直线与圆锥曲线测试题
直线与圆锥曲线测试题(含答案)
直线与圆锥曲线练习题一、选择题1.直线x =与椭圆2212y x +=的位置关系为 AA .相离B .相切C .相交D .不确定2.抛物线2y x =的切线中，与直线240x y -+=平行的是 D A .230x y -+= B .230x y --= C .210x y -+= D .210x y --=3.若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 CA .2B .3C .4D . 4.过椭圆22221(0)4x y a a a +=>的一个焦点F 作直线交椭圆于,P Q 两点，若线段FP 和FQ 的长分别为,p q ，则11p q+= AA .4a B .12aC .4aD .2a 5.若直线:1(0)l y kx k =+≠被椭圆22:14x y E m +=截得的弦长为d ，则下列被椭圆E 截得的弦长不是d 的直线是 DA .10kx y ++=B .10kx y --=C .10kx y +-=D .0kx y +=6.直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 CA .(0,1]B .(0,5)C .[1,5)(5,)+∞D .[1,5)7.设1F ，2F ，为双曲线2214x y -=的两焦点，点P 在双曲线上，且满足12F PF π∠=，则△12F PF 的面积是 AA .1BC .2D 二、填空题8.AB 是抛物线2y x =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .结果：52.9．（08海南、宁夏）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 . 结果：3215.10.过椭圆22143x y +=的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于 . 结果：3.11.过抛物线24y x =的焦点F 做垂直于x 轴的直线，交抛物线,A B 两点，则以AB 为直径的圆的方程是 . 结果：22(1)4x y -+=.12.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围为 .结果：(23,23)-.13.已知P 是抛物线24y x =上一点，设P 到此抛物线准线的距离为1d ，P 到直线2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 .P 到抛物线准线的距离即为P 到焦点(1,0)F 的距离.过F 作直线2120x y +-=的垂线，其方程是2(1)y x =-，由2(1),2120.y x x y =-⎧⎨+-=⎩得垂足1622(,)55Q ，易知点Q 在抛物线外部，当P 点为线段FQ 和抛物线交点时，12d d +最小. 三、解答题14.过点(1,1)P -作直线与椭圆22142x y +=交于，两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和AB 线段的长度.结果：230x y -+=，||AB .15.设过椭圆2212516x y +=的左焦点的弦为AB ，是否存在弦长||6AB =的弦，试说明理由.16.设11(,)A x y ，22(,)B x y 为抛物线22(0)y px p =>上位于x 轴两侧的两点.（1）若122y y p =-，证明：直线AB 恒过一个定点； 结果：定点为(1,0).（2）若2p =，AOB ∠（O 是坐标原点）为钝角，求直线AB 在x 轴上的截距的取值范围． 结果：设直线:AB x my t =+，则04t <<.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为e ．直线:l y ex a=+与x 轴、y 轴分别交于A ，B ，点M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM AB λ=.（1）证明：21e λ=-；（2）若34λ=，△12MF F 的周长为6，写出椭圆C 的方程. 结果：22143xy +=. 18.已知抛物线2:C y x =与直线:34l y kx =+，试问C 上能否存在关于直线l 对称的两点？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.解1：（利用点在抛物线内构造不等式）假设C 上否存在两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线l 对称，设线段AB 中点为00(,)M x y ，由点差法求得02y k =-，进而01234x k =--，因点M 在抛物线内，故020y x <，故实数k 存在，范围为10k -<<.解2：（利用判别式构造不等式）设AB 方程为1y x bx k=-+联立消元得20y ky kb +-=，240k kb ∆=+>，设线段AB 中点为00(,)M x y ，12022y y y k +==-，由点00(,)M x y 在直线:3l y kx =+上，001(34)x y k=-，又00(,)M x y 在直线AB 上，得00213224x k b y k k k =+=---，代入240k kb ∆=+>整理得2320k k++<，解得10k -<<.19．如图1，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的上顶点为A，左顶点为B F，为右焦点，离心率e=，过F作平行于AB的直线交椭圆于C D，两点，作平行四边形OCED，求证：E在此椭圆上．解：椭圆焦点(0)F c，，ABbka=，直线CD的方程为()by x ca=-，代入椭圆方程22221x ya b+=，得22220x cx b--=．设1122()()C x yD x y，，，，则12x x c+=，CD中点G的坐标为22c bca⎛⎫-⎪⎝⎭，．bcE ca⎛⎫-⎪⎝⎭，∴．cea==∵，a=∴．将点E的坐标代入椭圆方程2222222221c b c ca ab a+==满足，∴点E在椭圆上．20.直线:1l y kx=+与双曲线22:21C x y-=的右支交于不同的两点A，B.（1）求实数k的取值范围；结果：2k-<<（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在求出k的值；若不存在，说明理由.存在k=.21．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛⎝，．求抛物线与双曲线的方程．解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>， 将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，， 这也是双曲线的一个焦点，则1c =． 又点32⎛ ⎝，也在双曲线上，因此有229614a b -=． 又221a b +=，因此可以解得221344a b ==，，因此，双曲线的方程为224413y x -=．。
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
则由椭圆的中心对称性可知可知AF1BF2为平行四边形，则可得△ABF2的周长为|AF当AB位于短轴的端点时，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，当围成的等腰三角形底边在直线l因为tanα=2tanα21―tan2α2=2，且tanα2>所以k=tanθ=tanα2=5―12，或故选：B．5．（5分）（2024·西藏拉萨的最小值为（）A．1453【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可6．（5分）（2024·湖南邵阳点B在C上且位于第一象限，B．8 A．453【解题思路】由点A―1,8由点A―1,8在抛物线y23所以抛物线C的方程为y2设B(x0,y0)，则x0>0,y0>由题意知F p2,0，又OP 显然直线AB的斜率不为由y2=2pxx=ty+p2，得y2―2pty显然直线BD的斜率不为由y2=2pxλp，得y2故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
如图，因为K OA=∠PDA=∠ODB，所以×|PA|⋅S△PAB=12故选：ABD.11．（6分）（2024·福建龙岩|AB|=8.过焦点F的直线C的准线与坐标轴的交点，则（A．若MF=3FN，则直线C．∠MON为钝角设M(x1,y1),N(x2,y 得y2―8my―16=所以y1y2=―16,x1∴x1x2+y1y2=4⟨⟩三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
直线与圆锥曲线测试的题目
直线与圆锥曲线测试题一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 直线l 1: y=x+1, l 2: y=x+2与椭圆C: 3x 2+6y 2=8的位置关系是A l 1, l 2与C 均相交B l 1与C 相切，l 2与C 相交 C l 1与C 相交，l 2与C 相切D l 1, l 2与均相离2 （原创题）直线y =x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截的弦的中点M,则M 与原点连线的斜率等于（ ）A 2-B 12-C 23-D 32-3 过椭圆x 2+2y 2=4的左焦点作倾斜角为3π的弦AB ，则弦AB 的长为 A 76 B 167C 716 D674 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）C. 13D. 125 若直线y=-x+m 与曲线y =m 的取值范围是( )（A ）-2≤m ＜2 （B ）m ≤（C ）-2≤m ＜2或m=5 （D ）m ＜m=56 过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条.A ．4B ．3C ．2D ．17 （改编题） 过原点的直线l 与曲线C:1322=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的最大值是 ( )A 56πB 2π C 23π D. 34π8 若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 和圆c c b y x (,)2(222+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是 ( )A )53,55(B )55,52(C )53,52(D )55,0( 9 椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x10 经过椭圆2221xy +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ,交椭圆于A 、B 两点.设O 为坐标原点，则OA OB ⋅等于( ).A.3-B.13- C.13-或3- D.13±11 （改编题） 已知椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（ ）（A （B ） 长轴长（C ） （D ）短轴长12 （改编题）已知两点M （1，54），N （－4，-54），给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0 ②x 2+y 2=3 ③222x y +=1 ④222x y -=1. 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）A.①③B.②④C.①②③D.②③④二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上）13 （改编题） 已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．14 如图，已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 恰好是椭圆2222x y 1a b+= (a>b>0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB 过F ，则椭圆的离心率是____________.15 已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B ，则|AB|等于___________16 设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是 .三 解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（原创题）（本小题10分）当过点（0,2的直线和椭圆22132x y +=①有两个公共点②有一个公共点③没有公共点时，求k 的取值范围18 （本小题10分）已知椭圆221164x y +=，过点P （2，1）引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线l 的方程.19 （原创题）（本小题10分）已知平面上任意一点M （x,y ）满足方程4=（1）判断点P 的轨迹，并说明原因；（2）设过(0，-2)的直线l 与上述曲线交于C 、D 两点，且以CD 为直径的圆过原点 求直线l 的方程．20 （本小题10分）已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12-. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C.（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程. 21（本小题12分） 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围.【挑战能力】1 （改编题）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( ) A 18 B 24 C 36 D 48★2 （改编题） 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为A ，P 为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A 引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP 分别交于,Q R 两点，其中O 为坐标原点，则2||OP 与||||OQ OR ⋅的大小关系为（ ） A ．2||||||OP OQ OR <⋅ B ．2||||||OP OQ OR >⋅ C ．2||||||OP OQ OR =⋅ D ．不确定★3 椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点.（1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围直线与圆锥曲线测试题答案一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 【答案】C【解析】因为221368y x x y =+⎧⎨+=⎩，得2912200x x +-=∴∆>，所以l 1与C 相交；因为222368y x x y =+⎧⎨+=⎩，得29241600x x ++=∴∆=， l 2与C 相切 2 【答案】B 【解析】由22124y x x y =+⎧⎨+=⎩，得21243420,3x x x x +-=∴+=-中点坐标1200021,1233x x x y x +==-=+=，所以12OM k =-，答案为B 3 【答案】【解析】AB的直线方程为y x=，联立方程2224yx y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得212121871280,77x x x x x++=∴+=-=，所以12167AB x==-===4 【答案】D【解析】：对于椭圆，因为2AP PB=，则12,2,2OA OF a c e=∴=∴=5 【答案】D．