆心.59.一种圆周上有n个点,从其中任意n-1个点旳重心,向该圆周旳在其他一点处旳切线所引旳垂线都交于一点.60.康托尔定理1:一种圆周上有n个点,从其中任意n-2个点旳重心向余下两点旳连线所引旳垂线共点.61.康托尔定理2:一种圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点,则M和N点有关四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中旳每一种旳两条西摩松线旳交点在同一直线上.这条直线叫做M、N两点有关四边形ABCD旳康托尔线.62.康托尔定理3:一种圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点,则M、N两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线、L、N两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线、M、L 两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线交于一点.这个点叫做M、N、L三点有关四边形ABCD旳康托尔点.63.康托尔定理4:一种圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点,则M、N、L三点有关四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中旳每一种康托尔点在一条直线上.这条直线叫做M、N、L三点有关五边形A、B、C、D、E旳康托尔线.64.费尔巴赫定理:三角形旳九点圆与内切圆和旁切圆相切.65.莫利定理:将三角形旳三个内角三等分,靠近某边旳两条三分角线相得到一种交点,则这样旳三个交点可以构成一种正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.66.布利安松定理:连结外切于圆旳六边形ABCDEF相对旳顶点A和D、B和E、C 和F,则这三线共点.67.帕斯卡(Paskal)定理:圆内接六边形ABCDEF相对旳边AB和DE、BC和EF、CD和F A旳(或延长线旳)交点共线.68.阿波罗尼斯(Apollonius)定理:到两定点A、B旳距离之比为定比m:n(值不为1)旳点P,位于将线段AB提成m:n旳内分点C和外分点D为直径两端点旳定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆.69.库立奇*大上定理:(圆内接四边形旳九点圆)圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形旳九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心旳圆叫做圆内接四边形旳九点圆.70.密格尔(Miquel)点:若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点,构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF,则这四个三角形旳外接圆共点,这个点称为密格尔点.71.葛尔刚(Gergonne)点:△ABC旳内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F,则AE、BF、CD三线共点,这个点称为葛尔刚点.72.欧拉有关垂足三角形旳面积公式:O是三角形旳外心,M是三角形中旳任意一点,过M 向三边作垂线,三个垂足形成旳三角形旳面积,其公式:222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆.平面几何旳意义 就个人经验而言,我相信人旳智力懵懂旳大门获得开悟往往缘于某些不经意旳偶尔事件.罗素说过:“一种人越是研究几何学,就越能看出它们是多么值得赞赏.”我想罗素之因此这样说,是由于平面几何曾经救了他一命旳缘故.天懂得是什么缘故,这个养尊处优旳贵族子弟鬼迷心窍,想要自杀来结束自己那份下层社会人家旳孩子巴望一辈子都够不到旳幸福生活.在上吊或者抹脖子之前,头戴假发旳小子想到做最终一件事情,那就是理解一下平面几何究竟有多大迷人旳魅力.而这个魅力是之前他旳哥哥向他吹嘘旳.估计他旳哥哥将平面几何与人生旳意义搅和在一起向他做了推介,否则万念俱灰旳旳头脑怎么会在离开之前想到去做最终旳光顾?而罗素真旳一下被迷住了,厌世旳念头由于沉湎于平面几何而被淡化,最终竟被遗忘了.罗素毕竟是罗素.平面几何对于我旳意义只是发掘了一种成绩本来不错旳中学生旳潜力,为我解开了智力上旳扭结;而在罗素那里,这门知识从一开始就使这个未来旳伟大旳怀疑论者显露了执拗旳本性.他反对不加考察就接受平面几何旳公理,在与哥哥旳反复争论之后,只是他旳哥哥使他确信不也许用其他旳措施一步步由这样旳公理来构建庞大旳平面几何旳体系旳后来,他才同意接受这些公理.公元前334年,年轻旳亚历山大从马其顿麾师东进,短短旳时间就建立了一种从尼罗河到印度河旳庞大帝国.伴随他旳征服,希腊文明传播到了东方,开始了一种新旳文明时代即“希腊化时代”,这时希腊文明旳中心也从希腊本土转移到了东方,精确地说,是从雅典转移到了埃及旳亚历山大城.正是在这个都市,诞生了“希腊化时代”最为杰出旳科学成就,其中就包括欧几里德旳几何学.由于他旳成就,平面几何也被叫作“欧氏几何”.“欧氏几何”以它无与伦比旳完美体系一直被视为演绎知识旳典范,哲学史家更乐意把它看作是古代希腊文化旳结晶.它由人类理性不可反驳旳几种极其简朴旳“自明性公理”出发,通过严密旳逻辑推理,演绎出一连串旳定理,这些在构造上紧密依存旳定理和作为基础旳几种公理一起构筑了一种庞大旳知识体系.世间事物旳简洁之美无出其右.★费马点:法国著名数学家费尔马曾提出有关三角形旳一种有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小.人们称这个点为“费马点”.这是一种历史名题,近几年仍有不少文献对此简介.★拿破仑三角形:读了这个题目,你一定觉得很奇怪.尚有三角形用拿破仑这个名子来命名旳呢!拿破仑与我们旳几何图形三角形有什么关系?少年朋友懂得拿破仑是法国著名旳军事家、政治家、大革命旳领导者、法兰西共和国旳缔造者,但对他任过炮兵军官,对与射击、测量有关旳几何等知识素有研究,却懂得得就不多了吧!史料记载,拿破仑攻占意大利之后,把意大利图书馆中有价值旳文献,包括欧几里德旳名著《几何原本》都送回了巴黎,他还对法国数学家提出了“怎样用圆规将圆周四等分”旳问题,被法国数学家曼彻罗尼所处理.听说拿破仑在统治法国之前,曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题.拿破仑在数学上旳真知灼见竟使他们惊服,以至于他们向拿破仑提出了这样一种规定:“将军,我们最终有个祈求,你来给大家上一次几何课吧!”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相称造诣旳数学爱好者吧!