[课件]概率与统计 7.2 估计量的优良性准则
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电子科大概率论C7-2估计量的优良性准则
03
CATALOGUE
估计量的选择与优化
最小方差估计量
最小方差估计量（MVE）是最优的线性无偏估计 量，其方差达到所有无偏估计量中的最小值。
在多元线性回归模型中，最小二乘估计量是最小 方差估计量的一个特例。
最小方差估计量的优良性准则包括无偏性、一致 性和有效性。
贝叶斯估计量
01 贝叶斯估计量基于贝叶斯定理，通过先验概率和 似然函数来计算后验概率。
点估计量
用一个单一的值来估计未知参数。
贝叶斯估计量
基于贝叶斯定理，利用先验信息和样本信息 来估计未知参数。
02
CATALOGUE
估计量的优良性准则
无偏性准则
总结词
无偏性准则要求估计量应无系统地偏 离其真实值。
详细描述
无偏性准则是指估计量的数学期望值 应等于被估计的参数值。也就是说， 多次使用该估计量得到的平均值应该 接近于真实参数值，没有系统性偏差 。
电子科大概率论c72估计量的优良性准 则
目录
• 估计量的定义与性质 • 估计量的优良性准则 • 估计量的选择与优化 • 估计量的应用场景与实例分析 • 估计量优良性准则的局限性与未来发展方
向
01
CATALOGUE
估计量的定义与性质
估计量的定义
01
估计量：用于估计未知参数的统计量。
02
估计量是样本的函数，依赖于样本观测值。
基于机器学习的估计量优化方法
机器学习算法在数据分析和预测方面具有强大的能力，可以 应用于估计量的优化。通过机器学习算法，可以自动地选择 最优的估计量并进行参数优化。
基于机器学习的估计量优化方法需要充分考虑数据的特性和 模型的复杂性，以确保优化结果的准确性和可靠性。同时， 还需要注意避免过度拟合和欠拟合等问题。
第五讲估计量的优良性准则续-PPT精品文档
任一统计量，则对 T ( x ) p ( x , ) ，积分
分可交换次序，即 T ( x ) p ( x , ) dx dx 1 n T ( x ) p ( x , ) dx dx 1 n 当仅有（1）成立时，我们可以定义所谓的
2
2
2
1 所以由 由于 w 2 , 2 的值域包含内点， 2 定理4.2可知完全充分统计量为
T (x ) ( x x). i,
i 1 i 1 2 i n n
1n 而我们已经知道 x x 是 的无偏估 i n i 1 2 且是完全充分统计量 T( x)的函数， 故当 未
2
2
2 求参数 和 的 UMVUE 。 样本。
x ,x 是来自总体的 ( , ) 未知， 1, x 2, n
解
首先求完全充分统计量。 由于
2 1 ( x ) p ( x , ) exp 2 2 2
1 2
2 2 1 2 2 e exp x x
知时，的UMVUE为 x 。
x 都是 的 UMVU 。 注： 无论 2 是已知或未知，
n n 1 1 2 2 2 2 又 S ( x x ) x n x i i n 1 n 1 i 1 i 1
2
是 的无偏估计，且是 完全充分统 T ( x )
为直线上的一个开区间 。 满足下述条件的分布
设分布族为 { P , } ，密度函 p ( x , ) ，
Cramer-Rao正则族： 族 { P , } 称为
7.2 估计量的优良性准则
n
电子科技大学
#
估计量的优良性准则
Dec-10
证明 S2 是σ2 的无偏估计量 例7.2.2 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，则样本 ， 方差S 的无偏估计. 方差 2 是σ2的无偏估计 证
(n −1)S = ∑( Xi − X) = ∑ Xi − nX 2
2 2 2 i =1 i =1
n 2 2
证明无偏性判断有效性(1) 证明无偏性判断有效性 证明无偏性判断有效性(2) 证明无偏性判断有效性 和S2 分别是μ和σ2 的最小方差无偏估计 X
电子科技大学
估计量的优良性准则
Dec-10
3. 相合性 无偏性： 无偏性：反映估计量相对待估参数有无系 统偏差. 统偏差 有效性： 有效性：在无偏类中反映估计量相对待估 参数的偏离程度. 参数的偏离程度. 例7.2.5 问题： 问题：在“偏差性”和“离散性”两者 偏差性” 离散性” 兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则 兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则.
电子科技大学
估计量的优良性准则
Dec-10
的相合估计量; X 是μ的相合估计量; S2 和M2 都是 2的相合估计量 都是σ 的相合估计量.
部分证明
电子科技大学
估计量的优良性准则
Dec-10
例7.2.1 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，有 ，
1 E( X) = E( ∑Xi ) = E( X) = µ n i=1 1 2 2 2 2 2 E( X ) = D( X) +[E( X)] = σ + µ ≠ µ n
2
θ2
ˆ ˆ . θ2比θ1更有效
2 ˆ) D(θ2 3n 而且 lim = = 0. 2 n→∞ D θ ) (n + 1) (n + 2) (ˆ 1
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#
估计量的优良性准则
Dec-10
证明 S2 是σ2 的无偏估计量 例7.2.2 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，则样本 ， 方差S 的无偏估计. 方差 2 是σ2的无偏估计 证
(n −1)S = ∑( Xi − X) = ∑ Xi − nX 2
2 2 2 i =1 i =1
n 2 2
证明无偏性判断有效性(1) 证明无偏性判断有效性 证明无偏性判断有效性(2) 证明无偏性判断有效性 和S2 分别是μ和σ2 的最小方差无偏估计 X
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Dec-10
3. 相合性 无偏性： 无偏性：反映估计量相对待估参数有无系 统偏差. 统偏差 有效性： 有效性：在无偏类中反映估计量相对待估 参数的偏离程度. 参数的偏离程度. 例7.2.5 问题： 问题：在“偏差性”和“离散性”两者 偏差性” 离散性” 兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则 兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则.