【解析】将曲线方程化为22x y1205+= (y≥0)．则该曲线表示椭圆22x y1205+=位于x轴的上半部分．将方程y=-x+m与22x y1205+=联立得：5x2-8mx+4m2-20=0.令Δ=64m2-20（4m2-20）=0,解得m=±5，于是得如图所示直线l1：y=-x+5．又可求得直线l2：l3：依题意，直线y=-x+m应介于直线l2与l3之间或就为直线l1，∴m＜m=5.6 【答案】D【解析】：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条.故选择D 7 【答案】 D【解析】设直线l 的方程为y kx =，由2213x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22(31)30k x +-=，所以弦长等2121x k -=≤∴≥，即tan 1tan 1αα≤-≥或，所以434παπ≤≤，所以答案为D.8 【答案:】 A【解析】由题意，圆的半径应满足：a c b b <+<2,变形两边平方.，得3)5e ∈ 9 【答案】B【解析】设直线与椭圆的交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆方程1449422=+y x ， 221122224914449144x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 得22221212121212124()9()04()()9()()0x x y y x x x x y y y y -+-=∴+-++-=242392203AB AB k k ⨯⨯+⨯⨯=∴=-,所以直线的方程22(3)3y x -=--即01232=-+y x 10 【答案】B【解析】不妨设直线l 的方程为1y x =+,则(0,1)A ,4133(,)B --,∴130OA OB ⋅=-,故选B.11 【答案】 C.【解析】由双曲线422y x -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22x b ＋()225y b +＝()225b b +，联立直线x y 2±=与椭圆方程消y 得，()20552222++=b b b x，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()3220552212222a b b b=++⨯+，解之得212=b .12 【答案】D【解析】：P 满足|MP|=|NP|即P 是MN 的中垂线上的点，P 点存在即中垂线与曲线有交点.MN的中垂线方程为2x+y+3=0，与中垂线有交点的曲线才存在点P 满足|MP|=|NP|，直线4x+2y-1=0与2x+y+3=0平行，故排除A 、C ，又由2223012x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒△=0，有唯一交点P 满足|MP|=|NP|，故选D.二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上） 13 【答案】：823【解析】：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝x －1消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A (0，－1)、B (43，13)．又点F 1(－1,0)，因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋－12＋732＋132＝823. 14 【答案】【解析】由题意可知，AB 即是抛物线的通径，|AB|=2p ，∴A(p 2,p)，又p2=c ，∴A(c,2c),将A 点代入椭圆方程中得2222c 4c 1a b+=，∴4a 2c 2=b 2(a 2-c 2)=b 4，∴b 2=2ac ，而2ac=a 2-c 2，即c 2+2ac-a 2=0，∴e 2+2e-1=0，解得舍去).15 【答案】【解析】.设AB 直线的方程为y=x+b ， 与y=-x 2+3联立，得x 2+x+b-3=0. ∴Δ=1-4(b-3)>0,x 1+x 2=-1,x 1x 2=b-3.∴AB 的中点C （-12,b-12）在x+y=0上， 即-12+b-12=0,解得b=1符合Δ>0, ∴弦长=. 16 【答案】(0,1)或（0，-1）【解析】设直线A F 1的反向延长线与椭圆交于点B '，又∵F F 215=，由椭圆的对称性可得115F B F '=，设()11,y x A ，()22,y x B '，又∵11F A =，12'F B =+，12125()x x ==解之得01=x ，∴点A 的坐标为(0,1)或（0，-1）.三 解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【解析】：⑴当直线的斜率不存在时，显然直线与曲线有两个公共点，所以设直线方程为2y kx =+，由222236y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2223(2)6x kx ++=，即22(23)1260k x kx +++= 22214424(23)7248k k k ∆=-+=-① 当272480k ∆=->，即k k ><或时，直线和曲线有两个公共点； ②当272480k ∆=-=，即k k ==或时，直线和曲线有一个公共点； ③当272480k ∆=-<，即k <<时，直线和曲线没有公共点. 18 【解析】解法一 设所求直线的方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理，得2222(41)8(2)4(21)160k x k k x k +--+--=直线与椭圆的交点设为1122(,),(,)A x y B x y ，则21228(2)41k k x x k -+=+因为P 为弦AB 的中点，所以21224(2)2241x x k k k +-==+，解得12k =- 因此所求直线的方程为x+2y-4=0解法2：设直线与椭圆的交点为1122(,),(,)A x y B x y 因为P 为弦AB 的中点，所以12124,2x x y y +=+=又因为A,B 在椭圆上，所以22112222416416x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减，得22221212()4()0x x y y -+-=即12121212()4()0,y y x x y y x x -+++⋅=-所以12121212()114()22AB y y x x k x x y y --+==-=--+即因此所求直线的方程为11(2)2y x -=--即x+2y-4=0.19 【解析】：（1）方程4=表示M （x,y）到两定点(的距离之和为 4.根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，其中2a =，c =1b ==．所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， ∵0OC OD ⋅=，∴12120x x y y +=． ∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．… ①由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．则1221614k x x k +=+，1221214x x k ⋅=+，代入①，得()222121612401414k k k k k +⋅-⋅+=++． 即24k =，解得，2k =或2k =-．所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．20 【解析】：（Ⅰ）设点(,)P x y ，12=-， 整理得.1222=+y x由于x ≠C的方程为221(2x y x +=≠（Ⅱ）由.04)21(:.1,122222=++⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去解得x 1=0, x 2=212,(214x x k k +-分别为M ，N 的横坐标）由,234|214|1||1||22212=++=-+=kk k x x k MN .1:±=k 解得 所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=021【解析】：（Ⅰ）离心率21=e ，2213144b a ∴=-=，即2243b a =（1）；又椭圆过点)23,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，23b =，椭圆方程为22143x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y 由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(34)84120k x mkx m +++-=， 直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+ (1)由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++，则2000222443,343434mk mk mx y kx m m k k k=-=+=-+=+++， 直线AG 的斜率为：22232434413234348AGmm k K mk mk k k +==-----+， 由直线AG 和直线MN 垂直可得：22413234m k mk k =----，即2348k m k +=-，代入（1）式，可得22234()438k k k +<+，即2120k >，则1010k k ><-.【挑战能力】1 【答案】C【解析】.设抛物线方程为y 2=2px ，则点C （p 2，0），在方程中，令x=p 2，则y=±6，即36=p 2，得p=6, ∴y 2=12x ，∴点P 到直线AB 的距离为p=6，∴S △ABP =12|AB|·6=36.实用标准文案精彩文档 2 【答案】C 【解析】取特殊点2(,)b P c a，则直线OP 的方程为2b y x ac =，又直线AQ 的方程为 ()b y x a a =-，直线AR 的方程为()b y x a a=--，解得,Q R 的坐标为2(,)a c b c b c b --，2(,)ac b c b c b++，易得2||||||OP OQ OR =⋅．（若设任意点也可得此结果） 3 【解析】：设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 又将代入x y -=112222=+by a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221b a a x x +=+∴>∆ 222221)1(b a b a x x +-=代入①化简得 21122=+b a . (2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==a b ab a b ac e 又由（1）知12222-=a a b 26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5].。
高考数学直线与圆锥曲线测试
高考数学直线与圆锥曲线测试专题六 直线与圆锥曲线的几何性质 命题人；董德松 易赏在同一，则点于交，轴的直线为且垂直与），过点（个分点为下至上的第上从，个分点为上从左至右的第等分，设各、）将线段，（），，已知点（，则抛物线顶点是），准线方程是，抛物线的焦点是（等于的值则在双曲线上，且的两个焦点，点是双曲线、设为的内切圆圆心的横坐标，则焦距为分别是左、右焦点，且、右支上一点，，是双曲线不能确定截得的最大弦长是变化时，此直线被椭圆当直线椭圆的离心率为椭圆短轴的两端点，则为焦点的抛物线经过为顶点，，以、的左、右焦点分别为已知椭圆：的值为的连线互相垂直，则与中心、上两点椭圆条条条条一共有则这样的直线有且只有一个公共点，，使它与双曲线作直线经过点是的斜率，则，若椭圆的离心率是作椭圆的切线轴的交点，经过的准线与是椭圆一、选择题k k k k k k k k P P l OB l x A n k B k AB A k OA n AB OA B D C B A y x D C B A PF PF PF PF P y x F F cb a D cC bB aA F PF c F F b a by a x P D C B A y x k kx y D C B A F F F F b a by a x ba b a D b a b a C b a B b a A OB OA O B A b a b y a x D C B A l y x l A e D e C e B e A k l el H x b a by a x H ≤≤-=++⋅=⋅=--+∆>>=-=++=>>=+++++>>=+=-±±±±>>=+12101.9)1,1.()1,0.()0,1.()0,0.(0112.88.4.22.2.||||,014.7....2)00(1.6.334.2.4.14,1.555.31.22.21.)0(1.4..1.1.11)0(1.34.3.2.1.14)2,0(.24.3.2..)0(1.121212221212122222221212222222222222222222222222222的方程，求直线两点，若、交与两点，与、交与与的直线）过点（的方程）求椭圆（两点，已知、交于两点，与、交与与轴垂直的直线与重合，过点的焦点：点与抛物线的中心在原点，其右焦设椭圆三、解答题线的离心率为，则双曲，且两点，右焦点为、交与的右准线与两条渐近线双曲线为，则这个三角形的边长上，另一个顶点是原点顶点在抛物线有一个正三角形的两个的轨迹方程是点，则动为坐标原点，是它的两个焦点，、上的任意一点，是椭圆的离心率为成等比数列，则椭圆、、成等差数列，、、已知二、填空题右焦点轴的交点椭圆右准线与坐标原点轴的交点椭圆左准线与一定是”，那么“左特征点”为该椭圆的“左特征点称点的一条内角平分线，则为且使得轴上，在，若点不垂直的弦任作一条与两坐标轴都的左焦点过椭圆抛物线上双曲线上椭圆上圆上l MN PQ Q P C N M C l F C AB CD D C C B A C x F F x y C C FB FA F B A by a x x y Q PF PF OQ O F F by a x P ny m x mn n m n m n m D x C B x A M M AMB MF x M AB F b a by a x D C B A 35||||2134||||4.1501.1432.131.121.11....)0(1.10. (2112122122)22221212222222222====⋅=-=⋅==+=++∆>>=+线类型；的轨迹方程，并判断曲）求动点（是参数是坐标原点，其中）（，并且满足的距离等于到定直线），动点，（），，（已知向量请说明理由。
(完整版)数学高职高考专题复习__直线、圆锥曲线问题