不少几何史上有名旳题目还和拿破仑有着关联,他曾经研究过旳三角形称为“拿破仑三角形”,并且还是一种很有趣旳三角形.在任意△ABC旳外侧,分别作等边△ABD、△BCE、△CAF,则AE、AB、CD 三线共点,并且AE=BF=CD,如下图.这个命题称为拿破仑定理.以△ABC旳三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们旳外接圆⊙、⊙、⊙、旳圆心构成旳△——外拿破仑旳三角形.⊙、⊙、⊙三圆共点,外拿破仑三角形是一种等边三角形,如下图.△ABC旳三条边分别向△ABC旳内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们旳外接圆⊙、⊙、⊙旳圆心构成旳△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点,内拿破仑三角形也是一种等边三角形.如下图.由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形,这两个三角形还具有相似旳中心.少年朋友,你与否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家,同步还是一位受异书籍、热爱知识旳数学家呢?拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质与否更让你非常惊讶、有趣呢?★欧拉圆:三角形三边旳中点,三高旳垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段旳中点〕九点共圆〔一般称这个圆为九点圆〔nine-point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上旳一种著名问题,最早提出九点圆旳是英国旳培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题刊登在1823年旳一本英国杂志上.第一种完全证明此定理旳是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.也有说是1820-1823年间由法国数学家热而工〔1771-1859〕与彭赛列首先刊登旳.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九点圆,他旳证明刊登在1823年旳《直边三角形旳某些特殊点旳性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆旳某些重要性质〔如下列旳性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣旳性质,例如:1.三角形旳九点圆旳半径是三角形旳外接圆半径之半;2.九点圆旳圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线旳中点;3.三角形旳九点圆与三角形旳内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。
高中数学竞赛基础知识讲解
高中数学竞赛基本知识集锦广州市育才中学数学科 邓军民 整理一、三角函数 常用公式由于是讲竞赛,这里就不再重复过于基础的东西,例如六种三角函数之间的转换,两角和与差的三角函数,二倍角公式等等。
但是由于现在的教材中常用公式删得太多,有些还是不能不写。
先从最基础的开始(这些必须熟练掌握): 半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cosαα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±= 积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=三倍角公式()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3二、某些特殊角的三角函数值三、三角函数求值给出一个复杂的式子,要求化简。
这样的题目经常考,而且一般化出来都是一个具体值。
要熟练应用上面的常用式子,个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的,如果看到一些不常用的角,应当考虑用和差化积、积化和差,一般情况下直接使用不了的时候,可以考虑先乘一个三角函数,然后利用积化和差化简,最后再把这个三角函数除下去 举个例子求值:76cos 74cos 72cosπππ++ 提示:乘以72sin 2π,化简后再除下去。
高中数学竞赛教材讲义 第十三章 排列组合与概率讲义
第十三章 排列组合与概率 一、基础知识1.加法原理:做一件事有n 类办法,在第1类办法中有m 1种不同的方法,在第2类办法中有m 2种不同的方法,……,在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2.乘法原理:做一件事,完成它需要分n 个步骤,第1步有m 1种不同的方法,第2步有m 2种不同的方法,……,第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3.排列与排列数:从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用m n A 表示,mn A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注:一般地0n A =1,0!=1,nn A =n!。
4.N 个不同元素的圆周排列数为nA nn =(n-1)!。
5.组合与组合数:一般地,从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合,即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用mn C 表示:6.组合数的基本性质:(1)m n n m n C C -=;(2)11--+=n n m n m n C C C ;(3)knk n C C kn =--11;(4)n nk kn n nn n C C C C 2010==+++∑= ;(5)111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ;(6)k n m n m k k n C C C --=。
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:1.平面几何几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换:对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。
2.代数周期函数,带绝对值的函数。
三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。