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的相合估计量; X 是μ的相合估计量; S2 和M2 都是 2的相合估计量 都是σ 的相合估计量.
部分证明
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估计量的优良性准则
Dec-10
例7.2.1 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，有 ，
1 E( X) = E( ∑Xi ) = E( X) = µ n i=1 1 2 2 2 2 2 E( X ) = D( X) +[E( X)] = σ + µ ≠ µ n
2
θ2
ˆ ˆ . θ2比θ1更有效
2 ˆ) D(θ2 3n 而且 lim = = 0. 2 n→∞ D θ ) (n + 1) (n + 2) (ˆ 1
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
第二节 估计量的优良性准则
E
(
X
2 i
)
nE( X
2 )
n
1
1
n(
2
2)
n
2
n
2
2.
前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法
分别求得了正态总体 N(μ, σ2) 中参数σ2 的估计,
均为
ˆ 2
1 n
n
(Xi
i1
X
)2.
很显然，它不是σ2 的无偏估计。这正是我们为 什么要将其分母修正为 n-1，获得样本方差 S2 来估计 σ2 的理由。
X1,X2,…,Xn为来自总体X 的随机样本，记 X与 S 2分别为样本均值与样本方差，即
X
1 n
n
i1
X
i
,
S2
n
1
1
n
i1
(
X
i
X
)2.
则 E(X) , E(S2) 2.
即样本均值和样本方差分别是 总体均值 和总体方差的无偏估计。
证明：因为X1, X2, …, Xn 独立同分布，且 E(Xi )=μ , 所以
证 先计算方差
Var[ X1 (1 )X2]
2Var( X1) (1 )2Var( X2 )
(2 2 2 1) 2
由于
f ( ) 2( 1 )2 1
22
对任意实数, 1，f ( ) 1 ,
2
2
当 1 时, f ( )取最小值 1，
2
2
即样本均值 X 比样本的其他所有线性函数
虑 的如下两个估计的优劣：
ˆ X ,
ˆ i
1 n 1
n j 1
X
j.
ji
解 显然两个估计都是 的无偏估计.但是
概率论教学课件第七章7.2估计量的优良性标准
D( 2 )
16 2 9 2 1 2 26 2 0.72 2 ,
36 36 36 36
D( 3 )
1 2
9
12
9
12
9
1 2
3
0.33 2.
D(3) D(1) D(2 ) ,因此 3 最为有效.
10
一般地,有如下基本结论：
例4. 设 X1, X2,, Xn 是来自任意总体 X 的一组样本，
7
定义2 设ˆ1,ˆ2都是未知参数的无偏估计量，如果 Dˆ1 Dˆ2
则称（ˆ1和ˆ2作为参数的估计量）ˆ1比ˆ2更有效。
例3 设为 X1, X 2 , X3 取自总体 X 的样本,EX= ,DX= 2 0 , 证明:下列三个统计量均为 的无偏估计量，并比较有效性.
1
2 10
X
1
3 10
)
EX
2 i
EX
2 i 1
2EX i1EX i
EX
2 i
( 2 2 ) 2 2 ( 2 2 ) 2 2
n1
Eˆ 2 c E( X i1 X i )2 c 2(n 1) 2 2,
i 1
1
c
.
2(n 1)
6
二、有效性
例如，设总体X ,而X1, X 2, X3是来自总体X的样本，EX 未知，则
则称ˆ 为 的无偏估计量.否则称为有偏估计量.
2
Eˆ ，E(ˆ ) 0.
无偏估计量的含义是：ˆ 作为样本的函数 是一个随机变量，它在 的真值附近波动，但其 平均值恰好是 的真值。
3
设 X1, , X n 为取自总体 X 的样本，
样本均值
X
1 n
n
估计量的优良性准则.ppt
)
,
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估计量的优良性准则
Oct-19
即
4 3
max X i
1 i 3
和4min X
1 i 3
i
都是的无偏估计.
2) D(Y ) E(Y 2 ) E(Y )2 3 2,
80
D(Z ) E(Z 2 ) E(Z )2 3 2,
80
D(4 Y ) D(4Z ) 3
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估计量的优良性准则
Oct-19
注意：
M 2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2不是
2的无偏估计
M2
1 n
n
(Xi
i 1
X
)2
n n
1
S2
E(M2)
n n
1 2
已知E(
X
)
时，1
n
n
(Xi
i 1
)2是
2的无偏估计
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2. 有效性
估计量的优良性准则
E
(ˆn
)
]
0
则称 ˆn 为θ的渐进无偏估计量.
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估计量的优良性准则
Oct-19
若θ的实函数 g(θ) 的无偏估计量存在，称
g(θ)是可估计函数.
注 当ˆ是的无偏估计量，g(ˆ)不一定是g( )
的无偏估计量.
反例
样本均值是总体均值E(X)的无偏估计量.