高考直线、圆锥曲线问题专题复习一、直线基础题1、已知直线L 与直线2x -5y -1=0平行，则L 的斜率为 ( ) A.52 B.52- C.25 D.25- 2、平行直线2x+3y-6=0和4x+6y-7=0之间的距离等于 ( ) A.1313 B.26135 C.13132 D.26133、已知点A （1，3）和B （-5，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A.3x +y+4=0 B.x -3y+8=0 C.x+3y -4=0 D.3x -y+8=04、 过点（-3，1）且与直线3x -y -3=0垂直的直线方程是 ( ) A.x +3y=0 B.3x +y=0 C.x -3y +6=0 D.3x -y -6=05、已知M （3，-1），N （-3，5），则线段MN 的垂直平分线方程为 ( )A.x -y -2=0B.x +y -2=0C.3x -2y +3=0D.x -y +2=06、如果点(4，a)到直线4x -3y -1=0的距离不大于3，那么a 的取值范围是区间 ( ) A.[2，12] B.[1，12] C. [0，10] D. [-1，9]7、实数a=0是直线ax -2y -1=0与2ax -2y -3=0平行的 ( ) A.充分而非必要的条件 B.充分且必要的条件C.必要而非充分的条件D.既非必要又非充分的条件 8、已知P ，M 和N 三点共线，且点M 分有向线段所成的比为2，那么点N 分有向线段所成的比为 ( ) A.31-B.-3C.31D.3 9、已知A （-2，1）,B （2，5），则线段AB 的垂直平分线的方程是_________.10、在x 轴上截距为3且垂直于直线x+2y=0的直线方程为___ _______________.二、圆锥曲线基础题11、已知抛物线方程为y 2=8x ，则它的焦点到准线的距离是 ( ) A.8 B.4 C.2 D.6 12、已知椭圆上一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离之和等于6，则椭圆的短轴长为 A.5 B.10 C.5 D.52 ( )13、椭圆9x 2+16y 2=144的焦距为 ( ) A.10 B.5 C.72 D.1414、已知双曲线上有一点到两焦点（-2，0），（2，0）的距离差是2，则双曲线方程为 ( )A.1322=-y x B.1322-=-y x C.1322-=-y x D.1322=-y x 15、P 为椭圆25X 2+9Y 2=225上一点，F 1，F 2是该椭圆的焦点，则| PF 1 |+| PF 2|的值为A.6B.5C.10D.3 (01年成人) ( )16、过双曲线193622=-y x 的左焦点F 1的直线与这双曲线交于A ，B 两点，且|AB|=3.F 2是右焦点，则|AF 2|+|BF 2|的值是 ( ) A.21 B.30 C.15 D.27 17、平面上到两定点F 1（-7，0），F 2（7，0）距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为 ( )A.11610022=-y x B.14910022=-y x C.1242522=+y x D.1242522=-y x 18、抛物线x y 82=的准线方程是 ( ) A.x =﹣4 B.x =﹣2 C.=y ﹣4 D.=y ﹣219、椭圆15922=+y x 的焦距等于 ( ) A.6 B.214 C.4 D.1420、长为2的线段MN 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动,则线段MN 的中点的轨迹方程是 ( )A.222=+y xB.422=+y x C.222=+y x D.122=+y x21、记双曲线15422=-y x 的右焦点为F,右准线为l .若双曲线上的点P 到l 的距离为35,则=PF ( )A.25 B.35 C.27D.10922、若抛物线px y 22=上到焦点距离为3的点之横坐标为2,则P= ( ) A.4 B.3 C.2D.123、设P 是双曲线191622=-y x 上一点，已知P 到双曲线的一个焦点的距离等于10，则P 到另一个焦点的距离是 ( )A.2B.18C.20D.2或18 24、中心在坐标原点,焦点在x 轴，且离心率为22、焦距为1的椭圆方程是 ( ) A.14222=+y xB.14222=+y x C.12422=+y xD.12422=+y x 25、方程0)()(22=-+-b y a x 的图形是 ( ) A.一个圆 B.两条直线 C.两条射线 D.一个点26、方程0)2)(1(2=+-y x 的图形是 ( ) A.一条直线 B.两条直线 C.一条抛物线 D.直线或抛物线27、如果圆x 2+y 2= r 2 (r>0) 与圆x 2+y 2-24x -10y +165=0相交，那么r 的取值范围是区间 A.（5，9） B.（6，10） C.（10，12） D.（11，15）( ) 28、椭圆21222=+y x 的准线方程是 ( ) A.x=±1 B. y=±1 C. y=±2 D. x=±2 29、焦点在x 轴上，以直线x y 3=与x y 3-=为渐近线的双曲线的离心率为 ( )A.4B.2C.2D.0.530、焦距为2，离心率为33的椭圆，它的两条准线的距离为 ( ) A.6 B.8 C.34 D.3331、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是区间( ) A.（0，+∞） B.（0，2） C.（1，+∞） D.（0，1）32、如果方程192222=-+-a y a x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么实数a 的取值范围是区间 ( )A.（-3，2）B.（-3，3）C.（-3，+∞）D.（-∞，2）33、已知椭圆2222b x a y +=1(a ＞b ＞0)的离心率为53，两焦点的距离为3，则a+b=_______.三、直线、圆锥曲线综合题35、过圆x 2+y 2=25上一点P （3，4）并与该圆相切的直线方程是 ( ) A.3x －4y=0 B.3x+4y=0 C. 3x －4y －25=0 D.3x +4y －25=0 36、圆x 2+y 2-10y=0的圆心到直线3x +4y -5=0的距离等于 ( )A.53 B.3 C.75D.15 37、如果直线4x -3y+5=0与圆x 2+y 2-4x -2y+m=0相离，那么m 的取值范围是区间( )A.（0，5）B.（1，5）C.（2，6）D.（-1，4）38、直线012=++y x 被圆9)1()2(22=-+-y x 所截得的线段长等于 . 39、（8分）设双曲线x 2－y 2=1上一点P （a ，b ）到直线y=x 的距离等于2，其中a>b,求a,b.40、（10分）已知椭圆1222=+y x ,过点P （1，0）作直线L,使得L 与该椭圆交于A 、B 两点，L 与y 轴交于Q 点，P 、Q 在线段AB 上,且︱AQ ︱=︱BP ︱，求L 的方程.41、(8分) 已知圆的方程为x 2+y 2-6x -4y+12=0，求圆的过点P(2,0)的切线方程.42、(10分) 已知抛物线以原点为顶点，x 轴为对称轴，开口向左，且焦点与顶点的距离为p.在此抛物线上取A 、B 、C 、D 四点，分别记M 和N 为AB 和CD 的中点，如果AB ⊥CD ，求点M 和点N 的纵坐标的乘积.43、(10分) 已知斜率为a ，在y 轴上的截距为2的直线与椭圆132222=+ay a x 有两个不同的交点，求实数a 的取值范围.44、(8分) 已知直线在x 轴上的截距为-1，在y 轴上的截距为1，又抛物线y=x 2+bx+c的顶点坐标为（2，-8），求直线和抛物线两个交点横坐标的平方和.45、(10分) 设F 1和F 2分别是椭圆1422=+y x 的左焦点和右焦点，A 是该椭圆与y 轴负半轴的交点.在椭圆上求点P 使得| PF 1 |，| PA |，| PF 2 |成等差数列.46、(11分) 已知椭圆12222=+by a x 和点P （a ，0）.设该椭圆有一关于x 轴对称的内接正三角形，使得P 为其一个顶点，求该正三角形的边长.47、(11分) 设椭圆)0(16222φλλ=+y x 的焦点在x 轴上，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两点，使得OP 所在直线的斜率为1，OP ⊥OQ ，若△POQ 的面积恰为λ423，求该椭圆的焦距.48、(12分) 已知正方形ABCD 对角的两个顶点A,C 都在抛物线x y 42=上,另外两个顶点B,D 在直线942=-y x 上,求正方形的中心N 的坐标和正方形的面积.49、( 12分) 已知直线b x y +=2与椭圆18222=+y x 相交于不同的两点..、B A 定点P的坐标为(1,2).求b 值,使PAB ∆的面积最大,并求这个最大值.50、给出定点P （2，2）和Q （-2，0），动点M 满足：直线PM 的斜率与QM 的斜率的比值等于2.求动点M 的轨迹方程. 51、经过点P （2，0）且与定圆0422=++x y x 相切的圆的圆心轨迹如何？52、已知椭圆的焦点是F 1（0，50-）和F 2（0，50），且直线y=3x -2被它截得的线段的中点之横坐标为21，求这个椭圆的方程.53、给定抛物线y 2=8x 和定点P （3，2）.在抛物线上求点M ，使M 到P 的距离与到抛物线焦点的距离之和最小，并求这个最小值.附：参考答案 1-8 ABAAD CBA 9.x+y -3=0 10.2x -y -6=0 11-32.BDCAC DDBCDACDAD ADBBA DA 33.29 35-37 DBB 38.4 39.43,45-==b a 40.2222,2222+-=-=x y x y 41.3x -4y -6=0或x=2 42.-4p 243.a ＞1或a＜-1 44.35 45.)31,324(,)31,324(),1,0(--- 46.222334b a ab + 47.4 48.N （25，-1），24549.当b=±22时，面积有最大值250．xy+2x -6y+4=0（x ≠±2） 51.双曲线1322=-y x 52.1752522=+y x 53.)2,21(M ，5。
直线与圆锥曲线综合(一)(人教A版)(含答案)
直线与圆锥曲线综合（一）（人教A版）一、单选题(共8道，每道12分)1.直线与曲线()的公共点的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题2.已知抛物线的方程为,过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题3.若直线与圆没有公共点,则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数是( )A.0B.1C.2D.1或2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题4.过抛物线的焦点的弦两端点的横坐标分别是,若,则的长为( )A.20B.24C.16D.18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题5.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题6.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于两点,若线段的中点的横坐标为4,则等于( )A.14B.12C.10D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题7.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点,则等于( )A.3B.4C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题8.若椭圆上有两点关于直线对称,则的中点的坐标是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题。
直线与圆锥曲线综合最有效训练题
直线与圆锥曲线综合最有效训练题（限时45分钟）1. 已知椭圆22142x y +=的左右焦点分别为F 1, F 2,过F 2且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于点A ，B ，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③83AB =，正确结论的个数为（ ）. A . 3 B . 2 C . 1 D . 02. 斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）.A .B .C .D . )+∞3.抛物线24y x =的焦点为F ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为（ ）.A . 2B . 4C . 6D . 84.过点P (0,2)的直线l 与抛物线24y x =交于点A ,B ，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为（ ）.A . 2220y y x --=(y ＜0或y ＞4)B . 2220y y x --=C . 2240y y x --=D . 2240y y x --=(y ＜0)5.椭圆221369x y +=的一条弦被A (4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）.A . 20x y -=B . 2100x y +-=C . 220x y --=D . 280x y +-=6.已知A ,B ,P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A , B 连线经过坐标原点，若直线P A , PB 的斜率乘积23PA PB k k ⋅=,则该双曲线的离心率为（ ）.A .2 B . 2 C D . 37.椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A ,B 两点，过原点与线段AB 中点的直线，则a b的值为________. 8.已知抛物线24y x =，过点P (4,0)的直线与抛物线交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则2212y y +的最小值是________.9.抛物线2:2(0)C y px p =>与直线:l y x m =+相交于A ,B 两点，线段AB 中点的横坐标为5，又抛物线C 的焦点到直线l，则m ＝________.10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为A (2,0)，离心率为2，直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ,N .（1）求椭圆C 的方程；（2）当△AMNk 的值.11. 椭圆T 的中心为坐标原点O ，右焦点为F (2,0)，椭圆T 过点E)， △ABC 的三个顶点都在椭圆T 上，设三条边的中点分别为M ,N ,P .（1）求椭圆T 的方程；（2）设△ABC 的三条边所在的直线的斜率分别为123,,k k k ，且0,1,2,3i k i ≠=.若直线OM , ON , OP 的斜率之和为0，求证：123111k k k ++为定值.12.已知一动圆与圆221:(1)1O x y -+=外切，与圆222:(1)9O x y ++=内切. （1）求动圆圆心M 的轨迹L 的方程；（2）设过圆心O 1的直线l 与轨迹L 相交于A ,B 两点，请问△ABO 2的内切圆N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由.。
直线与圆锥曲线含答案
