《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案(1)

得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）吉林大学南岭校区2011年12月题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3.211)(zz f +=，=)0()5(f （ ）； 4．0=z 是 4sin z zz -的（ ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.得分四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题4分，共24分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；得分 得分 得分（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z z z e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内，由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分） ]1)1([Re 22z z f s i π= ----（8分）234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z ⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------（10分）（4）函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±== （3）的一级极点，为)(3z f z =（4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z±-=（5）的非孤立奇点。

为)(z f ∞备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。

四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1解：（1）当110<-<z])11(1[)1(1)1(1)(2'+---=-=z z z z z f而])1()1([])11(1[0'--='+-∑∞=n nn z z ∑∞=---=01)1()1(n n n z n∑∞=-+--=021)1()1()(n n n z n z f -------6分（2）当10<<z)1(1)1(1)(22z z z z z f --=-==∑∞=-021n nz z ∑∞=--=02n n z -------10分（3）当∞<<z 1)11(1)1(1)(32z z z z z f -=-=∑∑∞=+∞===03031)1(1)(n n n n z z zz f ------14分 每步可以酌情给分。

五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题：⎩⎨⎧='===+'-''-1)0(1)0()(4)(5)(y y e x y x y x y x解：对)(x y 的Laplace变换记做)(s L ，依据Laplace 变换性质有11)(4)1)((51)(2+=+----s s L s sL s s L s …（5分） 整理得)4(151)1(65)1(101 11)4(151)1(61)1(101 11)4)(1)(1(1)(-+-++=-+-+--+=-+--+=s s s s s s s s s s s s L …（7分） xx x e e e x y 415165101)(++=- …（10分） 六、（6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos 解：)()(0>=-+∞∞--⎰βωβω dt e e F tti --------3分)()(00>+=-+∞-∞--⎰⎰βωβωβω dt e e dt e eF t t i tti)()()(00>+=⎰⎰+∞+-∞--βωβωβ dt e dt et i ti)()()(00>+--=+∞+-∞--βωβωβωβωβ i ei et i t i)()(021122>+=++-=βωββωβωβω i i F ------4分 )()()(021>=⎰+∞∞-βωωπω d F e t f ti - -------5分 )(022122>+=⎰+∞∞-βωωββπω d e ti )()sin (cos 0122>++=⎰+∞∞-βωωωωββπ d t i t)(sin cos 0222022>+++=⎰⎰+∞∞-+∞βωωβωβπωωβωπβd tid t)(cos )(02022>+=⎰+∞βωωβωπβd tt f ， -------6分 te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题（B ）吉林大学南岭校区2011年12月题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．21i-的幅角是（ ）； 2.)(i Ln +-的主值是（ ）；3. a =（ ），)2(2)(2222y xy ax i y xy x z f +++-+=在复平面内处处解析．4．0=z 是 3sin zz z -的（ ）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ）x y iv u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）y x iu u z f +=')(.2．C 是正向圆周2=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）13-z ； （B ）13-z z ； （C ）2)1(3-z z ； （D ）2)1(3-z . 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在i z 2=点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2-=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果0)(=⎰Cdz z f ,其中C 复平面内正向封闭曲线, 则)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（C ）函数)(z f 在0z 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为0z z -的幂级数，而且展开式是唯一的；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．（A ）、l n z 是复平面上的多值函数； cosz )B (、是无界函数；z sin )C (、 是复平面上的有界函数；（D ）、z e 是周期函数．三．按要求完成下列各题（每小题8分，共计50分）得分（1）设)))((),()(y g x i y x u z f ++=2是解析函数，且00=)(f ，求)(),,(),(z f y x u y g ．（2）．计算⎰-+C z i z z zd ))(1(22．其中C 是正向圆周2=z ；（3）．计算⎰-Cz z e z z d )1(12，其中C 是正向圆周2=z ；（4）．利用留数计算⎰--C z z z d )2)(1(12．其中C 是正向圆周3=z ；（5）函数33221)(sin ))(()(z z z z z f π+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题12分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1得分五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题8分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos得分得分得分«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B ）吉林大学南岭校区2011年12月题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．21i -的幅角是（ ,2,10,24±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln --的主值是（42ln 21πi - ）；3.211)(zz f +=，=)0()7(f （ 0 ）； 4．3sin )(zzz z f -= ，=]0),([Re z f s （ 0 ） ；得分5． 21)(z z f =，=∞]),([Re z f s （ 0 ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．22y x-是解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的实部，则（ A ）；（A ）)(2)(iy x z f +='； （B ）)(2)(iy x z f -='；（C ）)(2)(ix y z f +='； （D ）)(2)(ix y z f -='.2．C 是正向圆周2=z ，如果函数=)(z f （ A ），则0d )(≠⎰Cz z f ．（A ） 11-z ； （B ）z z sin ； （C ）2)3(1-z ； （D ）2)1(1-z . 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在i z 2=点收敛，则级数在( C )（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2-=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( C )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果0)(=⎰Cdz z f ,其中C 复平面内正向封闭曲线, 则)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（C ）函数)(z f 在0z 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为0z z -的幂级数，而且展开式是唯一的；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ C ）．（A ）lnz 是复平面上的多值函数； （B ）cosz 是无界函数； （C ）z sin 是复平面上的有界函数；（D ）ze 是周期函数．三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）求d c b a ,,,使)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数， 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。