S2 是2 的无偏估计
(n
3n2 1)2 (n
概率论与数理统计课件讲解7-2 估计量的评价标准
n 1 2 n
ˆ 为 的 相合估计量(或一致 概率收敛于 , 则称 n 估计量). , 样本k (k 1) 阶矩是 例如 由第五章第一节知
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量 ,
例6 试证 : (1) 样本均值 X 是总体均值 的相合估计
量;
*2 ( 2) 修正样本方差 Sn
三、有效性
ˆ 和 ˆ , 如果 比较参数 的两个无偏估计量 1 2 ˆ 的观察值较 ˆ更 在样本容量 n相同的情况下, 1 2 ˆ 较 ˆ 理想. 密集在真值 的附近, 则认为 1 2
ˆ 关于 换句话说，对参数 的无偏估计量
的波动越小，即方差 ˆ ) E[ ˆ E ( ˆ )]2 D(
是来自总体 X 样本， ˆ 2 X 和修正的最大似 (1) 试证明：的矩估计量 1 n1 ˆ 然估计量 2 X ( n ) 均是 的无偏估计； n ˆ 和 ˆ 哪一个更有效？ ( 2) 问： 1 2
ˆ ) E (2 X ) 2 E ( X ) 2 E ( X ) (1) 证 E ( 1
5 2 1 2 ˆ3 ) , D( ˆ 2 ) , D( 9 2
D( ˆ 2 ) D( ˆ 3 ) D( ˆ1 )
ˆ 2最有效.
可用求条件 极值的拉格 朗日乘数法 证明
例5 设总体 X ~ U [0, ], 参数 0, ( X 1 , X 2 ,, X n )
ˆ )2 E (
ˆ) ) ( E (
越小越好.
定义
ˆ ˆ ( X , X ,, X )， ˆ ˆ ( X , X ,, X ) 设 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n
ˆ ) D( ˆ ), D( 1 2
ˆ 为 的 相合估计量(或一致 概率收敛于 , 则称 n 估计量). , 样本k (k 1) 阶矩是 例如 由第五章第一节知
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量 ,
例6 试证 : (1) 样本均值 X 是总体均值 的相合估计
量;
*2 ( 2) 修正样本方差 Sn
三、有效性
ˆ 和 ˆ , 如果 比较参数 的两个无偏估计量 1 2 ˆ 的观察值较 ˆ更 在样本容量 n相同的情况下, 1 2 ˆ 较 ˆ 理想. 密集在真值 的附近, 则认为 1 2
ˆ 关于 换句话说，对参数 的无偏估计量
的波动越小，即方差 ˆ ) E[ ˆ E ( ˆ )]2 D(
是来自总体 X 样本， ˆ 2 X 和修正的最大似 (1) 试证明：的矩估计量 1 n1 ˆ 然估计量 2 X ( n ) 均是 的无偏估计； n ˆ 和 ˆ 哪一个更有效？ ( 2) 问： 1 2
ˆ ) E (2 X ) 2 E ( X ) 2 E ( X ) (1) 证 E ( 1
5 2 1 2 ˆ3 ) , D( ˆ 2 ) , D( 9 2
D( ˆ 2 ) D( ˆ 3 ) D( ˆ1 )
ˆ 2最有效.
可用求条件 极值的拉格 朗日乘数法 证明
例5 设总体 X ~ U [0, ], 参数 0, ( X 1 , X 2 ,, X n )
ˆ )2 E (
ˆ) ) ( E (
越小越好.
定义
ˆ ˆ ( X , X ,, X )， ˆ ˆ ( X , X ,, X ) 设 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n
ˆ ) D( ˆ ), D( 1 2
7.2 估计量的优良性准则解析
电子科技大学
估计量的优良性准则
Oct-18
1. 无偏性
q
定义7.2.1 若参数θ的估计量 qˆ T ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 对一切 n 及θ∈Ω ，有
ˆ ) E[T ( X , X ,..., X )] q E (q n 1 2 n
ˆ 为θ的无偏估计量. 若 称q n ˆ ) q ] 0 lim b lim [ E (q
估计量的优良性准则
Oct-18
FY ( y ) P {Y y } P {max X i y }
P{ X 1 y , X 2 y , X 3 y } P{ X 1 y } P{ X 2 y } P{ X 3 y }
ˆ ) D(q ˆ ), q D(q 1 2
ˆ 比q ˆ 有效( 优效). 称q 1 2
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估计量的优良性准则
Oct-18
ˆ 是θ的无偏估计，如果对θ的任何一个 设q 0
无偏估计量 q ˆ 都有
ˆ ) D(q ˆ ), q D(q 0
ˆ 为θ的最小方差无偏估计量. 称q 0
估计量的优良性准则
Oct-18
§7.2 估计量的优良性准则
对于总体的参数，可用各种不同的方法去 估计它，因此一个参数的估计量不唯一. 如 X~U(0,q ) , q 的矩法估计量为 2 X ， 极大似然估计量为 max{ X i }
1 i n
在众多的估计量中选哪一个更好？
选取的标准是什么？ 三个常用准则：无偏性、有效性、相合性.