【例1】 已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1F ，2F 分别为椭圆C的左、右焦点．⑴当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；⑵设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，浙江高考【解析】⑴因为直线2:02m l x my --=经过)20F22m ，得22m =又因为 1.m >所以m =故直线l的方程为10.x -= ⑵设11()A x y ，，22()B x y ，由2222,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得222104m y my +++=则由22281804m m m ⎛⎫=--=-+> ⎪⎝⎭△，知28m < 且有122my y +=-，212182m y y =-．由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，故O 为12F F 的中点， 由2AG GO = ，2BH HO = ，可知1133x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，，2233y x H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212()()||.99x x y y GH --=+设M 是GH 的中点，则121266x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，直线与圆锥曲线.测试题由题意可知，2||||MO GH <即222212121212()()46699x x y y x x y y ⎡⎤++--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12120.x x y y +<而221212121222m m x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221(1)82m m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 所以210.82m -<即2 4.m <又因为1m >且0>△．所以1 2.m << 所以m 的取值范围是(12)，．【答案】⑴10x -=；⑵(12)，．【例2】 已知椭圆C 的焦点是(10,F -，(20,F ，点P 在椭圆上且满足124PF PF +=．⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ． ⅰ）求使PAB ∆的面积为12的点P 的个数； ⅱ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB λμλμ=+∈R，求22λμ+的值．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，宣武一模【解析】⑴ ∵12124PF PF F F +=>∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆∵24,a c =∴2221b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．⑵ i ）∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B∴()()1,0,0,2A B --，AB =若1122PAB S AB d ∆==∴d =∵原点O 到直线:220l x y ++==>∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点设直线:20l x y n '++=与椭圆相切，则 222014x y n y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩有且只有一个交点． ∴228440x nx n ++-=有且只有一个解 由0∆=解得n =此时，l '与l< ∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点 ∴符合条件的点P 有2个．ii ）设(),M x y ，则,x y 满足方程：2214y x +=∵ (,)OM OA OB λμλμ=+∈R∴()()()(),1,00,2,2x y λμλμ=-+-=--即：2x y λμ=-⎧⎨=-⎩，从而有2xy λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴222214y x λμ+=+=．【答案】⑴2214y x +=；⑵ i ）符合条件的点P 有2个；ii ）222214y x λμ+=+=．【例3】 已知椭圆22:14y C x +=，过点()03M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点），求当AB 数λ的取值范围．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，西城一模【解析】⑴设()11A x y ，，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以132y =， 又因为点()11A x y ，在椭圆C 上， 所以221114y x +=，即219116x +=，解得1x = 则点A的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，或32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以直线l的方程为7210y -+=或7210y +-=．⑵设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，()11A x y ，，()22B x y ，，()33P x y ，， 当AB 的方程为0x =时，4AB = 当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得()224650k x kx +++=， 所以()()2262040k k ∆=-+>，即25k >， 则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，()()1212224334y y kx kx k+=+++=+， 因为AB =216813k -<<， 所以258k <<．因为OA OB OP λ+=，即()()()112233x y x y x y λ+=，，，，所以当0λ=时，由0OA OB += ，得122604k x x k -+==+，1222404y y k +==+， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当0λ≠时，()123264x x k x k λλ+-==+，()1232244y y y k λλ+==+， 因为点()33P x y ，在椭圆上，所以()()222261241444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 化简得22364k λ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则()22λ∈-．综上，实数λ的取值范围为()22-．【答案】⑴直线l 的方程为7210y -+=或7210y +-=．⑵实数λ的取值范围为()22-．【例4】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模 【解析】⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+ ，()222,AQ x y =+． 由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+． 显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【答案】⑴2214x y +=．⑵k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【例5】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线:l y kx =+C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅= ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆【难度】3星 【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模 【解析】⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为2214xy +=． ⑵将y kx =C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ① 设()11,P x y ，()22,Q x y 由方程①，得12x x +=122414x x k =+ ②又(()2121212122y y kx kx k x x x x ⋅=+=++ ③若0OP OQ ⋅=，得12120x x y y +=将②、③代入上式，解得k =． 又因k 的取值应满足0∆>，即2410k ->（*），将k =代入（*）式知符合题意．【答案】⑴2214x y +=；⑵k =．【例6】 已知抛物线22(0)y p x p =>，过定点(0)M p ，作一弦PQ ，则2211MP MQ+= _______． 【考点】直线与抛物线 【难度】4星【题型】填空 【关键字】无【解析】设11()P x y ，，22()Q x y ，， 直线PQ 的斜率不存在时，方程为x p =，解得MP MQ =，从而222221111122p p p MP MQ+=+= ．直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为()y k x p =-，代入22y px =中，消去x 得： 222222(1)0k x p k x k p -++=，22222211221111()()x p y x p y MP MQ +=+-+-+22221211x p x p =+++222122222122()()x x p x p x p ++=++（*）又21222(1)p k x x k ++=，212x x p =，故2222221212122484()22p p x x x x x x p k k+=+-=++， 代入（*）式得：2222422222422248*********p p p k k p p p MP MQ p p p k k +++==⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ． 综上知，222111p MP MQ+= ． 【答案】21p ；【例7】 已知抛物线24C y x =∶的焦点为F ，过点(10)K -，的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．⑴证明：点F 在直线BD 上；⑵设89FA FB ⋅= ，求BDK △的内切圆M 的方程 ．【考点】直线与抛物线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，全国高考【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+= 从而124y y m +=，121y y =直线BD 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=⋅-- 即2222144y y y x y y ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y y x ==所以点(1F ，0)在直线BD 上．⑵由①知：21212(1)(1)42x x my my m +=--=-，1212(1)(1)1x x my my =--=因为11(1)FA x y =-，，22(1)FB x y =- ，， 212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=-+=-+++=-故28849m -=，解得43m =±所以l 的方程为：3430x y ++=，3430x y -+=又由①知：21y y += 故直线BD的斜率：214y y =- 因而直线BD的方程为：330x -=，330x -=因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(0)M t ，(11)t -<<，(0)M t ，到t 及BD 的距离分别为315t +，314t +．由313|1|54t t ++=，解得19t =，或9t =（舍去）， 故圆M 的半径3|1|253t r +== 所以圆M 的方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】设11()A x y ，，22()B x y ，，11()D x y -，，l 的方程为1(0)x my m =-≠⑴将1x my =-代入24y x =并整理得2440y my -+= 从而124y y m +=，121y y =直线BD 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=⋅-- 即2222144y y y x y y ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y y x == 所以点(1F ，0)在直线BD 上．⑵圆M 的方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【例8】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的，A B 两点． ⑴如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；⑵如果4OA OB ⋅=-证明直线l 必过一定点，并求出该定点．【考点】直线与抛物线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】无【解析】⑴由题意：抛物线焦点为(10)，设:1l x ty =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty --=， 设11()，A x y ，22()，B x y 则124y y t +=，124y y =-，212122212121212(1)(1)()1OA OB x x y y ty ty y y t y y t y y y y ⋅=+=+++=++++2244143t t =-++-=-⑵设:l x ty b =+代入抛物线24y x =消去x ，得2440y ty b --=，设11()，A x y ，22()，B x y ，则124y y t +=，124y y b =-． 2212121212121212()()()OA OB x x y y ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+=+++=++++∵22224444bt bt b b b b =-++-=-．令244b b -=-，2440b b -+=∴，2b =∴，∴直线l 过定点(20)，． 【答案】⑴3OA OB ⋅=-⑵直线l 过定点(20)，．。
高考数学复习直线与圆锥曲线专项测试(附答案)