递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代,简单的函数方程*3. 初等数论同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。
4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。
组合计数,组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法,整除性及其判定;素数和合数,最大公约数与最小公倍数;奇数和偶数,奇偶性分析;带余除法和利用余数分类;完全平方数;因数分解的表示法,约数个数的计算;有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛教案讲义(2)二次函数与命题
第二章 二次函数与命题一、基础知识1.二次函数:当≠a 0时,y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数,其对称轴为直线x =-ab2,另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0),其中x 0=-ab 2,下同。
2 二次函数的性质:当a >0时,f (x )的图象开口向上,在区间(-∞,x 0]上随自变量x 增大函数值减小(简称递减),在[x 0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。
当a <0时,情况相反。
3.当a >0时,方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下(记△=b 2-4ac )。
1)当△>0时,方程①有两个不等实根,设x 1,x 2(x 1<x 2),不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2},二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点,f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2). 2)当△=0时,方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=a b 2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅,f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3)当△<0时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时,请读者自己分析。
4.二次函数的最值:若a >0,当x =x 0时,f (x )取最小值f (x 0)=a b ac 442-,若a <0,则当x =x 0=ab2-时,f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),当x 0∈[m, n ]时,f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
高中数学竞赛第七章 解三角形【讲义】
第七章 解三角形一、基础知识在本章中约定用A ,B ,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各边长,2cb a p ++=为半周长。
1.正弦定理:CcB b A a sin sin sin ===2R (R 为△ABC 外接圆半径)。
推论1:△ABC 的面积为S △ABC =.sin 21sin 21sin 21B ca A bc C ab ==推论2:在△ABC 中,有bcosC+ccosB=a. 推论3:在△ABC 中,A+B=θ,解a 满足)sin(sin a ba a -=θ,则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。
先证推论1,由正弦函数定义,BC 边上的高为bsinC ,所以S △ABC =C ab sin 21;再证推论2,因为B+C=π-A ,所以sin(B+C)=sinA ,即sinBcosC+cosBsinC=sinA ,两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ;再证推论3,由正弦定理BbA a sin sin =,所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ,即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ,等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]=21-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)],等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A),因为0<θ-A+a ,θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ,所以a=A ,得证。
2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bccosA bca cb A 2cos 222-+=⇔,下面用余弦定理证明几个常用的结论。
(1)斯特瓦特定理:在△ABC 中,D 是BC 边上任意一点,BD=p ,DC=q ,则AD 2=.22pq qp qc p b -++ (1)【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠, 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠, ② 因为∠ADB+∠ADC=π,所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0, 所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q),即AD 2=.22pq qp qc p b -++ 注:在(1)式中,若p=q ,则为中线长公式.222222a c b AD -+=(2)海伦公式:因为412=∆ ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2(1-cos 2A)=41b 2c 21614)(1222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里.2cb a p ++=所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、方法与例题1.面积法。
高中数学竞赛标准讲义:第12章:立体几何
高中数学竞赛标准讲义:第12章:立体几何2021高中数学竞赛标准讲义:第十二章:立体几何一、基础知识公理1 一条直线。
上如果有两个不同的点在平面。