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估计量的优良性准则
Oct-18
令
Y maxX i ,
1 i 3
估计量的优良性准则
Oct-18
1. 无偏性
q
定义7.2.1 若参数θ的估计量 qˆ T ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 对一切 n 及θ∈Ω ，有
ˆ ) E[T ( X , X ,..., X )] q E (q n 1 2 n
ˆ 为θ的无偏估计量. 若 称q n ˆ ) q ] 0 lim b lim [ E (q
估计量的优良性准则
Oct-18
FY ( y ) P {Y y } P {max X i y }
P{ X 1 y , X 2 y , X 3 y } P{ X 1 y } P{ X 2 y } P{ X 3 y }
ˆ ) D(q ˆ ), q D(q 1 2
ˆ 比q ˆ 有效( 优效). 称q 1 2
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ˆ 是θ的无偏估计，如果对θ的任何一个 设q 0
无偏估计量 q ˆ 都有
ˆ ) D(q ˆ ), q D(q 0
ˆ 为θ的最小方差无偏估计量. 称q 0
估计量的优良性准则
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§7.2 估计量的优良性准则
对于总体的参数，可用各种不同的方法去 估计它，因此一个参数的估计量不唯一. 如 X~U(0,q ) , q 的矩法估计量为 2 X ， 极大似然估计量为 max{ X i }
1 i n
在众多的估计量中选哪一个更好？
选取的标准是什么？ 三个常用准则：无偏性、有效性、相合性.
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令
Y maxX i ,
1 i 3
7.2点估计的优良性评判标准 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
由于EX源自2，则=2E
X
，故
的矩估计量ˆ1
2X
.
(2)又由上一节例9得 θˆ 2 Xn .
一、无偏性
⑶
E
θˆ1
E2X 2E X 2 θ θ 2
;
由次序统计量的散布知当 y 0,θ 时, Xn 的概率密度
函数为
fn
y
n
y θ
n1
1 θ
ny n 1 θn
故
E θˆ2
3
一、无偏性
第7章 参数估计
4
定义1
θ 如果未知参数 的估计量 θˆ X1, X2, , Xn 满足 E θˆ X1, , Xn =θ
则称 θˆ X1, , Xn 为θ 的一个无偏估计量.
如果
lim
n+
E
θˆ
X1,
, X n θ
则称 θˆ X1, θ , Xn 为 的渐近无偏估计量.
2
n
E
n i 1
Xi
2
2
E
S2
E
2
n 1
n
1 S 2
2
2 n
n 1
1
2
可见这两个估计都是无偏的;
二、有效性
第7章 参数估计
16
解⑵ 又因为 因此
D
n i 1
Xi
2
2n
D
n
1
2
S
2
2
n
1
D ˆ 2
D
1 n
n i1
X
2 i
4 n2
D
n i 1
Xi
)
E(Sn2 )
n 1
n
2
X
，故
的矩估计量ˆ1
2X
.
(2)又由上一节例9得 θˆ 2 Xn .
一、无偏性
⑶
E
θˆ1
E2X 2E X 2 θ θ 2
;
由次序统计量的散布知当 y 0,θ 时, Xn 的概率密度
函数为
fn
y
n
y θ
n1
1 θ
ny n 1 θn
故
E θˆ2
3
一、无偏性
第7章 参数估计
4
定义1
θ 如果未知参数 的估计量 θˆ X1, X2, , Xn 满足 E θˆ X1, , Xn =θ
则称 θˆ X1, , Xn 为θ 的一个无偏估计量.
如果
lim
n+
E
θˆ
X1,
, X n θ
则称 θˆ X1, θ , Xn 为 的渐近无偏估计量.
2
n
E
n i 1
Xi
2
2
E
S2
E
2
n 1
n
1 S 2
2
2 n
n 1
1
2
可见这两个估计都是无偏的;
二、有效性
第7章 参数估计
16
解⑵ 又因为 因此
D
n i 1
Xi
2
2n
D
n
1
2
S
2
2
n
1
D ˆ 2
D
1 n
n i1
X
2 i
4 n2
D
n i 1
Xi
)
E(Sn2 )
n 1
n
2
概率论与数理统计 7.2 估计量的评选标准
若 1 比 2有效, 即指在样本容量 n 相同的条件下,
1 的观察值比 2 的更密集在真值 的附近,
也就是 1 比 2 更理想 .
兰州交通大学博文学院 10
例2：设总体 X 的方差存在且大于零, E(X)=μ , 设 (X1 , X2) 是X的一个样本, 则
1 = X 和 2 = X1 均为 的无偏估计量,
总体 X 的均值为 μ , 方差为 σ 2 , 证明:
(1) 样本平均数 X 是 的无偏估计量 ;
(2) 样本方差 S 2是 2的无偏估计量 ,
2 样本方差 Sn 不是 2 的无偏估计量.
解 (1) 由于 E ( X i ) = E ( X ) = , ( i = 1, 2,
, n)
nபைடு நூலகம்
4 2
D(
i 1
n
( X i 0 )2
2
2 4 ) 2 2n n n
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4
三、相合性: 1、定义7.5:
设 n = n ( X1 , X 2 ,
, X n ) 是 的一个估计量,
若对任何一个 ε > 0 , 有
lim P { n > } = 0 ,
所以 S 2 是 2 的无偏估计量.
n 1 2 由于 E( Sn ) = E ( ( X i X )2 ) n i =1
n1 2 = E S n
n1 = E( S 2 ) n n1 2 = n
2 所以 Sn 不是 2 的无偏估计量. 可是
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2 n 1 2 2 2 = + ( + ) n n 1 i =1 n
1 的观察值比 2 的更密集在真值 的附近,
也就是 1 比 2 更理想 .