高考数学复习直线与圆锥曲线专项测试（附答案）的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则△AKF的面积是()A.4B.3C.4D.87.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= .8.(2019湖南,文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .9.(2019福建漳州模拟)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程.(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.10.(2019安徽,文21)设F1,F2分别是椭圆E:=1(a0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cosAF2B=,求椭圆E的离心率.能力提升组11.已知点F是双曲线=1(a0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率是()A. B.2 C.1+ D.2+12.(2019湖北,文8)设a,b是关于t的方程t2cos +tsin =0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为()A.0B.1C.2D.313.(2019福建三明模拟)设圆C的圆心与双曲线=1(a0)的右焦点重合,且该圆与此双曲线的渐近线相切,若直线l:x-y=0被圆C截得的弦长等于2,则a的值为 .14.(2019江西,文20)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.15.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.参考答案1.A 解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则在双曲线中a=1. 又2c=4,c=2,e==2.2.C 解析:设F1,F2为焦点,由题意知,点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,则c1或k-1.9.解:(1)由已知得抛物线C的焦点坐标为F(1,0),设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0), 则所以(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4,又y0=2,所以k=1.故直线l的方程是y=x-1.(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消元得y2-4my-4=0,所以有y1+y2=4m,y1y2=-4,=16(m2+1)0,|AB|=|y1-y2|==4(m2+1),所以有4(m2+1)=20,解得m=2,所以直线l的方程是:x=2y+1,即x2y-1=0.10.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k0,且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cosAF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k), 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=a,所以椭圆E的离心率e=.11.B 解析:将x=-c代入双曲线方程得A.由△ABE是直角三角形,得=a+c,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得c2-ac-2a2=0.e2-e-2=0,解得e=2(e=-1舍去).12.A 解析:可解方程t2cos +tsin =0,得两根0,-.不妨设a=0,b=-,则A(0,0),B,可求得直线方程y=-x,因为双曲线渐近线方程为y=x,故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.13. 解析:由题知圆心C(,0),双曲线的渐近线方程为xay=0,圆心C到渐近线的距离d=,即圆C的半径长为.由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径长为,可知圆心C到直线l的距离为1,即=1,解得a=.14.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.解得交点D的坐标为注意到x1x2=-8及=4y1,则有y==-2.因此D点在定直线y=-2上(x0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2.则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,即|MN2|2-|MN1|2为定值8.15.解:(1)设F(c,0),由条件知,,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)0,即k2时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=.设=t,则t0,S△OPQ=.因为t+4,当且仅当t=2,即k=时等号成立,且满足0.所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2. 直线与圆锥曲线专项测试的所有内容就为考生分享到这里，更多精彩内容请考生持续关注查字典数学网。
专题9.6 直线与圆锥曲线(练)(解析版)
专题9.6 直线与圆锥曲线1．（四川省成都市龙泉驿区第一中学校2019届高三上入学）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ）A ．B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C 【解析】由题意，是抛物线的焦点，所以，准线方程为， 设，所以，解得，所以线段的中点的横坐标为，所以线段的中点到该抛物线的准线的距离为，故选C ．2.（2019·湖南高三月考（理））抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，点Q 在抛物线上，且90MQF ∠=，则以MQ 为直径的圆的面积等于（ ）A.51π- B.51π+ C.()252π-D.()252π+【答案】A 【解析】 如图：设点Q (),x y ，由题可知，点()()1,0,1,0F M -，90MQF ∠=,O 为MF 中点，112OQ MF ∴==，即221x y +=，又24y x =，2221524x y x y x⎧+=⇒=-⎨=⎩ ()()2222211461252MQ x y x x x x =++=++=++=-以MQ 为直径的圆的面积等于25142S MQ ππ-==答案选A3.（2019·天津高考真题（理））已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为 A.B.C.2D.【答案】D 【解析】 抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，∴.故选D.4.(浙江省金华十校2019届高考模拟)已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（ ）A ．24-B ．14-C ．3-D ．3-【答案】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3， 又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =，1220x x ⇒+=…① 联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=. 122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k =-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k=-+=-++=-+. ∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k -+=⇒+=++…④． 由③④可得2112k =，∵k 0<．∴36k =-. 故选：C ．5.（2019·四川石室中学高三月考（理））已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1l：0x my -=与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若||3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=________.【答案】67【解析】因为F 到准线l 的距离为2，所以2p =，抛物线C ：24y x =，(1,0)F .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为||3QF =，即22+1=3=2x x ⇒所以2y =-代入直线1l：0m =⇒=所以直线1l为：0x y --=由22004x y y y y x ⎧--=⎪⇒---=⎨⎪=⎩所以12y y =-，所以12y y -==152x = ，所以2167121==5112QRFPRFS QR QF x S PRPFx ∆∆++===++故填：676.（2019·安徽高三开学考试（理））已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且2AF FB λ=（λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为________.（结果用含λ式子表示）. 【答案】1λλ+【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线C 的焦点为()0,1F ，设直线AB 的方程为1y kx =+， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.()11,1AF x y =--，()22,1FB x y =-，2AF FB λ=，212x x λ∴-=，2121x x λ∴=-，2121214x x x λ∴=-=-，得2214x λ=.抛物线C 的函数解析式为24x y =，求导得2x y '=，则抛物线C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-，联立211124y x x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得11221x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所点112,12x M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此，1MF λλ====+， 故答案为：1λλ+.7．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学月考（文））已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ，椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB【答案】（1）221123x y +=；（2）10. 【解析】（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：1x yc b+=即0bx cy bc +-=.由已知：原点到直线的距离12bc d c a ===即12b a =因为2a=，所以b =所以椭圆的标准方程为：221123x y +=（2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=-即为：21y kx k =--设()()1122,,,A x y B x y联立22214120y kx k x y =--⎧⎨+-=⎩得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()22214821161680k xk k x k k +-+++-=显然>0∆ 则()122821414k k x x k++==+，解得12k = 则212216168214k k x x k+-⋅==+所以12AB x =-==8.（2019·天津高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程. 【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【解析】（I ）解：设椭圆的半焦距为c 2b =，又由222a b c =+，消去b 得222)a c=+，解得12c a =， 所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-， 因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =，因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l2=，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.9. （2020·广西钦州·高二期末（文））已知抛物线()220y px p =>的顶点为O ，焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线方程；（2）过点()1,0且斜率为1的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，求线段PQ 的值． 【答案】（1）22y x =．（2）【解析】（1）∵22y px =焦点坐标为,02P ⎛⎫⎪⎝⎭∴122p =，1p =， ∴抛物线的方程为22y x =．（2）设直线l 方程为1x y =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立212x y y x=+⎧⎨=⎩ 消元得2220y y --=，∴120∆=>，122y y +=，122y y =-， ∴21211PQ y y =+-()221212114y y y y =+⋅+-()()221124226=+⋅-⋅-=．∴线段PQ 的值为26．10.（2019·浙江诸暨中学高二月考）如图，A 为椭圆2212x y +=的下顶点.过A 的直线l 交抛物线()220x py p =>于B ，C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C 的纵坐标是定值；（2）过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线m 交椭圆于M ，N 两点.求p 的值，使得BMN ∆的面积最大. 【答案】（1）证明见解析；（2）914. 【解析】（1）易知()0,1A -，不妨设2,2t B t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22,24t t p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：222224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：24t p =，∴42142C p p y p -==为定值. （2）∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=，∵直线l的斜率()11322kt t--==，直线m斜率3kt'=-，∴直线m的方程：1322t y xt⎛⎫-=--⎪⎝⎭，即32y xt=-+，不妨记3mt=-，则l'：2y mx=+，代入椭圆方程整理得：()2221860m x mx+++=，设()11,M x y，()22,N x y，则122821mx xm+=-+，122621x xm=+，22212223122121mMN m x x mm-=+-=++，A∴到MN的距离21dm=+，所以12AMNS MN d∆=⋅⋅22233221mm-=+2232323244242323mm=≤=-+-.取等号时，222323mm-=-，得272m=，所以229187tm==，29414tp==.1．（2020·山西运城·高三月考（理））已知抛物线21:4C y x=的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C 上，且2AF=，点P是抛物线C的准线上的一动点，则PA PO+的最小值为（）.A13B．13C．313D．6【答案】A【解析】抛物线的准线方程为1y=-，||2AF=，A∴到准线的距离为2，故A点纵坐标为1，把1y=代入抛物线方程可得2x=±．