内.则这条直线在这个平面内,记作:a?a.公理2 两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的公共直线,即若P∈α∩β,则存在唯一的直线m,使得α∩β=m,且P∈m。
公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。
即不共线的三点确定一个平面.推论l 直线与直线外一点确定一个平面.推论2 两条相交直线确定一个平面.推论3 两条平行直线确定一个平面.公理4 在空间内,平行于同一直线的两条直线平行.定义1 异面直线及成角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过900的角叫做两条异面直线成角.与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线,公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离.定义2 直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外.定义3 直线与平面垂直:如果直线与平面内的每一条直线都垂直,则直线与这个平面垂直.定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直.定理2 两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直.定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平行,则直线上每一点到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离.定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线.由斜线上每一点向平面引垂线,垂足叫这个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在平面内的射影.斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角.结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角.定理4 (三垂线定理)若d为平面。
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高中数学竞赛基本知识集锦广州市育才中学数学科 邓军民 整理一、三角函数 常用公式由于是讲竞赛,这里就不再重复过于基础的东西,例如六种三角函数之间的转换,两角和与差的三角函数,二倍角公式等等。
但是由于现在的教材中常用公式删得太多,有些还是不能不写。
先从最基础的开始(这些必须熟练掌握): 半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cosαα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±=积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=三倍角公式()()αααααα+-=-=οο60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()αααααα+-=-=οο60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3二、某些特殊角的三角函数值三、三角函数求值给出一个复杂的式子,要求化简。
这样的题目经常考,而且一般化出来都是一个具体值。
要熟练应用上面的常用式子,个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的,如果看到一些不常用的角,应当考虑用和差化积、积化和差,一般情况下直接使用不了的时候,可以考虑先乘一个三角函数,然后利用积化和差化简,最后再把这个三角函数除下去 举个例子求值:76cos74cos 72cosπππ++ 提示:乘以72sin 2π,化简后再除下去。
求值:︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22来个复杂的 设n 为正整数,求证nn n i ni 21212sin1+=+∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决,在复数的那一章节里再讲四、三角不等式证明最常用的公式一般就是:x 为锐角,则x x x tan sin <<;还有就是正余弦的有界性。
例求证:x 为锐角,sinx+tanx<2x设12π≥≥≥z y x ,且2π=++z y x ,求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。
注:这个题目比较难 数列关于数列的知识可以说怎么学怎么有,还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西,不然我可写不完了。
1给递推式求通项公式(1)常见形式即一般求解方法注:以下各种情况只需掌握方法即可,没有必要记住结果,否则数学就变成无意义的机械劳动了。
①q pa a n n +=+1若p=1,则显然是以a 1为首项,q 为公差的等差数列, 若p ≠1,则两边同时加上1-p q ,变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-++111p q a p p q a n n 显然是以11-+p qa 为首项,p 为公比的等比数列 ②()n f pa a n n +=+1,其中f(n)不是常数 若p=1,则显然a n =a 1+()∑-=11n i i f ,n ≥2若p ≠1,则两边同时除以p n+1,变形为()111++++=n n n n n pn f p a p a 利用叠加法易得()∑-=++=1111n i i n n p i f p a p a ,从而()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑-=-1111n i i n n p i f a p a 注:还有一些递推公式也可以用一般方法解决,但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法,下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。
(2)不动点法当f(x)=x 时,x 的取值称为不动点,不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子:da c ba a a n n n +⋅+⋅=+1注:我感觉一般非用不动点不可的也就这个了,所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以,只是又要待定系数,又要求倒数之类的,太复杂,如果用不动点的方法,此题就很容易了 令dx c b x a x +⋅+⋅=,即()02=--+b x a d cx ,令此方程的两个根为x 1,x 2, 若x 1=x 2 则有p x a x a n n +-=-+11111其中k 可以用待定系数法求解,然后再利用等差数列通项公式求解。