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例2：设总体 X 的方差存在且大于零, E(X)=μ , 设 (X1 , X2) 是X的一个样本, 则
1 = X 和 2 = X1 均为 的无偏估计量,
总体 X 的均值为 μ , 方差为 σ 2 , 证明:
(1) 样本平均数 X 是 的无偏估计量 ;
(2) 样本方差 S 2是 2的无偏估计量 ,
2 样本方差 Sn 不是 2 的无偏估计量.
解 (1) 由于 E ( X i ) = E ( X ) = , ( i = 1, 2,
, n)
nபைடு நூலகம்
4 2
D(
i 1
n
( X i 0 )2
2
2 4 ) 2 2n n n
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4
三、相合性: 1、定义7.5:
设 n = n ( X1 , X 2 ,
, X n ) 是 的一个估计量,
若对任何一个 ε > 0 , 有
lim P { n > } = 0 ,
所以 S 2 是 2 的无偏估计量.
n 1 2 由于 E( Sn ) = E ( ( X i X )2 ) n i =1
n1 2 = E S n
n1 = E( S 2 ) n n1 2 = n
2 所以 Sn 不是 2 的无偏估计量. 可是
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2 n 1 2 2 2 = + ( + ) n n 1 i =1 n
《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计
添加标题
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
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2019-2020年人教统编[课件]概率与统计7.2估计量的优良性准则课件
![2019-2020年人教统编[课件]概率与统计7.2估计量的优良性准则课件](https://img.taocdn.com/s3/m/4ac0ace884868762cbaed51f.png)
0 zq
0 ,
else
3
E(Z) q 3
q z (q z)2 dz 1 q
0
4
从而 ,
E(4 3
max X i
1 i 3
)
E(4min X i
1 i 3
)
q
,
即
4 3
max X i
1i 3
和4 min X i
1i 3
都是q的无偏估计.
2)
D(Y ) E(Y 2 ) E(Y )2 3 q 2 ,
nE( X 2 ) nE( X 2 )
n{D( X ) E( X )2 } n{D( X ) E( X )2 }
n( 2 2 ) n( 2 2 )
n
E(S2) 2.
(n 1) 2
#
例7.2.3 设总体X~U[0,θ], θ >0 未知, (X1，X2，
E(qˆn ) E[T ( X1, X 2 ,..., X n )] q
称 qˆn 为θ的无偏估计量. 若
lim
n
bn
lim[
n
E
(qˆn
)
q
]
0
则称 qˆn 为θ的渐进无偏估计量.
若θ的实函数 g(θ) 的无偏估计量存在，称 g(θ)是可估计函数.
注 当qˆ是q的无偏估计量， g(qˆ)不一定是g(q )
q2
3n
,
D(qˆ2 )
D(max{ 1 i n
X
i
})
(n
nq 2
1)2 (n
概率论与数理统计02-PPT7.2 估计量的优良性准则_63
L(c1 , c2 ,… , cn; )
n
c2i
+λ(
n
1一8
ci)
i1
i 1
L(c1,c2 … cn; λ)
n
c2 i
n
λ( 1一 8
ci)
i 1
i 1
L
cni
ci
2ci
1.
0;
i 1
(i 1, 2,… , n)
解得:
2
n
ci
1, n
i 1, 2,… , n
即函数
f ( c1,c2, … , cn)
要 求.
相合性 定 义 :
设 .( Ｘ1 , Ｘ2 ,..., Ｘn )是未知 参数 9 的 估 计量, 若 对任 意的 s>0
有
lim P{. } 1
n
则称
.
为9
的 相合估
计量。
即
.
P
总结
1.由于相合性 是在极限意义 下定 义 的 . 因此 , 只 有当 样本容量 充分大 时, 才显示 出优 越性 ,
无 偏估计的实际意义就在于无 系统误差.
例1: 设 总体Ｘ的 k 阶矩
k
E
(
Ｘ k
)
存在,(
Ｘ
,
Ｘ
,…
,Ｘ
)
是总体Ｘ的 样本,
12
n
证明不 论 Ｘ服从 什么 分布,
则 是 Ak
1 n
n i1
Ｘk i
k 的 无 偏 估 计量.
证:
由于
E(
Ｘk i
)
k
i 1,2,… , n 因而
E( Ak) E(
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电子科技大学
估计量的优良性准则
Dec-09
令
Y = m Xi , ax
1≤i≤3
Z = m Xi in
1≤i≤3
先求X与 的概率密度函数, 证 1) 先求 与Y 的概率密度函数, 已知分布函数
; 0, x < 0 x F (x) = , 0 ≤ x <θ; X θ 1, x ≥θ.
电子-09
7.2.3定义 设 θn =θ(X1, X2,..., Xn)是未知参 定义
的估计量, 数θ的估计量,若对任意的 ,有 的估计量 若对任意的ε>0,
n→ ∞
lim P{θn θ < ε} =1
则称 θ 为θ的相合估计量. 相合估计量. 相合估计量的证明(1) 相合估计量的证明 相合估计量的证明(2) 相合估计量的证明
设总体X~U[0,θ], θ >0 未知 (X1,X2, 未知, 例7.2.3 设总体 X3)是取自 的一个样本 是取自X的一个样本 是取自 1) 试证
= 4m X , ax i θ1 3 1≤i≤3
θ 2 = 4m Xi in
1≤i≤3
都是θ的无偏估计; 都是 的无偏估计; 的无偏估计 2) 上述两个估计量中哪个的方差最小? 上述两个估计量中哪个的方差最小? 分析: 要判断估计量是否是无偏估计量, 分析: 要判断估计量是否是无偏估计量, 需要计算统计量的数学期望. 需要计算统计量的数学期望.