不妨设A在第一象限，则(2,1)A，点O 关于准线1y =-的对称点为(0,2)M -，连接AM ， 则||||PO PM =，于是||||||||||PA PO PA PM AM +=+故||||PA PO +的最小值为22||2313AM =+=． 故选：A ．2．（2019·新疆乌鲁木齐·乌市一中月考）已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） A 5B 10C 25D 210【答案】A 【解析】椭圆C 以A ，B 为焦点，即1c =，221b a =-，故可设椭圆方程为222211x y a a +=-(a >1)，联立方程2222113x y a a y x ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知∆=36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，即42650a a -+≥ 得25a ≥或21a ≤（舍去），解得a 5所以155c e a a ==≤， 所以e 5. 故选：A.3.（2019·山西高三月考（理））已知双曲线C ：()22210x y a a-=>与l ：1x y +=相交于两个不同的点A 、B ，l 与y 轴交于点P ，若512PA PB =，则a =______. 【答案】1713【解析】由于双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，故方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，有两组不同的实数解，消去y 并整理可得：2222(1)220a x a x a -+-= 所以实数a 应满足：24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎨+->⎩ ，解得：02a <<且1a ≠ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由根与系数关系可得：212221222121a x x a a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩① 根据题意可知(0,1)P ，由512PA PB =，可得11225(,1)(,1)12x y x y -=-，从而得到12512x x = ② 由①②解得：1713a =±，又 02a <<且1a ≠，所以1713a =故答案为17134.（2019·浙江高三学业考试）如图，(1,0)M ，P ，Q 是椭圆2214x y +=上的两点（点Q 在第一象限），且直线PM ，QM 的斜率互为相反数．若2PM QM =，则直线QM 的斜率为__________．15【解析】延长PM ，交椭圆于点N ，由椭圆的对称性和直线PM ，QM 的斜率互为相反数可知：||||QM MN =，如下图所示：设直线PM 的斜率为k ，所以直线PM 的方程为：(1)(0)y k x k =-<，与椭圆方程联立得：22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得，2212430yy k k ⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 设()()1122,,,P x y N x y ，根据根与系数关系可得：122214ky y k -+=+，12||2,2||PM y y QM =∴=-，1222214ky y y k -∴+=-=+，所以222222,11414k y x k k =∴=+++，把22221,1414k N kk ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭代入椭圆方程中得，2222221441414k k k ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得25515,1212k k =∴== 所以直线QM 的斜率为156k -=. 5．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线l ：()1y k x =-与抛物线C ：()220y px p =>在第一象限的交点为A ，l 过C 的焦点F ，3AF =，则抛物线的准线方程为_______；k =_______. 【答案】1x =- 2 【解析】易知直线l 与x 轴的交点为(1,0)，即抛物线的焦点为(1,0)F ，∴准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，则11132pAF x x =+=+=，12x =，作AC x ⊥轴于点C ，如图， 则(2,0)C ，1FC =，∴223122AC =-=， ∴直线l 的斜率为22tan 221k AFC =∠==． 故答案为：1x =-；22．6．（2020·江苏如皋·高二月考）已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________. 【答案】2 92【解析】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()()22221212129114412AB m y y m y y y y m =+-=++-=+=. 故答案为：2；92. 7.（2019·浙江高三月考）如图，过抛物线2:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线，分别交x 轴于点D 交y 轴于点B ，点Q 在抛物线上，点E ，F 分别在线段AQ ，BQ 上，且满足AE λEQ =，BF μFQ =，线段QD 与EF 交于点P.（1）当点P 在抛物线C 上，且12λμ==时，求直线EF 的方程； （2）当1λμ+=时，求:PAB QAB S S △△的值.【答案】（1）432y x +=-或432y x -=-.（2）1:3. 【解析】（1）过抛物线上点A 的切线斜率为122x y x ='==，切线AB 的方程为21y x =-， 则B ，D 的坐标分别为(0,1)-，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 是线段AB 的中点.设(,)P x y ，()200,Q x x ，()11,E x y ，()22,F x y ，显然P 是ABQ △的重心.由重心坐标公式得2001,33x x P ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2200133x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则013x +=，故3323,66P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或3323,66P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭因为EF AB ∥，所以2EF k =，所以直线EF 的方程为4326y x +=-或4326y x -=-. （2）由解（1）知，AB 的方程为21y x =-，(0,1)B -，1,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，D 是线段AB 的中点 令||||QD m QP =，1||1||QA t QE λ==+，2||1||QB t QF μ==+， 因为QD 为ABC △的中线，所以22OAB OAD GBD S S S ==△△△而12||||1||||QEF QABSQE QF S QA QB t t =⋅=△△， 1212111322222QEFQEP QFPQEP QFP QABQADQADQBDS S S S S S S S S t m t m t t m+⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭△△△△△△△△△ 所以1212132t t t t m =，即32m =，所以P 是QAB 的重心，:1:3PAB QAB S S =△△.8．（2019·全国高三月考（理））如图，己知抛物线24x y =，直线1y kx =+交抛物线于,A B 两点，P 是抛物线外一点，连接,PA PB 分别交地物线于点,C D ，且CDAB .（1）若1k =，求点P 的轨迹方程.（2）若2PC CA =，且PA 平行x 轴，求PAB ∆面积. 【答案】（1）2(11)x y =-<<（2）11121【解析】 （1）解法1：CD AB ，设()()()112200,,,,,,PD DB A x y B x y P x y λ=，则()()0011,,,C C C C PC x x y y CA x x y y =--=--，由PC CA λ=可得()01C C x x x x λ-=-，故011C x x x λλ+=+，同理20141C y x y λλ+=+，故201014,11y x x x C λλλλ⎛⎫+ ⎪+ ⎪++ ⎪⎝⎭，代入抛物线得：2201014411y x x x λλλλ++⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭， 化简得：221010024(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理得：222020024(1)0x x x y x λλλ-++-=，所以12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根，又由12221241440,44x x k y kx x kx x x x y ⎧+==+⎧⎪⇒--=∴⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩，将1k =代入1200244,2x x x k x +===∴=且200124(1)4y x x x λλ+-==-①，将02x =代入①，得044121(0)4(1)11y λλλλλλ--===-+>+++，故0(1,1)y ∈-.故点P 的轨迹方程为2(11)x y =-<<. 解法2：同解法1知124x x +=1,44D c D CCD AB C D D C y y x x k k x x x x -+====∴+=-，设线段,AB CD 的中点分别为,M N ，易知,,M N P 三点共线， MN MP μ∴=（μ为实数），所以02N M x x x ===. 以下同解法1.（2）由12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 可得：120024,2x x x k x k +==∴=.由（1）得200124(1)4y x x x λλ+-==-，因为2PC CA =，所以2λ=，故20233k y =-.AC x 轴且,A C 在抛物线上，∴,A C 关于y 轴对称. 0112213C x x k x x λλ++==+，11223k x x +∴=-及125kx =-，222,533k k C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭且2225k x =.∵C 在抛物线上,22224533k k ⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22511k =. 设AB 的中点为M ，则()2221212212211212424M x x x x x x y k +-⎛⎫+=⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭， 所以()22001022=13M y y y y k -=-+，而21020111210(1)2253121PAB k S x x y y k ∆=-⋅-=⋅⨯+=. 9．（2019·全国高三月考）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)D 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．（1）若ABF ∆的面积为3，求直线l 的方程；（2）试判断以线段AB 为直径的圆与点F 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）240x y --=或240x y +-=；（2）点F 在以线段AB 为直径的圆内． 【解析】（1）由题意知焦点F 的坐标为(1,0)．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为2x my =+．联立方程24,2,y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，整理得2480y my --=，可得124y y m +=，128y y =-，则2112ABF ADF BDF S S S DF y y ∆∆∆=+=⨯⨯-===由ABF ∆的面积为3，可得3=，解得12m =±，故直线l 的方程为240x y --=或240x y +-=．（2）由（1）知221212416y y x x ==，21212()444x x m y y m -=++=+．又由11(1,)FA x y =-，22(1,)FB x y =-，可得1212122212(1)(1)()1FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-++-,224(44)81470m m =-+-+=--<．故AFB ∠为钝角，点F 在以线段AB 为直径的圆内．10.（2019·浙江温州中学高三月考）已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上，,P Q 是直线2y x =+上的两个不同的点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求0y 的取值范围；（Ⅱ）若APQ 的面积等于20y 的值. 【答案】（Ⅰ）04y >或00y <；（Ⅱ）0222y =±. 【解析】（Ⅰ）设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，20(,)4y A y ， 则AP 的中点20042(,)82y a y a M +++，代入24y x =得：22000(42)440a y a y y ---++= 同理可得：22000(42)440b y b y y ---++=所以，,a b 是方程22000(42)440x y x y y ---++=的两个根22000(42)4(44)y y y ∴∆=---++2008320y y =->解得：04y >或00y <（Ⅱ）点A 到PQ 的距离200|2|42y y d -+=2042=由韦达定理可知：042a b y +=-，20044ab y y =-++则||2||PQ a b =-=22002()444a b ab y y +-=-1||2APQS PQ d ∆∴==2200004814462242y y y y -+⋅-⋅= 令2004y y t -=，则有：38240t t +-=，即：2(2)(212)0t t t -++=，解得2t =，即200440y y --=，解得：0222y =±1.（2020·全国高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【解析】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．2.（2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______. 【答案】15【解析】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得3152P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==3.（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x yC mm+=<<15，A，B分别为C的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 （1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率22154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：22231111055125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：1555522⨯⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+===+ 根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=，综上所述，APQ 面积为：52. 4．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.5．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.6．（2019·全国高考真题（理））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【答案】(1)见详解；(2) 3或【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =. 又因为212y x =，所以'y x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立.所以直线AB 恒过定点1(0,)2. （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±. 当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或.。