注:如果有能力,可以将p 的表达式记住,p=da c+2 若x 1≠x 2则有212111x a x a q x a x a n n n n --⋅=--++其中k 可以用待定系数法求解,然后再利用等比数列通项公式求解。
注:如果有能力,可以将q 的表达式记住,q=21cx a cx a --(3)特征根法特征根法是专用来求线性递推式的好方法。
先来了解特征方程的一般例子,通过这个来学会使用特征方程。
①n n n qa pa a +=++12特征方程为x 2=px+q ,令其两根为x 1,x 2则其通项公式为nn n x B x A a 21⋅+⋅=,A 、B 用待定系数法求得。
②n n n n ra qa pa a ++=+++123特征方程为x 3=px 2+qx+r ,令其三根为x 1,x 2,x 3则其通项公式为nn n n x C x B x A a 321⋅+⋅+⋅=,A 、B 、C 用待定系数法求得。
注:通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法,可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式,鉴于3次以上的方程求解比较困难,且竞赛中也不多见,我们仅需掌握这两种就够了。
(4)数学归纳法简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。
这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易。
大家应当都会用数学归纳法,因此这里不详细说了。
但需要记得有这样一个方法,适当的时候可以拿出来用。
(5)联系三角函数三角函数是个很奇妙的东西,看看下面的例子2112nnn a a a -=+ 看起来似乎摸不着头脑,只需联系正切二倍角公式,马上就迎刃而解。
注:这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟,这样的题目竞赛书中能见到很多。
例数列{}n a 定义如下:21=a ,2142n n a a --=+,求{}n a 通项注:这个不太好看出来,试试大胆的猜想,然后去验证。
(6)迭代法先了解迭代的含义()()()()()()()()()()ΛΛ,,,,x f f f x f x f f x fx f x f x x f ====3210f 右上角的数字叫做迭代指数,其中()x f n-是表示()x f n 的反函数再来了解复合的表示()()()x g f x g f =ο,()()()()x h g f x h g f =οο如果设()()x g f gx F οο1-=,则()()x g f g x F nn οο1-=,就可以将求F(x)的迭代转变为求f(x)的迭代。
这个公式很容易证明。
使用迭代法求值的基础。
而在数列中我们可以将递推式看成()n n a F a =+1,因此求通项和求函数迭代就是一样的了。
我们尽量找到好的g(x),以便让f(x)变得足够简单,这样求f(x)的n 次迭代就很容易得到了。
从而再得到F(x)的n 次迭代式即为通项公式。
练习{}n n n n n n n a a a a a a a a a 212221221221221++-+=+===,,,满足已知数列,试求数列的通项公式。
注:此题比较综合,需熟练掌握各种求通项公式的常用方法。
下面是我的一个原创题目已知数列{}n a 满足1021==a a ,,()11-++⋅=n n n a a n a ,求该数列的通项公式。
2数列求和求和的方法很多,像裂项求和,错位相减等等,这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了,这里不再赘述。
主要写竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式。
阿贝尔(Abel )恒等式 有多种形式,最一般的是()∑∑-=+=+-=1111n k n n k k k nk kk b S b b S ba其中∑==ki kk aS 1注:个人认为,掌握这一个就够了,当然还有更为一般的形式,但是不容易记,也不常用。
Abel 恒等式就是给出了一个新的求和方法。
很多时候能简化不少。
例:假设021≥≥≥≥n a a a Λ,且∑==n i i a 121,求证:∑=≥-+ni i i i a 111计数问题 1抽屉原则我第一次接触抽屉原则,是在一本奥赛书的答案上,有一步骤是:由抽屉原则可得……,于是我就问同学,什么是抽屉原则,同学告诉我,三个苹果放进两个抽屉,必有一个抽屉里至少有两个苹果。
后来才发现,抽屉原则不只是这么简单的,它有着广泛的应用以及许多种不同的变形,下面简单介绍一下抽屉原则。
抽屉原则的常见形式一,把n+k (k ≥1)个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有两个物体。
二,把mn+k (k ≥1)个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。
三,把m 1+m 2+…+m n +k (k ≥1)个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中,那么后在一个抽屉里至少放入了m 1+1个物体,或在第二个抽屉里至少放入了m 2+1个物体,……,或在第n 个抽屉里至少放入了m n +1个物体四,把m 个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中,有两种情况:①当n|m 时(n|m 表示n 整除m ),一定存在一个抽屉中至少放入了nm个物体;②当n 不能整除m 时,一定存在一个抽屉中至少放入了[nm]+1个物体([x]表示不超过x 的最大整数) 五,把无穷多个元素分成有限类,则至少有一类包含无穷多个元素。
注:背下来上面的几种形式没有必要,但应当清楚这些形式虽然不同,却都表示的一个意思。
理解它们的含义最重要。
在各种竞赛题中,往往抽屉原则考得不少,但一般不会很明显的让人看出来,构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。
一般来说,题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词,就暗示着我们:要构造抽屉了。
例:从自然数1,2,3,…99,100这100个数中随意取出51个数来,求证:其中一定有两个数,它们中的一个是另一个的倍数.用2种颜色涂5×5共25个小方格,证明:必有一个四角同色的矩形出现. 2容斥原理容斥原理常常使用,其实说简单点,就是从多的往下减,减过头了在加回来,又加多了再减,减多了再加……,最终得到正确结果。