2
3 y 2 ; ( ) , 0≤ y ≤ θ ∴ fY ( y) = θ θ 0 , else.
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估计量的优良性准则
Dec-09
E(Y) =
θ3 ∫0
3
θ
3 y dy = θ, 4
3
2 3 z 1 , 0 ≤ z ≤θ 同 可 , fZ (z) = θ θ 理 得 else 0 ,
证明相合性常用到切比雪夫不等式 切比雪夫不等式; 分析 1) 证明相合性常用到切比雪夫不等式 2) 这里计算方差较难, 可以先化为χ2 这里计算方差较难 分布, 再利用卡方分布的性质计算. 分布 再利用卡方分布的性质计算 证
1 n 2 1 n E ∑Xi = ∑E(Xi2 ) = E(X2 ) =σ2, n n i=1 i=1
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估计量的优良性准则
Dec-09
1. 无偏性
θ
定义7.2.1 若参数 的估计量 θ =T(X1, X2,..., Xn) 若参数θ的估计量 定义 对一切 n 及θ∈ ,有 ∈
E(θn) = E[T(X1, X2,..., Xn)] =θ
称 θn 为θ的无偏估计量. 若 的无偏估计量. limb = lim E(θ ) θ] = 0 [ 则称 θn 为θ的渐进无偏估计量. 的渐进无偏估计量.
4 2
0, →
n→ ∞
1 n 2 故 ∑Xi 是σ2 的相合估计量 的相合估计量. n i=1
#
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估计量的优良性准则
Dec-09
例7.2.7 设总体X的k阶原点矩 设总体 的 阶原点矩E(Xk)存在 证明 存在, 阶原点矩 存在
1 n k 是其无偏,相合估计量. 样k阶原点矩 ∑Xi 是其无偏,相合估计量 阶原点矩 n i=1
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估计量的优良性准则
Dec-09
的相合估计量; X 是μ的相合估计量; S2 和M2 都是 2的相合估计量 都是σ 的相合估计量.
部分证明
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估计量的优良性准则
Dec-09
例7.2.1 设总体的方差 D(X)=σ2 >0,有 ,
1 E(X) = E( ∑Xi ) = E(X) = n i=1 2 2 1 2 2 2 E(X ) = D X) +[E(X)] = σ + ≠ ( n
2
θ2
θ 有 . θ2比1更 效
2 ) D θ2 ( 3n 而 且 lim = = 0. 2 n→ D θ ) ∞ (n+1) (n+ 2) ( 1
#
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估计量的优良性准则
Dec-09
相合估计量. 相合估计量
1 n 2 例7.2.6 设 X~N(0,σ2), 证明 ∑Xi 是σ2 的 n i=1
估计量的优良性准则
Dec-09
例7.2.5 设X~U(0,θ) ,θ的矩法估计量为 的矩法估计量为 ax θ = 2X ,极大似然估计量为 θ = m {X }.
1
2 1≤i≤n i
有 E(θ1) = E(2X) =θ,
) = E(m {X }) = nθ E(θ2 ax i 1≤i≤n n+1
证明无偏性判断有效性(1) 证明无偏性判断有效性 证明无偏性判断有效性(2) 证明无偏性判断有效性 和S2 分别是 和 σ2 的最小方差无偏估计 X
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估计量的优良性准则
Dec-09
3. 相合性 无偏性: 无偏性:反映估计量相对待估参数有无系 统偏差. 统偏差 有效性: 有效性:在无偏类中反映估计量相对待估 参数的偏离程度. 参数的偏离程度. 例7.2.5 问题: 问题:在"偏差性"和"离散性"两者 偏差性" 离散性" 兼顾的原则下建立估计量为"最优"准则 兼顾的原则下建立估计量为"最优"准则.
1 ∴E(Z) = 3 ∫ z (θ z) dz = θ θ 0 4
2
3
θ
从 , 而
4 E( m Xi ) = E(4m Xi ) =θ, ax in 3 1≤i≤3 1≤i≤3
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估计量的优良性准则
Dec-09
4 ax 4 in 即 m Xi 和 m Xi 都 θ的 偏 计 是 无 估 . 3 1≤i≤3 1≤i≤3
估计量的优良性准则
Dec-09
例7.2.4 证明
= ∑ci Xi , ci ≥ 0,
i=1
n
∑ci =1,
i=1
n
X 是无偏估计量, 是其中最有效估计量. 是无偏估计量, 是其中最有效估计量. n n 证 E() = E(∑ci Xi = E(X)∑ci =E(X), )
i=1
D ) = D ∑ci Xi =σ ( ( )
n
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#
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证明 S2 是σ2 的无偏估计量 例7.2.2 设总体的方差 D(X)=σ2 >0,则样本 , 方差S 的无偏估计. 方差 2 是σ2的无偏估计 证
(n1)S = ∑(Xi X) = ∑Xi nX2
2 2 2 i=1 i=1
n 2 2
n
n
(n1)E(S ) = ∑E(Xi ) nE(X2 )
i=1
= nE(X ) nE(X )
2 2
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估计量的优良性准则
Dec-09
{ ( { ( = n D X) + E(X)2} n D X) + E(X)2}
= n(σ2 + 2 ) n(
σ2
n
+ 2 ) = (n1)σ2
∴E(S ) =σ .