高考数学直线与圆锥曲线复习试题份
高考数学直线与圆锥曲线复习试题(三)份高考数学直线与圆锥曲线复习试题 11.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A.4B.3C.4D.8答案：C命题立意：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和考生的运算能力.根据已知条件中的直线的斜率和所经过的点F，写出直线方程，从而通过解方程组求出点A的坐标，得到三角形的底边长与高，计算出三角形的面积.解题思路：由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，抛物线的焦点坐标为(1,0).直线AF的方程y=(__1)，解方程组得或因为点A在x轴的上方，所以符合题意，即点A的坐标为(3，2)，|AK|=3+1=4，点F到直线AK的距离d即为点A的纵坐标2，因此SAKF=|AK|·d=4.2.已知双曲线C的.右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.__2=1B.-y2=1C.-=1D.-=1答案：D解题思路：设双曲线C的方程为-=1(a0，b0)，而抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，即F(2,0)，4=a2+b2.又圆F：(__2)2+y2=2与双曲线C的渐近线y=±x 相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为=，a2=b2=2，故双曲线C的方程为-=1.3.已知数列{an}的通项公式为an=(nN*)，其前n项和Sn=，则双曲线-=1的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案：C命题立意：本题主要考查裂项法求数列的前n项和与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的基本运算能力.解题思路：依题意得an=-，因此Sn=1-==，n=9，故双曲线方程是-=1，该双曲线的渐近线方程是y=± x=±x，故选C.4.如图所示，F1，F2是双曲线-=1(a0，b0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为()A.+1B.+1C. D.答案：B命题立意：本题主要考查圆的性质与双曲线的性质等知识，意在考查考生的基本运算能力.解题思路：连接AF1，依题意，得AF1AF2，又AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，因此该双曲线的离心率e===+1，故选B.5.设e1，e2分别为具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|+|=||，则的值为()A. B.2C. D.1答案：A解题思路：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设mn.由|+|=||知，F1PF2=90°，则m2+n2=4c2，e1=，e2=，+==2，=.高考数学直线与圆锥曲线复习试题 2首先，要知错就改。
高二数学直线与圆锥曲线试题
高二数学直线与圆锥曲线试题1.已知椭圆的中心为坐标原点，长轴的长为，的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与椭圆交于两点，则（）A．12B．9C．6D．3【答案】C【解析】由题意知，，故，抛物线的焦点为，准线为，故，故椭圆方程为，故联立方程得，，解得，故，故，故选C.2.已知椭圆的焦点为、，设点在长轴上，过点作垂直于的直线交椭圆于，则使得的点的横坐标取值范围是_______.【答案】【解析】由于点满足，则点在以为直径的圆内，圆的方程为，联立方程组，削去得：，点的横坐标取值范围是.【点睛】这是一个基本常识，所谓向量的数量积小于0，就是要求为钝角，所谓向量的数量积大于0，就是要求为锐角，所谓向量的数量积等于0，就是要求为直角，根据直径所对的圆周角为直角，可知等于0，则点在以为直径的圆上，同样的道理去处理其他两种情况.3.若是过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为可以看做与的面积之和，所以，故当直线垂直y轴时，，所以，故选B.4.已知椭圆：，曲线上的动点满足：.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，第一象限的点分别在和上，，求线段的长.【答案】(1);(2) .【解析】试题分析:(1)由已知，动点到点，的距离之和为，且，根据椭圆的定义求出曲线的方程;(2)两点的坐标分别为，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为,分别联立直线AB与曲线和,得出点A,B的坐标,根据两点间的距离公式求出弦长即可.试题解析:（1）由已知，动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，故椭圆的方程为.（2）解：两点的坐标分别为，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以，将代入中，得，所以，又由，得，即，解得，故.5.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】(1);(2) 或．【解析】试题分析:(1)设椭圆的方程为：，根据已知点和离心率列方程解出a,b,求出椭圆的方程;(2) 由已知直线过左焦点,当直线与轴垂直时，经检验不合题意; 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：,与椭圆方程联立,消去y,得出关于x的一元二次方程,写出韦达定理,根据面积公式求出k的值,可得直线方程.试题解析:（1）设椭圆的方程为：，由已知：得：，，所以，椭圆的方程为：.（2）由已知直线过左焦点．①当直线与轴垂直时，，，此时，则，不满足条件．②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：由得所以，，而，由已知得，所以，则，所以，所以直线的方程为：或．点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．6.已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的动点，为椭圆的左焦点，求线段的中点的轨迹方程；（3）直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，若为钝角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．【答案】(1);(2) ;(3) .【解析】（1）由椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点可得,从而，故方程为，代入点的坐标求得即可得到椭圆的方程；（2）用相关点（代入）法求得点的轨迹方程为；（3）由题意设直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆方程消去y得（1+4k2）x2+16kx+12=0，根据△＞0得，然后结合根与系数的关系及可得，从而得到，即为所求。
高二数学直线与圆锥曲线同步测试1
高二数学同步测试直线与圆锥曲线(一)一、选择题1.斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点；则|AB |的最大值为( )B.554C.5104D.5108y =ax 2与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点；且此两点的横坐标分别为x 1；x 2；直线与x 轴交点的横坐标是x 3；则恒有( )A.x 3=x 1+x 2B.x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3C.x 1+x 2+x 3=0D.x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=03. (浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切；则a ＝( )(A)18 (B)41 (C) 21(D)1 4. （上海）过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点；它们的横坐标之和等于5；则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在5. （山东卷）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '；若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、；点P 为椭圆上的动点；则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46. (全国卷Ⅰ)已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ；则该双曲线的离心率为（ ）（A ）23（B ）23（C ）26（D ）3327. (全国卷III)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2；过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ；若△F1PF2为等腰直角三角形；则椭圆的离心率是（ ）（A）2 （B）12 （C）2 （D18.（湖南卷）已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0；b ＞0）的右焦点为F ；右准线与一条渐近线交于点A ；△OAF 的面积为22a （O 为原点）；则两条渐近线的夹角为( ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º9. （福建卷）已知定点A 、B 且|AB|=4；动点P 满足|PA|－|PB|=3；则|PA|的最小值是（ ）A ．21B ．23C ．27D ．510. （广东卷）若焦点在轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12；则m=( )（Ｂ）32 （Ｃ）83 （Ｄ）23二、填空题11.已知两点M (1；45)、N (－4；－45)；给出下列曲线方程：①4x +2y －1=0； ②x 2+y 2=3；③22x +y 2=1；④22x －y 2=1；在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________.12.正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上；C 、D 两点在抛物线y 2=x 上；则正方形ABCD 的面积为_________.13.在抛物线y 2=16x 内；通过点(2；1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.三、解答题14.已知抛物线y 2=2px (p ＞0)；过动点M (a ；0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ；且|AB |≤2p .(1)求a 的取值范围.(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ；求△NAB 面积的最大值.15.已知中心在原点；顶点A 1、A 2在x 轴上；离心率e =321的双曲线过点P (6；6). (1)求双曲线方程.(2)动直线l 经过△A 1P A 2的重心G ；与双曲线交于不同的两点M 、N ；问：是否存在直线l ；使G 平分线段MN ；证明你的结论.16.已知双曲线C 的两条渐近线都过原点；且都以点A (2；0)为圆心；1为半径的圆相切；双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称.(1)求双曲线C 的方程.(2)设直线l 过点A ；斜率为k ；当0＜k ＜1时；双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2；试求k 的值及此时B 点的坐标.17.已知椭圆的中心在坐标原点O ；焦点在坐标轴上；直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ；且OP ⊥OQ ；|PQ |=210；求椭圆方程.18.如图所示；抛物线y 2=4x 的顶点为O ；点A 的坐标为(5；0)；倾斜角为4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点；求△AMN面积最大时直线l的方程；并求△AMN的最大面积.19. 已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1；2)(1)求过P(1；2)点的直线l的斜率取值范围；使l与C分别有一个交点；两个交点；没有交点.(2)若Q(1；1)；试判断以Q为中点的弦是否存在.20.如图；已知某椭圆的焦点是F1(－4；0)、F2(4；0)；过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B；且|F1B|+|F2B|=10；椭圆上不同的两点A(x1；y1)；C(x2；y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m；求m的取值范围.直线与圆锥曲线(一)参考答案一、选择题1.. C2. B3.B4.B5.B6.A7.D8.D9. C 10.B二、填空题11.解析：点P 在线段MN 的垂直平分线上；判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：②③④12.