2 2
#
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估计量的优良性准则
Dec-09
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Dec-09
2. 有效性 思考:已知总体 的样本 1, X2, X3,下列估 已知总体X的样本 的样本X 下列估 的无偏估计量? 计量是否为总体均值 的无偏估计量? 哪个更好? 哪个更好?
1. X; 2. X1; 3. X1+X2; 4. 0.1X1 + 0.2X2 + 0.7X3.
2 L( 1,c2 n; ) ci λ( ci 1 c c λ = ) i=1 i=1
∑
n
∑
n
i =1,2, n. ,
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n 2 i
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即函数 f (c1,c2, cn ) = ∑c 的最小值点是 ,
i=1
1 1 1 , . ( , , ) n n n
#
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i=1
n
2
∑
i=1
n
i=1
2 2 ci ≤ , σ
利用拉格朗日乘数法求条件极值, 利用拉格朗日乘数法求条件极值,令
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估计量的优良性准则
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从联立方程组 L , ) ; i c = 2ci λ = 0 ( = 1,2, n i n ∑ci = 1. i=1
2 λ = ,和c = 1 , 解得 i n n
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n→ ∞ n n→ ∞ n
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的无偏估计量存在, 若θ的实函数 g(θ) 的无偏估计量存在,称 的实函数 g(θ)是可估计函数 是可估计函数. 注 当是 的 偏 计 ,(θ)不 定 g(θ) θ θ 无 估 量 g 一 是 的 偏 计 . 无 估 量 反例
样本均值是总体均值E(X)的无偏估计量 的无偏估计量. 样本均值是总体均值 的无偏估计量 S2 是2 的无偏估计
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注意: 注意:
1 n M = ∑ Xi X)2不 σ 2的 偏 计 ( 是 无 估 2 n i=1
1 n n1 2 2 ∵M = ∑(Xi X) = S 2 ni=1 n i= n1 2 E(M ) = σ 2 n
1 n ( σ 无 估 已 E(X) = ,∑ Xi )2是 2的 偏 计 知 时 n i=1
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§7.2 估计量的优良性准则 对于总体的参数, 对于总体的参数,可用各种不同的方法去 估计它,因此一个参数的估计量不唯一. 估计它,因此一个参数的估计量不唯一 如 X~U(0,θ ) , θ 的矩法估计量为 2X,
估计量的优良性准则
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令
Y = m Xi , ax
1≤i≤3
Z = m Xi in
1≤i≤3
先求X与 的概率密度函数, 证 1) 先求 与Y 的概率密度函数, 已知分布函数
; 0, x < 0 x F (x) = , 0 ≤ x <θ; X θ 1, x ≥θ.
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7.2.3定义 设 θn =θ(X1, X2,..., Xn)是未知参 定义
的估计量, 数θ的估计量,若对任意的 ,有 的估计量 若对任意的ε>0,
n→ ∞
lim P{θn θ < ε} =1
则称 θ 为θ的相合估计量. 相合估计量. 相合估计量的证明(1) 相合估计量的证明 相合估计量的证明(2) 相合估计量的证明
设总体X~U[0,θ], θ >0 未知 (X1,X2, 未知, 例7.2.3 设总体 X3)是取自 的一个样本 是取自X的一个样本 是取自 1) 试证
= 4m X , ax i θ1 3 1≤i≤3
θ 2 = 4m Xi in
1≤i≤3
都是θ的无偏估计; 都是 的无偏估计; 的无偏估计 2) 上述两个估计量中哪个的方差最小? 上述两个估计量中哪个的方差最小? 分析: 要判断估计量是否是无偏估计量, 分析: 要判断估计量是否是无偏估计量, 需要计算统计量的数学期望. 需要计算统计量的数学期望.
2
3 y 2 ; ( ) , 0≤ y ≤ θ ∴ fY ( y) = θ θ 0 , else.
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估计量的优良性准则
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E(Y) =
θ3 ∫0
3
θ
3 y dy = θ, 4
3
2 3 z 1 , 0 ≤ z ≤θ 同 可 , fZ (z) = θ θ 理 得 else 0 ,
证明相合性常用到切比雪夫不等式 切比雪夫不等式; 分析 1) 证明相合性常用到切比雪夫不等式 2) 这里计算方差较难, 可以先化为χ2 这里计算方差较难 分布, 再利用卡方分布的性质计算. 分布 再利用卡方分布的性质计算 证
1 n 2 1 n E ∑Xi = ∑E(Xi2 ) = E(X2 ) =σ2, n n i=1 i=1
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1. 无偏性
θ
定义7.2.1 若参数 的估计量 θ =T(X1, X2,..., Xn) 若参数θ的估计量 定义 对一切 n 及θ∈ ,有 ∈
E(θn) = E[T(X1, X2,..., Xn)] =θ
称 θn 为θ的无偏估计量. 若 的无偏估计量. limb = lim E(θ ) θ] = 0 [ 则称 θn 为θ的渐进无偏估计量. 的渐进无偏估计量.
4 2
0, →
n→ ∞
1 n 2 故 ∑Xi 是σ2 的相合估计量 的相合估计量. n i=1
#
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例7.2.7 设总体X的k阶原点矩 设总体 的 阶原点矩E(Xk)存在 证明 存在, 阶原点矩 存在
1 n k 是其无偏,相合估计量. 样k阶原点矩 ∑Xi 是其无偏,相合估计量 阶原点矩 n i=1
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的相合估计量; X 是μ的相合估计量; S2 和M2 都是 2的相合估计量 都是σ 的相合估计量.
部分证明
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例7.2.1 设总体的方差 D(X)=σ2 >0,有 ,
1 E(X) = E( ∑Xi ) = E(X) = n i=1 2 2 1 2 2 2 E(X ) = D X) +[E(X)] = σ + ≠ ( n
2
θ2
θ 有 . θ2比1更 效
2 ) D θ2 ( 3n 而 且 lim = = 0. 2 n→ D θ ) ∞ (n+1) (n+ 2) ( 1
#
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相合估计量. 相合估计量
1 n 2 例7.2.6 设 X~N(0,σ2), 证明 ∑Xi 是σ2 的 n i=1
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例7.2.5 设X~U(0,θ) ,θ的矩法估计量为 的矩法估计量为 ax θ = 2X ,极大似然估计量为 θ = m {X }.
1
2 1≤i≤n i
有 E(θ1) = E(2X) =θ,
) = E(m {X }) = nθ E(θ2 ax i 1≤i≤n n+1
证明无偏性判断有效性(1) 证明无偏性判断有效性 证明无偏性判断有效性(2) 证明无偏性判断有效性 和S2 分别是 和 σ2 的最小方差无偏估计 X
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3. 相合性 无偏性: 无偏性:反映估计量相对待估参数有无系 统偏差. 统偏差 有效性: 有效性:在无偏类中反映估计量相对待估 参数的偏离程度. 参数的偏离程度. 例7.2.5 问题: 问题:在"偏差性"和"离散性"两者 偏差性" 离散性" 兼顾的原则下建立估计量为"最优"准则 兼顾的原则下建立估计量为"最优"准则.
1 ∴E(Z) = 3 ∫ z (θ z) dz = θ θ 0 4
2
3
θ
从 , 而
4 E( m Xi ) = E(4m Xi ) =θ, ax in 3 1≤i≤3 1≤i≤3
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4 ax 4 in 即 m Xi 和 m Xi 都 θ的 偏 计 是 无 估 . 3 1≤i≤3 1≤i≤3
估计量的优良性准则
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例7.2.4 证明
= ∑ci Xi , ci ≥ 0,
i=1
n
∑ci =1,
i=1
n
X 是无偏估计量, 是其中最有效估计量. 是无偏估计量, 是其中最有效估计量. n n 证 E() = E(∑ci Xi = E(X)∑ci =E(X), )
i=1
D ) = D ∑ci Xi =σ ( ( )
n
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估计量的优良性准则
Dec-09
证明 S2 是σ2 的无偏估计量 例7.2.2 设总体的方差 D(X)=σ2 >0,则样本 , 方差S 的无偏估计. 方差 2 是σ2的无偏估计 证
(n1)S = ∑(Xi X) = ∑Xi nX2
2 2 2 i=1 i=1
n 2 2
n
n
(n1)E(S ) = ∑E(Xi ) nE(X2 )
i=1
= nE(X ) nE(X )
2 2
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{ ( { ( = n D X) + E(X)2} n D X) + E(X)2}
= n(σ2 + 2 ) n(
σ2
n
+ 2 ) = (n1)σ2
∴E(S ) =σ .
2 2
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2. 有效性 思考:已知总体 的样本 1, X2, X3,下列估 已知总体X的样本 的样本X 下列估 的无偏估计量? 计量是否为总体均值 的无偏估计量? 哪个更好? 哪个更好?
1. X; 2. X1; 3. X1+X2; 4. 0.1X1 + 0.2X2 + 0.7X3.
2 L( 1,c2 n; ) ci λ( ci 1 c c λ = ) i=1 i=1
∑
n
∑
n
i =1,2, n. ,
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n 2 i
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即函数 f (c1,c2, cn ) = ∑c 的最小值点是 ,
i=1
1 1 1 , . ( , , ) n n n
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i=1
n
2
∑
i=1
n
i=1
2 2 ci ≤ , σ
利用拉格朗日乘数法求条件极值, 利用拉格朗日乘数法求条件极值,令
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从联立方程组 L , ) ; i c = 2ci λ = 0 ( = 1,2, n i n ∑ci = 1. i=1
2 λ = ,和c = 1 , 解得 i n n
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n→ ∞ n n→ ∞ n
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的无偏估计量存在, 若θ的实函数 g(θ) 的无偏估计量存在,称 的实函数 g(θ)是可估计函数 是可估计函数. 注 当是 的 偏 计 ,(θ)不 定 g(θ) θ θ 无 估 量 g 一 是 的 偏 计 . 无 估 量 反例
样本均值是总体均值E(X)的无偏估计量 的无偏估计量. 样本均值是总体均值 的无偏估计量 S2 是2 的无偏估计
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注意: 注意:
1 n M = ∑ Xi X)2不 σ 2的 偏 计 ( 是 无 估 2 n i=1
1 n n1 2 2 ∵M = ∑(Xi X) = S 2 ni=1 n i= n1 2 E(M ) = σ 2 n
1 n ( σ 无 估 已 E(X) = ,∑ Xi )2是 2的 偏 计 知 时 n i=1
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§7.2 估计量的优良性准则 对于总体的参数, 对于总体的参数,可用各种不同的方法去 估计它,因此一个参数的估计量不唯一. 估计它,因此一个参数的估计量不唯一 如 X~U(0,θ ) , θ 的矩法估计量为 2X,