解析：设C 、D 所在直线方程为y =x +b ；代入y 2=x ；利用弦长公式可求出|CD |的长；利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离；求出b 的值；再代入求出|CD |的长.答案：18或5013.解析：设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ；且A (x 1；y 1)；B (x 2；y 2)；代入抛物线方程得y 12=16x 1；y 22=16x 2；两式相减得；(y 1+y 2）(y 1－y 2)=16(x 1－x 2).即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8.故所求直线方程为y =8x －15. 答案：8x －y －15=0 三、解答题14.解：(1)设直线l 的方程为：y =x －a ；代入抛物线方程得(x －a )2=2px ；即x 2－2(a +p )x +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p .∴4ap +2p 2≤p 2；即4ap ≤－p 2 又∵p ＞0；∴a ≤－4p . (2)设A (x 1；y 1)、B (x 2；y 2)；AB 的中点 C (x ；y )； 由(1)知；y 1=x 1－a ；y 2=x 2－a ；x 1+x 2=2a +2p ； 则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p . ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－(x －a －p )；从而N 点坐标为(a +2p ；0）点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+ 从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅ 当a 有最大值－4p时；S 有最大值为2p 2.15.解：(1)如图；设双曲线方程为2222b y a x -321,16622222222=+==-ab a e b a ；解得a 2=9；b 2=12.所以所求双曲线方程为12922y x -=1. (2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6；6)、(3；0)、(－3；0）； ∴其重心G 的坐标为(2；2）假设存在直线l ；使G (2；2)平分线段MN ；设M (x 1；y 1)；N (x 2；y 2).则有34912441089121089122121212122222121==--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-x x y y y y x x y x y x ；∴k l =34 ∴l 的方程为y =34(x －2)+2； 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ；消去y ；整理得x 2－4x +28=0. ∵Δ=16－4×28＜0；∴所求直线l 不存在. 16.解：(1)设双曲线的渐近线为y =kx ；由d =1|2|2+k k =1；解得k =±1.即渐近线为y =±x ；又点A 关于y =x 对称点的坐标为(0；2). ∴a =2=b ；所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2.(2)设直线l ：y =k (x －2)(0＜k ＜1)；依题意B 点在平行的直线l ′上；且l 与l ′间的距离为2.设直线l ′：y =kx +m ；应有21|2|2=++k m k ；化简得m 2+22k m=2.②把l ′代入双曲线方程得(k 2－1)x 2+2mkx +m 2－2=0； 由Δ=4m 2k 2－4(k 2－1)(m 2m 2+2k 2=2③ ②、③两式相减得k =2m ；代入③得m 2=52；解设m =510；k =552；此时x =2212=--k mk；y =10.故B (22；10). 17.解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0；n ＞0)； P (x 1；y 1)；Q (x 2；y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0； Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0；即m +n －mn ＞0；由OP ⊥OQ ；所以x 1x 2+y 1y 2=0；即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0； ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0；∴m +n =2①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2；将m +n =2；代入得m ·n =43②由①、②式得m =21；n =23或m =23；n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1.18.解：由题意；可设l 的方程为y =x +m ；－5＜m ＜0.由方程组⎩⎨⎧=+=xy mx y 42；消去y ；得x 2+(2m －4)x +m 2=0①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ；∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0； 解得m ＜1；又－5＜m ＜0；∴m 的范围为(－5；0) 设M (x 1；y 1)；N (x 2；y 2)则x 1+x 2=4－2m ；x 1·x 2=m 2；∴|MN |=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d =25m +.∴S △=2(5+m )m -1；从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128.∴S △≤82；当且仅当2－2m =5+m ；即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1；△AMN 的最大面积为82.19.解：(1)当直线l 的斜率不存在时；l 的方程为x =1；与曲线Cl 的斜率存在时；设直线l 的方程为y －2=k (x －1)；代入C 的方程；并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 (*)(ⅰ)当2－k 2=0；即k =±2时；方程(*)有一个根；l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0；即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k )①当Δ=0；即3－2k =0；k =23时；方程(*)有一个实根；l 与C 有一个交点.②当Δ＞0；即k ＜23；又k ≠±2；故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时；方程(*)有两不等实根；l 与C 有两个交点.③当Δ＜0；即k ＞23时；方程(*)无解；l 与C 无交点. 综上知：当k =±2；或k =23；或k 不存在时；l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23；或－2＜k ＜2；或k ＜－2时；l 与C 有两个交点；当k ＞23时；l 与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在；设为AB ；且A (x 1；y 1)；B (x 2；y 2)；则2x 12－y 12=2；2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2；y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2；结合图形知直线AB 与C 无交点；所以假设不正确；即以Q 为中点的弦不存在.20.解：(1)由椭圆定义及条件知；2a =|F 1B |+|F 2B |=10；得a =5；又c =4；所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. (2)由点B (4；y B )在椭圆上；得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425；离心率为54；根据椭圆定义；有|F 2A |=54(425－x 1)；|F 2C |=54(425－x 2)；由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列；得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59；由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0；y 0)；则x 0=221x x +=4.(3)解法一：由A (x 1；y 1)；C (x 2；y 2)在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0； 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0)代入上式；得9×4+25y 0(－k1)=0 (k ≠0)即k =3625y 0(当k =0时也成立). 由点P (4；y 0)在弦AC 的垂直平分线上；得y 0=4k +m ；所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. 由点P (4；y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部；得－59＜y 0＜59；所以－516①②＜m ＜516. 解法二：因为弦AC 的中点为P (4；y 0)；所以直线AC 的方程为 y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0)③将③代入椭圆方程92522y x +=1；得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8；解得k =3625y 0.(当k =0时也成立) (以下同解法一).。
高二数学直线与圆锥曲线同步测试13
高二数学直线与圆锥曲线同步测试4 安陆一中高二数学同步测试直线与圆锥曲线(四)一．选择题1已知椭圆的离心率,则实数的值为( )A,3B,3或C,D,或2一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心的轨迹为( )A,圆B,椭圆C,双曲线的一支D,抛物线3已知双曲线的顶点为与(2,5),它的一条渐近线与直线平行,则双曲线的准线方程是( )A, B, C, D,4抛物线上的点P到直线有最短的距离,则P的坐标是( )A,(0,0)B,C,D,5已知点F,直线:,点B是上的动点.若过B垂直于轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是( )A,双曲线B,椭圆C,圆D,抛物线二．填空题6椭圆上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离为,则此椭圆的方程为.7与方程的图形关于对称的图形的方程是.8设P是抛物线上的动点,点A的坐标为,点M在直线PA上,且分所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是.9设椭圆与双曲线有共同的焦点,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,则椭圆与双曲线的交点轨迹是.三．解答题10已知点H,点P在轴上,点Q在轴的正半轴上,点M在直线PQ上, 且满足,.(I)当点P在轴上移动时,求点M的轨迹C;(II)过点T作直线与轨迹C交于A,B两点,若在轴上存在一点E, 使得是等边三角形,求的值.11已知双曲线C:,点B,F分别是双曲线C的右顶点和右焦点,O为坐标原点.点A在轴正半轴上,且满足成等比数列,过点F作双曲线C在第一,第三象限的渐近线的垂线,垂足为P.(I)求证:;(II)设,直线与双曲线C的左,右两分支分别相交于点D,E,求的值.12已知双曲线的两个焦点分别为,,其中又是抛物线的焦点,点A, B在双曲线上.(I)求点的轨迹方程;(II)是否存在直线与点的轨迹有且只有两个公共点?若存在,求实数的值,若不存在,请说明理由.直线与圆锥曲线(四)参考答案一．选择题1 B.2 C.3 A.4 B.5 D.二．填空题6可得,消去,整理得,有或(舍去),得,,所以所求的椭圆方程为.7设点P是所求曲线上任一点,它关于对称的点在上,有,即.8设点P,M,有,,得,而,于是得点M的轨迹方程是.9由条件可得或,设P代入可知交点的轨迹是两个圆.三．解答题10解:(I) 设点M,由,得P由,得所以.又点Q在轴的正半轴上,得.所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.(II)设直线:,其中,代入,整理得①设A,B,,=,有AB的中点为,AB的垂直平分线方程为,令,,有E由为正三角形,E到直线AB的距离为,知. 由,解得,所以.11(I)证明:直线的方程为:由,得P,又成等差数列,得A(,0),有,于是,,因此.(II)由,得,:由,消去,整理得①设D,E,由已知有,且,是方程①的两个根. ,,,解得或.又,得=,因此.12解:(I),,设则,去掉绝对值号有两种情况,分别得的轨迹方程为和()(II)直线:,:,D(1,4),椭圆Q:①若过点或D,由,D两点既在直线上,又在椭圆Q上,但不在的轨迹上,知与的轨迹只有一个公共点,不合题意.②若不过,D两点().则与必有一个公共点E,且点E不在椭圆Q上,所以要使与的轨迹有且只有两个公共点,必须使与Q有且只有一个公共点, 把代入椭圆的方程并整理得由,得.。
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直线与圆锥曲线测试题
1.经过点(0,1)且与抛物线2(0)y mx m =>有且只有一个公共点的直线共有( )
A.3条
B.2条
C.1条
D.4条
2.已知椭圆2224x y +=,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A.
B.
D.3
2
3.直线y=kx+1与椭圆
22
51y x m +=总有公共点,则m 的取值范围是( ) A.m>1
B.1m ≥或0<m<1
C.0<m<5且1m ≠
D.1m ≥且5m ≠ 4.过点(1,0)的直线与双曲线22
4121y x -=的右支交于A 、B 两点,则直线AB 的斜率k 的取值范围是
( ) A.|k|1≥
<|k|<2
C.|k|≤
D.|k|<1
5.过M(-2,0)的直线l 与椭圆2222x y +=交于12P P ,两点,线段12PP
的中点为P,设直线l 的斜率为 11(0)k k ≠ ,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 的值等于( )
A.2
B.-2
C.12
D.12- 6.直线l 与椭圆22
41x y +=交于P 、Q 两点，已知直线l 的斜率为1，则弦PQ 的中点轨迹方程为____________________
7.已知直线x-y-1=0与抛物线2y ax =相切,则a=_______________
8.已知斜率为1的直线l过椭圆
22
4
1
x y
+=的右焦点交椭圆于A B AB
,.
、两点求弦的长
9.已知点P(4,2)是直线l被椭圆
2
2
369
1
y
x+=所截得的线段的中点,求直线l的方程.
10.已知直线y=(a+1)x-1与曲线2y ax
=恰有一个公共点,求实数a的取值范围.。